高中数学 第2章 变化率与导数 3 计算导数课后演练提升 北师大版选修2-2

2016-2017学年高中数学 第2章 变化率与导数 3 计算导数课后演

练提升 北师大版选修2-2

一、选择题

1．下列结论正确的是( ) A ．若y ＝1x ，则y ′＝1

x

2

B ．若y ＝x ，则y ′＝1

2x

C ．若y ＝cos x ，则y ′＝sin x

D ．若y ＝ln x ，则y ′＝1

x

解析： ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝－1x 2，(x )′＝12x ，(cos x )′＝－sin x ，(ln x )′＝1x . 答案： D

2．已知f (x )＝x a

，若f ′(－1)＝－4，则a 的值是( ) A ．－4 B ．4 C ．±4

D ．不确定

解析： f ′(x )＝a ·x a －1

，f ′(－1)＝a ·(－1)

a －1

＝－4，

∴a ＝4. 答案： B

3．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝ln x 的切线，则k 的值等于( ) A ．e B ．－e C.1

e

D ．－1e

解析： y ′＝(ln x )′＝1x ，设切点为(x 0，y 0)，则切线方程为y －y 0＝1

x 0

(x －x 0)，即y

＝1

x 0

x ＋ln x 0－1，由ln x 0－1＝0得x 0＝e.

又∵k ＝1x 0，∴k ＝1

e .

答案： C

4．已知直线ax －by ＋2＝0与曲线y ＝x 3

在点P (1,1)处的切线互相垂直，则a b

的值为( )

A.2

3 B.13 C ．－23

D ．－13

解析： 曲线y ＝x 3

在点P (1,1)处的切线斜率k ＝y ′|x ＝1＝3x 2

|x ＝1＝3，直线ax －by

＋2＝0斜率k ′＝a b ，由题意可得3×a b ＝－1，故a b ＝－1

3

.

答案： D 二、填空题

5．若已知f (x )＝cos x ，g (x )＝x ，且f ′(x )＋g ′(x )≤0，则x 的取值为_____________． 解析： ∵f (x )＝cos x ，g (x )＝x ，

∴f ′(x )＝(cos x )′＝－sin x ．g ′(x )＝x ′＝1. 由f ′(x )＋g ′(x )≤0，得到－sin x ＋1≤0， 即sin x ≥1，但sin x ∈[－1,1]， ∴sin x ＝1.∴x ＝2k π＋π

2，k ∈Z .

答案： 2k π＋π

2，k ∈Z

6．曲线y ＝sin ⎝

⎛⎭⎪⎫π2－x 在点A ⎝ ⎛⎭

⎪⎫－π3，12处的切线方程为_________________．

解析： ∵sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫π2－x ＝cos x ， ∴y ′＝(cos x )′＝－sin x ， ∴切线的斜率k ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝32

，

∴过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，12的切线方程为y －12＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，

即33x －6y ＋3π＋3＝0. 答案： 33x －6y ＋3π＋3＝0 三、解答题

7．求下列函数的导数．

(1)y ＝2；(2)y ＝4x 3；(3)y ＝10x

； (4)y ＝log 12

x ；(5)y ＝2cos 2

x

2

－1.

解析： (1)∵y ′＝c ′＝0，∴y ′＝2′＝0. (2)∵y ′＝(x n

)′＝n ·x

n －1

，

∴y ′＝(4x 3

)′＝(x 34 )′＝34

x 3

4 －1

＝3

4

x－

1

4＝

3

4

4

x

.

(3)∵y′＝(a x)′＝a x·ln a，∴y′＝(10x)′＝10x·ln 10.

(4)∵y′＝(log a x)′＝1

x·ln a

，

∴y′＝(log1

2

x)′＝

1

x·l n

1

2

＝－

1

x·ln 2

.

(5)∵y＝2cos2

x

2

－1＝cos x，

∴y′＝(cos x)′＝－sin x.

8．函数y＝log2x的图像上任一点A(a，log2a)处的切线与直线(2ln 2)x＋y－3＝0垂直，求a的值．

解析：y＝log2x在点A(a，log2a)处的切线斜率为

k1＝y′

⎪⎪

⎪

⎪⎪

⎪

x＝a＝

1

x ln 2x＝a＝

1

a ln 2

.

已知直线斜率k2＝－2ln 2.

∵两直线垂直，∴k1k2＝

－2

a

＝－1.∴a＝2.

9.求证：在双曲线xy＝a2(a≠0)上任何一点处的切线与坐标轴构成的三角形的面积为常数(如图)．

证明：因为xy＝a2，所以y＝

a2

x

.

所以y′＝⎝

⎛

⎭⎪

⎫a2

x′＝－

a2

x2

.

函数y＝

a2

x

在图像上的任一点(x0，y0)处的切线斜率k＝－

a2

x20

，y0＝

a2

x0

，所以切线方程是y－y0＝k(x－x0)．

即y－

a2

x0

＝－

a2

x20

(x－x0)，

令x＝0，得y＝

2a2

x0

；