计算天体质量的两条思路
2024年高一物理寒假提升(人教版)第二十天：万有引力理论的成就(解析版)
第二十天：万有引力理论的成就万有引力定律的内容的考点：1、预言彗星的回归，发现未知天体；2、根据已知量计算出天体的质量；3、计算中心天体的质量和密度；4、已知近地表运行周期求密度；5、已知地月/卫系统常识可以求出的物理量；6、不同纬度的重力加速度；7、其他星球表面的重力加速度；8、在地球上空距离地心r=R+h 处的重力加速度；9、天体自转对自身结构及表面g 的影响；10、不计自转，万有引力与地球表面的重力加速度。
知识点1：万有引力理论的成就一、“称量”地球的质量解决思路：若不考虑地球自转的影响，地球表面的物体的重力等于地球对物体的引力。
解决方法：mg ＝Gmm 地R 2。
得到的结论：m 地＝gR 2G，只要知道g 、R 、G 的值，就可计算出地球的质量。
知道某星球表面的重力加速度和星球半径，可计算出该星球的质量。
二、计算天体的质量解决思路：质量为m 的行星绕阳做匀速圆周运动时，行星与太阳间的万有引力充当向心力。
解决方法：Gmm 太r 2＝m 4π2T 2r 。
得到的结论：m 太＝4π2r 3GT 2，只要知道引力常量G ，行星绕太阳运动的周期T 和轨道半径r 就可以计算出太阳的质量。
已知引力常量G ，卫星绕行星运动的周期和卫星与行星之间的距离，可计算出行星的质量。
运用万有引力定律，不仅可以计算太阳的质量，还可以计算其他天体的质量。
以地球质量，月球的已知量为例，介绍几种计算天体质量的方法。
已知量求解方法质量的求解公式月球绕地球做匀速圆周运动的周期为T，半径为r 根据万有引力等于向心力，得222GM mm rr T月地月2324rMGT地月球绕地球做匀速圆周运动的半径r和月球运行的线速度v 地球对月球的引力等于月球做匀速圆周运动的向心力，得22M m vG mr r月地月2/M rv G地月球运行的线速度v和运行周期T 地球对月球的引力等于月球做匀速圆周运动的向心力，得2M mG m vr T月地月和22/M mG m v rr月地月两式消去r，解得：3/(2)M v T G地地球的半径R和地球表面的重力加速度g 物体的重力近似等于地球对物体的引力，得2M mmg GR地2R gMG地三、天体密度的计算类型分析方法已知天体表面的重力加速度g和天体半径R。
第七章万有引力与宇宙航行【思维导图+考点通关】(解析版)
第七章万有引力与宇宙航行一、思维导图二、考点通关考点1行星的运动开普勒第一定律(轨道定律)所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上否定了行星圆形轨道的说法，建立了正确的轨道理论，给出了太阳准确的位置 开普勒第二定律(面积定律)对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等描述了行星在其轨道上运行时，线速度的大小不断变化。
解决了行星绕太阳运动的速度大小问题 开普勒第三定律(周期定律)所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等⎝⎛⎭⎫a 3T 2＝k表明了行星公转周期与轨道半长轴间的关系，椭圆轨道半长轴越长的行星，其公转周期越长；反之，其公转周期越短2．行星运动的近似处理实际上，行星的轨道与圆十分接近，在中学阶段的研究中我们可按圆轨道处理。
这样就可以说：(1)行星绕太阳运动的轨道十分接近圆，太阳处在圆心。
(2)对某一行星来说，它绕太阳做圆周运动的角速度(或线速度)大小不变，即行星做匀速圆周运动。
(3)所有行星轨道半径r 的三次方跟它的公转周期T 的二次方的比值都相等，即r 3T 2＝k 。
注：处理行星绕太阳(恒星)的运动问题时，根据题意判断行星轨道是需要按椭圆轨道处理，还是按圆轨道处理，当题中说法是轨道半径时，则可按圆轨道处理。
【典例1】“墨子号”是由中国自主研制的世界上第一颗空间量子科学实验卫星，标志着中国在量子通信技术方面走在了世界前列；其运行轨道为如图所示的绕地球E 运动的椭圆轨道，地球E 位于椭圆的一个焦点上。
轨道上标记了墨子卫星经过相等时间间隔⎝⎛⎭⎫Δt ＝T 14，T 为轨道周期的位置。
则下列说法正确的是( )A ．面积S 1>S 2B．卫星在轨道A点的速度小于其在B点的速度C．T2＝Ca3，其中C为常数，a为椭圆半长轴D．T2＝C′b3，其中C′为常数，b为椭圆半短轴【答案】C【解析】根据开普勒第二定律可知，卫星与地球的连线在相同时间内扫过的面积相等，故面积S1＝S2，A错误；根据开普勒第二定律，卫星在A点、B点经过很短的时间Δt，卫星与地球连线扫过的面积S A＝S B，由于时间Δt很短，则这两个图形均可看作扇形，则12v AΔt·r A＝12v BΔt·r B，且知r A<r B，则v A>v B，B错误；根据开普勒第三定律：所有行星轨道半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等，即a3T2＝k，整理可得T2＝1k a3＝Ca3，其中C＝1k，为常数，a为椭圆半长轴，故C正确，D错误。
(粤教版必修2)3.2《万有引力定律的应用》
(3)由 G Mm mg 可以得到：GM=gR2.由于G和M(地球质量) 2 这两个参数往往不易记住，而g和R容易记住.所以粗略计算
R
时，一般都采用上述代换，这就避开了万有引力常量G值和
地球的质量M值，方便多了.
绕同一中心天体做匀速圆周运动的星体，
距离中心天体越远，星体运行速度越小，运行周期越长，
GMm mv 2 2 m( )2 r ma. r2 r T (2)黄金代换：GMm mg R2
即GM=gR2.
三、人造卫星的特点
1.卫星绕地球的轨道 (1)若是椭圆轨道,地心是椭圆的一个焦点,其运动遵循开普 勒定律. (2)若是圆轨道,卫星所需的向心力由地球对它的万有引力 提供,由于万有引力指向地心,所以卫星圆轨道的圆心必然
4.第一宇宙速度的推导 设地球质量为M,卫星质量为m,卫星到地心的距离为r,卫星
做匀速圆周运动的线速度为v,根据万有引力定律和牛顿第
Mm v2 二定律得: G m , 2 r r GM400 km, M=6×1024 kg,则:
v GM 7.9 km / s. R
轨道半径越大，其运行线速度就越小.
(2)由 G Mm mr2 得 GM , 即ω ∝ 1 ，说明卫星的 2 3 3 运动轨道半径越大，角速度越小.
r
r
r
r 3 即T∝ Mm 4 2 得 (3)由 G T 2 , m 2 r 2 GM r T
r3
，说明卫星
运动的轨道半径越大，其运行周期越长.
一、天体质量和密度的计算
1.求天体质量的思路
绕中心天体运动的其他天体或卫星做匀速圆周运动,做圆周
运动的天体(或卫星)的向心力由中心天体对它的万有引力 提供,利用此关系建立方程求中心天体的质量.
