浙江省绍兴一中2020届高三上学期期末考试数学试题 含答案
2020届浙江省绍兴市上虞区高三上学期期末考试数学试题(解析版)
浙江省绍兴市上虞区2020届高三上学期期末考试数学试题参考公式：球的表面积公式24S R π=；球的体积公式343V R π=，其中R 表示球的半径. 第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}2,3,5A =，{}3,4,6B =，则()UA B =（ ）A. {}3B. {}4,6C. {}1,3,4,6D. {}2,3,4,5,6【答案』C 【解析』{}1,4,6UA =,(){}1,3,4,6U A B ∴=,故选:C.2.已知双曲线C ：22221x y a b-=的离心率为53，且其实轴长为6，则双曲线C 的方程为（ ）A. 221916x y -=B. 221169x y -=C. 22134x y -=D. 22143x y -=【答案』A【解析』由双曲线C 的离心率为53,实轴长为6,可得5326c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩,解得35a c =⎧⎨=⎩, 从而22216b c a =-=,所以双曲线C 的方程为:221916x y -=,故选:A.3.已知随机变量X 的分布列（下表），21Y X =+，则()E Y =（ ）A.3 B.3C.3D. 2【答案』B【解析』由题可知11123a ++=,所以16a =,所以1111()10(1)2363E X =⨯+⨯+-⨯=,因此5()(21)2()13E Y E X E X =+=+=,故选:B.4.若实数x ，y 满足约束条件203020x y x y x y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的最大值是（ ）A. 0B. 3C. 4D. 5【答案』D【解析』画出满足约束条件203020x y x y x y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩的目标区域,如图所示:由2z x y =+,得122z y x =-+, 要使z 最大,则直线122zy x =-+的截距要最大,由图可知,当直线122zy x =-+过点A 时截距最大,联立2030x y x y -=⎧⎨+-=⎩,解得(1,2)A , 所以2z x y =+的最大值为:1225+⨯=, 故选:D.5.ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则“()12a b c ≤+”是“A 为锐角”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分又非必要条件【答案』A【解析』①在ABC ∆中,若()12a b c ≤+, 则()2214a b c ≤+,即22224()2()a b c b c ≤+≤+, 222a b c ∴<+,222cos 02b c a A bc+-∴=>,A ∴为锐角,即“()12a b c ≤+”⇒“A 为锐角”, ②若A 为锐角,则222cos 02b c a A bc+-=>,即222b c a +>,无法推出2222b c a +≥, 所以“A 为锐角”⇒“()12a b c ≤+”, 综上所述:“()12a b c ≤+”是“A 为锐角”的充分非必要条件, 故选:A.6.函数2()xx xf x e+= 大致图象是（ ）A. B.C. D.【答案』A【解析』函数y=2x x x e +的导数为21'xx x y e -++=，令y′=0，得x=12±，x ⎛∈-∞ ⎝⎭时，y′＜0，x ∈⎝⎭时，y′＞0，x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时，y′＜0．∴函数在（﹣∞，+∞）递增． 且x=0时，y=0，排除B ，x=-1时，y=0，x=-2时，y>0,排除C ， 故选A ．7.已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，P 为第一象限内椭圆上的一点，且124F PF π∠=，直线1PF 交y 轴于点M ，若122F F OM =，则该椭圆的离心率为（ ）A.3B.4C.1D.13【答案』C【解析』由122F F OM =,得1OF OM c ==,所以1tan 1MFO ∠=,即124PF F π∠=,又124F PF π∠=,所以12PF F ∆为等腰直角三角形,所以1222PF PF c a +=+=,所以离心率1ce a==,故选:C.8.若函数()12f x x x a =+++的最小值3，则实数a 的值为（ ） A. 5或8 B. 1-或5C. 1-或4-D. 4-或8【答案』D【解析』由题意，①当12a ->-时，即2a >，3(1),2(){1,123(1),1a x a x a f x x a x x a x --+≤-=+--<≤-++>-，则当2ax =-时，min ()()1322a a f x f a a =-=-++-+=，解得8a =或4a =-（舍）；②当12a -<-时，即2a <，3(1),1(){1,123(1),2x a x a f x x a x ax a x --+≤-=-+--<≤-++>-，则当2a x =-时，min ()()1322a a f x f a a =-=-++-+=，解得8a =（舍）或4a =-；③当12a-=-时，即2a =，()31f x x =+，此时min ()0f x =，不满足题意，所以8a =或4a =-，故选D.9.已知数列{}n a 中，12a =，若21n n n a a a +=+，设1212222111m m m a a a S a a a =++⋅⋅⋅++++，若2020m S <，则正整数m 的最大值为（ ）A. 1009B. 1010C. 2019D. 2020【答案』B 【解析』21n n n a a a +=+,12a =∴0n a >,∴210n n n a a a +-=>,即数列{}n a 为单调增数列,1(+16n n n a a a +∴=≥）,即111111(+1+16n n n n n a a a a a +==-≤）, 1111+1n n n a a a +∴=-,212(1)11m m m a a a =-++ 1212222111m m m a a a S a a a ∴=++⋅⋅⋅++++ 121112(1)2(1)2(1)111m a a a =-+-+⋅⋅⋅+-+++ 1211122()111m m a a a =-++⋅⋅⋅++++ 1312211111122()m m m a a a a a a +=--+-+⋅⋅⋅+- 111122()m m a a +=-- 1221+m m a +=-223m ≤-2020m S <,2220203m ∴-<,即110103m <+,∴正整数m 的最大值为1010,故选:B.10.在棱长均为ABCD 中，M 为AC 中点，E 为AB 中点，P 是DM 上的动点，Q 是平面ECD 上的动点，则AP PQ +的最小值是（）A.B.C.D.【答案』A【解析』由题知,在正四面体ABCD 中,E 为AB 中点,,AB DE AB CE ∴⊥⊥,AB ∴⊥平面CDE ,设CE 中点为G ,连MG ,M 为AC 中点,//MG AE ∴,且122MG AE ==, MG ∴⊥平面CDE ,DG ∴即为DM 在平面CDE 上的射影,沿DM 展开平面ADM ,使之与平面GDM 重合, 此时,AP PQ +的最小值即为点A 到DG 的距离, 故过点A 作AQ DG ⊥于点Q ,又3DM ==,sin cos 66MG MDG MDG MD ∴∠==∴∠=, 30ADM ∠=,13sin sin()626212ADQ ADM MDG +∴∠=∠+∠=+=,3sin 122AQ AD ADQ +∴=⋅∠==, 故选:A.第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分. 11.已知复数21iz i=-（i 为虚数单位），则z =______，z =______.【答案』 (1). 1i -- (2).【解析』22(1)2211(1)(1)2i i i i z i i i i +-+====-+--+,1,z i z ∴=--==故答案为:1i --.12.已知方程为2220x y x ay a ++-+=的圆关于直线40x y +=对称，则圆的半径r =______.若过点()1,0M 作该圆的切线，切点为A ，则线段MA 长度为______.【答案』 (1). 3 (2).【解析』圆的标准方程为:222(1)()124a a x y a ++-=+-,因为圆关于直线40x y +=对称, 所以圆心(1,)2a -在直线40x y +=上,所以8a =,圆半径3r ==,设圆心为C ,则(1,4)C -,所以MC =所以MA ===,故答案为.13.某几何体的三视图如图所示，正视图为正方形，侧视图为直角三角形，俯视图为等腰直角三角形，则其体积为______，表面积为______.【答案』 (1).43(2). 5+【解析』三视图还原几何体如下:该几何体为四棱锥A BCDE -,底面BCDE 是边长为2的正方形,侧面ABC 是等腰直角三角形,AB AC ==侧面ABC ⊥底面BCDE ,取BC 中点为H ,则AH ⊥底面BCDE ,所以1422133A BCDE V -=⨯⨯⨯=,表面积1111222122252222S =⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=+,故答案为:43;5+14.若21nx ⎛⎫ ⎪⎝⎭展开式中的各项系数之和为1024，则n =______，常数项为______. 【答案』 (1). 5 (2). 405【解析』在21nx ⎛⎫ ⎪⎝⎭中,令1x =,可得展开式的各项系数之和为:41024n =,解得5n =,所以521x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的通项公式为:5555215521()3rr r r r rr T C C x x ---+=⋅=⋅⋅,令5502r-=,得1r =, 所以常数项为:14253=405T C ==⋅, 故答案为:5;405.15.已知集合{}0,1,2,9A B ==，f ：A B →为从集合A 到集合B 的一个函数，那么该函数的值域的不同情况有______种. 【答案』15【解析』因为f :A B →为从集合A 到集合B 的一个函数, 所以该函数的值域可能包含1个,或2个,或3个,或者4个元素, 因此值域的不同情况有:1234444415C C C C +++=种, 故答案为:15.16.如图，已知圆C ：()()22221x y -+-=，ABD ∆为圆C 的内接正三角形，M 为边BD 的中点，当ABD ∆绕圆心C 转动，同时点N 在边AB 上运动时，ON CM ⋅的最大值是______.【答案』14+ 【解析』由题可知:圆C 半径为1,圆心为(2,2)C ,所以ABD ∆1,2CM OC ===()ON CM OC CN CM OC CM CN CM ⋅+⋅=⋅+⋅,而cos =cos OC CM CO CM CO CM OCM OCM ⋅=-⋅=-⋅⋅∠∠,当且仅当cos 1OCM ∠=-,即,CO CM 反向时,OC CM ⋅, 又1=cos cos 2CN CM CN CM MCN CN MCN ⋅⋅⋅∠=⋅⋅∠, 当且仅当N 与B 点重合时,CN CM ⋅取得最大值14,所以ON CM ⋅的最大值是14+故答案为:14+. 17.若关于x 的方程12x a a x---=恰有三个不同的解，则实数a 的取值范围为______. 【答案』[]1,1-【解析』原题等价于方程12x a a x--=±恰有三个不同的解, 设11(),()2,()2f x x a a g x h x x x=--=+=-,作出图像如下:则2,()=,x a x af x x x a-≥⎧⎨-<⎩是一个“V”型分段函数,其顶点(,)A a a -在直线y x =-上运动, 将y x =-分别与(),()g x h x 联立,可得直线y x =-与()g x 相切与点(1,1)B -,与()h x 相切与点(1,1)C -, 因此,当且仅当点A 在线段BC 上运动时,()f x x a a =--与12y x=±有三个交点,故答案为:[]1,1-.三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.已知函数())21sin 024x x f x ωωω=-->的图象如图所示，其中A 为图象的最高点，B ，C 为图象与x 轴的交点，且ABC ∆为等腰直角三角形.（1）求ω的值及()f x 的单调递增区间； （2）设()()13g x f x f x ⎛⎫=++⎪⎝⎭，求函数()g x 在区间11,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上最大值及此时x 的值. 解：(1)()21sin 24x f x x ωω=-1sin 4x x ωω=-1sin 23x πω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭由图像可知ABC ∆的BC 边上高为12, 可得12BC T =⇒=,故ωπ=, 即()1sin 23f x x ππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭, 由不等式322232k x k ππππππ+≤-≤+5112266k x k ⇒+≤≤+,k Z ∈. 所以()f x 的单调增区间为5112,266k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦,k Z ∈. (2)由()()111sin sin 3232g x f x f x x x πππ⎛⎫⎛⎫=++=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭, 当11,23x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,2,636x ππππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦,故当62x πππ-=-,即13x =-时,sin 6x ππ⎛⎫-⎪⎝⎭有最小值1-,的即()6g x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在13x =- 19.已知斜三棱柱111ABC A B C -，2ABC π∠=，1AC BC ⊥，12BC BA ==，1BC =，1AC =（1）求1AA 的长；（2）求1AA 与面ABC 所成的角的正切值. 解:方法一:(1)因为1AC BC ⊥,AB BC ⊥,1BA C A A =,所以BC ⊥面1ABC ,故1CB BC ⊥,所以222115CC CB C B =+=,于是11AA CC = (2)延长AB ,过1C 作1C H AB ⊥于H ,由(1)知CB ⊥面1ABC ,所以面ABC ⊥面1ABC , 又面ABC面1ABC AB =,1C H AB ⊥,1C H ⊂面1ABC ,所以1C H ⊥面ABC ,所以1C CH ∠为1CC 与面ABC 所成角,在1ABC ∆中可得1120BAC ∠=︒,故1C H =CH =所以11tan C H C CH CH ∠==又因为11//AA CC ,面//ABC 面111A B C ,故1AA 与面ABC 所成的角即为1CC 与面ABC 所成的角, 所以1AA 与面ABC方法二:(1)如图所示以B 为原点,BC 为x 轴,BA 为y 轴,竖直向上为z 轴, 建立空间直角坐标系,则()1,0,0C ,()0,2,0A , 因为1AC BC ⊥,AB BC ⊥,1BAC A A =,所以BC ⊥面1ABC ,即1ABC 平面等同于yoz 平面, 又因为12BC BA ==,1AC =, 所以1C的坐标为(0,1,-,所以11AA CC = (2)因为11//AA CC ,面//ABC 面111A B C ,故1AA 与面ABC 所成的角即1CC 与面ABC 所成的角,设其夹角为θ, 易得面ABC 的法向量为()0,0,1n =,且(1C C =,所以113sin 5n C C n C Cθ⋅==⋅, 所以tan 2θ==, 所以1AA 与面ABC 所成的角的正切值为220.在数列{}n a 中，已知11a =，121nn n a a +=+-.（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）记()1n n b a n λ=+-，且数列{}n b 的前n 项和为n S ，若2S 为数列{}n S 中的最小项，求λ的取值范围. 解：(1)121n n n a a +=+-,()11212n n n a a n --∴=+-≥, 21221n n n a a ---=+-,……12121a a =+-,上式累加可得:()()12212nn a a n n -=---≥,2(2)n n a n n ∴=-≥,又11a =,∴2nn a n =-;(2)由(1)可得()12nn n b a n n λλ=+-=-,∴()11222n n n n S λ++=--,因为2S 为数列{}n S 中的最小项, 所以263n S S λ≥=-, 即()112832n n n λ++⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭,当1n =时,得42λ-≥-,∴2λ≥; 当2n =时,R λ∈;当3n ≥时,得()1302n n +->,∴222166n n n λ+-≤+-, 令()222166n n f n n +-=+-, 则()()()()322221621661116n n n n n f n n f n ++--=-+-+++-+-()()()2222823232346n n n n n n n n +--⋅++=+-+-, 当4n ≥时,280n n -->,22340,60n n n n +->+->, ∴()()1f n f n +>,又可验证当3n =时,()()430f f ->也成立, ∴当3n ≥时,数列(){}f n 为递增数列, ∴()()min 833f n f ==,即83λ≤. 综上所述,λ取值范围为82,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦.21.已知抛物线1C ：()220y px p =>，圆2C ：()2220x y rr +=>，直线l ：()0y kx m m =+>与抛物线1C 相切于点A ，且与圆2C 相切于点B .（1）当2r，1k =时，求直线l 方程与抛物线1C 的方程；（2）设F 为抛物线1C 的焦点，FAB ∆，FOB ∆的面积分别为1S ，2S ，当21S S 取得最大值的时，求实数22r p的值.解：解：(1)由题设可知,l :0x y m -+=,且0m >, 由l 与圆相切,可知圆心2(0,0)C 到直线l的距离2d ==,解得m =, 所以直线l 方程为:0x y -+=,由22202x y y py y px⎧-+=⎪⇒-+=⎨=⎪⎩,令0∆=,解得p = 所以抛物线的方程为1C:2y =. (2)联立22y kx m y px=+⎧⎨=⎩,可得()222220k x km p x m +-+=, 令0∆=,即()2222240km p k m --=,解得2p km =,即2p m k=, 此时切点2,2p p A k k ⎛⎫⎪⎝⎭, 又直线2py kx k=+和圆相切,r=,故联立直线与圆方程()22222412p x y k k p y kx k ⎧+=⎪+⎪⎨⎪=+⎪⎩, 解得()221p x k =-+,()221p y k k =+,即()()22,2121p p B k k k ⎛⎫ ⎪- ⎪++⎝⎭,B A =∴(()2221221p k k k +=+, 又,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭到AB 的距离d =即有(()2122121221p k S k k +=+222128p k k k +=⋅, ()()222211228211p p p S k k k k =⋅⋅=⋅++,可得()()22222121112132S k S k k k k==++++3≤=-当且仅当22k =取等号),此时()222211241r p k k ===+. 22.已知函数()22xa f x a x e a ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭.（1）若1a =-，求函数()f x 的单调区间及极值；（2）当0x >时，函数()1f x ≥-（其中0a >）恒成立，求实数a 的取值范围. 解:(1)当1a =-时,()1xx f x e=-,此时()1x xf x e -'=, 当(),1x ∈-∞,()0f x '>;()1,x ∈+∞,()0f x '<, 所以函数()f x 的单调增区间为(,1)-∞,减区间为()1,+∞, 所以()f x 有极大值()111f e=-,无极小值; (2)方法一:()1f x ≥-即2210x a x e a a ⎛⎫--++≥ ⎪⎝⎭恒成立令x t a =,即x at =,上式可变为2210t at e a a ⎛⎫--++≥ ⎪⎝⎭,即()2210tate a t a -+++≥对0t >恒成立, 令()()221tate a t t a g =-+++,取必要条件()()122110g ae a a ae a =-+++=--≥,解得11a e ≥-, 下证当11a e ≥-时,()0g t ≥对0t >恒成立, ,()()()121t a t e g t a '=+-+,因为()()20tg t a t e ''=+>,所以()y g t '=在()0,∞+单调递增,由于()020g a '=--<,()()()1121221201g e a e e '=--≥-⋅-=-, 所以()g t '在(]0,1存在唯一零点(]00,1t ∈, 所以()g t 在()0,∞+存在唯一极小值点(]00,1t ∈, 此时()00g t '=,即()()()()00002112101tta a t e a e a t ++-+=⇒=+,()()()0000min 221t g t at e a t g t a ==-+++()()()()200000012121111a t t at t a a t t a +-++=+++=++, 由于(]00,1t ∈,可得010t +>,200210t t -++≥,所以()min 0g t ≥恒成立,即()0g t ≥对0t >恒成立, 综上可得a 的取值范围为1,1e ⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭. 方法二:()1f x ≥-即2210x a x e a a ⎛⎫--++≥ ⎪⎝⎭恒成立,令x t a =,即x at =,上式可变为2210t at e a a ⎛⎫--++≥ ⎪⎝⎭,即()2210tate a t a -+++≥对0t >恒成立,即211ta t a te -≥+对0t >恒成立, 设()21t t g t te -=,则()()()211tt t g t te-+-'=, 可知()g t 在()0,1单调递增,在()1,+∞单调递减,因此()()max 11g t g e==, 所以11a a e ≥+,解得11a e ≥-,即a 的取值范围为1,1e ⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭.。
浙江省绍兴一中高三数学第一学期期末文科试卷
绍兴一中２００7学年第 一 学 期高三（文科）数学期末试卷命题、校对：孟伟强、陈连原、杨瑞敏一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．设全集}54321{，，，，=U ,集合A B U 、⊂,且}4{=B A ,}52{)(，=B A C U ,则满足条件的集合A 有( )A.1个B.2个C.3个D.4个2．“a =2”是“函数y =cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为2π”的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分条件也不是必要条件3．已知m l ,为两条直线，则下列条件中可以判断平面α与平面β平行的是 ( ) A ．βα//,//l l B ．βα⊥⊥l l ,C ．βα//,l l ⊂D ．ββα//,//,,m l m l ⊂ 4．曲线1323+-=x x y 上以点（1，–1）为切点的切线方程是 ( ) A ．34+-=x yB ．54-=x yC ．43-=x yD ．23+-=x y5．已知函数⎩⎨⎧≤>=)0(3)0(log )(2x x x x f x，则1[()]4f f 的值为 ( )A ． 9B ．-9C ．91D ． 91-6．摇奖器摇出的一组中奖号码为8，2，5，3，7，1 . 对奖票上的六个数字是从0，1，2，……，9这十个数字中任意选出六个不同数字组成的. 如果对奖票上的六个数字 中至少有五个与摇奖器摇出的号码相同（不计顺序）就可以得奖，则中奖的概率为A ．71 B ．301 C ．354D ．425 7．若0,0≥≥y x 且12=+y x ，那么232y x +的最小值是 ( )A ．2B ．43C ．32D ．08．若函数()()y f x x R =∈满足(2)()f x f x +=, 且(1,1]x ∈-时()||f x x =,则函数 ()y f x =的图象与函数lg ||y x =的图象的交点个数为 ( )A ．16B ．18C ．20D ．无数个9．设2sin1sin 2sin 222n n na =++⋅⋅⋅+ , 则对任意正整数,()m n m n > , 都成立的不等式 是( )A ．||2n m m n a a ⋅-<B ．||2n m m na a -->C ．1||2n m n a a -<D ．1||2n m n a a ->10．若函数2(2)()m x f x x m-=+的图象如图所示，则m) A ．（－∞，－1） B ．（－1，2） C ．（1，2）D ．（0，2）二、填空题：(本大题共4小题，每小题4分，共16分)11．国家准备出台调整个人收入所得税方面的政策，各地举行各行业收入的入户调查.某住宅小区约有公务员120，公司职员200人，教师80人，现采用分层抽样的方法抽取容量为20人的样本进行调查，则公务员、公司职员、教师各抽取的人数为 ；12．函数22sin cos()336x x y π=++的图象中相邻两条对称轴的距离是______ ；13．若()()R x x a x a x a a x ∈++++=-200820082210200821 ，则()()()()=++++++++20080302010a a a a a a a a .（用数字作答）14．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每 立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为116t ay -⎛⎫= ⎪⎝⎭（a 为常数），如图所示．据图中提供的信息，回答下列问题：⑴从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）之间 的函数关系式为；⑵据测定，当空气中每立方米的含药量 降低到0.25毫克以下时，学生方可进教 室，那么药物释放开始，至少需要经过小时后，学生才能回到教室．三、解答题：（本大题共5题，满分44分）15．（本题满分8分）已知甲袋中有3个白球和4个黑球，乙袋中有5个白球和4个黑球， 现在从两个袋中各取2个球，试求： ⑴取得的4个球均是白球的概率；⑵取得的4个球中有3个白球和1个黑球的概率。
浙江省绍兴市2020版高三上学期期末数学试卷(理科)C卷
