优质课《2.3.1平面向量基本定理》教案
新人教A版必修4高中数学2.3.1 平面向量基本定理学案
高中数学 2.3.1 平面向量基本定理学案新人教A版必修4【学习目标】1知识与技能(1)了解平面向量基本定理及其意义,会利用向量基本定理解决简单问题;(2)培养学生分析、抽象、概括的推理能力。
2过程与方法(1)通过平面向量基本定理的得出过程,体会由特殊到一般的思维方法;(2)通过本节学习,体会用基底表示平面内任一向量的方法。
3情感.态度与价值观(1)通过本节学习,培养学生的理性思维,培养学生独立思考及勇于探求、敢于创新的精神、培养主动学习的意识;(2)通过平面向量基本定理的探求过程,培养学生观察能力、抽象概括能力、独立思考的能力,激发学生学习数学的兴趣。
【重点难点】重点:平面向量基本定理的应用难点:对平面向量基本定理的发现和形成过程,数学思想的渗透。
【学习内容】一【知识链接】1. 向量加法与减法有哪几种几何运算法则?2.怎样理解向量的数乘运算λa? (1)模:|λa|=|λ||a|;(2)方向:λ>0时λa 与a方向相同;λ<0时λa与a方向相反;λ=0时λa=03. 向量共线定理 :向量b 与非零向量a共线则:有且只有一个非零实数λ,使b =λa.二【新课导入】情景展示:在物理学中我们知道,力是一个向量,力的合成就是向量的加法运算.而且力是可以分解的,任何一个大小不为零的力,都可以分解成两个不同方向的分力之和.将这种力的分解拓展到向量中来,就会形成一个新的数学理论. 三、小组合作、自主探究 探究(一):平面向量的基本定理探究1:给定平面内任意两个不共线的非零向量1e 、2e ,请你作出向量b =31e +22e 、c =1e -22e .探究2:由探究1可知可以用平面内任意两个不共线的非零向量1e 、2e 来表示向量b ,c 那么平面内的任一向量是否都可以用形如λ11e +λ22e 的向量表示呢?【定理解读】1 、1e 、2e 必须是平面向量的基本定理:如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a ,有且只有一对实数λ1、λ2,使a =λ11e +λ22e .2、λ1,λ2是被a,1e ,2e 的数量 3、基底不唯一,关键是不共线;4、由定理可将任一向量a 在给出基底1e 、2e 的条件下进行分解;5、基底给定时,分解形式唯一.6、λ 1 =0时 ; λ2=0时 ;λ1=0、λ2=0时 。
高中数学 第二章 平面向量 2.3.1 平面向量基本定理课件 新人教A版必修4
1.若向量 a,b 不共线,则 c=2a-b,d=3a-2b, 试判断 c,d 能否作为基底. 解:设存在实数 λ,使 c=λd, 则 2a-b=λ(3a-2b), 即(2-3λ)a+(2λ-1)b=0, 由于向量 a,b 不共线, 所以 2-3λ=2λ-1=0,这样的 λ 是不存在的, 从而 c,d 不共线,c,d 能作为基底.
探究点二 用基底表示平面向量
如图所示,在▱ABCD 中,点 E,F
分别为 BC,DC 边上的中点,DE 与 BF 交 于点 G,若A→B=a,A→D=b,试用 a,b 表 示向量D→E,B→F.
[解] D→E=D→A+A→B+B→E =-A→D+A→B+12B→C
=-A→D+A→B+12A→D=a-12b.
4.若 a,b 不共线,且 la+mb=0(l,m∈R),则 l=________, m=________. 答案:0 0 5.若A→D是△ABC 的中线,已知A→B=a,A→C=b,若 a,b 为基底,则A→D=________. 答案:12(a+b)
探究点一 对基底的理解
设 O 是平行四边形 ABCD 两对角线的交点,给出下列向
解:D→E=D→C+C→E=2F→C+C→E=-2C→F+C→E=-2b+a.
B→F=B→C+C→F=2E→C+C→F
=-2C→E+C→F=-2a+b.
用基底表示向量的两种方法 (1基底表示为止. (2)通过列向量方程或方程组的形式,利用基底表示向量的唯一 性求解.
对基底的理解 (1)两个向量能否作为一组基底,关键是看这两个向量是否共 线.若共线,则不能作基底,反之,则可作基底. (2)一个平面的基底若确定,那么平面上任意一个向量都可以由 这组基底唯一线性表示出来,设向量 a 与 b 是平面内两个不共 线的向量,若 x1a+y1b=x2a+y2b,则xy11==yx22.,
人教版高一数学教案-平面向量的基本定理及其坐标表示(1-2课时)
2.3 平面向量的基本定理及其座標表示2.3.1 平面向量基本定理2.3.2 平面向量的正交分解及座標表示一、教學分析平面向量基本定理既是本節的重點又是本節的難點.平面向量基本定理告訴我們同一平面內任一向量都可表示為兩個不共線向量的線性組合,這樣,如果將平面內向量的始點放在一起,那麼由平面向量基本定理可知,平面內的任意一點都可以通過兩個不共線的向量得到表示,也就是平面內的點可以由平面內的一個點及兩個不共線的向量來表示.這是引進平面向量基本定理的一個原因.在不共線的兩個向量中,垂直是一種重要的特殊情形,向量的正交分解是向量分解中常用且重要的一種分解,因為在平面上,如果選取互相垂直的向量作為基底時,會給問題的研究帶來方便.聯繫平面向量基本定理和向量的正交分解,由點在直角坐標系中的表示得到啟發,要在平面直角坐標系中表示一個向量,最方便的是分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i、j 作為基底,這時,對於平面直角坐標系內的一個向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一對實數x、y,使得a=x i+y j.於是,平面內的任一向量a都可由x、y唯一確定,而有序數對(x,y)正好是向量a的終點的座標,這樣的“巧合”使平面直角坐標系內的向量與座標建立起一一映射,從而實現向量的“量化”表示,使我們在使用向量工具時得以實現“有效能算”的思想.二、教學目標1、知識與技能:瞭解平面向量的基本定理及其意義;理解平面裡的任何一個向量都可以用兩個不共線的向量來表示,掌握平面向量正交分解及其座標表示。
2、過程與方法:初步掌握應用向量解決實際問題的重要思想方法;能夠在具體問題中適當地選取基底,使其他向量都能夠用基底來表達。
3、情感態度與價值觀:通過平面向量的正交分解及座標表示,揭示圖形(向量)與代數(座標)之間的聯繫。
三、重點難點教學重點:平面向量基本定理、向量的夾角與垂直的定義、平面向量的正交分解、平面向量的座標表示.教學難點:平面向量基本定理的運用.四、教學設想(一)導入新課思路 1.在物理學中我們知道,力是一個向量,力的合成就是向量的加法運算.而且力是可以分解的,任何一個大小不為零的力,都可以分解成兩個不同方向的分力之和.將這種力的分解拓展到向量中來,會產生什麼樣的結論呢?又如一個放在斜面上的物體所受的豎直向下的重力G,可分解為使物體沿斜面下滑的力F1和使物體垂直於斜面且壓緊斜面的力F2.我們知道飛機在起飛時若沿仰角α的方向起飛的速度為v ,可分解為沿水準方向的速度vcosα和沿豎直方向的速度vsinα.從這兩個實例可以看出,把一個向量分解到兩個不同的方向,特別是作正交分解,即在兩個互相垂直的方向上進行分解,是解決問題的一種十分重要的手段.如果e 1、e 2是同一平面內的兩個不共線的向量,a 是這一平面內的任一向量,那麼a 與e 1、e 2之間有什麼關係呢?在不共線的兩個向量中,垂直是一種重要的情形.把一個向量分解為兩個互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.