三等分角帕普斯函数( 答案)

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通用版2019年中考数学冲刺：阅读理解型问题(提高)

中考冲刺：阅读理解型问题(提高)一、选择题1. （2016•绍兴）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（）A．84 B．336 C．510 D．13262．任何一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝s×t(s、t是正整数，且s≤t)，如果p×q在n的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，并规定：．例如18可以分解成1×18，2×9，3×6这三种，这时就有．给出下列关于F(n)的说法：(1)；(2)；(3)F(27)＝3；(4)若n 是一个完全平方数，则F(n)＝1．其中正确说法的个数是( )．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题3．阅读下列题目的解题过程：已知a、b、c为△ABC的三边长，且满足，试判断△ABC的形状．解：∵，(A)∴， (B)∴，(C)∴△ABC是直角三角形．问：(1)上述解题过程中，从哪一步开始出现错误？请写出该错误步骤的代号：________________．(2)错误的原因为：________________________．(3)本题的正确结论为：____________________．4．（2016•高县一模）如图1，E为矩形ABCD边AD上一点，点P从点B沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q从点B沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/s．若点P，Q同时开始运动，设运动时间为t（s），△BPQ的面积为y（cm2）．已知y与t的函数关系图象如图2，有下列四个结论：①AE=6cm；②sin∠EBC=；③当0＜t≤10时，y=t2；④当t=12s时，△PBQ是等腰三角形．其中正确结论的序号是__________________．三、解答题5．已知p2-p-1=0,1-q-q2=0,且pq≠1，求的值.解：由p2-p-1=0及1-q-q2=0,可知p≠0,q≠0又∵pq≠1,∴∴1-q-q2=0可变形为的特征所以p与是方程x2-x-1=0的两个不相等的实数根则根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答.已知：2m2-5m-1=0,,且m≠n，求：的值.6. （市北区二模）【阅读材料】完成一件事有两类不同的方案，在第一类方案中有m种不同的方法，在第二类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法，这是分类加法计数原理；完成一件事需要两个步骤，做第一步有m种不同的方法，做第二步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法，这就是分步乘法计数原理．【问题探究】完成沿图1的街道从A点出发向B点行进这件事（规定必须向北走，或向东走），会有多少种不同的走法？（1）根据材料中的原理，从A点到M点的走法共有（1+1）=2种．从A点到C点的走法：①从A点先到N点再到C点有1种；②从A点先到M点再到C点有2种，所以共有（1+2）=3种走法．依次下去，请求出从A点出发到达其余交叉点的走法数，将数字填入图2的空圆中，并回答从A点出发到B 点的走法共有多少种？（2）运用适当的原理和方法，算出如果直接从C点出发到达B点，共有多少种走法？请仿照图2画图说明．【问题深入】（3）在以上探究的问题中，现由于交叉点C道路施工，禁止通行，求从A点出发能顺了到达BB点的走法数？说明你的理由．7．阅读：我们知道，在数轴上,x＝1表示一个点,而在平面直角坐标系中，x＝1表示一条直线；我们还知道，以二元一次方程2x－y＋1＝0的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数y＝2x＋1的图象,它也是一条直线，如图①.观察图①可以得出：直线x＝1与直线y＝2x＋1的交点P的坐标（1，3）就是方程组的解，所以这个方程组的解为在直角坐标系中，x≤1表示一个平面区域，即直线x＝1以及它左侧的部分，如图②；y≤2x＋1也表示一个平面区域，即直线y＝2x＋1以及它下方的部分，如图③．①②③回答下列问题：（1）在直角坐标系中，用作图象的方法求出方程组的解；（2）用阴影表示，所围成的区域．8. 我们学习过二次函数图象的平移，如：将二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，所得图象的函数表达式是．类比二次函数图象的平移，我们对反比例函数的图象作类似的变换：(1)将的图象向右平移1个单位长度，所得图象的函数表达式为________，再向上平移1个单位长度，所得图象的函数表达式为________．(2)函数的图象可由的图象向________平移________个单位长度得到；的图象可由哪个反比例函数的图象经过怎样的变换得到？(3)一般地，函数(ab≠0，且a≠b)的图象可由哪个反比例函数的图象经过怎样的变换得到?9. “三等分角”是数学史上一个著名的问题，但仅用尺规不可能“三等分角”．下面是数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐角”的方法（如图）：将给定的锐角∠AOB置于直角坐标系中，边OB在轴上、边OA与函数的图象交于点P，以P为圆心、以2OP为半径作弧交图象于点R．分别过点P和R作轴和轴的平行线，两直线相交于点M ，连接OM得到∠MOB，则∠MOB=∠AOB．要明白帕普斯的方法，请研究以下问题：（1）设、，求直线OM对应的函数表达式（用含的代数式表示）．（2）分别过点P和R作轴和轴的平行线，两直线相交于点Q．