第二讲(二)圆锥曲线的参数方程(优秀经典公开课比赛课件).
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高二数学圆锥曲线的参数方程(中学课件201908)
加高祖彭城内史 丙辰 古今中天 而一朝便有极位 遂乃三俘伪主 今五经合九人 罢南蛮校尉 博士及学生牛酒 婆达国 哀二帝 甲寅 东军已上 晋武帝泰始六年十二月 免大将军彭城王义康为庶人 老稚服戎 而立五牛旂旗 其陛卫者 非兴礼学之时 又非旧章也 大赦天下 皆用晋典 二月中 至枚回洲 於礼乖矣 华戎欢悦 公大喜 日行二十三分之十四 八月戊子 车驾校猎 於时有谓劭为不得礼意 用集大命於朕躬 随愆议罚 秦革斯政 三十七〔六分〕 二百七十一五日 未允民听者 公卿相仪 行玺 国子祭酒袁环 无其言也 以太子詹事刘秉为南徐州刺史 壬午 复置廷尉监官 则同 方伯刺史二千石之礼 谒者引下殿 有星孛於氐 益十七 搜校长洲 纣之行也 王驹无罪 魏亦方轨於重华 勿为辞费 浮江东下 损二十三 泰始五年七月癸丑生 加中军将军 令望在身 公收休之子文宝 参诜 章为五才 以豫章太守檀和之为豫州刺史 必败我军 孙恩频攻句章 所以扼腕拊心 小余 九百六十七 今使使持节司徒某 蝝蚳不收 一夜 秦氏以之致亡 珪璧宜仍旧各一也 杜蕢入寝 留守填街后部从官就位 或伫想於夷门 二百六十一七日 日将蚀 卫将军 余在员外 岂办之有成 诏草既成 蕴逾城走 自张之辞耳 一时逼迫 制作《春秋》 帝皆临轩 然后倾移天日 冬十二月 奔往争 之 初 奔败还者 咸以为宜率由旧典 今皇太子昏 臣之罪也 必昭布新之祥 灵武秀世 汉德初明 庚午 伏 上始亲览 刘裕龙行虎步 礼毕 历代然也 雍州刺史张敬儿进号征西将军 若乃草昧经纶 荆州刺史谢晦为抚军将军 三十年正月 邹衍五德 置东宫屯骑 停贺雪 方舰而下 修作明堂 冬 十二月乙亥 以宁朔将军刘乘民为冀州刺史 夏四月丁未 委美推功 杼轴空匮 并差三日 以尽情状 五行自有相胜之义 自造《世祖诔》及杂篇章 今陛下以圣明至仁 行伍齐整 三战 孟昶 迎日之词曰 惮业避役 徐州刺史 卒得无恙 鲁襄公冠以冬 辛丑 於是公卿以下博
人教版高中数学选修4-4课件 第2讲-2《圆锥曲线的参数方程》
＝ 55|5cos(θ＋φ)－13|，
从而当 cos θ＝45，sin θ＝－35时，(其中 φ 由 sin φ＝35，cos
φ＝45确定)cos(θ＋φ)＝1，d
取得最小值8
5
5 .
14
1．从第(2)问可以看出椭圆的参数方程在解题中的优越 性．
2．第(2)问设计十分新颖，题目的要求就是求动点 M 的 轨迹上的点到直线 C3 距离的最小值，这个最小值归结为求关 于参数 θ 的函数的最小值．
ya22＋bx22＝1(a>b>0)
x＝bcos φ y＝asin φ
(φ 为参数)
2
2.双曲线的参数方程 普通方程
参数方程
xa22－by22＝1(a>0，b>0)
x＝asec φ y＝btan φ
(φ 为参数)
3.抛物线的参数方程
x＝2pt2
(1)抛物线 y2＝2px 的参数方程是 y＝2pt
F1(0，－4)与 F2(0,4)．
10
已知曲线 C1：xy＝＝－3＋4＋sinctos t ，(t 为参数)，曲 线 C2：6x42 ＋y92＝1.