在平面上,如果選取互相垂直的向量作為基底,是否會給我們帶來更方便的研究呢?思路2.前面我們學習了向量的代數運算以及對應的幾何意義,如果將平面內向量的始點放在一起,那麼平面內的任意一個點或者任意一個向量是否都可以用這兩個同起點的不共線向量來表示呢?這樣就引進了平面向量基本定理.教師可以通過多對幾個向量進行分解或者合成,在黑板上給出圖像進行演示和講解.如果條件允許,用多媒體教學,通過相應的課件來演示平面上任意向量的分解,對兩個不共線的向量都乘以不同的係數後再進行合成將會有什麼樣的結論?(二)推進新課、新知探究、提出問題圖1①給定平面內任意兩個不共線的非零向量e 1、e 2,請你作出向量3e 1+2e 2、e 1-2e 2.平面內的任一向量是否都可以用形如λ1e 1+λ2e 2的向量表示呢?②如圖1,設e 1、e 2是同一平面內兩個不共線的向量,a 是這一平面內的任一向量,我們通過作圖研究a 與e 1、e 2之間的關係.活動:如圖1,在平面內任取一點O,作OA =e 1,OB =e 2,OC =a .過點C 作平行於直線OB 的直線,與直線OA;過點C 作平行於直線OA 的直線,與直線OB 交於點N.由向量的線性運算性質可知,存在實數λ1、λ2,使得OM =λ1e 1,ON =λ2e 2.由於ON OM OC +=,所以a =λ1e 1+λ2e 2.也就是說,任一向量a 都可以表示成λ1e 1+λ2e 2的形式.由上述過程可以發現,平面內任一向量都可以由這個平面內兩個不共線的向量e 1、e 2表示出來.當e 1、e 2確定後,任意一個向量都可以由這兩個向量量化,這為我們研究問題帶來極大的方便.由此可得:平面向量基本定理:如果e 1、e 2是同一平面內的兩個不共線向量,那麼對於這一平面內的任意向量a ,有且只有一對實數λ1、λ2,使a =λ1e 1+λ2e 2.定理說明:(1)我們把不共線向量e 1、e 2叫做表示這一平面內所有向量的一組基底; (2)基底不唯一,關鍵是不共線;(3)由定理可將任一向量a 在給出基底e 1、e 2的條件下進行分解; (4)基底給定時,分解形式唯一. 討論結果:①可以. ②a =λ1e 1+λ2e 2. 提出問題①平面中的任意兩個向量之間存在夾角嗎?若存在,向量的夾角與直線的夾角一樣嗎?②對平面中的任意一個向量能否用兩個互相垂直的向量來表示?活動:引導學生結合向量的定義和性質,思考平面中的任意兩個向量之間的關係是什麼樣的,結合圖形來總結規律.教師通過提問來瞭解學生總結的情況,對回答正確的學生進行表揚,對回答不全面的學生給予提示和鼓勵.然後教師給出總結性的結論:不共線向量存在夾角,關於向量的夾角,我們規定:圖2已知兩個非零向量a和b(如圖2),作OA=a,OB=b,則∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a與b 的夾角.顯然,當θ=0°時,a與b同向;當θ=180°時,a與b反向.因此,兩非零向量的夾角在區間[0°,180°]內.如果a與b的夾角是90°,我們說a與b垂直,記作a⊥b.由平面向量的基本定理,對平面上的任意向量a,均可以分解為不共線的兩個向量λ1a1和λ2a2,使a=λ1a1+λ2a2.在不共線的兩個向量中,垂直是一種重要的情形.把一個向量分解為兩個互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.如上,重力G沿互相垂直的兩個方向分解就是正交分解,正交分解是向量分解中常見的一種情形.在平面上,如果選取互相垂直的向量作為基底時,會為我們研究問題帶來方便.討論結果:①存在夾角且兩個非零向量的夾角在區間[0°,180°]內;向量與直線的夾角不一樣.②可以.提出問題①我們知道,在平面直角坐標系中,每一個點都可用一對有序實數(即它的座標)表示.對直角坐標平面內的每一個向量,如何表示呢?②在平面直角坐標系中,一個向量和座標是否是一一對應的?圖3活動:如圖3,在平面直角坐標系中,分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i、j作為基底.對於平面內的一個向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一對實數x、y,使得a=xi+y j①這樣,平面內的任一向量a都可由x、y唯一確定,我們把有序數對(x,y)叫做向量a的座標,記作a=(x,y)②其中x叫做a在x軸上的座標,y叫做a在y軸上的座標,②式叫做向量的座標表示.顯然,i=(1,0),j =(0,1),0=(0,0).教師應引導學生特別注意以下幾點:(1)向量a 與有序實數對(x,y)一一對應.(2)向量a 的座標與表示該向量的有向線段的起點、終點的具體位置沒有關係,只與其相對位置有關係.如圖所示,11B A 是表示a 的有向線段,A 1、B 1的座標分別為(x 1,y 1)、(x 2,y 2),則向量a 的座標為x=x 2-x 1,y=y 2-y 1,即a 的座標為(x 2-x 1,y 2-y 1).(3)為簡化處理問題的過程,把座標原點作為表示向量a 的有向線段的起點,這時向量a 的座標就由表示向量a 的有向線段的終點唯一確定了,即點A 的座標就是向量a 的座標,流程表示如下:討論結果:①平面內的任一向量a 都可由x 、y 唯一確定,我們把有序數對(x,y)叫做向量a 的座標,記作a =(x,y).②是一一對應的.(三)應用示例思路1例1 如圖4,ABCD,AB =a ,AD =b ,H 、M 是AD 、DC 之中點,F 使BF=31BC,以a ,b 為基底分解向量HF AM 和.圖4活動:教師引導學生利用平面向量基本定理進行分解,讓學生自己動手、動腦.教師可以讓學生到黑板上板書步驟,並對書寫認真且正確的同學提出表揚,對不能寫出完整解題過程的同學給予提示和鼓勵.解:由H 、M 、F 所在位置,有+=+=AD DM AD AM a b AB AD DC 212121+=+=AB 21=b +21a .ADAD AB ADBC AH BF AB AH AF HF 21312131-+=-+-+=-==a 61-b . 點評:以a 、b 為基底分解向量AM 與HF ,實為用a 與b 表示向量AM 與HF . 變式訓練圖5已知向量e 1、e 2(如圖5),求作向量-2.5e 1+3e 2.作法:(1)如圖,任取一點O,作OA =-2.5e 1,OB =3e 2.(2)作OACB.故OC OC 就是求作的向量.圖6例2 如圖6,分別用基底i、j 表示向量a 、b 、c 、d ,並求出它們的座標.活動:本例要求用基底i 、j 表示a 、b 、c 、d ,其關鍵是把a 、b 、c 、d 表示為基底i 、j 的線性組合.一種方法是把a 正交分解,看a 在x 軸、y 軸上的分向量的大小.把向量a 用i 、j 表示出來,進而得到向量a 的座標.另一種方法是把向量a 移到座標原點,則向量a 終點的座標就是向量a 的座標.同樣的方法,可以得到向量b 、c 、d 的座標.另外,本例還可以通過四個向量之間位置的幾何關係:a 與b 關於y 軸對稱,a 與c 關於座標原點中心對稱,a 與d 關於x 軸對稱等.由一個向量的座標推導出其他三個向量的座標.解:由圖可知,a =1AA +2AA =x i +y j , ∴a =(2,3).同理,b =-2i +3j =(-2,3);c =-2i -3j =(-2,-3);d =2i -3j =(2,-3).點評:本例還可以得到啟示,要充分運用圖形之間的幾何關係,求向量的座標. 