请说明Q点在直线OM上，并据此证明∠MOB=∠AOB．（3）应用上述方法得到的结论，你如何三等分一个钝角（用文字简要说明）．10. 阅读下列材料：问题：如图1所示，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．若∠ABC＝∠BEF＝60°，探究PG与PC的位置关系的值．小聪同学的思路是：延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：(1)写出上面问题中线段PG,与PC的位置关系及的值；(2)将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，原问题中的其他条件不变(如图2)．你在(1)中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．(3)若图1中∠ABC＝∠BEF＝2α(0°＜α＜90°)，将菱形BEFG绕点B顺旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出的值(用含α的式子表示)．答案与解析【答案与解析】一、选择题1.【答案】C；【解析】1×73+3×72+2×7+6=510.2.【答案】B；二、填空题3.【答案】(1)C；(2)错误的原因是由(B)到(C)时，等式两边同时约去了因式，而可能等于0；(3)△ABC是等腰三角形或直角三角形.4.【答案】①②③.【解析】（1）分析函数图象可知，BC=10cm，ED=4cm，故AE=AD﹣ED=BC﹣ED=10﹣4=6cm，故①正确；（2）如答图1所示，连接EC，过点E作EF⊥BC于点F，由函数图象可知，BC=BE=10cm，S△BEC=40=BC•EF=×10×EF，∴EF=8，∴sin∠EBC=，故②正确；（3）如答图2所示，过点P作PG⊥BQ于点G，∵BQ=BP=t，∴y=S△BPQ=BQ•PG=BQ•BP•sin∠EBC=t•t•=t2．故③正确；（4）结论D错误．理由如下：当t=12s时，点Q与点C重合，点P运动到ED的中点，设为N，如答图3所示，连接NB，NC．此时AN=8，ND=2，由勾股定理求得：NB=8，NC=2，∵BC=10，∴△BCN不是等腰三角形，即此时△PBQ不是等腰三角形．故④错误；故答案为：①②③．三、解答题5.【答案与解析】解：由2m2-5m-1=0知m≠0，∵m≠n，∴得根据的特征∴是方程x2+5x-2=0的两个不相等的实数根∴.6.【答案与解析】解：（1）∵完成从A点到B点必须向北走，或向东走，∴到达A点以外的任意交叉点的走法数只能是与其相邻的南边交叉点和西边交叉点的数字之和，故使用分类加法计数原理，由此算出从A点到达其余各交叉点的走法数，填表如图1．答：从A点到B点的走法共有35种．（2）如图3，使用分类加法计数原理，算出从C点到B点的走法为6种；（3）方法一：可先求从A点到B点，并经过交叉点C的走法数，再用从A点到B点总走法数减去它，即得从A点到B点，但不经过交叉点C的走法数．完成从A点出发经C点到B点这件事可分两步，先从A点到C点，再从C点到B点，使用分类加法计数原理，算出从A点到C点的走法是3种，见图2；见图3，从C点到B点的走法为6种，再运用分步乘法计数原理，得到从A点经C点到B点的走法有3×6=18种．∴从A点到B点但不经过C点的走法数为35﹣18=17种．方法二：如图4：由于交叉点C道路施工，禁止通行，故视为相邻道路不通，可删除与C点紧相连的线段，运用分类加法计数原理，算出从A点到B点并禁止通过交叉点C 的走法有17种．从A点到各交叉点的走法数，∴从A点到B点并禁止经过C点的走法数为35﹣18=17种．7.【答案与解析】（1）如图所示，在坐标系中分别作出直线x＝－2和直线y＝－2x＋2，这两条直线的交点是P（－2，6）.则是方程组的解.（2）如阴影所示.8.【答案与解析】(1)；(2)上，1；可转化为y＝，它的图象可由反比例函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到．(3)函数(ab≠0，且a≠b)可转化为．当a＞0时，的图象可由反比例函数的图象向左平移a个单位长度，再向上平移1个单位长度得到；当a＜0时，的图象可由反比例函数的图象向右平移-a个单位长度，再向上平移1个单位长度得到．9.【答案与解析】（1）设直线OM的函数关系式为．则∴．∴直线OM的函数关系式为．（2）∵的坐标满足，∴点在直线OM上．（或用几何证法，见《九年级上册》教师用书191页）∵四边形PQRM是矩形，∴SP=SQ=SR=SM=PR．∴∠SQR=∠SRQ．∵PR=2OP，∴PS=OP=PR．∴∠POS=∠PSO．∵∠PSQ是△SQR的一个外角，∴∠PSQ=2∠SQR．∴∠POS=2∠SQR．∵QR∥OB，∴∠SOB=∠SQR．∴∠POS=2∠SOB．∴∠SOB=∠AOB．（3）以下方法只要回答一种即可．方法一：利用钝角的一半是锐角，然后利用上述结论把锐角三等分的方法即可．方法二：也可把钝角减去一个直角得一个锐角，然后利用上述结论把锐角三等分后，再将直角利用等边三角形（或其它方法）将其三等分即可．方法三：先将此钝角的补角（锐角）三等分，再作它的余角．10.【答案与解析】（1）线段PG与PC的位置关系是PG⊥PC；．（2）猜想：(1)中的结论没有发生变化．证明：如图所法，延长GP交AD于点H，连接CH，CG．∵P是线段DF的中点，∴FP＝DP．由题意可知AD∥FG，∴∠GFP＝∠HDP．∵∠GPF＝∠HPD，∴△GFP≌△HDP．∴GP＝HP，GF＝HD．∵四边形ABCD是菱形，∴CD＝CB，∠HDC＝∠ABC＝60°．由∠ABC＝∠BEF＝60°，且菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，可得∠GBC＝60°．∴∠HDC＝∠GBC．∵四边形BEFG是菱形，∴GF＝FB．∴HD＝GB．∴△HDC≌△GBC．∴CH＝CG，∠DCH＝∠BCG．∴∠DCH+∠HCB＝∠BCG+∠HCB＝120°，即∠HCG＝120°．∵CH＝CG，PH＝PG，∴PG⊥PC，∠GCP＝∠HCP＝60°．∴．（3）．11。