2020高考备考物理重难点《天体运动与人造航天器》(附答案解析版)
重难点05 天体运动与人造航天器【知识梳理】考点一 天体质量和密度的计算1．解决天体（卫星）运动问题的基本思路（1）天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即ma r mv r T m r m rMm G ====2222)2(πω（2）在中心天体表面或附近运动时，万有引力近似等于重力，即2R MmG mg =（g 表示天体表面的重力加速度）．（2）利用此关系可求行星表面重力加速度、轨道处重力加速度： 在行星表面重力加速度：2R Mm Gmg =，所以2R MG g = 在离地面高为h 的轨道处重力加速度：2)(h R Mm G g m +='，得2)(h R MG g +=' 2．天体质量和密度的计算（1）利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R .由于2R Mm G mg =，故天体质量GgR M 2=天体密度：GRgV M πρ43==（2）通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T 和轨道半径r .①由万有引力等于向心力，即r T m rMm G 22)2(π=，得出中心天体质量2324GT r M π=；②若已知天体半径R ，则天体的平均密度3233RGT r V M πρ== ③若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r 等于天体半径R ，则天体密度23GTV M πρ==.可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T ，就可估算出中心天体的密度． 【重点归纳】 1.黄金代换公式（1）在研究卫星的问题中，若已知中心天体表面的重力加速度g 时，常运用GM ＝gR 2作为桥梁，可以把“地上”和“天上”联系起来．由于这种代换的作用很大，此式通常称为黄金代换公式． 2. 估算天体问题应注意三点（1）天体质量估算中常有隐含条件，如地球的自转周期为24 h ，公转周期为365天等． （2）注意黄金代换式GM ＝gR 2的应用． （3）注意密度公式23GTπρ=的理解和应用． 考点二 卫星运行参量的比较与运算 1．卫星的动力学规律由万有引力提供向心力，ma r mv r T m r m rMm G ====2222)2(πω2．卫星的各物理量随轨道半径变化的规律r GM v =；3r GM =ω；GMr T 32π=；2r GM a = （1）卫星的a 、v 、ω、T 是相互联系的，如果一个量发生变化，其它量也随之发生变化；这些量与卫星的质量无关，它们由轨道半径和中心天体的质量共同决定．（2）卫星的能量与轨道半径的关系：同一颗卫星，轨道半径越大，动能越小，势能越大，机械能越大．3．极地卫星和近地卫星（1）极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖． （2）近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9 km/s. （3）两种卫星的轨道平面一定通过地球的球心． 【重点归纳】1．利用万有引力定律解决卫星运动的一般思路 （1）一个模型天体（包括卫星）的运动可简化为质点的匀速圆周运动模型． （2）两组公式卫星运动的向心力来源于万有引力：ma r mv r T m r m rMm G ====2222)2(πω在中心天体表面或附近运动时，万有引力近似等于重力，即：2R MmGmg = （g 为星体表面处的重2．卫星的线速度、角速度、周期与轨道半径的关系⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⇒⇒⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫====减小增大减小减小增大时当半径a T v r r GM a GM r T r GM r GM v ωπω2332 考点三 宇宙速度 卫星变轨问题的分析1．第一宇宙速度v 1＝7.9 km/s ，既是发射卫星的最小发射速度，也是卫星绕地球运行的最大环绕速度．2．第一宇宙速度的两种求法：（1）r mv r Mm G 212=，所以r GMv =1 （2）rmv mg 21=，所以gR v =1.3．第二、第三宇宙速度也都是指发射速度．4.当卫星由于某种原因速度突然改变时（开启或关闭发动机或空气阻力作用），万有引力不再等于向心力，卫星将变轨运行：（1）当卫星的速度突然增加时，r mv rMm G 22<，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大，当卫星进入新的轨道稳定运行时由rGMv =可知其运行速度比原轨道时减小．（2）当卫星的速度突然减小时，r mv rMm G 22>，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，当卫星进入新的轨道稳定运行时由rGMv =可知其运行速度比原轨道时增大．卫星的发射和回收就是利用这一原理．1.处理卫星变轨问题的思路和方法（1）要增大卫星的轨道半径，必须加速；（2）当轨道半径增大时，卫星的机械能随之增大．2.卫星变轨问题的判断：（1）卫星的速度变大时，做离心运动，重新稳定时，轨道半径变大．（2）卫星的速度变小时，做近心运动，重新稳定时，轨道半径变小．（3）圆轨道与椭圆轨道相切时，切点处外面的轨道上的速度大，向心加速度相同.3.特别提醒:“三个不同”（1）两种周期——自转周期和公转周期的不同（2）两种速度——环绕速度与发射速度的不同，最大环绕速度等于最小发射速度（3）两个半径——天体半径R和卫星轨道半径r的不同【限时检测】（建议用时：30分钟）1．（2019·新课标全国Ⅰ卷）在星球M上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把物体P轻放在弹簧上端，P由静止向下运动，物体的加速度a与弹簧的压缩量x间的关系如图中实线所示。
万有引力定律的应用1
例4.两颗靠的很近的恒星成为双星， 这两颗星必须各自以一定的速率绕 某一中心转动。已知双星的质量分 别为m1和m2，相距为L，求： （1）双星转动中心的位置 （2）双星的转动周期
1、重力等于万有引力
两 条 2 黄金代换：GM＝gR 基 本 2、万有引力提供向心力 思 G Mm ma m v mr mr ( 2 ) r r T 路 2 3 4 r
例2.假如做圆周运动的人造地球卫星的轨道半径增大到原来 的2倍，仍做圆周运动，则（CD ）
二、天体密度的计算
gR M G
2
4 3 v R 3 M V
3g 4 RG
二、天体密度的计算
M
4 r
2 3 2
GT
3 r
2
3 3
GT R
4 3 v R 3 M V
当r=R时
2 2 2 向
Mm mg G 2 R
gR2 M G
2
M
GT 2
明确各个物理量
转动天体m
轨道半经r
中心天体M 天体半经R
三、发现未知天体
海王星的轨道由 英国的剑桥大学的学 生亚当斯和法国年轻 的天文爱好者勒维耶 各自独立计算出来。 1846年9月23日晚， 由德国的伽勒在勒维 耶预言的位置附近发 现了这颗行星,人们 称其为“笔尖下发现 的行星” 。
海王星
三、发现未知天体
科学史上的一段佳话 当时有两个青年——英国的亚当斯和法 国的勒威耶在互不知晓的情况下分别进行 了整整两年的工作。1845年亚当斯先算出 结果，但格林尼治天文台却把他的论文束 之高阁。1846年9月18日，勒威耶把结果寄 到了柏林，却受到了重视。柏林天文台的 伽勒于1846年9月23日晚就进行了搜索，并 且在离勒威耶预报位置不远的地方发现了 这颗新行星。 海王星的发现使哥白尼学说 和牛顿力学得到了最好的证明。
天体质量的计算方法(万有引力理论的成就)
万有引力理论的成就之天体的计算方法一、计算天体的质量基本思路1．地球质量的计算利用地球表面的物体，若不考虑地球自转，质量为m 的物体的重力等于地球对物体的万有引力，即mg ＝GMm R 2，则M ＝gR 2G ，由于g 、R 已经测出，因此可计算出地球的质量．2．太阳质量的计算利用某一行星：由于行星绕太阳的运动，可看做匀速圆周运动，行星与太阳间的万有引力充当向心力，即G Mm r 2＝m ω2r ，而ω＝2πT ，则可以通过测出行星绕太阳运转的周期和轨道半径，得到太阳质量M ＝4π2r 3GT 2.3．其他行星质量的计算利用绕行星运转的卫星，若测出该卫星绕行星运转的周期和轨道半径同样可得出行星的质量．二、计算天体的质量具体方法1．“称量”地球的质量如果不考虑地球自转的影响，地球上的物体所受重力等于地球对它的万有引力．由万有引力定律mg ＝GMm R 2得M ＝gR 2G ，其中g 为地球表面的重力加速度，R 为地球半径，G 为万有引力常量． 从而得到地球质量M ＝5.96×1024 kg .通过上面的过程我们可以计算地球的质量，通过其它的方法，或者说已知另外的一些条件能否测出地球质量．2．天体质量计算的几种方法(1)若已知月球绕地球做匀速圆周运动的周期为T ，半径为r ，根据万有引力等于向心力，即GM 地·m 月r 2＝m 月r ⎝⎛⎭⎫2πT 2，可求得地球质量M 地＝4π2r 3GT 2.(2)若已知月球绕地球做匀速圆周运动的半径r 和月球运动的线速度v ，由于地球对月球的引力等于月球做匀速圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律，得G M 地·m 月r 2＝m 月v 2r .解得地球的质量为M 地＝rv 2/G.(3)若已知月球运行的线速度v 和运行周期T ，由于地球对月球的引力等于月球做匀速圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律，得G M 地·m 月r 2＝m 月·v ·2πT .G M 地·m 月r 2＝m 月v 2r .以上两式消去r ，解得M 地＝v 3T/(2πG)．(4)若已知地球的半径R 和地球表面的重力加速度g ，根据物体的重力近似等于地球对物体的引力，得mg ＝G M 地·m R 2，解得地球质量为M 地＝R 2g G .由以上论述可知，在万有引力定律这一章中，求天体质量的方法主要有两种：一种方法是根据天体表面的重力加速度来求天体质量，即g ＝G M R 2，则M ＝gR 2G ，另一种方法是根据天体的圆周运动，即根据天体做匀速圆周运动的向心力由万有引力提供，列出方程：G Mm r 2＝m 4π2T 2r ＝m v 2r ＝m ω2r 来求得质量M ＝4π2r 3GT 2＝v 2r G ＝ω2r 3G用第二种方法只能求出圆心处天体质量(即中心天体)．3．天体密度的计算(1)利用天体表面的重力加速度来求天体的自身密度．由mg ＝GMm R 2和M ＝ρ·43πR 3，得ρ＝3g 4πGR .其中g 为天体表面重力加速度，R 为天体半径．(2)利用天体的卫星来求天体的密度．设卫星绕天体运动的轨道半径为r ，周期为T ，天体半径为R ，则可列出方程：G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，M ＝ρ·43πR 3，得ρ＝M43πR 3＝4π2r 3/GT 243πR 3＝3πr 3GT 2R 3.当天体的卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r 等于天体半径R ，则天体密度为：ρ＝3πGT 2.名师点拨：在已知重力加速度求天体质量或密度时，通常可以利用重力等于万有引力，重力就是环绕天体运动的向心力以及圆周运动的规律求解．名师点拨：在行星表面的物体的重力等于行星对它的万有引力，在行星附近飞行的飞船，由万有引力提供其做圆周运动的向心力．。
万有引力理论的成就(原卷版)-高一物理同步精品讲义(人教版)
②
③
天体密度的计算
ρ＝ ＝
①ρ＝ (gR2＝GM)
②ρ＝
③ρ＝
r＝R时：ρ＝
④ρ＝
r＝R时：ρ＝
4.
