2021量子力学考研与量子力学考点复习笔记
量子力学知识点总结共23页
21、静念园林好，人间良可辞。 22、步步寻往迹，有处特依依。 23、望云惭高鸟，临木愧游鱼。 24、结庐在人境，而无车马喧；问君 何能尔 ？心远 地自偏 。 25、人生归有道，衣食固其端。
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26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
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27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼如乐之者。——孔子
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29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
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30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
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考研物理学量子力学基础知识总结
考研物理学量子力学基础知识总结量子力学是现代物理学中的一门基础学科，它研究微观领域中物质和能量的行为。
考研中的物理学科通常包括量子力学的基础知识，下面是对考研物理学量子力学基础知识的总结。
一、波粒二象性量子力学中最基本的概念之一是波粒二象性。
它表明微观粒子既可以表现为粒子，有时又可以表现为波动。
根据不同实验条件下的观测结果，物理学家引入了波函数来描述粒子的行为。
二、波函数和薛定谔方程波函数是用来描述量子体系的数学函数，它可以通过薛定谔方程来求解。
薛定谔方程是量子力学的核心方程之一，它描述了量子体系中粒子的运动和演化。
三、量子力学的不确定性原理量子力学的不确定性原理是由海森堡提出的。
它指出，在量子体系中，不能同时准确测量粒子的位置和动量，以及能量和时间。
这意味着在微观尺度下，对粒子的测量是具有一定的不确定性的。
四、量子力学的态和算符在量子力学中，态是用来描述物理体系的状态的概念。
态矢量可以用来表示具体的态。
算符则是量子力学中非常重要的概念，它用来描述物理量的操作和测量。
五、量子力学中的量子数和量子态量子力学中的量子数是用来描述量子体系性质和状态的数字。
电子的自旋、原子的能级等都可以用量子数来描述。
量子态是由一系列量子数确定的。
六、量子力学的叠加态和纠缠态量子力学中的叠加态是多个量子态的线性组合，这意味着量子体系可以同时处于多种状态之间。
纠缠态则是指两个或多个粒子之间存在特殊的量子关联，纠缠态的测量结果是彼此相关的。
七、量子力学的量子力学动力学量子力学动力学用来描述量子体系的时间演化。
在量子力学动力学中，态矢量的演化是由薛定谔方程和哈密顿算符确定的。
八、量子力学中的定态和本征态在量子力学中，定态是永不改变的态，本征态是表示具有确定取值的物理量的态。
本征态对应的物理量取值就是相应的本征值。
九、量子力学中的量子隧穿和量子纠缠量子隧穿是指粒子在能量低于势垒的情况下仍然能够穿过势垒。
量子纠缠是指两个或多个粒子之间存在特殊的量子关联，纠缠态的测量结果是彼此相关的。
考研量子力学知识点串讲
考研量子力学知识点串讲量子力学是现代物理学的重要组成部分，也是考研物理的重点和难点之一。
在考研中，对于量子力学的掌握将对考生的综合素质有很大的提升。
下面将从几个重要的知识点出发，给大家进行量子力学的串讲。
一、波粒二象性波粒二象性是指微观粒子既可以表现为粒子的特性，又可以表现为波的特性。
这种二象性是量子力学的基石，也是量子力学与经典物理的根本区别之一。
二、波函数与波函数的统计解释波函数是量子力学中最核心的概念之一，它描述了粒子的状态和性质。
波函数的统计解释给出了粒子在不同状态下的概率分布，并与实验结果相符合。
三、哈密顿算符和薛定谔方程哈密顿算符是描述粒子能量的算符，在薛定谔方程中起到了至关重要的作用。
薛定谔方程是描述量子力学中粒子运动的基本方程，通过求解薛定谔方程可以得到波函数的解。
四、量子力学中的测量量子力学中的测量与经典物理中的测量有很大的不同。
由于波粒二象性的存在，粒子的测量结果是不确定的，只能给出在某个状态下的概率分布。
五、不确定性原理不确定性原理是量子力学的基本原理之一。
它表明，在某些物理量的测量中，无法同时获得这些物理量的精确值。
不确定性原理对于解释量子效应和限制测量精度具有重要意义。
六、量子力学中的一些重要定理量子力学中有一些重要的定理，如波恩定理、波尔兹曼定理、均匀谐振子的能级等。
这些定理与实际问题的求解和理论推导有着密切的联系。
七、量子力学中的一些应用量子力学在许多领域中都有重要的应用，如原子物理、分子物理、凝聚态物理等。
这些应用包括原子能级结构、电子行为、超导现象等。
综上所述，量子力学是考研物理中的重要内容，对于考生来说，掌握量子力学的基本知识点和理论方法是非常重要的。
通过对波粒二象性、波函数、哈密顿算符、薛定谔方程、测量、不确定性原理、重要定理和应用等方面的学习，考生可以更好地理解和应用量子力学的知识。
希望本次的量子力学知识点串讲对考生有所帮助。
关于量子力学的知识点总结
关于量子力学的知识点总结量子力学是现代物理学的一个重要分支，研究微观世界的行为规律。
它涉及到很多的知识点，下面将对其中的一些重要知识点进行总结。
1. 波粒二象性：量子力学中的基本粒子既可以表现出粒子的性质，又可以表现出波动的性质。
例如，电子、光子等粒子既可以像粒子一样具有位置和动量，又可以像波动一样具有频率和波长。
2. 不确定性原理：由于波粒二象性的存在，无法同时准确测量粒子的位置和动量，因为测量其中一个属性会对另一个属性造成不确定性。
这是因为波粒二象性使得微观粒子的位置和动量不能同时具有确定值。
3. 波函数：在量子力学中，波函数描述了一个量子系统的状态，其平方表示在不同位置寻找粒子的概率。
波函数形式为ψ(x)，其中x代表位置。
4. 叠加原理：当两个或多个波函数重叠时，它们可以相互叠加形成新的波函数。
这种叠加可以导致干涉现象，即波的相位相加或相减，形成波纹增强或波纹消除的现象。
5. 薛定谔方程：薛定谔方程是描述量子系统随时间演化的基本方程。
它能够确定系统的波函数随时间的变化，并给出粒子的能量以及其他物理量。
