一元四次方程求根公式(精度高)
本科毕业论文_多项式方程的判别式与求根公式
本科毕业论⽂_多项式⽅程的判别式与求根公式东莞理⼯学院本科毕业论⽂（2015届）题⽬: 多项式⽅程的判别式与求根公式学⽣姓名: 姚培基学号: 201141410230院（系）:计算机学院专业班级: 信息与计算科学（2）班指导教师:起⽌时间: 2015年1⽉—2015年5⽉多项式⽅程的判别式与求根公式摘要: 近代数学史甚⾄能说是⼀部求解多项式⽅程的历史。
对于⾼次⽅程的数值根求解法，⼈们从很早就开始并⼀直探求这样的问题。
⽽且在古代，很多⼈都想出了⼀个办法来解决各种各样的多项式⽅程。
如卡尔⽶诺的《⼤术》，贾宪的《黄帝九章算法细草》，秦九韶的《数书九章》等等。
在⽬前，有关问题求解多项式⽅程根的在⼯程实践中占有举⾜轻重的地位。
如在⼈类的⽣活过程中，经济建设和科学技术的发展过程中，计算⼀直起着⾮常重要的作⽤。
当⼈们在进⾏科学或者⼯程计算时，求解多项式⽅程组更是⾮常容易遇到的问题之⼀。
许多领域如⾃然⽣活和⼯程科学最终都可以归结为求解多项式⽅程组的问题。
这个时候⼈们就通常需要处理求解代数⽅程组的问题，如果当项较简单或变元较少时，计算过程就好相对来说简单⼀些;但是当项⾮常复杂或变元⾮常多的时候，那么其求解的过程中往往会遇到⽐较多的困难。
对多项式⽅程的判别式和求根公式的研究，在理论研究和实际⼯程计算中，具有⼗分重要的意义。
关键词: 多项式; 判别式; 求根公式; MATLABDiscriminant and seek the root of polynomial equationsAbstract: the modern mathematics that would become a history of polynomial equation solution. People long ago began to explore the problem of high order equation of numerical method. But in ancient times, many people have been developed to solve all kinds of method of polynomial equations. Such as "chapter nine of the yellow emperor algorithm fine grass" of jia xian, chiu-shao the number of book chapter nine, Carl mino "big operation" and so on.In nowadays, polynomial equation for the root problem has a pivotal position in the engineering practice. As in human life, economic construction and development of science and technology in the process of calculation is always plays a very important role. In science and engineering calculation, to solve the polynomial equations is one of the most common problems in the natural life and the computing problem in the field of engineering science and many other eventually all boils down to solving the polynomial equations. At this time often need to deal with algebraic equations to solve the problem, if the argument or a simpler, less calculation process is relatively simple; And when the argument is very more or when the item is very complex, itssolving process is often more difficult.The discriminant and seek the root of polynomial equations, in theoretical research and practical engineering calculation, have very important significance.Key words: polynomial; The discriminant. Root formula; MATLAB⽬录⼀、引⾔ (1)（⼀）⼀元⼆次⽅程的判别式和求根与韦达定理 (1)⼆、⼀元多次多项式 (8)（⼀）代数基本定理 (9)（⼆）域论基础 (10)（三）多项式⽅程的判别式 (11)（四）⽜顿恒等式 (12)（五）关于⼀元五次⽅程 (19)三、总结与展望 (20)参考⽂献 (23)致谢 (25)⼀、引⾔在⼈类研究数学的历史长河中，追溯到公元9世纪的波斯，数学家、天⽂学家及地理学家花拉⼦⽶作为第⼀⼈给出了⼀元⼆次⽅程的⼀般解法。
根的表达式
根的表达式一、根的表达式的概念嘿呀，小伙伴们！咱们来聊聊根的表达式这个有趣的东西。
根呢，在数学里可是很重要的概念哦。
比如说在方程里，根就是让方程成立的那些值。
就像一元二次方程ax²+bx+c = 0（a≠0），它的根可以用求根公式来表示，这个求根公式就是根的一种表达式啦。
二、不同类型方程根的表达式1. 一元一次方程一元一次方程的形式是ax + b = 0（a≠0），它的根的表达式就很简单啦，那就是x = -b/a。
这就像是一个小秘密，只要知道方程里的a和b的值，就能轻松算出根来。
比如说2x+3 = 0，这里a = 2，b = 3，那根x就等于-3/2呢。
2. 一元二次方程一元二次方程ax²+bx+c = 0（a≠0）的根的表达式就是著名的求根公式x = [-b±√(b² - 4ac)]/(2a)。
这个公式可厉害啦，不管是什么样的一元二次方程，只要把系数a、b、c代入这个公式，就能找到它的根。
不过要注意哦，当b² - 4ac < 0的时候，方程在实数范围内是没有根的，在复数范围内才有根呢。
3. 高次方程对于高次方程，比如三次方程ax³+bx²+cx + d = 0（a≠0），它的根的表达式就复杂得多啦。
