数学建模板材成本控制问题

板材成本控制问题摘要排样下料问题在很多工业领域中都有广泛应用，解决好排样问题，可以提高材料的利用率，板材下料成本控制问题是经典的优化问题，本文解决的是在板材面积和长宽比以及用材面积给定的情况下，根据不同的用材规格要求，确定最大的用材数y与l的关系。

在充分理解题意的基础上，本文通过建立非线性规划模型，利用LINGO软件求解，选出最优下料方案。

问题一中有一种下料方案，建立非线性规划模型并利用LINGO软件求解得出，当l=1、n=25时，最大用材数y=25问题二中有三种下料方案，第一种方案将圆形看做正方形排样，最优结果同问题一；第二种方案用材在板材上横向排样，排样会出现三种情况；第三种方案用材在板材上纵向排样，同样会出现三种情况；每种情况都可以建立非线性规划模型确定最大用材数y与l的关系，再利用LINGGO软件求解。

问题三中因为矩形用材长宽比为2:1比较特殊，两块矩形用材拼一块儿课形成正方形，所以只有两种下料方案，第一种方案用材在板材上纵向排样，此种排样结果会有两种情况；第二种方案用材在板材上纵向排样，此种排样结果同样会有两种情况。

每种情况都可以建立非线性规划模型确定最大用材数y与l的关系，再利用LINGGO软件求解。

问题四排样方案同问题三，问题四中矩形用材的长宽比在1到2之间最优排样方案会比问题三多，由于求解过程繁琐只对问题三中的两种方案加以求解。

关键词：非线性规划分向排样奇偶排列图表分析目录一．问题重述 (2)二．符号说明 (2)三．问题分析 (2)问题一问题二问题三问题四四．模型假设 (8)五．模型建立与求解 (8)六．模型评价 (21)参考文献 (21)一．问题重述板材下料成本控制问题是经典的优化问题。

考虑一块面积为A，长宽比为l的板材。

现在需要切割成面积为B的用材。

16/25≤=≤，不妨假设n为整数。

请根据下列n A B需求，建立实际问题的数学建模，确定最大的用材数y与l的关系。

问题一：用材为正方形，12≤≤，确定最大的用材数y与l的关系。

l问题二：用材为圆形，12≤≤，确定最大的用材数y与l的关系。

l并给出可能的不同下料方式。

问题三：用材为矩形，长宽比为2，12≤≤，确定最大的用材数y与l的关系。

并l给出可能的不同下料方式。

问题四：用材为矩形，长宽比为m，12≤≤，确定最大的用材数y与lml≤≤，12的关系。

并给出可能的不同下料方式。

二．符号说明A：板材面积B：用材面积l: 板材长宽之比y: 最大的用材数m：用材为矩形时的长宽比n:板材面积与用材面积之比R：用材为圆形时圆的半径[]:表示向下取整数三．问题分析由上述描述可知，对于不同的用材规格会有不同的方案，在满足条件16/25≤=≤（nn A B为正整数）的情况下，对于不同的用材需求给出如下分析：问题一：用材为正方形，12l ≤≤。

有一种下料方案如图1所示图1问题二：用材为圆形，12l ≤≤。

有三种下料方案，如下图所示： 方案一：圆的排列方式相当于正方形的排列方式图2方案二：用材在板材上横向排样，此种排列方式会有三种情况，即1.奇偶行切割的个数相等，2.奇数行比偶数行多一个且最后一行是奇数行，3.奇数行比偶数行多一个且最后一行是偶数行。

当奇数行切割后的余料宽度大于圆的半径R ，则奇偶行切割的圆的个数相等；当奇数行切割后的余料宽度小于圆的半径R ，则奇数行切割的圆的个数比偶数行多一个。

具体排样如下图所示图3图4图5方案三：用材在板材上纵向排样，此种排列方式会有三种情况，即1.奇偶行切割的个数相等，2.奇数行比偶数行多一个且最后一行是奇数行，3.奇数行比偶数行多一个且最后一行是偶数行。

当奇数行切割后的余料宽度大于圆的半径R，则奇偶行切割的圆的个数相等；当奇数行切割后的余料宽度小于圆的半径R，则奇数行切割的圆的个数比偶数行多一个。

具体排样如下图所示图6图7图8问题三：用材为矩形，长宽比为2，12≤≤。

有两种下料方案，切割方式如下图所示l所示，方案一：在板材上切割横向排列的所需矩形时会出现两种情况。

当板材最大限度切割出横向排列的矩形后，如果每排余料宽度小于用材宽度时无论所需矩形如何摆放都无法利用余料再进行切割；如果每排余料宽度大于用材宽度且小于用材长度时，余料还可以切出纵向摆放的矩形。

切割方式如图6、图7所示图9图10方案二：在板材上纵向切割所需矩形时同样会出现两种情况。

当板材最大限度切割出纵向排列的矩形后，如果余料宽度小于所需矩形宽度，则无法利用余料切割出所需矩形；如果余料宽度大于所需矩形宽度且小于所需矩形长度，则还可以在余料上切割出横向排列的矩形。