(1)掌握一个模型
天体(包括卫星)的运动可简化为质点的匀速圆周运动模型。
(2)记住两组公式
G ＝m ＝mω2r＝m r＝ma
mg＝ (g为星体表面处的重力加速度)
即GM＝R2g，该公式通常被称黄金代换。
A.m1、m2做圆周运动的线速度之比为3:2
B.m1、m2做圆周运动的角速度之比为3:2
C.m1做圆周运动的半径为 L
D.m2做圆周运动的半径为 L
二、多项选择题
9.已知某星球半径为R，表面处的重力加速度为g，一探测器在距该星球表面高度为3R处绕其做匀速圆周运动，下列说法正确的是（ ）
A.探测器的周期为4π
双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力，即 ＝m1ω2r1＝m2ω2r2。
（4）双星问题的两个结论
①运动半径：m1r1＝m2r2，即某恒星的运动半径与其质量成反比。
②质量之和：由于ω＝ ，r1＋r2＝L，因此两恒星的质量之和m1＋m2＝ 。
1．判断下列说法的正误．
(1)地球表面的物体的重力一定等于地球对它的万有引力．(×)
A.木卫2的周期大于木卫1的周期
B.木卫2的线速度大于木卫1的线速度
C.木卫2的角速度大于木卫1的角速度
D.木卫2的向心加速度大于木卫1的向心加速度
6.如图所示，实线圆表示地球，竖直虚线a表示地轴，虚线圆b、c、d、e表示地球卫星可能的轨道，对于此图，下列说法正确的是（ ）
A.b、c、d、e都可能是地球卫星的轨道
C．b、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度
教育部参赛-万有引力理论的成就-尹香君
6.4《万有引力理论的成就》教案【教学背景】本节教材简要介绍了万有引力理论在天文学上的重要应用，是对万有引力定律的一个具体理解和应用。
通过这一节课的学习，一方面要使学生了解运用万有引力定律解决问题的思路和方法，另一方面还要能体会到科学定律对人类探索未知世界的作用，激发学习兴趣和对科学的热爱之情。
【教材分析】本节教材简要介绍了万有引力理论在天文学上的重要应用，即“计算天体的质量”，“发现未知天体”。
教材首先通过“科学真是迷人”，在不考虑地球自转影响的情况下，认为地面上的物体所受重力和引力相等，进而得到只要知道了地球表面的重力加速度和引力常量G，即可计算出地球的质量。
最后从科学史的角度，简要介绍了亚当斯和勒维耶发现海王星的过程，都显示了万有引力理论的巨大成就。
本节内容是这一章的重点，是万有引力定律在实际中的具体应用．利用万有引力定律除了可求出中心天体的质量外还可发现未知天体．【学情分析】学生在学习本节内容之前，已经学习了匀速圆周运动的相关知识，知道匀速圆周运动的向心力由合外力提供，初步掌握了利用牛顿第二定律和向心力表达式处理匀速圆周运动的方法。
在前一节又学习了万有引力定律，但不熟悉运用万有引力定律解决实际问题的思路和方法。
学生对天文学的研究方法相对比较陌生，不了解万有引力理论所取得的成就。
【教学目标】知识与技能方面：（1）通过“称量地球质量”、“计算天体质量”的学习，学会运用万有引力定律计算天体的质量；（2）通过“发现未知天体”，“成功预测彗星的回归”等内容的学习，了解万有引力定律在天文学上的重要应用。
过程与方法方面：运用万有引力定律计算天体质量，体验运用万有引力解决问题的基本思路和方法。
情感态度与价值观方面：（1）.通过“发现未知天体”、“成功预测彗星的回归”的学习，体会科学定律在人类探索未知世界的作用；（2）.通过了解我国天文观测技术的发展，激发学习的兴趣，养成热爱科学的情感。
【重难点】重点：计算天体的质量难点：运用万有引力定律解决问题的思路和方法【教学方法】为更好地完成教学目标，突破重难点，结合本节课的要求和特点我采用的教学方法为目标导学法、教师引领学生自主探究法、发现法、多媒体演示法等多种方法综合运用。
2024_2025学年新教材高中物理第七章万有引力与宇宙航行3
3.万有引力理论的成就课标要求1.理解“称量地球质量”的基本思路，理解计算太阳质量的基本思路，能将其推广到其他中心天体质量的计算．(物理观念)2．通过对天体质量和密度的计算，理解利用万有引力定律解决天体问题的基本思路和方法；通过计算天体质量、发觉未知天体等理解万有引力定律的应用．(科学思维)必备学问·自主学习——突出基础性 素养夯基一、“称量”地球的质量1为m 的物体所受的重力mg 等于________________________．2．关系式：mg ＝________．3．结果：m 地＝________，只要知道g 、R 、G 的值，就可计算出地球的质量． 4．推广：若知道某星球表面的重力加速度和星球半径，可计算出该星球的________． 二、计算天体的质量1．思路：质量为m 的行星【知道行星的运行周期】绕太阳做匀速圆周运动，向心力由它们之间的________供应．2．关系式：Gmm 太r 2＝m4π2T 2r 【明确各个物理量】3．结论：m 太＝4π2r 3GT 2，测出行星公转周期T 和它与太阳的距离r ，就可以算出太阳的________．4．推广：已知引力常量G，只要测得卫星绕行星运动的________和卫星与行星之间的距离，就可计算行星的质量．三、天文现象的预料及其他成就1．发觉未知天体：____________和____________依据天王星的观测资料，利用万有引力定律计算出天王星外“新”行星的轨道．德国的______在勒维耶预言的位置旁边发觉了这颗行星——海王星【“笔尖下发觉的行星”】．2．预言哈雷彗星回来：英国天文学家________，计算出哈雷彗星的周期约为76年，并预言这颗彗星将于1758年底或1759年初回来．3．其他成就(1)说明潮汐现象：海水受到________________的万有引力．(2)推想地球形态：赤道略鼓，两极略扁的________．(3)重力探矿．走进生活美国航天员斯科特于1971年登上月球后，在月球表面做了一个试验：将一片羽毛和一个铁锤从同一高度由静止同时释放，二者几乎同时落地．若羽毛和铁锤是从高度为h处下落，经时间t落到月球表面．已知引力常量为G.请做出以下推断．(不考虑月球自转的影响)(1)羽毛和铁锤几乎同时落地是因为月球上没有空气阻力．( )(2)依据所给数据可求得月球表面的自由落体加速度大小g月．( )(3)依据所给数据可求出月球的质量M.( )(4)依据所给数据可求出月球的平均密度ρ.()关键实力·合作探究——突出综合性素养形成探究点一天体的质量和密度的计算情境探究视察下面两幅图片，请思索：(1)假如知道自己的重力，你能否求出地球的质量？ (2)如何能测得太阳的质量呢？答： 核心归纳 1.天体质量的计算 (1)重力加速度法知道中心天体表面的重力加速度和半径： G MmR 2＝mg→M＝gR 2G.(2)环绕法行星或卫星受到的万有引力充当向心力： G Mmr 2＝m(2πT)2r ＝mω2r ＝m v 2r ，知：测出T 和测出ω和测出v 和2．天体密度的计算方法若天体(如地球)的半径为R ，则天体(如地球)的密度ρ＝m 地43πR 3，将m 地＝4π2r 3GT 2代入上式可得ρ＝3πr 3GT 2R 3.特别状况，当卫星环绕天体(如地球)表面运动时，其轨道半径r 可认为等于天体(如地球)半径R ，则ρ＝3πGT 2.