勾股定理五种证明方法

勾股定理五种证明方法
【证法 1】
勾股定理五种证明方法
做 8 个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b，斜边长为
c，再做三个边长分别为 a、b、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.
从图上可以看到，这两个正方形的边长都是 a + b，所以面积相等. 即
a 2 b2 4 1 ab c 2 4 1 ab
∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE, ∴ ∠ADE = ∠BEC. ∵ ∠AED + ∠ADE = 90º, ∴ ∠AED + ∠BEC = 90º. ∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º. ∴ ΔDEC 是一个等腰直角三角形，
1 c2 它的面积等于 2 .
又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º, ∴ AD∥BC.
a 2 b2 S 2 1 ab, 2
∴ a2 b2 c2.
c2 S 2 1 ab 2,
【 】（ ） 证法 4 1876 年美国总统 Garfield 证明
以 a、b 为直角边，以 c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角 1 ab
三角形的面积等于 2 . 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使 A、E、B 三点在一条直线上.
a b2 4 1 ab c2
2
= 2ab c 2 .
∴ a 2 b2 2ab 2ab c 2 ,
∴ a2 b2 c2.
初二（1）
b
C
设直角三角形两直角边的长分别为 a、b，斜边的长为 c. 作边长是 a+b 的正
方形 ABCD. 把正方形 ABCD 划分成上方左图所示的几个部分，则正方形
ABCD 的面积为 a b2 a 2 b2 2ab ；把正方形 ABCD 划分成上方右图所示
的几个部分，则正方形 ABCD 的面积为
2
2 ， 整理得
a2 b2 c2.
【证法 2】（邹元治证明）
以 a、b 为直角边，以 c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角
1 ab 形的面积等于 2 . 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使 A、E、B 三点
在一条直线上，B、F、C 三点在一条直线上，C、G、D 三点在一条直线上.
∴ ∠ABC + ∠CBE = 90º.
∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD, ∴ ∠ABC = ∠EBD. ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90º. 即 ∠CBD= 90º.
又∵ ∠BDE = 90º，∠BCP = 90º， BC = BD = a.
∴ BDPC 是一个边长为 a 的正方形.
同理，HPFG 是一个边长为 b 的正方形. 设多边形 GHCBE 的面积为 S，则
1 a b2
∴ ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于 2
.
1 a b2 2 1 ab 1 c2
∴2
2 2.
∴ a2 b2 c2.
【证法 5】（辛卜松证明）
A
b
a
D
a ab
a2
a
b
b2
B
b
ab b aC
A
b
1 ab a2 c
c2
aD
1 ab 2b c
b
c 1 ab
2
Ba
c
1 ab
பைடு நூலகம்
a
2
∵ D、E、F 在一条直线上, 且 RtΔGEF ≌ RtΔEBD,
∴ ∠EGF = ∠BED，
∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BED + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BEG =180º―90º= 90º. 又∵ AB = BE = EG = GA = c，
∴ ABEG 是一个边长为 c 的正方形.
∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º.
又∵ ∠GHE = 90º,
∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º.
∴ ABCD 是一个边长为 a + b 的正方形，它的面积等于 a b2 .
a b2 4 1 ab c2
∴
2
.
∴ a2 b2 c2.
【证法 3】（梅文鼎证明）
做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b ，斜边长为 c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使 D、E、F 在一条直线上. 过 C 作 AC 的延长线交 DF 于点 P.
∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BEF. ∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º.
∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º.
∴ 四边形 EFGH 是一个边长为 c 的
正方形. 它的面积等于 c2. ∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA. ∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º,