有卡丹公式可以用来求解三次方程的根，但是这个公式比较复杂，理解起来有一定的难度。
四次方程也有相应的求根公式，但是更加复杂。
而五次及五次以上的方程，一般就没有通用的根式表达式来求解了，这也是数学里很神奇的一个地方呢。
三、根的表达式的意义根的表达式有很大的意义哦。
在实际生活中，很多问题都可以转化成方程，然后通过求根的表达式来找到答案。
比如说在工程计算里，计算结构的稳定性可能会用到方程，通过求出根来确定一些关键参数。
在物理学中，像运动学的一些问题，也会用到方程和根的表达式来求解物体的运动状态。
而且在数学的发展历程中，根的表达式的研究也推动了很多理论的发展，像是代数理论等。
一般实系数四次方程的一种求根公式与根的判别法则及其推导
一般实系数四次方程的一种求根公式与根的判别法则及其推导全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：一般实系数四次方程可以写成如下形式：ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0，其中a, b, c, d, e均为实数且a \neq 0。
解这种四次方程是一个相对复杂且困难的问题，因为不像二次方程有求根公式那样简单。
我们可以通过一些方法来解决这个问题。
我们来看一种求根公式的推导过程。
假设我们已经知道了四次方程ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0的根为x_1, x_2, x_3, x_4，我们可以将它写成如下形式：ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = a(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)(x - x_4)我们可以将右边展开得到：a(x^4 - (x_1 + x_2 + x_3 + x_4)x^3 + \cdots + x_1x_2x_3x_4) = 0比较两边系数可得：\begin{cases}b = -(x_1 + x_2 + x_3 + x_4)\\c = x_1x_2 + x_1x_3 + x_1x_4 + x_2x_3 + x_2x_4 + x_3x_4\\d = -(x_1x_2x_3 + x_1x_2x_4 + x_1x_3x_4 + x_2x_3x_4)\\e = x_1x_2x_3x_4\end{cases}这些方程可以用来求解四次方程的根。
虽然这种方法比直接解四次方程要复杂一些，但是它可以帮助我们推导出四次方程的求根公式。
接下来，我们来看一下如何判别四次方程的根的情况。
根据代数基本定理，一个次数为n的多项式方程有n个复数根（包括重根）。
但是对于四次方程，通常我们更感兴趣的是它的实根情况。
我们可以通过计算四次方程的判别式来判断它的实根个数。
对于一般的四次方程ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0，它的判别式可以表示为：\Delta = 256a^3e^3 - 192a^2bde^2 - 128a^2c^2e^2 + 144a^2cd^2e - 27a^2d^4 + 16ab^4e - 4ab^3cd - 8abc^3e +4abcd^2 + b^2c^2e^2 - b^2d^2e - 4bc^3d如果判别式\Delta > 0，则四次方程有两对不相等的实根。
一元四次方程求根公式
(12)
(13)
1 2 2 1 上式两边再加上 x bx y y ，可得 2 4 1 1 2 2 1 2 1 1 2 x bx y b c y x by d x y e 2 2 4 2 4
验证代码如下 std::complex<double> std::complex<double> std::complex<double> std::complex<double> std::complex<double> std::complex<double> std::complex<double> std::complex<double>
2
第1章
一元四次方程求根公式
{ double r = _hypot(x.real(),x.imag()); //模 if(r > 0.0) {//模不为零时，开方 double a = atan2(x.imag(),x.real()); //辐角 n = 1.0 / n; r = pow(r,n); a *= n; return std::complex<double>(r * cos(a),r * sin(a)); } return std::complex<double>(); //模为零时，返回零 } /***************************************************************\ 求解一元四次方程 a*x^4 + b*x^3 + c*x^2 + d*x + e = 0 \***************************************************************/ void Quartic(std::complex<double> x[3] ,std::complex<double> a ,std::complex<double> b ,std::complex<double> c ,std::complex<double> d ,std::complex<double> e) { a = 1.0 / a; b *= a; c *= a; d *= a; e *= a; std::complex<double> p = - 768.0 * e * e * e + 576.0 * b * d * e * e + 384.0 * c * c * e * e - 432.0 * c * d * d * e + 81.0 * d * d * d * d - 432.0 * b * b * c * e * e + 18.0 * b * b * d * d * e + 240.0 * b * c * c * d * e - 54.0 * b * c * d * d * d - 48.0 * c * c * c * c * e + 12.0 * c * c * c * d * d + 81.0 * b * b * b * b * e * e - 54.0 * b * b * b * c * d * e + 12.0 * b * b * b * d * d * d + 12.0 * b * b * c * c * c * e - 3.0 * b * b * c * c * d * d
