2006航天器动力学03-基本轨道解析
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cos E e cos f 1 e cos E
见章仁为“卫星轨道姿 态动力学与控制”，p5 －7
根据上式可由平近点角 M 迭代求出偏近点角 E 、 再求出真近点角 f。 从而确定航天器的运动。
a(1 e ) r 1 e cos f
2
2018年10月8日星期一
因此，利用轨道根数可以很直观地 表示航天器的运动，并且只需求解 代数方程。
p h2
πab 1 A h T 2 2π ab T p
p a(1 e2 ) b 1 e2
T 2π
a3
2π 因此轨道平均角速度 n 为： n f 3 T a
2018年10月8日星期一 Page 27
定义：
平近点角M ：航天器从 近地点开始按平均角速 度 n 转过的角度。
航天器的开普勒三大定律
谐和定律：航天器轨道半长 轴的三次方同轨道周期的平 方成正比。
a k 2 T
3
a
T
是轨道半长轴 是航天器的运行周期
k
是与轨道无关的常数
a
a
Page 4
2018年10月8日星期一
轨道的几何描述
O为地球的质心， 也是椭圆的一个焦点. S为航天器的质心.
S
b A
p
r
O
P
P 是近地点 (perigee） A 是远地点 (apogee） a 是半长轴 (semi-major axis) b 是半短轴 (semi-minor axis) p 是半通径 (semi-parameter) e 是偏心率 (eccentricity) c 是半焦距 (semi-focus)
2018年10月8日星期一 Page 20
1、问题的提出
如果用航天器的初始位置和速度 ( x0 , y0 , z0 , x 0 , y 0 , z 0 ) 来描述航天器的运动，则在任一时刻，需要求解 微分方程才能确定航天器的位置，不方便。 另一方面，我们已知航天器在某一个平面内的运动 轨迹为圆锥曲线，如果已知： （1）轨道平面在空间惯性坐标系中的方位； （2）圆锥曲线的方向（长半轴方向）； （3）在某一时刻航天器在轨道的某一个点上， 则可以通过求解代数方程确定任一时刻航天器的位 置。
d2r r 3 2 dt r
x x r3 0 y y 3 0 r z z r3 0
r x y z
2 2
2
如果给定初始条件：
x0 , y0 , z0 , x0 , y0 , z0
就可以计算出以后任意时刻航天器的位置和速度。
2018年10月8日星期一 Page 7
再利用
p
p3
可得到
t
0
dt (1 e cos ) 2
r
E
S
（过程略）
e
物理意义： 为积分常数，表示矢径 r 与 e 重合的 时刻，称为过近地点时间。
2018年10月8日星期一 Page 19
§1.4 航天器的轨道要素
前面介绍了航天器轨道的特点及积分情况， 导出了一些积分常数（ E , h, e, ），根据轨道 运动方程，只有六个参数是独立的。 原则上，要唯一确定航天器的轨道，六个独 立的参数可以有多种选取方法，比如取航天器的 初始位置和速度：( x0 , y0 , z0 , x 0 , y 0 , z 0 ) ，也可以取 E, h, e, 。 但在航天领域，一般习惯用另外的六个独立 参数来描述轨道的状况。
2018年10月8日星期一 Page 21
解决方案：
已知航天器的运动轨迹为圆锥曲线，而圆锥 曲线的统一方程为：
p r 1 e cos
除了p、e 外再引入四个量，可以用这六个独立变 量来描述航天器的轨道运动。 在航天领域，一般习惯用下面的六个独立参数 来描述轨道的状况: i、Ω 、ω 、p、e、τ 。 这些 量称为轨道要素，或轨道根数。
r3
[rr ] r r 2 r
Page 15
v h
r
3
[rr ] r r r
2
积分后为
e的方向
1
(v h
r
r 1 v h [ 2 r r ] 0 r r
？) e r
？
1 r e h (v h) h (r v ) 0 r
E
（3）如果E＝0，临界情况，满足 v p
抛物线
由于已经知道航天器的轨道是圆锥曲线，根据 第（2）点，E<0时r有界，因此是椭圆轨道。 根据第（1）点，E>0时r可以无界，因此是 双曲线轨道。