變式訓練i ,j 是兩個不共線的向量,已知AB =3i +2j ,CB =i +λj ,CD =-2i +j ,若A 、B 、D 三點共線,試求實數λ的值.解:∵BD =CD -CB =(-2i +j )-(i +λj )=-3i +(1-λ)j , 又∵A 、B 、D 三點共線,∴向量AB 與BD 共線.因此存在實數υ,使得AB =υBD ,即3i +2j =υ[-3i +(1-λ)j ]=-3υi +υ(1-λ)j . ∵i 與j 是兩個不共線的向量, 故⎩⎨⎧=-=-,2)1(,33λv v∴⎩⎨⎧=-=.3,1λv ∴當A 、B 、D 三點共線時,λ=3.例 3 下面三種說法:①一個平面內只有一對不共線向量可作為表示該平面的基底;②一個平面內有無數多對不共線向量可作為該平面所有向量的基底;③零向量不可以作為基底中的向量,其中正確的說法是( )A.①②B.②③C.①③D.①②③活動:這是訓練學生對平面向量基本定理的正確理解,教師引導學生認真地分析和理解平面向量基本定理的真正內涵.讓學生清楚在平面中對於基底的選取是不唯一的,只要是同一平面內的兩個不共線的向量都可以作為基底.解:平面內向量的基底是不唯一的.在同一平面內任何一組不共線的向量都可作為平面內所有向量的一組基底;而零向量可看成與任何向量平行,故零向量不可作為基底中的向量.綜上所述,②③正確.答案:B點評:本題主要考查的是學生對平面向量定理的理解.思路2圖7例1 如圖7,M 是△ABC 內一點,且滿足條件=++CM BM AM 320,延長CM 交AB 於N,令CM =a ,試用a 表示CN .活動:平面向量基本定理是平面向量的重要定理,它是解決平面向量計算問題的重要工具.由平面向量基本定理,可得到下面兩個推論:推論1:e 1與e 2是同一平面內的兩個不共線向量,若存在實數λ1、λ2,使得λ1e 1+λ2e 2=0,則λ1=λ2=0.推論2:e 1與e 2是同一平面內的兩個不共線向量,若存在實數a 1,a 2,b 1,b 2,使得a =a 1e 1+a 2e 2=b 1e 1+b 2e 2,則⎪⎩⎪⎨⎧==.,2211b a b a解:∵,,NM BN BM NM AN AM +=+=∴由CM BM AM 32++=0,得=++++CM NM BN NM AN 3)(2)(0. ∴CM BN NM AN 323+++=0.又∵A 、N 、B 三點共線,C 、M 、N 三點共線, 由平行向量基本定理,設,,NM CM BN AN μλ== ∴=+++NM BN NM BN μλ3230. ∴(λ+2)BN +(3+3μ)NM =0. 由於BN 和NM 不共線, ∴⎩⎨⎧=+=+,033,02μλ∴⎩⎨⎧-=-=12μλ∴.MN NM CM =-=∴CM MN CM CN 2=+==2a .點評:這裡選取NM BN ,作為基底,運用化歸思想,把問題歸結為λ1e 1+λ2e 2=0的形式來解決. 變式訓練設e 1與e 2是兩個不共線向量,a =3e 1+4e 2,b =-2e 1+5e 2,若實數λ、μ滿足λa +μb =5e 1-e 2,求λ、μ的值.解:由題設λa +μb =(3λe 1+4λe 2)+(-2μe 1+5μe 2)=(3λ-2μ)e 1+(4λ+5μ)e 2.又λa +μb =5e 1-e 2.由平面向量基本定理,知⎩⎨⎧-=+=-.154,523λλλλ解之,得λ=1,μ=-1.圖8例2 如圖8,△ABC 中,AD 為△ABC 邊上的中線且AE=2EC,求GEBGGD AG 及的值. 活動:教師讓學生先仔細分析題意,以明瞭本題的真正用意,怎樣把平面向量基本定理與三角形中的邊相聯繫?利用化歸思想進行轉化完後,然後結合向量的相等進行求解比值.解:設μλ==GEBGGD AG , ∵BD =DC ,即AD -AB =AC -AD , ∴AD =21(AB +AC ). 又∵AG =λGD =λ(AD -AG ),∴AG =λλ+1AD =)1(2λλ+AB +)1(2λλ+AC .① 又∵BG =μGE ,即AG -AB =μ(AE -AG ),∴(1+μ)AG =AB +μAG AE ,=AE AB μμμ+++111 又AE =32AC ,∴AG =AB μ+11+)1(32μμ+AC .② 比較①②,∵AB 、AC 不共線,∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++=+.)1(32)1(2,11)1(2μμλλμλλ解之,得⎪⎩⎪⎨⎧==23,4μλ∴.23,4==GE BG GD AG 點評:本例中,構造向量在同一基底下的兩種不同表達形式,利用相同基向量的係數對應相等得到一實數方程組,從而進一步求得結果. 變式訓練過△OAB 的重心G 的直線與邊OA 、OB 分別交於P 、Q,設OP =h OA ,OB k OQ =,試證:311=+kh 解:設OA =a ,OB =b ,OG 交AB 於D,則OD =21(OB OA +)=21(a +b )(圖略). ∴OG =32OD =31(a +b ),OQ OG QG -==31(a +b )-k b =31a +331k-b ,OQ OP QP -==h a -k b .∵P 、G 、Q 三點共線,∴QP QG λ=.∴31a +331k -b =λh a -λk b .∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.331,31k k h λλ 兩式相除,得.3311hk h k khk =+⇒-=-,∴kh 11+=3.(四)知能訓練1.已知G 為△ABC 的重心,設AB =a ,AC =b ,試用a 、b 表示向量AG .2.已知向量a =(x+3,x 2-3x-4)與AB 相等,其中A(1,2),B(3,2),求x.圖9解答: 1.如圖9,AG =32AD , 而=+=+=BC AB BD AB AD 21a +21(b -a )=21a +21b , ∴3232==AD AG (21a +21b )=31a +31b .點評:利用向量加法、減法及數乘的幾何意義.2.∵A(1,2),B(3,2),∴AB =(2,0).∵a=AB ,∴(x+3,x 2-3x-4)=(2,0).∴⎩⎨⎧=--=+043,232x x x 解得⎩⎨⎧=-=-=.41,1x x x 或∴x=-1.點評:先將向量AB 用座標表示出來,然後利用兩向量相等的條件就可使問題得到解決.(五)課堂小結1.先由學生回顧本節學習的數學知識:平面向量的基本定理,向量的夾角與垂直的定義,平面向量的正交分解,平面向量的座標表示.2.教師與學生一起總結本節學習的數學方法,如待定係數法,定義法,歸納與類比,數形結合,幾何作圖. (六)作業。
高中数学第二章平面向量2.3.1平面向量基本定理学案(含解析)新人教A版必修4