浙江省绍兴市2020版高三上学期期末数学试卷（理科）C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2017·泰安模拟) 复数z满足（z﹣i）（2﹣i）=5．则z=（）A . ﹣2﹣2iB . ﹣2+2iC . 2﹣2iD . 2+2i2. （2分） (2016高二上·河北开学考) 已知全集U={0，2，4，6，8，10}，集合A={2，4，6}，B={1}，则（∁UA）∪B等于（）A . {0，1，8，10}B . {1，2，4，6}C . {0，8，10}D . ∅3. （2分） (2019高一上·会宁期中) 已知函数，，若有，则的取值范围（）A .B .C .D .4. （2分）执行如图的程序框图，则输出的s=（）A .B . -C .D . -5. （2分） (2017高一下·仙桃期末) 若函数y=ksin（kx+φ）（k＞0，|φ|＜）与函数y=kx﹣k2+6的部分图象如图所示，则函数f（x）=sin（kx﹣φ）+cos（kx﹣φ）图象的一条对称轴的方程可以为（）A . x=﹣B . x=C . x=D . x=﹣6. （2分） (2016高二下·市北期中) 一个空间几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（）A .B .C .D .7. （2分）在△ABC中，∠BAC=60°，AB=2，AC=1，E，F为边BC的三等分点，则=（）A .B .C .D .8. （2分）若，则“”是方程“”表示双曲线的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件9. （2分）关于x的方程（m+3）x2﹣4mx+2m﹣1=0的两根异号，且负根的绝对值比正根大，那么实数m的取值范围为（）B . （0，3）C . （﹣∞，﹣3）∪（0，+∞）D . （﹣∞，0）∪（3，+∞）10. （2分） (2016高二上·和平期中) 设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn ，且a1＞0．若S2＞2a3 ，则q的取值范围是（）A .B .C .D .11. （2分） (2018高二下·陆川月考) 已知双曲线的离心率为，抛物线的焦点为，则实数的值为（）A . 4B .C . 8D .12. （2分） (2016高二上·驻马店期中) 对任意的a∈[﹣1，1]，f（x）=x2+（a﹣4）x+4﹣2a的值恒大于0，则x的取值范围是（）A . （﹣∞，1）∪（3，+∞）B . （1，3）C . （﹣∞，1）∪（2，+∞）二、填空题： (共4题；共4分)13. （1分）在（tanx+cotx）10的二项展开式中，tan2x的系数为________（用数值作答）14. （1分）等比数列{an}中，已知a1=1，a4=27，则a3=________．15. （1分）已知实数x，y满足不等式组，则z=x﹣2y的最小值为________16. （1分）已知三次函数f（x）=x3+x2+cx+d（a＜b）在R上单调递增，则的最小值为________三、解答题 (共5题；共50分)17. （10分） (2017高二上·南宁月考) 在中，角的对边分别为，已知向量，，且 .（1）求角的大小；（2）若点为上一点，且满足，求的面积.18. （10分）(2016·枣庄模拟) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD内接于圆O，AC是圆O的一条直径，PA⊥平面ABCD，PA=AC=2，E是PC的中点，∠DAC=∠AOB（1）求证：BE∥平面PAD；（2）若二面角P﹣CD﹣A的正切值为2，求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．19. （15分）(2017·宁德模拟) 随着生活水平的提高，人们对空气质量的要求越来越高，某机构为了解公众对“车辆限行”的态度，随机抽查50人，并将调查情况进行整理后制成如表：年龄（岁）[15，25）[25，35）[35，45）[45，55）[55，60）频数1010101010赞成人数35679（1）世界联合国卫生组织规定：[15，45）岁为青年，（45，60）为中年，根据以上统计数据填写以下2×2列联表：青年人中年人合计不赞成赞成合计（2）判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为赞成“车柄限行”与年龄有关？附：，其中n=a+b+c+d独立检验临界值表：P（K2≥k）0.1000.0500.0250.010k0 2.706 3.841 5.024 6.635（3）若从年龄[15，25），[25，35）的被调查中各随机选取1人进行调查，设选中的两人中持不赞成“车辆限行”态度的人员为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ．20. （5分）已知分别是椭圆的左、右焦点，离心率为，，分别是椭圆的上、下顶点，．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过（0,2）作直线与交于两点，求三角形面积的最大值（是坐标原点）．21. （10分） (2019高一下·延边月考) 已知函数在区间上单调，当时，取得最大值5，当时，取得最小值-1.（1）求的解析式（2）当时，函数有8个零点，求实数的取值范围。
2019-2020学年浙江省绍兴市柯桥区高三(上)期末数学试卷
2019-2020学年浙江省绍兴市柯桥区高三（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）已知全集{|1}U x x =-…，集合{|0}A x x =>，{|11}B x x =-剟，则()(U A B =I ð )A ．{|10}x x -剟B ．{|01}x x 剟C ．{|01}x x <„D ．{|10}x x -<„2．（4分）若实数x ，y 满足约束条件0230y y x x y ⎧⎪⎨⎪+-⎩…„„，则2z x y =-的最大值是( )A ．1-B ．0C ．2D ．33．（4分）双曲线22124x y -=的焦点到其渐近线的距离是( )A ．1BC ．2D4．（4分）某几何体的三视图如图所示（单位：)cm ，则该几何体的体积是( )（单位：3)cmA ．2B ．6C ．10D ．125．（4分）设a ，b 是实数，则“221a b +„”是“||||1a b +„”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．（4分）在同一坐标系中，函数()(0)a f x x x =>与1()x g x a +=的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．7．（4分）已知多项式6260126(1)(1)(1)x a a x a x a x =+-+-+⋯+-，则4(a = ) A ．15-B ．20-C ．15D ．208．（4分）斜三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是正三角形，侧面11ABB A是矩形，且12AA =，M 是AB 的中点，记直线1A M 与直线BC 所成的角为α，直线1A M 与平面ABC 所成的角为β，二面角1A AC B --的平面角为γ，则( )A ．βγ<，αγ<B ．βα<，βγ<C ．βα<，γα<D ．αβ<，γβ<9．（4分）已知函数322221(2)1,1()3(1),1x t t x tx x f x t x t x x ⎧--+++<⎪=⎨⎪++⎩…，则满足“对于任意给定的不等于1的实数1x ，都有唯一的实数221()x x x ≠，使得12()()f x f x ''=”的实数t 的值( ) A ．不存在B ．有且只有一个C ．有且只有两个D ．无数个10．（4分）已知数列{}n a 满足101a <<，14()2n n n a ta t R a ++=∈+，若对于任意*n N ∈，都有103n n a a +<<<，则t 的取值范围是( )A ．(1-，3]B ．[0，3]C ．(3,8)D ．(8,)+∞二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 11．（6分）已知复数11z i =-，122z z i =-g ，则复数2z = ．12．（6分）设直线y kx =与圆22:(2)1C x y -+=相交于A ，B 两点，若||AB =，则k = ，当k 变化时，弦AB 中点轨迹的长度是 ．13．（6分）设随机变量ξ的分布列是若13E ξ=，则b = ，D ξ= ． 14．（6分）在ABC ∆中，4BC =，135B ∠=︒，点D 在线段AC 上，满足BD BC ⊥，且2BD =，则cos A = ，AD = ．15．（6分）已知双曲线2222:1(,0)x y C a b a b -=>的右焦点(,0)F c 关于直线b y x a=的对称点在直线2a x c=-上，则该双曲线的离心率为 ．16．（6分）已知正三角形ABC 的边长为4，P 是平面ABC 内一点，且满足3APB π∠=，则PB AC u u u r u u u rg 的最大值是 ，最小值是 ．17．（6分）设实数a ，b 满足：1b a 剟?，则221a b ab+-的取值范围为 ．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明或演算步骤.18．已知函数2()sin(2)3f x x x π=--．（Ⅰ）求3()4f π的值；（Ⅱ）求()f x 的最小正周期和单调递增区间．19．如图，三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，90CBD ∠=︒，E ，F 分别是BD ，CD 的中点，且AB BE AE BC ===．（Ⅰ）证明：AC AD ⊥；（Ⅱ）求AF 与平面ACE 所成角的余弦值．20．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，23a =-，452(1)S a =+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，满足11b =-，*11()n n n b T T n N ++=∈． （Ⅰ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记n c =*n N ∈，证明：12(21)n c c c n ++⋯++． 21．已知抛物线2:2(0)C x py p =>，直线y x =截抛物线C（Ⅰ）求p 的值；（Ⅱ）若直角三角形APB 的三个顶点在抛物线C 上，且直角顶点P 的横坐标为1，过点A 、B 分别作抛物线C 的切线，两切线相交于点Q ．①若直线AB 经过点(0,3)，求点Q 的纵坐标； ②求PABQABS S ∆∆的最大值及此时点Q 的坐标．22．设函数()2(0)ax f x e x a -=+≠． （Ⅰ）当2a =，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当a >(x ∈-∞，0]，均有2()(1)2af x x >+，求a 的取值范围．2019-2020学年浙江省绍兴市柯桥区高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）已知全集{|1}U x x =-…，集合{|0}A x x =>，{|11}B x x =-剟，则()(U A B =I ð )A ．{|10}x x -剟B ．{|01}x x 剟C ．{|01}x x <„D ．{|10}x x -<„【解答】解：由{|10}U A x x =-剟ð，可知(){|10}U A B x x =-I 剟ð． 故选：A ．2．（4分）若实数x ，y 满足约束条件0230y y x x y ⎧⎪⎨⎪+-⎩…„„，则2z x y =-的最大值是( )A ．1-B ．0C ．2D ．3【解答】解：先根据实数x ，y 满足约束条件0230y y x x y ⎧⎪⎨⎪+-⎩…„„，画出可行域，由2z x y =-可得1122y x =- z ，则直线在y 轴上的截距越小，z 越大， 然后平移直线:02L x y =-， 当直线2z x y =-过点B 时z 最大，由0230y x y =⎧⎨+-=⎩可得(3,0)B ，z 最大值为3．故选：D ．3．（4分）双曲线22124x y-=的焦点到其渐近线的距离是()A．1B C．2D【解答】解：双曲线22124x y-=中，焦点坐标为(，0)，渐近线方程为：y=，∴双曲线22124x y-=的焦点到渐近线的距离：2d==．故选：C．4．（4分）某几何体的三视图如图所示（单位：)cm，则该几何体的体积是()（单位：3)cmA ．2B ．6C ．10D ．12【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为： 如图所示：该几何体的底面为直角梯形，高为2四棱锥体．故11(12)22232V =⨯⨯+⨯⨯=．故选：A ．5．（4分）设a ，b 是实数，则“221a b +„”是“||||1a b +„”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：设a ，b 是实数，则“221a b +„”推不出“||||1a b +„”， 例如220.70.60.851+=<，但0.70.6 1.31+=>， “||||1a b +„” ⇒ “221a b +„”，∴ “221a b +„”是“||||1a b +„”的必要不充分条件．故选：B ．6．（4分）在同一坐标系中，函数()(0)a f x x x =>与1()x g x a +=的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：01a <<Q 或1a >，∴当0x >时，幂函数()(0)a f x x x =>为增函数，排除B ，A 中，(0)1g a =>，函数()g x 为增函数，此时当01x <<时，a x x <，满足条件． C 中，(0)1g a =>，函数()g x 为增函数，此时当01x <<时，a x x <，此时不满足条件．D 中，(0)1g a =<，函数()g x 为减函数，此时当01x <<时，a x x >，不满足条件．故选：A ．7．（4分）已知多项式6260126(1)(1)(1)x a a x a x a x =+-+-+⋯+-，则4(a = ) A ．15-B ．20-C ．15D ．20【解答】解：多项式66[1(1)]x x =--2345616(1)15(1)20(1)15(1)6(1)(1)x x x x x x =--+---+---+- 260126(1)(1)(1)a a x a x a x =+-+-+⋯+-， 则415a =． 故选：C ．8．（4分）斜三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是正三角形，侧面11ABB A 是矩形，且12AA =，M 是AB 的中点，记直线1A M 与直线BC 所成的角为α，直线1A M 与平面ABC 所成的角为β，二面角1A AC B --的平面角为γ，则( )A ．βγ<，αγ<B ．βα<，βγ<C ．βα<，γα<D ．αβ<，γβ<【解答】解：由最小角定理可得βα<，设2AB =，则1AA =，侧面11ABB A 是矩形，M 是AB 的中点， 12A M ∴=，设侧棱与底面所成的角为θ，斜三棱柱的高为1sin h AA θθ==g，∴sin β=取11A B 的中点N ，并连接MN ，1C N ，可得平面1C CMN ⊥底面ABC ， 过点1C 作1C O CM ⊥于点O ，OG AG ⊥于点G ，连接1C G ， 则1C GO γ=∠，可得OG θ，∴1C G ，∴111sin sin 2C O C O C G γβ=>==， 又β，γ均为锐角，所以γβ>． 故选：B ．9．（4分）已知函数322221(2)1,1()3(1),1x t t x tx x f x t x t x x ⎧--+++<⎪=⎨⎪++⎩…，则满足“对于任意给定的不等于1的实数1x ，都有唯一的实数221()x x x ≠，使得12()()f x f x ''=”的实数t 的值( ) A ．不存在B ．有且只有一个C ．有且只有两个D ．无数个【解答】解：2222(2),1()2(1),1x t t x t x f x t x t x ⎧--++<'=⎨++⎩…，当1x <时，22()2(2)f x x t t x t '=--++，对称轴为22172()124x t t t =-+=-+>，则()f x '单调递减，f '（1）212(2)t t t =--++，当1x …时，2()21f x t x t '=++单调递增，f '（1）221t t =++，而222211521[12(2)]4244()044t t t t t t t t ++---++=-+=-+>，所以不能保证“对于任意给定的不等于1的实数1x ，都有唯一的实数221()x x x ≠，使得12()()f x f x ''=”， 故这样的t 不存在， 故选：A ．10．（4分）已知数列{}n a 满足101a <<，14()2n n n a ta t R a ++=∈+，若对于任意*n N ∈，都有103n n a a +<<<，则t 的取值范围是( )A ．(1-，3]B ．[0，3]C ．(3,8)D ．(8,)+∞【解答】解：由题意易知，121402a ta a +=>+成立，故4t -…； 又21202n n n n n a a ta a a +-++-=>+，故只要220n n a a t -++>在(0,3)上有解，则1t >-； 又1432n n n a ta a ++=<+恒成立，即60n a t +-<，即6n t a <-，则3t „； 综上所述，实数t 的取值范围为(1-，3]． 故选：A ．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 11．（6分）已知复数11z i =-，122z z i =-g ，则复数2z =3122i + ．【解答】解：11z i =-Q ，122z z i =-g ，∴2122(2)(1)311(1)(1)22i i i i z i z i i i ---+====+--+． 故答案为：3122i +． 12．（6分）设直线y kx =与圆22:(2)1C x y -+=相交于A ，B两点，若||AB =，则k =，当k 变化时，弦AB 中点轨迹的长度是 ． 【解答】解：直线y kx =与圆22:(2)1C x y -+=相交于A ，B 两点，||AB =k =， 设AB 的中点为(,)M x y ，22(2)1y kx x y =⎧⎨-+=⎩得22(1)430k x x +-+=，12241x x k +=+， AB 的中点M 坐标为22(1k +，22)1kk +， 由△21612(1)0k =-+…，即213k „，所以22312x k =+…， 设(,)M x y ，由yk x=，代入2222211x y k x==++， 化简得：2220x y x +-=，即22(1)1x y -+=，弦AB 的中点为3[2x ∈，2]的一段弧长，长度为23π，故答案为：；23π．13．（6分）设随机变量ξ的分布列是若13E ξ=，则b = 12，D ξ= ． 【解答】解：由题设知：11311(1)0133a b a b ⎧++=⎪⎪⎨⎪-⨯+⨯+⨯=⎪⎩，解得16a =，12b =， 2221111115(1)(0)(1)3633329D ξ∴=--⨯+-⨯+-⨯=．故答案为：12，59． 14．（6分）在ABC ∆中，4BC =，135B ∠=︒，点D 在线段AC 上，满足BD BC⊥，且2BD=，则cosA =，AD = ． 【解答】解：如图所示，ABC ∆中，4BC =，135B ∠=︒，BD BC ⊥，且2BD=，则CD ==；所以sin C ==，cos C ==cos cos(135)cos135cos sin135sin (A C C C =-︒+=-︒+︒=-=sinA == sin sin135BC ACA =︒，=AC =AD AC CD =-==，15．（6分）已知双曲线2222:1(,0)x y C a b a b -=>的右焦点(,0)F c 关于直线by x a =的对称点在直线2a x c=-【解答】解：双曲线的一条渐近线方程为直线by x a=， 设(,0)F c 关于直线0bx ay -=的对称点为(,)A m n ，0m <，双曲线2222:1(,0)x y C a b a b -=>的右焦点(,0)F c 关于直线by x a=的对称点在直线2a x c =-上，c ，且n am c b=--，解得：22a b m c -==，2ab n c =，右焦点(,0)F c 关于直线by x a=的对称点在直线直线2a x c =-，可得222b a ac c--=， 化简可得：223c a =，即有23e =，解得e =．16．（6分）已知正三角形ABC 的边长为4，P 是平面ABC 内一点，且满足3APB π∠=，则PB AC u u u r u u u r g 的最大值是 8 ，最小值是 ．【解答】解：如图，作ABC ∆的外接圆，取优弧·ACB ，再作此圆弧关于直线AB 对称的优弧，即点P 的轨迹由这两段优弧组成，过点B 作直线AC 的垂线，垂足为B '，过点P 作直线AC 的垂线，垂足为P '，设两圆的圆心分别为1O ，2O ，过1O ，2O 分别作AC 的平行线，与对应的优弧的交点分别为1P ，2P ，为使PB AC u u u r u u u rg 最大，则点P 应处于2P 的位置，注意到2O A AC ⊥，且由正弦定理可得两圆的半径均为2sin 3π=所以此时PB AC u u u r u u u r g 的值为42)8+=；同理，为使PB AC u u u r u u u r g 最小，则点P 应处于1P 的位置，则此时PB AC u u u r u u u r g 的值为4-=；故答案为：8，．17．（6分）设实数a ，b 满足：1b a 剟?，则221a b ab +-的取值范围为 [1， ．【解答】解：由1b 剟，1a剟可得13ab 剟，由1b 剟，1a 剟，b a „，11a 剟，1ba„， 1ba剟，则221111a b a b ab b a ab +-=+-=…，当且仅当1a b ==取得最小值1；又1a b t b a t+=+在1]递减，可得1t t ++=„a 1b =取得等号，① 113ab --„，当a b ==②由于①②的等号不同时成立，可得113a b b a ab +-<-，综上可得，221a b ab +-的取值范围是[1．故答案为：[1． 三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明或演算步骤.18．已知函数2()sin(2)3f x x x π=--．（Ⅰ）求3()4f π的值；（Ⅱ）求()f x 的最小正周期和单调递增区间．【解答】解：（1）由函数2()sin(2)3f x x x π=--，则223331()sin()cos 4234342f ππππππ=--=--=-； （Ⅱ）1cos21()sin 2coscos2sinsin 2sin(2)33223x f x x x x x x πππ-=--=++g ，所以()f x 的最小正周期为2T ππω==， 由222232k x k πππππ-++剟得，51212k x k ππππ-+剟， 所以函数()f x 的递增区间是5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈． 19．如图，三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，90CBD ∠=︒，E ，F 分别是BD ，CD 的中点，且AB BE AE BC ===．（Ⅰ）证明：AC AD ⊥；（Ⅱ）求AF 与平面ACE 所成角的余弦值．【解答】解：（1）因为平面ABD ⊥平面BCD ，且BC BD ⊥，所以BC ⊥平面ABD ， 所以BC AD ⊥，又由于EA EB ED ==，所以AD BC ⊥， 所以AD ⊥平面ABC ，所以AD AC ⊥． （2）取BE 中点G ，连接GF 与CE 相交于H ，由于平面ABD ⊥平面BCD ，且AG BD ⊥，所以AG ⊥平面BCD ， 所以AG CE ⊥，又GF CE ⊥，所以CE ⊥平面AFG ， 所以平面ACE ⊥平面AFG ，所以AF 在平面ACE 上的射影在直线AH 上， 则FAH ∠即为AF 与平面ACE 所成角．设1BC =，AB BE AE BC ===．AG =，32DG =，DC =，GF =，AF =，HF GH ==AH ==，由余弦定理可得：222cos 2AH AF HF FAH AH AF +-∠==g ． 所以AF 与平面ACF 所成角的余弦值为470．20．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，23a =-，452(1)S a =+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，满足11b =-，*11()n n n b T T n N ++=∈． （Ⅰ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记n c =*n N ∈，证明：12(21)n c c c n ++⋯++． 【解答】解：（Ⅰ）设首项为1a ，公差为d ，则1113462(41)a d a d a d +=-⎧⎨+=++⎩，解得11a =-，2d =-，故21n a n =-+， 由11n n n b T T ++=g ，得1111n n T T +-=-，11T =-，所以1n n T =-，即1n T n=-， 所以11(2)(1)n n n b T T n n n -=-=-…，故1,11,2(1)n n b n n n -=⎧⎪=⎨⎪-⎩…．（Ⅱ）证明：由（1）知n c =用数学归纳法证明：12(21)n c c c n ++⋯+<+， ①当1n =时，左边1=，右边=，不等式成立， ②假设n k =时成立，即12(21)k c c c k ++⋯+<+， 即当1n k =+时，21(21)(21)k k c c c c k k k +++⋯++<++=++22(21)43)1)(23)k k k k k k k k k =++=++<+++=++．即当1n k =+时，不等式也成立．由①，②可知，不等式12(1)n c c c n ++⋯+<+对任意*n N ∈都成立． 21．已知抛物线2:2(0)C x py p =>，直线y x =截抛物线C（Ⅰ）求p 的值；（Ⅱ）若直角三角形APB 的三个顶点在抛物线C 上，且直角顶点P 的横坐标为1，过点A 、B 分别作抛物线C 的切线，两切线相交于点Q ．①若直线AB 经过点(0,3)，求点Q 的纵坐标； ②求PABQABS S ∆∆的最大值及此时点Q 的坐标．【解答】解：（Ⅰ）22y xx py =⎧⎨=⎩，解得两交点为(0,0)，(2,2)p p ．=12p =． （Ⅱ）①设点211(,)A x x ，222(,)B x x ，(,)Q m n ．切线211:2QA y x x x =-，222:2QB y x x x =-，由题设知2112n x m x =-，2222n x m x =-，即1x ，2x 是方程220x mx n -+=的两根，于是122x x m +=，12x x n =． 故直线:20AB mx y n --=．又因为直线AB 经过点(0,3)， 所以3n =-，即点Q 的纵坐标为3-． ②由题设知2APB π∠=，即0220PA PB m n =⇒++=u u u r u u u rg ．则22|21||46||2|4PAB QAB S m n n S m n n n ∆∆--+==--+，若460n +<，令23(0)t n t =-->，28812562526PAB QAB S t S t t t t∆∆==++++„， 若460n +>，令230t n =+>，2882256256PAB QAB S t S t t t t∆∆==-++-„，当且仅当5t =，1n =时，等号成立，此时点Q 的坐标为3(,1)2-．22．设函数()2(0)ax f x e x a -=+≠． （Ⅰ）当2a =，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当a >(x ∈-∞，0]，均有2()(1)2af x x >+，求a 的取值范围． 【解答】解：（1）当2a =时，函数2()2x f x e x -=+，2()22x f x e -'=-+， 由于(0)0f '=，且函数()f x '单调递增，所以当0x <时，()0f x '<，当0x >时，()0f x '>， 故函数的单调递减区间是(,0)-∞，递增区间是(0,)+∞． （2）由（1）可知，2a =，函数()f x 在0x <是减函数，2a <<．因为22()(1)(2)1222ax a a af x x e x x >+⇔-+<， 令2()(2)22ax a a g x e x x =-+，则222()(2)22ax a a g x x ax e '=-+-，由2222022a a x ax -+-=，解得0x =故()g x 在0(,)x -∞单调递增，在0(x ，0)单调递减，所以01002()()()ax maxg x g x x e a ==-=2a <<11<，即1>，令3(1,)2t，即证1t e ->1t e -<，令()th t -=，2()0th t te-'=<，()h t 在区间3(1,)2单调递减，则1()(1)h t h e<=．2a <<时，对任意(x ∈-∞，0]，均有2()(1)2af x x >+．。