2018年10月8日星期一 Page 13
2、动量矩积分
d 2r r 3 2 dt r
0 方程两边叉乘 r： r v
数学概念：微分方程的定解由初始条件确定；而方程的积分常数 是初始条件的某种组合。因此方程独立的积分常数数目不超过初 始条件的数目。在轨道问题中，积分常数不超过6个。
因此可能还存在另1个积分常数…
2018年10月8日星期一 Page 18
4、时间积分
利用 h r
2
及 r
h2
p 1 e cos
M n(t )
a
3
(t )
E O f
S
偏近点角 E ：椭圆轨道 存在内、外接圆，航天 器在内、外接圆上的投 影点与椭圆中心对应的 夹角。如图。
2018年10月8日星期一
Page 28
各角度的关系
M
a
3
(t )
求微分方程 与求代数方 程的比较？
M E e sin E
e的大小
e2 e e 1
2 Eh2
2
所以 e 在轨道平面内，且只有一个独立的量。 物理意义此处还不太明确。
关于e的大小，你有何直觉？ 椭圆轨道： E 0 e [0, 1)
2018年10月8日星期一 Page 16
e
1
(v h
r
r
)
v r
E
S e
e的物理意义 两边叉乘r
算例
为解决这 些问题， 需要对轨 道进行深 入研究
问题： （1）如果参数不适当，航天器可能会撞上地球! （2）如何得到希望的轨道？
2018年10月8日星期一 Page 8
一些尝试
假设引力公式为
G ms m r F r r
其中η 不一定为2；Gη为相应的引力常数。 你估计会出现什么现象？
er 1
(v h) r
er 0 可以看出，在一般情况下，
但如果r与v垂直，则 e r 0 所以，e平行于椭圆长轴方向，再根据其大小，e 指向近地点。
2018年10月8日星期一 Page 17
思考
我们已找到了5个积分常数E, h, e。 问题是：当我们求出常数E，h，并为其中所 使用的技巧而得意时，拉普拉斯利用更复杂的技巧 又找到了一个积分常数e…… 那么我们是否求出了微分方程全部的积分常数？ 难到这些微分方程的积分常数会没完没了吗？
2018年10月8日星期一 Page 1
航天器的开普勒三大定律
椭圆定律：航天器绕地球运 动的轨道为一椭圆，地球位 于椭圆的一个焦点上。
2018年10月8日星期一
Page 2
航天器的开普勒三大定律
面积定律：航天器与地球中 心的连线在相同的时间内扫 过的面积相等。
2018年10月8日星期一
Page 3
2018年10月8日星期一
c
a
p a(1 e2 ) b 1 e2 c ae
Page 5
轨道的微分描述
设 Oxyz 为参考坐标系，O为 地球中心，xyz 指向三颗恒星。 设 me 为地球质量，m为航天器 质量，r为航天器的矢径。
Gme m r d2r ma m 2 F 2 dt r r
Page 29
算例
a(1 e2 ) r 1 e cos f
2018年10月8日星期一 Page 22
2、地球赤道惯性坐标系
为了定义轨道根数，有必要先介绍地球赤道惯性坐标系。
定义地球赤道惯性坐标系OXYZ：O在地球中心，X 轴沿地球赤道面与黄道面的交线，Z轴指向北极星。
Z (指向北极星)
黄道面
太 阳
X
春分点方向：春天的头一天地心 与日心的连线
2018年10月8日星期一
x z
F rySE NhomakorabeaO
d2r r 3 2 dt r
G 6.67 1011 m3 / kg s 2
万有引力常数
Gme 3.99 105 km3 / s 2 地心引力常数
这就是航天器绕地球运动的运动微分方程。
2018年10月8日星期一 Page 6
如果在直角坐标系中进行计算：
2018年10月8日星期一
Z
h i
O
r
ω
N
S
e t=τ
Y
Ω
X
Page 25
4、轨道要素描述的公式及计算方法
p r 1 e cos( )
p h
2
S
b
p
O
r
根据几何关系有
a(1 e ) r 1 e cos f
2
ae a
f
N
其中 f 是真近点角：航天器相对于椭圆长轴的极角。 真近点角 f 的变化就是航天器的轨道角速度。
Z
h i
O
r ω
N
S
e t=τ
Y
Ω
X