2.3.1 平面向量基本定理考试标准学法指导1.平面向量基本定理既是本节的重点,也是本节的难点.2.为了更好地理解平面向量基本定理,可以通过改变向量的方向及模的大小作图观察λ1,λ2取不同值时的图形特征,得到平面上任一向量都可以由这个平面内两个不共线的向量e 1,e 2表示出来.3.在△ABC 中,明确AC →与AB →的夹角与CA →与AB →的夹角互补.1.平面向量基本定理(1)定理:如果e 1,e 2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a ,有且只有一对实数λ1,λ2,使a =λ1e 1+λ2e 2.(2)基底:不共线的向量e 1,e 2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底.状元随笔 平面向量基本定理的理解(1)e →1,e →2是同一平面内的两个不共线的向量,e →1,e →2的选取不唯一,即一个平面可以有多组的基底.(2)平面内的任一向量a →都可以沿基底进行分解. (3)基底e →1,e →2确定后,实数λ1、λ2是唯一确定的. 2.关于两向量的夹角(1)两向量夹角的概念:已知两个非零向量a 和b ,作OA →=a ,OB →=b ,则∠AOB =θ,叫作向量a 与b 的夹角.①范围:向量a 与b 的夹角的范围是[0°,180°]. ②当θ=0°时,a 与b 同向. ③当θ=180°时,a 与b 反向.(2)垂直:如果a 与b 的夹角是90°,我们说a 与b 垂直,记作a ⊥b . 状元随笔 两向量夹角概念的正确理解(1)由于零向量的方向是任意的,因此,零向量可以与任一向量平行,零向量也可以与任一向量垂直.(2)按照向量夹角的定义,只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角,如图所示,∠BAC 不是向量CA →与向量AB →的夹角,∠BAD 才是向量CA →与向量AB →的夹角.[小试身手]1.判断下列命题是否正确. (正确的打“√”,错误的打“×”)(1)一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底.( ) (2)若e 1,e 2是同一平面内两个不共线向量,则λ1e 1+λ2e 2(λ1,λ2为实数)可以表示该平面内所有向量.( )(3) 若a e 1+b e 2=c e 1+d e 2(a ,b ,c ,d ∈R ),则a =c ,b =d .( ) 答案:(1)× (2)√ (3)×2.设O 是平行四边形ABCD 两对角线的交点,给出下列向量组:①AD →与AB →;②DA →与BC →;③CA →与DC →;④OD →与OB →,其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是( )A .①②B .①③C .①④ D.③④解析:①AD →与AB →不共线;②DA →=-BC →,则DA →与BC →共线;③CA →与DC →不共线;④OD →=-OB →,则OD →与OB →共线.由平面向量基底的概念知,只有不共线的两个向量才能构成一组基底,故①③满足题意.答案:B3.在△ABC 中,向量AB →,BC →的夹角是指( )A .∠CAB B .∠ABC C .∠BCAD .以上都不是解析:由两向量夹角的定义知,AB →与BC →的夹角应是∠ABC 的补角,故选D. 答案:D4.如图所示,向量OA →可用向量e 1,e 2表示为________.解析:由图可知,OA →=4e 1+3e 2. 答案:OA →=4e 1+3e 2类型一 平面向量基本定理的理解例1 设e 1,e 2是不共线的两个向量,给出下列四组向量: ①e 1与e 1+e 2; ②e 1-2e 2与e 2-2e 1; ③e 1-2e 2与4e 2-2e 1;④e 1+e 2与e 1-e 2.其中,不能作为平面内所有向量的一组基底的是________(写出满足条件的序号).【解析】 ①设e 1+e 2=λe 1,则⎩⎪⎨⎪⎧λ=1,1=0,无解,∴e 1+e 2与e 1不共线,即e 1与e 1+e 2能作为一组基底. ②设e 1-2e 2=λ(e 2-2e 1),则(1+2λ)e 1-(2+λ)e 2=0,则⎩⎪⎨⎪⎧1+2λ=0,2+λ=0,无解,∴e 1-2e 2与e 2-2e 1不共线,即e 1-2e 2与e 2-2e 1能作为一组基底. ③∵e 1-2e 2=-12(4e 2-2e 1),∴e 1-2e 2与4e 2-2e 1共线,即e 1-2e 2与4e 2-2e 1不能作为一组基底.④设e 1+e 2=λ(e 1-e 2),则(1-λ)e 1+(1+λ)e 2=0,则⎩⎪⎨⎪⎧1-λ=0,1+λ=0,无解,∴e 1+e 2与e 1-e 2不共线,即e 1+e 2与e 1-e 2能作为一组基底.【答案】 ③由基底的定义知,平面α内两个不共线的向量e →1、e →2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底,要判断所给的两个向量能否构成基底,只要看这两个向量是否共线即可.方法归纳对基底的理解(1)两个向量能否作为一组基底,关键是看这两个向量是否共线.若共线,则不能作基底,反之,则可作基底.(2)一个平面的基底一旦确定,那么平面上任意一个向量都可以由这组基底唯一线性表示出来.设向量a 与b 是平面内两个不共线的向量,若x 1a +y 1b =x 2a +y 2b ,则{ x 1=x 2,y 1=y 2.提醒:一个平面的基底不是唯一的,同一个向量用不同的基底表示,表达式不一样.跟踪训练1 下面三种说法:①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底; ②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底; ③零向量不可以作为基底中的向量.其中正确的说法是( )A.①② B .②③ C .①③ D .①②③解析:平面内向量的基底是不唯一的,在同一平面内任何一组不共线的向量都可作为平面内所有向量的一组基底;零向量可看成与任何向量平行,故零向量不可以作为基底中的向量,故B 项正确.答案:B平面内任意一对不共线的向量都可以作为该平面内所有向量的基底,一定要注意“不共线”这一条件,在做题时容易忽略此条件而导致错误,同时还要注意零向量不能作基底.类型二 用基底表示平面向量例2 如图所示,在▱ABCD 中,点E ,F 分别为BC ,DC 边上的中点,DE 与BF 交于点G ,若AB →=a ,AD →=b ,试用a ,b 表示向量DE →,BF →.【解析】 DE →=DA →+AB →+BE →=-AD →+AB →+12BC →=-AD →+AB →+12AD →=a -12b .BF →=BA →+AD →+DF →=-AB →+AD →+12AB →=b -12a .解决此类问题的关键在于以一组不共线的向量为基底,通过向量的加、减、数乘以及向量共线的结论,把其他相关的向量用这一组基底表示出来.方法归纳用基底表示向量的两种方法(1)运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化,直至用基底表示为止. (2)通过列向量方程或方程组的形式,利用基底表示向量的唯一性求解.跟踪训练2 (1)本例条件不变,试用基底a ,b 表示AG →;(2)若本例中的基向量“AB →,AD →”换为“CE →,CF →”即若CE →=a ,CF →=b ,试用a ,b 表示向量DE →,BF →.解析:(1)由平面几何知识知BG =23BF ,故AG →=AB →+BG →=AB →+23BF →=a +23⎝ ⎛⎭⎪⎫b -12a =a +23b-13a =23a +23b . (2)DE →=DC →+CE →=2FC →+CE →=-2CF →+CE →=-2b +a . BF →=BC →+CF →=2EC →+CF →=-2CE →+CF →=-2a +b .用基底表示平面向量,要充分利用向量加法、减法的三角形法则或平行四边形法则. 类型三 向量的夹角例3 已知|a |=|b |,且a 与b 的夹角为120°,求a +b 与a 的夹角及a -b 与a 的夹角.【解析】 如图,作OA →=a ,OB →=b ,∠AOB =120°,以OA →,OB →为邻边作平行四边形OACB ,则OC →=a +b ,BA →=a -b .