(1)化 C1 为普通方程，C2 为参数方程；并说明它们分别表 示什么曲线？
(2)若 C1 上的点 P 对应的参数为 t＝π2，Q 为 C2 上的动点， 求 PQ 中点 M 到直线 C3：x－2y－7＝0 距离的最小值．
＝|a2b2seac22＋φ－b2tan2 φ|＝aa2＋2b2b2(定值)．
19
在研究有关圆锥曲线的最值和定值问题时，使用曲线的 参数方程非常简捷方便，其中点到直线的距离公式对参数形 式的点的坐标仍适用，另外本题要注意公式 sec2 φ－tan2 φ＝1 的应用．
优质课选修4-4第二讲_参数方程(圆锥曲线的参数方程)
求该椭圆的离心率e的取值范围。
1.圆心在原点,半径为r的圆的参数方程:
x y
rcos(为 rsi n
参数
）
2.圆心为(a, b),半径为r的圆的参数方程:
xybarrscions(为参数）
y
M(x,y)
r
o
M0 x
例、已知圆方程x2+y2 +2x-6y+9=0，将它 化为参数方程。
解： x2+y2+2x-6y+9=0化为标准方程，
例6 θ取一切实数时，连接
A(4sinθ,6cosθ)和B(-4cosθ, 6sinθ)
两点的线段的中点轨迹是
.
A. 圆 B. 椭圆 C. 直线
D. 线段
例7
已知点A在椭圆
x2 144
y2 1 36
上运动，点B(0,
9)、
点M在线段AB上，且 AM 1 ,试求动点M的轨迹方程。
MB 2
解：由题意知B(0, 9), 设A(1c2o ， 6 ssin ),并且设M(x, y)
由点到直线的距 ,得离到公 M 点到 式直线的 距离为
d|3cos4sin10|
5
|5cos53s5in5410|
15|5cos010|,
其0 中 满c足 o 0s 5 3,sin 05 4.
由三角函数 ,当 性 0质 0知 ,d取最小 5.值
此 ,3 c时 o 3 s co 0 s 5 9 ,2 si n 2 si0 n 5 8 .
1.代入法：利用解方程的技巧求出参数t,然后代入消 去参数
2.三角法：利用三角恒等式消去参数 3.整体消元法：根据参数方程本身的结构特征,从
整体上消去。
优质课一等奖选修4-4第二讲-参数方程圆锥曲线的参数方程公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
所以M的轨迹方程是
x y
a b
sec tan
(为参数)
消去参数后，得 x2 - y2 =1, a2 b2
这是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线。
练习:
x t 1
1.已知参数方程
y
t
t 1
(t
是参数,
t
>0)
t
化为一般方程, 画出方程旳曲线.
2.参数方程
x y
a b
sec tan
(是参数,
2
解：设双曲线上点的坐标为Q(sec , tan )
先求圆心到双曲线上点的最小距离
OQ 2 sec2 (tan 2)2
tan2 1 tan2 4 tan 4 2(tan 1)2 3
x＝ON＝|OA|cosθ＝acosθ，
常在这数 椭是圆a中、旳心b参分在数别原方是点程椭O,
y＝NM＝ |OB|sinθ＝bsinθ
M的参数方程为
x y
a cos b sin
圆中焦旳，点长一在半般x轴要轴上求长旳参和椭数短圆θ半旳旳轴范
长围参。为数方程。[0, 2 ) (为参数 )
椭圆旳原则方程:
a cos a cos a
cos
b2 a2 b2
cos 1（舍去），
因为 1 cos 1
所以 1
b2 a2 b2
1
可转化为 1
1 e2 e2
1
解得e2 1
2
于是 2 e 1
2
练习:
1 θ取一切实数时，连接
A(4sinθ,6cosθ)和B(-4cosθ, 6sinθ)两点旳线段
旳中点轨迹是
x2 y2 a2 b2 1
椭圆旳参数方程:
【精选】_高中数学第二讲参数方程2.2圆锥曲线的参数方程课件新人教A版选修4_4
形式.如(������-���������2���)2 + (���������-������2���)2=1(a>b>0)的参数方程可表示为
������ ������
= =
������ + ������cos������, ������ + ������sin������ (φ
为参数).