一元四次方程-16.04.05
b m
4
2
8 y n 8 y n 8 y n 8 y n (22)
b m
4
2
b m
4
2
b m
4
2
写成通解形式就是
b 1
k 2
xk
m 1
k 1
k 2 k 2 b 1 m 8 y 1 n 4
费拉里法 .............................................................................................................1
求根公式（四次项系数为一） .........................................................................6 求根公式（四次项系数不为零） .....................................................................7 求根公式（维基百科） .....................................................................................8 求根公式（MATLAB） .....................................................................................8
上式右端是一个关于 x 的一元二次方程，当 1 1 1 by d 4 b 2 c y y 2 e 2 4 4
一元四次方程的求根公式--黄之
一元四次方程的根式解上海 黄之关于代数方程的求根公式的历史，本文就不多说了，四次方程的求根公式应该属于费拉里的。
一，首先，想重复一次三次方程的求根公式，即d cx bx x x g +++=23)(的零点，首先将g(x)写成：)3272()3)(3()3()(323d bc b b x c b b x x g +-+++-++= 在形式上，使二次项消失。
然后令c b p +-=32,d bc b q +-=32723,23)2()3(q p +=∆, 计算后可得：d b c b bcd d c 3222327110816141271+--+=∆ 则有：2,1,0,223332332=∆--+∆+-+-=-k q e q e b x k i k i ππ 若方程系数都为实数，则0>∆时g(x)有一个实零点和一对共轭虚零点，当0=∆时，g(x)有一个重根，当0<∆时，g(x)有三个不相等的实零点：2,1,0,32cos 323=+-+-=k k p b x πθ 其中))3(2(cos 31p q--=-θ 也许值得一提的是，实系数方程023=+++d cx bx x 的根全部都是实数的充分必要条件是： 02711081614127132223≤+--+d b c b bcd d c 这表明，三个实数r,s,t ，则关于复数321,,x x x 的方程组：321133221321,,x x x t x x x x x x s x x x r =++=++=的解321,,x x x 都是实数的等价条件为：0418********≤+--+t r s r rst t s上式等号成立，等价于321,,x x x 中有某两个数相等.二，现在开始考虑四次方程的求根公式.首先考虑缺三次项的四次方程. 即024=+++e dx cx x 的根，将方程变形，引入一个参数y ：)41()(4122224e y dx x c y y yx x -+--=++ ○1 上式左边是一个平方式，期待右边也是平方式，故而需要：0)4)((22=---e y c y d上述关于y 的方程即：0)4(4223=-+--d ec ey cy y ，以本文开头的三次方程的求根公式解之，令23232)2()3(,38272,431q p d ec c q e c p +=∆-+-=--=，此时还不需要去简化.则得到（只需要取该关于y 的方程的一个实根即可，事实上任何一个根都可以.）： 2,1,0,223332332=∆--+∆+-+=-k q e q e c y k i k i ππ将上面的其中一个y 代入○1，即得到： 222))(2)(()21(c y d x c y y x ---=+ 则原方程可以化为两个二次方程：0)221(2=-+-±cy d y x c y x 由此，可以得到024=+++e dx cx x 的根： 222,1cy d c y c y x -+--±--= 224,3c y dc y c y x ----±-=三，那么最后，来考虑e dx cx bx x x f ++++=234)(的零点，先将f(x)写成：)411612563()4)(2181()4)(83()4()(243224e bd c b b b x d bc b b x c b b x x f +-+-+++-+++-++= 形式上使三次项消失，这可以通过考虑f(x)在某个待定点附近的泰勒展开式做到. 用刚才缺三次项的四次方程的求根公式解之，令：)411612563(4)83(312422e bd c b b c b p +-+--+--=2322432)2181()83)(411612563(38)83(272d bc b c b e bd c b b c b q +--+-+-+-++--=简化上述p,q 的表达式：e bd c p 4312-+-= 2322723831d c ec bcd e b q --++-= 而23)2()3(q p +=∆,其对应的y 为：2,1,0,2231813323322=∆--+∆+-++-=-k q e q e c b y k i k i ππ 事实上只需要取一个实值的y 即可.然后由第二段的缺三次项的四次方程的求根公式就得到最后的解，为了表达简洁，再令： 2,1,0,22332332=∆--+∆+-=-k q e q e t k i k i ππ（只需要取实值，事实上都可以，只需要取其中一个.）t c b s +-=32412 t c b r --=34212 故而e dx cx bx x x f ++++=234)(的四个零点是： 4224132,1b s d bc b r s x -+-+±-= 4224134,3b s d bc b r s x -+--±=可得：224321b s x x bs x x -=+--=+，而从整个过程不难讨论f(x)的零点情况，不再继续.四，事实上在第一段中，把三次方程归结为了形式：03=++q px x ，在这种情况下，只需作变换：zp z x 3-=即可将其归结到二次方程，所以得到第一段的解法. 提出一些问题供练习:1， 求出一个等腰三角形，使得它三个内角的正弦值之和等于它们的余弦值之和.2， 实数x 满足31≤≤-x ，当x 取什么值的时候，函数x x x x f -++++=321)(达到最大值？3，证明：2,1,0),32)1413(cos cos(37671=+-+-k k π，包含了以下三个数： 78sin ,74sin ,72sin πππ 4，证明：1910cos 196cos 194cos )3)1927(cos cos(319611πππ++=+--。