因为|a |=|b |,所以平行四边形OACB 为菱形. 所以OC →与OA →的夹角∠AOC =60°,BA →与OA →的夹角即为BA →与BC →的夹角∠ABC =30°.所以a +b 与a 的夹角为60°,a -b 与a 的夹角为30°.作图,由图中找到a →-b →与a →的夹角,利用三角形、四边形的知识求角. 方法归纳两个向量夹角的实质及求解的关键(1)实质:两个向量的夹角,实质上是从同一起点出发的两个非零向量构成的角. (2)关键:求两个向量的夹角,关键是利用平移的方法使两个向量的起点重合,然后按照“一作二证三算”的步骤,并结合平面几何知识求出两个向量的夹角.跟踪训练3 已知|a |=|b |=2,且a 与b 的夹角为60°,求a +b 与a 的夹角,a -b 与a 的夹角.解析:如图,作OA →=a ,OB →=b ,且∠AOB =60°,以OA ,OB 为邻边作▱OACB , 则OC →=OA →+OB →=a +b ,BA →=OA →-OB →=a -b ,BC →=OA →=a . 因为|a |=|b |=2,所以△OAB 为正三角形. 所以∠OAB =60°=∠ABC . 即a -b 与a 的夹角为60°. 因为|a |=|b |,所以▱OACB 为菱形.所以OC ⊥AB ,所以∠COA =90°-60°=30°. 即a +b 与a 的夹角为30°.作出向量a →,b →,a →+b →,a →-b →,利用平面几何知识求解. 2.3.1[基础巩固](25分钟,60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知向量a =e 1-2e 2,b =2e 1+e 2,其中e 1,e 2不共线,则a +b 与c =6e 1-2e 2的关系是( )A .不共线B .共线C .相等D .不确定 解析:∵a +b =3e 1-e 2,∴c =2(a +b ).∴a +b 与c 共线. 答案:B2.当向量a 与b 共线时,则这两个向量的夹角θ为( ) A .0° B.90°C .180°D .0°或180°解析:当向量a 与b 共线,即两向量同向时夹角θ=0°,反向时夹角θ=180°. 答案:D3.已知AD 是△ABC 的中线,AB →=a ,AD →=b ,以a ,b 为基底表示AC →,则AC →=( ) A.12(a -b ) B .2b -a C.12(b -a ) D .2b +a解析:如图,AD 是△ABC 的中线,则D 为线段BC 的中点,从而AD →=12(AB →+AC →),则AC →=2AD →-AB →=2b -a .答案:B4.在正方形ABCD 中,AC →与CD →的夹角等于( ) A .45° B.90° C .120° D.135° 解析:如图所示,将AC →平移到CE →,则CE →与CD →的夹角即为AC →与CD →的夹角,夹角为135°. 答案:D5.若D 点在三角形ABC 的边BC 上,且CD →=4DB →=rAB →+sAC →,则3r +s 的值为( )55C.85D.45解析:∵CD →=4DB →=rAB →+sAC →, ∴CD →=45CB →=45(AB →-AC →)=rAB →+sAC →,∴r =45,s =-45.∴3r +s =125-45=85.答案:C二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知向量a ,b 是一组基底,实数x ,y 满足(3x -4y )a +(2x -3y )b =6a +3b ,则x -y 的值为________.解析:因为a ,b 是一组基底,所以a 与b 不共线, 因为(3x -4y )a +(2x -3y )b =6a +3b ,所以⎩⎪⎨⎪⎧3x -4y =6,2x -3y =3,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =6,y =3,所以x -y =3.答案:37.已知O ,A ,B 是平面上的三个点,直线AB 上有一点C ,满足2AC →+CB →=0,若OA →=a ,OB →=b ,用a ,b 表示向量OC →,则OC →=________.解析:AC →=OC →-OA →,CB →=OB →-OC →,∵2AC →+CB →=0,∴2(OC →-OA →)+(OB →-OC →)=0,∴OC →=2OA →-OB →=2a -b .答案:2a -b8.在正方形ABCD 中,E 是DC 边上的中点,且AB →=a ,AD →=b ,则BE →=________.解析:BE →=BC →+CE →=AD →-12AB →=b -12a .2三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知e 1,e 2是平面内两个不共线的向量,a =3e 1-2e 2,b =-2e 1+e 2,c =7e 1-4e 2,试用向量a 和b 表示c .解析:因为a ,b 不共线,所以可设c =x a +y b , 则x a +y b =x (3e 1-2e 2)+y (-2e 1+e 2) =(3x -2y )e 1+(-2x +y )e 2=7e 1-4e 2. 又因为e 1,e 2不共线,所以⎩⎪⎨⎪⎧3x -2y =7,-2x +y =-4,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =1,y =-2,所以c =a -2b .10.如图所示,设M ,N ,P 是△ABC 三边上的点,且BM →=13BC →,CN →=13CA →,AP →=13AB →,若AB→=a ,AC →=b ,试用a ,b 将MN →、NP →、PM →表示出来.解析:NP →=AP →-AN →=13AB →-23AC →=13a -23b ,MN →=CN →-CM →=-13AC →-23CB →=-13b -23(a -b )=-23a +13b ,PM →=-MP →=-(MN →+NP →)=13(a +b ).[能力提升](20分钟,40分)11.设非零向量a ,b ,c 满足|a |=|b |=|c |,a +b =c ,则向量a ,b 的夹角为( ) A .150° B.120° C .60° D.30°解析:设向量a ,b 的夹角为θ,作BC →=a ,CA →=b ,则c =a +b =BA →(图略),a ,b 的夹角为180°-∠C .∵|a |=|b |=|c |,∴∠C =60°,∴θ=120°.答案:B 12.如图,在△ABC 中,已知AB =2,BC =3,∠ABC =60°,AH ⊥BC 于H ,M 为AH 的中点,若AM →=λAB →+μBC →,则λ+μ=________.解析:因为AB =2,∠ABC =60°,AH ⊥BC ,所以BH =1,又M 为AH 的中点,BC =3,所以AM →=12AH →=12(AB →+BH →)=12(AB →+13BC →)=12AB →+16BC →,所以λ+μ=23. 答案:2313.如图,在△OAB 中,OC →=14OA →,OD →=12OB →,AD 与BC 交于点M ,设OA →=a ,OB →=b ,试以a ,b 为基底表示OM →.解析:根据平面向量基本定理可设OM →=m a +n b (m ,n ∈R ),则AM →=OM →-OA →=(m -1)a +n b ,AD →=OD →-OA →=12b -a =-a +12b , ∵A 、M 、D 三点共线,∴AM →=λAD →(λ为实数),∴AM →=-λa +λ2b , ∴⎩⎪⎨⎪⎧ m -1=-λ,n =12λ,消去λ得m +2n =1.