华东交大-离散数学试卷一试题与答案
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华东交大离散数学试题一与答案
一、填空 20% （每小题2分）
1．设
}7|{)},5()(|{<∈=<∈=+
x E x x B x N x x A 且且(N ：自然数集，E + 正偶数） 则
=⋃B A
{０，1，2,3，４，6｝ 。
2．A,B,Ｃ表示三个集合，文图中阴影部分的集合表达式为
A C
B -⊕)( 。
３.设P ，Ｑ 的真值为0,R,Ｓ的真值为1,则
)()))(((S R P R Q P ⌝∨→⌝∧→∨⌝的真值= 1 。
4.公式P R S R P ⌝∨∧∨∧)()(的主合取范式为
)()(R S P R S P ∨⌝∨⌝∧∨∨⌝ 。
5.若解释I 的论域D 仅包含一个元素,则 )()(x xP x xP ∀→∃ 在I 下真
值为 １ 。
6.设Ａ={1,２,3，4},Ａ上关系图为
则 R 2 = {<1,1>, <1，3>, <2，2＞, <2,4> } 。
７．设A={a,b ，c ，ｄ},其上偏序关系R 的哈斯图为
R ＝｛＜a.ｂ>,＜a ，c>,,
８．图的补图为
A B
C
。
9．设A ＝｛ａ,b,c,ｄ} ,Ａ上二元运算如下:
*
a
b c d a b c d
a ｂ ｃ d
b c ｄ a
c d a b ｄ a b c
那么代数系统 二、选择 2０％ （每小题 ２分） 1、下列是真命题的有（C 、 D ） Ａ． }}{{}{a a ⊆; ﻩﻩB ．}}{,{}}{{ΦΦ∈Φ; C. }},{{ΦΦ∈Φ; D ． }}{{}{Φ∈Φ。 ２、下列集合中相等的有（B、C) ⋃；B．{Φ,３,4}; Ａ．{4,3｝Φ Ｃ．{４,Φ，3,3}；D．{3，4}。 3、设A＝{1，2，3｝,则A上的二元关系有( C)个。 A. 23 ;Ｂ．３2 ; C. 332⨯;D．223⨯。 4、设Ｒ，S是集合A上的关系,则下列说法正确的是（A） R 是自反的； Ａ．若R，S 是自反的，则S R 是反自反的； Ｂ.若Ｒ,Ｓ是反自反的，则S R 是对称的; C.若Ｒ，S 是对称的，则S R 是传递的。 Ｄ.若R，S 是传递的，则S 5、设A=｛1,2,3,４｝，Ｐ（A)（A的幂集)上规定二元系如下 t s R= t s p > = < A ∈ ∧ , (| || |} ) ( {t | , s 则Ｐ（A）／R=（Ｄ） A．A ；Ｂ.P(A) ;C.{｛{1}},{｛１,２}},｛｛1，2，３}}，{｛1，２，3,４}}}； Ｄ．{{Φ},{２}，{2,3｝，{{2,3,４}},｛A}} 6、设Ａ={Φ,{１},{1，3}，｛1，2,３}}则A上包含关系“⊆”的哈斯图为( C ) 7、下列函数是双射的为( A ） A．f ：I→Ｅ，f(x）=2x；Ｂ.ｆ: Ｎ→N⨯N, f （ｎ）= C．ｆ: R→Ｉ， f (x）= [x]; D.f:Ｉ→N, f (x)= | x | 。 (注:I—整数集,E—偶数集，N—自然数集，R—实数集) 8、图中从v１到ｖ3长度为3 的通路有（D)条。 Ａ. 0; B. 1； Ｃ. 2；ﻩＤ． 3。 9、下图中既不是Eular 图,也不是Ｈami ｌｔon 图的图是（Ｂ） 10、在一棵树中有７片树叶,3个３度结点,其余都是4度结点则该树有( A ） 个４度结点。 A ．１;ﻩB.2; C.3；ﻩＤ．4 。 三、证明 ２6%ﻩ 1． Ｒ是集合X 上的一个自反关系,求证:R 是对称和传递的,当且仅当< a, ｂ> 和在R 中。(8分) 2. ｆ和g 都是群<Ｇ１ ,★>到< G ２， *>的同态映射,证明 3. G= 2(--≤ k v k e , 由此证明彼得森图(Peters ｏn ）图是非平面 图。(11分) 四、逻辑推演 16％ 用CP 规则证明下题(每小题 8分） １、F A F E D D C B A →⇒→∨∧→∨, 2、)()())()((x xQ x xP x Q x P x ∀→∀⇒→∀ 五、计算 18% 1、设集合A=｛a,b,ｃ,d}上的关系R={ ,< ｂ , ａ > ，< b, c ＞ , < c , ｄ >}用矩阵运算求出R 的传递闭包ｔ (Ｒ）。 (9分） 2、如下图所示的赋权图表示某七个城市721,,,v v v 及预先算出它们之间的一些直接通信线路造价,试给出一个设计方案，使得各城市之间能够通信而且总造价最小。 （9分) 三、证明 ２6％ 1、证: “⇒” X c b a ∈∀,, 若R >c ,a <,>b ,a <∈由R 对称性知 R a ,c <,>a ,b <∈>，由R 传递性得 R >c ,b <∈ “⇐” 若R >b ,a <∈,R >c ,a <∈有 R >c ,b <∈ 任意 X b a ∈,,因 R >a ,a <∈若R >b ,a <∈R >a ,b < ∈∴ 所以Ｒ是对称的。 若R >b ,a <∈,R >c b,<∈ 则 R c b, R >a b,<>∈<∧∈ R >c ,a < ∈∴ 即R 是传递的。 2、证 C b a ∈∀,，有 ) ()(),()(b g b f a g a f ==，又 )()(, )()(111 1b g b g b f b f ----==)()()()(111 1----===∴b g b g b f b f