应用体验题型1 “重力加速度法”估算天体的质量例1 航天员在某星球表面，将一质量为m 的小球由静止释放，小球做自由落体运动，测得小球下落高度为h ，所用的时间为t ，若该星球的半径为R ，引力常量为G ，则该星球的质量为( )A ．M ＝Gt 22hR2B ．M ＝2hR 2Gt 2C ．M ＝hR 22Gt 2D ．M ＝2Gt 2hR 2[试解] 题型2 “环绕法”估算天体的质量例2 2024年4月，我国自主研发的空间站“天和”核心舱胜利放射并入轨运行．若核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动，已知引力常量G ，由下列物理量能计算出地球质量的是( )A ．核心舱的质量和绕地半径B ．核心舱的质量和绕地周期C ．核心舱的绕地角速度和绕地周期D ．核心舱的绕地线速度和绕地半径[试解]【方法技巧】计算中心天体质量的两条基本思路(1)利用万有引力供应向心力计算，常用公式G Mmr 2＝m v 2r ＝mrω2＝mr 4π2T 2＝mωv；(2)利用mg ＝G MmR 2计算．题型3 计算天体的密度例 3 近年来，人类放射的多枚火星探测器已经相继在火星上着陆进行科学探究，为我们将来登上火星、开发和利用火星资源奠定基础．假如火星探测器环绕火星做“近地”匀速圆周运动，并测得该运动的周期为T ，则火星的平均密度ρ的表达式为(k 为某个常量)( )A．ρ＝kT B．ρ＝kTC．ρ＝kT2D．ρ＝kT2[试解]针对训练1 (多选)已知引力常量G，地球表面处的重力加速度g，地球半径R，地球上一个昼夜的时间T1(地球自转周期)，一年的时间T2(地球公转周期)，地球中心到月球中心的距离L1，地球中心到太阳中心的距离L2，你能计算出( )A．地球的质量m地＝gR2GB．太阳的质量m太＝4π2π23ππ22C．月球的质量m月＝4π2π13ππ12D．太阳的平均密度ρ＝3πππ22探究点二天体运动的分析与计算情境探究如图所示，神舟十三号与天和核心舱组合体在围绕地球做圆周运动．[沟通探讨](1)组合体绕地球做圆周运动的向心力来源是什么？(2)若已知组合体的质量为m，轨道半径为r，地球质量为M，引力常量为G，如何求组合体的线速度、角速度及周期？答：核心归纳1.一个模型一般行星或卫星的运动可看作匀速圆周运动． 2．两条思路(1)万有引力供应向心力：Gm 天m r 2＝ma n ＝m v 2r ＝mω2r ＝m4π2T 2r.(2)物体在天体表面时受到的万有引力等于物体的重力，由mg ＝G m 天m R2，得gR 2＝Gm 天，这表明gR 2与Gm 天可以相互替代．该公式通常被称为黄金代换式．3．天体运动的物理量与轨道半径的关系应用体验例4[2024·广东卷]“祝融号”火星车须要“休眠”以度过火星寒冷的冬季．假设火星和地球的冬季是各自公转周期的四分之一，且火星的冬季时长约为地球的1.88倍．火星和地球绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动．下列关于火星、地球公转的说法正确的是( )A ．火星公转的线速度比地球的大B ．火星公转的角速度比地球的大C ．火星公转的半径比地球的小D ．火星公转的加速度比地球的小[试解] 针对训练2 [2024·山东卷]“羲和号”是我国首颗太阳探测科学技术试验卫星．如图所示，该卫星围绕地球的运动视为匀速圆周运动，轨道平面与赤道平面接近垂直．卫星每天在相同时刻，沿相同方向经过地球表面A点正上方，恰好绕地球运行n圈．已知地球半径为R，自转周期为T，地球表面重力加速度为g，则“羲和号”卫星轨道距地面高度为( )A.(gR2T22n2π2)13−R B.(gR2T22n2π2)13C.(gR2T24n2π2)13−R D.(gR2T24n2π2)13【视野拓展】双星模型(1)模型建构在天体运动中，将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动的星球称为双星．(2)模型特点①运动学特点：两星的运动周期和角速度是相等的，线速度与各自的轨道半径成正比．②动力学特点：万有引力供应向心力．G m1m2L2＝π1π12π1＝m1r1ω2＝m1r14π2T2G m1m2L2＝π2π22π2＝m2r2ω2＝m2r24π2T2其中r1＋r2＝L.例5[2024·黑龙江哈尔滨市10月联考]“双星系统”由相距较近的两颗恒星组成，每颗恒星的半径远小于两颗恒星之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体，它们在相互间的万有引力作用下绕某一点做匀速圆周运动．如图所示为某一双星系统，A恒星的质量为m1，B恒星的质量为m2，A恒星的线速度大小为v1，B恒星的线速度大小为v2，它们中心之间的距离为L，引力常量为G，则下列说法正确的是( )A.A恒星的轨道半径为m1m1+m2LB．双星系统的运行周期为2πL√LG(m1+m2)C．B恒星的轨道半径为m2m1LD．A恒星与B恒星线速度大小之比为v1v2＝m1m2[试解]【方法技巧】解决双星问题的关键对于双星问题，关键抓住“四个相等”，即向心力、角速度、周期大小相等，轨道半径之和等于两星间距，然后运用万有引力供应向心力列式求解．评价检测·素养达标——突出创新性素养达标1．下列说法正确的是( )A．海王星是人们干脆应用万有引力定律计算出轨道而发觉的B．天王星是人们依据万有引力定律计算出轨道而发觉的C．海王星是人们经过长期的太空观测而发觉的D．天王星的运行轨道与由万有引力定律计算出的轨道存在偏差，其缘由是天王星受到轨道外的行星的引力作用，由此人们发觉了海王星2.(多选)如图所示，a、b是两颗绕地球做匀速圆周运动的人造卫星，它们距地面的高度分别是R和2R(R为地球半径)．下列说法正确的是( )A．a、b的线速度大小之比是√2∶1B．a、b的周期之比是1∶2√2C．a、b的角速度之比是3√6∶4D．a、b的向心加速度大小之比是9∶43．[2024·全国乙卷]2024年3月，中国航天员翟志刚、王亚平、叶光富在离地球表面约400 km的“天宫二号”空间站上通过天地连线，为同学们上了一堂精彩的科学课．通过直播画面可以看到，在近地圆轨道上飞行的“天宫二号”中，航天员可以自由地漂移，这表明他们( )A．所受地球引力的大小近似为零B．所受地球引力与飞船对其作用力两者的合力近似为零C．所受地球引力的大小与其随飞船运动所需向心力的大小近似相等D．在地球表面上所受引力的大小小于其随飞船运动所需向心力的大小4．(多选)科学家在探讨地—月组成的系统时，从地球向月球放射激光，测得激光来回时间为t.若还已知引力常量G，月球绕地球旋转(可看成匀速圆周运动)的周期T，光速c(地球到月球的距离远大于它们的半径)．则由以上物理量可以求出( )A ．月球到地球的距离B ．地球的质量C ．月球受地球的引力D ．月球的质量5．(多选)冥王星与其旁边的星体卡戎可视为双星系统，质量之比约为7∶1，同时绕它们连线上某点O 做匀速圆周运动．由此可知卡戎绕O 点运动的 ( )A ．角速度大小约为冥王星的7倍B ．向心力大小约为冥王星的17 C ．轨道半径约为冥王星的7倍 D ．周期大小与冥王星周期相同3．万有引力理论的成就 必备学问·自主学习一、1．地球对物体的引力 2．G mm 地R 23.gR 2G4．质量 二、 1．万有引力 3．质量 4．周期 三、1．亚当斯 勒维耶 伽勒2．哈雷3．