而CM →=OM →-OC →=⎝ ⎛⎭⎪⎫m -14a +n b ,CB →=OB →-OC →=b -14a =-14a +b , ∵C 、M 、B 三点共线,∴CM →=μCB →(μ为实数),∴CM →=-μ4a +μb ,∴⎩⎪⎨⎪⎧ m -14=-14μ,n =μ,消去μ得4m +n =1.由⎩⎪⎨⎪⎧ m +2n =1,4m +n =1解得⎩⎪⎨⎪⎧ m =17,n =37,∴OM →=17a +37b . 14.在△ABC 中,AB =3,BC =1,AC =2,D 是AC 的中点.求:(1)AD →与BD →夹角的大小;(2)DC →与BD →夹角的大小.解析:(1)如图所示,在△ABC 中,AB =3,BC =1,AC =2,所以AB 2+BC 2=(3)2+1=22=AC 2,所以△ABC 为直角三角形.因为tan A =BC AB =13=33, 所以A =30°.又因为D 为AC 的中点,所以∠ABD =∠A =30°,AD →=DC →.在△ABD 中,∠BDA =180°-∠A -∠ABD =180°-30°-30°=120°,所以AD →与BD →的夹角为120°.(2)因为AD →=DC →,所以DC →与BD →的夹角也为120°.。
《平面向量基本定理》教学设计
《平面向量基本定理》教学设计一、背景分析1.教材分析函向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具,有着极其丰富的实际背景。
此前的教学内容主要研究了向量的的概念和线性运算,集中反映了向量的几何特征。
本节课要讲解“平面向量基本定理”的概念和应用,是研究向量的正交分解和向量的坐标运算基础,向量的坐标运算正是向量的代数形态。
通过平面向量基本定理,平面中的向量与它的坐标建立起了一一对应的关系,即“数”的运算处理“形”的问题完美结合,在整个向量知识体系中处于承上启下的核心地位。
本节课教学重点是“平面向量基本定理探究过程和利用平面向量基本定理进行向量的分解”。
2.学情分析从学生知识层面看:本节课之前已经学习了向量的基本概念和基本运算,如共线向量、向量的加法、减法和数乘运算及向量共线的充要条件等;另外学生对向量的物理背景有了初步的认识。
从学生能力层面看:通过以前的学习,已经初步具备类比归纳概括的能力,能在教师的引导下解决问题。
教学中引入生活实例类比出向量的分解,让学生通过课件的直观感受和动手探索总结归纳出平面向量基本定理,尤其是将图形语言转化为文字语言,对学生的能力要求比较高.因此,我认为平面向量的分解及对这种分解唯一性的理解是本节课的教学难点.二.学习目标1)知识与技能目标1、了解平面向量基本定理及其意义,会选择基底来表示平面中的任一向量。
2、能用平面向量基本定理进行简单的应用。
2)过程与方法目标1、通过平面向量基本定理的探究,让学生体验数学定理的产生、形成过程,培养学生观察发现问题、由特殊到一般的归纳总结问题能力。
2、通过对平面向量基本定理的运用,增强学生向量的应用意识,让学生进一步体会向量是处理几何问题强有力的工具之一。
3)情感、态度与价值观目标1、用现实的实例,激发学生的学习兴趣,培养学生不断发现、探索新知的精神,发展学生的数学应用意识;2、经历定理的产生过程,让学生体验由特殊到一般的数学思想方法,在探究活动中形成锲而不舍的钻研精神和科学态度。
平面向量基本定理(教案)
《2.3.1 平面向量基本定理》教案【教材】人教版数学必修4(A版)第105-106页【课时安排】1个课时【教学对象】高一学生【授课教师】华南师范大学数学科学学院陈晓妹【教材分析】1.向量在数学中的地位向量是近代数学中重要的概念,它不仅是沟通代数与几何的桥梁,还是解决许多实际问题的重要工具,因此具有很高的教育价值。
2.本节在教学中的地位平面向量基本定理是向量进行坐标表示,并由此进一步将向量运算转化为坐标运算的重要基础;该“定理”以二维向量空间为依托,可以推广到n维向量空间,是今后引出空间向量用三维坐标表示的基础。
因此本节知识在本章中起承上启下的作用。
3.本节在教学思维方面的培养价值平面向量基本定理蕴含了转化的数学思想。
它是用基本要素用基本要素(基底、元)表达事物(向量空间、具有某种性质的对象的集合),并把对事物的研究转化为对事物基本要素研究的典型范例,这是人们认识事物的一种重要方法。
【目标分析】知识与技能1.理解平面向量的基底的意义与作用,学会选择恰当的基底,将简单图形中的任一向量表示为一组基底的线性组合;2.了解平面向量的基本定理,初步利用定理解决问题(如相交线交成线段比的问题等)。
过程与方法1.通过平面向量基本定理,认识平面向量的“二维”性,并由此进一步体会“某一方向上的向量的一维性”,培养“维数”的基本观念;2.通过对平面向量基本定理的探究过程,让学生体会数学定理的产生、形成过程,体验定理所蕴含的转化思想。
情感态度价值观1.培养学生主动探求知识、合作交流的意识,感受数学思维的全过程;2.与物理学科之间的渗透,改善数学学习信念,提高学生学习数学的兴趣。
【学情分析】有利因素1.学生在前面已经掌握了向量的基本概念和基本运算(特别是向量加法平行四边形法则和向量共线的充要条件)都为学生学习本节内容提供了知识准备;2.学生在物理学科的学习中已经清楚了力的合成和力的分解,同时作图习惯已经养成,这为我们学习向量分解提供了认知准备。
第二章__2.3_.1平面向量基本定理
第二章 2.3.1 平面向量基本定理教学目的:1了解平面向量基本定理;2掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示,理解这是应用向量解决实际问题的重要思想方法;3能够在具体问题中适当地选取基底,使其他向量都能够用基底来表达 教学重点:平面内任一向量都可以用两个不共线非零向量表示教学难点:平面向量基本定理的理解授课类型:新授课 课时安排:1课时教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入:1.实数与向量的积:实数λ与向量a 的积是一个向量,记作:λa(1)|λa |=|λ||a |;(2)λ>0时λa 与a 方向相同;λ<0时λa 与a方向相反;λ=0时λa=2.在三角形ABD 中,O 为BD 中点:()12AO AB AD =+, 3. 向量共线定理 向量b 与非零向量a共线的充要条件是:有且只有一个非零实数λ,使b =λa4.利用向量证三点共线.若AB 与AC 共线即()AB AC R λλ=∈,那么点,,A B C 三点共线.5、温故讨论:若 D 、E 、F 分别是△ABC 三边BC 、CA 、AB 上的中点,求证:(1)2,2BG GE CG GF ==(2),,AE BF CD 三线交于一点G ; 证: (1)连EF ,GEF BGC ≅ ,22,2BC EF BG GE CG GF =⇒== (2)连AG ,GE 只需证点A ,G ,E 共线,设,,AB a AC b ==()22113323AG BG BA BE a a b a a b⎛⎫=-=+=+-=+ ⎪⎝⎭ ,()12AD a b =+ , 所以,23AG AD =,所以,点A ,G ,D 共线ABFDEGC延续讨论:(1)若F 、D 、E 分别是△ABC 三边AB 、BC 、CA 上的中点,求证:0 =++CF BE AD证:)(21AC AB AD +=; )(21BA BC BE +=;)(21CA CB CF += 相加即得:0=++(2)若G 是△ABC 的重心,则:0=++,(3)反之亦然:若0=++ ,则:G 是△ABC 的重心.设F 为AB 的中点因为:2,GA GB GF GC +==-所以,C ,G ,E 共线,且2CG GF =(4)若点O 为平面上任一点,G 是△ABC 的重心,则()++=31。