τ 为过近地点时刻。
Page 24
轨道顷角 i 和升交点赤径Ω 表示了轨道平面在空间 中的方位；近地点幅角ω 表示了轨道的长轴方向；
半通经 p 和偏心率 e 表示了椭圆轨道 的大小及形状；
过近地点时刻τ 表示了航天器在轨 道中的相对位置。 从而这六个量完全确 定了航天器的运动状 况。
两边叉乘 h r v
vh
r
r
3
h
r
r
3
(r v )
利用 a (b c) (a c)b (a b)c
v h
利用 r r rr
r
3
[(r r )r (r r )r ]
v h
2018年10月8日星期一
O
Y
Page 23
3、轨道要素的定义及意义
i 表示轨道顷角，动量矩 h与Z轴的夹角 。 ON 表示节线，是轨道 平面与地球赤道平面的 交线。 Ω 表示升交点赤径，节 线ON与X轴的夹角。 ω 表示近地点幅角，节 线ON与 e 的夹角。 p 为椭圆轨道的半通经。 e 为椭圆轨道的偏心率。
2018年10月8日星期一
2018年10月8日星期一
机械能守恒 角动量守恒
是否存在其它 积分？为什么 要求积分？
Page 11
1、能量积分
d 2r r 3 2 dt r
方程两边点乘 v r
v v
vv
r
3
r r
利用 r r rr
v2 积分后为 E 2 r
动能 势能
2018年10月8日星期一 Page 9
η=1.0
η=1.5
η=2.0 我们的世界
你对 此有 何看 法?
η=2.5
2018年10月8日星期一
Page 10
§1.3 航天器运动微分方程的积分
正如拉氏方程存在首次积分，航天器的运 动方程也存在一些积分。微分方程积分的本质 是寻找机械系统的不变量。这些积分通常有明 显的物理意义。 直观想象： “保守力场” 引力的方向
第一章 航天器的基本轨道
§1.2 航天器运动的基本轨道
开普勒轨道 假设航天器在地球的中心引力场中运动。忽略 太阳、月球的引力，不考虑其它干扰因素。 在这种假设下，航天器相对地球的运动轨道称 为二体轨道。二体轨道是航天器运动的最基本轨道。
与行星绕太阳运动类似，航天器绕地球的运动 也满足开普勒三大定律。
v r
S
h
E
积分后为
r v h
2 h rer (r er reθ ) r
物理意义： 航天器对地球中心的动量矩守恒。并且表明， r 与 v 始终在垂直于 h 的同一平面内，该平面称为 轨道平面。
2018年10月8日星期一 Page 14
3、拉普拉斯积分
d 2r r 3 2 dt r
注意：轨道要素或轨道根数i、Ω 、ω 、p、e、τ 都是 常数，但是轨道角 或真近点角 f 是随时间变化的。如 果求出 f 的变化规律，则航天器的运动完全确定…
2018年10月8日星期一 Page 26
为便于计算真近点角 f ，先推出轨道运行周期、 平均角速度，再引入平近点角M和偏近点角 E 。 由几何关系 及面积定律
r
2
r
r
r
r
r
物理意义：航天器单位质量的机械能守恒。
2018年10月8日星期一 Page 12
不同轨道的能量积分E
v2 E 2 r
v2 2 E r
双曲线 椭圆
2 r
（1）如果E>0，r可以为任何正值； （2）如果E<0，r必须满足 r
见章仁为“卫星轨道姿 态动力学与控制”，p5 －7
根据上式可由平近点角 M 迭代求出偏近点角 E 、 再求出真近点角 f。 从而确定航天器的运动。
a(1 e ) r 1 e cos f
2
2018年10月8日星期一
因此，利用轨道根数可以很直观地 表示航天器的运动，并且只需求解 代数方程。
p h2
πab 1 A h T 2 2π ab T p
p a(1 e2 ) b 1 e2
T 2π
a3
2π 因此轨道平均角速度 n 为： n f 3 T a
2018年10月8日星期一 Page 27
定义：
平近点角M ：航天器从 近地点开始按平均角速 度 n 转过的角度。
航天器的开普勒三大定律
谐和定律：航天器轨道半长 轴的三次方同轨道周期的平 方成正比。
a k 2 T
3
a
T
是轨道半长轴 是航天器的运行周期
k
是与轨道无关的常数
a
a
Page 4
2018年10月8日星期一
轨道的几何描述
O为地球的质心， 也是椭圆的一个焦点. S为航天器的质心.