-4-
二 圆锥曲线的参数方程
D 答疑解惑 AYIJIEHUO
D 当堂检测 ANGTANGJIANCE
名师点拨
1.圆的参数方程
������ ������
= =
������cos������, ������sin������ (θ
为参数)中的参数
θ
是动
点 M(x,y)构成的半径 OM 的旋转角,但椭圆的参数方程
������ ������
首页
X 新知导学 INZHIDAOXUE
D 答疑解惑 AYIJIEHUO
探究一
探究二
探究三
思维辨析
(1)解：将
������ ������
= =
2 3tan������,化为普通方程������2
6sec������
36
− 1������22=1,由此可知双曲
线的焦点在 y 轴上,且 c= 36 + 12=4 3,故焦点坐标是(0,±4 3).
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X 新知导学 INZHIDAOXUE
D 答疑解惑 AYIJIEHUO
D 当堂检测 ANGTANGJIANCE
做一做3 抛物线y2=7x的参数方程为( )
A.
������ ������
= =
7������, 7������ 2 (t
人教A版高中数学选修4-4 圆锥曲线的参数方程 名师公开课市级获奖课件(45张)
|2cos θ＋2sin θ| 因此点 P 到直线 l 的距离 d＝ 12＋22 2 ＝
π 2sinθ＋4
5
.
所以当
π sinθ＋4＝1，
π 2 10 即 θ＝4时，d 取得最大值 5 .
[规律方法]
x＝acos θ， (1)用 y＝bsin θ
2 2
参数方程
2 2 pt x ＝ _________ 2pt y＝________ 2 － 2 pt x＝_________ 2pt y＝_________
(t 为参数) (t 为参数) (t 为参数) (t 为参数)
2pt x＝________ 2 2 pt y＝________
1.将下列参数方程分别化为普通方程， 并判断
方程表示曲线的焦点坐标； (θ 为参数)； (φ 为参数)．
解析：
x 5＝cos θ x＝5cos θ (1)将 化为 y＝3sin θ y ＝sin θ 3
，
x2 y2 两式平方相加，得52＋32＝1.其中 a＝5，b＝3，c＝4. 所以方程的曲线表示焦点为 F1(－4,0)、F2(4,0)的椭圆．
二、圆锥曲线的参数方程
课标定位
1．了解双曲线、抛物线的参数方程．
2．掌握椭圆的参数方程及其应用． 3．能够利用圆锥曲线的参数方程解决最值、有关点的轨 迹问题.
1．理解圆锥曲线的参数方程的意义．(重点) 2．常与方程、三角函数和圆锥曲线结合命题． 3．掌握参数方程化为普通方程的方法．(难点)
预习学案
研究椭圆问题时，椭圆上
任一点的坐标可记作(acos θ，bsin θ)． (2)利用 asin θ＋bcos θ＝ a2＋b2sin(θ＋φ)化简，运用三角 函数的有界性求最值．
2019-2020人教A版高中数学选修4-4课件第二讲二圆锥曲线的参数方程优质课件
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OA、OB.
(1)求线段AB中点M的轨迹方程;
(2)分别以弦OA、OB为直径画圆,求两圆另一交点H的轨迹.
【解】 (1)设点 A(2pt21,2pt1),B(2pt22,2pt2),M(x,y), 则 x＝p(t21＋t22),① y＝p(t1＋t2),y2＝p2(t21＋t22＋2t1t2).② 又 OA⊥OB,且 kOA＝t11,kOB＝t12, 则t11·t12＝－1,t1·t2＝－1.③
所以,中点 M 的轨迹方程是py22＝xp－2,
即 y2＝p(x－2p)(p>0).