杭州采荷中学九年级试题一

杭州采荷中学教育集团2006学年第二学期质量调研九年级数学2007.4.考生须知：1．本试卷分试题卷和答题卷两部分，满分120分，考试时间100分钟。

2．答题前，必须在答题卷的密封区内填写校名、姓名和座位号。

3．所有答案都必须做在答题卷标定的位置上，务必注意试题序号和答题序号相对应。

4．考试结束后，上交试题卷和答题卷。

试题卷一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项前的字母填在答题卷中相应的格子内）1、下列运算不正确的是（）Ａ．0(2)1-=Ｂ．2222a a a -=Ｃ．26.5100.0065-⨯= Ｄ．2a b ab a ÷= 2、如图，点D,E,F 分别为△ABC 三边的中点，且S △DEF =2，则△ABC 的面积为 ( )A ．4B ．6C ．8D ．1 23、左下图是由几个小立方块所搭成的几何体，那么这个几何体的主视图是（）A B C D4、在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形。

下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是（）．A ．测量对角线是否相互平分B ．测量两组对边是否分别相等C ．测量一组对角是否都为直角D ．测量其中三角是否都为直角5、请阅读一小段约翰•斯特劳斯作品，根据乐谱中的信息，确定最后一个音符的时值长应为（）Ａ．18Ｂ．12Ｃ．14Ｄ．346、如图，直线ax y =与双曲线xky =的图象的一个交点坐标为（2，4）．则它们的另一个交点坐标是（） A ．（－2，－4） B ．（－2，4） C ．（－4，－2） D ．（2，－4）7、直线y ax b =+经过第二、三、四象限，那么下列结论正确的是（）a b + B.点（a ，b ）在第一象限内C.反比例函数ay x=当0x >时函数值y 随x 增大而减小D.抛物线2y ax bx c =++的对称轴过二、三象限8、若x ≤0，则化简1x - （）Ａ．12x - Ｂ．21x - Ｃ．1-Ｄ．19、如图，一束光线与水平面成60°的角度照射地面，现在地面AB 上支放一个平面镜CD ，使这束光线经过平面镜反射后成水平光线，则平面镜CD 与地面AB 所成角∠DCB 的度数等于 ( ) A ．30° B ．45° C ．50° D ．60° 10、平面直角坐标系中，已知点P 0（1，0），将点P 0绕原点O 按逆时针方向旋转30°得到P 1，延长OP 1到P 2，使OP 2=2OP 1；再将P 2绕点O 按逆时针方向旋转30°得P 3，然后延长OP 3到P 4，使OP 4=2OP 3；……；如此下去，则点P 2004的坐标为（） A ．（-22004，0） B.（-21002，0） C.（0，21002） D.（21002，0）二、填空题：（本题有6个小题，每小题4分，共24分）11、下列四个生活、生产现象：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；③从A 地到B 地架设电线，总是尽可能沿着线段AB 架设；④把弯曲的公路改直，就能缩短路程，其中可用公理“两点之间，线段最短”来解释的现象有；（用代号表示）12、已知一组数据为：82，84，85，89，80，94，76．则这组数据的标准差（精确到0.01）为；13、两圆的半径分别为3cm 和4cm ，圆心距为5cm ，则两圆的位置关系为。