S
b A
p
r
O
P
P 是近地点 (perigee） A 是远地点 (apogee） a 是半长轴 (semi-major axis) b 是半短轴 (semi-minor axis) p 是半通径 (semi-parameter) e 是偏心率 (eccentricity) c 是半焦距 (semi-focus)
2018年10月8日星期一 Page 20
1、问题的提出
如果用航天器的初始位置和速度 ( x0 , y0 , z0 , x 0 , y 0 , z 0 ) 来描述航天器的运动，则在任一时刻，需要求解 微分方程才能确定航天器的位置，不方便。 另一方面，我们已知航天器在某一个平面内的运动 轨迹为圆锥曲线，如果已知： （1）轨道平面在空间惯性坐标系中的方位； （2）圆锥曲线的方向（长半轴方向）； （3）在某一时刻航天器在轨道的某一个点上， 则可以通过求解代数方程确定任一时刻航天器的位 置。
d2r r 3 2 dt r
x x r3 0 y y 3 0 r z z r3 0
r x y z
2 2
2
如果给定初始条件：
x0 , y0 , z0 , x0 , y0 , z0
就可以计算出以后任意时刻航天器的位置和速度。
2018年10月8日星期一 Page 7
再利用
p
p3
可得到
t
0
dt (1 e cos ) 2
r
E
S
（过程略）
e
物理意义： 为积分常数，表示矢径 r 与 e 重合的 时刻，称为过近地点时间。
2018年10月8日星期一 Page 19
§1.4 航天器的轨道要素
前面介绍了航天器轨道的特点及积分情况， 导出了一些积分常数（ E , h, e, ），根据轨道 运动方程，只有六个参数是独立的。 原则上，要唯一确定航天器的轨道，六个独 立的参数可以有多种选取方法，比如取航天器的 初始位置和速度：( x0 , y0 , z0 , x 0 , y 0 , z 0 ) ，也可以取 E, h, e, 。 但在航天领域，一般习惯用另外的六个独立 参数来描述轨道的状况。
2018年10月8日星期一 Page 21
解决方案：
已知航天器的运动轨迹为圆锥曲线，而圆锥 曲线的统一方程为：
p r 1 e cos
除了p、e 外再引入四个量，可以用这六个独立变 量来描述航天器的轨道运动。 在航天领域，一般习惯用下面的六个独立参数 来描述轨道的状况: i、Ω 、ω 、p、e、τ 。 这些 量称为轨道要素，或轨道根数。
r3
[rr ] r r 2 r
Page 15
v h
r
3
[rr ] r r r
2
积分后为
e的方向
1
(v h
r
r 1 v h [ 2 r r ] 0 r r
？) e r
？
1 r e h (v h) h (r v ) 0 r
E
（3）如果E＝0，临界情况，满足 v p
抛物线
由于已经知道航天器的轨道是圆锥曲线，根据 第（2）点，E<0时r有界，因此是椭圆轨道。 根据第（1）点，E>0时r可以无界，因此是 双曲线轨道。
2018年10月8日星期一 Page 13
2、动量矩积分
d 2r r 3 2 dt r
0 方程两边叉乘 r： r v
数学概念：微分方程的定解由初始条件确定；而方程的积分常数 是初始条件的某种组合。因此方程独立的积分常数数目不超过初 始条件的数目。在轨道问题中，积分常数不超过6个。
因此可能还存在另1个积分常数…
2018年10月8日星期一 Page 18
4、时间积分
利用 h r
2
及 r
h2