6. 量子态与态矢量：量子力学描述粒子的态称为量子态，用态矢量表示。
一个粒子的量子态是一个复数的线性组合，它确定了粒子在不同物理量上的测量结果的概率。
7. 纠缠：当两个或多个粒子通过量子力学的相互作用使得它们的量子态互相关联时，就产生了纠缠现象。
纠缠态的特点是不能将其视为单个粒子的状态，而必须将其作为整个系统的态来描述。
8. 可观测量与算符：在量子力学中，物理量的观测结果用可观测量表示。
每个可观测量都有对应的算符，通过作用于波函数求得其期望值。
例如，位置可观测量对应位置算符，动量可观测量对应动量算符。
9. 自旋：自旋是粒子特有的内禀角动量，与其自身特性相关。
自旋可能采取离散值，如电子的自旋即为1/2。
10. 荷质比：荷质比是粒子带电性质与其质量的比值。
根据量子力学理论，荷质比具有量子化的性质。
北师大量子力学考研笔记
北师大量子力学考研笔记作者：安洋邮箱：bjanyang@前言也许这个话说得有点“马后炮”的意思。
当我考上研究生以后，再回过头来，看看初等量子力学的知识点，突然觉得量子力学其实还是挺简单的，至少对于考研是这样。
因为考研的题目涉及的知识点和解题技巧，其实是很有限的。
很多很难的知识点，考研都不考的。
所以只要认真复习，量子力学应该是可以考一个好的分数的。
另外，我觉得复习量子力学，最重要的，就是要常常进行小结。
我在第一轮复习的时候，每复习完一个知识点，就狂找相关的题目来练习，题目做多了，就会发现其中的一些规律和技巧，然后马上写成笔记。
这样，以后的第二轮复习就可以看看笔记，做做套题，非常轻松了。
这里的几个笔记，就是我在第一轮复习的时候写的，基本涵盖了考研的重点知识点。
题目出处很多，大致出自这样几本参考资料：[1] 《量子力学学习指导》阮图南，张鹏飞等著中国科学技术大学出版社[2] 《物理学大题典》第6卷量子力学张永德主编科学出版社[3] 《量子力学考研辅导》史守华著清华大学出版社另外，机械工业出版社翻译的DA VID J.GRIFFITHS的《量子力学概论》，对我帮助也很大，大家不妨看看。
简要目录量子笔记1 ——一维薛定谔方程量子笔记2 ——Levi-civita符号与算符量子笔记3 ——pauli算符量子笔记4 ——总角动量及本征态量子笔记5 ——表象变换量子笔记6 ——自旋纠缠及其演化量子笔记7 ——非简并微扰论量子笔记8 ——氢原子基态量子笔记9 ——粒子在电磁场中的运动量子笔记1 —— 一维薛定谔方程给出某种一维势，求解一维薛定谔方程的束缚定态解及其能级的题目是常见的量子力学的题型之一，这种题型的求解虽有其固有模式，但具体处理过程中也牵涉到很多技巧和要注意之处。
下面我通过两个例子来试图对其解题模式和某些解题过程中的常见技巧和经验作出一个概括性的总结，作为量子力学复习的第一阶段的一个阶段性小结。
例一. 质量为m 的粒子在一维势场()()îíì><=¢¢+-=0,V 00V V V 0x x x x ，，ad中运动，其中a 与0V 均为实数。
量子力学基本概念复习要点
量子力学基本概念复习要点量子力学基本概念复习要点1.波函数的性质完整描述微观粒子的状态概率密度几率流密度波函数的归一化重要例子: 德布罗意平面波能够描述自由粒子的状态2.薛定谔方程描述了状态随时间的变化3.定态概念定态的性质(定态下的概率密度和几率流密度)4.定态薛定谔方程（能量本征方程）的求解（无限深势阱问题）定解条件（波函数的三大标准条件、周期性条件）5.书上常见力学量的算符形式（在坐标或动量表象下，坐标算符、动量算符、动能算符、势能算符、角动量算符、哈密顿算符等等）不是所有算符都有经典对应（例如自旋算符）6.算符本征态、本征值的概念、物理含义（量子力学基本假定P56）7.厄米算符的定义、算符是否为厄米算符的判断证明（PPT第三章第一节相关例题）厄米算符的本征值8.熟练掌握氢原子的状态、能级的性质，三个量子数（n、l、m）的物理含义及它们之间的关系。
简并度的计算结合氢原子能级公式解决能量跃迁问题9.掌握厄米算符本征函数的正交归一性以及有关定理的证明常见本征函数的正交归一式10.厄米算符本征函数构成完备系波函数展开系数的物理含义（量子力学基本假定P84）会计算力学量的平均值、可能值和相应的概率（典型例题P102 3.6 3.9 PPT上有关例题）11.会计算两个算符之间的对易关系算符对易的物理含义（掌握有关定理并会证明）、书上常见算符的对易式不对易式和测不准关系式之间的关系（典型例题PPT 讲义例题例一、例三）12.知道表象变换的含义态的列矩阵表示知道矩阵元的含义13.算符的矩阵表示（矩阵元，厄米矩阵、自身表象下矩阵形式）14.知道幺正变换的定义及它在表象变换中所起的作用（态的变换和算符的变换），知道并会证明其性质（不改变量子力学的规律, 例如迹、本征值）15.常见本征矢封闭性和正交归一性的狄拉克符号表示法16.应用微扰论求解简单的微扰问题（典型例题P173 5.3，幻灯片例题）适用条件（以氢原子为例）数学要求：常用的简单积分公式和积分方法（分部积分法、换元法）常用的三角函数公式（倍、半、和角公式等等）。
量子力学期末考试复习重点、复习提纲
量子力学期末考试复习重点、复习提纲量子力学期末考试复习重点、复习提纲第一章绪论1、了解黑体辐射、光电效应和康普顿效应。
2、掌握玻尔—索末菲的量子化条件公式。
3、掌握并会应用德布罗意公式。
4、了解戴维逊-革末的电子衍射实验。
第二章波函数和薛定谔方程1、掌握、区别及计算概率密度和概率2、掌握可积波函数归一化的方法3、理解态叠加原理是波函数的线性叠加4、掌握概率流密度矢量5、理解定态的概念和特点6、掌握并会应用薛定谔方程求解一维无限深方势阱中粒子的波函数及对应能级7、掌握线性谐振子的能级8、定性掌握隧道效应的概念及应用。
第三章量子力学中的力学量1、会算符的基本计算2、掌握厄米算符的定义公式，并能够证明常见力学量算符是厄米算符。
3、了解波函数归一化的两种方法4、掌握动量算符及其本征方程和本征函数5、掌握角动量平方算符和z分量算符各自的本征值，本征方程6、掌握三个量子数n,l,m的取值范围。
7、了解氢原子体系转化为二体问题8、掌握并会求氢原子处于基态时电子的最可几半径9、掌握并会证明定理属于不同本征值（分立谱）的两个本征函数相互正交10、力学量算符F的本征函数组成正交归一系的表达式（分立谱和连续谱）11、理解本征函数的完全性，掌握波函数按某力学量的本征函数展开（分立谱），会求展开系数，理解展开系数的意义。
12、掌握两个计算期望值的公式，会证明其等价性，能应用两公式计算期望值13、掌握坐标、动量算符之间的对易关系，掌握角动量算符之间的对易关系。
