第十一章课件 趋势预测法-例题参考及作业 2

x x
i
运用算术平均法求平均数，有两种形式：
（1）以最后一年的每月平均值，或数年的每月平 均值，作为次年的每月预测值。
如果通过数年的时间序列显示，观察期资料并无显著 的长期升降趋势变动和季节变动时，就可以采用此方法。
(2)以观察期的每月平均值作为预测期对应月份 的预测值。
当时间序列资料在年度内变动显著，或呈季节性变化 时，如果用上一种方法求得预测值，其精确度难以保证。
在时间序列分析中，我们常常利用最小 平方法拟合直线趋势方程，直线趋势方程与 直线回归方程基本原理相同，只是直线回归 方程中的自变量x被时间变量t所取代，方程 中的两个待定系数也用同样的方法求得。 如果时间数列的一阶增长量（差分值） 大致相等，则可拟合直线趋势方程。

第二节约直线模型预测法
ˆ 直线预测模型为： y t a bt 直线预测模型的特点，是一阶差分为一常数：
年份 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 销售 248 253 257 260 266 270 279 285 量
第一步，分析观察期数据长期变动趋势，画数 据点的散布图
290 280 270 260 250 240 230 220
年 年 年 年 年 年 97 19 19 年 92 93 94 95 96 91 19 19 19 19 19 19 98 年
在95％的可靠程度下，2008年每 月预测值区间为335.7土1.96x2.78， 即在330.25—341.15千元之间。
ห้องสมุดไป่ตู้
可以看出，选择观察期的长短不同，预测值 也随之不同。所得预测值和实际销售值之间有差 异。如果差异过大就会使预测值失去意义，所以， 必须确定合理的误差。
用最小二乘法拟合直线趋势方程 最小平方法，又称最小二乘法。其方法 的计算依据是利用算术平均数的数学性质， 两条性质分别是： 1、各个变量值与平均数的离差之和等于零， 用表达式表示即； 2、各个变量值与平均数的离差平方之和为 最小值。 最小平方法的数学依据是实际值(观察值)与 理论值(趋势值)的离差平方和为最小。据此 来拟合回归方程或趋势方程。
这类预测方法是预测技术中比较简易的方法。 它个仅易懂、计算方便，而且也容易掌握。 常用的简易平均法有算术平均法、加权平均法 和几何平均法。
一、算术平均法
算术平均法，就是以观察期数据之和除以 求和时使用的数据个数(或资料期数)，求得 平均数。
n 式中： x — —平均数； xi — —观察期的资料，i为资料编号； n — —资料数或期限
248 49 253 25 257 9 260 1 266 1 270 9 279 25 285 49 ∑Y=2118 ∑t2=168
• • • • •
a=∑Y/n=2118/8=264.75 b=∑tY/∑t2 =434/168=2.58 第三步，利用预测模型进行预测值的计算 Y=a+bt=264.75+2.58t 1999年的数据序号为t=9则 Y1999=264.75+2.58×9=288
3636 ˆ a 404 9
ˆ 2092 34.87 b 60

所求直线预测模型为：yt 404 34.87t ˆ

3、预测 以 t 0 5 代入预测模型，则可预测2010年化纤 零售量为：
ˆ y1987 404 34.87 5 578 .35(万米)
②以四年的每月平均值335.7干元作为2008年的 每月预测值，标准差为：
S x1 B 2.78 4 1
2 2 B 333 .4 335 .7） 336 .5 335 .7） （ （ 2 2 333 .7 335 .7） 339 .2 335 .7） 23.18 （ （

ˆ ˆ ˆ y t y t y t 1 b
教材p234公式
直线趋势方程的简捷计算形式

如果时间序列有偶数项，则对称编号方 式：…，-5，-3，-1，1，3，5，… 如果时间序列有奇数项，则对称编号方 式：…，-2，-1，0，1，2，…

• 例题：已知某商店1991年—1998年某一种商品 销售量的统计数据如表，试预测1999年该商品 销售量。

常见的趋势线
y ab
y a bt
直线
t
y a bt ct 2
指数曲线 二次曲线
y a bt ct 2 dt 3
y k ab
三次曲线 修正指数曲线
t
y ka
龚柏兹曲线
bt
简易平均法，是将一定观察期内预测目标的时 间序列的各期数据加总后进行简单平均，以其 平均数作为预测期的预测值。 此法适用于静态情况的预测。
ˆ yt yt ( yt yt ) 2 ˆ
0.48 -2.39 -1.26 0.87 1 4.13 0.26 -0.61 -2.48 —— 0.2304 5.7121 1.5876 0.7569 1 17.0569 0.0676 0.3721 6.1504 32.934
16 9 4 1 0 1 4 9 16 60
2 （xi x ）
然后，计算某种可靠程度要求时的预测区间。
x tS x
①以2007年的月平均值339.2千元作为2008年 的每月预测值，标准差为：
A 3191 .68 S x1 17.03 12 1 11
在95%的可靠程度下，2008年每月预测区 间为339.2±1.96x17.03，即305.8—375.52千 元之间。
第十一章 时间序列趋势预测法

第一节 最小二乘法 第二节 直线模型预测法 第三节 多项式曲线模型预测法 第四节 指数曲线模型预测法
第五节 修正指数曲线模型预测法
第六节 成长曲线预测模型
时间序列预测法概念 时间序列(动态数列或时间数列)是指把历 史统计资料按时间顺序排列起来得到的一 组数据序列。例如，按月份排列的某种商 品的销售量；工农业总产值按年度顺序排 列起来的数据序列等等，都是时间序列 时间数列是以固定时间间隔（每小时、每 日、每周、每月、每季、每年等）为基础 的时间顺序的观察值
357
321 297 318 354
351
318 336 354 358
350
341 312 327 351
年合计
月平均
4001
333.4
4038
336.5
4003
333.7
4070
339.2
首先，用下列公式估计出预测标准差。 式中： S x
n 1 S x — —标准差 xi — —实际值 x — —预测值（平均数） n — —观察期数