一元四次方程因式分解
一元四次方程因式分解一元四次方程是指次数最高为四次方的单变量方程，其一般形式为ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0。
对于一元四次方程，我们可以通过因式分解的方法将其转化为一元二次方程的形式，从而求得方程的解。
我们可以先对一元四次方程进行因式分解，将其写成两个二次因式相乘的形式。
假设一元四次方程为(ax^2 + bx + c)(dx^2 + ex + f) = 0。
通过展开等式，我们可以得到一个关于系数的方程组。
根据方程组的解，我们可以确定二次因式的具体形式。
在求解方程组时，我们可以利用二次方程的求根公式来求解。
对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，其根可以通过公式x = (-b±√(b^2 - 4ac))/(2a)来求得。
将二次因式的形式代入方程组，我们可以得到与二次方程相似的形式，从而求得二次因式的根。
在求解方程组时，我们需要注意以下几点：1. 方程组的解可以是实数或复数。
当方程组没有实数解时，我们可以得到复数解。
2. 方程组的解可以重复。
即方程组存在重复的根，这在因式分解时是很常见的情况。
通过求解方程组，我们可以得到两个二次因式，从而将一元四次方程因式分解为两个二次因式相乘的形式。
这样，我们就可以通过求解二次因式来求解一元四次方程。
除了因式分解的方法，我们还可以利用其他方法来求解一元四次方程，如配方法、完全平方式等。
每种方法都有其特点和适用范围，我们可以根据具体情况选择合适的方法来求解方程。
总结起来，一元四次方程的因式分解是将其转化为两个二次因式相乘的形式，通过求解二次因式来求解方程。
除了因式分解的方法，还有其他方法可以求解一元四次方程。
不同的方法适用于不同的情况，我们可以根据具体问题选择合适的方法来求解方程。
一元四次方程求根公式(精度高)
目录前言一·一元三次方程求根公式二·笛卡尔待定系数法结合一元三次方程韦达定理 三·费拉里配方法 四·误差计算方法 五·两个求根公式精度对比 六·计算器使用注意事项附录一·一元四次方程有一三重根时的另一种求根公式 附录二·一元四次方程有一对重根时的另一种求根公式 附录三·43x x 取第一种算法的证明过程 附录四·费拉里配方法的详细计算过程前言该文档是在word2003编辑的，如果用更高版本的word 浏览或编辑，某些数学公式可能无法正常显示。
一元四次方程有两种解法，一种是笛卡尔待定系数法，一种是费拉里配方法。
两种解法都需要求解一元三次方程。
因此先介绍一元三次方程的解法。
在求根公式计算过程中，经常会发生相近数相减，因此精度会随之下降，这里给出两个数发生相近数相减的判定条件：将两个数写成a+b 的形式，在判断是否发生相近数相减前，先计算两个中间变量b a i +，b a d +：1·0≥ab0=+b a i ，b a d +=1 2·0<ab⎩⎨⎧≠+-+=+-=+0))),(int(lg(max int(lg 015b a b a b a b a i b a b a b a d b a ++=+计算出b a i +，b a d +后，再判断a+b 是否发生相近数相减。
判定标准如下：1·0=+b a i 或者1-=+b a i 并且31≥+b a d ，a+b 不发生相近数相减。
2·1-<+b a i 或者1-=+b a i 并且31<+b a d ，a+b 发生相近数相减。
下面推导一元三次方程和一元四次方程的求根公式。
一·一元三次方程求根公式一·一 求根公式一元三次方程)0,0,,,(023≠≠∈=+++d a R d c b a d cx bx ax ，求根公式由塔塔利亚首次提出，由卡尔丹诺于1545年在《重要的艺术》上第一次发表。
求解含分式的一元四次方程
求解含分式的一元四次方程一元四次方程是指次数为4的一元多项式方程，通常可以表示为：ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0其中，a、b、c、d、e为实数系数，且a≠0。
在解一元四次方程的过程中，当含有分式时，我们需要将方程转化成一般的四次方程形式。
接下来，我将详细介绍如何求解含有分式的一元四次方程。
1. 将方程转化成标准形式我们先将方程中的分式转化为整式。
假设方程中存在分式部分为m/n，则可令新的未知数为 t = n·x，将方程中的 x 替换为 t/n，从而消除分式。
此时我们得到一个关于未知数 t 的新方程：a(t/n)^4 + b(t/n)^3 + c(t/n)^2 + d(t/n) + e = 0即：a(t^4/n^4) + b(t^3/n^3) + c(t^2/n^2) + d(t/n) + e = 0再将n^4带到n的4次幂项，可以化简为：at^4 + b(t^3n) + c(t^2n^2) + d(tn^3) + en^4 = 0这样，我们就得到了新的一元四次方程。
2. 引入新的未知数为了简化计算，我们可以引入一个新的未知数 y = t^3，将方程转化为关于 y 的新方程。
这里注意到，当我们将 t 替换为 y 的立方根时，方程中的 t 项都会消失，从而简化问题的解法。
3. 求解新方程现在我们得到了一个关于 y 的新方程，即：ay^4 + b(y * n)^2 + c(y * n^2)^2 + d(y * n^3) + e(n^4) = 0化简后可得：ay^4 + bny^2 + cn^2y^2 + dn^3y + en^4 = 0这是一个关于 y 的一元多项式方程，我们可以使用各种求解四次方程的方法来求解。
比如，可以利用求根公式、牛顿法或者分解因式等方法进行求解。
4. 求解得到 t得到 y 的值之后，我们可以通过将 y 的立方根代入原方程中求解得到 t 的值：t = y^(1/3)5. 求解得到 x最后，我们可以通过代入 t 的值来求解 x 的值：x = t/n通过上述步骤，我们可以求解含有分式的一元四次方程，并得到解x 的值。
一元四次方程判别式推导