浙江省绍兴市第一中学2020-2021学年高三上学期期末数学试题
浙江省绍兴市第一中学2020-2021学年高三上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}{}221,0P xx Q x x x ===-=∣∣，那么P Q ⋃=（ ） A ．{1,0,1}-B ．{1}C ．{0,1}D ．{1,1}-2．已知实数x ，y 满足2402401x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩，则2x y +的最大值为（ ）A ．2B ．8C ．11D ．133．某几何体的三视图如图所示，则该三棱锥的外接球表面积为（ ）A ．10πB ．15πC ．20πD ．25π4．函数()(33)lg x xf x x -=+⨯的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．5．设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，已知m α⊂，n ⊂α，则“//m β，βn//”是“//αβ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．双曲线221(0,0)x y k m km m-=>≠的离心率（ ）A ．与m 有关，且与k 有关B ．与m 有关，但与k 无关C ．与m 无关，但与k 有关D ．与m 无关，且与k 无关7．在ABC 中，内角A ､B ､C 所对的边分别是a ､b ､c ，已知14b c a -=，2sin 3sin B C =，ABC 的面积为3154，则a =（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．58．已知数列{}n a 与{}n b 满足11(3)1nn n n n b a b a +++=-+，2,1,n n b n ⎧=⎨⎩为偶数为奇数，*n ∈N ，且12a =，下列正确的是（ ） A ．318a a -=B ．2418-=a aC ．{}222n n a a +-是等差数列D ．{}2121n n a a +--是等比数列9．如图，在矩形ABCD 中，1BC =，AB x =，BD 和AC 交于点O ，将BAD 沿直线BD 翻折，则错误的是（ ）A ．存在x ，在翻折过程中存在某个位置，使得AB OC ⊥ B ．存在x ，在翻折过程中存在某个位置，使得AC BD ⊥ C ．存在x ，在翻折过程中存在某个位置，使得AB ⊥平面ACD D ．存在x ，在翻折过程中存在某个位置，使得AC ⊥平面ABD10．已知e 为自然对数的底数，不等式(0,)x e ax b a b R ≥+≠∈对任意的x ∈R 恒成立，则3b a -的最大值为（ ） A ．1ln3- B ．ln 3- C ．1ln3-- D ．2ln3--二、填空题11．已知复数(1)(12)z i i =++，其中i 是虚数单位，则z 的虚部为_______，z =_____.12．若实数a ，b 满足22221a b +=，则22141a b ++的最小值为___________. 13．已知平面向量a ，b ，c ，d 满足1a b ==，2c =，0a b ⋅=，1c d -=，则2a b d ++的取值范围为______.14．已知函数2()121()f x ax x ax a =+++-∈R 在32,53x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭有最大值和最小值，则a 的取值范围为___________.三、双空题15．已知1sin cos 5θθ+=，且0θπ≤≤，则sin 2θ=___________，cos2θ=___________. 16．已知23(2)(1)x ax -+的展开式的所有项系数之和为27，则实数a =______，展开式中含2x 的项的系数是______.17．从4名男生和2名女生中任选3人参加愿者活动，共有___________种不同的选择方法，用X 表示所选3人中女生的人数，则()E X =___________.四、解答题18．已知函数()2sin cos cos 3f x x x x π⎡⎤⎛⎫=⋅-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（1）求6f π⎛⎫⎪⎝⎭；（2）求()f x 的值域.19．在三棱锥A BCD -中，2AB AD BD ===，2BC DC ==，2AC =.（1）求证：BD AC ⊥； （2）若P 为AC 上一点，且34AP AC =，求直线BP 与平面ACD 所成角的正弦值. 20．已知公差为2的等差数列{}n a ，且1a ，7a ，5a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n a 的前n 项和为n S ，求数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最小项.21．如图，设椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>，长轴的右端点与抛物线22:8C y x =的焦点F重合，且椭圆1C 的离心率为32.（1）求椭圆1C 的标准方程；（2）过F 作直线l 交抛物线2C 于A ､B 两点，过F 且与直线l 垂直的直线交椭圆1C 于另一个点C ，求ABC 面积的最小值时直线l 的方程. 22．已知函数()x a f x e ax -=-，a ∈R .（1）若函数()f x 有两个零点，求a 的取值范围；（2）若对任意的[0,)x ∈+∞，均有2(1)(2)12a f x x x ax +++≥++求a 的取值范围.(注：2.71828e ≈为自然对数的数)参考答案1．A 【分析】先求出集合P ，Q ，再由并集定义即可求出. 【详解】{}{}{}{}2211,1,00,1P x x Q x x x ===-=-==∣∣，{}1,0,1P Q ∴⋃=-.故选：A. 2．C 【分析】根据条件作出可行域，根据图形可得出答案. 【详解】由实数x ，y 满足2402401x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩，作出可行域，如图.设2z x y =+，则化为2y x z =-+所以z 表示直线2y x z =-+在y 轴上的截距.2401x y y -+=⎧⎨=-⎩可得()6,1A --，2401x y y +-=⎧⎨=-⎩可得()61B -， 根据图形可得，当直线2y x z =-+过点()61B -，时截距最大， 所以2z x y =+的最大值为11. 故选：C【点睛】方法点睛：解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得. 3．B 【分析】在长方体中还原该几何体，然后可求出其外接球半径，然后可得答案. 【详解】根据三视图可得该几何体为三棱锥P ABC -，其直观图如下：93315++=所以表面积为215415ππ⋅=⎝⎭故选：B 4．D 【分析】根据解析式判断函数的奇偶性，结合函数值的符号是否对应，利用排除法进行判断即可. 【详解】函数的定义域为{|0}x x ≠，()(33)lg ()x x f x x f x --=+⨯=，则函数()f x 为偶函数，图象关于y 轴对称，排除B ， 当1x >时，()0f x >，排除A ，当01x <<时，()0f x <，排除C ， 故选：D. 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象. 5．B 【分析】利用面面平行的判定和性质定理结合充分条件、必要条件的定义判断即可得出结论. 【详解】充分性：已知m α⊂，n ⊂α，由于//m β，βn//，若//m n ，则α与β不一定平行，充分性不成立；必要性：已知m α⊂，n ⊂α，若//αβ，由面面平行的性质可得//m β，βn//，必要性成立. 因此，“//m β，βn//”是“//αβ”的必要不充分条件. 故选：B. 【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，同时也考查了面面平行的判定与性质定理的应用，考查推理能力，属于基础题. 6．A 【分析】分为0m >和0m <两种情形，根据双曲线离心率的概念即可得结果. 【详解】当0m >时，双曲线221(0,0)x y k m km m-=>≠中， 2a km =，2b m =，()21c k m =+，故2221c k e a k+==； 当0m <时，双曲线221(0,0)x y k m km m-=>≠中， 2a m =-，2b km =-，()21c k m =-+，故2221c e k a==+；故双曲线221(0,0)x y k m km m-=>≠的离心率与m 有关，且与k 有关， 故选：A. 7．C 【分析】首先利用正弦定理表示为23b c =，再结合余弦定理求cos A 和sin A ，并利用1sin 2ABCSbc A =求a 的值. 【详解】2sin 3sin B C =，由正弦定理可知23b c =，14b c a -=，可得13,24c a b a ==，∴2221cos 24b c a A bc +-==-，sin A =1131sin 2242ABCSbc A a a ==⨯⨯=，解得：4a =. 故选：C 8．D 【分析】令1n =、 2n =可判断A B ；由已知得2221231n n n a a ++=+和21212231n n n a a --+=-+，l 两式相减可判断D ；利用1212169n n n a a +---=⨯得21n a -的通项公式，结合21212231n n n a a --+=-+可得2na 的通项公式可判断C. 【详解】因为数列{}n a 与{}n b 满足11(3)1nn n n n b a b a +++=-+，令1n =，12112(3)12b a b a +=-+=-，由1122,1,2a b b ===，所以26a =-，令2n =，23223(3)110b a b a +=-+=，由2326,1,2a b b =-==，所以38a =，所以316a a -=，故A 错误；令3n =，34334(3)126b a b a +=-+=-，由3348,12,a b b ===，所以442a =-，所以2442636a a -=-+=-，故B 错误；由已知得2212221(3)1nn n n n b a b a +++=-+，即2221231n n n a a ++=+，21221212(3)1n n n n n b a b a ---+=-+，即()212121223131n n n n a a ---+=-+=-+，两式相减得1212212169233n n n n n a a --+--=⨯+=，232121219n n n n a a a a +++--=-， 所以{}2121n n a a +--是以6为首项，9为公比的等比数列，故D 正确； 由1212169n n n a a +---=⨯得()()()()2213153213122261999n n n n a a a a a a a a ----=+-+-++-=+⨯++++1119532691944n n ---=+⨯=+⨯-，由2221211539442231n n n n n a a a ---+==-⎛⎫+⨯+ ⎪⎝+⎭，得213922n n a =-⨯-，所以2221131399492222n n n n na a ++⎛⎫=-⨯---⨯-=-⨯ ⎪⎝⎭-，2422n n a a ++-()22214949n n n n a a ++-⨯+-⨯-=不是常数，{}222n n a a +-不是等差数列，故C 错误.故选：D. 【点睛】本题考查了由递推数列证明数列是等差数列或等比数列，关键点是掌握等差数列或等比数列的定义以及理解数列中下角标的意义，考查了学生的推理能力、运算能力， 9．D 【分析】当1AB x ==时,可得OC ⊥面ABD ，从而可判断选项A ；可得BD ⊥面OAC ，判断选项B ；取12x =，当将BAD 沿直线BD翻折到AC =C ；若AC ⊥平面ABD ，又AO ⊂平面ABD ，则AC AO ⊥，则与OC OA =与相矛盾，可判断选项D.【详解】当1AB x ==时，所以此时矩形ABCD 为正方形，则AC BD ⊥ 将BAD 沿直线BD 翻折，若使得面ABD ⊥面BCD 时, 由OC BD ⊥，OC ⊂面BCD ，面ABD ⋂面BCD BD = 所以OC ⊥面ABD ,又AB面ABD ,所以AB OC ⊥，故选项A 正确.又OC BD ⊥，OA BD ⊥,且OA OC O =所以BD ⊥面OAC ,又AC ⊂面OAC ,所以AC BD ⊥，故选项B 正确,选项C. 在矩形ABCD 中，AB AD ⊥,AC = 所以将BAD 沿直线BD 翻折时，总有AB AD ⊥,取12x =，当将BAD 沿直线BD 翻折到AC =222AB AC BC += 即AB AC ⊥,且AC AD A =，则此时满足AB ⊥平面ACD ，故C 正确.选项D. 若AC ⊥平面ABD ，又AO ⊂平面ABD ，则AC AO ⊥ 所以在AOC △中，OC 为斜边，这OC OA =与相矛盾.故D 不正确. 故选：D 【点睛】关键点睛：本题考查翻折问题和线面的垂直的判断，解答本题的关键是取12x =，当将BAD沿直线BD 翻折到AC =222AB AC BC +=，得到垂直关系，和利用反证法若AC ⊥平面ABD ，又AO ⊂平面ABD ，则AC AO ⊥，得出矛盾，属于中档题. 10．B 【分析】转化为0x e ax b --≥对任意的x ∈R 恒成立，设()=x f x e ax b --，再对a 分类讨论，得到331ln ()b a g a a a-≤--=，再求()g a 的最大值即得解. 【详解】由题得0x e ax b --≥对任意的x ∈R 恒成立， 设()=x f x e ax b --，所以()=x f x e a '-，当0a <时，()0f x '>，所以函数()f x 在R 上单调递增，此时函数没有最小值，不符合题意. 当0a >时，函数()f x 在(ln ,)a +∞上单调递增，在(,ln )a -∞上单调递减，所以ln ()(ln )ln ln 0amin f x f a e a a b a b a a ==--=--≥，所以ln b a a a ≤-， 所以3ln 333ln 3,1ln ()b a a a b a a a a g a a a a----≤--∴≤=--=， 所以22133()ag a a a a-'=-+=，所以函数()g a 在(0,3)单调递增，在(3,)+∞单调递减. 所以()=(3)1ln 31ln 3max g a g =--=-，所以3b a-的最大值为ln 3-. 故选：B 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是得到ln b a a a ≤-之后，再进一步分析得到331ln ()(0)b a g a a a a-≤--=>.在解答导数问题时，要学会转化和构造函数，优化解题. 11．3【分析】根据复数运算计算，然后由虚部定义和模长的运算可求得结果 【详解】复数(1)(12)13z i i i =++=-+，则复数z 的虚部为3，||z 故答案为：3【点睛】本题考查复数的概念，复数的乘法和模的运算，属于简单题. 12．6 【分析】由条件可得()22312a b ++=，则()222222142141131a b a b a b ⎛⎫⎡⎤+=⨯+++ ⎪⎣⎦++⎝⎭由均值不等式可得答案. 【详解】实数a ，b 满足22221a b +=，即2212a b +=，所以()22312a b ++= 则()222222142141131a b a b a b ⎛⎫⎡⎤+=⨯+++ ⎪⎣⎦++⎝⎭()2222214221455463133b a a b ⎛⎛⎫+=⨯+++≥⨯+=⨯+= ⎪ +⎝⎭⎝ 当且仅当2222141b a a b +=+, 又2212a b +=，即22120a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 时，取得等号. 故答案为：6 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，这时改用勾型函数的单调性求最值.13．0,53⎡⎤+⎣⎦【分析】用几何意义求解．不妨设()1,0a =，()0,1b =，(),c x y =，则(,)C x y 在圆心在原点，半径为2的圆上，设(),d x y '='，则(,)D x y ''在以C 为圆心半径为1的圆上，C 运动后，D 形成的轨迹是圆心在原点，大圆半径为3，小圆半径为1的圆环，2a b d ++表示圆环内的点D 与定点()2,1P --的距离，由图形可得最大值和最小值． 【详解】令()1,0a =，()0,1b =，(),c x y =，设C 的坐标为(),x y ，C 的轨迹为圆心在原点，半径为2的圆上.设(),d x y '='，D 的坐标为(),x y ''，D 的轨迹为圆心在原点，大圆半径为3，小圆半径为1的圆环上.()22,1a b d d ++=---表示D 与点()2,1P --的距离， 由图可知，故2a b d ++的取值范围为0,53⎡⎤+⎣⎦.故答案为：0,53⎡⎤+⎣⎦【点睛】本题考查向量模的几何意义，考查模的最值，解题关键是设()1,0a =，()0,1b =，(),c x y =，(),d x y '='，固定,a b 后得出了,C D 的轨迹，然后由模2a b d ++的几何意义得出最值．14．17615a <≤ 【分析】令2()()1()()21g x h x ax g x h x x ax +=+⎧⎨-=+-⎩，得到 ()()()2,()()2,()()g x g x h x f x h x g x h x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，结合函数()g x 和()h x 的图象，根据 ()f x 在32,53x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭有最大值和最小值求解.【详解】因为函数2()121()f x ax x ax a =+++-∈R ，令2()()1()()21g x h x ax g x h x x ax +=+⎧⎨-=+-⎩， 解得22()()1g x x ax h x x ⎧=+⎨=-⎩， 所以()()()2,()()()()()()2,()()g x g x h x f x g x h x g x h x h x g x h x ⎧≥⎪=++-=⎨<⎪⎩，其中()g x 过点()()0,0,,0a -， ()h x 过点()()1,0,1,0-，因为2()121()f x ax x ax a =+++-∈R 在 32,53x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭有最大值和最小值，当0a -≤，即0a ≥时，3933916,1525552525g a h ⎛⎫⎛⎫-=--=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以3355h g ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以 ()f x 在3,05⎛⎫- ⎪⎝⎭上取不到最小值，要在20,3⎛⎫⎪⎝⎭上取到最小值，则2233g h ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且 3355g h ⎛⎫⎛⎫≤- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即425939a +>，且 931625525a +≤，解得17615a <≤，当0a ->，即0a <时，242245,1393399g a h ⎛⎫⎛⎫=+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2233g h ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以 ()f x 在20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上取不到最小值，要在3,05⎛⎫- ⎪⎝⎭上取不到最小值，则3355g h ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且 3253g h ⎛⎫⎛⎫-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即931625525a ->，且 9352559a -≤， 即715a <-，且44135a ≥-时，无解， 综上：a 的取值范围为17615a <≤.故答案为：17615a <≤【点睛】关键点点睛：本题关键是由函数()f x 解析式的结构特征，令2()()1()()21g x h x ax g x h x x ax +=+⎧⎨-=+-⎩，将函数转化为 ()()()2,()()2,()()g x g x h x f x h x g x h x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，利用二次函数22(),()1g x x ax h x x =+=-的图象和性质求解. 15．2425-725- 【分析】 对1sin cos 5θθ+=两边平方可得sin 2θ；由已知和22sin cos 1θθ+=可得sin θ，再利用二倍角公式可得答案. 【详解】 因为1sin cos 5θθ+=，所以221sin cos 2sin cos 25θθθθ++=， 所以24sin 225θ=-； 由1sin cos 5θθ+=，且0θπ≤≤，又22sin cos 1θθ+=， 所以4sin 5θ=，所以2167cos 212sin 122525θθ=-=-⨯=-， 故答案为：①2425-；②725-. 16．2 23； 【分析】将x=1代入表达式可得到各项系数之和，按照展开式的系数的公式得到2x 的系数之和. 【详解】已知()()3221x ax -+的展开式的所有项系数之和为27,将x=1代入表达式得到()3127 2.a a +=⇒=展开式中含2x 的项的系数是()()2133322123.C x C ⨯+-⨯=故答案为(1). 2；(2). 23. 【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第1r +项，再由特定项的特点求出r 值即可;(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第1r +项，由特定项得出r 值，最后求出其参数. 17．20； 1. 【分析】由组合定义可得从4名男生和2名女生中任选3人参加愿者活动选择方法；求出X 可能取得值及相应的概率，由期望定义可得答案. 【详解】从4名男生和2名女生中任选3人参加愿者活动，共有3620C =种不同的选择方法；用X 表示所选3人中女生的人数，则X 可取0，1，2，当X 0=时，()3436410205C P X C ====， 当1X =时，()2142361231205C C P X C ====， 当2X =时，()124236412205C C P X C ====， 则131012155()5E X ⨯++⨯=⨯=.故答案为：①20；②1. 18．（1（2）⎡⎢⎣⎦.【分析】（1）利用两角和与差的正、余弦公式、正弦余弦的二倍角公式进行化简代入函数值可得答案；（2）根据x 的范围可以得到26x π-及sin 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的范围，再求()f x 的值域可得答案.【详解】（1）23()2sin cos 3sin cos 2f x x x x x x x ⎛⎫=⋅=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭31cos 2sin 222xx -=26x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以，662f ππ⎛⎫+⎪⎝⎭（2）因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，26x π⎡⎛⎫-∈⎢⎪⎝⎭⎣，()f x 的值域为⎡⎢⎣⎦. 【点睛】本题考查了三角函数的化简和性质，关键点是要熟练掌握三角函数的性质，考查了学生的基本运算、基础知识.19．（1）证明见解析；（2. 【分析】（1）取BD 中点O ，连接AO ，OC ，证明BD ⊥平面AOC 即可；（2）首先证明AO ⊥平面BDC ，然后以射线OB ，OC ，OD 为x ，y ，z 正半轴建系，然后算出BP 和平面ACD 的法向量即可得到答案. 【详解】（1）取BD 中点O ，连接AO ，OC ，因为AB AD =，BC DC =， 所以BD AO ⊥，BD OC ⊥，又因为AO OC O =，所以BD ⊥平面AOC ，即BD AC ⊥.（2）由（1）得，BD ⊥平面AOC ，又因为BD ⊂平面BCD ， 所以平面AOC ⊥平面BDC ，易得3AO =，1OC =，所以222AO OC AC +=，即AO OC ⊥， 又因为平面AOC 平面BDC OC =，所以AO ⊥平面BDC ， 如图所示，以射线OB ，OC ，OD 为x ，y ，z 正半轴建系，(3A ，()1,0,0B ，()0,1,0C ，()1,0,0D -，330,4P ⎛ ⎝⎭，331,4BP ⎛=- ⎝⎭，3)DA =，(1,1,0)DC =， 设(,,)n x y z =为平面ADC 一个法向量，则有03000n DA x z n DC x y ⎧⎧⋅==⎪⎪⇒⎨⎨⋅=+=⎪⎪⎩⎩，取(3,3,3)n =-， 设θ为直线BP 与平面ACD 所成角，则9334344sin 7212n BP n BPθ++⋅===⋅⋅即直线BP 与平面ACD 4320．（1）211n a n =-；（2）最小项为第7项为297. 【分析】（1）由等比中项的性质以及等差数列的通项公式求出数列{}n a 的通项公式；（2）当5n ≤时，由112n a n =-得出n S ，由二次函数的性质得出数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最小项，当6n >时，由211n a n =-得出n S 结合导数数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最小项.