最小二乘法介绍

这两条数学性质已证明过，我们把它们 应用到回归分析和趋势预测中来。回归分析 和时间序列趋势预测中，主要是为求得回归 方程或趋势方程，但在求得方程的参数时， 就要用到上面的两条数学性质。

a , b 估计参数的确定
a , b 估计参数的确定
参见教材p233
直线模型预测法
直线趋势延伸法的特点
• （1）直线趋势预测法仅适用于预测目标时间序列 呈现直线长期趋势变动情况。 • （2）它对时间序列资料一律同等看待，在拟合中 消除了季节、不规则、循环三类变动因素的影响 • （3）反映时间序列资料长期趋势的平均变动水平。 • （4）只要未来发展趋势大体上不会发生大起大落 的变化，继续遵循直线趋势发展变化的假设，那 么选用此法进行中长期预测既简便又有一定的可 靠性。
例：假设某商品最近四年的每月销售量如表5.1
所示，在95%的可靠程度下,预测2008年的每月 销售量。 ①如果以2007年的每月平均值作为2008年的每 月预测值； ②如果以2004—2007年的月平均值作为2008年 的月预测值。
表
月
1 2 3 4
年
2004 328
331 360 318
2005 330
324 348 360
2006 298
317 328 330
2007 335
321 346 363
某 商 品 年 销 售 额 及 平 均 值
单 位 ：
5.1
5
6 7
324
294 342
327
342 360
323
348 342
329
327 368
8
9 10 11 12
348
357 321 330 348
一般应选择奇数项进行移动平均；
若原数列呈周期变动，应选择现象的变动周
期作为移动的时距长度。
时间序列分析与预测－移动平均法
（3）移动平均值用于水平预测
分解长期趋势的目的之一，是为了对序列的未来趋 势发展做出预测。但由于移动平均值本身不能将趋势线 延长进行外推预测，因而只适合对水平序列做一期的趋 势外推预测，即以本期移动平均值 M t ，作为下期趋势 预测值，公式为：
奇数项移动平均:
原数列 移动平均 新数列
t1
t2
t3
t4
t5
t6
t7
t1 t 2 t3 t2 t3 t4 t3 t4 t5 t4 t5 t6 t5 t6 t7 3 3 3 3 3
t2
t3
t4
t5
t6
时间序列分析与预测－移动平均法
（2）移动项数（时距）的确定
yt
265 297 333 370 405 443 474 508 541 3636
tyt
-1060 -891 -666 -370 0 443 948 1524 2164 2092
t
2
ˆ yt
264.52 299.39 334.26 369.13 404.00 438.87 473.74 508.61 543.48 3636
一阶差分 ——

解：1、选择预测模型 计算序列的一阶差分，列于表中，从计算结果 可以看出，一阶差分大体接近。因此，可配合直线 预测模型来预测。 2、建立直线预测模型 根据资料列表计算有关数据。
某市化纤零售量直线预测模型最小平方法计算表
年份 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 总和 t -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 0
例2 某市2001—2009年化纤零售量如表所示， 试预测2010年化纤零售量。

某市化纤零售量及其一阶差分
265 297 32 333 36 370 37 405 35
单位：万米
443 38 474 31 508 34 541 33
年份 零售量
2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009
97-3
时间序列预测法的概念
时间序列预测法通常又分为简单平均 法、移动平均法、指数平滑法、趋势 外推法、季节分析法和生命周期法等 多种方法，我们主要学习几种常见的 时间序列的模式和常用的时间序列预 测方法
97-4
应用趋势预测法有两个假设前提： （1）决定过去预测目标发展的因素，在很 大程度上仍将决定其未来的发展； （2）预测目标发展过程一般是渐进变化， 而不是跳跃式变化。
销售量
年份
根据图，我们可以观察出其长期趋势基本上呈直线趋势，它的 预测模型为Y=a+bt 第二步，根据已知的y和t来求a和b
年度
1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 合计
序号 t -7 -5 -3 -1 1 3 5 7 ∑t=0
销售量Y
t2
t*Y
-1736 -1265 -771 -260 266 810 1395 1995 ∑tY=434
时间序列分析与预测－移动平均法
（1）定义
对时间数列的各项数值，按照一定的时距进行逐 期移动，计算出一系列序时平均数，形成一个派生的 平均数时间数列，以此削弱不规则变动的影响，显示 出原数列的长期趋势。 一次移动平均法适用于预测目标的时间序列长期趋 势表现为基本平稳状态的情况的预测，它是以一组观 察序列数据的平均值作为下一期的预测值的预测法。
ˆ Y
t 1
M t (Y t Y t 1 Y t 2 Y t N 1) / N
97-2
时间序列预测法概念
时间序列预测法(历史延伸法或趋势外推法)是将 预测目标的历史数据按时间的顺序排列成为时 间序列，然后分析它随时间变化的发展趋势， 外推预测目标的未来值 也就是说，时间序列预测法将影响预测目标的 一切因素都由 “ 时间 ” 综合起来加以描述 因此，时间序列预测法主要用于分析影响事物 的主要因素比较困难或相关变量资料难以得到 的情况，预测时先要进行时间序列的模式分析