一元四次方程判别式推导一元四次方程是指只有一个未知数的四次方程，其一般形式为：ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0其中，a、b、c、d、e为已知的实数系数，并且a≠0。
为方便推导，我们将一元四次方程简化为一元二次方程的形式。
我们先通过代换方法将一元四次方程转化为一元三次方程，然后再利用代换方法将一元三次方程转化为一元二次方程。
1.代换方法将一元四次方程转化为一元三次方程以代换x = y - (b / (4a))为例，将该代换带入方程中，并进行展开和化简，可以得到：a(y - (b / (4a)))^4 + b(y - (b / (4a)))^3 + c(y - (b / (4a)))^2 + d(y - (b / (4a))) + e = 0化简后得：a(y^4 - (4b / a)y^3 + (6b^2 / a^2)y^2 - (4b^3 / a^3)y + (b^4 / a^4)) + b(y^3 - (3b / a)y^2 + (3b^2 / a^2)y - (b^3 / a^3)) + c(y^2 - (2b / a)y + (b^2 / a^2)) + d(y - (b / (4a))) + e = 0进一步化简得：a(y^4 - (4b / a)y^3 + (6b^2 / a^2)y^2 - (4b^3 / a^3)y + (b^4 / a^4)) + b(y^3 - (3b / a)y^2 + (3b^2 / a^2)y - (b^3 / a^3)) + c(y^2 - (2b / a)y + (b^2 / a^2)) + dy - (b / (4a)) + e = 0再次化简得一元三次方程：ay^4 + (-3ab / a)y^3 + (3b^2 / a^2)y^2 + (-3b^3 / a^3)y + ((b^4 + 4ac) / a^4)y^0 + ((-b^2d + 4ae) / a^3)y - (b / 4a) = 0其中，等式左边的第一个加号前的系数表示y^4的系数，即a；第二个加号前的系数表示y^3的系数，即(-3ab / a) = -3b；第三个加号前的系数表示y^2的系数，即(3b^2 / a^2) = 3(b^2 / a)；第四个加号前的系数表示y的系数，即(-3b^3 / a^3) = -3(b^3 / a^2)；等式右边的各项为常数。
excel如何求解一元四次方程
excel如何求解一元四次方程在 Excel 中，我们可以通过使用插值函数、求根函数以及多项式拟合函数等方法来求解一元四次方程。
下面是一种常见的方法：方法一：使用插值函数1. 首先在 Excel 中建立一个数据表格，第一列为 x 值，第二列为对应的 y 值。
请确保 x 值列为递增的。
2.在任意一个单元格中输入你想要求解的x值，比如x0。
3.在另外一个单元格中使用插值函数进行求解。
假设插值函数为INTERPOLATE，可以使用以下公式：=INTERPOLATE(x0,A1:B10,2,TRUE)。
其中，A1:B10是数据表格的范围，2表示使用二次插值方法，TRUE表示x 值必须在数据范围内。
这样我们就可以得到对应的y0值。
方法二：使用求根函数1. 同样地，在 Excel 中建立数据表格，第一列为 x 值，第二列为对应的 y 值。
2.选择一个适当的初始值x0。
3.在另外一个单元格中使用求根函数进行求解。
假设求根函数为ROOT，可以使用以下公式：=ROOT(A1:B10,x0)。
其中，A1:B10是数据表格的范围，x0是初始值。
这样我们就可以得到一个根的近似值。
方法三：使用多项式拟合函数1. 同样地，在 Excel 中建立数据表格，第一列为 x 值，第二列为对应的 y 值。
2.选择一个合适的次数，比如四次多项式需要选择次数为43.在另外一组列中，输入多项式拟合函数。
假设拟合函数为POLYFIT，可以使用以下公式：=POLYFIT(A1:B10,4)。
其中，A1:B10是数据表格的范围，4是多项式的次数。
这样我们就可以得到一个多项式函数y=f(x)。
4.在另外一个单元格中输入你想要求解的x值，比如x0。
5.在另外一个单元格中使用多项式拟合函数的结果来计算y0。
假设多项式计算函数为POLYVAL，可以使用以下公式：=POLYVAL(D1:D5,x0)。
其中，D1:D5是多项式拟合函数的结果，x0是待求解的x值。
一三次、四次方程求根公式的发现
一. 三﹑四次方程求根公式的 发现
内容解析
1.三次﹑四次方程问题
花拉子米发现二次方程以后， 数学家们便开始联想三﹑四次方程 的求根问题.
公元前3世纪，阿基米德的图像法.
公元1世纪，我国的《九章算术》出现了特 殊方程的解法.
公元630年左右，唐代的王孝通给出了更一般 的三次方程的解法.
尽管数学家们求得三﹑四次代数 方程任意精度的数值解，但是却没有 给出一般公式.
一元三次方程 ax3 bx2 cx d 0 的求根公式 是1545年由意大利的卡尔达诺发表在《关于 代数的大法》一书中，人们就把它叫做“卡 尔达诺公式”.可是事实上，发现公式的人并 不是卡尔达诺本人，而是塔尔塔利亚 .
卡尔达诺
• 一位颇受欢迎的医生 • 哲学家和数学家 • 占星术家
撰写代数著作《大术》
卡尔达诺
1545年卡尔达诺出版《大术》一书，将 三次方程解的解法公诸于众，从而使自己在 数学界声名鹊起.
数学史上称三次方程的求根公式为：
“卡尔达诺”公式
解 x3 mx n 的法则：
用 x系数三分之一的三次方加上方程常数一半的平方；求这
整个算式的平方根.复制（重复）这一算式，并在第一个算式 中加上方程常数的一半，从第二个算式中减去同一数的一半， 然后，用第一个算式的立方根减去第二个算式的立方根，其
代数学代数学algebraalgebra这个词来源于花拉子这个词来源于花拉子米所著的一本书米所著的一本书早在古巴比伦时代人类很早就掌握了一元二次方程的解法但是直到公元9世纪才有阿拉伯数学家开始对二次方程的一般解法进行了系统理论的研究并给出了求根公式
第七讲 千古谜题
—伽罗瓦的解答
舒城中学 秦国刚
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一元三次方程
一元三次方程、一元四次方程、一元五次以上方程一元三次方程求根公式:以下是传统解法一元二次ax^2 +bx+c=0可用求根公式x= 求解，它是由方程系数直接把根表示出来的公式。
这个公式早在公元9世纪由中亚细亚的阿尔·花拉子模给出。
南宋数学家秦九韶至晚在1247 年就已经发现一元三次方程的求根公式，欧洲人在400 多年后才发现，但在中国的课本上这个公式仍是以那个欧洲人的名字来命名的。
（《数学九章》等）一元三次方程ax^3 +bx^2 +cx+d=0的求根公式是1545年由意大利的卡当发表在《关于代数的大法》一书中，人们就把它叫做“卡当公式”。