14、掌握并会证明定理如果两个算符有一组共同本征函数，而且本征函数组成完全系，则两个算符对易15、掌握不确定关系不等式。
第四章态和力学量的表象（4.1~4.3节）1、理解和掌握什么是表象2、理解不同表象中的波函数描写同一状态。
3、理解态矢量和希尔伯特空间4、了解算符F在Q表象中的表示形式，算符在其自身表象中的表示形式。
量子力学笔记
量子力学一、量子力学的实验基础1.卢瑟福实验：a 粒子的质量远大于电子，两者的质心几乎就在a 粒子上。
虽然二体系统有内部的相互作用，但它们的质心是自由运动的，故电子对a 粒子的作用不影响a 粒子的运动。
a 粒子散射时，原子的正电荷部分受到反冲力，导致薄片晶格的振动。
2.原子光谱是原子内部电子运动情态的反映。
光谱项T。
氢原子光谱的频谱是离散的，且不是连续谱亦非由基频和倍频构成的频谱，这个性质直接来源于原子中电子运动具有能级的特性以及光具有粒子性。
3.光电效应实验中无法用经典物理学解释的现象：（1）反向遏止电压和入射光强无关；（2）反向遏止电压和入射光的频率呈线性关系；（3）电子逸出相对于光的照射而言几乎无时间延迟。
4.爱因斯坦方程：φω−=ℏT ，表示金属电子吸收一份光能量而获得T 的动能逸出金属，φ为脱出功，与材料有关。
5.光子：（1）博特实验（W.Bothe experiment）表明每份光能量是集中的；（2）贾诺希实验（L.Janossy experiment）表明每份光子落在何处是偶然事件，也就是说电磁波是光子的概率幅波。
（量子力学有整体性，光子的运动受到整个环境的影响。
）6.爱因斯坦关系：ωℏℏ==E k p ,。
P 和E 描写光子，k 和ω描写单色波。
【注意：说光有波粒二象性是沿用经典物理的语言。
光有波动性，是指光的运动没有轨道；光具有粒子性，是指光与电子相互作用时像粒子那样，而不像经典的波场那般。
】7.康普顿（pton）效应应用了“静电子模型”（靶原子的外层电子）。
康普顿波长：�ℏA mc0242621.02==Λπ。
计算过程中考虑了能量守恒（相对论力学）和动量守恒（矢量力学），2sin 22θλΛ=∆。
（1）对于原子内层的“束缚电子”，由于它们与原子核束缚的紧，应作为一个整体看待，“静电子模型”不成立。
光子撞不动整个原子，只是自己改变方向。
因此实验中出现了0=∆λ的成分。
（2）对于可见光，能量和动量小，靶原子的外层电子应作束缚电子看待，“静电子模型”不成立。
考研《量子力学教程》周世勋版2021量子力学考研复习笔记
考研《量子力学教程》周世勋版2021量子力学考研复习笔记第1章绪论1.1 复习笔记在十九世纪末、二十世纪初，经典物理取得了巨大的成功，牛顿定律、麦克斯韦方程、热力学和统计力学相继建立并成功应用于物理学研究和工程，但在物理大厦落成的同时，物理学家中的有识之士也意识到了天空中漂浮的乌云。
黑体辐射、光电效应和固体的比热等一系类问题是经典物理无法解释的。
之后的旧量子论包括玻尔理论、爱因斯坦的光量子和德布罗意波粒二象性假说给物理学的发展带来了希望，它们也为量子力学的发展奠定了基础。
现代物理学中的两大支柱（量子力学、相对论）逐步验证并解释物理实验中的现象的同时，量子力学自身也在不断完善，并发展出了电磁场量子化理论、解释光子原子相互作用的量子电动力学、应用于原子中核子相互作用的量子色动力学理论，以及当下试图对引力场解释的超弦理论。
所以，不论是为了备考还是为了将来的物理学科研，学习好量子力学是十分重要的。
量子力学是现代物理学的基石，也是物理科研必备的工具。
【本章重难点】1．了解经典物理的成功和所面临的危机，以及量子力学的发展历史；2．掌握德布罗意波粒二象性关系；3．熟练运用玻尔-索末菲量子化条件。
一、波粒二象性（见表1-1-1）表1-1-1 波粒二象性相关概念图1-1-1 康普顿散射二、原子结构的玻尔理论1经典理论在解释原子结构上的困难（1）经典理论不能建立一个稳定的原子模型（运动的带电粒子发射电磁场）；（2）经典理论得出的频率是连续分布的，而实验中的原子光谱是分立的。
2玻尔假设表1-1-2 玻尔假设3索末菲量子化条件的推广式中，q 是电子的一个广义坐标；p 是对应的广义动量，回路积分是沿运动轨道积一圈；n 是0和正整数，称为量子数。
该推广后的量子化条件可应用于多自由度的情况。
4玻尔理论缺陷（1）当理论应用到结构稍复杂于氢原子的其他原子比如氦原子时，结果与实验不符；（2）只能求出谱线的频率，而不能求出谱线的强度。
量子力学主要知识点复习资料
大学量子力学主要知识点复习1能量量子化辐射黑体中分子和原子的振动可视为线性谐振子，这些线性谐振子可以发射和吸收辐射能。
这些谐振子只能处于某些分立的状态，在这些状态下，谐振子的能量不能取任意值，只能是某一最小能量ε 的整数倍 对频率为ν 的谐振子, 最小能量ε为: 2.波粒二象性波粒二象性（wave-particle duality ）是指某物质同时具备波的特质及粒子的特质。
波粒二象性是量子力学中的一个重要概念。
在经典力学中，研究对象总是被明确区分为两类：波和粒子。
前者的典型例子是光，后者则组成了我们常说的“物质”。
1905年，爱因斯坦提出了光电效应的光量子解释，人们开始意识到光波同时具有波和粒子的双重性质。
1924年，德布罗意提出“物质波”假说，认为和光一样，一切物质都具有波粒二象性。
根据这一假说，电子也会具有干涉和衍射等波动现象，这被后来的电子衍射试验所证实。
德布罗意公式3.波函数及其物理意义在量子力学中，引入一个物理量：波函数 ，来描述粒子所具εεεεεn ,,4,3,2,⋅⋅⋅νh =εh νmc E ==2λh m p ==v有的波粒二象性。
波函数满足薛定格波动方程粒子的波动性可以用波函数来表示，其中，振幅表示波动在空间一点(x ,y,z )上的强弱。
所以，应该表示 粒子出现在点(x,y,z )附件的概率大小的一个量。
从这个意义出发，可将粒子的波函数称为概率波。
自由粒子的波函数波函数的性质：可积性，归一化，单值性，连续性 4. 波函数的归一化及其物理意义常数因子不确定性设C 是一个常数，则 和 对粒子在点(x,y,z )附件出现概率的描述是相同的。
相位不定性如果常数 ，则 和 对粒子在点(x,y,z )附件出现概率的描述是相同的。
表示粒子出现在点(x,y,z )附近的概率。
表示点(x,y,z )处的体积元中找到粒子的概率。
这就是波函数的统计诠释。