【详解】（1）由题知：2715a a a =⋅，则()()2111128a a a +=⋅+得：19a =-即1(1)211n a a n d n =+-=-（2）当5n ≤时，112n a n =-，29112102n nS n n n +-=⨯=- 则21010n S n n n n n-==-，即5n =时，min 5n S n ⎛⎫= ⎪⎝⎭当6n ≥时，211n a n =-，251211(5)10502n n S S n n n +-=+⨯-=-+，则5010n S n n n=+- 令50()10,6f x x x x =+-≥，2225050()1x f x x x -'=-=当6x <<()0f x '<，当x >时，()0f x '> 即函数()f x在(上单调递减，在()+∞上单调递增 即7n =时，min 297n S n ⎛⎫=⎪⎝⎭ 最小项为第7项为297【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于先讨论211n a n =-的正负，从而确定{}n a 的通项公式，进而得出n S ，最后由二次函数的性质以及导数得出数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的单调性，由此得出最小值.21．（1）2214x y +=；（2）2x y =+.【分析】（1）由已知求得2a =，再由椭圆的离心率求得c ,继而求得b ，得椭圆的标准方程；（2）过点F (2, 0)的直线l 的方程设为: 2x my =+，设()()1122,,,A x y B x y ,联立228x my y x=+⎧⎨=⎩，整理得28160y my --=，求得()2||81AB m =+，同理求得24||41c F CF x m =-=+ABC 的面积为：()221611||||241m S AB CF m +=⋅=+t =，所以3216()43t s f t t ==-， 利用导函数可求得最值.【详解】解：（1）椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>长轴的右端点与抛物线22:8C y x =的焦点F 重合，2a ∴=，又椭圆C 11c b ∴=⇒=， 椭圆C 1的标准方程为2214x y +=；（2）过点F (2, 0)的直线l 的方程设为: 2x my =+，设()()1122,,,A x y B x y ,联立228x my y x =+⎧⎨=⎩，整理得28160y my --=，所以12128,16y y m y y +==-，()2||81AB m ∴=+，过F 且与直线l 垂直的直线设为：(2)y m x =--，联立22(2)14y m x x y =--⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得：()222214161640m xm x m +-+-=，设点(),c c C x y ，()2222241162,1441C C m m x x m m -+=⇒=++，24||41c F CF x m ∴=-=+ 所以ABC 的面积为：()221611||||241m S AB CF m +=⋅=+t ，所以3216()43t s f t t ==-，则()()22221649()43t t f t t'-=-，令()0f t '=，得294t =，当2904t <<时，()0f t '<，()f t 单调递减，当29>4t 时，()>0f t '，()f t 单调递增，所以当294t =时，()f t 有最小值，此时2914m +=，ABC 的面积最小，即当m =ABC 的面积最小值为9， 此时直线l 的方程为：2x y =+. 【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系中三角形面积的最值问题，关键在于设出直线方程，用一个变化的量表示三角形的面积.22．（1）(1,)+∞；（2）(,1]-∞. 【分析】（1）整体法：求导函数()f x ' ，得到()f x 在ln x a a =+处取到极小值，因为函数有两个零点，则(ln )0f a a +<，即可求解参数范围；分离法：由x a e ax -=得ln ln x x a a -=+，易知()ln 1g x x x =-≥，故由ln 1a a +>即可得a 取值范围；（2）设()(1)(2)2a p x f x x =+++1(0)10a p e -=-≥得1a ≤，再证当1a ≤时，()0p x ≥对任意0x ≥成立，即可得1a ≤. 【详解】（1）1：（整体法）()x a f x e a -'=-当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在R 上单调递增，不可能有两个零点 当0a >时，要有两个零点，需要(ln )0f a a +<，即(ln )0a a a a -+<，即1ln 0a a --<()1ln h a a a =--在(0,)+∞上单调递减，(1)0h =，因此()0h a <得到1a >，此时ln 0a a +>因为(0)0a f e -=>，(ln )0f a a +<，lim ()x f x ∞∞→+=+ 因此()f x 在(0,ln )a a +和(ln ,)a a ++∞内各有一个零点 因此实数a 的取值范围是(1,)+∞ （1）2：（分离法）当0a ≤时，()0x a f x e ax -=->，()f x 无零点 当0a >时，x a e ax -=，ln()ln ln x a ax a x -==+ 因此ln ln x x a a -=+在(0,)x ∈+∞上有两个零点 令()ln g x x x =- 由1()1g x x'=-知()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增答案第17页，共17页 (1)0g =，易知：0lim ()x g x →+=+∞，lim ()x g x →+∞=+∞ 因此()ln g x a a =+有两个解，需要ln 1a a +>由()ln h a a a =+在(0,)+∞上单调递增且(1)0h =，可知1a > （2）(必要性分析)1()(1)(2)22x a a a p x f x x e x +-=+++-由1(0)10a p e -=-≥可知10a -≥，得1a ≤下证明：当1a ≤时，()0p x ≥对任意0x ≥成立当0x >时，1x a e +-关于a 单调递减，2a x 关于aa 单调递增 因此()p x 关于a单调递减，则1()2x p x e x ≥-先证明：当0x >时，2112x e x x >++ 令2112()xx x k x e ++=，由212()0x x k x e -'=<知()k x 在(0,)+∞上单调递减，则()(0)1k x k <=，即2112x x x e ++<因此21111222x e x x x x ->++--21111222x e x x x x -->++-)2111022==> 因此当0x >时，1()02x p x e x ≥-> 综上可知，实数a 的取值范围是(,1]-∞【点晴】由函数零点个数求解参数范围问题主要方法有两种： 1、整体法：通过求导，由单调性和最值根据零点个数求得参数； 2、分离参数法：通过分离转化为两个函数交点个数问题解决.。
浙江省绍兴市嵊州市2020届高三数学上学期期末考试试题含解析
浙江省绍兴市嵊州市2020届高三数学上学期期末考试试题（含解析）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,2,3A =，集合{}2,4B =，则()UA B =（ ）A. ∅B. {}2C. {}4D. {}2,42.若实数x 、y 满足约束条件0402x y x y x +≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则2z x y =+的取值范围是（ ）A. []2,4-B. []2,10-C. []2,4D. []2,103.已知复数3z i =-，21z i =+（其中i 是虚数单位），则12z z =（ ） A. 22i -B. 12i -C. 1i +D. 2i +4.函数()2221x x xf x -=+的图象大致是（ ）A. B.C. D.5.已知()0,x π∈，则“6x π>”是“1sin 2x >”成立的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要D. 既不充分也不必要6.若圆22220x y x y k +---=上的点到直线100x y +-=的最大距离与最小距离的差为6，则实数k 的值是（ ）A. 34-B. 1C. 4D. 77.设01p <<，随机变量ξ的分布列是ξ1-01P1212p-2p则当p在()0,1内变化时，（）A. ()Dξ增大 B. ()Dξ减小C. ()Dξ先增大后减小 D. ()Dξ先减小后增大8.如图，在三棱锥D ABC-中，已知DA⊥平面ABC，AB BC⊥，且DA AB BC==，设P是棱DC上的点（不含端点）．记PABα∠=，PBCβ∠=，二面角P AB C的大小为γ，则（）A. γα>，且γβ> B. γα>，且γβ<C. γα<，且γβ> D. γα<，且γβ<9.已知a、b R∈，设函数()2f x x ax b=++，若函数()()y f f x=有且只有一个零点，则（）A. 0a≤，且0b≤ B. 0a≤，且0b≥C. 0a≥，且0b≤ D. 0a≥，且0b≥10.已知数列{}n a满足1221nnnaaa++=+，n*∈N，若112a<<，则（）A. 8972a a a+< B.91082a a a+>C. 6978a a a a +>+D. 71089a a a a +>+二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，共36分． 11.若直线1:l y kx =与直线2:20l x y -+=平行，则k =_____，1l 与2l 之间的距离是____． 12.学校开设了7门选修课，要求每一个学生从中任意选择3门，共有____种不同选法． 13.在《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线恰好平分矩形的面积，则该“堑堵”的正视图的面积是_____，体积是_____．14.6x x ⎛- ⎝展开式中，各二项式系数的最大值是_____，常数项是____．15.在锐角ABC ∆中，D 是边BC 上一点，且22AB =3BC =，AC AD =，若3cos 5CAD ∠=，则sin C =____，ABC ∆的面积是____． 16.已知单位向量a 、b 满足22a b b -=，设向量()2c a x b a =+-，[]0,1x ∈，则c a +的取值范围是_____．17.已知函数()21f x x x =--，若对任意的实数x 有()()()1f x t f x t R +-≤∈成立，则实数t 的取值范围是______.三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18.已知函数()2sin cos cos 2662f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． （1）求()f x 的最小正周期； （2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域．19.如图，已知四棱锥P ABCD -，PCD ∆是等边三角形，//AB CD ，AB AD ⊥，12AB AD CD ==，PA PD =，E 是PC 的中点．（1）求证：直线//BE 平面PAD ；（2）求直线BE 与平面ABCD 所成角的正弦值．20.已知P 是圆()22:14C x y +-=上一点，(),0A t ，()4,3B t +，其中t R ∈．（1）若直线AB 与圆C 相切，求直线AB 的方程：（2）若存在两个点P 使得PA PB ⊥，求实数t 的取值范围． 21.已知数列{}n a 满足()122332132n nn a a n a ++++-=-，n *∈N ，记12n n S a a a =+++．（1）求n a 和n S ； （2）证明：1111ln 123n S n n ⎛⎫++++<+ ⎪⎝⎭． 22.已知k ∈R ，函数()xf x e kx =-（其中e 是自然对数的底数，e 2.718=）．（2）若当0x >时都有()()2321f x x x k >+++成立，求整数k 的最大值．（1）当1k =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；浙江省绍兴市嵊州市2020届高三数学上学期期末考试试题（含解析）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,2,3A =，集合{}2,4B =，则()UA B =（ ）A. ∅B. {}2C. {}4D. {}2,4【答案】C 【解析】 【分析】利用补集的定义可得出UA ，再利用交集的定义可得出集合()U AB ⋂.【详解】由已知条件得{}4,5UA =，因此，(){}4U AB ⋂=.故选：C.【点睛】本题考查补集和交集的混合运算，考查计算能力，属于基础题.2.若实数x 、y 满足约束条件0402x y x y x +≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则2z x y =+的取值范围是（ ）A. []2,4-B. []2,10-C. []2,4D. []2,10【答案】B 【解析】 【分析】作出不等式组对应的可行域，利用平移直线的方法找出直线2z x y =+在y 轴上截距最大和截距最小时对应的最优解，代入目标函数计算即可得出2z x y =+的取值范围.【详解】作出不等式组0402x y x y x +≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩所表示的可行域如下图所示：联立240x x y =⎧⎨-+=⎩，得26x y =⎧⎨=⎩，则点()2,6A ，同理可得点()2,2B -.由2z x y =+得2y x z =-+，平移直线2y x z =-+， 由图象知，当直线2y x z =-+经过点()2,2B-时，直线2y x z =-+在y 轴上的截距最小，此时z 取最小值，即()min 2222z =⨯-+=-；当直线2y x z =-+经过点()2,6A 时，直线2y x z =-+在y 轴上的截距最大， 此时z 取最大值，即max 22610z =⨯+=. 因此，2z x y =+的取值范围是[]2,10-. 故选：B.【点睛】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义找出最优解是解决问题的关键，考查数形结合思想的应用，属于基础题. 3.已知复数3z i =-，21z i =+（其中i 是虚数单位），则12z z =（ ） A. 22i - B. 12i - C. 1i +D. 2i +【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法运算法则化简计算即可.【详解】由已知条件得()()()()1231324121112i i z i i i z i i i ----====-++-. 故选：B.【点睛】本题考查复数的除法运算，考查计算能力，属于基础题.4.函数()2221x x xf x -=+的图象大致是（ ）A. B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】求解函数()y f x =的零点，考查函数()y f x =在()0,2x ∈时的函数值符号，可得出结论. 【详解】由()0f x =，得220x x -=，解得0x =或2x =，该函数有两个零点，有一个正零点，排除A 、B 选项；当02x <<时，()22021x x xf x -=<+，排除D 选项.故选：C.【点睛】本题考查函数图象的识别，一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号，结合排除法得出选项，考查推理能力，属于中等题. 5.已知()0,x π∈，则“6x π>”是“1sin 2x >”成立的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要【答案】B 【解析】【分析】求出不等式1sin 2x >在()0,x π∈上的解，然后利用集合的包含关系即可得出结论. 【详解】()0,x π∈，解不等式1sin 2x >，得566x ππ<<，5,66ππ⎛⎫⎪⎝⎭,6ππ⎛⎫⎪⎝⎭，因此，“6x π>”是“1sin 2x >”成立的必要不充分条件. 故选：B.【点睛】本题考查必要不充分条件的判断，涉及正弦不等式的求解，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.6.若圆22220x y x y k +---=上的点到直线100x y +-=的最大距离与最小距离的差为6，则实数k 的值是（ ）A. 34-B. 1C. 4D. 7【答案】D 【解析】 【分析】先将圆的方程化为标准方程，设圆心到直线的距离d ，则圆22220x y x y k +---=上的点到直线100x y +-=的最大距离为d r +，最小距离为d r -（r 为圆的半径），根据已知条件求出半径，从而可求得k 的值.【详解】圆的方程化为标准方程得()()22112x y k -+-=+，则202k k +>⇒>-，圆的半径为2r k =+()1,1到直线100x y +-=的距离为d ，422d ==当dr 时，圆22220x y x y k +---=上点到直线100x y +-=的最大距离为d r +，最小距离为d r -，由已知条件得()()263d r d r r r +--==⇒=， 23k +=，解得7k =. 此时，232d ==>，直线100x y +-=与圆()()22119x y -+-=相离，合乎题意. 当d r ≤时，圆22220x y x y k +---=上的点到直线100x y +-=的最大距离为d r +，最小距离为0，由已知条件得66d r r +=⇒=-< 综上，7k = 故选：D.【点睛】本题考查了圆上的点到直线距离的最大值和最小值的求解，考查运算求解能力，属于中等题.7.设01p <<，随机变量ξ的分布列是则当p 在()0,1内变化时，（ ） A. ()D ξ增大 B. ()D ξ减小 C. ()D ξ先增大后减小 D. ()D ξ先减小后增大【答案】A 【解析】 【分析】 计算出()E ξ和()2Eξ，根据()()()22D E E ξξξ=-将()D ξ表示成关于p 的函数，研究函数的单调性即可得出结论. 【详解】()()()()222112nni i i i i i i D E p E E p ξξξξξξξ==⎡⎤=-⋅=-+⋅⎡⎤⎣⎦⎣⎦∑∑()()()()()()()2222222122ni i i i i p p E E E E E E E ξξξξξξξξξ=⎡⎤=-+=-+=-⎣⎦∑， 由分布列得()1111012222p p p E ξ--=-⨯+⨯+⨯=，()211110222p p p E ξ+-+=⨯+⨯=， 所以，()()()()222221111152224444p p D E E p p p ξξξ+-⎛⎫=-=-=-++=--+ ⎪⎝⎭， 所以，当()0,1p ∈时，()D ξ随着p 的增大而增大.故选：A.【点睛】本题考查离散型随机变量的期望和方差，考查二次函数的单调性，属于中等题. 8.如图，在三棱锥D ABC -中，已知DA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，且DA AB BC ==，设P 是棱DC 上的点（不含端点）．记PAB α∠=，PBC β∠=，二面角P AB C 的大小为γ，则（ ）A. γα>，且γβ>B. γα>，且γβ<C. γα<，且γβ>D. γα<，且γβ<【答案】D 【解析】 【分析】 作出二面角P AB C 的平面角，利用角的余弦值的大小关系得出γ与α、γ与β的大小关系.【详解】如下图所示：过点P 作//PO AD 交AC 于点O ，过点O 作//OE BC 交AB 于点E ，过点O 作//OF AB 交BC 于点F ，连接OB 、PE 、PF .//PO AD ，AD ⊥平面ABC ，PO ∴⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，AB PO ∴⊥， //OE BC ，BC AB ⊥，OE AB ∴⊥，OE PO O =，AB ∴⊥平面POE ，同理可得BC ⊥平面POF ，PE ⊂平面POE ，AB PE ∴⊥，PEO γ∴∠=，易知PE PA <，PE PB <，AB BC =，AB BC ⊥，则45BAC ∠=，OE AE ∴=，cos cos AE OEPA PEαγ=<=，γα∴<. //OE BF ，OF //BE ，90EBF ∠=，则四边形OEBF 为矩形，OE BF ∴=，则cos cos OE BFPE PBγβ=>=，γβ∴<. 综上所述，γα<，且γβ<. 故选：D.【点睛】本题考查二面角与线线角的大小比较，作出二面角的平面角，并利用三角函数值的大小关系来得出角的大小关系是解题的关键，考查化归与转化思想的应用，属于中等题. 9.已知a 、b R ∈，设函数()2f x x ax b =++，若函数()()y ff x =有且只有一个零点，则（ ）A. 0a ≤，且0b ≤B. 0a ≤，且0b ≥C. 0a ≥，且0b ≤D. 0a ≥，且0b ≥【答案】D 【解析】 【分析】令()u f x =，可知关于u 的二次方程20u au b ++=有实根，可得出240a b ∆=-≥，分0∆=与>0∆两种情况讨论，先求出方程20u au b ++=的根，再讨论函数()u f x =的零点即可得出结论.【详解】设()u f x =，则关于u 的二次方程20u au b ++=有根，可得出240a b ∆=-≥，解得2a u -=.①当240a b ∆=-=时，24a b =，解方程2204a u au ++=，得2a u =-，此时方程()2a f x =-只有一根，即222a a x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭只有一根，则002a a b -=⇒==；②当240a b ∆=->时，24a b <，解方程20u au b ++=，得12a u -=，22a u -=，则12u u >，则方程()1f x u =只有一解，方程()2f x u =无实解， 所以，()2min442b a a f x --+==，化简得2402a b a -=+>，20,042a ab a b -<∴<<∴>综上所述，0a ≥且0b ≥. 故选：D.【点睛】本题考查了复合型二次函数的零点问题，一般将复合函数分解为内层函数与外层函数来分析，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题. 10.已知数列{}n a 满足1221n n n a a a ++=+，n *∈N ，若1102a <<，则（ ）A. 8972a a a +<B. 91082a a a +>C. 6978a a a a +>+D. 71089a a a a +>+【答案】C 【解析】 【分析】 由递推公式1221n n n a a a ++=+得出25445n n n a a a ++=+，计算出25,24a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，利用递推公式推导得出()0,1n a ∈（n 为正奇数），1n a >（n 为正偶数），利用定义判断出数列{}()21n a n N *-∈和{}()2n a n N *∈的单调性，进而可得出结论.【详解】()()113212132*********n n n n n n a a a a a a ++++===++++，110,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，25,24a ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，()()121259245221545944221454544452121n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a ++++++-+++=====-+++++⨯++， 且()2241544545n n n n n n n a a a a a a a +-+-=-=++，()212122121n n n n n n n a a a a a a a +-+-=-=++. 110,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则101a <<，则()()3590,14445na a =-∈+， 如此继续可得知()()210,1n a n N *-∈∈，则()22121212141=045n n n n a aa a -+---->+，所以，数列{}()21n a n N *-∈单调递增；同理可知，()21n a n N*>∈，数列{}()2na n N *∈单调递减.对于A 选项，78a a <且79a a <，8972a a a ∴+>，A 选项错误； 对于B 选项，89a a >且108a a <，则91082a a a +<，B 选项错误； 对于C 选项，68a a >，97a a >，则6978a a a a +>+，C 选项正确；对于D 选项，79a a <，108a a <，则71098a a a a +<+，D 选项错误. 故选：C.【点睛】本题考查数列不等式的判断，涉及数列递推公式的应用，解题的关键就是推导出数列{}()21n a n N*-∈和{}()2na n N *∈的单调性，考查推理能力，属于难题.二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，共36分． 11.若直线1:l y kx =与直线2:20l x y -+=平行，则k =_____，1l 与2l 之间的距离是____．【答案】 (1). 1 【解析】 【分析】利用两直线平行的等价条件可求出实数k 的值，利用平行线间的距离公式可求得直线1l 与2l 之间的距离. 【详解】12//l l ，且直线2l 的斜率为1，1k ∴=，则直线1l 的一般方程为0x y -=.所以，直线1l 与2l =故答案为：1.【点睛】本题考查利用两直线平行求参数，同时也考查了平行线间距离的求法，考查运算求解能力，属于基础题.12.学校开设了7门选修课，要求每一个学生从中任意选择3门，共有____种不同选法． 【答案】35 【解析】 【分析】利用组合计数原理可得出结果.【详解】学校开设了7门选修课，要求每一个学生从中任意选择3门，共有3735C =种不同的选法.故答案为：35.【点睛】本题考查组合数公式的应用，考查计算能力，属于基础题.13.在《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线恰好平分矩形的面积，则该“堑堵”的正视图的面积是_____，体积是_____．【答案】 (1). 1 (2). 2【解析】【分析】首先根据三视图作出几何体的直观图，结合三视图中的数据计算出正视图的面积和几何体的体积.【详解】由三视图可知，该几何体的直观图如下图所示：该几何体为直三棱柱，正视图为等腰直角三角形，且斜边长上的高为1，斜边长为2，故该“堑堵”的正视图的面积是12112⨯⨯=，体积为122V=⨯=.故答案为：1；2.【点睛】本题考查的主要知识点：三视图和几何体之间的转换，几何体体积公式的应用，主要考查学生的运算能力以及空间想象能力，属于基础题.14.6xx⎛-⎝展开式中，各二项式系数的最大值是_____，常数项是____．【答案】 (1). 20 (2). 