概率论与数理统计第五章习题参考答案

F = S甲2 ~ F (4,4) S乙2
由
P⎪⎨⎧ ⎪⎩
S甲2 S乙2
<
F 1−
0.05
(4,4)
U
2
S甲2 S乙2
>
F0.05
2
(4,4)⎪⎬⎫ ⎪⎭
=
0.05
查表得： F0.05 (4,4) = 9.6,
2
F 1−
0.05
2
(4,4)
=
1 F0.025 (4,4)
=
0.1042
，
故拒绝域为 (0, 0.142) U (9.6, + ∞) .
解：在检验水平α = 0.05 下，检验假设 H 0 :σ = σ 0 = 0.005 H1 :σ > σ 0 = 0.005
当假设 H 0 为真时，取检验统计量
K = (9 − 1)S 2 ~ χ 2 (8) (0.005) 2
由
⎧ P⎨
⎩
8S 2 (0.005)
2
>
χ
2 0.05
⎫ (8)⎬
=
代入样本值 x = 0.452%, s = 0.037% 得 K 值为 K = 9 × (0.037%) 2 = 7.7006 > 3.325 (0.04%) 2
所以接受 H 0 ，拒绝 H1 。
5. 一种元件，用户要求元件的平均寿命不得低于 1200 小时，标准差不得超过 50 小时，今在一批元 件中抽取 9 只，测得平均寿命 x = 1178 小时，标准差 s = 54 小时。已知元件寿命服从正态分布， 试在α = 0.05 下确定这批元件是否合乎要求？
问两台机器的加工精度是否有显著差异（α = 0.05 ）？
解：在检验水平α = 0.05 下，检验假设 H 0 : µ1 = µ 2
H1 : µ1 ≠ µ2
因为
µ1，µ
2，σ
12，σ
2 2
均未知，且不知
σ
12与σ
2 2
是否相等，
故先检验假设 H 0′
:
σ
2 1
=
σ
2 2
,
H
1′
:
σ
2 1
≠
σ
2 2
。
所以拒绝 H 0 ，接受 H1 。
（2）当假设 H 0 为真时，取检验统计量
K = (10 − 1)S 2 ~ χ 2 (9) (0.04%) 2
由
⎧ 9S 2
P⎨ ⎩
(0.04%)
2
<
χ
2 1−0.05
⎫ (9)⎬
=
0.05
⎭
查表得： χ 20.95 (9) = 3.325 ，故拒绝域为 (0, 3.325) .
所以接受 H 0 ，即可以认为这批矿砂的镍含量均值为 3.25。
4. 测定某种溶液中的水分，它的 10 个测定值给出 x = 0.452%, s = 0.037% ，设测定值总体为正态分 布， µ 为总体均值，试在α = 0.05 下检验假设
(1) H 0 : µ = 0.5%; H1 : µ < 0.5% (2) H 0 :σ = 0.04%; H1 :σ < 0.04%
解：（1）当假设 H 0 为真时，取检验统计量
T = X − 0.005 ~ t(9) S / 10
由
⎧ P⎨
⎩
X− S/
0.005 10
<
−t 0.05
⎫ (9)⎬
⎭
=
0.05
查表得： t0.05 (9) = 1.8331 ，故拒绝域为 (−∞,−1.8331) .
代入样本值 x = 0.452%, s = 0.037% 得 T 值为 T = 0.452% − 0.5% = −4.1024 < −1.8331 0.037% / 10
0.05
⎭
查表得： χ 20.95 (8) = 15.507 ，故拒绝域为 (15.507, + ∞) .
代入样本值 s = 0.007 得 K 值为 K = 8 × (0.007)2 = 15.68 > 15.507 (0.005) 2
所以拒绝 H 0 ，故可以认为这批导线的标准差显著地偏大。
7. 某厂使用两种不同的原料 A, B 生产同一类产品，现抽取用原料 A 生产的样品 220 件，测得平均 重量为 2.46kg，标准差为 0.57kg。抽取用原料 B 生产的样品 205 件，测得平均重量为 2.55kg，标 准差为 0.48kg。设这两个总体都服从正态分布，且方差相等，问在显著水平α = 0.05 下能否认为 使用原料 B 生产的产品平均重量较使用原料 A 生产的产品平均重量为大？
代入样本值 x1 = 6, s1 = 0.253, x2 = 5.7, s2 = 0.173 得
T 值为
T=
6 − 5.7
= 3.0226 > 2.1009
10 × 0.2532 + 8 × 0.1732 1 + 1
11 + 9 − 2
11 9
所以拒绝 H 0 ，故可以认为两台机器的加工精度有显著差异。（注：书中答案不对。）
当假设 H 0 为真时，取检验统计量
T = X − 3.25 ~ t(4) S/ 5
由
P ⎪⎨⎧ ⎪⎩
X − 3.25 S/ 5
>
t
0.01 2
(4)⎪⎬⎫ ⎪⎭
=
0.01
查表得： t 0.01 (4) = 4.6041，故拒绝域为 (−∞,−4.6041) U (4.6041,+∞) .