古希腊三个著名问题之一的三等分角

古希腊三个著名问题之一的三等分角，现在美国就连许多没学过数学的人也都知道．美国的数学杂志社和以教书为职业的数学会员，每年总要收到许多“角的三等分者”的来信；并且，在报纸上常见到：某人已经最终地“解决了”这个不可捉摸的问题．这个问题确实是三个著名的问题中最容易理解的一个，因为二等分角是那么容易，这就自然会使人们想到三等分角为什么不同样的容易呢？用欧几里得工具，将一线段任意等分是件简单的事；也许古希腊人在求解类似的任意等分角的问题时，提出了三等分角问题；也许(更有可能)这问题是在作正九边形时产生的，在那里，要三等分一个60°角．在研究三等分角问题时，看来希腊人首先把它们归结成所谓斜向(verging problem)问题．任何锐角ABC(参看图31)可被取作矩形BCAD的对角线BA和边BC的夹角．考虑过B点的一条线，它交CA于E，交DA之延长线于F，且使得EF=2(BA)．令G为EF之中点，则EG=GF=GA=BA，从中得到：∠ABG=∠AGB=∠GAF+∠GFA=2∠GFA=2∠GBC，并且BEF三等分∠ABC．因此，这个问题被归结为在DA的延长线和AC之间，作一给定长度2(BA)的线段EF，使得EF斜向B点．如果与欧几里得的假定相反，允许在我们的直尺上标出一线段E’F’=2(BA)，然后调整直尺的位置，使得它过B点，并且，E’在AC 上，F’在DA的延长线上；则∠ABC被三等分．对直尺的这种不按规定的使用，也可以看作是：插入原则(the insertion principle)的一种应用．这一原则的其它应用，参看问题研究4．6．为了解三等分角归结成的斜向问题，有许多高次平面曲线已被发现．这些高次平面曲线中最古老的一个是尼科梅德斯(约公元前240年)发现的蚌线．设c为一条直线，而O为c外任何一点，P为c上任何一点，在PO的延长线上截PQ等于给定的固定长度k．于是，当P沿着c移动时，Q的轨迹是c对于极点O和常数k的蚌线(conchoid)(实际上，只是该蚌线的一支)．设计个画蚌线的工具并不难①，用这样一个工具，就可以很容易地三等分角．这样，令∠AOB 为任何给定的锐角，作直线MN垂直于OA，截OA于D，截OB于L(如图32所示)．然后，对极点O和常数2(OL)，作MN的蚌线．在L点作OA的平行线，交蚌线于C．则OC三等分∠AOB．借助于二次曲线可以三等分一个一般的角，早期希腊人还不知道这一方法．对于这种方法的最早证明是帕普斯(Pappus，约公元300年)．利用二次曲线三等分角的两种方法在问题研究4．8中可以找到．有一些超越(非代数的)曲线，它们不仅能够对一个给定的角三等分，而且能任意等分．在这这样的曲线中有：伊利斯的希皮阿斯(Hippias，约公元前425年)发明的割圆曲线(quadratrix)和阿基米得螺线(spiral of Archimeds)．这两种曲线也能解圆的求积问题．关于割圆曲线在三等分角和化圆为方问题上的应用，见问题研究4．10．多年来，为了解三等分角问题，已经设计出许多机械装置、联动机械和复合圆规．①参看R．C．Yates．The Trisection Prolem．其中有一个有趣的工具叫做战斧，不知道是谁发明的，但是在1835年的一本书中讲述了这种工具．要制做一个战斧，先从被点S和T三等分的线段RU开始，以SU为直径作一半圆，再作SV垂直于RU，如图33所示．用战斧三等分∠ABC时，将这一工具放在该角上，使R 落在BA上，SV通过B点，半圆与BC相切于D．于是证明：△RSB，△TSB，△TDB都全等，所以，BS和BT三等分给定的角．可以用直尺和圆规在描图纸上绘出战斧，然后调整到给定的角上．在这种条件下，我们可以说用直角和圆规三等分一个角(用两个战斧，则可以五等分一个角)．欧几里得工具虽然不能精确地三等分任意角，但是用这些工具的作图方法，能作出相当好的近似的三等分．一个卓越的例子是著名的蚀刻师、画家A．丢勒(Albrecht Durer)于1525年给出的作图方法．取给定的∠AOB为一个圆的圆心角(参看图34)，设C为弦AB的靠近B 点的三等分点．在C点作AB的垂线交圆于D．以B为圆心，以BD为半径，作弧交AB于E．设令F为EC的靠近E点的三等分点，再以B 为圆心，以BF为半径，作弧交圆于G．那么，OG就是∠AOB的近似的三等分线．我们能够证明：三等分中的误差随着∠AOB的增大而增大；但是，对于60°的角大约只差1〃，对于90°角大约只差18〃．只要放弃「尺规作图」的戒律，三等分角并不是一个很难的问题。