p 1 e cos
M n(t )
a
3
(t )
E O f
S
偏近点角 E ：椭圆轨道 存在内、外接圆，航天 器在内、外接圆上的投 影点与椭圆中心对应的 夹角。如图。
2018年10月8日星期一
Page 28
各角度的关系
M
a
3
(t )
求微分方程 与求代数方 程的比较？
M E e sin E
e的大小
e2 e e 1
2 Eh2
2
所以 e 在轨道平面内，且只有一个独立的量。 物理意义此处还不太明确。
关于e的大小，你有何直觉？ 椭圆轨道： E 0 e [0, 1)
2018年10月8日星期一 Page 16
e
1
(v h
r
r
)
v r
E
S e
e的物理意义 两边叉乘r
算例
为解决这 些问题， 需要对轨 道进行深 入研究
问题： （1）如果参数不适当，航天器可能会撞上地球! （2）如何得到希望的轨道？
2018年10月8日星期一 Page 8
一些尝试
假设引力公式为
G ms m r F r r
其中η 不一定为2；Gη为相应的引力常数。 你估计会出现什么现象？
er 1
(v h) r
er 0 可以看出，在一般情况下，
但如果r与v垂直，则 e r 0 所以，e平行于椭圆长轴方向，再根据其大小，e 指向近地点。
2018年10月8日星期一 Page 17
思考
我们已找到了5个积分常数E, h, e。 问题是：当我们求出常数E，h，并为其中所 使用的技巧而得意时，拉普拉斯利用更复杂的技巧 又找到了一个积分常数e…… 那么我们是否求出了微分方程全部的积分常数？ 难到这些微分方程的积分常数会没完没了吗？
2018年10月8日星期一 Page 1
航天器的开普勒三大定律
椭圆定律：航天器绕地球运 动的轨道为一椭圆，地球位 于椭圆的一个焦点上。
2018年10月8日星期一
Page 2
航天器的开普勒三大定律
面积定律：航天器与地球中 心的连线在相同的时间内扫 过的面积相等。
2018年10月8日星期一
Page 3
2018年10月8日星期一
c
a
p a(1 e2 ) b 1 e2 c ae
Page 5
轨道的微分描述
设 Oxyz 为参考坐标系，O为 地球中心，xyz 指向三颗恒星。 设 me 为地球质量，m为航天器 质量，r为航天器的矢径。
Gme m r d2r ma m 2 F 2 dt r r
Page 29
算例
a(1 e2 ) r 1 e cos f
2018年10月8日星期一 Page 22
2、地球赤道惯性坐标系
为了定义轨道根数，有必要先介绍地球赤道惯性坐标系。
定义地球赤道惯性坐标系OXYZ：O在地球中心，X 轴沿地球赤道面与黄道面的交线，Z轴指向北极星。
Z (指向北极星)
黄道面
太 阳
X
春分点方向：春天的头一天地心 与日心的连线
2018年10月8日星期一
x z
F rySE NhomakorabeaO
d2r r 3 2 dt r
G 6.67 1011 m3 / kg s 2
万有引力常数
Gme 3.99 105 km3 / s 2 地心引力常数
这就是航天器绕地球运动的运动微分方程。
2018年10月8日星期一 Page 6
如果在直角坐标系中进行计算：
2018年10月8日星期一
Z
h i
O
r
ω
N
S
e t=τ
Y
Ω
X
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4、轨道要素描述的公式及计算方法
p r 1 e cos( )
p h