(1)月球和太阳 (2)椭圆球体 走进生活答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)×关键实力·合作探究探究点一提示：(1)人的重力近似认为等于受到的万有引力，依据mg ＝G m 地m R 2可求地球质量． (2)地球绕太阳转动时的向心力由万有引力供应，依据Gm 太m 地r 2＝m 地(2πT)2r 可求太阳质量．【例1】 【解析】 小球下落过程，据自由落体运动规律有：竖直方向：h ＝12gt 2，得重力加速度g ＝2ht2，对星球表面上质量为m 的物体有：mg ＝G MmR2，解得该星球的质量M ＝2hR 2Gt 2，选项B 正确．【答案】 B【例2】 【解析】 地球对核心舱的万有引力供应核心舱做圆周运动所需的向心力，则有GMm r2＝m v 2r＝mω2r ＝m (2πT)2r ，可得M ＝v 2r G＝ω2r 3G＝4π2r 3GT 2，由题意知引力常量G ，可以求出地球质量M 的物理量组合为核心舱的绕地线速度v 和绕地半径r 、核心舱的绕地角速度ω和绕地半径r 、核心舱的绕地周期和绕地半径r ，故A 、B 、C 错误，D 正确．【答案】 D【例3】 【解析】 探测器绕火星做“近地”匀速圆周运动，万有引力供应向心力，有G MmR 2＝m4π2T2R ，解得火星的质量M ＝4π2GT2R 3，则火星的平均密度为ρ＝M 43πR3＝3πGT2＝kT2(k ＝3πG为常量)，D 项正确．【答案】 D针对训练1 解析：对地球表面的一个物体m 0来说，应有m 0g ＝Gm 地m 0R 2，所以地球质量m 地＝gR 2G，故A 项正确；地球绕太阳运动，有ππ太π地π22＝m地4π2π2π22，则m太＝4π2π23ππ22，故B 项正确；同理，月球绕地球运动，能求出地球质量，无法求出月球的质量，故C 项错误；由于不知道太阳的半径，不能求出太阳的平均密度，故D 项错误．答案：AB 探究点二提示：(1)地球对组合体的万有引力供应组合体绕地球做圆周运动的向心力． (2)依据万有引力供应向心力，即G Mmr 2＝m v 2r ＝mω2r ＝m (2πT)2r 求得．【例4】 【解析】 依据题述，火星冬季时长为地球的1.88倍，可知火星绕太阳运动的周期是地球的1.88倍，由开普勒第三定律可知，火星绕太阳做匀速圆周运动的轨道半径比地球绕太阳做匀速圆周运动的轨道半径大，C 项错误；由万有引力供应向心力有G Mmr2＝m v 2r ，解得v ＝√GM r ，由r 火>r 地可得v 火<v 地，A 项错误；由万有引力供应向心力有G Mmr2＝mω2r ，解得ω＝√GM r3，由r 火>r 地可得ω火<ω地，B 项错误；由万有引力供应向心力有G Mmr2＝ma ，解得a ＝GMr 2，由r 火>r 地可得a 火<a 地，D 项正确．【答案】 D针对训练2 解析：依题意可知卫星的绕行周期T 0＝Tn ，对卫星依据牛顿其次定律可得G Mm(R +h )2＝π(π+π)·4π2π02，依据黄金代换式gR 2＝GM ，联立解得h ＝(gR 2T 24n 2π2)13－R ，C 正确．答案：C【例5】 【解析】 设A 恒星的轨道半径为R ，B 恒星的轨道半径为r, 由双星相互之间的万有引力供应向心力有Gm 1m 2L2＝m 1ω2R ＝m 2ω2r ，即m 1R ＝m 2r ，又由于R ＋r ＝L ，联立可得R ＝m 2m1+m2L ，r ＝m 1m 1+m2L ，故A 、C 错误；依据万有引力供应向心力，对A 恒星有G m 1m 2L 2＝m 14π2T 2R ，对B 恒星有Gm 1m 2L2＝m 24π2T2r ，联立可得双星系统的运行周期T ＝2πL √LG (m 1+m 2)，故B 正确；依据线速度与角速度关系有v 1v 2＝ωR ωr ＝R r ＝m2m 1，故D 错误．【答案】 B评价检测·素养达标1．解析：由行星的发觉历史可知，天王星不是依据万有引力定律计算出轨道而发觉的；海王星不是人们经过长期的太空观测发觉的，而是人们发觉天王星的实际轨道与理论轨道存在偏差，然后运用万有引力定律计算出“新”星的轨道，从而发觉了海王星，D 正确．答案：D2．解析：两卫星均做匀速圆周运动，F 万＝F 向，向心力选不同的表达形式分别分析，由G Mmr 2＝m v 2r ，得v 1v 2＝√r 2r 1＝√32，所以A 错误；由G Mmr 2＝mr (2πT)2，得T1T 2＝√π13π23＝2√69，B 错误；由G Mmr 2＝mrω2，得ω1ω2＝√π23π13＝3√64，C 正确；由G Mm r 2＝ma ，得a1a 2＝π22π12＝94，D 正确．答案：CD3．解析：万有引力F ＝G Mmr 2，航天员受万有引力，且万有引力供应向心力，航天员所受合力不为零，地表处r 较小，航天员在地表处所受万有引力大于在飞船上所受的万有引力，航天员在飞船上所受地球引力，约等于随飞船运动所需的向心力，所以A 、B 、D 错误，C 正确．答案：C4．解析：依据激光来回时间为t 和激光的速度可求出月球到地球的距离，故A 正确；又因知道月球绕地球旋转的周期T ，依据G Mmr 2＝m (2πT)2r 可求出地球的质量M ＝4π2r 3GT 2，故B 正确；只能计算中心天体的质量，故D 错误；因不知月球的质量，无法计算月球受地球的引力，故C 错误．答案：AB5．解析：由题图可知，冥王星与卡戎绕O 点转动时每转一圈所用的时间相同，故D 对，A 错；冥王星与卡戎绕O 点转动时万有引力供应向心力，即G M 冥m 卡(r 冥+r 卡)2＝M 冥ω2r 冥＝m 卡ω2r 卡，故r 卡r 冥＝M 冥m 卡＝71，B 错，C 对．答案：CD。
计算天体质量的两条思路
第16点 计算天体质量的两条思路1．根据重力加速度求天体质量忽略天体自转的影响，物体的重力近似等于物体所受的万有引力，即mg ＝G Mm R 2，得M ＝R 2g G.(式中M 、g 、R 分别表示天体的质量、天体表面的重力加速度和天体的半径)． 2．根据天体的圆周运动求中心天体的质量选绕天体运动的另一星体(或人造星体)为研究对象．将星体的运动视为匀速圆周运动，星体绕天体做匀速圆周运动所需的向心力由天体对星体的万有引力提供，利用牛顿第二定律得G Mm r 2＝m v 2r ＝mrω2＝mr 4π2T 2 若已知星体的轨道半径r 和星体的运行线速度v 、角速度ω或周期T ，可求得中心天体的质量为M ＝r v 2G ＝ω2r 3G ＝4π2r 3GT 2对点例题 已知太阳光从太阳射到地球需500 s ，光的传播速度为3×108 m/s ，地球公转轨道可近似看成圆轨道，一年有365天，地球半径约为6.4×106 m ，地球表面重力加速度g 取10 m/s 2，试估算太阳质量M 与地球质量m 之比为多少？(取一位有效数字) 解题指导 设日地距离为r ，则r ＝ct ＝3×108×500 m ＝1.5×1011 m.设地球公转周期为T ，则T ＝365×24×60×60 s ≈3.15×107 s.太阳对地球的引力提供地球公转所需的向心力：GMm r 2＝m ⎝⎛⎭⎫2πT 2r . 已知地球半径R ＝6.4×106 m ．设地球表面上物体的质量为m ′，忽略地球的自转，则：m ′g ＝Gmm ′R 2，两式联立并代入数据得：M m ＝4π2r 3R 2gT 2≈3×105. 答案 3×105宇航员在某星球表面的某一高度处，沿水平方向抛出一小球，经过时间t 落到星球表面，测出抛出点与落地点距离为L ，若抛出的初速度变为原来的2倍，测出抛出点与落地点间距离为3L ，已知两落地点在同一平面，该星球半径为R ，引力常量为G ，求星球质量．答案 2 3 LR 23Gt 2解析 设星球的质量为M ，物体平抛的高度为h ，平抛的初速度为v 0.根据位移关系： L 2＝(v 0t )2＋h 2( 3 L )2＝(2v 0t )2＋h 2根据运动学公式：h ＝12gt 2 根据牛顿第二定律有：GMm R 2＝mg 代入数据解得M ＝23LR 23Gt 2.。