15【解析】【分析】利用二项式系数的增减性可得出二项式系数的最大值，求出该二项展开式的通项1r T +，令x 的指数为零，求得r 的值，代入通项即可得出常数项的值.【详解】由题意可知，6x x ⎛- ⎪⎝⎭展开式中，各二项式系数的最大值是3620C =，展开式通项为()36621661rr r r r r r T C x C x x --+⎛=⋅⋅-=⋅-⋅ ⎪⎝⎭，令3602r -=，得4r =. 因此，展开式中的常数项为()446115C ⋅-=.故答案：20；15.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，考查了二项式系数的单调性以及展开式中常数项的求解，考查运算求解能力，属于基础题.15.在锐角ABC ∆中，D 是边BC 上一点，且22AB =，3BC =，AC AD =，若3cos 5CAD ∠=，则sin C =____，ABC ∆的面积是____． 【答案】 (1). 25(2). 3 【解析】 【分析】先利用已知条件求出()3cos 2cos 5C CAD π=-∠=-，利用二倍角公式可求出sin C 的值，再利用正弦定理求出sin BAC ∠，结合三角形的内角和以及诱导公式求出sin B ，利用三角形的面积公式可求出ABC ∆的面积. 【详解】如下图所示：在锐角ABC ∆中，D 是边BC 上一点，且22AB =3BC =，AC AD =，()3cos 2cos 5C CAD π-=∠=，即3cos 25C -=，3cos 25C ∴=-，2312sin 5C ∴-=-，又sin 0C >，解得25sin C =易知C为锐角，则cos C ==，由3sin sin sin sin AB BC BC C BAC C BAC AB =⇒∠===∠，cos BAC ∴∠==()sin sin sin cos cos sin B C BAC C BAC C BAC ∴=+∠=∠+∠=， 因此，ABC ∆的面积为11sin 33222ABC S AB BC B ∆=⋅⋅=⨯⨯=.；3. 【点睛】本题主要考查利用正弦定理解三角形以及三角形面积的计算，涉及二倍角公式的应用，考查计算能力，属于中等题.16.已知单位向量a 、b 满足22a b b -=，设向量()2c a x b a =+-，[]0,1x ∈，则c a +的取值范围是_____．【答案】2⎣ 【解析】 【分析】由22a b b -=平方计算出a b ⋅的值，然后将2c a +转化为关于x 的二次函数，利用二次函数的基本性质可求得c a +的取值范围.【详解】单位向量a 、b 满足22a b b -=，即()2224a b b -=，整理得240a a b -⋅=，得14a b ⋅=. ()()2222c a a x b a x a xb +=+-=-+，则()()()()222222222424424c a c ax a xb x x x a b x x x ⎡⎤+=+=-+=-+-⋅+=-+⎣⎦，设2424y x x =-+，该二次函数图象开口向上，对称轴为直线14x =， 所以，函数2424y x x =-+在10,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在1,14⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增， 当[]0,1x ∈时，1564y ≤≤，即21564c a ≤+≤，因此，c a +的取值范围是2⎣.故答案为：2⎣. 【点睛】本题考查向量模的取值范围的计算，考查了利用向量的模来计算数量积，将向量模的取值范围转化为二次函数的值域来求解是解答的关键，考查运算求解能力，属于中等题. 17.已知函数()21f x x x =--，若对任意的实数x 有()()()1f x t f x t R +-≤∈成立，则实数t 的取值范围是______.【答案】11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】利用绝对值三角不等式得出()()max 3f x t f x t +-=，根据题意得出31t ≤，解不等式即可得出实数t 的取值范围. 【详解】()21f x x x =--，则()()()()211f x t f x x t x x x t +-=+-+--+-，由绝对值三角不等式得()()()()2113f x t f x x t x x x t t +-≤+-+--+-=， 则()()max 3f x t f x t +-=，由题意得31t ≤，解得1133t -≤≤. 故答案为：11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查函数不等式恒成立问题的求解，考查绝对值三角不等式的应用，属于中等题.三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．18.已知函数()2sin cos cos 2662f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． （1）求()f x 的最小正周期； （2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域．【答案】（1）π；（2）2⎡-⎢⎣.【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换思想化简函数()y f x =的解析式为()26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，利用正弦型函数的周期公式可计算出函数()y f x =的最小正周期； （2）由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可计算出26x π+的取值范围，利用正弦函数的基本性质可得出函数()y f x =在区间0,π2上的值域.【详解】（1）()2sin cos cos 2sin 2sin 26623f x x x x x xππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭13sin 22sin 2sin 222226x x x x x x π⎛⎫=+==+ ⎪⎝⎭， 则函数()y f x =的最小周期为22T ππ==；（2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则1sin 2126x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，()f x ≤≤因此，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()y f x =的值域为2⎡-⎢⎣. 【点睛】本题考查正弦型函数最小正周期和值域的求解，解答的关键就是利用三角恒等变换思想化简函数解析式，考查计算能力，属于中等题.19.如图，已知四棱锥P ABCD -，PCD ∆是等边三角形，//AB CD ，AB AD ⊥，12AB AD CD ==，PA PD =，E 是PC 的中点．（1）求证：直线//BE 平面PAD ；（2）求直线BE 与平面ABCD 所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）6612. 【解析】 【分析】（1）取PD 的中点G ，连接AG 、EG ，通过证明四边形ABEG 为平行四边形得出//BE AG ，再利用线面平行的判定定理可得出结论；（2）以D 为原点，DA 、DC 、过D 且垂直底面的直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设1AB =，根据已知条件求出点P 的坐标，可得出点E 的坐标，然后利用空间向量法可求出直线BE 与平面ABCD 所成角的正弦值． 【详解】（1）取PD 的中点G ，连接AG 、EG ， 根据中位线定理，//EG CD ，且12EG CD AB ==， 又//AB CD ，所以//AB EG ，AB EG =，则四边形ABEG 为平行四边形，//BE AG ∴，BE ⊄平面PAD ，AG ⊂平面PAD ，//BE ∴平面PAD ；（2）以D 为原点，DA 、DC 、过D 且垂直底面的直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设1AB =，则()0,0,0D 、()1,0,0A 、()1,1,0B 、()0,2,0C ，设(),,P x y z ， 由2222DP x y z =++=，()22212AP x y z =-++=，()22222CP x y z =+-+=，上面联立解方程组得12x =，1y =，11z =故点111,1,22P⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭，所以1311,,424E⎛⎫⎪⎪⎝⎭，得到3111,,424BE⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭，平面ABCD的法向量为()0,0,1m=，由11664cos,61m BEm BEm BE⋅===⋅⨯.故直线BE与平面ABCD所成角的正弦值为6612．【点睛】本题考查直线与平面平行的证明，同时也考查了利用空间向量法计算直线与平面所成角的正弦值，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20.已知P是圆()22:14C x y+-=上一点，(),0A t，()4,3B t+，其中t R∈．（1）若直线AB与圆C相切，求直线AB的方程：（2）若存在两个点P使得PA PB⊥，求实数t的取值范围．【答案】（1）3460x y--=或34140x y-+=；（2）()()252,22,252---. 【解析】【分析】（1）求出直线AB的方程，利用圆心到直线AB的距离等于圆的半径可求出实数t的值，进而可得出直线AB的方程；（2）求出以AB为直径的圆的方程，确定该圆的圆心坐标和半径长，结合已知条件转化为两圆相交即可求得实数t的取值范围.【详解】（1）已知P是圆()22:14C x y+-=上一点，(),0A t，()4,3B t+.圆心C为()0,1，半径2r，直线AB的斜率为()30344ABkt t-==+-.∴直线AB 的方程为()34y x t =-，即3430x y t --=. 直线AB 与圆C 相切，3425t +∴==，解得2t =或143t =-. 因此，直线AB 的方程为3460x y --=或34140x y -+=； （2）因为(),0A t 、()4,3B t +， 所以AB 的中点32,2D t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，且5AB ==. 则以AB 为直径的圆的圆心为32,2D t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，半径为52R =. 存在两个点P 使得PA PB ⊥，所以圆C 与圆D 相交，即R r CD R r -<<+，即1922<<，解得22t -<<且2t ≠-.因此，实数t的取值范围是()()2,22,252---.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查利用直线与圆相切求直线方程，以及与圆相关的动点问题，将问题转化为两圆的位置关系是解答的关键，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.21.已知数列{}n a 满足()122332132n nn a a n a ++++-=-，n *∈N ，记12n n S a a a =+++．（1）求n a 和n S ；（2）证明：1111ln 123n S n n ⎛⎫++++<+ ⎪⎝⎭． 【答案】（1）12n na =，112n n S ；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）令1n =求出1a 的值，令2n ≥，由()122332132n nn a a n a ++++-=-得出()12112132332n n n a a n a --++++-=-，两式相减可得出n a ，再对1a 的值进行验证即可得出数列{}n a 的通项公式，进而利用等比数列求和公式可得出n S ； （2）利用导数证明出不等式()ln 10x x x ≤->，可得出11ln 1n n n +>+，利用不等式的性质可得出1111ln 123n n++++<+，再由1n S <进而可证明出结论成立. 【详解】（1）数列{}n a 满足()122332132n nn a a n a ++++-=-，n *∈N . 当1n =时，151322a =-=；当2n ≥时，由()122332132n nn a a n a ++++-=-得()12112132332n n n a a n a --++++-=-，两式相减得()()14223212321212222n n n nn n n n n n n a -+-+++--=-==，12n n a ∴=， 112a =满足12n n a =，所以，对任意的n *∈N ，12n n a =.11112121222n n n n n n a a +++===，所以，数列{}n a 是等比数列，且首项和公比均为12，因此，11112211212nn nS ⎛⎫-⎪⎝⎭==--；（2）先证明()ln 10x x x ≤->． 令()ln 1f x x x =-+，则()111x f x x x-=-='，由()01f x x ='⇒=. 当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<.所以，函数()y f x =的单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,+∞， 当1x =时，函数()y f x =取得最大值，即()()max 10f x f ==， 当01x <<时，()0f x <. 令()0,11n x n =∈+，则1ln 1111n n n n n <-=-+++，化为()1ln 1ln 1n n n +->+，则1ln 2ln12->，1ln 3ln 23->，，()1ln ln 1n n n -->， 上述不等式全部相加得111ln 23n n >+++，则1111ln 123n n++++<+， 112n n S =-，所以，11111111ln 12323n S n n n⎛⎫++++<++++<+ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查利用数列的递推公式求数列的通项公式，同时也考查了等比数列求和以及数列不等式的证明，涉及导数的应用，考查推理能力与计算能力，属于难题. 22.已知k ∈R ，函数()xf x e kx =-（其中e 是自然对数的底数，e 2.718=）．（1）当1k =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）若当0x >时都有()()2321f x x x k >+++成立，求整数k 的最大值．【答案】（1）1y =；（2）2-. 【解析】 【分析】（1）将1k =代入函数()y f x =的解析式，求出()0f 和()0f '的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；（2）由()()2321f x x x k >+++结合参变量分离法得出2322x e x x k x ---<+对任意的0x >恒成立，构造函数()232122x xe x x e g x x x x ---==--++，利用导数求出函数()y g x =在()0,∞+上的最小值，即可得出整数k 的最大值.【详解】（1）当1k =时，()xf x e x =-，()1xf x e '=-，根据题意可得()01f =，()00f '=，故曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程1y =；（2）由0x >时都有()()2321f x x x k >+++成立，可得2322x e kx x x k ->+++，得()232122x xe x x e k x x x -++<=--++，构造函数()()102xe g x x x x =-->+，则()min k g x <，()()()()()()222112122x x x e x e x g x x x ++-+'=-=++，令()()()212x h x x e x =+-+，0x >，则()()()()()22222xxh x x e x x e '=+-+=+-，令()0h x '=，得ln 2x =.当0ln 2x <<时，()0h x '<；当ln 2x >时，()0h x '>.所以，函数()y h x =在()0,ln 2上单调递减，在()ln 2,+∞上单调递增， 则()()()()()22min ln 22ln 212ln 2ln 22ln 220h x h ==+-+=---<，又()030h =-<，()1290h e =-<，3235490224h e ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，()223160h e =->， 所以，存在3,22t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()()()2120th t t e t =+-+=，得()221t t e t +=+.当0x t <<时，()0h x <，即()0g x '<，此时，函数()y g x =单调递减； 当x t >时，()0h x >，即()0g x '>，此时，函数()y g x =单调递增.所以，()()()2min22111112211t t e t t g x g t t t t tt t t t+++==--=--=--=-++++， 构造()11t t t ϕ=-+，其中322t <<，则()()21101t t ϕ'=--<+， 所以，函数()11t t t ϕ=-+在区间3,22⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则()511310g t -<<-， 又()k g x <对任意的0x >恒成立，因此，整数k 的最大值为2-.【点睛】本题考查利用导数求函数的切线方程，同时也考查了利用导数求解函数不等式恒成立问题，涉及隐零点法的应用，考查化归与转化思想的应用，属于难题.。
2020届浙江省绍兴一中高三上学期期末考试数学试题(20200612184911)
绍兴一中2019学年第一学期高三期末考试（数学）命题：高三数学备课组一、选择题（本大题共 10小题，每小题 要求的.）[:2,2]，则一条渐近线与实轴所构成的角的取值范fl5 r9 7 D11 A .BC22225.已知A 、B 是抛物线y 24x 上异于原点 O 的两点，则 “OA -OB =0”是“直线AB 恒过定点（4, 0）4.设等比数列{a n }的前n 项和为S,若S 5 = 2 S 10，贝y 2S5 S5(▲)A .充分非必要条件 B.充要条件C .必要非充分条件 D.非充分非必要条件 的（▲） C ；4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 1 •已知集合Asin , cos2A . {0, 1}B . { 1,1}C . { 1}2•若复数1 i t 4i 的模为5.2，则实数t 的值为（▲） A . 1B . .2C .2 3.某几何体的三视图如下图所示，它的体积为（▲）A .192 B . 240C . 384D . {0}D . 3D . 576A . C ； B.C 94 C .C ； D .2 27.已知双曲线x2 与 1(a 0,b0）的离心率eab 2围是（▲）9.已知x,y 都是正实数，则4x 4x y x yy—的最大值为（▲）sin 、 x ，则 AI B 为(▲)H ― 2—>|y _ 2―H正现圈 侧祝图6.数列a 1,a 2, ,a 9中，恰好有6个7, 3个4,则不相同的数列共有（ ▲）个6 ' 4 6，3 4'3 3 ' 2log 4x" ,0 x 4& 已知函数f x若方程f (x) t(t R）有四个不同的实数根x1, x2, x3, x4, 2x 12x 34,(x 4)则洛X2 x；X4的取值范围为（▲)A . (30,34)B . (30,36) C. (32,34) D. (32,36)▲ .■ 2 ■ 2 ■ 2 ■16.已知 ABC 中，BC 中点为 M AB AC BC , BC AC AB 2AC AB ,—1 一CN -CAAB3，则 B =▲ ,MN |▲ .3a 2 2asi n217.已知函数f a,2小c a,R,a0 ,则函数f a,的值域是a 2acos 2三、解答题(本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .)18. (本题满分14分)在 ABC 中，A, B,C 所对边分别为 a, b,c .已知 b 3, f (x) 4cos 2 x 2. 3sin 2x 3, (I)求f(x)单调递减区间和最大值 M ;(H)若f(B) M,求ABC 面积的最大值•页2第A.3B .-2 310.已知在矩形 ABCD 中, 图所示，沿EF 将四边形tan 的最大值为(▲) A 型 B'55 D . 5 2 4AB 2 , AD 4, E , F 分别在边 AD , BC 上，且 AE 1, BF 3，如 AEFB 翻折成AEFB ，则在翻折过程中，二面角 B CD E 的大小为 ，则二、填空题(本大题 7小题, 多空题每题 11 .已知函数f x ln x2020x ,非选择题部分6分，单空题每题 4分，共36分.),lim f(1 2 x)一型的值等于x 012.已知点P(x,y)满足条件y2x 0,x,y k(k 为常数),若z x 3y 的最大值为 012,则k▲.2391013.如果 x + x + x + ..... + x + x = a ° + a (1 + x ) + a 2(1 + x ) +▲ .9+ a 9(i + x ) + 10 r rae(1 + x )，贝y = _， a-10 =14.已知A 袋内有大小相同的两个袋内各任取 ▲ 1个红球和3个白球，B 袋内有大小相同的 2个红球和4个白球.现从 A B 2个球，设取出的4个球中红球的个数为 ，则P( 1) ___________的数学期望为 ▲ •15 .抛物线y 22x 顶点为O ,焦点为F , M 是抛物线上的动点，则MO MF取最大值时 M 点的横坐标为19. (本小题满分15分)如图，ABEF 是等腰梯形， AB//EF , AF BF ，矩形ABCD 和ABEF 所在的平面互相垂直.已知 AB 2, EF 1 .(I)求证：平面 DAF 平面CBF ;(n)求直线 AB 与平面CBF 所成角的正弦值20、(本小题满分15分)1已知数列｛%｝的前n 项和S n 满足：S na n 12(I)求｛a n ｝的通项公式；求证：T n 2n 3 .21、 (本小题满分15分)已知圆S ： x 2 4x y 2 20 0 , T 是抛物线y 2 8x 的焦点，点P 是圆S 上的动点，Q 为PT 的中点，过Q 作Q G PT 交PS 于G(1) 求点G 的轨迹C 的方程； (2) 过抛物线y 2— 8x 的焦点E 的直线I 交G 的轨迹C 于点M N,且满足OM |〔ON sin MON4^6，(°为坐标原点)，求直线I 的方程•22. (本小题满分15分)对于定义在|上的函数y f x ,若存在x o I ,对任意的x I ,都有f x f x 0 m 或者f x f x 0M ，则称f(x 。
绍兴市第一中学数学高三上期末基础卷(含答案解析)
一、选择题1．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =，()1nn n b a =-则数列{}n b 的前n 项和n T 满足（ ） A ．()1nn T n =-⨯ B ．n T n =C ．n T n =-D ．,2,.n n n T n n ⎧=⎨-⎩为偶数，为奇数2．已知正数x 、y 满足1x y +=，且2211x y m y x +≥++，则m 的最大值为（ ） A ．163B ．13C ．2D ．43．已知x ，y 满足2303301x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，z ＝2x +y 的最大值为m ，若正数a ，b 满足a +b ＝m ，则14a b+的最小值为（ ） A ．3B ．32C ．2D ．524．若n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，其首项10a >，991000a a +>，991000a a ⋅< ，则使0n S >成立的最大自然数n 是（ ） A ．198B ．199C ．200D ．2015．若ABC ∆的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，则ABC ∆（ ）A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形6．在ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2cos 22C a b a+=，则ABC 的形状一定是( ) A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形7．设数列{}n a 是以2为首项，1为公差的等差数列，{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列，则1210b b b a a a ++⋯+=（ ） A ．1033B ．1034C ．2057D ．20588．已知ABC ∆的三个内角、、A B C 所对的边为a b c 、、，面积为S，且2S =，则A 等于（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 9．数列{}n a 为等比数列，若11a =，748a a =，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则5(S = )A ．3116B ．158C ．7D ．3110．设数列{}n a 是等差数列，且26a =-，86a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则（ ）． A ．45S S <B ．45S S =C ．65S S <D ．65S S =11．已知数列{a n }满足331log 1log ()n n a a n N +++=∈且2469a a a ++=，则15793log ()a a a ++的值是( )A ．－5B ．－15C ．5D ．1512．已知01x <<，01y <<，则）A B ． C D ．13．等差数列{}n a 中，已知611a a =，且公差0d >，则其前n 项和取最小值时的n 的值为( ) A ．6B ．7C ．8D ．914．已知数列{}n a 中，()111,21,n n na a a n N S *+==+∈为其前n 项和，5S的值为（ ） A ．63B ．61C ．62D ．5715．已知x ，y 均为正实数，且111226x y +=++，则x y +的最小值为（ ） A ．20B ．24C ．28D ．32二、填空题16．已知实数a >b >0，且a +b =2，则3a−ba 2+2ab−3b 2的最小值为____17．ABC ∆内角A 、B 、C 的对边分别是a ，b ，c ，且2cos (32)cos b C a c B =-.当b =2ac =，ABC ∆的面积为______.18．已知n S 为数列{a n }的前n 项和，且22111n n n a a a ++-=-，21313S a =，则{a n }的首项的所有可能值为______19．已知数列{}n a 的前n 项和为2*()2n S n n n N =+∈，则数列{}n a 的通项公式n a =______．