2
S
b
p
O
r
根据几何关系有
a(1 e ) r 1 e cos f
2
ae a
f
N
其中 f 是真近点角：航天器相对于椭圆长轴的极角。 真近点角 f 的变化就是航天器的轨道角速度。
Z
h i
O
r ω
N
S
e t=τ
Y
Ω
X
τ 为过近地点时刻。
Page 24
轨道顷角 i 和升交点赤径Ω 表示了轨道平面在空间 中的方位；近地点幅角ω 表示了轨道的长轴方向；
半通经 p 和偏心率 e 表示了椭圆轨道 的大小及形状；
过近地点时刻τ 表示了航天器在轨 道中的相对位置。 从而这六个量完全确 定了航天器的运动状 况。
两边叉乘 h r v
vh
r
r
3
h
r
r
3
(r v )
利用 a (b c) (a c)b (a b)c
v h
利用 r r rr
r
3
[(r r )r (r r )r ]
v h
2018年10月8日星期一
O
Y
Page 23
3、轨道要素的定义及意义
i 表示轨道顷角，动量矩 h与Z轴的夹角 。 ON 表示节线，是轨道 平面与地球赤道平面的 交线。 Ω 表示升交点赤径，节 线ON与X轴的夹角。 ω 表示近地点幅角，节 线ON与 e 的夹角。 p 为椭圆轨道的半通经。 e 为椭圆轨道的偏心率。
2018年10月8日星期一
2018年10月8日星期一
机械能守恒 角动量守恒
是否存在其它 积分？为什么 要求积分？
Page 11
1、能量积分
d 2r r 3 2 dt r
方程两边点乘 v r
v v
vv
r
3
r r
利用 r r rr
v2 积分后为 E 2 r
动能 势能
2018年10月8日星期一 Page 9
η=1.0
η=1.5
η=2.0 我们的世界
你对 此有 何看 法?
η=2.5
2018年10月8日星期一
Page 10
§1.3 航天器运动微分方程的积分
正如拉氏方程存在首次积分，航天器的运 动方程也存在一些积分。微分方程积分的本质 是寻找机械系统的不变量。这些积分通常有明 显的物理意义。 直观想象： “保守力场” 引力的方向
第一章 航天器的基本轨道
§1.2 航天器运动的基本轨道
开普勒轨道 假设航天器在地球的中心引力场中运动。忽略 太阳、月球的引力，不考虑其它干扰因素。 在这种假设下，航天器相对地球的运动轨道称 为二体轨道。二体轨道是航天器运动的最基本轨道。
与行星绕太阳运动类似，航天器绕地球的运动 也满足开普勒三大定律。
v r
S
h
E
积分后为
r v h
2 h rer (r er reθ ) r
物理意义： 航天器对地球中心的动量矩守恒。并且表明， r 与 v 始终在垂直于 h 的同一平面内，该平面称为 轨道平面。
2018年10月8日星期一 Page 14
3、拉普拉斯积分
d 2r r 3 2 dt r
注意：轨道要素或轨道根数i、Ω 、ω 、p、e、τ 都是 常数，但是轨道角 或真近点角 f 是随时间变化的。如 果求出 f 的变化规律，则航天器的运动完全确定…
2018年10月8日星期一 Page 26
为便于计算真近点角 f ，先推出轨道运行周期、 平均角速度，再引入平近点角M和偏近点角 E 。 由几何关系 及面积定律
r
2
r
r
r
r
r
物理意义：航天器单位质量的机械能守恒。
2018年10月8日星期一 Page 12
不同轨道的能量积分E
v2 E 2 r
v2 2 E r
双曲线 椭圆
2 r
（1）如果E>0，r可以为任何正值； （2）如果E<0，r必须满足 r