切割方式如图8、图9 所示图11图12问题四：用材为矩形，长宽比为m ，12l ≤≤，12m ≤≤。

切割方案同问题三 四．模型假设1.假设不考虑切割问题中切割造成的切边损失2.假设切割过程无人工误差3.假设切割出的用材均为合格品 五．模型建立与求解1.用材为正方形，12l ≤≤，16/25n A B ≤=≤，时最大的用材数y 与l 的关系为： ①目标函数的建立：[]nl l n ∙⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=②约束条件的建立：（1-11）③模型求解：2．用材为圆形，12l ≤≤，16/25n A B ≤=≤，最大的用材数y 与l 的关系，会有两种方案（1）第一种方案：当将圆形看成正方形排样时，最大的用材数y 与l 的关系式为： ①目标函数的建立：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∙⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=R Al R l A y22max⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∙⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=44ππl n l n②约束条件的建立：③模型求解：利用LINGO 求解得：用材大小的约束条件 用材数量的约束条件板材的宽度与用材边长约束条件板材的长度与用材边长约束条件用材大小的约束条件用材数量的约束条件板材的宽度与用材大小约束条件板材的长度与用材大小约束条件（1-21）（2-11）（2-21）（2）第二种方案：用材在板材上横向排样，当奇数行第一个圆与板材相切，其余圆顺次排样，偶数行第一个圆圆心距板材一边为2R 并与奇数行相邻圆相切时，会有三种情况，即1.奇数行与偶数行排样数量相等，2.奇数行比偶数行排样数量多一个且最后一行为偶数行，3. 奇数行比偶数行排样数量多一个且最后一行为奇数行三种情况 第一种情况：奇数行与偶数行排样数量相等 ①目标函数的建立：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∙⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=R Al R R l A y 2132max ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∙⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=41323ππl n l n ②约束条件的建立：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≤∙⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡≤≤∙⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-≤≥≥≥≥≤=≤≤≤224l n -nl 1即 ,22214l n 即 ,214即 ,2251621ππππR R R Al Al R R Al l n R lAn B A l③模型求解：第二种情况：奇数行比偶数行排样数量多一个且最后一行为偶数行用材大小的约束条件用材数量的约束条件板材余料宽度与用材半径大小的约束条件板材的宽度与用材大小约束条件 板材的长度与用材大小约束条件（2-21） （2-22）①目标函数的建立：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∙+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=1222132maxR Al R Al R R l A y⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∙⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∙⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=12421323l n l n ππ②约束条件的建立：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-≤∙⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡≤≤∙⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-≤≥≥≥≥≤=≤≤≤为正整数,21323即，,2132124l n -nl 0即 ,22014l n 即 ,214即 ,2251621k k l n k R R l A R R R Al Al R Al l n R l A n B A l πππππ③模型求解：第三种情况：奇数行比偶数行排样数量多一个且最后一行为奇数行 ① 目标函数的建立：用材大小的约束条件用材数量的约束条件板材的宽度与用材大小约束条件 板材的长度与用材大小约束条件 板材余料宽度与用材半径大小的约束条件 偶数行的约束条件 （2-31）（2-32）[]⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∙⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∙⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=122132212132maxR Al R R l A R Al R R l A y⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∙⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∙⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=14213234121323l n l n l n l n ππππ ②约束条件的建立：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-≤∙⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡≤≤∙⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-≤≥≥≥≥≤=≤≤≤为正整数,121323即，,12132124l n -nl 0即 ,22014l n 即 ,214即 ,2251621k k l n k R R l A R R R Al Al R Al l n R l A n B A l πππππ ③模型求解：（3）第三种方案：用材在板材上纵向排样，当奇数行第一个圆与板材相切，其余圆顺次排样，偶数行第一个圆圆心距板材一边为2R 并与奇数行相邻圆相切时，会有三种情况，即1.奇数行与偶数行排样数量相等，2.奇数行比偶数行排样数量多一个且最后一行为偶数行，3. 