第六章 万有引力与航天4 万有引力理论的成就 教学设计
第六章万有引力与航天4万有引力理论的成就学习目标1.通过学习未知天体的发现,了解万有引力定律在天文学上的应用.2.通过计算地球和太阳的质量掌握利用万有引力定律计算天体的质量和密度的方法.3.掌握综合运用万有引力定律和圆周运动学知识分析具体问题的方法.自主探究1.卡文迪许是如何测量地球质量的?2.人造地球卫星、月球绕地球的运动,行星绕太阳的运动的向心力是分别由谁提供的?3.如何求太阳的质量?4.海王星是如何发现的?合作探究一、称量地球的质量【创设情景1】设地面附近的重力加速度g取9.8m/s2,地球半径R=6.4×106m,引力常量G=6.67×10-11N·m2/kg2,试估算地球的质量.【拓展】1.利用以上数据能否求出地球的密度?如果能请列出公式.2.若已知月球表面的重力加速度g0和月球半径R0,求月球的质量和密度.【结论1】求天体质量的方法一:.二、计算中心天体的质量【自主探究】1.应用万有引力定律求解天体质量的基本思路是什么?2.求解天体质量的方程依据是什么?【小组合作1】1.天体实际做何运动?而我们通常可认为做什么运动?2.描述匀速圆周运动的物理量有哪些?3.根据环绕天体的运动情况求解其向心加速度有几种求法?4.应用天体运动的动力学方程——万有引力充当向心力求出的天体质量有几种表达式?各是什么?各有什么特点?5.应用此方法能否求出环绕天体的质量?【结论2】求天体质量的方法二:.【创设情景2】把地球绕太阳公转看作是匀速圆周运动,平均半径为1.5×1011m,已知引力常量G=6.67×1-N·m2/kg2,则可估算出太阳的质量大约是多少?(结果取一位有效数字)【拓展】1.利用以上数据能否求出太阳的密度?如果能请列出公式.2.能否用类似办法求地球质量?需要选谁为研究对象?需要知道哪些量?请列出表达式.三、发现未知天体【小组合作2】1.应用万有引力定律除可估算天体质量外,还可以在天文学上有何应用?2.应用万有引力定律发现了哪些天体?3.人们是怎样应用万有引力定律来发现未知天体的?发表你的看法.【课堂小结】1.求天体质量的两条思路:①②2.用万有引力定律研究天体运动时,将天体的运动近似地看作运动,其所需向心力都来自于.然后结合向心力公式,据题目中所给的实际情况,选择适当的形式进行研究.3.测出卫星绕天体做圆周运动的轨道半径R和周期T,由万有引力F=G=,可解得天体质量M=.若已知该天体的半径为R0,据M=ρ·,可知天体密度ρ=.这就是估算天体质量和密度的方法.如果卫星在天体表面绕天体运动,则R=R0,故ρ=.由此可知只要知道近天体表面运行的即可估算天体的密度.4.现在我们知道太阳系有八大行星,其中被称为“笔尖下发现的行星”的是.因为它是据算出来的.它的发现也更进一步地证明了万有引力定律的正确性.课堂检测1.利用下列哪组数据,可以计算出地球的质量()A.已知地球的半径R和地面的重力加速度gB.已知卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径r和周期TC.已知地球半径R和卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度vD.已知卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度v和周期T2.若有一艘宇宙飞船在某一行星表面做匀速圆周运动,已知其周期为T,引力常量为G,那么该行星的平均密度为()A. B. C. D.3.设地球表面的重力加速度为g0,物体在距离地心4R(R是地球半径)处,由于地球的作用产生的加速度为g,则为()A.1B.C.D.4.若已知某行星的一颗卫星绕其运转的轨道半径为R,周期为T,引力常量为G,可求得()A.该卫星的质量B.行星的质量C.该卫星的平均密度D.行星的平均密度5.地球公转的轨道半径是R1,周期是T1,月球绕地球运转的轨道半径是R2,周期是T2,则太阳质量与地球质量之比是()A. B. C. D.6.下面说法错误的是()A.海王星是人们依据万有引力定律计算出轨道而发现的B.天王星是人们依据万有引力定律计算出轨道而发现的C.天王星的运行轨道偏离,其原因是天王星受到轨道外面其他行星的引力作用D.冥王星是人们依据万有引力定律计算出轨道而发现的=p,火星半径R火和7.假设火星和地球都是球体,火星质量M火和地球质量M地之比为火地地球半径R地之比为火=q,那么火星表面处的重力加速度g火和地球表面处的重力加速度g地地等于()之比火地A. B.pq2 C. D.pq8.已知月球的质量是M,半径是R,求在月球表面的物体自由下落H所用的时间.9.已知月球到地球的球心距离为r=4×108m,月亮绕地球运行的周期为30天,求地球的质量.参考答案自主探究1.根据重力加速度求天体质量,即mg=G2.地球太阳3.利用G=m()2r得M=,其中M是太阳质量,r是某行星到太阳的距离,T是该行星绕太阳公转的周期.4.利用万有引力定律计算出来的.合作探究【创设情景1】kg=6.0×1024kg由mg=G得:M=-【拓展】1.由ρ=和V=得ρ=2.由mg0=G得M0=由ρ0=和V=得ρ0=【结论1】根据重力加速度求天体质量,即mg=G【自主探究】1.根据环绕天体的运动情况,求出其向心加速度,然后根据万有引力充当向心力,进而列方程求解.2.天体之间存在着相互作用的万有引力,行星绕恒星做近似圆周运动,而物体做圆周运动时合力充当向心力,故对于天体所做的圆周运动只能是万有引力充当向心力,这也是求解中心天体质量时列方程的根源所在.【小组合作1】1.天体实际运动是沿椭圆轨道运动的,而我们通常情况下可以把它的运动轨道处理为圆形轨道,即认为天体在做匀速圆周运动.2.在研究匀速圆周运动时,为了描述其运动特征,我们引入了线速度v、角速度ω、周期T 三个物理量.3.根据环绕天体的运动状况,求解向心加速度有三种求法.即:(1)a心=(2)a心=ω2·r(3)a心=4.应用天体运动的动力学方程——万有引力充当向心力,结合圆周运动向心加速度的三种表述方式可得三种形式的方程,即(1)F引=G=F心=ma心=m,即:G=m①得:M=.(2)F引=G=F心=ma心=mω2r,即:G=mω2·r②得:M=.(3)F引=G=F心=ma心=m,即:G=m③得:M=上述三种表达式分别对应已知环绕天体的线速度v,角速度ω,周期T时求解中心天体质量的方法.5.从以上各式的推导过程可知,利用此法只能求出中心天体的质量,而不能求环绕天体的质量,因为环绕天体的质量同时出现在方程的两边,已被约掉.【结论2】根据天体的圆周运动,即其向心力由万有引力提供.【创设情景2】M=2×1030kg【拓展】1.不能,因为不知道太阳的半径2.可以选地球的一颗卫星,需要知道卫星到地球球心的距离r和卫星绕地球运动的周期T,利用G=m()2r得M=【小组合作2】1.应用万有引力定律还可以用来发现未知的天体.2.海王星、冥王星就是应用万有引力定律发现的.3.人们在长期的观察中发现天王星的实际运行轨道与应用万有引力定律计算出的轨道总存在一定的偏差,所以怀疑在天王星周围还可能存在有行星,然后应用万有引力定律,结合对天王星的观测资料,计算出了另一颗行星的轨道,后来在计算的位置观察到新的行星.万有引力定律的发现,为天文学的发展起到了积极的作用,用它可以来计算天体的质量,同时还可以来发现未知天体.【课堂小结】1.求天体质量的两条思路:①地面附近物体与地球间的万有引力约等于物体的重力,即F引=mg.②把环绕天体(或卫星)的运动看成是匀速圆周运动,即F引=F向.2.匀速圆周万有引力3.m()2R M=卫星的周期4.海王星万有引力定律课堂检测1.ABD2.D3.D4.B5.B6.B7.A8.9.5.89×1024kg。