可是事实上，发现公式的人并不是卡当本从，而是塔塔利亚（Tartaglia N.,约1499~1557）.发现此公式后，曾据此与许多人进行过解题竞赛，他往往是胜利者，因而他在意大利名声大震。
医生兼数学家卡当得知塔塔利亚总是获胜的消息后，就千方百计地找塔塔利亚探听他的秘密。
当时学者们通常不急于把自己所掌握的秘密向周围的人公开，而是以此为秘密武器向别人挑战比赛，或等待悬赏应解，以获取奖金。
尽管卡当千方百计地想探听塔塔利亚的秘密，但是在很长时间中塔塔利亚都守口如瓶。
可是后来，由于卡当一再恳切要求，而且发誓对此保守秘密，于是塔塔利亚在1539年把他的发现写成了一首语句晦涩的诗告诉了卡当，但是并没有给出详细的证明。
卡当并没有信守自己的誓言，1545年在其所著《重要的艺术》一书中向世人公开了这个解法。
他在此书中写道："这一解法来自于一位最值得尊敬的朋友--布里西亚的塔塔利亚。
塔塔利亚在我的恳求之下把这一方法告诉了我，但是他没有给出证明。
我找到了几种证法。
证法很难，我把它叙述如下。
"从此，人们就把一元三次方程的求根公式称为卡当公式。
塔塔利亚知道卡当把自己的秘密公之于众后，怒不可遏。
按照当时人们的观念，卡当的做法无异于背叛，而关于发现法则者是谁的附笔只能被认为是一种公开的侮辱。
一元多次方程的解法公式
一元多次方程的解法公式一元多次方程的解法公式，那咱可得好好说道说道。
一元多次方程，听起来好像挺吓人，但其实啊，只要咱掌握了方法，也能把它拿下。
先来说说一元二次方程，这可是咱在初中就会接触到的。
对于形如 $ax^2 + bx + c = 0$ 的一元二次方程，咱有个著名的求根公式，就是 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ 。
我记得有一次给学生们讲这个求根公式的时候，有个学生特别可爱，他一脸迷茫地看着我，问：“老师，这公式咋来的呀？我感觉像个魔法咒语。
”我笑着跟他说：“这可不是魔法咒语，这是数学的智慧结晶！”然后我就给他一步一步地推导。
看着他从一开始的迷糊到最后恍然大悟的表情，我心里那叫一个满足。
一元三次方程呢，相对来说就复杂一些。
卡尔丹公式就是用来解决一元三次方程的。
但说实话，在咱们平时的学习和生活中，用到一元三次方程的地方还真不算多。
再来说说一元四次方程，费拉里的方法可以解决它。
不过呢，这对于大多数同学来说，可能有点太高端啦。
其实解一元多次方程，就像是解谜一样。
每一个系数都是一个线索，而我们要做的就是通过各种方法和公式，把那个隐藏的根给找出来。
比如说，我们解一元二次方程 $x^2 + 2x - 3 = 0$ ，这里 $a = 1$ ，$b = 2$ ， $c = -3$ ，代入求根公式，就能算出 $x = 1$ 或者 $x = -3$ 。
在实际解题的时候，有时候我们还可以通过配方法、因式分解法来解一元二次方程。
配方法就是把方程左边配成一个完全平方式，因式分解法呢，就是把方程左边分解成两个一次式的乘积。
就像上次我给学生布置了一道一元二次方程的作业题，有个学生用配方法做得特别巧妙。
他先把方程 $x^2 - 6x + 5 = 0$ 变形为 $(x - 3)^2 - 4 = 0$ ，然后再进一步得出 $(x - 3)^2 = 4$ ，最后算出 $x = 1$ 或者 $x= 5$ 。
一元三次方程、一元四次方程、一元五次以上方程
一元四次方程求根公式笛卡尔法
一元四次方程是指形式为ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0的方程，其中a、b、c、d、e为实数且a≠0。
一元四次方程的求根问题是代数学中的重要问题之一，其解的存在性和求解方法一直备受关注。
而笛卡尔在16世纪提出了一元四次方程的求根公式，被称为笛卡尔法，成为了解决一元四次方程的重要方法之一。
二、笛卡尔法的描述笛卡尔法是一种较为复杂的求根方法，其描述如下：1. 将一元四次方程ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0转化为y^4+py^2+qy+r=0的方程，令x^2=y。
2. 令y=z+u/z，其中u是待定常数，z是变数，代入原方程中得到关于z的方程。
3. 再次变形，得到关于z的代数方程，求解该方程得到z的值。
4. 根据y=z+u/z和x^2=y，解出x的值得到一元四次方程的解。
三、笛卡尔法的优缺点1. 优点：a. 笛卡尔法能够有效地求解一元四次方程的根，为代数方程的求解提供了一种新的思路和方法。
b. 笛卡尔法的解法相对严谨，能够得到准确的根值。
2. 缺点：a. 笛卡尔法求解过程繁琐，需要经过多次复杂的变形和代数运算，b. 笛卡尔法难以直观地解释，不易理解和掌握。
四、使用笛卡尔法求解一元四次方程的示例为了更直观地展示笛卡尔法的具体求解过程，我们选取一个具体的一元四次方程进行求解。
设一元四次方程为2x^4-3x^3+4x^2-5x+6=0。
1. 根据笛卡尔法的描述，首先将方程转化为y^4+py^2+qy+r=0的形式，得到y^4-3y^2+4y-5=0。
2. 令y=z+u/z，代入等价方程中得到z^4+u^2/z^2-3z^2-2u+4+u^2/z^2-5=0。
3. 化简合并同类项得到z^4+z^2(u^2-3)+(-2u+4+u^2/z^2-5)=0。
4. 求解得到z的值，再根据y=z+u/z和x^2=y，解出x的值。
5. 最终得到一元四次方程的解。
五、总结笛卡尔法作为一种传统的求根方法，对于一元四次方程的解法具有一定的重要性。
高次方程求根公式
高次方程求根公式在代数学中，高次方程是指次数大于等于2的多项式方程。
求解高次方程的根是代数学的一个重要研究课题，可以帮助我们解决各种实际问题。
本文将介绍一些常见的高次方程求根公式，其中包括二次方程、三次方程和四次方程的求根公式。
一、二次方程的求根公式二次方程是形如ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b、c为已知实数且a≠0。
求解二次方程的根可以使用以下公式：x = (-b ± √(b^2-4ac))/(2a)其中，±表示两个解，即x的两个可能取值。
如果b^2-4ac大于0，则方程有两个不相等的实根；如果b^2-4ac等于0，则方程有两个相等的实根；如果b^2-4ac小于0，则方程没有实根，但可以有两个共轭复根。
二、三次方程的求根公式三次方程是形如ax^3+bx^2+cx+d=0的方程，其中a、b、c、d 为已知实数且a≠0。