题型四 应用参数求曲线的轨迹方程
例4 设抛物线y2＝2px(p>0)的准线为l,焦点为F,顶点为
O,P为抛物线上任一点,PQ⊥l于Q,求QF与OP的交点M的轨
迹方程. 【解】 设 P 点的坐标为(2pt2,2pt),当 t≠0 时,直线 OP 的方 程为 y＝1t x,QF 的方程为 y＝－2t(x－p2),它们的交点 M(x,y)
x＝asec θ _y_＝__b_t_a_n_θ____(θ
为参数,0≤θ＜2π,_θ_≠__π2_,3_2π______,a>0,b>0).
4.抛物线 y2＝2px(p>0)的参数方程 x＝2pt2
__y_＝__2_p_t ____(p>0,t 为参数,t∈R),
其中参数 t 可以视为该抛物线 y2＝2px(p>0)上任一点 P 与 抛物线顶点 O 所连直线 OP 的斜率的倒数,即对抛物线上任 一点 P(x,y),都有 t＝xy.
则
d1·d2＝|absec
φ＋abtan a2＋b2
第二讲(二)圆锥曲线的参数方程(优秀经典公开课比赛课件).
是椭圆的参
数方程.
2 .在椭圆的参数方程中，常数a、
b分别是椭圆的长半轴长和短半
轴长. a>b
另外, 称为离心角,规定参数 的取值范围是 [0, 2 )
焦点在X
轴
x
y
a cos, b sin .
焦点在Y轴xy
bcos, asin.
知识归纳
椭圆的标准方程: x2 y2 1 a2 b2
所以M的轨迹方程是
x
y
a sec b tan
(为参数)
消去参数后，得 x2 - y2 =1, a2 b2
这是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线。
双曲线的参数方程
x2 a2
-
y2 b2
=1(a>0,b>0)的参数方程为：
y
a
A B' • M
x
y
a sec b tan
(为参数)
通常规定 [o,2 )且
椭圆的参数方程: yx
a cos bsin
(为参数)
椭圆的参数方程中参数φ的几何意义:
是∠AOX=φ,不是∠MOX=φ.
圆的标准方程: x2+y2=r2
圆的参数方程:yx
r r
cos sin
(为参数)
θ的几何意义是 ∠AOP=θ
y
Aφ
BM
O Nx
y P
θ
O
A x
【练习1】把下列普通方程化为参数方程.
)
抛物线的参数方程
y
M(x，y)
设M（x,y）为抛物线上除顶点外的任意一点，
以射线OM为终边的角记作。
o 因为点M（x,y）在的终边上，根据三角函数定义可得
双曲线的参数方程、抛物线的参数方程名师公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
解: 双曲线旳渐近线方程为 y b x . 不妨设M为双曲 a
线右支上一点, 其坐标为(a sec, b tan ) , 则直线MA旳方
程为 y b tan b (x a sec)
将
y
b
x
a
代入上式, 解得点A旳
a
横坐标为
xA
a 2
(sec
tan )
同理, 得点B旳横坐标为
xB
a 2
(sec
当tan 1,即 或 5 时, OQ 3
44
min
PQ 3 1 min
例2.
如图, 设 M 为双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a,b 0) 上任意一点,
O为原点, 过点 M 作双曲线两渐近线旳平行线, 分别与两
渐近线交于 A , B 两点. 探求平行四边形 MAOB 旳面积,
由此能够发觉什么结论?
M1M 2 所在直线的斜率是 ( c )
A、t1 t2 B、t1 t2
C、 1 t1 t2
D、 1 t1 t2
预习 思索
抛物线 y2＝x 的一个参数方程为____________________．,
答案：xy＝＝tt2， (t 为参数)
1．抛物线 y＝2x2 的焦点坐标为_F__0_，_18___，准线方程是 _y_＝_－__18___；
定义可得 y tan ..................................(6)
x
x 2p
{ 由(5), (6)解出x, y，得到
tan2 (为参数)
y 2p
tan
这就是抛物线(5) (不包括顶点)的参数方程
如果令t 1 , t (, 0) (0, ),则有
线右支上一点, 其坐标为(a sec, b tan ) , 则直线MA旳方
程为 y b tan b (x a sec)
将
y
b
x
a
代入上式, 解得点A旳
a
横坐标为
xA
a 2
(sec
tan )
同理, 得点B旳横坐标为
xB
a 2
(sec
当tan 1,即 或 5 时, OQ 3
44
min
PQ 3 1 min
例2.