20．设a >1，b >0，若a +b =2，则2a−1+1b的最小值为_____________.21．已知平面四边形ABCD 中，120BAD ∠=︒，60BCD ∠=︒，2AB AD ==，则AC 的最大值为__________．22．数列{}n a 满足：1a a =（a R ∈且为常数），()()()*13343n n n n n a a a n N a a +⎧->⎪=∈⎨-≤⎪⎩，当100a =时，则数列{}n a 的前100项的和100S 为________.23．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()3cos cos ,60a C c A b B -==︒，则A 的大小为__________．24．已知数列{}n a 为正项的递增等比数列，1582a a +=，2481a a =，记数列2n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，则使不等式112020|1|13n nT a -->成立的最大正整数n 的值是__________．25．已知等比数列{}n a 的公比为2,前n 项和为n S ,则42S a =______. 三、解答题26．ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a b c ，，，且sin sin sin 2sin a A b B c C a B +=+()1求角C ；()2求3sin cos 4A B π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的最大值．27．在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转，如图，小卢利用图形的旋转设计某次活动的徽标，他将边长为a 的正三角形ABC 绕其中心O 逆时针旋转θ到三角形A 1B 1C 1，且20,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.顺次连结A ，A 1，B ，B 1，C ，C 1，A ，得到六边形徽标AA 1BB 1CC 1 .(1)当θ＝6π时，求六边形徽标的面积； (2)求六边形徽标的周长的最大值.28．已知{}n a 为等差数列，且36a =-，60a =． （1）求{}n a 的通项公式；（2）若等比数列{}n b 满足18b =-，2123b a a a =++，求数列{}n b 的前n 项和公式． 29．在ABC ∆中，角A ，B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且3cos sin a bA B=. （1）求A ；（2）若2a =，且()cos 2sin sin cos B C B C C -=-，求ABC ∆的面积. 30．在四边形ABCD 中，120BAD ︒∠=，60BCD ︒∠=，1cos 7D =-，2AD DC ==.(1) 求cos DAC ∠及AC 的长； (2) 求BC 的长.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．A 2．B 3．B 4．A5．C6．A7．A8．C9．A10．B11．A12．B13．C14．D15．A二、填空题16．3+54【解析】【分析】由a+b＝2得出b＝2﹣a代入代数式中化简后换元t＝2a﹣1得2a＝t+1得出1＜t＜3再代入代数式化简后得出2t6t-(t2+5)然后在分式分子分母中同时除以t利用基本不等17．【解析】【分析】由利用正弦定理得到再用余弦定理求得b可得ac利用面积公式计算可得结果【详解】由正弦定理可化为所以在三角形中所以因为所以又所以由余弦定理得又所以有故的面积为故答案为【点睛】本题考查了正18．【解析】【分析】根据题意化简得利用式相加得到进而得到即可求解结果【详解】因为所以所以将以上各式相加得又所以解得或【点睛】本题主要考查了数列的递推关系式应用其中解答中利用数列的递推关系式得到关于数列首19．【解析】【分析】由当n＝1时a1＝S1＝3当n≥2时an＝Sn﹣Sn﹣1即可得出【详解】当且时又满足此通项公式则数列的通项公式故答案为：【点睛】本题考查求数列通项公式考查了推理能力与计算能力注意检验20．3+22【解析】【分析】由已知可得a-1+b=1从而有2a-1+1b=(2a-1+1b)(a-1+b)展开后利用基本不等式即可求解【详解】由题意因为a>1b>2满足a+b=2所以a-1+b=1且a-21．4【解析】【分析】由题知：四边形为圆内接四边形的最大值为四边形外接圆的直径由正弦定理即可求出的最大值【详解】因为所以故的最大值为四边形外接圆的直径当为四边形外接圆的直径时得到：又因为所以在中由正弦定22．【解析】【分析】直接利用分组法和分类讨论思想求出数列的和【详解】数列满足：（且为常数）当时则所以（常数）故所以数列的前项为首项为公差为的等差数列从项开始由于所以奇数项为偶数项为所以故答案为：【点睛】 23．【解析】由根据正弦定理得即又因为所以故答案为24．8【解析】【分析】根据求得再求出带入不等式解不等式即可【详解】因为数列为正项的递增等比数列由解得则整理得：使不等式成立的最大整数为故答案为：【点睛】本题主要考查了等比数列的性质和等比数列的求和同时考25．【解析】由等比数列的定义S4=a1＋a2＋a3＋a4=＋a2＋a2q ＋a2q2得＋1＋q ＋q2=三、解答题 26． 27． 28． 29． 30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】先根据2n S n =,求出数列{}n a 的通项公式,然后利用错位相减法求出{}n b 的前n 项和n T .【详解】解:∵2n S n =,∴当1n =时,111a S ==;当2n ≥时,()221121n n n a S S n n n -=-=--=-, 又当1n =时,11a =符合上式,∴21n a n =-, ∴()()()1121nnn n b a n =-=--,∴()()()()()123113151121nn T n =⨯-+⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+--①,∴()()()()()2341113151121n n T n +-=⨯-+⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+--②,①-②,得()()()()()()23412121111211n n n T n +⎡⎤=-+⨯-+-+-+⋅⋅⋅+---⨯-⎣⎦()()()()()()211111122112111n n n n n -+⎡⎤---⎣⎦=-+⨯--⨯-=---,∴()1nn T n =-,∴数列{}n b 的前n 项和()1nn T n =-.故选:A . 【点睛】本题考查了根据数列的前n 项和求通项公式和错位相减法求数列的前n 项和,考查了计算能力,属中档题.2．B解析：B 【解析】 【分析】由已知条件得()()113x y +++=，对代数式2211x y y x +++变形，然后利用基本不等式求出2211x y y x +++的最小值，即可得出实数m 的最大值. 【详解】正数x 、y 满足1x y +=，则()()113x y +++=，()()()()()()222222221212111111111111y x y x y x x y y x y x y x y x +-+-⎡⎤⎡⎤----⎣⎦⎣⎦+=+=+=+++++++++444444141465111111y x x y y x x y x y =+-+++-+=+++-=+-++++++()()14441111525311311y x x y x y x y ⎛⎫⎛⎫++=++++-=++-⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦++++⎝⎭⎝⎭412533⎛≥⨯+-= ⎝，当且仅当12x y ==时，等号成立，即2211x y y x +++的最小值为13，则13m ≤. 因此，实数m 的最大值为13. 故选：B. 【点睛】本题考查利用基本不等式恒成立求参数，对代数式合理变形是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.3．B解析：B 【解析】 【分析】作出可行域，求出m ，然后用“1”的代换配凑出基本不等式的定值，从而用基本不等式求得最小值． 【详解】作出可行域，如图ABC ∆内部（含边界），作直线:20l x y +=，平移该直线，当直线l 过点(3,0)A 时，2x y +取得最大值6，所以6m =．1411414143()()(5)(5)6662b a b a a b a b a b a b a b +=++=++≥+⨯=，当且仅当4b a a b =，即12,33a b ==时等号成立，即14a b+的最小值为32． 故选：B. 【点睛】本题考查简单的线性规划，考查用基本不等式求最值，解题关键是用“1”的代换凑配出基本不等式的定值，从而用基本不等式求得最小值．4．A解析：A 【解析】 【分析】先根据10a >，991000a a +>，991000a a ⋅<判断出991000,0a a ><；然后再根据等差数列前n 项和公式和等差中项的性质，即可求出结果．【详解】∵991000a a ⋅<， ∴99a 和100a 异号； ∵1991000,0a a a >+>，991000,0a a ∴><， 有等差数列的性质可知，等差数列{}n a 的公差0d <， 当99,*n n N ≤∈时，0n a >；当100,*n n N ≥∈时，0n a <； 又()()119899100198198198022a a a a S +⨯+⨯==> ，()119919910019919902a a S a+⨯==<，由等差数列的前n 项和的性质可知，使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是198. 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质．考查了学生的推理能力和运算能力．5．C解析：C 【解析】 【分析】由sin :sin :sin 5:11:13A B C =，得出::5:11:13a b c =，可得出角C 为最大角，并利用余弦定理计算出cos C ，根据该余弦值的正负判断出该三角形的形状. 【详解】由sin :sin :sin 5:11:13A B C =，可得出::5:11:13a b c =， 设()50a t t =>，则11b t =，13c t =，则角C 为最大角，由余弦定理得2222222512116923cos 022511110a b c t t t C ab t t +-+-===-<⨯⨯，则角C 为钝角，因此，ABC ∆为钝角三角形，故选C. 【点睛】本题考查利用余弦定理判断三角形的形状，只需得出最大角的属性即可，但需结合大边对大角定理进行判断，考查推理能力与计算能力，属于中等题.6．A解析：A 【解析】 【分析】利用平方化倍角公式和边化角公式化简2cos22C a ba+=得到sin cos sin A C B ，结合三角形内角和定理化简得到cos sin 0A C =，即可确定ABC 的形状． 【详解】22cos 2a baC 1cos sin sin 22sin C A BA 化简得sin cos sin A C B()B A Csin cos sin()A C A C 即cos sin 0A C =sin 0C ≠cos 0A ∴=即0A = 90ABC ∴是直角三角形 故选A 【点睛】本题考查了平方化倍角公式和正弦定理的边化角公式，在化简2cos22C a b a+=时，将边化为角，使边角混杂变统一，还有三角形内角和定理的运用，这一点往往容易忽略．7．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】首先根据数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列，{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列，求出等差数列和等比数列的通项公式，然后根据a b1+a b2+…+a b10=1+2+23+25+…+29+10进行求和． 解：∵数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列， ∴a n =2+（n-1）×1=n+1， ∵{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列， ∴b n =1×2n-1， 依题意有：a b1+a b2+…+a b10=1+2+22+23+25+…+29+10=1033， 故选A ．8．C解析：C 【解析】【分析】利用三角形面积公式可得2tan 1acsinB 2bc cB +=，结合正弦定理及三角恒等变换知识cosA 1-=，从而得到角A. 【详解】∵2tan bc c B S +=∴2tan 1acsinB 2bc c B +=即c tan asinB a b B +==()B sinAcosB sinB sinC sinB sin A B +=+=++ cosA 1-= ∴1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∴5666A 或πππ-=（舍） ∴3A π=故选C 【点睛】此题考查了正弦定理、三角形面积公式，以及三角恒等变换，熟练掌握边角的转化是解本题的关键．9．A解析：A 【解析】 【分析】先求等比数列通项公式，再根据等比数列求和公式求结果. 【详解】数列{}n a 为等比数列，11a =，748a a =，638q q ∴=，解得2q =， 1112n n n a a q --∴==，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，55111111131211248161612S ⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭∴=++++==-．故选A ． 【点睛】本题考查等比数列通项公式与求和公式，考查基本分析求解能力，属基础题.10．B解析：B 【解析】分析：由等差数列的性质，即2852a a a +=，得5=0a ，又由545S S a =+，得54S S =. 详解：数列{}n a 为等差数列， 2852a a a ∴+=又286,6a a =-=，5=0a ∴由数列前n 项和的定义545S S a =+，54S S ∴= 故选B.点睛：本题考查等差数列的性质与前n 项和计算的应用，解题时要认真审题，注意灵活运用数列的基本概念与性质.11．A解析：A 【解析】试题分析：331313log 1log log log 1n n n n a a a a +++=∴-=即13log 1n n a a +=13n naa +∴= ∴数列{}n a 是公比为3的等比数列335579246()393a a a q a a a ∴++=++=⨯=15793log ()5a a a ∴++=-．考点：1．等比数列的定义及基本量的计算；2．对数的运算性质．12．B解析：B 【解析】 【分析】2+≥x y，边分别相加求解。
2020届浙江省绍兴市嵊州市高三上学期期末数学试题(解析版)
2020届浙江省绍兴市嵊州市高三上学期期末数学试题一、单选题1．已知全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,2,3A =，集合{}2,4B =，则()U A B =I ð（ ） A ．∅ B ．{}2C ．{}4D ．{}2,4【答案】C【解析】利用补集的定义可得出U A ð，再利用交集的定义可得出集合()U A B ⋂ð. 【详解】由已知条件得{}4,5U A =ð，因此，(){}4U A B ⋂=ð. 故选：C. 【点睛】本题考查补集和交集的混合运算，考查计算能力，属于基础题.2．若实数x 、y 满足约束条件0402x y x y x +≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则2z x y =+的取值范围是（ ）A ．[]2,4-B ．[]2,10-C ．[]2,4D ．[]2,10【答案】B【解析】作出不等式组对应的可行域，利用平移直线的方法找出直线2z x y =+在y 轴上截距最大和截距最小时对应的最优解，代入目标函数计算即可得出2z x y =+的取值范围. 【详解】作出不等式组0402x y x y x +≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩所表示的可行域如下图所示：联立240x x y =⎧⎨-+=⎩，得26x y =⎧⎨=⎩，则点()2,6A ，同理可得点()2,2B -.由2z x y =+得2y x z =-+，平移直线2y x z =-+， 由图象知，当直线2y x z =-+经过点()2,2B -时，直线2y x z =-+在y 轴上的截距最小，此时z 取最小值，即()min 2222z =⨯-+=-；当直线2y x z =-+经过点()2,6A 时，直线2y x z =-+在y 轴上的截距最大， 此时z 取最大值，即max 22610z =⨯+=. 因此，2z x y =+的取值范围是[]2,10-. 故选：B. 【点睛】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义找出最优解是解决问题的关键，考查数形结合思想的应用，属于基础题.3．已知复数3z i =-，21z i =+（其中i 是虚数单位），则12z z =（ ） A ．22i - B ．12i -C ．1i +D ．2i +【答案】B【解析】利用复数的除法运算法则化简计算即可. 【详解】由已知条件得()()()()1231324121112i i z i i i z i i i ----====-++-. 故选：B. 【点睛】本题考查复数的除法运算，考查计算能力，属于基础题.4．函数()2221x x xf x -=+的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】求解函数()y f x =的零点，考查函数()y f x =在()0,2x ∈时的函数值符号，可得出结论. 【详解】由()0f x =，得220x x -=，解得0x =或2x =，该函数有两个零点，有一个正零点，排除A 、B 选项；当02x <<时，()22021x x x f x -=<+，排除D 选项.故选：C. 【点睛】本题考查函数图象的识别，一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号，结合排除法得出选项，考查推理能力，属于中等题. 5．已知()0,x π∈，则“6x π>”是“1sin 2x >”成立的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要 D ．既不充分也不必要【答案】B【解析】求出不等式1sin 2x >在()0,x π∈上的解，然后利用集合的包含关系即可得出结论. 【详解】()0,x π∈Q ，解不等式1sin 2x >，得566x ππ<<，5,66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭Q ,6ππ⎛⎫⎪⎝⎭，因此，“6x π>”是“1sin 2x >”成立的必要不充分条件. 故选：B. 【点睛】本题考查必要不充分条件的判断，涉及正弦不等式的求解，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.6．若圆22220x y x y k +---=上的点到直线100x y +-=的最大距离与最小距离的差为6，则实数k 的值是（ ） A ．34- B ．1C ．4D ．7【答案】D【解析】先将圆的方程化为标准方程，设圆心到直线的距离d ，则圆22220x y x y k +---=上的点到直线100x y +-=的最大距离为d r +，最小距离为d r -（r 为圆的半径），根据已知条件求出半径，从而可求得k 的值. 【详解】圆的方程化为标准方程得()()22112x y k -+-=+，则202k k +>⇒>-，圆的半径为r =()1,1到直线100x y +-=的距离为d ，d ==当d r >时，圆22220x y x y k +---=上的点到直线100x y +-=的最大距离为d r +，最小距离为d r -，由已知条件得()()263d r d r r r +--==⇒=，3=，解得7k =.此时，3d ==>，直线100x y +-=与圆()()22119x y -+-=相离，合乎题意.当d r ≤时，圆22220x y x y k +---=上的点到直线100x y +-=的最大距离为d r +，最小距离为0，由已知条件得66d r r +=⇒=-<综上，7k = 故选：D. 【点睛】本题考查了圆上的点到直线距离的最大值和最小值的求解，考查运算求解能力，属于中等题.7．设01p <<，随机变量ξ的分布列是则当p 在()0,1内变化时，（ ） A ．()D ξ增大 B ．()D ξ减小C ．()D ξ先增大后减小 D ．()D ξ先减小后增大【答案】A【解析】计算出()E ξ和()2Eξ，根据()()()22D E E ξξξ=-将()D ξ表示成关于p的函数，研究函数的单调性即可得出结论. 【详解】()()()()222112nni i i i i i i D E p E E p ξξξξξξξ==⎡⎤=-⋅=-+⋅⎡⎤⎣⎦⎣⎦∑∑Q()()()()()()()2222222122ni i i i i p p E E E E E E E ξξξξξξξξξ=⎡⎤=-+=-+=-⎣⎦∑，由分布列得()1111012222p p p E ξ--=-⨯+⨯+⨯=，()211110222p p pE ξ+-+=⨯+⨯=，所以，()()()()222221111152224444p p D E E p p p ξξξ+-⎛⎫=-=-=-++=--+ ⎪⎝⎭， 所以，当()0,1p ∈时，()D ξ随着p 的增大而增大. 故选：A.【点睛】本题考查离散型随机变量的期望和方差，考查二次函数的单调性，属于中等题. 8．如图，在三棱锥D ABC -中，已知DA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，且DA AB BC ==，设P 是棱DC 上的点（不含端点）．记PAB α∠=，PBC β∠=，二面角P AB C --的大小为γ，则（ ）A ．γα>，且γβ>B ．γα>，且γβ<C ．γα<，且γβ>D ．γα<，且γβ<【答案】D【解析】作出二面角P AB C --的平面角，利用角的余弦值的大小关系得出γ与α、γ与β的大小关系.【详解】 如下图所示：过点P 作//PO AD 交AC 于点O ，过点O 作//OE BC 交AB 于点E ，过点O 作//OF AB 交BC 于点F ，连接OB 、PE 、PF .//PO AD Q ，AD ⊥平面ABC ，PO ∴⊥平面ABC ，AB ⊂Q 平面ABC ，AB PO ∴⊥，//OE BC Q ，BC AB ⊥，OE AB ∴⊥，OE PO O =Q I ，AB ∴⊥平面POE ，同理可得BC ⊥平面POF ，PE ⊂Q 平面POE ，AB PE ∴⊥，PEO γ∴∠=，易知PE PA <，PE PB <，AB BC =Q ，AB BC ⊥，则45BAC ∠=o ，OE AE ∴=，cos cos AE OEPA PEαγ=<=，γα∴<. //OE BF Q ，OF //BE ，90EBF ∠=o ，则四边形OEBF 为矩形，OE BF ∴=，则cos cos OE BFPE PBγβ=>=，γβ∴<. 综上所述，γα<，且γβ<. 故选：D. 【点睛】本题考查二面角与线线角的大小比较，作出二面角的平面角，并利用三角函数值的大小关系来得出角的大小关系是解题的关键，考查化归与转化思想的应用，属于中等题. 9．已知a 、b R ∈，设函数()2f x x ax b =++，若函数()()y ff x =有且只有一个零点，则（ ） A ．0a ≤，且0b ≤ B ．0a ≤，且0b ≥ C ．0a ≥，且0b ≤ D ．0a ≥，且0b ≥【答案】D【解析】令()u f x =，可知关于u 的二次方程20u au b ++=有实根，可得出240a b ∆=-≥，分0∆=与>0∆两种情况讨论，先求出方程20u au b ++=的根，再讨论函数()u f x =的零点即可得出结论. 【详解】设()u f x =，则关于u 的二次方程20u au b ++=有根，可得出240a b ∆=-≥，解得2a u -=.①当240a b ∆=-=时，24a b =，解方程2204a u au ++=，得2a u =-，此时方程()2a f x =-只有一根，即222a a x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭只有一根，则002a a b -=⇒==；②当240a b ∆=->时，24a b <，解方程20u au b ++=，得1u =，2u =12u u >，则方程()1f x u =只有一解，方程()2f x u =无实解， 所以，()2min44b a f x -==2402a b a -=+>，20,04a b a b <<<∴>Q综上所述，0a ≥且0b ≥. 故选：D. 【点睛】本题考查了复合型二次函数的零点问题，一般将复合函数分解为内层函数与外层函数来分析，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题. 10．已知数列{}n a 满足1221n n n a a a ++=+，n *∈N ，若1102a <<，则（ ）A ．8972a a a +<B ．91082a a a +>C ．6978a a a a +>+D ．71089a a a a +>+【答案】C【解析】由递推公式1221n n n a a a ++=+得出25445n n n a a a ++=+，计算出25,24a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，利用递推公式推导得出()0,1n a ∈（n 为正奇数），1n a >（n 为正偶数），利用定义判断出数列{}()21n a n N *-∈和{}()2na n N *∈的单调性，进而可得出结论.【详解】()()113212132221212221n n n n n n a a a a a a ++++===++++Q ，110,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，25,24a ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，()()121259245221545944221454544452121n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a ++++++-+++=====-+++++⨯++， 且()2241544545n n n n n n n a a a a a a a +-+-=-=++，()212122121n n n n n n n a a a a a a a +-+-=-=++. 110,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Q ，则101a <<，则()()3590,14445n a a =-∈+， 如此继续可得知()()210,1n a n N *-∈∈，则()22121212141=045n n n n a aa a -+---->+，所以，数列{}()21n a n N *-∈单调递增；同理可知，()21n a n N*>∈，数列{}()2na n N *∈单调递减.