自然要求该粒子在空间各点概率之总和为1 必然有以下归一化条件 5. 力学量的平均值既然 表示 粒子出现在点 0),()](2[),(22=-∇+∂∂t r r V mt r t i ψψ)](exp[Et r p i A k -⋅=ψ=ψ2|(,,)|x y z ψ2|(,,)|x y z x y z ψ∆∆∆x y zτ∆=∆∆∆2|(,,)|1x y z dxdydz ψ∞=⎰(,,)x y z ψ(,,)c x y z ψαi e C =(,,)i e x y z αψ(,,)x y z ψ22|()||(,,)|r x y z ψψ=),,(z y x r =23*3|()|()(),x r xd r r x r d r ψψψ+∞+∞-∞-∞==⎰⎰附件的概率，那么粒子坐标的平均值，例如x 的平均值x __，由概率论，有 又如，势能V是 的函数：，其平均值由概率论，可表示为 再如，动量 的平均值为： 为什么不能写成因为x 完全确定时p 完全不确定，x 点处的动量没有意义。
研究生量子力学知识点归纳总结
研究生量子力学知识点归纳总结量子力学是现代物理学的基石之一，其研究对象为微观世界中的微粒。
作为研究生学子，掌握量子力学的关键知识点对于进一步深入研究和应用具有重要意义。
本文将对研究生量子力学的知识点进行归纳总结，以便学子们能够更好地理解和运用量子力学的基本概念和理论。
一、波粒二象性1. 波动性与粒子性的基本概念波粒二象性是指微观粒子既表现出波动性又表现出粒子性的特点。
波动性体现为粒子的波函数，而粒子性则表现为粒子的位置和动量等可测量的物理量。
2. 德布罗意假设德布罗意假设指出，所有物质粒子，无论是宏观还是微观，都具有波动性。
其核心思想是将物质粒子的动量与波长相联系，可以通过波动性来解释一系列的实验现象。
二、量子力学的数学基础1. 薛定谔方程薛定谔方程是量子力学的核心方程，描述了物质粒子的波函数随时间的变化规律。
薛定谔方程是一个协调波动性与粒子性的方程，体现了波函数在空间中的传播和演化。
2. 波函数与概率解释波函数是描述微观粒子状态的数学函数，含有物质的波动性信息。
通过波函数的模的平方，可以得到微观粒子在空间中出现的概率密度分布。
三、量子力学的基本原理1. 粒子的定态与态矢量量子力学中，粒子的波函数可以表示为多个定态的叠加，每个定态都对应着一个特定的能量。
态矢量是描述粒子状态的数学工具，用于表示粒子处于某一定态下的状态信息。
2. 不确定性原理不确定性原理是量子力学的基本原理之一，指出了测量一个粒子的位置和动量的不确定度之间的关系。
简而言之，通过测量粒子的位置，其动量的确定性将降低，而通过测量动量，其位置的确定性将降低。
四、量子力学的应用1. 简谐振子简谐振子是量子力学中的一个重要模型，可以用于描述原子中的电子、光子的运动状态等。
其基态和激发态能级之间的能量差与频率有关，为量子力学应用提供了基础。
2. 粒子的相互作用量子力学可以描述粒子之间的相互作用，并具备解释分子结构、原子核稳定性等问题的能力。
它通过研究波函数的变化，揭示了微观粒子的交互规律。
量子力学主要知识点复习资料全
量⼦⼒学主要知识点复习资料全量⼦⼒学主要知识点复习资料全-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN⼤学量⼦⼒学主要知识点复习资料，填空及问答部分1能量量⼦化辐射⿊体中分⼦和原⼦的振动可视为线性谐振⼦，这些线性谐振⼦可以发射和吸收辐射能。
这些谐振⼦只能处于某些分⽴的状态，在这些状态下，谐振⼦的能量不能取任意值，只能是某⼀最⼩能量的整数倍εεεεεn ,,4,3,2,对频率为的谐振⼦, 最⼩能量为: νh =ε2.波粒⼆象性波粒⼆象性（wave-particle duality ）是指某物质同时具备波的特质及粒⼦的特质。
波粒⼆象性是量⼦⼒学中的⼀个重要概念。
在经典⼒学中，研究对象总是被明确区分为两类：波和粒⼦。
前者的典型例⼦是光，后者则组成了我们常说的“物质”。
1905年，爱因斯坦提出了光电效应的光量⼦解释，⼈们开始意识到光波同时具有波和粒⼦的双重性质。
1924年，德布罗意提出“物质波”假说，认为和光⼀样，⼀切物质都具有波粒⼆象性。
根据这⼀假说，电⼦也会具有⼲涉和衍射等波动现象，这被后来的电⼦衍射试验所证实。
德布罗意公式h νmc E ==2 λhm p ==v3.波函数及其物理意义在量⼦⼒学中，引⼊⼀个物理量：波函数，来描述粒⼦所具有的波粒⼆象性。
波函数满⾜薛定格波动⽅程0),()](2[),(22=-?+??t r r V mt r t i ψψ粒⼦的波动性可以⽤波函数来表⽰，其中，振幅表⽰波动在空间⼀点(x ,y,z )上的强弱。
所以，应该表⽰粒⼦出现在点(x,y,z )附件的概率⼤⼩的⼀个量。
从这个意义出发，可将粒⼦的波函数称为概率波。
⾃由粒⼦的波函数)](exp[Et r p i A k -?=ψ=ψ波函数的性质：可积性，归⼀化，单值性，连续性 4. 波函数的归⼀化及其物理意义常数因⼦不确定性设C 是⼀个常数，则和对粒⼦在点(x,y,z )附件出现概率的描述是相同的。
量子力学笔记
量子力学笔记
以下是关于量子力学的一些基本笔记：
1. 波粒二象性：量子力学中，粒子既可以表现为粒子，也可以表现为波动，具有波粒二象性。
这就意味着在一些实验中，粒子表现出波动性质，例如干涉和衍射现象。
2. 狄拉克方程：狄拉克方程是描述自旋½粒子的基本方程，它结合了爱因斯坦的相对论和量子力学的理论，为量子场论奠定了基础。
3. 不确定性原理：不确定性原理是由海森堡提出的，指出了我们无法同时准确测量粒子的位置和动量，或者能量和时间。
这意味着存在一个不确定度限制，我们不能完全精确地知道粒子的运动状态。
4. 波函数：波函数是描述量子体系的数学函数，包含了所有可能的信息。
它是一个复数函数，描述了粒子在空间中的概率分布和量子态信息。
5. 纠缠：量子力学中的纠缠现象指的是两个或多个粒子之间存在一种特殊的量子相互关联。
这种关联会导致量子纠缠态，其中一个粒子的测量结果会立即影响到其他纠缠粒子的状态。
6. 叠加态和测量：量子力学中的叠加态是指粒子处于多个可能状态的线性组合，直到进行测量时，才会塌缩到其中一个确定的状态。
这些只是量子力学的基本概念和原理的简要介绍，其中还有更深入和复杂的理论和实验结果。
量子力学总复习
n n n Nn Nn Nn e
x y z x y z
2 r 2 2
Байду номын сангаас
H nx ( x) H n y ( y ) H nz ( z )
12、势垒贯穿 隧道效应： 粒子在能量E小于势垒高度时仍能贯 穿势垒的现象，称为隧道效应。
需掌握知识点
1、掌握定态的概念；定态的性质。
几 个 重 要 概 念
本征函数
n N ne
n
x
H n ( x)
Nn
n!