2
代入样本值 x = 3.252, s = 0.013 得 T 值为 T = 3.252 − 3.25 = 0.344 < 4.6041 0.013 / 5
在检验水平α = 0.05 下，检验假设 H 0 : µ = µ0 = 72 H1 : µ ≠ µ0 = 72
当假设 H 0 为真时，取检验统计量
T = X − 72 ~ t(9) S / 10
由
P⎪⎨⎧ X − 72 ⎪⎩ S / 10
>
t
0.05 2
(9)⎪⎬⎫ ⎪⎭
=
0.05
查表得： t 0.05 (9) = 2.2622 ，故拒绝域为 (−∞,−2.2622) U (2.2622,+∞) .
所以接受 H 0 ，即可以认为这批钢索质量没有显著提高。
3. 某批矿砂 5 个样品中镍含量（%）经测定为 3.25，3.27，3.24，3.26，3.24 ；设测定值 X 服从正 态分布。问在α =0.01 下能否认为这批矿砂的镍含量均值为 3.25？
解：在检验水平α = 0.01 下，检验假设 H 0 : µ = µ0 = 3.25 H1 : µ ≠ µ0 = 3.25
查表得： − t0.05 (223) ≈ −Z 0.05 = −0.645 ，故拒绝域为 (−∞, − 1.645) .
代入样本值 x A = 2.46, s A = 0.57, xB = 2.55, sB = 0.48 得
T 值为
T=
2.46 − 2.55
= −1.7556 < −1.645
219 × 0.57 2 + 204 × 0.482 1 + 1
代入样本值 s甲2 = 0.4322,
s乙2
=
0.5006
得
F
值为
F
=
0.4322 0.5006
=
0.8634
所以接受
H0
ຫໍສະໝຸດ Baidu
，故可以认为
σ
2 甲
所以接受 H 0 ，故可以认为这批元件的标准差没超过 50 小时。
综上分析得，这批元件合乎要求。 6. 某种导线，要求其电阻的标准差不得超过 0.005 欧姆。今在生产的一批导线中抽取样品 9 根，测
得 s = 0.007 欧姆。设总体为正态分布，问在水平α = 0.05 下能否认为这批导线的标准差显著地偏 大？
2
代入样本值得 T 值为
T = 67.4 − 72 = 2.453 > 2.2622 5.93 / 10
所以拒绝 H 0 ，即患者与正常人的脉搏有显著差异。
2.某厂生产的某种钢索的断裂强度服从 N (µ, σ 2 ) 的分布，其中σ = 40(kg / cm2 ) ，现从一批
这种钢索的容量为 9 的一个样本测得断裂强度 X ，它与正常生产时的 µ 相比，较 µ 大 20 (kg / cm2 ) ， 设总体方差不变，问在α = 0.01 下能否认为这批钢索质量有显著提高？ 解：在检验水平α = 0.01 下，检验假设 H 0 : µ = µ 0 H1 : µ > µ0
H1 : µ1 ≠ µ2
当假设 H 0 为真时，取检验统计量
T = X − Y ~ t(11 + 9 − 2)
Sω
1 +1 11 9
⎧
⎫
由
P⎪⎪⎨ X − Y
> t 0.05 (18)⎪⎪⎬ = 0.05
⎪ ⎪⎩
Sω
1 +1 11 9
2
⎪ ⎪⎭
查表得： t0.025 (18) = 2.1009 ，故接受域为 (−2.1009, 2.1009) .
解：（1）在检验水平α = 0.05 下，检验假设 H 0 : µ = µ0 = 1200 H1 : µ < µ0 = 1200
当假设 H 0 为真时，取检验统计量
T = X − 1200 ~ t(8) S/ 9
由
⎧ P⎨
⎩
X − 1200 S/ 9
<
−t 0.05
⎫ (8)⎬
⎭
=
0.05
查表得： t0.05 (8) = 1.8595 ，故拒绝域为 (−∞, − 1.8595) .