对于A 选项，78a a <且79a a <，8972a a a ∴+>，A 选项错误； 对于B 选项，89a a >且108a a <，则91082a a a +<，B 选项错误； 对于C 选项，68a a >，97a a >，则6978a a a a +>+，C 选项正确； 对于D 选项，79a a <，108a a <，则71098a a a a +<+，D 选项错误. 故选：C. 【点睛】本题考查数列不等式的判断，涉及数列递推公式的应用，解题的关键就是推导出数列{}()21n a n N *-∈和{}()2n a n N *∈的单调性，考查推理能力，属于难题.二、填空题11．若直线1:l y kx =与直线2:20l x y -+=平行，则k =_____，1l 与2l 之间的距离是____． 【答案】1【解析】利用两直线平行的等价条件可求出实数k 的值，利用平行线间的距离公式可求得直线1l 与2l 之间的距离. 【详解】12//l l Q ，且直线2l 的斜率为1，1k ∴=，则直线1l 的一般方程为0x y -=.所以，直线1l与2l之间的距离是()22211=+-.故答案为：1；2.【点睛】本题考查利用两直线平行求参数，同时也考查了平行线间距离的求法，考查运算求解能力，属于基础题.12．学校开设了7门选修课，要求每一个学生从中任意选择3门，共有____种不同选法．【答案】35【解析】利用组合计数原理可得出结果.【详解】学校开设了7门选修课，要求每一个学生从中任意选择3门，共有3735C=种不同的选法.故答案为：35.【点睛】本题考查组合数公式的应用，考查计算能力，属于基础题.13．在《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线恰好平分矩形的面积，则该“堑堵”的正视图的面积是_____，体积是_____．【答案】12【解析】首先根据三视图作出几何体的直观图，结合三视图中的数据计算出正视图的面积和几何体的体积.【详解】由三视图可知，该几何体的直观图如下图所示：该几何体为直三棱柱，正视图为等腰直角三角形，且斜边长上的高为1，斜边长为2， 故该“堑堵”的正视图的面积是12112⨯⨯=，体积为122V =⨯=. 故答案为：1；2. 【点睛】本题考查的主要知识点：三视图和几何体之间的转换，几何体体积公式的应用，主要考查学生的运算能力以及空间想象能力，属于基础题.14．6x x ⎛- ⎝展开式中，各二项式系数的最大值是_____，常数项是____．【答案】20 15【解析】利用二项式系数的增减性可得出二项式系数的最大值，求出该二项展开式的通项1r T +，令x 的指数为零，求得r 的值，代入通项即可得出常数项的值. 【详解】由题意可知，6x x ⎛- ⎝展开式中，各二项式系数的最大值是3620C =， 展开式通项为()36621661rr r r r r r T C x C x x --+⎛=⋅⋅=⋅-⋅ ⎝，令3602r -=，得4r =. 因此，展开式中的常数项为()446115C ⋅-=.故答案为：20；15. 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，考查了二项式系数的单调性以及展开式中常数项的求解，考查运算求解能力，属于基础题.15．在锐角ABC ∆中，D 是边BC 上一点，且22AB =3BC =，AC AD =，若3cos 5CAD ∠=，则sin C =____，ABC ∆的面积是____． 253【解析】先利用已知条件求出()3cos 2cos 5C CAD π=-∠=-，利用二倍角公式可求出sin C 的值，再利用正弦定理求出sin BAC ∠，结合三角形的内角和以及诱导公式求出sin B ，利用三角形的面积公式可求出ABC ∆的面积. 【详解】 如下图所示：在锐角ABC ∆中，D 是边BC 上一点，且22AB =3BC =，AC AD =，()3cos 2cos 5C CAD π-=∠=，即3cos 25C -=，3cos 25C ∴=-，2312sin 5C ∴-=-，又sin 0C >，解得25sin 5C =. 易知C 为锐角，则25cos 1sin 5C C =-=， 由253sin 3105sin sin sin 1022AB BC BC C BAC C BAC AB =⇒∠===∠，210cos 1sin 10BAC BAC ∴∠=-∠=()2sin sin sin cos cos sin 2B C BAC C BAC C BAC ∴=+∠=∠+∠=， 因此，ABC ∆的面积为112sin 2233222ABC S AB BC B ∆=⋅⋅=⨯⨯=. 25；3. 【点睛】本题主要考查利用正弦定理解三角形以及三角形面积的计算，涉及二倍角公式的应用，考查计算能力，属于中等题.16．已知单位向量a r 、b r满足22a b b -=r r r ，设向量()2c a x b a =+-r r r r ，[]0,1x ∈，则c a +r r的取值范围是_____．【答案】⎣ 【解析】由22a b b -=r r r 平方计算出a b ⋅r r的值，然后将2c a +r r 转化为关于x 的二次函数，利用二次函数的基本性质可求得c a +r r的取值范围.【详解】Q 单位向量a r 、b r满足22a b b -=r r r ，即()2224a bb -=r r r ，整理得240a a b -⋅=r r r，得14a b ⋅=r r .()()2222c a a x b a x a xb +=+-=-+r r r r r r r ，则()()()()222222222424424c a c ax a xb x x x a b x x x ⎡⎤+=+=-+=-+-⋅+=-+⎣⎦r r r r r r r r ，设2424y x x =-+，该二次函数图象开口向上，对称轴为直线14x =， 所以，函数2424y x x =-+在10,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在1,14⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增， 当[]0,1x ∈时，1564y ≤≤，即21564c a ≤+≤r r ，因此，c a +r r 的取值范围是2⎣.故答案为：2⎣. 【点睛】本题考查向量模的取值范围的计算，考查了利用向量的模来计算数量积，将向量模的取值范围转化为二次函数的值域来求解是解答的关键，考查运算求解能力，属于中等题. 17．已知函数()21f x x x =--，若对任意的实数x 有()()()1f x t f x t R +-≤∈成立，则实数t 的取值范围是______. 【答案】11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】利用绝对值三角不等式得出()()max 3f x t f x t +-=，根据题意得出31t ≤，解不等式即可得出实数t 的取值范围.【详解】()21f x x x =--Q ，则()()()()211f x t f x x t x x x t +-=+-+--+-，由绝对值三角不等式得()()()()2113f x t f x x t x x x t t +-≤+-+--+-=， 则()()max 3f x t f x t +-=，由题意得31t ≤，解得1133t -≤≤. 故答案为：11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查函数不等式恒成立问题的求解，考查绝对值三角不等式的应用，属于中等题.三、解答题18．已知函数()2sin cos cos 2662f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． （1）求()f x 的最小正周期； （2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域．【答案】（1）π；（2）2⎡-⎢⎣. 【解析】（1）利用三角恒等变换思想化简函数()y f x =的解析式为()26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，利用正弦型函数的周期公式可计算出函数()y f x =的最小正周期；（2）由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可计算出26x π+的取值范围，利用正弦函数的基本性质可得出函数()y f x =在区间0,π2上的值域.【详解】 （1）()2sin cos cos 2sin 2sin 26623f x x x x x xππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭13sin 2cos 2sin 2sin 22222226x x x x x x π⎛⎫=++=+=+ ⎪⎝⎭，则函数()y f x =的最小周期为22T ππ==； （2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则1sin 2126x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，()332f x ∴-≤≤， 因此，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()y f x =的值域为3,3⎡⎤-⎢⎥⎣. 【点睛】本题考查正弦型函数最小正周期和值域的求解，解答的关键就是利用三角恒等变换思想化简函数解析式，考查计算能力，属于中等题.19．如图，已知四棱锥P ABCD -，PCD ∆是等边三角形，//AB CD ，AB AD ⊥，12AB AD CD ==，PA PD =，E 是PC 的中点．（1）求证：直线//BE 平面PAD ； （2）求直线BE 与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（266. 【解析】（1）取PD 的中点G ，连接AG 、EG ，通过证明四边形ABEG 为平行四边形得出//BE AG ，再利用线面平行的判定定理可得出结论；（2）以D 为原点，DA 、DC 、过D 且垂直底面的直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设1AB =，根据已知条件求出点P 的坐标，可得出点E 的坐标，然后利用空间向量法可求出直线BE 与平面所成角的正弦值． 【详解】（1）取PD 的中点G ，连接AG 、EG ， 根据中位线定理，//EG CD ，且12EG CD AB ==， 又//AB CD ，所以//AB EG ，AB EG =，则四边形ABEG 为平行四边形，//BE AG ∴，BE ⊄Q 平面PAD ，AG ⊂平面PAD ，//BE ∴平面PAD ；（2）以D 为原点，DA 、DC 、过D 且垂直底面的直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设1AB =，则()0,0,0D 、()1,0,0A 、()1,1,0B 、()0,2,0C ，设(),,P x y z ， 由2222DP x y z =++=，()22212AP x y z =-++=，()22222CP x y z =+-+=，上面联立解方程组得12x =，1y =，112z =， 故点111,1,22P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，所以1311,,424E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，得到3111,,424BE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u v ， 平面ABCD 的法向量为()0,0,1m =v，由11664cos ,61m BE m BE m BE⋅===⋅⨯u u u v v u u u v v u u u v v .故直线BE 与平面所成角的正弦值为66．【点睛】本题考查直线与平面平行的证明，同时也考查了利用空间向量法计算直线与平面所成角的正弦值，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20．已知P 是圆()22:14C x y +-=上一点，(),0A t ，()4,3B t +，其中t R ∈．（1）若直线AB 与圆C 相切，求直线AB 的方程：（2）若存在两个点P 使得PA PB ⊥，求实数t 的取值范围．【答案】（1）3460x y --=或34140x y -+=；（2）()()252,22,252---U . 【解析】（1）求出直线AB 的方程，利用圆心到直线AB 的距离等于圆的半径可求出实数t 的值，进而可得出直线AB 的方程；（2）求出以AB 为直径的圆的方程，确定该圆的圆心坐标和半径长，结合已知条件转化为两圆相交即可求得实数t 的取值范围. 【详解】（1）已知P 是圆()22:14C x y +-=上一点，(),0A t ，()4,3B t +.圆心C 为()0,1，半径2r =，直线AB 的斜率为()30344AB k t t -==+-.∴直线AB 的方程为()34y x t =-，即3430x y t --=. Q 直线AB 与圆C 相切，3425t +∴==，解得2t =或143t =-. 因此，直线AB 的方程为3460x y --=或34140x y -+=； （2）因为(),0A t 、()4,3B t +，所以AB 的中点32,2D t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，且5AB ==.则以AB 为直径的圆的圆心为32,2D t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，半径为52R =. Q 存在两个点P 使得PA PB ⊥，所以圆C 与圆D 相交，即R r CD R r -<<+，即1922<，解得22t -<<且2t ≠-.因此，实数t的取值范围是()()2,22---U . 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查利用直线与圆相切求直线方程，以及与圆相关的动点问题，将问题转化为两圆的位置关系是解答的关键，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.21．已知数列{}n a 满足()122332132n nn a a n a ++++-=-L ，n *∈N ，记12n n S a a a =+++L ．（1）求n a 和n S ；（2）证明：1111ln 123n S n n ⎛⎫++++<+ ⎪⎝⎭L ．【答案】（1）12n na =，112n n S =-；（2）证明见解析. 【解析】（1）令1n =求出1a 的值，令2n ≥，由()122332132n nn a a n a ++++-=-L 得出()12112132332n n n a a n a --++++-=-L ，两式相减可得出n a ，再对1a 的值进行验证即可得出数列{}n a 的通项公式，进而利用等比数列求和公式可得出n S ； （2）利用导数证明出不等式()ln 10x x x ≤->，可得出11ln 1n n n +>+，利用不等式的性质可得出1111ln 123n n++++<+L ，再由1n S <进而可证明出结论成立. 【详解】（1）数列{}n a 满足()122332132n nn a a n a ++++-=-L ，n *∈N . 当1n =时，151322a =-=； 当2n ≥时，由()122332132n nn a a n a ++++-=-L 得()12112132332n n n a a n a --++++-=-L ， 两式相减得()()14223212321212222n n n n nn n n n n n a -+-+++--=-==，12n n a ∴=， 112a =满足12n n a =，所以，对任意的n *∈N ，12n n a =.11112121222n n n n n n a a +++===Q ，所以，数列{}n a 是等比数列，且首项和公比均为12，因此，11112211212nn nS ⎛⎫-⎪⎝⎭==--；（2）先证明()ln 10x x x ≤->． 令()ln 1f x x x =-+，则()111x f x x x-=-='，由()01f x x ='⇒=. 当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<.所以，函数()y f x =的单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,+∞， 当1x =时，函数()y f x =取得最大值，即()()max 10f x f ==，当01x <<时，()0f x <. 令()0,11n x n =∈+，则1ln 1111n n n n n <-=-+++，化为()1ln 1ln 1n n n +->+， 则1ln 2ln12->，1ln 3ln 23->，L ，()1ln ln 1n n n -->，上述不等式全部相加得111ln 23n n >+++L ，则1111ln 123n n++++<+L ， 112n nS =-Q ，所以，11111111ln 12323n S n n n ⎛⎫++++<++++<+ ⎪⎝⎭L L . 【点睛】本题考查利用数列的递推公式求数列的通项公式，同时也考查了等比数列求和以及数列不等式的证明，涉及导数的应用，考查推理能力与计算能力，属于难题.22．已知k ∈R ，函数()xf x e kx =-（其中e 是自然对数的底数，e 2.718=L ）．（1）当1k =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）若当0x >时都有()()2321f x x x k >+++成立，求整数k 的最大值．【答案】（1）1y =；（2）2-.【解析】（1）将1k =代入函数()y f x =的解析式，求出()0f 和()0f '的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；（2）由()()2321f x x x k >+++结合参变量分离法得出2322x e x x k x ---<+对任意的0x >恒成立，构造函数()232122x xe x x e g x x x x ---==--++，利用导数求出函数()y g x =在()0,∞+上的最小值，即可得出整数k 的最大值.【详解】（1）当1k =时，()xf x e x =-，()1xf x e '=-，根据题意可得()01f =，()00f '=，故曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程1y =；（2）由0x >时都有()()2321f x x x k >+++成立，可得2322x e kx x x k ->+++，得()232122x xe x x e k x x x -++<=--++，构造函数()()102xe g x x x x =-->+，则()min k g x <，()()()()()()222112122x x x e x e x g x x x ++-+'=-=++，令()()()212x h x x e x =+-+，0x >，则()()()()()22222xxh x x e x x e '=+-+=+-，令()0h x '=，得ln 2x =.当0ln 2x <<时，()0h x '<；当ln 2x >时，()0h x '>.所以，函数()y h x =在()0,ln 2上单调递减，在()ln 2,+∞上单调递增， 则()()()()()22min ln 22ln 212ln 2ln 22ln 220h x h ==+-+=---<，又()030h =-<，()1290h e =-<，3235490224h e ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，()223160h e =->， 所以，存在3,22t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()()()2120th t t e t =+-+=，得()221t t e t +=+. 当0x t <<时，()0h x <，即()0g x '<，此时，函数()y g x =单调递减； 当x t >时，()0h x >，即()0g x '>，此时，函数()y g x =单调递增.所以，()()()2min22111112211t t e t t g x g t t t t tt t t t+++==--=--=--=-++++， 构造()11t t t ϕ=-+，其中322t <<，则()()21101t t ϕ'=--<+， 所以，函数()11t t t ϕ=-+在区间3,22⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则()511310g t -<<-， 又()k g x <对任意的0x >恒成立，因此，整数k 的最大值为2-. 【点睛】本题考查利用导数求函数的切线方程，同时也考查了利用导数求解函数不等式恒成立问题，涉及隐零点法的应用，考查化归与转化思想的应用，属于难题.。
2020年浙江省绍兴市柯桥中学高三数学理期末试卷含解析
2020年浙江省绍兴市柯桥中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知实数x，y满足，那么z=2x+y的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．5参考答案：C【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，结合数形结合即可得到结论．．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线的截距最小，此时z最小，由，解得，即A（1，2），此时z=1×2+2=4，故选：C．【点评】本题主要考查线性规划的计算，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．2. 在等差数列{a n}中，首项a1=0，公差d≠0，若a k=a1+a2+a3+…+a7，则k=( )A．22 B．23 C．24 D．25参考答案：A考点：等差数列的性质．分析：根据等差数列的性质，我们可将a k=a1+a2+a3+…+a7，转化为a k=7a4，又由首项a1=0，公差d≠0，我们易得a k=7a4=21d，进而求出k值．解答：解：∵数列{a n}为等差数列且首项a1=0，公差d≠0，又∵a k=（k﹣1）d=a1+a2+a3+…+a7=7a4=21d故k=22故选A点评：本题考查的知识点是等差数列的性质，其中根据a4是数列前7项的平均项（中间项）将a k=a1+a2+a3+…+a7，化为a k=7a4，是解答本题的关键．3. 复数z满足（1+i）2?z=﹣1+i，其中i是虚数单位．则在复平面内，复数z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限参考答案：A【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．【专题】数系的扩充和复数．【分析】设出复数z，利用复数相等，求解复数z，然后判断复数对应点所在象限即可．【解答】解：复数z=x+yi，满足（1+i）2?z=﹣1+i，可得2i（x+yi）=﹣1+i，解得x=，y=，z=（，），复数对应点在第一象限．故选：A．【点评】本题考查复数的几何意义，复数相等的充要条件的应用，考查计算能力．4. 已知O为坐标原点，双曲线的右焦点F，以OF为直径作圆交双曲线的渐近线于异于原点的两点A、B，若，则双曲线的离心率为Ａ．2 B．3 Ｃ． D．参考答案：C5. “”是“直线与圆相切”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件参考答案：B考点：直线与圆的位置关系、充分必要条件．6. 已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，A是曲线的左顶点，双曲线C的一条渐近线与直线交于点P，，且，则双曲线C的离心率为（）A．3 B． C.2 D．参考答案：C 7. （5分）已知，函数y=f（x+φ）的图象关于直线x=0对称，则φ的值可以是（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】： y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义；运用诱导公式化简求值；图形的对称性．【专题】：计算题．【分析】：化简函数的表达式，函数y=f（x+φ）的图象关于直线x=0对称，说明是偶函数，求出选项中的一个φ即可．解：=2sin（x+），函数y=f（x+φ）=2sin（x+φ+）的图象关于直线x=0对称，函数为偶函数，∴φ=故选D．【点评】：本题考查y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义，运用诱导公式化简求值，图形的对称性，考查计算能力，是基础题．8. 如图所示，设曲线上的点与轴上的点顺次构成等腰直角三角形，,直角顶点在曲线上，的横坐标为，记，则数列的前120项之和为（）（A）10 （B）20 （C）100 （D）200参考答案：A如图所示，联立，解得，所以，所以，直线的方程为，联立，解得，所以，依次类推可得，即，所以，所以数列的前120项的和为，故选A.9. 在△ABC 中，若分别BC 为边上的三等分点，则（ ） A ． B ． C ．2 D ．参考答案：A 若两边平方得，E ，F 为BC 边的三等分点，故选A10. 已知奇函数f （x ）在[-1，0]上为单调递减函数，又α，β为锐角三角形两内角，下列结论正确的是A ．f （cos α）> f （cos β）B ．f （sin α）> f （sin β）C ．f （sin α）> f （cos β）D ．fsin α）<f （cos β） 参考答案： D二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数的最小正周期为.参考答案：.12. 若命题“”是假命题，则实数的取值范围是参考答案：略 13. 从中任取四个数，使其和为偶数的取法共有_________种（用数字作答）.参考答案： 答案：6614. 已知数列满足，，则_________.参考答案：1023 略15. 在平面直角坐标系xOy 中，直线被圆截得的弦长为_______．参考答案：【分析】确定圆心坐标和半径，利用点到直线距离公式求得圆心到直线距离，利用直线被圆截得的弦长为求得结果.【详解】由圆的方程可知：圆心为，半径为圆心到直线距离：所求弦长为：本题正确结果：16. 若的展开式中的系数是，则实数的值是 .参考答案： 2 略17. (07年全国卷Ⅱ文)一个总体含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为 ． 参考答案：答案：解析：一个总体含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为．三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
绍兴市嵊州市2020届高三数学上学期期末考试试题含解析
A。 B. C。 D。
【答案】B
【解析】
【分析】
利用复数的除法运算法则化简计算即可。
【详解】由已知条件得 .
故选：B.
【点睛】本题考查复数的除法运算，考查计算能力，属于基础题。
4。函数 的图象大致是( ）
A. B。
C。 D。
【答案】C
【解析】
【分析】
， 平面 ， 平面 ， 平面 , ,
， ， ， ， 平面 ，
同理可得 平面 ，
平面 ， , ，
易知 ， ，
， ,则 ， ，
, 。
， , ，则四边形 为矩形, ，
则 ， .
综上所述, ，且 .
故选:D.
【点睛】本题考查二面角与线线角的大小比较，作出二面角的平面角，并利用三角函数值的大小关系来得出角的大小关系是解题的关键，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.