广东省深圳市2024年数学(高考)统编版测试(预测卷)模拟试卷

广东省深圳市2024年数学（高考）统编版测试(预测卷)模拟试卷一、单项选择题（本题包含8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题平面直角坐标系xOy中，已知点，其中，若圆上存在点P满足，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．第(2)题如图，点D、E分别AC、BC的中点，设，，F是DE的中点，则（）A．B．C．D．第(3)题以抛物线y2=4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为A．x2+y2+2x="0"B．x2+y2+x=0C．x2+y2-x="0"D．x2+y2-2x=0第(4)题不等式组表示的平面区域为Ω，直线y＝kx－1与区域Ω有公共点，则实数k的取值范围为（）A．(0，3]B．[－1，1]C．(－∞，3]D．[3，＋∞)第(5)题过点，且倾斜角为的直线与圆相切于点，且，则的面积是（）A．B．C．1D．2第(6)题函数的单调递减区间为（）A．B．C．D．第(7)题设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为（）A．B．C．D．第(8)题函数的图象关于A．轴对称B．直线对称C．坐标原点对称D．直线对称二、多项选择题（本题包含3小题，每小题6分，共18分。

在每小题给出的四个选项中，至少有两个选项正确。

全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分） (共3题)第(1)题“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中.“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示.下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（）A．.B．由“第行所有数之和为”猜想：.C．第20行中，第11个数最大.D．第15行中，第7个数与第8个数之比为7∶9.第(2)题下列有关回归分析的结论中，正确的有（）A．在样本数据中，根据最小二乘法求得线性回归方程为，去除一个样本点后，得到的新线性回归方程一定会发生改变B．具有相关关系的两个变量的相关系数为那么越大，之间的线性相关程度越强C．若散点图中的散点均落在一条斜率非的直线上，则决定系数D．在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高第(3)题已知圆，若圆上仅存在一点使，则正实数的取值可以是（）A．2B．3C．4D．5三、填空（本题包含3个小题，每小题5分，共15分。

2005年佛山中考

佛山市2005年高中阶段学校数学试卷（课改实验区用）一、选择题1．－2的绝对值是（）。

A ．2 B ．－2 C ．±2 D ．212．1海里等于1852米．用科学记数法表示1海里等于（）米． A ．4101852.0⨯ B ．310852.1⨯ C ．21052.18⨯ D ．1102.185⨯ 3．下列运算中正确的是（）。

A ．532a aa =+ B ．842a a a =⋅ C ．632)(a a = D ．326a a a =÷4．使代数式32-x 有意义，则x 的取值范围是（）。

A ．2≠xB ．2≥xC ．2>xD ．2≤x 5．小明从正面观察下图所示的两个物体，看到的是（）。

6．方程11112-=-x x 的解是（）。

A ．1B ．－1C ．±1D ．07．下列图形，可经平移变换由一个图形得到另一个图形的是（）。

8．对角线互相垂直平分且相等的四边形一定是（）。

A ．正方形 B ．菱形 C ．矩形 D ．等腰梯形 9．下列说法中，正确的是（）。

A ．买一张电影票，座位号一定是偶数 B ．投掷一枚均匀的硬币，正面一定朝上 C ．三条任意长的线段可以组成一个三角形D ．从1,2,3,4,5这五个数字中任取一个数,取得奇数的可能性大 10．如图，是象棋盘的一部分。