分析天体问题的两个基本思路
分析天体问题的两个基本思路天体有自然天体（如太阳、地球和月亮等）和人造天体（宇宙飞船、卫星和空间站等）两种，无论哪种天体，在分析天体问题时有两个基本思路。
思路一：不考虑某天体的自转，在该天体表面物体所受的重力等于天体对物体的万有引力。
设某天体的质量为M，半径为R，表面处的重力加速度为g，物体的质量为m，则，此式称为“黄金代换式”，可以把“地上”和“天上的问题联系起来。
思路二：行星（或卫星）的运动可看做匀速圆周运动，万有引力提供向心力。
考虑天体的密度时，可将天体看作均匀的球体。
如图1所示，设某中心天体的质量为M，行星（或卫星）的质量为m，到中心天体的距离为r，则。
根据已知条件可选择合适的公式。
例1．某课外小组长期观测，发现靠近某行星周围有众多卫星，且相对均匀地分布于行星周围，假设所有卫星绕该行星的运动都是匀速圆周运动，通过天文观测，测得离行星最近的一颗卫星的运动半径为R1，周期为T1，已知万有引力常量为G。
求：（1）行星的质量；（2）若行星的半径为R，行星的第一宇宙速度是多少；（3）通过天文观测，发现离行星很远处还有一颗卫星，其运动半径为R2，周期为T2，试估算靠近行星周围众多卫星的总质量。
解析：（1）设行星的质量为M，离行星最近的卫星的质量为m，由万有引力定律和牛顿第二定律得，则行星的质量为：①（2）卫星在行星表面环绕时，②由①②两式得行星的第一宇宙速度：；（3）因为行星周围的卫星均匀分布，研究很远的卫星可把其它卫星和行星整体作为中心天体，设离行星很远的卫星的质量为m1，则可得行星和其它卫星的总质量：，所以靠近该行星周围的众多卫星的总质量为：。
点评：关于天体的质量和运动速度等计算问题，一般都是通过思路二来分析的，有时也会综合应用二个思路。
本题的关键点就是研究很远的卫星要把其它卫星和行星整体作为中心天体来整体分析。
例2．已知地球半径为R，一只静止在赤道上空的热气球（不计气球离地高度）绕地心运动的角速度为ω0，在距地面h高处的圆形轨道上，有一颗人造地球卫星，设地球质量为M，热气球的质量为m，人造地球卫星的质量为m1，根据以上条件，有一位同学列出了以下两个式子：对热气球：①对人造地球卫星：②进而求出了人造地球卫星绕地球运行的角速度ω。
天体问题的解题思路及规律
天体运动问题通常涉及行星、卫星、恒星等天体的运动规律，以及它们之间的相互作用。
解题时，可以遵循以下思路和规律：
1. **万有引力定律**：万有引力是天体运动问题的核心。
掌握万有引力定律及其数学表达式，了解质量、距离和引力之间的关系。
2. **开普勒定律**：开普勒定律是描述行星运动的三个定律，包括轨道定律、面积定律和调和定律。
理解并掌握这些定律，有助于解决行星运动问题。
3. **牛顿运动定律**：牛顿的运动定律可以用来分析天体在受到引力作用时的加速度、速度和轨道变化。
4. **能量守恒定律**：在天体运动问题中，能量守恒定律可以用来分析天体的动能和势能如何随时间变化。
5. **向心力**：了解向心力的概念，以及如何根据向心力来推导天体的轨道和周期。
6. **轨道计算**：学会如何根据给定的力和距离计算天体的轨道，包括椭圆、抛物线和双曲线的计算。
7. **相对论效应**：在处理高速天体运动时，需要考虑相对论效应，如时间膨胀和长度收缩。
8. **数值方法**：对于复杂的天体运动问题，可能需要使用数值方法来求解，如模拟仿真和数值积分。
在解题过程中，首先应该明确题目所给出的条件，然后选择合适的物理定律和数学工具进行分析。
对于不同的天体问题，可能需要组合使用上述思路和规律。
此外，解题时还应注意单位转换和符号约定，确保计算的准确性。
必修2 6.4 万有引力理论的成就 课件
即G
Mm ' R2
=m ' g, 得 G M =gR ②
2
由①②两式可得
v=
gR 2 Rh
3
=6. 4× 10 ×
6
9.8 6.4 10 6 2.0 10 6
m/ s
≈6. 9× 10 m / s 运动周期
2 (R h) 2 3.14 (6.4 10 6 2.0 10 6 ) T= = v 6.9 10 3
A. b所需向心力最小 B. b、c的周期相同且大于 a 的周期 C. b、c的向心加速度大小相等, 且大于 a 的向心加速度 D. b、c的线速度大小相等, 且小于 a 的线速度
解析: 卫星做圆周运动的向心力由地球对它的万 有引力提供, 即F向
GMm = , 因此 F 2 r
a向
>F b向, F c向>F b
2
6
思路点拨: 卫星受到的万有引力等于其向心力
求出v表达式 求出T表达式
代入数据求 v、T
用“G M =gR ”替换表达式中的 G M
2
解析: 根据万有引力提供卫星做圆周运动的向心力,
v Mm 即G =m . 2 （R h） R h
知 v=
2
GM Rh
①
由地球表面附近的物体受到的万有引力近似等于重力,
Mm =m g 2 R
M=
gR 2 G
②质量为 m 的行星绕所求星体做匀速圆周运动, 万有引力提供行星所需 天体质量 的计算 的向心力, 即G
rv 2 ①M = G
Mm v 2 =m 3 r r
)r
2
=
r 3 2 ②M = G
③
估算天体质量和密度的一般思路
￡ 搿 ￡ ｚ ≮
， ｜ 锺 ≠ ｈ ）
蝻 震 霎 ｉ
蒜 ％
量Ｇ ， 地球 表 面 处 的重 ｈ加 速 度 ｇ， 地 球 半 径
Ｒ， 地 球 上 一 个 昼 夜 的 时 间 （ 地 球 自转 周
期） ， 一年 的时间 （ 地 球 公 转周 期 ） ， 地球 中
地 球密
— １ Ｔ
心到 月球 中心 的距 离 Ｌ ， 地球 中心到 太 阳 中
正 确． 对 月 球 绕 地 球 运 动来 说 ， 能 求 地 球 质
项错 误 ．
不知 道月 球 的相 关参 量 及 月 球 的卫 星 运 （ １ ）若 已知 月球 绕地球 做 匀速 圆周 运动 量 ， 动 参量 ， 无 法 求 出它 的质 量 和 密 度 ， Ｃ 、 Ｄ 选 的周期 和 轨道半 径 ｒ 由万有 引力 等 于 向心 力 ， 即
了
选 项正 确 ； 由Ｇ ｉｍ ＝ｍ ｇ和 Ｍ Ｒ的表达 式推
．
＝
・
式 中 Ｒ为 天体 的 半径 ， ｒ 为轨 道 半 径 ， 两 者不 可混 淆．
得 ｇ： ， Ｄ选 项错 误．
以 上计 算 天 体 质 量 和 密 度 的 方 法 ， 也 由地 球 对月 球 的引 力等 于月 球做 匀 速 圆 适 用 于 其 他 中 心 天 体 ． 但 利 用 密 度 公 式 计 周 运 动 的 向心力 算天体 密度 时 ， 要 注 意 区 分 中心 天 体 的半
