《数学分析》第十一章广义积分共7页文档
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第十一章 广义积分（ 6 时 ）
问题的提出: 针对Riemann 积分的缺陷⑴要求积分区间有限;⑵被积函数有界再结合[1] P264两例. 广义积分亦称为Cauchy —Riemann 积分,或C —R 积分.
一. 无穷限广义积分: 1． 概念和几何意义：
定义 ⎰=A
a A F )(， ⎰+∞
-+∞=a
a F F f )()(.
几何意义:
例1 ⑴ 讨论积分 ⎰+∞
+021x dx , ⎰∞-+021x dx , ⎰+∞
∞-+21x
dx 的敛散性 . ⑵ 计算积分
⎰+∞++025
2x x dx
. 例 2 讨论以下积分的敛散性 :
⑴ ⎰+∞1p x
dx
; ⑵
⎰+∞
2)
(ln p x x dx
. 例3 讨论积分⎰+∞
a
xdx cos 的敛散性 .
2. 无穷积分的性质:
⑴)(x f 在区间) , [∞+a 上可积,k 为常数,则函数k )(x f 在区间
) , [∞+a 上可积,且⎰+∞
=a
k
dx x kf )(⎰+∞
a
dx x f )(.
⑵)(x f 和)(x g 在区间) , [∞+a 上可积⇒)(x f ±)(x g 在区间)
, [∞+a 上可积, 且⎰+∞
=
±a
g f )(⎰+∞
±a
f ⎰+∞
a
g .
⑶无穷积分收敛的Cauchy 准则: ( 翻译 . ,)(+∞→→A B A F )
Th 积分⎰+∞
a
dx x f )(收敛εε<⇒>'''∀∃>∀⇔⎰'
''
A A dx x f A A A A )( ,, , , 0 .
⑷绝对收敛与条件收敛: 定义概念.
绝对收敛⇒收敛,( 证 ) 但反之不确. 绝对型积分与非绝对型积分 .
3. 无穷积分判敛法:
非负函数无穷积分判敛法: 对非负函数,有)(A F ↗. 非负函数无穷积分敛散性记法.
⑴ 比较判敛法:设在区间 ) , [∞+a 上函数)(x f 和)(x g 非负且
)(x f ≤)(x g ，又对任何A >a ,)(x f 和)(x g 在区间 ] , [A a 上可积.则
⎰+∞
a
g < ∞+⇒
⎰+∞
a
f < ∞+；⎰+∞
a
f
=∞+⇒
⎰+∞
a
g =∞+. ( 证 )
例4 判断积分⎰+∞
++0
2
25)
1sin(dx x x 的敛散性. 比较原则的极限形式:设在区间 ) , [∞+a 上函数
0 , 0≥>f g ,c g
f
x =+∞
→lim
.则
ⅰ> 0< c < ∞+⇒
⎰+∞a
f 与 ⎰+∞
a
g 共敛散;
ⅱ> c =0⇒⎰+∞
a
g < ∞+时,
⎰+∞
a
f < ∞+；
ⅲ> c =∞+, ⇒ ⎰+∞
a
g = ∞+时,
⎰+∞
a
f
=∞+. ( 证 )
⑵ Cauchy 判敛法: ( 以
⎰+∞
1p x
dx
为比较对象, 即取)(x g =p x 1.以下a > 0 )
设对任何A >a , )(x f ∈],[A a C , 0≤)(x f ≤p x 1
且p 1>, ⇒
⎰+∞
a
f
<
∞+；
若)(x f ≥p x
1
且p 1≤, ⇒
⎰+∞
a
f
=∞+.
Cauchy 判敛法的极限形式:设)(x f 是在任何有限区间] , [A a 上可积的正值函数.且λ=+∞
→)(lim x f x p x . 则
ⅰ>
,0 , 1⇒+∞<≤>λp ⎰+∞
a f < ∞+；
ⅱ> ⇒+∞≤<≤ , 0 , 1λp
⎰+∞
a
f
=∞+. ( 证 )
例5 讨论以下无穷积分的敛散性 :
ⅰ> ⎰+∞
->0
);0( ,ααdx e x x
ⅱ> ⎰
+∞
+0
5
2.1
dx x x [1]P324 E6
Ex [1]P331—332 1，4，5. ⑶ 其他判敛法:
Abel 判敛法: 若)(x f 在区间) , [∞+a 上可积,)(x g 单调有界,则积分
⎰
+∞
a
dx x g x f )()(收敛.
Dirichlet 判敛法: 设⎰=A
a f A F )(在区间 ) , [∞+a 上有界，)(x g 在
) , [∞+a 上单调,且当+∞→x 时，)(x g 0→. 则积分⎰
+∞a
dx x g x f )()(收敛.
例6 讨论无穷积分⎰+∞
1sin dx x x p 与⎰+∞
1
cos dx x x
p
) 0 (>p 的敛散性. 例7 例
7 证明下列无穷积分收敛 , 且为条件收敛 :
⎰+∞
1
2
sin dx x , ⎰+∞
1
2
cos dx x , ⎰+∞
1
4sin dx x x .
例8 (乘积不可积的例) 设)(x f x
x sin =
, ∈x ) , 1 [∞+.由例6的结果,积
分
⎰+∞
1
)(dx x f 收敛.但积分⎰
+∞
1
)()(dx x f x f ⎰+∞
=1
2sin dx x x
却发散.( 参阅例6 )
Ex [1]P332 6 ⑴—⑶，18 . 二. 瑕积分: 先介绍函数的瑕点.
1. 瑕积分的定义: 以点b 为瑕点给出定义. 然后就点a 为瑕点、点),(b a c ∈为瑕点以及有多个瑕点的情况给出说明.
例9 判断积分⎰
-1
2
1x
dx 的敛散性 .