若位于点(1，－2)上，位于点（3，－2）上，则位于点（）上。

A ．（－1，1）B ．（－1，2）C ．（－2，1）D ．（－2，2）二、填空题11．要了解我国八年级学生的视力情况，你认为合适的调查方式是． 12．不等式组⎩⎨⎧><-0,032x x 的解集是．13．如图，是用形状、大小完全相同的等腰提梯形密铺成的图案，则这个图案中的等腰梯形的底角（指锐角）是度． 14．已知∠AOB=300，M 为OB 边上任意一点，以M 为圆心、2cm 为半径作⊙M ．当OM= cm 时，⊙M 与OA 相切（如图）．第13题图O 第14题图15．若函数的图象经过点（1，2），则函数的表达式可能是（写出一个即可）．三、解答题16．如图，表示甲骑电动自行车和乙驾驶汽车均行驶90km 的过程中，行使的路程y 与经过的时间x 之间的函数关系．请根据图象填空：出发的早，早了小时，先到达，先到小时，电动自行车的速度为 km / h ，汽车的速度为 km / h ．17．化简：x x x x 421212-⋅⎪⎭⎫⎝⎛+--．帅相炮第10题图18．学校有一块如图所示的扇形空地，请你把它平均分成两部分．（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，写出作法，不用证明．）第18题图19．如图，从帐篷竖直的支撑竿AB 的顶部A 向地面拉一根绳子AC 固定帐篷．若地面固定点C 到帐篷支撑竿底部B 的距离是4.5米，∠ACB=350，求帐篷支撑竿AB 的高（精确到0.1米）．备选数据：sin350≈0.57，cos350≈0.82，tan350≈0.70．第19题图20．一个口袋中有10个红球和若干个白球，请通过以下实验估计口袋中白球的个数：从口袋中随机摸出一球，记下其颜色，再把它放回口袋中，不断重复上述过程．实验中总共摸了200次，其中有50次摸到红球．四、解答题21．如图，在水平桌面上的两个“E ”，当点P 1，P 2，O 在一条直线上时，在点O 处用①号“E ”测得的视力与用②号“E ”测得的视力相同．（1）图中2121,,,l l b b 满足怎样的关系式？（2）若1b =3.2cm ，2b =2cm ，①号“E ”的测试距离1l =8cm ，要使测得的视力相同，则②号“E ”的测试距离2l 应为多少？22．某酒店客房部有三人间、双人间客房，收费数据如下表．．．惠期间到该酒店入住，住了一些三人普通间和双人普通间客房．若每间客房正好住满，且一天共花去住宿费1510元，则旅游团住了三人普通间和双人普通间客房各多少间？23．某校为选拔参加2005年全国初中数学竞赛的选手，进行了集体培训．在集训期间进行了10次测试，假设其中两位同学的测试成绩如下面的图表所示：（1）根据图表中所示的信息填写下表：（2）这两位同学的测试成绩各有什么特点（从不同的角度分别说出一条即可）?（3）为了使参赛选手取得好成绩，应选谁参加比赛？为什么？24．一座拱型桥，桥下水面宽度AB 是20米，拱高CD 是4米．若水面上升3米至EF ，则水面宽度EF 是多少？（1）若把它看作是抛物线的一部分，在坐标系中（如图①）可设抛物线的表达式为c axy +=2．请你填空：a = ，c = ，EF = 米．（2）若把它看作是圆的一部分，则可构造图形(如图②)计算如下：设圆的半径是r 米，在Rt △OCB 中，易知.514 , 10)4(.222=+-=r r r同理，当水面上升3米至EF ，在Rt △OGF 中可计算出GF=72，即水面宽度EF=74米．一二三四五六七八九十（次数）（分数）（3）请估计（2）中EF 与（1）中你计算出的EF 的差的近似值（误差小于0.1米）．第24题图①第24题图②五、解答题25．已知任意．．四边形ABCD ，且线段AB 、BC 、CD 、DA 、AC 、BD 的中点分别是E 、F 、G 、H 、P 、Q ．（1）若四边形ABCD 如图①，判断下列结论是否正确（正确的在括号里填“√”，错误的在括号里填“×”）．甲：顺次连接EF 、FG 、GH 、HE 一定得到平行四边形；（）乙：顺次连接EQ 、QG 、GP 、PE 一定得到平行四边形．（）（2）请选择甲、乙中的一个，证明你对它的判断．（3）若四边形ABCD 如图②，请你判断（1）中的两个结论是否成立？E第25题图①C第25题图②ABD26．“三等分角”是数学史上一个著名的问题，但仅用尺规不可能“三等分角”．下面是数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐角”的方法（如图）：将给定的锐角∠AOB 置于直角坐标系中，边OB 在x 轴上、边OA 与函数xy 1的图象交于点P ，以P为圆心、以2OP 为半径作弧交图象于点R ．分别过点P 和R 作x 轴和y 轴的平行线，两直线相交于点M ，连接OM 得到∠MOB ，则∠MOB=31∠AOB ．要明白帕普斯的方法，请研究以下问题：（1）设)1,(aa P 、)1,(bb R ，求直线OM 对应的函数表达式（用含b a ,的代数式表示）．（2）分别过点P 和R 作y 轴和x 轴的平行线，两直线相交于点Q ．请说明Q 点在直线OM 上，并据此证明∠MOB=31∠AOB ．（3）应用上述方法得到的结论，你如何三等分一个钝角（用文字简要说明）．第26题图。

