冯克勤：回忆做华罗庚研究生的日子

冯克勤：回忆做华罗庚研究生的日子

究生院要我为《研究生教育》写一篇文章，这使我回忆起自己做华罗庚老师研究生的那些难忘的日子。我愿意把它讲述给现在的年轻研究生们，并藉此寄托我对导师的怀念之情。

一

和中国的许多学生一样，我在孩童时期就对数学着了迷。我和妹妹只吵过一次架，而且我把她揍得很凶，那是因为在小学时她把我的数学习题本剪碎了，使我心疼至极而愤怒得失去控制。在天津一中上高二时，每个星期天中午不吃饭，跑到天津市图书馆去读华罗庚的《数论导引》。高三毕业时，中国科技大学招生人员来天津一中，说1958年我校上届学生朱滨考上科大，使天津一中的信誉很高，动员我们也考科大。我在招生手册中看到华罗庚给科大58级学生上课的一张照片，便马上报了名。大五年（1959—1964）的大学生活是难以忘怀的。那时的科大学生生活真正是“团结、紧张、严肃、活泼”。学校领导对我们的教导是：他们和先烈们创建了统一的新中国，我们的任务就是努力学好知识，把中国建成强大的国家。当时的祖国一派生机勃勃，年青人充满了单纯的理想。我在科大踏踏实实地念了五年数学。许多老科大人都知道科大数学系有三条“龙”，即华龙（华罗庚）、关龙（关肇直）和吴龙（吴文俊），我在大学前三年属于关龙，关肇直老师的课有一种高屋建瓴的气势，并富有哲理性。我也听过吴文俊先生的代数几何课，每次课一气呵成，条理清晰，思路敏捷。到了1962年，华罗庚要在我们班开设代数与数论专业，我成了这个专业的学生。当时教我们代数的是华罗庚、万哲先和曾肯成三位大家，教数论的是王元和吴方两名高手，辅导教员是谢盛刚和徐诚浩，在这样的教授手下学习真是令人振奋。1963年，吴方老师带我做大学毕业论文，题目是《椭圆内的整点问题》，那是把陈景润关于圆内整点的最新结果推广到椭圆上，曾经得到陈景润的亲自指点。文章作好后，华罗庚同意作为大学毕业论文，并发表在《科大校庆五周年论文集》中，这是我的第一篇学术论文。1964年毕业前夕，我考上了华罗庚的数论研究生。

二

华罗庚在60年代共招了11名研究生，他任科大副校长之后，把很大的精力放在科大培养学生。62年研究生为钟家庆、孙继广、曾宪立和陆洪文，63年为林秀鼎，64年为徐传宣、那吉生、贺祖琪、陈文德、裴定一和我。

我们分别学习华罗庚从事的三个重要研究方向：多复变函数论、代数学和数论。他给我定的方向是代数数论。40年代他本人在美国作过不少杰

。回国后于50年代培养了一批优秀的解析数论学生（陈景润、王元、越民义、吴方等）。

但他一直希望有人继续从事代数数论工作。这期间，他和王元正在从事数在积分近似计算中的应用的研究，考虑用分圆域的单位构作积分插值，减小高维积分的计算量并提高误差精度。我对代数和数论相交叉并有实际应用的这个研究领域非常合意。

华罗庚指导研究生的方针是以自学为主，指定要念的书，参加一些讨论班，并平均每两周和他谈一下学问。他要我念一本Landau的书：《代数数域上的解析方法》，要我念几篇文章，包括他和王元正在做的积分近似计算的文章初稿。参加他主持的一个“不等式”讨论班，大家共同讨论Bellman当时刚出版的一本关于不等式的书。参加讨论班的除了我们研究生，还有其他专业的科大教员，比如有作概率论的殷涌泉。在一个权威人士带领下，不同学科的人员共同讨论一个课题，是华罗庚从事研究和培养人材的十分显著的特点。

而且每个讨论班都有明确的长远目的。他组织“不等式”讨论班的目的是锻炼我们的基本功，更长远的想法是他想从事数理经济学的研究，不等式是一个重要工具。

这个讨论班给我的印象极为深刻。在讨论班第一次课上他说：“我叫你们念这本书是因为我不认为这本书写得很好”。他认为，用他精湛的矩阵技巧可以更系统地整理此书中许多矩阵不等式，归结于少数几个手段，使书中的内容看起来非常简单。这是他一贯倡导的“从薄到厚，又从厚到薄”读书方法的典型体现。