奇数行比偶数行排样数量多一个且最后一行为奇数行三种情况 第一种情况：奇数行与偶数行排样数量相等用材大小的约束条件用材数量的约束条件板材的宽度与用材大小约束条件 板材的长度与用材大小约束条件板材余料宽度与用材半径大小的约束条件 奇数行的约束条件 （2-42） （2-41）①目标函数的建立：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∙⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1R 3R 2Al R 2l A y max ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∙⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1323l n l 4n ππ ②约束条件的建立：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧<∙⎥⎦⎤⎢⎣⎡-≤<∙⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-≤≥≥≥≥≤=≤≤≤22l 4n l n 1即,R 2R 2R 2l A l A R 14l n 即,R 2Al 14l n 即,R 2l A25n BA 162l 1ππππ ③模型求解：第二种情况：奇数行比偶数行排样数量多一个且最后一行为偶数行①目标函数的建立：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡∙⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1R 2l A R 2l A 21R 3R 2Al y max ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∙∙⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1l 4n 221323l n ππ ②约束条件的建立：用材大小的约束条件 用材数量的约束条件板材的宽度与用材大小约束条件 板材的长度与用材大小约束条件 板材余料宽度与用材半径大小的约束条件用材大小的约束条件用材数量的约束条件板材的宽度与用材大小约束条件板材的长度与用材大小约束条件（2-51）（2-52）（2-61）⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-<∙⎥⎦⎤⎢⎣⎡-≤<∙⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-≤≥≥≥≥≤=≤k 21323l n 即,k 21R 3R 2Al 12l 4n l n 0即,R R 2R 2l A l A 014l n 即,R 2Al 14l n 即,R 2lA 25n B A 16πππππ ③模型求解：第三种情况：奇数行比偶数行排样数量多一个且最后一行为奇数行 ①目标函数的建立：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡∙⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡∙⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1R 2l A 21R 3R 2Al R 2l A 121R 3R 2Al y max ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∙⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∙⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1l 4n 21323l n l 4n 121323l n ππππ②约束条件的建立：板材余料宽度与用材半径大小的约束条件 k 为正整数，偶数行的约束条件用材大小的约束条件用材数量的约束条件板材的宽度与用材大小约束条件板材的长度与用材大小约束条件（2-62）（2-71）⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨+=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-<∙⎥⎦⎤⎢⎣⎡-≤<∙⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-≤≥≥≥≥≤=≤1k 21323l n 即,1k 21R 3R 2Al 12l 4n l n 0即,R R 2R 2l A l A 014l n 即,R 2Al 14l n 即,R 2lA 25n B A 16πππππ③模型求解：3 用材为矩形，长宽比为2，12l ≤≤,16/25n A B ≤=≤,时最大的用材数y 与l 的关系会有两种方案，第一种方案是矩形用材在板材上为横向排样，第二种方案是矩形用材在板材上纵向排样，每种方案又会分两种情况 （1）方案一：矩形用材在板材上横向排样第一种情况：矩形用材在板材上横向排样，余料宽度大于用材的宽度小于用材的长度 ①目标函数的建立：②约束条件的建立：用材大小的约束条件用材数量的约束条件板材长度与用材长度约束条件板材余料宽度与用材半径大小的约束条件 k 为正整数，奇数行的约束条件 （2-72） （3-11）③模型求解：第二种情况：矩形用材在板材上纵向排样，余料宽度小于用材宽度 ①目标函数的建立：②约束条件的建立：③模型求解：利用LINGO 求解得：用材大小的约束条件用材数量的约束条件板材长度与用材长度约束条件板材宽度与用材宽度约束条件板材余料与用材大小约束条件余料宽度与用材大小的约束条件（3-21）（3-21）（3-22）（2）方案二：矩形用材在板材上纵向排样第一种情况：矩形用材在板材上纵向排样，余料宽度大于用材的宽度小于用材的长度 ①目标函数的建立：②约束条件的建立：③模型求解：第二种情况：矩形用材在板材上纵向排样，余料宽度小于用材宽度 ①目标函数的建立：用材大小的约束条件用材数量的约束条件板材长度与用材长度约束条件板材宽度与用材宽度约束条件板材余料与用材大小约束条件（3-31）（3-32）②约束条件的建立：③模型求解：4用材为矩形，长宽比为m ，12l ≤≤，12m ≤≤,16/25n A B ≤=≤,最大的用材数y 与l 的关系会有两种方案, 第一种方案是矩形用材在板材上为横向排样，第二种方案是矩形用材在板材上纵向排样，每种方案又会分两种情况 （1）方案一：矩形用材在板材上横向排样第一种情况：矩形用材在板材上横向排样，余料宽度大于用材的宽度小于用材的长度 ①目标函数的建立：②约束条件的建立：用材大小的约束条件用材数量的约束条件板材长度与用材长度约束条件板材宽度与用材宽度约束条件板材余料与用材大小约束条件（3-41）（3-42）（3-51）③模型求解：第二种情况：矩形用材在板材上纵向排样，余料宽度小于用材宽度 ①目标函数的建立：②约束条件的建立：③模型求解：利用LINGO 求解得：用材大小的约束条件用材数量的约束条件板材长度与用材长度约束条件板材宽度与用材宽度约束条件余料宽度与用材大小的约束条件用材大小的约束条件用材数量的约束条件板材长度与用材长度约束条件板材宽度与用材宽度约束条件余料宽度与用材大小的约束条件（3-52）（3-61）（3-62）（2）方案二：矩形用材在板材上纵向排样第一种情况：矩形用材在板材上纵向排样，余料宽度大于用材的宽度小于用材的长度 ①目标函数的建立：②约束条件的建立：③模型求解：第二种情况：矩形用材在板材上纵向排样，余料宽度小于用材宽度 ①目标函数的建立：用材大小的约束条件用材数量的约束条件板材长度与用材长度约束条件板材宽度与用材宽度约束条件余料宽度与用材大小的约束条件（3-71）（3-72）②约束条件的建立：③模型求解：六．模型评价优点：用lingo 求解较为简单，用表格列出数据，直观，明了。