2022-2023学年人教版初中数学专题《反比例函数与几何综合问题》尖子生培优题典原卷

专题26.7反比例函数与几何综合问题大题专练（重难点培优）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________一、解答题（共24题）1．（2022·辽宁·灯塔市第一初级中学九年级期中）如图，在直角坐标系中，点B的坐标为（4，2），过点B（x＞0）的图象分别交AB，BC于点E，F．分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别是C，A，反比例函数y=4x(1)求直线EF的解析式；(2)求△EOF的面积；(3)若点P在y轴上，且△POE是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．2．（2022·山东·新泰市宫里镇初级中学九年级阶段练习）如图，函数y＝k（x＞0）的图像过点A（n，2）和xB（8，2n−3）两点．5(1)求n和k的值；(2)将直线OA沿x轴向左移动得直线DE，交x轴于点D，交y轴于点E，交y＝k（x＞0）于点C，若S△ACOx＝6，求直线DE解析式；(3)在（2）的条件下，第二象限内是否存在点F，使得△DEF为等腰直角三角形，若存在，请直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．3．（2022·上海·新区川沙新镇江镇中学九年级阶段练习）如图，直线AC：y＝ax+2分别交y轴和反比例函数y=k（x＞0）的图象于点C和点A（2，m），点B也在反比例函数的图象上，且BC∥x轴，tan∠ACB＝2．x(1)求点A、B的坐标；(2)设点D在x轴的正半轴上，点E在该反比例函数的图象上．①若四边形BDCE是菱形，求出该菱形周长；②若以点A、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点D的坐标．4．（2021·河南·商城县第二中学九年级阶段练习）已知反比例函数y=1-m（m为常数）的图象在第一、三象x限．(1)求m的取值范围；(2)如图，若该反比例函数的图象经过▱ABOD的顶点D，点A，B的坐标分别为（0，4），（﹣3，0）．①求出函数解析式；②【分类讨论思想】设点P是该反比例函数图象上的一点，若以D，O，P为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P的个数为______个．5．（2022·安徽·利辛县汝集镇西关学校九年级阶段练习）如图，ΔAOB的边OB在x轴上，且∠ABO=90°，反(x>0)的图像与边AO、AB分别相交于点C、D，连接BC．已知OC=BC，ΔBOC的面积为12．比例函数y=kx(1)求k的值；(2)若AD=6，求直线OA的函数表达式．6．（2022·浙江省武义县实验中学八年级阶段练习）如图，四边形OBAC是矩形，OC＝2，OB＝6，反比例的图象过点A．函数y=kx(1)求k的值．(2)点P为反比例函数图象上的一点，作PD⊥直线AC，PE⊥x轴，当四边形PDCE是正方形时，求点P的坐标．(3)点G为坐标平面上的一点，在反比例函数的图象上是否存在一点Q，使得以A、B、Q、G为顶点组成的平行四边形面积为16？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．7．（2022·广东·深圳市宝安第一外国语学校模拟预测）数学是一个不断思考，不断发现，不断归纳的过程，古希腊数学家帕普斯(Pappus，约300−350)把∠AOB三等分的操作如下：（1）以点O为坐标原点，OB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系；(x>0)的图像，图像与∠AOB的边OA交于点C；（2）在平面直角坐标系中，绘制反比例函数y=1x（3）以点C为圆心，2OC为半径作弧，交函数y=1的图像于点D；x（4）分别过点C和D作x轴和y轴的平行线，两线交于点E，M；（5）作射线OE，交CD于点N，得到∠EOB．(1)判断四边形CEDM 的形状，并证明；(2)证明：O 、M 、E 三点共线；(3)证明：∠EOB =13∠AOB ．8．（2022·广东·佛山市南海外国语学校三模）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，点C 在x 轴负半轴上，四边形OABC 为菱形，反比例函数y =−12x （x >0）经过点A(a,−3)，反比例函数y =kx (k >0,x ＜0)经过点B ，且交BC 边于点D ，连接AD ．(1)求直线BC 的表达式．(2)求tan ∠DAB 的值．(3)如图2，P 是y 轴负半轴上的一个动点，过点P 作y 轴的垂线，交反比例函数y =−12x （x >0）于点N ．