记得我在他这种不迷信前人的熏陶之下，改进了此书中的一个不等式，并且在某种意义下改进到最佳程度。听殷涌泉和当时华罗庚的秘书王柱对我讲，华对我的结果和方法颇为欣赏，但他并没有为此事当面夸奖过我。

他对学生的要求是非常严格的。他要我们干的事，都要定期有个交待，决不能抱有“他会忘记”的侥幸心理。每次见他之前，都抱着小心翼翼的敬畏的心情，不但在数学上作好准备，而且要想好如何答复他提出的问题。对于不满意的学生他会当众训斥（但是次数不多），但对符合心意的人，或者看到我们的成绩，他是由衷高兴的。这从严的要求使我终生受益匪浅，督促我学业不断进步，永不自满。

正是在1964年，张劲夫和郁文等有远见的中科院领导决定成立中科院研究生院，把在全国各所的研究生集中到北京中关村学习一年。我们一共分成四个班，大家的专业从数理化一直到考古学，我对这些五花八门的专业感到很新奇，大家相处很融洽。1965年，我去北京顺义县“四清”，然后就开始了“文化大革命”，所以，我的研究生学习只进行了不到一年。1968年10月，我们六位同班同学均被分配到北京之外，我被分配到山西太原公司在动力厂当电工。1973年5月回到已下迁合肥的科大，不久去北京随万哲先老师学习代数编码理论。万哲先老师组织我们几位举行代数数论讨论班，随后北大的聂灵沼、丁石孙先生也参加进来。于是时隔8年，我又重操旧业，继续华老师叫我从事的工作。1979—1981年，我去美国进修，学习了西方代数数论的新进展，直到今天，这仍是我的主要研究方向。

三

华罗庚老师于1985年6月12日在日本东京大学的讲台上猝然倒地，至今已经9年了。他对世界数学的杰出贡献是举世公认的。他的治学精神和对待人生的态度，则集中表达在他经常讲的名言警语之中。

他多次讲过“天才在于勤奋，聪明在于积累”。熟悉他经历的人都懂得这句话的份量。华罗庚于1910年11月12日出生在江苏省金坛县。父亲华瑞栋开代销店。华罗庚在金坛中学初中毕业后，

家里无力供他上高中，便帮助父亲经营小店。1928年，金坛发生流行瘟疫，他的母亲染病去世，他也卧床六个月未翻身，导致左腿残废。就在这时，留法回国的王维克在金坛中学教书，借书给华罗庚看（一本大里整理出足足四麻袋草稿纸！这些年来，我常把这个故事讲给年青人，希望他们不要只看到那个布袋，不要只看到他的成绩和荣誉，而那四个麻袋是他劳动和汗水的化身，才是他的真正价值。当前改革开放的形势为年青人创造了更多的机会，但也助长了某些人逃避艰苦的思想。我相信，任何一种真正的事业都是通过艰苦劳动得来的，我这种坚定的信念来源于华罗庚老师的榜样：尽管他是天才，他仍然勤奋了一生！

四

华罗庚非常强调基本功的重要性。首先，他舍得在基础知识上多花工夫，他说“在中学时，别人花一小时，我就花两小时。而到工作时，别人花一小时解决的问题，我有时就可能用更少的时间去解决了”。他多次对我们讲过，他花了整整两年去念了Weyl的《群表示论》一书，一直到他认为真正念懂了，并且化成了自己的语言—矩阵，然后作为工具研究多复变函数，写了《典型域上调和分析》一书。

“基本功要练成什么样呢？”他说“要练得很熟，熟了才能有所发明和发现，熟能生巧，在练基本功时最忌讳好高婺远，不要怕粗活，不要轻视点滴工作。轻视困难和惧怕困难是孪生兄弟，往往会出现在一个人身上，例如有人轻视复杂的计算，实际上是惧怕计算。我看见过不少青年，眼高手低，浅尝辄止，匆匆十年，一无成就。”他把练基本功比喻为练拳，要“拳不离手，曲不离口”。他鼓励年青人，做学问要勇于和强者较量。为此，他把“班门弄斧”这句成语反其道而行之，主张“弄斧必到班门”。只有和强者较量才能增长见识和做出高水平成果。

另一方面，他又强烈主张不迷信别人，“只是跟着别人的脚印走路，那就总要落后别人一步”，“在科学研究中最主要的精神之一是创新精神”。他多次对我们讲，要做出好的文章，关键是要有几手自己的“招路”和“拿手好戏”，别人都不如你，这样你才能做出新的东西，人家才注意你。