平面向量基本定理教案
平面向量基本定理教案教案标题:平面向量基本定理教案教学目标:1. 理解平面向量的概念和基本性质;2. 掌握平面向量的加法、减法和数量乘法运算;3. 理解平面向量的基本定理,包括平行四边形定理和三角形定理;4. 能够应用平面向量的基本定理解决几何问题。
教学准备:1. 教师准备:黑板、彩色粉笔、投影仪、教学PPT;2. 学生准备:学生课本、笔记本、作业本。
教学过程:一、导入(5分钟)1. 引入平面向量的概念,通过实例让学生了解向量的定义和表示方法;2. 引发学生对平面向量的兴趣,提出一个与向量相关的问题,引导学生思考。
二、讲解(15分钟)1. 通过教学PPT,向学生讲解平面向量的加法、减法和数量乘法运算规则,并给出实例进行演示;2. 介绍平面向量的基本定理,包括平行四边形定理和三角形定理,给出相关的几何解释和证明过程。
三、练习(20分钟)1. 学生个人练习:在黑板上出示一些平面向量的练习题,让学生个人完成,并互相交流讨论;2. 学生小组练习:将学生分成小组,给每个小组分发一套练习题,让他们共同合作解决问题;3. 教师巡回指导,解答学生疑惑。
四、展示与总结(10分钟)1. 随机选择几位学生上台展示解题过程,让其他学生评价和提出改进意见;2. 教师进行总结,强调平面向量基本定理的重要性和应用范围;3. 布置作业:要求学生完成课后习题,巩固所学知识。
五、拓展与应用(5分钟)1. 引导学生思考平面向量在实际生活中的应用,如力的合成、速度的合成等;2. 提供一些相关的拓展问题,让学生进行探究和解决。
教学反思:通过本节课的教学,学生能够理解平面向量的概念和基本性质,掌握平面向量的运算规则,并能够应用平面向量的基本定理解决几何问题。
在教学过程中,通过多种练习形式,激发了学生的学习兴趣和合作意识。
同时,通过展示和总结环节,提高了学生的表达能力和思维能力。
在今后的教学中,可以加强与实际生活的联系,提供更多的应用案例,增加学生的实践操作。
《2.3.1平面向量的基本定理及坐标表示》课件2
,则称 a 与 b 垂直,
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
名师点睛 1.准确理解平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理的实质是向量的分解,即平面内任一向量 都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式,且分解 是唯一的. (2)平面向量基本定理中, 实数 λ1, λ2 的唯一性是相对于基底 e1, e2 而言的,平面内任意两个不共线的向量都可作为基底,一旦 选定一组基底,则给定向量沿着基底的分解是唯一的.
).
1 C.4
1 D.8
1→ 1→ 1→ 1 → → 1 → → 1 AN=2AD+AE=24AB+4AC=8AB+8AC,∴x=y=
1 1 1 1 ,即 x+y= + = . 8 8 8 4 答案 C
课前探究学习 课堂讲练互动 活页规范训练
题型四 共线向量与平面向量基本定理的 综合应用 → =a,OB → =b,M、N 分 【例 4】 如图所示,在△OAB 中,OA 1 1 → → → 与BM →交 别是边 OA、OB 上的点,且OM= a,ON= b,设AN 3 2 → 于点 P,试以 a、b 为基底表示OP.
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3→ → → → → → 又∵ OB = 3, =1,故OD= 3OA,OE= OA 3 OB,
3→ → → ∴OC= 3OA+ 3 OB, 3 m 3 此时 m= 3,n= ,∴ = =3. 3 n 3 3
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【变式 2】 已知|a|=|b|=2,且 a+b 和 a 的夹角和 a-b 和 a 的夹角相等,求 a 与 b 的夹角. → =a,OB → =b, 解 如图,作OA 以 OA,OB 为邻边作▱OACB, → =a+b,BA → =OA → -OB → =a-b, 则OC → → BC=OA=a, ∴a+b 与 a 夹角为∠AOC, a-b 与 a 夹角为∠ABC,a 与 b 夹角为∠AOB.
2.3.1平面向量基本定理
2.3.1平面向量基本定理镇江市丹徒高级中学范习昱一、教学内容的分析:本节课主要内容是平面向量基本定理及其应用,学生在前面已经掌握了向量的基本概念、向量的加减运算法、向量的数乘、向量共线定理,这些都是学习本节内容的基础知识。
本节课内容是必修4第2章中最重要的内容之一,是平面向量中最具奠基意义的一节,它既是前面知识(向量的加减运算法、向量的数乘、向量共线定理)的综合应用,又是后面进行向量坐标运算教学的基础,因此本节显得非常重要。
向量具有数和形的两种特征,是数学中解决几何问题的工具,可以使复杂问题简单化、直观化,使代数问题几何化、几何问题代数化,解决起来更加简捷。
平面向量基本定理是把几何问题向量化的理论基础,这一定理说明了同一平面内任意向量都可表示为两个不共线向量的线性组合。
定理本身蕴涵着严谨、条理的数学思维方式,通过合理引导,可以培养学生良好的个性心理品质和较高的数学素养。
二、教学目标:1、知识目标:了解平面向量的基本定理及其意义,会作出由给定的一组基底所表示的向量,会把平面内任意一向量表示为一组基底的线性组合。
2、能力目标:着重培养学生获取知识的能力和严谨、条理地分析问题的能力。
3、德育目标:培养学生勇于探索、勇于创新的精神,是本节课深层次的目标。
三、教学重、难点:本节课的重点是平面向量基本定理及其推到过程。
为了突出重点,可以考虑一方面利用多媒体课件展示平面向量基本定理推到过程,另一方面对定理的内涵和外延加以合适的探究并配以针对性的例题。
本节课的难点是对平面向量基本定理的理解。
突破难点的关键是在充分理解向量加法的平行四边形法则和向量共线定理的基础上,多方位、多角度探究设问并设计难度适中具有思考性的训练题,从而加深对该定理的理解。
四、授课类型:新授课五、教具:多媒体课件、实物投影仪六、教学过程:(一)、复习引入:1.向量的加法(平行四边形法则,三角形法则)2.向量的数乘:实数λ与向量a 的积是一个向量,记作:λa(1)|λa |=|λ||a |;(2)λ>0时λa 与a 方向相同;λ<0时λa 与a方向相反;λ=0时λa=0 (二)、讲解新课:1、创设情境:火箭在升空的某一时刻,速度可以分解成坚直向上和水平向前的两个分速度。
平面向量基本定理教案
平面向量基本定理教案(经典版)编制人:__________________审核人:__________________审批人:__________________编制单位:__________________编制时间:____年____月____日序言下载提示:该文档是本店铺精心编制而成的,希望大家下载后,能够帮助大家解决实际问题。
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2.3.1平面向量基本定理(必修四 数学 优秀课件)
即(2 - )a +(k - 4 )b = 0
k – 4 = 0 8.