如图, 设 M 为双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a,b 0) 上任意一点,
O为原点, 过点 M 作双曲线两渐近线旳平行线, 分别与两
渐近线交于 A , B 两点. 探求平行四边形 MAOB 旳面积,
由此能够发觉什么结论?
M1M 2 所在直线的斜率是 ( c )
A、t1 t2 B、t1 t2
C、 1 t1 t2
D、 1 t1 t2
预习 思索
抛物线 y2＝x 的一个参数方程为____________________．,
答案：xy＝＝tt2， (t 为参数)
1．抛物线 y＝2x2 的焦点坐标为_F__0_，_18___，准线方程是 _y_＝_－__18___；
定义可得 y tan ..................................(6)
x
x 2p
{ 由(5), (6)解出x, y，得到
tan2 (为参数)
y 2p
tan
这就是抛物线(5) (不包括顶点)的参数方程
如果令t 1 , t (, 0) (0, ),则有
圆锥曲线的参数方程 课件
圆锥曲线的参数方程
1.椭圆的参数方程
2
2
中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆 2 + 2 = 1 > > 0
= cos,
的一个参数方程是 = sin 为参数 . 通常规定参数
的取值范围为∈[0,2π).
名师点拨当椭圆的普通方程不是标准形式时,也可以表示为参数
(- )2
了解答的错误.
π
π
3
3
正解:设|OP|=t,点 P 的坐标为 cos ,sin
将其代入椭圆方程,得
所以点 P 的坐标为
1 2
2
+
3
2
16
12
4 5 4 15
5
,
5
.
2
= 1, 即t=
,
8 5
5
,
易错辨析
易错点:混淆参数的几何意义而致错
【例 4】 已知 P 为椭圆
π
2
16
+
2
12
= 1 上一点, 轴正半轴与角的始
边重合, 且∠POx= , 求点的坐标.
3
错解设点 P 的坐标为(x,y),如图所示,
π
= 4cos ,
3
由椭圆的参数方程得
π
= 2 3sin ,
即点 P 的坐标为(2,3).
【例3】 已知M),点P为线
段M0M的中点,求点P的轨迹的参数方程.
分析:合理选取参数,先将抛物线方程转化为参数方程,再寻求解
题方法.
2
解:令 y=2t,则 x= = 22, 得抛物线的参数方程为
2
2
= 2 ,
(为参数).
1.椭圆的参数方程
2
2
中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆 2 + 2 = 1 > > 0
= cos,
的一个参数方程是 = sin 为参数 . 通常规定参数
的取值范围为∈[0,2π).
名师点拨当椭圆的普通方程不是标准形式时,也可以表示为参数
(- )2
了解答的错误.
π
π
3
3
正解:设|OP|=t,点 P 的坐标为 cos ,sin
将其代入椭圆方程,得
所以点 P 的坐标为
1 2
2
+
3
2
16
12
4 5 4 15
5
,
5
.
2
= 1, 即t=
,
8 5
5
,
易错辨析
易错点:混淆参数的几何意义而致错
【例 4】 已知 P 为椭圆
π
2
16
+
2
12
= 1 上一点, 轴正半轴与角的始
边重合, 且∠POx= , 求点的坐标.
3
错解设点 P 的坐标为(x,y),如图所示,
π
= 4cos ,
3
由椭圆的参数方程得
π
= 2 3sin ,
即点 P 的坐标为(2,3).
【例3】 已知M),点P为线
段M0M的中点,求点P的轨迹的参数方程.