求解三次方程的根可以使用以下公式：x = ∛(-q/2 + √(q^2/4 + p^3/27)) + ∛(-q/2 - √(q^2/4 + p^3/27)) - b/(3a)其中，q = (3ac-b^2)/(9a^2)，p = (3b-9ac)/(27a^2)。
这个公式可以求解三次方程的一个实根，而其他两个根可以通过代入求解得到。
三、四次方程的求根公式四次方程是形如ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0的方程，其中a、b、c、d、e为已知实数且a≠0。
求解四次方程的根可以使用以下公式：x = ±√((-b+√(b^2-4ac))/2a) ±√((-b-√(b^2-4ac))/2a)其中，±表示四个解，即x的四个可能取值。
这个公式可以求解四次方程的所有实根，但需要注意的是，四次方程可能有重根或复根。
需要注意的是，除了二次方程、三次方程和四次方程，高次方程的求根公式并不一定存在。
对于五次及以上的方程，一般无法用有限次的加、减、乘、除和开方运算来求解其根。
一元四次方程例子
一元四次方程例子
这是一个一元四次方程的例子，其形式如下： ax + bx + cx + dx + e = 0。
其中，a、b、c、d、e都是实数系数，且a ≠ 0。
求解这
个方程的一般方法是通过代数方法或数值方法。
例如，考虑以下一元四次方程： x - 2x - 5x + 6x + 9 = 0。
这个方程可以通过因式分解或者求根公式来解决。
通过因式分解，我们可以将这个方程变形为(x - 3x - 3)(x + x + 3) = 0，然后再分
别解出两个二次方程的解。
通过求根公式，我们可以将这个方程转化为一个关于x的三次方程，然后再求出x的值。
无论使用哪种方法，解一元四次方程都需要一些代数知识和技巧。
因此，学生需要在学习代数时，认真学习一元四次方程的解法和应用，以便在数学考试中取得更好的成绩。
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一元四次方程置换群法
一元四次方程置换群法
X1，X2，X3是某个三次方程的对称多项式（X1+X2+X3，
X1*X2+X2*X3+X3*X1，X1*X2*X3均可求），利用三次方程求根公式解出X1，X2，X3；又有X=x1+x2+x3+x4=ω1，接下来根据X，X1，X2，X3解x1，x2，x3，x4.
一元四次方程求根公式，是数学代数学基本公式，由意大利数学家费拉里首次提出证明。
一元四次方程是未知数最高次数不超过四次的多项式方程，应用化四次为二次的方法，结合一元二次方程求根公式求解。
适用未知数最高次项的次数不大于四的多项式方程。
其解法是受一元三次方程求解方法的启发而得到的。
除最初解法外，该方程是还有其他简便解法。
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目录前言一·一元三次方程求根公式二·笛卡尔待定系数法结合一元三次方程韦达定理 三·费拉里配方法 四·误差计算方法 五·两个求根公式精度对比 六·计算器使用注意事项附录一·一元四次方程有一三重根时的另一种求根公式 附录二·一元四次方程有一对重根时的另一种求根公式 附录三·43x x 取第一种算法的证明过程 附录四·费拉里配方法的详细计算过程前言该文档是在word2003编辑的，如果用更高版本的word 浏览或编辑，某些数学公式可能无法正常显示。
一元四次方程有两种解法，一种是笛卡尔待定系数法，一种是费拉里配方法。
两种解法都需要求解一元三次方程。
因此先介绍一元三次方程的解法。
在求根公式计算过程中，经常会发生相近数相减，因此精度会随之下降，这里给出两个数发生相近数相减的判定条件：将两个数写成a+b 的形式，在判断是否发生相近数相减前，先计算两个中间变量b a i +，b a d +：1·0≥ab0=+b a i ，b a d +=1 2·0<ab⎩⎨⎧≠+-+=+-=+0))),(int(lg(max int(lg 015b a b a b a b a i b a b a b a d b a ++=+计算出b a i +，b a d +后，再判断a+b 是否发生相近数相减。
判定标准如下：1·0=+b a i 或者1-=+b a i 并且31≥+b a d ，a+b 不发生相近数相减。
2·1-<+b a i 或者1-=+b a i 并且31<+b a d ，a+b 发生相近数相减。
下面推导一元三次方程和一元四次方程的求根公式。
一·一元三次方程求根公式一·一 求根公式一元三次方程)0,0,,,(023≠≠∈=+++d a R d c b a d cx bx ax ，求根公式由塔塔利亚首次提出，由卡尔丹诺于1545年在《重要的艺术》上第一次发表。
一元三次方程)0,,,(023≠∈=+++a R d c b a d cx bx ax ，，设23b ac p -=，d a abc b q 232792+-=，324p q +=∆，则求根公式为1·Δ=0⑴·p=q=0abx 33,2,1-=⑵·p ≠0，q ≠0ap q b x a p q b x 3)(sgn 3)(sgn 23,21-+-=---=，，2·Δ<0设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=32arccosp q θa b p x 33cos 21-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θ，ab p x 3323cos 22-⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=πθ,ab p x 3343cos 23-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=πθ3·Δ>0aq q b x 322331∆--+∆+-+-=,a i imy a b rey x 333.2*±-= 其中22233∆---∆+--=q q rey ，222333⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆---∆+-=q q im y 求根公式中含有相近数相减，需要改进。
下面给出详细的推导和改进过程。
一·二 推导及改进一元三次方程)0,0,,,(023≠≠∈=+++d a R d c b a d cx bx ax ，，把aby x 3-=代入，整理得0)2792()3(32323=+-+-+d a abc b y b ac y 。
令23b ac p -=，d a abc b q 232792+-=，方程可化为033=++q py y ，再令n m y +=，则3333333)(3)(n mny m n n m mn m n m y ++=+++=+=，移项整理得0)(3333=+--n m mny y 。