,
11、可以用分离变量法求解得到（在笛卡尔坐标中） 三维各向同性谐振子的能级和波函数。
3 Enx ny nz nx n y nz 2
nx , n y , nz 0,1,2,
H mn
2 0
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En En H nn
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0 ˆ 0 m H mn H n
En Em 0 * ˆ 0 m (r )H n (r )d
( A) ( S ) 1M s A ( S ) ( A) 00
5、角动量（轨道和自旋）
ˆL ˆ i L ˆ L ˆS ˆ i S ˆ S
2 ˆ2 S ˆ2 S ˆ2 S x y z 4
对两个Fermi子体系:
M s 0, 1
2 n x n ( x) sin ,0 x a a a
es4 es2 En 2 2 2 2 2 n 2n a0
量子力学复习提纲
量子力学复习提纲第一章 绪论 1.德布罗意关系, E h νω==(1)h p n k λ==(2)2.微观粒子的波粒二象性.3. 电子被V 伏电压加速,则电子的德布罗意波长为12.25hA λ=≈(3)第二章 波函数和薛定谔方程 1.波函数的统计解释:波函数在空间某一点的强度()2,r t ψ 和在该处找到粒子的几率成正比,描写粒子的波是几率波. 其中2w*=ψψ=ψ代表几率密度.2.态叠加原理:如果1ψ和2ψ是体系的可能状态,那么它们的线性叠加1122c c ψ=ψ+ψ,也是体系的一个可能状态.3. 薛定谔方程和定态薛定谔方程薛定谔方程()(),ˆ,r t i H r t t∂ψ=ψ∂(4)定态薛定谔方程()()ˆH r E r ψ=ψ (5)其中()22ˆ2H U r μ=-∇+ (6)为哈密顿算符,又称为能量算符,4. 波函数的标准条件: 有限性,连续性(包括ψ及其一阶导数)和单值性.5. 波函数的归一化,1d τ*∞ψψ=⎰(9)6.求解一维薛定谔方程的几个例子.一维无限深势阱及其变种, 一维线性谐振子; 势垒贯穿.第三章 量子力学中的力学量1. 坐标算符, 动量算符及角动量算符;构成量子力学力学量的法则;2. 本征值方程,本征值,本征函数的概念ˆF ψλψ= (10)3. 厄密算符的定义,性质及与力学量的关系.ˆF dx ψφ*=⎰()ˆF dx ψφ*⎰(11)实数性: 厄密算符的本征值是实数.正交性: 厄密算符的属于不同本征值的两个本征函数 相互正交.完全性: 厄密算符ˆF的本征函数()n x φ和()x λφ组成完全系, 即任一函数()x ψ可以按()n x φ和()x λφ展开为级数:()()()n n nx c x c x d λλψφφλ=+∑⎰ (12)展开系数: ()()nnc x x dx φψ*=⎰, (13)()()c x x dx λλφψ*=⎰. (14)2nc 是在()x ψ态中测量力学量F 得到nλ的几率,2c d λλ是在()x ψ态中测量力学量F ,得到测量结果在λ到d λλ+范围内的几率.4. 2ˆL 和ˆZL 算符的本征值方程,本征值和本征函数. ()22ˆ1L l l ψψ=+ , ˆzL m ψψ= 本征函数 (),lm Y θφ.5. 氢原子的哈密顿算符及其本征值,本征函数nlm ψ的数学结构, ()()(),,,nlmnl lm r R r Y ψθφθφ= (15)主量子数n ,角量子数l 和磁量子数m 的取值范围,简并态的概念.6. 氢原子的能级公式和能级的简并度.422,1,2,3,...2s n e E n nμ=-= (16)不考虑电子的自旋是2n 度简并的;考虑电子的自旋是22n 度简并的.7. 给定电子波函数的表达式,根据电子在(),,r θφ点周围的体积元内的几率()22,,sin nlm r r drd d ψθφθθφ(17)计算电子几率的径向分布和角分布.计算在半径r 到r dr +的球壳内找到电子的几率. 8. 给定态函数,计算力学量平均值,平均值的计算公式.()()ˆF x F x dx ψψ*=⎰(18) 注意(11)式对波函数所在的空间作积分. 9. 算符的对易关系及测不准关系.(1) 如果一组算符相互对易,则这些算符所表示的力学量同时具有确定值(即对应的本征值), 这些算符有组成完全系的共同的本征函数.例如: 氢原子的哈密顿算符ˆH ,角动量平方算符2ˆL 和角动量算符ˆz L 相互对易, 则(i) 它们有共同的本征函数nlm ψ, (ii) 在态nlm ψ中,它们同时具有确定值:4222s n e E n μ=-,()21l l + , m .(2) 测不准关系:如果算符ˆF和ˆG 不对易,则一般来说它们不能同时有确定值. 设ˆFˆG -ˆG ˆF =ˆik 则算符ˆF和ˆG 的均方偏差满足:()_______2ˆF ∆⋅()_______22ˆ4k G ∆≥(19)其中 ()()________________________2222222F F F F FF F F F ∆=-=-+=-()__________222F F F ∆=-, ()__________222G G G ∆=-(a) 利用测不准关系估计氢原子的基态能量, 线性谐振子的零点能等.(b) 给定态函数ψ,计算两个力学量ˆF和ˆG 的均方偏差的乘积()_______2ˆF∆⋅()_______2ˆ?G ∆=(20)第四章 态和力学量的表象 1. 对表象的理解(1) 状态ψ: 态矢量(2) Q 表象:力学量Q 的本征函数 ()()()12,,...,...n u x u x u x构成无限维希耳伯特空间(坐标系)的基矢量 (4) 将态矢量按照上述基矢量展开:()()(),n n nx t a t u x ψ=∑()()()12,,...,...n a t a t a t 是态矢量ψ在Q 表象中沿各基矢量的分量.(5) ()2n a t 是在(),x t ψ所描写的态中,测量力学量Q 得到结果为n Q 的几率. 2. 算符在Q 表象中的表示(i)算符ˆF在Q 表象中是一个矩阵, nm F 称为矩阵元 ()(),nm nm F u x F x u x dx i x *∂⎛⎫≡ ⎪∂⎝⎭⎰(ii) 算符在自身表象中是一个对角矩阵,其对角矩阵元为该算符对应的本征值. 3. 