ｚ ． 由上述 已知量 能计 算 出 （ 例 １ 在 月球 上 以初 速 度 竖 直上 心的距 离 Ｌ
抛 一 个 小球 ， 经过 时 间 ｔ 落回到 抛 出点 ， 已知 Ａ．地 球 的质 量 Ｍ地：
）
2022-2023年高考物理一轮复习 万有引力与航天课件(重点难点易错点核心热点经典考点)
1．不考虑自转问题时，有G
Mm R2
＝mg，其中g为星球表面
的重力加速度，若考虑自转问题，如诊断卷第2题，则在两极
才有：GMRm2 ＝mg，而赤道上则有：GMRm2 －mg＝m4Tπ22R。
2．根据自由落体、竖直上抛、平抛运动等知识计算出
星球表面的重力加速度g，再由mg＝G
Mm R2
＝m
v2 R
，去估算星
地球的质量)
()
A．M1＝12M C．M1＝14M
B．M1＝2M D．M1＝4M
解析：根据平抛运动规律：竖直方向h＝12gt2，水平方向x
＝vt，可计算星球表面重力加速度g＝
2hv2 x2
，可得g1＝
1 16
g，再由星球表面万有引力公式G
Mm R2
＝mg，R1＝2R，可
得M1＝M4 ，C正确。
答案：C
Mm r2
＝mrω2可
知，天宫二号的角速度大，所以“天链二号01星”不能一直
位于“天宫二号”的正上方，且会出现地球位于两卫星连线
中间的时刻，此时无法直接通信，B、C错误；同步轨道上
的“天链二号01星”相对地面静止，与赤道上物体具有相同
的角速度，根据a＝rω2，“天链二号01星”的轨道半径大，
所以向心加速度大，D正确。 答案：AD
GMRm2 ＝ mg 求出M，进而求得ρ＝MV ＝43πMR3＝4π3GgR。
2．利用环绕天体的轨道半径r、周期T：由G
Mm r2
4π2 ＝m__T__2_r
可得出M＝
4π2r3 GT2
，若环绕天体绕中心天体
表面
做匀速圆周运
动时，轨道半径r＝R，则ρ＝43πMR3＝G3Tπ2。
万有引力与航天公式总结
万有引力与航天重点规律方法总结一.三种模型1．匀速圆周运动模型：无论是自然天体(如地球、月亮)还是人造天体(如宇宙飞船、人造卫星)都可看成质点，围绕中心天体（视为静止）做匀速圆周运动2．双星模型：将两颗彼此距离较近的恒星称为双星,它们相互之间的万有引力提供各自转动的向心力。
3.“天体相遇”模型：两天体相遇，实际上是指两天体相距最近。
二.两种学说1.地心说：代表人物是古希腊科学家托勒密2/日心说：代表人物是波兰天文学家哥白尼三.两个定律1.开普勒定律：第一定律（又叫椭圆定律）：所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上第二定律（又叫面积定律）：对每一个行星而言，太阳和行星的连线，在相等时间内扫过相同的面积。
第三定律（又叫周期定律）：所有行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴R 的三次方跟公转周期T 的二次方的比值都相等。
表达式为：)4(223GM KK TR k 只与中心天体质量有关的定值与行星无关2.牛顿万有引力定律1687年在《自然哲学的数学原理》正式提出万有引力定律⑴.内容:宇宙间的一切物体都是相互吸引的.两个物体间引力的方向在它们的连线上,引力的大小跟它们的质量的乘积成正比,跟它们之间的距离的二次方成反比. ⑵.数学表达式:rFMmG2万⑶.适用条件:a.适用于两个质点或者两个均匀球体之间的相互作用。
（两物体为均匀球体时，r 为两球心间的距离）b. 当0r 时，物体不可以处理为质点，不能直接用万有引力公式计算c. 认为当0r时，引力F的说法是错误的⑷．对定律的理解a.普遍性：任何客观存在的有质量的物体之间都有这种相互作用力b.相互性：两个物体间的万有引力是一对作用力和反作用力，而不是平衡力关系。
c.宏观性：在通常情况下万有引力非常小，只有在质量巨大的星球间或天体与天体附近的物体间,它的存在才有实际意义. d.特殊性:两个物体间的万有引力只与它们本身的质量、它们之间的距离有关.与所在空间的性质无关,与周期及有无其它物体无关.（5）引力常数G ：①大小：kg mNG 2211/67.610，由英国科学家卡文迪许利用扭秤测出②意义：表示两个质量均为1kg 的物体，相距为1米时相互作用力为：N101167.6四.两条思路：即解决天体运动的两种方法1. 万有引力提供向心力：FF向万即：222224n Mm vF G ma mmrmrrrT万2．天体对其表面物体的万有引力近似等于重力：gm R MmG2即2gR GM（又叫黄金代换式）注意：①地面物体的重力加速度：RGM g2≈9.8m/s 2②高空物体的重力加速度：2')(h RGM g9.8m/s2③关系:22')(h RgRg五.万有引力定律的应用1.计算天体运动的线速度、角速度、周期、向心加速度。
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第16点 计算天体质量的两条思路
1．根据重力加速度求天体质量
忽略天体自转的影响，物体的重力近似等于物体所受的万有引力，即mg ＝G Mm R 2
，得M ＝R 2g G
.(式中M 、g 、R 分别表示天体的质量、天体表面的重力加速度和天体的半径)． 2．根据天体的圆周运动求中心天体的质量
选绕天体运动的另一星体(或人造星体)为研究对象．
将星体的运动视为匀速圆周运动，星体绕天体做匀速圆周运动所需的向心力由天体对星体的万有引力提供，利用牛顿第二定律得
G Mm r 2＝m v 2r ＝mrω2＝mr 4π2T 2 若已知星体的轨道半径r 和星体的运行线速度v 、角速度ω或周期T ，可求得中心天体的质
量为M ＝r v 2G ＝ω2r 3G ＝4π2r 3
GT 2
对点例题 已知太阳光从太阳射到地球需500s ，光的传播速度为3×108m /s ，地球公转轨道可近似看成圆轨道，一年有365天，地球半径约为6.4×106 m ，地球表面重力加速度g 取10 m/s 2，试估算太阳质量M 与地球质量m 之比为多少？(取一位有效数字) 解题指导 设日地距离为r ，则r ＝ct ＝3×108×500m ＝1.5×1011m.
设地球公转周期为T ，则T ＝365×24×60×60s ≈3.15×107s.
太阳对地球的引力提供地球公转所需的向心力：
GMm r 2＝m ⎝⎛⎭⎫2πT 2r . 已知地球半径R ＝6.4×106m ．设地球表面上物体的质量为m ′，忽略地球的自转，则：m ′g
＝Gmm ′R 2，两式联立并代入数据得：M m ＝4π2r 3R 2gT 2≈3×105. 答案 3×105
宇航员在某星球表面的某一高度处，沿水平方向抛出一小球，经过时间t 落到星球表面，测出抛出点与落地点距离为L ，若抛出的初速度变为原来的2倍，测出抛出点与落地点间距离为3L ，已知两落地点在同一平面，该星球半径为R ，引力常数为G ，求星球质量．
答案 23LR 2
3Gt 2
解析 设星球的质量为M ，物体平抛的高度为h ，平抛的初速度为v 0.根据位移关系： L 2＝(v 0t )2＋h 2
(3L )2＝(2v 0t )2＋h 2
根据运动学公式：h ＝12
gt 2 根据牛顿第二定律有：
GMm R 2
＝mg 代入数据解得
M ＝23LR 2
3Gt 2
.。