对比033=++q py y ，得⎩⎨⎧=+=②q n m p m n -①-33 ① 式两边立方，可得③333p n m -=由①、③可得33n m 、为方程032=-+p qu u 的两根。
设它的判别式为Δ，则324p q +=∆。
实际计算中，p 、q 、Δ采用超长小数算法。
现在根据判别式符号来判断三次方程033=++q py y 根的情况。
一·Δ>0方程032=-+p qu u 有两个不等实根231∆+-==q m u ，232∆--==q n u在复数范围内分别得到21u u 、的三个立方根m q m =∆+-=312，m q m ωω=∆+-⨯=322，m q m ϖϖ=∆+-⨯=332n q n =∆--=312，n q n ωω=∆--⨯=322，n q n ϖϖ=∆--⨯=332 其中231i *+-=ω，231i*--=ϖ。
这样方程组共有九组解，但显然有六组增根。
原因： ∵p mn -=，并且p 是实数， ∴要求mn 也是实数。
而333p n m -=，则只要求33n m 是实数就行了，mn 可以是虚数，即333313322312331321)()()()()()(n m n m n m n m n m n m ======33333333)()()()()()(n m n m mn n m mn n m n m ======ϖϖϖωωωϖω，于是产生增根。
经过排查，只有)()()(233211n m n m n m 、、、、、这三组解适合方程组，把它们代入n m y +=，得到方程033=++q py y 的三个根为33122∆--+∆+-=q q y ，i imy rey y *±=3,2 22233∆---∆+--=q q rey ，222333⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆---∆+-=q q im y 求根公式中含有两种相近数相减，一是q 和∆之间，相近数相减的类型是()b a a b a a >>>+-,02；二是32∆+-q 和32∆--q 之间，相近数相减的类型是33b a b a -±+（同号取减号，异号取加号）。
这两种相近数相减可以改进。
改进方法分别是： b a a +-2=()()()()ba ab ba a ba ab a a ++=++++*+-2222()()()()()()3333333333b a b a b a b a b a b a b a b a -+-+++--+=--+()()23322232ba b a b a b-+-++=（同号）()()()()()()233323333333b a b a b a b a b a b a b a b a -+-+-+-++=-++()()23322232ba b a b a a-+--+=（异号）这样就得到033=++q py y 精确的一个实根和一对共轭虚根。
∴三次方程023=+++d cx bx ax 的三个根为ab y x 311-=，a iimy a b rey x 333.2*±-=。
实际计算中，方程023=+++d cx bx ax 的虚根的虚部是精确的，而实根和实部有且只有一个可能发生相近数相减，精度可能较低，我们需要精细化。
实根和实部可能有以下三种情况： 1·都不发生相近数相减a yb x 311+-=，arey b rex 3+-=2·实根发生相近数相减a reyb rex 3+-=，()221imx rex a d x +-= 3·实部发生相近数相减ay b x 311+-=。
Rex 需要精细化，如果采用Δ<0时生成一元二次方程0112=+-c x b x 的方法，则当⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=2111ax d axc b 发生相近数相减时，实部精度下降。
采用分子有理化的方法可有效避免这个问题。
方法如下：将Rex 拆分，⎪⎭⎫⎝⎛+-=+-+-=++-=a x a x a n b a m b a n m b rex 6Re 6Re 666221，m 、n 同上。
并立即得出21Re Re x x >，原因是m>n 。
21Re ,Re x x 内部可能发生相近数相减，利用平方差、立方和公式实施分子有理化进行改进，由于他们都有两层开方，因此若第一次分子有理化产生的多项式和第二个开方数发生相近数相减，则需要第二次分子有理化。
两次分子有理化产生的多项式都要用超长小数的算法。
然后根据21Re ,Re x x 是否发生相近数相减来判断x Re 的表达式如果21Re ,Re x x 不发生相近数相减，则x Re =⎪⎭⎫⎝⎛+-a x a x 6Re 6Re 21如果21Re ,Re x x 发生相近数相减，可适当对他们进行增减，一个数的增量等于另一个数的减量，使他们的符号相同，而且保证计算结果不变。
改进方法如下设()211Re Re min x x ，=λ，2Re Re 212x x +=λ⑴·0Re Re 21≥+x x由21Re Re x x >推出21Re Re x x >、0Re ,0Re 21<>x x 和21Re x =λ，则0Re ,0Re 212211>++>--λλλλx x⑵·0Re Re 21<+x x由21Re Re x x >推出21Re Re x x <、0Re ,0Re 21<>x x 和11Re x =λ，则0Re ,0Re 212211<++<--λλλλx x上述两种情况得到的两个表达式可写成1b m +和2b n +的形式，其中)(211λλ+-=b b ，)(212λλ++=b b ，再判断1b m +和2b n +的内部是否发生相近数相减。
如果发生相近数相减，则采用平方差、立方和公式实施分子有理化进行改进。
含有的多项式要采用超长小数的算法进行改进，否则上述运算是无意义的。
设1＇Re x =1b m +，2＇Re x =2b n +，则x Re =⎪⎭⎫ ⎝⎛+-a x a x 6＇Re 6＇Re 21。
1＇Re x ，2＇Re x 内部的相近数相减的情况与21Re ,Re x x 的情况一样。
改进方法也一样。
二·Δ=0二次方程有两个相等实根。
23321qn m u u -====。
再细分两种情况。
2—1·q=0此时p=0，021==u u ∴0321===y y y ，∴abx 33,2,1-=，是一三重实根。
讨论a,b,c,d 之间的关系。
由p=q=0可得027********=+-=-d a abc b b ac ，。