量子力学公式的矩阵表述 (1) 平均值公式:†F F =ψψ (21)(2) 本征值方程 → 久期方程()()()()()()1111121222122212 ... ... ... ... : : : ... ... : : :m m n n nm mm a t a t F F F a t a t F F F F F F a t a t λ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭→ 111212122212 ... ... ... ... 0... ... ..............................n n n n nn F F F F F F F F F λλλ--=-(3) 薛定谔方程的矩阵形式 di H dtψ=ψ(22) 4. 么正变换的概念(1) 么正变换是两个表象基矢量之间的变换矩阵. (2) 么正变换的矩阵元由两个表象的基矢量共同确定,()()()(),.n n m m S x x dx S x x dx ββααψϕψϕ***⎫=⎪⎬=⎪⎭⎰⎰(3) 态矢量由A 表象变换到B 表象的公式1b S a -= (23)(4) 力学量ˆF由A 表象变换到B 表象的公式: 1F S FS -'= (24)5. 么正变换的性质(i) 么正变换不改变算符的本征值; (ii) 么正变换不改变矩阵F 的迹; (iii) 么正变换不改变力学量的平均值.第五章 微扰理论(I) 求解非简并定态微扰问题 (1) 确定微扰的哈密顿算符ˆH'. ()0ˆˆˆHH H '=+, 及与()0ˆH对应的零级近似能量()n E 和零级近似波函数()0nψ;(2) 计算能量的一级修正:()()()100ˆn nn E H d ψψτ*'=⎰ (25)(3) 计算波函数的一级修正:()()()()10'00mn n m mn mH E E ψψ'=-∑(26) (4) 计算能量的二级修正:()()()22'0nln ln l H E E E '=-∑ (27)(II) 求解非简并定态微扰问题 (只要求能量的一级修正) 求解步骤(1) 确定微扰的哈密顿算符ˆH'. (2) 确定微扰算符的矩阵元:ˆliH '=ˆl i H d φφτ*'⎰(28)(3) 求解久期方程得到能量的一级修正()()()111121121222112.........................................................n k n k kkkkn H E H H H H E H H H H E '''-'''-='''- (29)(III) 变分法不作要求 (IV) 含时微扰论 (1) 基本步骤设0ˆH 的本征函数为n φ为已知:0ˆn n nH φεφ=(30)将ψ按照0ˆH 的定态波函数n it n n e εφ-Φ=展开:()n nna t ψ=Φ∑(31)展开系数的表达式:()01mk ti t m mka t H e dt i ω'''=⎰(32)其中ˆmn m n H H d φφτ*''=⎰(33)是微扰矩阵元,()1m nmnωεε=-(34)为体系由n ε能级跃迁到m ε能级的玻尔频率. 在t 时刻发现体系处于m Φ态的几率是()2m a t , 体系在微扰的作用下,由初态k Φ跃迁到终态m Φ的几率为()2k m m W a t →= (35)(2) 用于周期微扰()()ˆˆi t i t H t F e e ωω-'=+得到()()()11mk mk i t i t mk m mk mk F e e a t ωωωωωωωω''+-⎡⎤--=-+⎢⎥+-⎣⎦(36)由(36)式,讨论并理解发生跃迁的条件是mkωω=±或m k m k εεω=± (37)(i) 表明只有外界的微扰含有频率mk ω时,体系才能从k Φ态跃迁到m Φ态,这时体系吸收和发射的能量是mk ω ;(ii)跃迁是一个共振现象.(3) 能量时间的测不准关系的含义E t ∆∆ (38)(4) 了解原子的跃迁几率和三个爱因斯坦系数:mk A , mkB 和km B 及相互关系. (5) 了解用含时微扰理论计算爱因斯坦发射和吸收系数(6) 记住对角量子数和磁量子数的选择定则1,0, 1.l l l m m m '∆=-=±⎫⎬'∆=-=±⎭(39) 第六章 散射只要求理解微分散射截面的概论, 不作计算要求.第七章 自旋与全同粒子1. 电子的自旋角动量S ,它在空间任何方向的投影只能取 2z S =± (40) 2. 自旋算符的矩阵形式 01ˆ210x S ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ , 0ˆ20y i S i ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭ , 10ˆ201z S ⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭(41) 3.泡利矩阵 01ˆ10x σ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭, 0ˆ0y i i σ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭, 10ˆ01z σ⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭ (42)(1) 求力学量在某个自旋态的平均值和均方偏差.†G G =ψψ (43)()11121†1222122G G G G G G **⎛⎫ψ⎛⎫=ψψ=ψψ ⎪ ⎪ ⎪ψ⎝⎭⎝⎭ (44) (2)求解自旋角动量算符的本征值方程, 本征值和本征函数4. 自旋与轨道角动量的耦合及产生光谱的精细结构的原因.5. 全同性原理的表述6. 描写全同粒子体系状态的波函数只能是对称或反对称的,它们的对称性不随时间改变.实验证明,微观粒子按照其波函数的对称性可以分为两类: (I) 费米子: 波函数是反对称的;(II) 玻色子: 波函数是对称的.7.泡利不相容原理:不能有两个或两个以上的费米子处于同一状态.。
研究生物理量子力学知识点归纳总结
研究生物理量子力学知识点归纳总结量子力学是现代物理学中重要且基础的学科，它研究微观领域中粒子的行为和性质。
作为研究生学习物理的重要内容之一，量子力学具有深奥的理论基础和广泛的应用。
本文将对研究生物理量子力学知识点进行归纳总结，并分为以下几个方面进行阐述。
一、波粒二象性量子力学的核心思想之一是波粒二象性。
在经典物理学中，粒子和波动是相互对立的两种概念。
然而，在量子力学中，粒子可以表现出波动特性，波动也可以表现出粒子特性。
这种概念的提出为解释微观粒子的行为和性质提供了奠基性的理论基础。