2 - = 0
k =
e2是同一平面内的两个不 如果 e1 、 共线向量,那么对于这一平面内的任 一向量 a 有且只有一对实数1、 2 使 a = 1 e1 + 2e2 e2叫做表 我们把不共线的向量e1 、 示这一平面内所有向量的一组基底。
思考 (1)一组平面向量的基底有多少对? (有无数对) C F M M C A O a N B O a N E
AB与BD共线,则存在实数
λ使得AB = λBD.
由于BD = CD – CB
k =
=(2a – b) –(a +3b) = a – 4b 则需 2a + kb = (a – 4b ) 2 = 由向量相等的条件得 k = 4
8.
此处可另解:
则需 2a + kb = (a – 4b )
e2
B
A
e1 2.5e
1
3e2
· O
向量的夹角
思考1:不共线的向量有不同的方向,对 于两个非零向量a和b,作 OA a,OB b, 如图.为了反映这两个向量的位置关系, 称∠AOB为向量a与b的夹角.你认为向量 的夹角的取值范围应如何约定为宜?
B a b b
[0°,180°]
1 a 2
总结: 1、平面向量基本定理内容 2、对基本定理的理解 (1)实数对λ1、 λ2的存在性和唯一性 (2)基底的不唯一性 (3)定理的拓展性 3、平面向量基本定理的应用 求作向量、解(证)向量问题、解(证) 平面几何问题
思考
设 a、b是两个不共线的向量, 已知AB = 2a + kb, CB = a + 3b, CD = 2a – b,若A、B、D三点共线, 求k的值。 解: A、B、D三点共线
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《平面向量基本定理》教案
参赛号:70
一、教材分析
本节课是在学习了共线向量定理的前提下,进一步研究平面内任一向量的表示,为今后平面向量的坐标运算打下坚实的基础。
所以,本节在本章中起到承上启下的作用。
平面向量基本定理揭示了平面向量之间的基本关系,是向量解决问题的理论基础。
平面向量基本定理提供了一种重要的数学思想—转化思想。
二、教学目标
知识与技能: 了解平面向量基本定理及其意义,学会利用平面向量基本定理解决问题,掌握基向量表示平面上的任一向量.
过程与方法:通过学习平面向量基本定理,让学生体验数学的转化思想,培养学生发现问题的能力.
情感态度与价值观:通过学习平面向量基本定理,培养学生敢于实践的创新精神,在解决问题中培养学生的应用意识。
:
教学重点:平面向量基本定理的探究;
教学难点:如何有效实施对平面向量基本定理的探究过程.
三、教学过程
1、情景创设
七个音符谱出千支乐曲,26个字母写就百态文章! 在多样的向量中,我们能否找到它的基本音符呢
问题1 给定一个非零向量a ,允许做线性运算,你能写出多少个向量
a a
》
问题2 给定两个非零向量12 ,e e ,允许做线性运算,写出尽量多的向量
1、12 //e e 通过线性运算会得到11221122 +e e e e λλλλ的形式,本质上它们表示的都是1e 的数乘。
2、12 e e ,不共线 通过线性运算会得到1122+e e λλ,它表示的是什么向量 1e 2e
不妨我们作出几个向量12+e e ,122+e e , 12-e e , 12-2e e 来看看。
只要给定1λ和2λ的值,我们就可以作出向量1122+e e λλ,本质上是1e 的数乘和2e 的数乘的合成。
随着1λ和2λ取值的变化,可以合成平面内无数多个向量。
问题3 那么我们能否这样认为:平面上的任何一个向量都可以由1e 和2e 来合成呢
我们在平面上任取一个向量a ,看看它能否由1e 和2e 来合成,也就是能否找
到这样的1e 和2e ,使1122+a e e λλ=
)
这个问题可简述为:平面上有两个不共线的向量1e 和2e ,平面上的任意一个
向量能否用这两个向量来表示
思考探究: 根据探寻的目标1122+a e e λλ=,结合上面向量合成的做法,显然a 就应该是合成后的平行四边形的对角线,而平行四边形两边应该是1e 和2e 所在的直线,因此,只要作出这个平行四边形,问题就迎刃而解了。
1e 2e a
<
如图所示,在平面内任取点O ,作=OA 1e ,=OB 2e ,=OC . 作平行四边形
ONCM. 则ON OM OC +=.由向量共线定理可得,存在唯一的实数1λ,使
=OM 1λ1e ;存在唯一的实数2λ,使=ON 2λ2e .即存在唯一的实数对1λ,2λ,
使得a =1λ1e +2λ2e .
C
,
强调:向量的任意性、1e 、2e 不共线、系数1λ,2λ的存在性与唯一性。
2、定理剖析
讨论探究:同学们能否总结出平面向量基本定理的内容
如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意
向量a ,有且只有一对实数1λ,2λ,使a =1λ1e +2λ2e
这里我们发现平面内的任意两个不共线向量1e 、2e 就类似于音乐中的7个音符,类似于英文中的26个字母。
我们把任意两个不共线的向量1e 、2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组
基底。
定理说明:
(1)什么样的两个向量可以作为平面内所有向量的一组基底
.
不共线的两个向量
(2)一个平面的基底是唯一的吗 不唯一,可以有无数多个
(3)当平面的基底给定时,任意向量a 的分解形式唯一的吗 由共线向量定理可知:1λ,2λ唯一确定 3、例题分析
例1 已知向量1e 、2e ,求作向量1e +32e . 1e 2e
?
例2 如图平行四边形ABCD 两条对角线相交于M ,且a AB =,b AD =,用b a ,表示向量MD MC MB MA ,,,.
变式:在上述平行四边形中,若已知
, , .AC m BD n m n AB AD ==试用基底,表示和
!
4、课堂检测
1、已知向量1e 、2e 不共线,实数x 、y 满足(3x -4y ) 1e +(2x -3y ) 2e =61e +32e ,则x -y 的值等于( )
B .-3 C.0
2、如图,已知梯形ABCD ,AB 向量a AB =b AD =,试用a ,b
表示向量MN .
~
5、课堂小结
(1)平面向量基本定理;
(2)该定理研究了向量哪方面的知识 平面向量基本定理
A
N
M
C
D
B
7、作业。