当假设 H 0′ 为真时，取检验统计量
F = S12 ~ F (10,8)
S
2 2
由
P⎪⎨⎧ ⎪⎩
S12
S
2 2
<
F 1−
0.05
(10，8)
U
2
S12
S
2 2
>
F0.05
2
(10,8)⎪⎬⎫ ⎪⎭
=
0.05
查表得： F0.05 (10,8) = 4.3,
2
F 1−
0.05
2
(10,8)
=
1 F0.025 (8,10)
9. 甲乙两位化验员，对一种矿砂的含铁量各独立地用一方法做 5 次分析，得到样本方差分别为 0.4322
和
0.5006。若甲、乙测定值的总体都是正态分布，其方差分别为
σ
甲2 和σ
2 乙
，试在水平 α
=
0.05
下
检验假设
H0
:
σ
2 甲
=
σ
2 乙
,
H1
:
σ
2 甲
≠
σ
2 乙
。
解：当假设 H 0 为真时，取检验统计量
当假设 H 0 为真时，取检验统计量
U = X − µ0 ~ N (0,1) σ/ 9
由
⎧X
P⎨ ⎩
σ
− µ0 /9
⎫ > Z 0.01 ⎬ = 0.01
⎭
查表得： Z 0.01 = 2.325 ，故拒绝域为 (2.325,+∞) .
代入样本值得 T 值为
U = 20 = 1.5 < 2.325 40 / 3
概率论与数理统计 习题五解答
1. 正常人的脉搏平均为 72 次/分，现某医生测得 10 例慢性四乙基铅中毒者的脉搏 （次/分）如下：
54 67 68 78 70 66 67 70 65 69 问患者与正常人的脉搏有无显著差异（患者的脉搏可视为服从正态分布。α = 0.05 ） 解：设患者的脉搏为 X , 计算其样本均值与样本方差分别为 x = 67.4, s = 5.93
220 + 205 − 2
220 205
所以拒绝 H 0 ，故可以认为使用原料 B 生产的产品平均重量较使用原料 A 生产的产品平均重量大。
8. 机床厂某日从两台机器所加工的同一种零件中，分别抽取若干样品测量零件尺寸，测得数据如下： 机器甲：6.2 5.7 6.5 6.0 6.3 5.8 5.7 6.0 6.0 5.8 6.0 机器乙：5.6 5.9 5.6 5.7 5.8 6.0 5.5 5.7 5.5
代入样本值 x = 1178, s = 54 得 T 值为 T = 1178 − 1200 = −1.2222 > −1.8595 54 / 9
所以接受 H 0 ，即可以认为这批元件的平均寿命大于 1200 小时。
（2）在检验水平α = 0.05 下，检验假设 H 0 :σ = σ 0 = 50 H1 :σ > σ 0 = 50
当假设 H 0 为真时，取检验统计量
K = (9 − 1)S 2 ~ χ 2 (8) (50) 2
由
⎧ 8S 2
P⎨ ⎩
(50)
2
>
χ
2
0.05
⎫ (8)⎬
=
0.05
⎭
查表得： χ 20.05 (8) = 15.507 ，故拒绝域为 (15.507, + ∞) .
代入样本值 x = 1178, s = 54 得 K 值为 K = 8 × (54)2 = 9.3312 < 15.507 (50) 2
=
1 3.85
=
0.2597
，
故拒绝域为 (0, 0.2597) U (4.3, + ∞) .
代入样本值 s12 = 0.2532 ,
s
2 2
= 0.1732 得 F 值为 F
=
0.253 2 0.173 2
= 2.1386
所以接受
H 0′
，故可以认为
σ
2 1
=
σ
2 2
。
再检验假设 H 0 : µ1 = µ 2
解：在检验水平α = 0.05 下，检验假设 H 0 : µ A = µ B
H1 : µA < µB
当假设 H 0 为真时，取检验统计量
T=
X −Y
~ t(220 + 205 − 2)
Sω
1+1 220 205
⎧
⎫
由
P⎪⎪⎨
⎪ ⎪⎩
Sω
X −Y 1+ 220
1 205
< −t0.05 (223)⎪⎪⎬ = 0.05 ⎪ ⎪⎭