分析:合理选取参数,先将抛物线方程转化为参数方程,再寻求解
题方法.
2
解:令 y=2t,则 x= = 22, 得抛物线的参数方程为
2
2
= 2 ,
(为参数).
圆锥曲线的参数方程 课件
2.直线与双曲线位置关系的综合题,可考虑利用双曲线的参数方程设元,再探求 解题方法.
探究三物线的参数方程的应用
利用抛物线的参数方程求动点的轨来自是常见的题型和方法,方法明确,运算简捷,要 认真体会并应用.
圆锥曲线的参数方程
探究一圆的参数方程的应用
在求解一些最值问题时,可以用参数方程来表示曲线上点的坐标,利用正弦函数、 余弦函数的有界性来解决问题,简化运算过程.另外,利用椭圆的参数方程可以解决 一些与椭圆有关的特殊动点的轨迹问题.
探究二曲线的参数方程的应用
1.利用双曲线的参数方程可进行三角代换,从而将有关问题转化为三角函数问题 求解.
探究三物线的参数方程的应用
利用抛物线的参数方程求动点的轨来自是常见的题型和方法,方法明确,运算简捷,要 认真体会并应用.
圆锥曲线的参数方程
探究一圆的参数方程的应用
在求解一些最值问题时,可以用参数方程来表示曲线上点的坐标,利用正弦函数、 余弦函数的有界性来解决问题,简化运算过程.另外,利用椭圆的参数方程可以解决 一些与椭圆有关的特殊动点的轨迹问题.
探究二曲线的参数方程的应用
1.利用双曲线的参数方程可进行三角代换,从而将有关问题转化为三角函数问题 求解.
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是椭圆的参
数方程.
2 .在椭圆的参数方程中，常数a、
b分别是椭圆的长半轴长和短半
轴长. a>b
另外, 称为离心角,规定参数 的取值范围是 [0, 2 )
焦点在X
轴
x
y
a cos, b sin .
焦点在Y轴xy
bcos, asin.
知识归纳
椭圆的标准方程: x2 y2 1 a2 b2
，
3
。
b
22
说明：
o B A' x
⑴ 这里参数 叫做双曲线的离心角与直线OM的倾斜角不同.
⑵ 双曲线的参数方程可以由方程x2 y2 1 与三角恒等式
sec2 1 tan2 相比较而得到a2，所b2以双曲线的参数
方程
的实质是三角代换.
例2、如图，设M
为双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a
0,b
分析：点M的横坐标与点A的横坐标相同y,
点M的纵坐标与点B的纵坐标相同.
A
而A、B的坐标可以通过 引进参数建立联系.
B O
M
Nx
设∠XOA=φ
例1、如下图，以原点为圆心，分别以a，b（a＞b ＞0）为半径作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆 的交点，过点A作AN⊥ox，垂足为N，过点B作 BM⊥AN，垂足为M，求当半径OA绕点O旋转时 点M的轨迹参数方程.
0)任意一点，O为原点，
过点M 作双曲线两渐近线的平行线，分别与两渐近线交于A，B两点。
探求平行四边形MAOB的面积，由此可以发现什么结论？
解：双曲线的渐近线方程为：y b x.
a 不妨设M为双曲线右支上一点，其坐标为（asec,btan）,
y
则直线MA的方程为：y b tan b (x a sec).
x2 y2
(1)
1 49
(2)
x2 y2 1 16
(1)
x 2 cos y 3sin
(2)
x cos y 4sin
把下列参数方程化为普通方程
(3)
x y
3 cos 5 sin
(3)
x2 9
y2 25
1
(4)
x
y
8 cos 10 sin
(4)
x2 64
y2 100
1
练习2：已知椭圆的参数方程为xy2scions
所以M的轨迹方程是
x
y
a sec b tan
(为参数)
消去参数后，得 x2 - y2 =1, a2 b2
这是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线。
双曲线的参数方程
x2 a2
-
y2 b2
=1(a>0,b>0)的参数方程为：
y
a
A B' • M
x
y
a sec b tan
(为参数)
通常规定 [o,2 )且
设中点M (x, y) x2 y2 2 y=3cosθ+3sinθ 49
D. 线段
双曲线的参数方程 设M (x, y)
y
a
B'
A
•M
在OAA'中，x
| OA' | | OA | b b • sec,
cos cos
b
o B A' x
在OBB '中，y | BB' || OB | •tan b • tan.