8。如图，在三棱锥 中，已知 平面 , ，且 ，设 是棱 上的点（不含端点）．记 , ，二面角 的大小为 ，则( ）
A. ,且 B。 ，且
C. ,且 D. ，且
【答案】D
【解析】
【分析】
作出二面角 的平面角,利用角的余弦值的大小关系得出 与 、 与 的大小关系。
【详解】如下图所示：
过点 作 交 于点 ，过点 作 交 于点 ，过点 作 交 于点 ，连接 、 、 。
10。已知数列 满足 ， ，若 ,则（ ）
A. B。
C. D。
【答案】C
【解析】
【分析】
由递推公式 得出 ，计算出 ，利用递推公式推导得出 ( 为正奇数）, （ 为正偶数），利用定义判断出数列 和 的单调性，进而可得出结论。
浙江省绍兴市柯桥区2020届高三上学期期末考试数学试题(含答案解析)
浙江省绍兴市柯桥区2020届高三上学期期末考试数学试题（含答案解析）高考真题高考模拟高中联考期中试卷期末考试月考试卷学业水平同步练习浙江省绍兴市柯桥区2020届高三上学期期末考试数学试题（含答案解析）1 已知全集，集合，，则（）A. B.C. D.【答案解析】 A【分析】求出集合的补集，然后求解交集即可.【详解】解：由已知，所以，故选：A.【点睛】本题考查集合的基本运算，基本知识的考查.2 若实数，满足约束条件，则的最大值是（）A. －1B. 0C. 2D. 3【答案解析】 D【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合可得最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案.【详解】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数为直线方程的斜截式，由图可知，当直线过点A时，直线在轴上的截距最小，最大，为.故选：D.【点睛】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题.3 双曲线的焦点到其渐近线的距离是（）A. 1B.C. 2D.【答案解析】 C【分析】求出双曲线的，可得焦点坐标和渐近线方程，运用点到直线的距离公式，可得所求值. 【详解】解：双曲线的，焦点为，渐近线方程为，即，即有焦点到渐近线的距离为，故选：C.【点睛】本题考查双曲线的焦点和渐近线，考查运算能力，属于基础题.4 某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）（单位：cm3）A. 2B. 6C. 10D. 12【答案解析】 A【分析】由三视图可得原几何体为四棱锥，利用棱锥的体积公式求结果.【详解】解：由三视图可得原几何体为四棱锥，如图：则体积，故选：A.5 已知则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案解析】 B试题分析：，其表示的是如图阴影圆弧部分，其表示的是如图阴影部分，所以“”是“”的必要不充分条件.故答案选考点：命题的充分必要性.6 在同一坐标系中，函数与的图象可能是（）A. B.C. D.【答案解析】 A【分析】根据指数函数，幂函数的性质逐一判断，可得结果.【详解】解：对A，由图知中的，中的，符合；对B，由图知中的，的图没有过，不符；对C，由图知中的，中的，不符；对D，由图知中的，此时中的，不符；故选：A.【点睛】本题考查指数函数和幂函数的性质，是基础题.7 已知多项式，则（）A. －15B. －20C. 15D. 20【答案解析】 C【分析】令，原多项式转化为，利用通项公式求展开式第四项的系数即可.【详解】解：令，原多项式转化为，则，故选：C.【点睛】本题考查二项展开式的确定项的系数，利用换元法可简化原多项式，是基础题. 8 斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC是正三角形，侧面是矩形，且，M是AB的中点，记直线与直线BC所成的角为，直线与平面ABC所成的角为，二面角的平面角为，则（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案解析】 B【分析】过点作面交面于点，连结，过点作交于点，连结，则，，表示出这些角然后比较大小即可.【详解】解：如图：过点作面交面于点，连结，过点作交于点，连结，则，，因为直线与平面所成的角为直线与平面内所有直线所成的角中最小的，故，又因为，故，故选：B.【点睛】本题主要考查空间中直线与直线，直线与平面所成角的大小及二面角的大小，考查空间想象能力及分析问题的能力，是一道难度较大的题目.9 已知函数，则满足“对于任意给定的不等于1的实数，都有唯一的实数，使得”的实数的值（）A. 不存在 B. 有且只有一个C. 有且只有两个D. 无数个【答案解析】 A【分析】求出，然后将题目转化为直线一旦和的图像相交，则必有两个交点且交点横坐标不为1，画出的图像，观察即可得结果.【详解】解：由已知得，“对于任意给定的不等于1的实数，都有唯一的实数，使得”即直线一旦和的图像相交，则必有两个交点且交点横坐标不为1，现在研究的图像，若，明显不可能；若，当时，完整的抛物线的图像其对称轴，与轴交点坐标，开口向上；当，单调递增，与轴交点坐标，图像如图：由图可知，不可能存在这样的直线一旦和的图像相交，必有两个交点，故选：A.【点睛】本题考查等式恒成立问题，关键是转化为图像的交点个数问题，是一道难度较大的题目10 已知数列{an}满足，，若对于任意，都有，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案解析】 B【分析】利用排除法，将，代入验证排除，即可得结果.【详解】解：用排除法：当时，，明显有，下面用数学归纳法证明，当时，，成立；假设当时，成立，则当时，，所以当时，成立，综上：对任意，都有；另外，所以，所以当时，恒成立，排除CD；当时，，若，则，因为，此时是有可能的，故排除A，故选：B.【点睛】本题考查数列的函数性质，如单调性，值域，利用排除法可方便得出结果，是一道难度较大的题目.11 已知复数，，则复数______.【答案解析】【分析】设，根据条件利用复数相等列方程组求解即可.【详解】解：设，则，，解得，，故答案为：.【点睛】本题考查复数代数形式的求解，关键是理解复数相等，是基础题.12 设直线与圆C：相交于A，B两点，若，则______，当变化时，弦AB中点轨迹的长度是______.【答案解析】；【分析】第一空：利用垂径定理列方程可求出的值；第二空：设，弦中点，联立，利用韦达定理通过消去参数可得弦中点轨迹，根据轨迹可得轨迹的长度.【详解】解：由垂径定理可得，解得；设，弦中点，则，联立，消去得，，解得，，，即，消去得，又由得，故弦中点轨迹长度为半径为1的圆的周长的，如图：所以弦中点轨迹长度为，故答案为：；.13 设随机变量的分布列是-11P若，则______，______.【答案解析】；【分析】利用分布列以及期望列出方程，然后求解即可.【详解】解：由题意可得：，可得，解得, 所以,故答案为：；.【点睛】本题考查离散型随机变量的期望与方差的求法，考查计算能力.14 在△ABC中，，，点D在线段上，满足，且，则______，______.【答案解析】；【分析】先求出，然后由三角形内角和外角的关系得，利用两个差的余弦公式代入角的三角函数值计算即可；在中，利用正弦定理即可求得【详解】解：在中，，，，在中，，，故答案为：；【点睛】本题考查求解三角形的边与角，关键是对公式要熟悉，并能灵活应用，考查了计算能力，难度不大.15 已知双曲线C：的右焦点关于直线的对称点在直线上，则该双曲线的离心率为______.【答案解析】【分析】先求出点到渐近线的距离，在利用，得，代入数据整理计算即可得双曲线的离心率.【详解】如图：，由已知点到渐近线的距离，由对称性可得，由题得，所以，即，整理得，故，故答案为：【点睛】本题考查双曲线的离心率的求解，关键是要根据题目条件找到之间的等量关系，是中档题.16 已知正三角形ABC的边长为4，P是平面ABC内一点，且满足，则的最大值是______，最小值是______.【答案解析】不存在；【分析】根据题意可得点在正三角形的外接圆⊙O的优弧上，以为坐标原点，以为轴建立平面直角坐标系，设，，利用数量积的坐标运算计算，利用三角函数的性质求最值即可.【详解】解：设正三角形的外接圆为⊙O，则⊙O的直径，，如图以为坐标原点，以为轴建立平面直角坐标系，，则点在的优弧上，设，又，，，，则，则的最大值不存在，最小值是.故答案为：最大值不存在，最小值是.【点睛】本题考查向量数量积的最值问题，建立平面直角坐标系利用向量的坐标运算去解决问题会方便许多，本题难度较大.17 设实数、满足，则的最大值为______.【答案解析】【分析】将的最大值问题转化的角最小的问题，数形结合，构造以的大小为边长的三角形，观察图像，利用对勾函数的性质，可得最大值.【详解】解：设，则的几何意义为以为长度构成的三角形中，长度为的边所对角的余弦值，要最大，则需要最大，即需要最小，分别以为圆心，以为半径作圆，会得到两个圆环，圆环的公共区域满足，又，当点在弧，弧，线段围成的封闭区域（包括边界）内时，，其中，要最小，则点必在弧上运动，此时，根据对勾函数的性质，当时，取最大值，最大值为，的最大值为，故答案为：.【点睛】本题考查最值的求法，注意运用不等式的性质和函数的单调性，考查运算能力，是一道难度较大的题目.18 已知函数.（1）求的值；（2）求f(x)的最小正周期和单调递增区间.【答案解析】（1）（2）最小正周期为，递增区间是.【分析】（1）直接将代入求值即可；（2）将变形为，然后即可求最小正周期和单调递增区间.【详解】解：（1）.（2），所以的最小正周期为，由得，，所以函数的递增区间是.【点睛】本题考查三角函数的图像和性质，是基础题.19 如图，三棱锥A﹣BCD中，平面平面BCD，，E，F分别是BD，CD的中点，且.（1）证明：；（2）求与平面所成角的余弦值.【答案解析】（1）见解析（2）【分析】（1）先由已知得到平面，从而，再加上，可得线面垂直，进而可得线线垂直；（2）取中点，连接与相交于，可得即为与平面所成角，利用余弦定理求解即可.【详解】解：（1）因为平面平面，且，所以平面，所以，又由于，所以，所以平面，所以.（2）取中点，连接与相交于，由于平面平面，且，所以平面，所以，设，则，又，所以平面，所以平面平面，所以在平面上的射影在直线上，则即为与平面所成角.因为，则，所以，，由余弦定理可得：.所以与平面所成角的余弦值为.【点睛】本题考查线线垂直的证明，以及线面角的求解，关键是要找到线面角的平面角，考查学生空间想象能力和作图能力，是中档题.20 设等差数列{an}的前n项和为Sn，，，数列{bn}的前n项和为Tn，满足，.（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；（2）记，，证明：.【答案解析】（1），.（2）见解析【分析】（1）根据等差数列的通项公式和前项和公式列方程组求出和，进而可得的通项公式；由，得，可得，利用，可得的通项公式；（2）利用数学归纳法, ①当时，左边，右边，不等式成立，②假设时成立，即，证明当时，不等式也成立.【详解】解：（1）设首项为，公差为，则，解得，，故，由，得，即，，所以，即，所以，故.（2）由（1）知，用数学归纳法：，①当时，左边，右边，不等式成立，②假设时成立，即，即当时，.即当时，不等式也成立.由①，②可知，不等式对任意都成立.【点睛】本题考查等差数列的通项公式以及法求数列的通项公式，考查数列归纳法，是中档题.21 已知抛物线C：，直线截抛物线C所得弦长为.（1）求的值；（2）若直角三角形的三个顶点在抛物线C上，且直角顶点P的横坐标为1，过点A、B分别作抛物线C的切线，两切线相交于点Q.①若直线AB经过点(0,3)，求点Q的纵坐标；②求的最大值及此时点Q的坐标.【答案解析】（1）（2）①-3.②最大值见解析，【分析】（1）联立，求出交点，利用两点距离公式列方程求解即可；（2）①设点，，，切线：，：，化归为二次方程的根的问题，可得直线的方程，代入点，即可得点的纵坐标；②由题设知，即，利用面积公式表示出，利用函数的性质求其最值.【详解】解：（1），解得两交点为，.所以，.（2）①设点，，.切线：，：，由题设知，，即，是方程的两根，于是，.故直线：.又因为直线经过点，所以，即点的纵坐标为-3；②由题设知，即.则，若，令，，若，令，，当且仅当，时，等号成立，此时点的坐标为.【点睛】本题考查直线与圆锥曲线方程的综合问题，设而不求的思想，韦达定理的应用，函数的单调性等知识，考查计算能力转化思想的应用，是中档题.22 设函数.（1）当，求函数的单调区间；（2）当时，若对任意，均有，求的取值范围.【答案解析】（1）递减区间是，递增区间是.（2）【分析】（1）求出，利用导数知识即可得函数的单调区间；（2）令，缩小的范围，，，利用导数求出的最大值，令其小于1，研究的取值范围.【详解】解：（1）当时，，由于，且函数单调递增，所以当时，，当时，，故函数的单调递减区间是，递增区间是.（2）令，得，所以.因为，令，则，由，解得，故在单调递增，在单调递减，所以，下面证明当时，，即，令，即证，，令，，在区间单调递减，则.综上所述当时，对任意，均有.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题.。
2020届浙江省绍兴市柯桥区高三上学期期末数学试卷(解析版)
D. 12
）（单
5. 设 a，b 是实数，则“a2+b2≤1”是“|a|+|b|≤1”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
6. 在同一坐标系中，函数 f（x）=xa（x＞0）与 g（x）=ax+1 的图象可能是（ ）
A.
B.
C.
D.
7. 已知多项式 x6=a0+a1（1-x）+a2（1-x）2+…+a6（1-x）6，则 a4=（ ）
6.【答案】A
【解析】解：∵0＜a＜1 或 a＞1，∴当 x＞0 时，幂函数 f（x）=xa（x＞0）为增函数，排除 B， A 中，g（0）=a＞1，函数 g（x）为增函数，此时当 0＜x＜1 时，xa＜x，满足条件． C 中，g（0）=a＞1，函数 g（x）为增函数，此时当 0＜x＜1 时，xa＜x，此时不满足条件． D 中，g（0）=a＜1，函数 g（x）为减函数，此时当 0＜x＜1 时，xa＞x，不满足条件． 故选：A． 根据 a 的取值范围先判断幂函数的单调性，结合指数函数的单调性以及当 0＜x＜1 时，xa 与 x 的大小关系 进行判断即可， 本题主要考查函数图象的识别和判断，结合指数函数和幂函数的单调性是解决本题的关键．难度中等．
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8.பைடு நூலகம்答案】B
【解析】解：由最小角定理可得 β＜α，设 AB=2，则 形，M 是 AB 的中点， ∴A1M=2， 设侧棱与底面所成的角为 θ，斜三棱柱的高为
，侧面 ABB1A1 是矩 ，
∴
，
取 A1B1 的中点 N，并连接 MN，C1N，可得平面 C1CMN⊥底面 ABC， 过点 C1 作 C1O⊥CM 于点 O，OG⊥AG 于点 G，连接 C1G，
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绍兴一中2019学年第一学期高三期末考试数学一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧=ππcos2sin，A，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+-+-=xx，xxB sinsin2coscos，则A BI为（▲）A．{0,1}- B．{1,1}- C．{1}- D．{0}2．若复数()()14i t i+-的模为52，则实数t的值为（▲）A． 1 B．2 C．2± D．3±3．某几何体的三视图如下图所示，它的体积为（▲）A．错误!未找到引用源。
π192 B．π240错误!未找到引用源。
C．π384错误!未找到引用源。
D．错误!未找到引用源。
π5764．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S5＝2 S10，则5151052S SS S+=-（▲）A．52B．92- C．72D．112-5．已知A、B是抛物线xy42=上异于原点O的两点，则“·=0”是“直线AB 恒过定点(0,4)”的（▲）A．充分非必要条件B．充要条件C．必要非充分条件D．非充分非必要条件6．数列921,,,aaa⋅⋅⋅中，恰好有6个7，3个4，则不相同的数列共有（▲）个A．67C B．49C C．39C D．36C7．已知双曲线]2,2[)0,0(12222∈>>=-ebabyax的离心率，则一条渐近线与实轴所构成的角的取值范围是（▲）A．⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,6ππB．⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,6ππC．⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,4ππD．⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,3ππ8．已知函数()()242log,041234(4)x xf xx x x⎧<≤⎪=⎨⎪-+>⎩，若方程()(=∈f x t t)R有四个不同的实数根1x，2x，3x，4x，则1x2x3x4x的取值范围为（▲）A ．(30,34)B ．(30,36)C ．(32,34)D ．(32,36)9．已知,x y 都是正实数，则44x yx y x y+++的最大值为（ ▲ ）A ．32B ．43C ． 52D ． 5410.已知在矩形ABCD 中，2AB =，4AD =，E ，F 分别在边AD ，BC 上，且1AE =，3BF =，如图所示， 沿EF 将四边形AEFB 翻折成A EFB ''，则在翻折过程中，二面角B CD E '--的大小为θ，则tan θ的最大值为（ ▲ ）A ．325 33B. 32C.4 33D.非选择题部分二、填空题（本大题7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.） 11．已知函数()ln 2020f x x x =+，则()1f '= ▲ ，0(12)(1)lim x f x f x∆→-∆-∆的值等于 ▲ .12．已知点P(x,y)满足条件y x z k k y x x y x 3),(02,,0+=⎪⎩⎪⎨⎧≤++≤≥若为常数的最大值为12， 则k = ▲ .13．如果x ＋x 2＋x 3＋……＋x 9＋x 10＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋……＋a 9(1＋x )9＋a 10(1＋x )10，则a 9＝______ _，10a = ▲ .14．已知A 袋内有大小相同的1个红球和3个白球，B 袋内有大小相同的2个红球和4个白球．现从A 、B 两个袋内各任取2个球，设取出的4个球中红球的个数为ξ，则(1)P ξ== ▲ ，ξ的数学期望为 ▲ .15．抛物线x y 22=顶点为O ，焦点为F ，M 是抛物线上的动点，则MFMO 取最大值时M点的横坐标为 ▲ .16.已知ABC ∆中，BC 中点为M ，()BC AC AB ⊥+,AB AC AB AC BC ⋅=--2222，CA CN 31=3=AB ，则 B ∠= ▲ ，=MN ▲ .17.已知函数()222sin 2,2cos 2a a f a a a θθθ++=++()0,,≠∈a R a θ,则函数(),f a θ的值域是▲ .三、解答题(本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 18．（本题满分14分） 在ABC ∆中,,,A B C 所对边分别为,,a b c .已知3,b =2()4cos 23sin 23,f x x x =+- （Ⅰ）求()f x 单调递减区间和最大值M ；（Ⅱ）若(),f B M =求ABC ∆面积的最大值. 19．（本小题满分15分）如图，ABEF 是等腰梯形， EF AB //，BF AF ⊥，矩形ABCD 和ABEF 所在的平面互相垂直．已知2=AB ，1=EF ．（Ⅰ）求证：平面⊥DAF 平面CBF ；（Ⅱ）求直线AB 与平面CBF 所成角的正弦值. 20、（本小题满分15分） 已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：()121--=n n a S ． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设11111n n n c a a +=++-，数列{}n c 的前n 项和为T n . 求证：123n T n >-．21、（本小题满分15分）已知圆S ：020422=-++y x x ，T 是抛物线x y 82=的焦点，点P 是圆S 上的动点，Q 为PT 的中点，过Q 作Q G ⊥PT 交PS 于G（1）求点G 的轨迹C 的方程；（2）过抛物线x y 82—=的焦点E 的直线l 交G 的轨迹C 于点M 、N ，且满足364sin =∠⋅MON ON OM ，(O 为坐标原点)，求直线l 的方程.22．（本小题满分15分）对于定义在I 上的函数()y f x =，若存在0x I ∈，对任意的x I ∈，都有()()0f x f x m ≥=或者()()0f x f x M ≤=，则称0()f x 为函数()f x 在区间I 上的“最小值m ”或“最大值M ”． （Ⅰ）求函数2()ln(2)f x x x =-+在]1,0[上的最小值；（Ⅱ）若把“最大值M ”减去“最小值m ”的差称为函数()f x 在I 上的“和谐度G ”，试求函数()23F x x x a a =-+>（0）在[1,2]上的“和谐度G ”；（Ⅲ）类比函数()f x 的“和谐度G ”的概念， 请求出(,)(1)(1)11x y x y x y y xϕ=--++++在{}(,),[0,1]I x y x y =∈上的“和谐度G ”．参考答案：CDBDB CCCBC11．【答案】2021，-4042． 12．【答案】9- 13．【答案】－9，1 14．【答案】 7(1)15P ξ==,76E ξ= ξ可能的取值为0123，，，．1(0)5P ξ==，7(1)15P ξ==， 13224611(3)30C P C C ξ===·．从而3(2)1(0)(1)(3)10P P P P ξξξξ==-=-=-==．ξ的分布列为ξ的数学期望012351510306E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． 15．【答案】1．【解析】设抛物线方程为x y 22=，则顶点及焦点坐标为()00，O ，⎪⎭⎫ ⎝⎛021，F ，若设点M 坐标为(),M x y ，则2⎪⎭⎫⎝⎛MF MO ==+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+222221y x y x =+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x x x 22122241222+++x x x x 令41222+++=x x x x t 得，()()04212=+-+-t x t x t ，由0≥∆得34≤t ，由4123422+++=x x x x 得1=x 。
16.【答案】4π，210【解析】由()⊥+得： ()0=+，即20=⋅BC AM ，故BC AM ⊥。
由AB AC AB AC BC ⋅=--2222得：()22BC AB AC =+，即224BC AM =，也即AM BC 2=，所以ABC ∆的形状为等腰直角三角形(如图)。
在CNM ∆中，由余弦定理得=MN 210。
17.【答案】23,23⎡⎤-+⎣⎦．【解析】设222sin 22cos 2a a t a a θθ++=++，则22cos 2sin (1)(2)0,at a t a θθ-+-+=所以直线222(1)(2)0,atx ay t a -+-+=与圆221x y +=有公共点，从而有221(2)121t a a t -+≤+得2212222221t a a a at -≤≤=++于是2121t t -≤+，得2410t t -+≤得2323t +≥≥-18．【解析】(Ⅰ) ()4sin(2)1,6f x x π=+-.........3分设3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈解得2,.63k x k k Z ππππ+≤≤+∈所以函数()f x 的单调减区间为2,,.63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.........6分 函数()f x 的最大值为 3.M =.........8分（Ⅱ）(0,),B π∈Q 且当x B =时()f x 取得最大值，2,.626B B πππ∴+=∴=.........10分222292cos 323,1893,a c ac A a c ac ac ac ac =+-=+-≥-∴≤+.........12分等号当且仅当a c =时成立.111893sin .24ABC S ac B ac ∆+∴==≤ 所以ABC ∆面积的最大值为1893.+.........14分19．（Ⅰ）证明：Θ平面⊥ABCD 平面ABEF ,平面I ABCD 平面ABEF =AB ，AB CB ⊥,⊂CB 平面ABCD ， ⊥∴CB 平面ABEF ． ⊂AF Θ平面ABEF ， CB AF ⊥∴， 又Θ BF AF ⊥， ⊥∴AF 平面CBF ．⊂AF Θ平面ADF ，∴平面⊥DAF 平面CBF ．（Ⅱ）方法一：根据（Ⅰ）的证明，有⊥AF 平面CBF ，∴FB 为AB 在平面CBF 上的射影， 因此，ABF ∠为直线AB 与平面CBF 所成的角．EF AB //Θ，四边形ABEF 为等腰梯形，过点F 作AB FH ⊥，交AB 于H ．2=AB ,1=EF ，则212=-=EF AB AH ． 在AFB Rt ∆中，根据三角形相似（或射影定理）得AB AH AF ⋅=2，解得1=AF ．21sin ==∠AB AF ABF ． ∴直线AB 与平面CBF 所成角的大小为ο30．方法二：略20【解析】（Ⅰ）Θ()121--=n n a S ，∴()12111--=a S ，即()12111--=a a ∴311=a 当2n ≥时，()1121----=-=n n n n n a a S S a ，得311=-n n a a ，即{}n a 是等比数列；∴1()3n n a = ．（Ⅱ）证明： 11111331131311()1()33n n n n n n n c +++=+=++-+-111311311111131313131n n n n n n ++++--+=+=-+++-+- 1112()3131+=--+-n n ，由111111,313313n n n n ++<>+-得111111,313133n n n n ++-<-+- 所以1113112()2()313133＋++=-->---n n n n n c ，从而122231111111[2()][2()][2()]333333n n n n T c c c +=+++>--+--+--L L22311111112[()()()]333333n n n +=--+-++-L11112()2333n n n +=-->-．即123n T n >-．21、【解析】（1）由题意得：T （2，0），且GQ 是PT 的中垂线.∴.||||GT PG = 又62||||||||||==+=+PS GP GS GT GS ， ∴点G 的轨迹是以S 、T 为焦点的椭圆，2,6==c a∴G ∴==,2c -a b 22的轨迹C 的方程是.12622=+y x ⑵由题意得：E(-2，0），当直线l 的斜率存在时，设l ：()2+=x k y ，代入.12622=+y x 并整理得：2222(31)121260k x k x k +++-=，设1122(,) (,)M x y N x y ，， 则2212122212126, 3131k k x x x x k k -+=⋅=++,∴12MN x =-==，点O 到直线l的距离d =∵sin OMN OM ON MON S ⋅∠=⇒=V u u u u r u u u r ，而12OMN S MN d =⋅V，∴MN d ⋅==解得k =，此时: 2)m y x =+ ， 当直线l 的斜率不存在时，l ：2-=x，也有OMN S =V故直线l 的方程为 20 2x x +==-或22解：（Ⅰ） 令1()202f x x x-'=+=-，则22410x x -+=，12111x x ∴=<<= 显然，[]1,01∈x ，列表有：所以，()f x 在]1,0[上的“下确界”为 13()ln(12f x =+. ……………4分 （Ⅱ）①当102a <≤时，max ()(2)F x F =，min ()(1)F x F = ， 和谐度G (2)(1)32F F a =-=-； ②当1526a <≤时，max ()(2)F x F =，min ()(2)F x F a =， 和谐度G ()(2)44F a F a a =-=-； ③当516a <≤时， max ()(1)F x F =，min ()(2)F x F a =， 和谐度G ()(2)21F a F a =-=-； ④当312a <<时，max ()()F x F a = min ()(2)F x F = ， 和谐度G 2()(2)(2)F a F a =-=- ； ⑤当322a ≤≤时，max ()()F x F a =，min ()(1)F x F =， 和谐度G 2()(1)(1)F a F a =-=- ；⑥当2a >时， max ()(2)F x F =, min ()(1)F x F =， 和谐度G (2)(1)23F F a =-=-.综上所述：22132, 0<21544, 26521, 163(2), 123(1), 2223, 2a a a a a a G a a a a a a ⎧-≤⎪⎪⎪-<≤⎪⎪⎪-<≤⎪=⎨⎪-<≤⎪⎪⎪-<≤⎪⎪->⎪⎩………………10分（每一项得1分）（Ⅲ） 因为221(1)(,)11(1)(1)(1)(1)x y x y xy xy x y x y x y ϕ+++-==-≤++++， 当0xy =或1xy =时等号成立，所以(,)x y ϕ的最大值为1． ………………11分令(1),(1)(1)xy xy T t x y -==++2222(1)(1)(1),[0,1].1(1)1xy xy t t t t T t x y xy t t---=≤==∈+++++ 令2(1)()1t t g t t-=+，则223222((23)(1)()22()(1)(1)t t t t t t t t g t t t --+--'==++， 令()0g t '=，得12t -+=是()g t 的极大值点，也是()g t 的最大值点，()g t g ∴≤=，从而T ≤， 所以(,)1x y ϕ≥=………………13分当x y ==时等号成立，所以(,)x y ϕ的最小值为25513-． ………………14分由此G =………………………………15分。