二、波函数和概率密度波函数是研究量子系统的基本工具，它包含了粒子的全部信息。
波函数具有复数形式，它可以描述粒子的位置、动量以及其他物理量的概率分布。
概率密度则是根据波函数计算得到的，它描述了在某一位置或动量范围内发现粒子的概率大小。
三、薛定谔方程和定态波函数薛定谔方程是描述量子系统演化的基本方程之一。
通过求解薛定谔方程，可以得到体系不同能级的波函数和能量本征值。
定态波函数则是薛定谔方程的解，它代表了处于一个确定能量状态下的粒子的波函数。
四、能级和量子态能级描述了量子系统不同能量状态的取值，它对应着不同的定态波函数和能量本征值。
量子态则是描述量子系统完全的信息，它是各个能级的叠加。
能级和量子态的研究对于理解量子系统的性质具有重要意义。
五、量子力学的测量和不确定性原理量子力学的测量与经典物理学有所不同。
根据波函数及其复共轭的乘积计算出的概率，描述了测量结果的分布规律。
不确定性原理则是量子力学最著名的概念之一，表明了在某些物理量的测量中存在一定的不确定性。
六、算符理论和态矢量算符是量子力学中描述物理量测量和演化的数学工具，与经典物理中的函数概念相似。
算符理论涉及到算符的定义、性质和使用方法。
态矢量则是量子力学中描述量子系统的数学工具，它是量子力学中的基本概念之一。
七、量子力学的应用领域量子力学在许多领域具有广泛的应用。
例如，在固体物理学中，量子力学解释了固体的导电性和磁性；在化学中，量子力学解释了分子的结构和化学键；在原子物理学中，量子力学解释了原子和分子的光谱特性。
量子力学知识点归纳
量子力学知识点归纳
粒子性质
- 波粒二象性：微观粒子既具有波动性质又具有粒子性质。
- 粒子的量子态：用波函数描述粒子的状态。
- 粒子的叠加态：在量子力学中，粒子可以同时处于多个不同状态的叠加态。
波函数与测量
- 波函数的基本性质：波函数必须满足归一化和连续性条件。
- 算符与期望值：量子力学中的物理量用算符表示，其期望值对应其在该态下的平均值。
- 不确定性原理：海森堡不确定性原理表明，无法同时准确知道粒子的位置和动量。
Schrödinger 方程
- 定态和非定态：物理系统可以处于定态或非定态，定态由定
态方程描述，非定态由非定态方程描述。
- 离散能级和连续能谱：不同物理系统的能级结构可以是离散
的也可以是连续的。
- 波函数的时间演化：波函数随时间的演化由薛定谔方程描述。
量子力学中的操作
- 叠加和干涉：量子力学中的粒子可以叠加在一起，并在经典
中无法解释的方式上产生干涉效应。
- 量子纠缠：两个或多个粒子之间的纠缠状态是量子力学的独
特现象，纠缠态可以表现出非常特殊的相关性。
- 测量与波函数坍缩：测量一个物理量会导致波函数坍缩到一
个确定的状态，而非叠加态。
以上是量子力学知识点的一个完整归纳，展示了该领域的基本
概念和特性。
深入研究这些知识点可以更好地理解和应用量子力学。
2021量子力学考研与量子力学考点复习笔记
2021量子力学考研与量子力学考点复习笔记一、考研真题与解题的思路43试求屏蔽库仑场的微分散射截面。
[浙江大学2014研]【解题的思路】对于屏蔽库仑场，可以直接使用玻恩近似计算微分散射截面。
【解答】由玻恩近似可得微分散射截面为【知识储备】玻恩近似法①适用条件（高能散射）②微分散射截面其中U （r ）为粒子和散射中心相互作用的势能，K →＝k →′－k →，k →′，k →分别为粒子散射前后的波矢，并且，θ是散射角。
【拓展发散】对于本题所给信息，也可以用分波法计算，并将计算结果与玻恩近似的结果比较。
44设算符A 和B 不对易，，但A 和B 都与C 对易，即，，试证明：（1），n 为正整数；（2）[厦门大学2012研]【解题的思路】根据所给条件，利用对易恒等式关系，推导出递推关系，即可得证。
【解答】（1）因为所以（2）【知识储备】①e指数函数的展开式②对易式中满足的基本恒等式[A，B＋C]＝[A，B]＋[A，C][A，BC]＝B[A，C]＋[A，B]C[AB，C]＝A[B，C]＋[A，C]B[A，[B，C]]＋[B，[C，A]]＋[C，[A，B]]＝0 45粒子被束缚在半径为r的圆周上运动。
（1）设立路障进一步限制粒子在的一段圆弧上运动，即求解粒子的能量本征值和本征函数。
（2）设粒子处于情形（1）的基态，求突然撤去路障后，粒子仍然处于最低能量态的几率是多少？[南京大学2002研] 【解题的思路】分析题意，这是不随时间改变的势场，所以可以直接使用定态薛定谔方程和波函数性质求解能量本征值和本征波函数。
【解答】（1）当时，；当时，粒子的转动惯量为，对应的哈密顿量为。
由定态薛定谔方程可得即令求解得由波函数的连续性可得，即，所以，即，所以，因此由波函数的归一化条件可得（2）当撤去路障后，粒子的本征波函数和本征能量为其中。
由本征波函数的完备性可得由傅里叶变换可得因此所以粒子仍然处于最低能量态的几率是【知识储备】定态薛定谔方程【拓展发散】改变变化方式，缓慢撤去路障，求解粒子仍然处于最低能量态的几率，并且将结果和突然撤去路障的结果比较，区别这两种情形对量子态的影响。
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2021量子力学考研与量子力学考点复习笔记一、考研真题与解题的思路43试求屏蔽库仑场的微分散射截面。
[浙江大学2014研]【解题的思路】对于屏蔽库仑场，可以直接使用玻恩近似计算微分散射截面。
【解答】由玻恩近似可得微分散射截面为【知识储备】玻恩近似法①适用条件（高能散射）②微分散射截面其中U （r ）为粒子和散射中心相互作用的势能，K →＝k →′－k →，k →′，k →分别为粒子散射前后的波矢，并且，θ是散射角。
【拓展发散】对于本题所给信息，也可以用分波法计算，并将计算结果与玻恩近似的结果比较。
44设算符A 和B 不对易，，但A 和B 都与C 对易，即，，试证明：（1），n 为正整数；（2）[厦门大学2012研]【解题的思路】根据所给条件，利用对易恒等式关系，推导出递推关系，即可得证。
【解答】（1）因为所以（2）【知识储备】①e指数函数的展开式②对易式中满足的基本恒等式[A，B＋C]＝[A，B]＋[A，C][A，BC]＝B[A，C]＋[A，B]C[AB，C]＝A[B，C]＋[A，C]B[A，[B，C]]＋[B，[C，A]]＋[C，[A，B]]＝0 45粒子被束缚在半径为r的圆周上运动。
（1）设立路障进一步限制粒子在的一段圆弧上运动，即求解粒子的能量本征值和本征函数。
（2）设粒子处于情形（1）的基态，求突然撤去路障后，粒子仍然处于最低能量态的几率是多少？[南京大学2002研] 【解题的思路】分析题意，这是不随时间改变的势场，所以可以直接使用定态薛定谔方程和波函数性质求解能量本征值和本征波函数。