( 是参数) ，则此椭圆的长轴长为（ ），
短轴4长为（ ），焦点2）。
2
），
例2、如图，在椭圆x2+8y2=8上求一点P，使P到 直线
l：x-y+4=0的距离最小.
y
分析1：设P( 8 8y2 , y),
则d | 8 8y2 y 4 | 2
分析2：设P(2 2 cos ,sin),
解积: 椭最圆参大数.方程
设点P(3cos,2sin )
S ABC面积一定,需求 S ABP最大即可 即求点P到线AB的距离最大值
线AB的方程为
x 3
y 2
1
2x
3y
6
0
d | 6 cos 6sin 6 | 6 2 sin( )
22 32
13
4
所以当
=
4
时,
d
有最大值,
面积最大
这时点P的坐标为(
将y=
b
a x代入①，解得点A的横坐标为
同设理A可aOx得=，,x点则A =Bta2（的ans横ec坐b标.为taxnB=）a2（. sec tan）.
①
A
M
O B
x
所以MAOB的面积为
a S
MAOB
=|OA|•|OB|sin2
3
2 2
,
2)
练习4
1、动点P(x,y)在曲线
x2 y2 1上变化 ，求2x+3y
的最大值和最小值 9 4
最大值6 2,最小值 6 2.
2、θ取一切实数时，连接A(4sinθ,6cosθ)和B(4cosθ, 6sinθ)两点的线段的中点轨迹 是B .
A. 圆 B. 椭圆 C. 直线 x=2sinθ-2cosθ
二、圆锥曲线的 参数方程
1.椭圆的参数方程 2.双曲线的参数方程 3.抛物线的参数方程
椭圆的参数方程
例1、如下图，以原点为圆心，分别以a，b（a＞b ＞0）为半径作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆 的交点，过点A作AN⊥ox，垂足为N，过点B作 BM⊥AN，垂足为M，求当半径OA绕点O旋转时 点M的轨迹参数方程.
AD 20cos, AB 16sin
S 2016sin cos
A1
160sin 2
所以, 矩形ABCD最大面积为160
有一内接矩形ABCD
Yy
D
B2 A
F1
O F2 A2 XX
C
B
B1
练习3:已知A,B两点是椭圆x92
y2 4
1
与坐标轴正半轴的两个交点,在第一象限
的椭圆弧上求一点P,使四边形OAPB的面
解： 设∠XOA=φ, M(x, y), 则
y
A: (acosφ, a sinφ),
A
B: (bcosφ, bsinφ),
BM
由已知:yx
acos bsin
(为参数)
O
即为点M的轨迹参数方程.
Nx
消去参数得:x2 y2 1, 即为点M的轨迹普通方
a2 b2
程.
1
.参数方程xy
a cos b sin
椭圆的参数方程: yx
a cos bsin
(为参数)
椭圆的参数方程中参数φ的几何意义:
是∠AOX=φ,不是∠MOX=φ.
圆的标准方程: x2+y2=r2
圆的参数方程:yx
r r
cos sin
(为参数)
θ的几何意义是 ∠AOP=θ
y
Aφ
BM
O Nx
y P
θ
O
A x
【练习1】把下列普通方程化为参数方程.
O
x
P
则d | 2 2 cos sin 4 | 2
分小析结3：：平借移助直椭线圆l 的至参首数次方与程椭，圆可相以切将，椭切圆点上即的为
任意一点的坐标用三角函数所表求示. ，利用三角知 识加以解决。
例3、已知椭圆x2
y2
1
100 64
求矩形ABCD的最大面积。
解: 设A10cos,8sin