【解答】（1）当时，；当时，粒子的转动惯量为，对应的哈密顿量为。
由定态薛定谔方程可得即令求解得由波函数的连续性可得，即，所以，即，所以，因此由波函数的归一化条件可得（2）当撤去路障后，粒子的本征波函数和本征能量为其中。
由本征波函数的完备性可得由傅里叶变换可得因此所以粒子仍然处于最低能量态的几率是【知识储备】定态薛定谔方程【拓展发散】改变变化方式，缓慢撤去路障，求解粒子仍然处于最低能量态的几率，并且将结果和突然撤去路障的结果比较，区别这两种情形对量子态的影响。
46设算符，且。
证明：如果是的本征函数，对应的本征值为，则波函数也是N的本征函数，对应的本征值为；而也是N的本征函数，对应的本征值为。
[南京大学2002研] 【解题的思路】利用本征方程的定义，以及升降算符的对易关系。
【解答】根据题意，N的本征方程为。
因为，所以即波函数是N的本征函数，对应的本征值为；即波函数是N的本征函数，对应的本征值为。
【知识储备】①本征方程②升算符（也称产生算符）降算符（也称湮灭算符）粒子湮灭算符满足粒子产生算符满足47三个自旋为1/2的粒子，它们的哈密顿量为，求其本征值和简并度。
[北京大学2000研]【解题的思路】分析哈密顿量的表达式，这是对称的形式，可以通过三个自旋算符的和式平方转化而得，如此则可以比较方便的求解。
【解答】分析题意，哈密顿量为这是对称的形式，所以总自旋为因此所以哈密顿量为明显可知哈密顿量的本征态为，本征值为由角动量的合成可得，三个自旋为1/2的总自旋为1/2或者3/2。
所以简并度为4；简并度为4。
【知识储备】S ⌒在空间任意方向上的投影只能取两个数值，满足记S 2＝s （s ＋1）ħ2，则s ＝1/2，称s 为自旋量子数。
【拓展发散】三个自旋为1/2的粒子，它们的哈密顿量为，利用同样的对称思想可以求其本征值和简并度。
48设有两个质量为m 的一维全同粒子，它们之间的相互作用为（a＞0），（1）若粒子自旋为0，写出它们的相对运动的基态能量和波函数；（2）若粒子自旋为，写出它们的相对运动的基态及第一激发态能量和波函数。
[北京大学2001研] 【解题的思路】分析两个粒子的势能形式，与谐振子势相同，之后要考虑它们是全同粒子还是非全同粒子，根据它们对波函数的对称性要求，就可以通过构造波函数坐标部分和自旋部分各自的交换对称性来最终满足总波函数的对称性要求。
【解答】（1）对于两个粒子间的势场为，可以固定一个粒子，即令其中，，。
若粒子自旋为0，总自旋s＝0，则基态能量为对应的波函数为（2）若粒子自旋为，则它们都是费米子，总波函数满足交换反对称性。
基态：能量为波函数为第一激发态：能量为波函数为或者或者【知识储备】①谐振子势能满足方程本征值振子的基态（n＝0）能量，零点能本征函数其中②自旋单态和三重态若不考虑两电子自旋相互作用，两电子对称自旋波函数χS和反对称自旋波函数χA，分别写为49简答题：（1）在中心力场中，粒子处于定态，轨道角动量是否有确定值？（2）写出坐标的本征态在动量表象中的表示及动量的本征态在坐标表象中的表示。
（3）若在薛定谔绘景中，，试给出海森堡绘景中的。
[北京大学2001研] 【解题的思路】①理解中心力场的对称性和轨道角动量的表达式；②熟练运用傅里叶变换，了解对自由粒子在动量表象和坐标表象中的不同表达形式；③了解三种不同绘景，以及薛定谔绘景、海森堡绘景和相互作用绘景之间的相互转换。
【解答】（1）不一定；（2）坐标的本征态在动量表象中的表示为动量的本征态在坐标表象中的表示为（3）50自旋1/2的粒子处于磁场B中，该粒子绕磁场进动的角频率记为ω＝γB。
设t＝0时粒子处于自旋朝下态，求t时刻粒子仍处于该态的几率。
[中国科学院2006研]【解题的思路】①本题是典型的已知在一力场中运动的初始状态，要求解t时刻的波函数，从而了解粒子所处状态的几率问题；②利用含时薛定谔方程来求解波函数，即③对于自旋1/2的粒子处于磁场B中的哈密顿量为.【解答】因为所以对于自旋1/2的粒子处于磁场B中的哈密顿量为其中因为所以因此其中所以因此，可以从波函数得出t 时刻粒子仍处于自旋向下态的几率为【知识储备】①波函数随时间的变化规律由含时薛定谔方程给出当U （r →，t ）与t 无关时，可以利用分离变量法，将时间部分的函数和空间部分的函数分开考虑， （r →）满足定态薛定谔方程此方程即是能量算符的本征方程。
其中，整个定态波函数的形式为一般情况下，若所求解能量的本征值是不连续的，则最后的波函数写成各个能量定态波函数的求和形式；如果能量是连续值，则相应的写成积分形式。
②自旋算符泡利算符σ∧满足下列关系：在σ∧z 表象中，σ∧x ，σ∧y ，σ∧z 的表示矩阵分别为：【拓展发散】①粒子处于磁场B 中初始状态的自旋为1/2和－1/2的叠加态，如，最后可以问粒子在t 时刻处在自旋为1/2或者－1/2的几率；②当粒子处于磁场B 中初始状态的自旋为1/2，也可以问粒子在t 时刻发生跃迁到自旋为－1/2的几率；③类似于本题的粒子处在电磁场中的问题，也可以用来考查微扰的相关知识，比如定态非简并微扰和含时微扰，可用来解决跃迁等相关问题。
1概念证明：（1）证明任意算符的平均值满足如下等式：（2）若某哈密顿量H 的所有本征态非简并，并且算符f 满足，证明f和H 可以同时对角化。
[华南理工大学2018研]【解题的思路】①对力学量的平均值求时间的导数，可以利用含时薛定谔方程带入计算，由此就可以得出要证明的关系式；②对于两个互相对易的力学量算符，有共同的本征态。
【解答】（1）因为并且所以（2）设为H的本征函数，则因为所以因此，m≠n时，，则f和H可以同时对角化。
①含时薛定谔方程②力学量的平均值公式42设某二能级系统的能级分别为E1、E2（＞E1），并有对应的两个无简并定态，在初始时刻系统处于基态，而后加入微扰作用V，试求以后任意时刻系统处于这两个定态的几率。
[南京大学2014研]【解题的思路】分析题意，这是含时微扰，直接利用含时微扰理论公式带入已知条件即可求解。
【解答】在二能级系统中，加入微扰，可以利用含时微扰理论得体系在微扰作用下由初态φ1跃迁到终态φ2态的概率幅为所以相应的跃迁几率为因此，在t时刻，系统处在φ2态的几率为系统处在φ1态的几率为含时微扰理论含时微扰体系哈密顿量H ∧（t ）＝H ∧0＋H ∧′（t ），体系波函数ψ所满足的薛定谔方程为将ψ按H ∧0的本征函数φn 展开得则在t 时刻发现体系处于φm 态的概率是|a m （t ）|2。
若体系在t ＝0时处于H ∧0的本征态φk ，则体系在微扰作用下由初态φk 跃迁到终态φm 态的概率幅为相应的跃迁概率为其中。