在点P 运动过程中，直线AB 上是否存在点E ，使以B ，D ，E ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．9．（2022·广东·华南师大附中三模）如图，已知直线y =-34x 上一点B ，由点B 分别向x 轴、y 轴作垂线，垂足为A 、C ，若A 点的坐标为(0，5)．(1)若点B也在一反比例函数的图象上，求出此反比例函数的表达式．(2)若将△ADO沿直线OD翻折，使A点恰好落在对角线OB上的点E处，求点E的坐标．10．（2022·江苏·射阳县实验初级中学八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，B、C两点在x轴的正半轴（x＞0，上，以线段BC为边向上作正方形ABCD，顶点A在正比例函数y＝2x的图象上，反比例函数y＝kxk＞0）的图象经过点A，且与边CD相交于点E．(1)若BC＝4，求点E的坐标；(2)连接AE，OE，若△AOE的面积为16，求k的值．11．（2022·山东·新泰市楼德镇初级中学九年级阶段练习）反比例函数y＝k（k＞0）的图像与直线y＝mx+nx的图像上，过点B作PB∥x轴交OQ于点P，过点P作的图像交于Q点，点B（3，4）在反比例函数y＝kxPA∥y轴交反比例函数图像于点A，已知点A的纵坐标为9．4(1)求反比例函数及直线OP的解析式；(2)在x轴上存在点N，使得△AON的面积与△BOP的面积相等，请求出点N的坐标；(3)在y轴上找一点E，使△OBE为等腰三角形，直接写出点E坐标．12．（2022·江苏·射阳县实验初级中学八年级期中）定义：如图1，点M、N把线段AB分割成AM、MN和BN，若以AM、MN、BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股点．(1)【直接应用】如图1，已知点M、N是线段AB的勾股点，若AM＝2，MN＝4，则BN＝．(2)【知识迁移】如图2，点C，D是线段AB的勾股点（CD＞BD），以CD为直径画⊙O，点P在⊙O上，AC＝CP，连接PA，PB，若∠A＝2∠B，求∠B的度数．(3)【拓展应用】如图3，点P（a，b）是反比例函数y＝2（x＞0）上的动点，直线y＝﹣x+2与坐标轴分别x交于A、B两点，过点P分别向x、y轴作垂线，垂足为C、D，且交线段AB于E、F两点．证明：点E、F是线段AB的勾股点．x+2及双曲线y 13．（2022·江苏·泰州中学附属初中八年级期末）如图在平面直角坐标系中，已知直线y＝﹣12＝k（k＞0，x＞0）．直线交y轴于A点，x轴于B点，C、D为双曲线上的两点，它们的横坐标分别为a，a+m x（m＞0）．(1)如图①连接AC、DB、CD，当四边形CABD为平行四边形且a＝2时，求k的值．(2)如图②过C、D两点分别作CC′∥y轴∥DD′交直线AB于C'，D'，当CD∥AB时，①对于确定的k值，求证：a（a+m）的值也为定值．，求d的最大值．②若k＝6，且满足m＝a﹣4+da14．（2021·江苏·宿迁市钟吾国际第一初级中学八年级期中）如图，直线y＝ax＋b与反比例函数y＝k（xx＜0）的图象相交于点A、点B，与x轴交于点C，其中点A的坐标为（-2，6），点B的横坐标为-6，(1)试确定反比例函数的关系式；(2)求点C的坐标；(3)点M是x轴上的一个动点．①若点M在线段OC上，且△AMB的面积为8，求点M的坐标；②点N是平面直角坐标系中的一点，当以A、B、M、N四点为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点N的坐标，15．（2022·江苏·张家港市东渡实验学校八年级期中）如图，直线y＝x＋b（b≠0）分别交x轴、y轴于A、B （x＞0）于点D，过点D分别作x轴、y轴的垂线DC、DE，垂足分别为C、E，连接两点，交双曲线y＝5xOD．(1)求证：AD平分∠CDE；(2)对于任意非零的实数b，求证：AD•BD为定值，并求出该定值；(3)是否存在直线AB，使得四边形OBCD为平行四边形？若存在，求出直线的解析式；若不存在，请说明理由．16．（2022·贵州铜仁·九年级期末）如图1，点A（0，8）、点B（2，a）在直线y＝﹣2x＋b上，反比例函数y＝k（x＞0）的图象经过点B．x(1)求a和k的值；(2)将线段AB向右平移m个单位长度（m＞0），得到对应线段CD，连接AC、BD．的值；①如图2，当m＝3时，过D作DF⊥x轴于点F，交反比例函数图象于点E，求DEEF②在线段AB运动过程中，连接BC，若△BCD是以BC为腰的等腰三角形，求所有满足条件的m的值．17．（2022·江苏·扬州市江都区实验初级中学八年级阶段练习）如图，菱形OABC的点B在y轴上，点C坐的图象经过点A．标为（12，5），双曲线y=kx(1)菱形OABC的边长为____；(2)求双曲线的函数关系式；(3)①点B关于点O的对称点为D点，过D作直线l垂直于y轴，点P是直线l上一个动点，点E在双曲线上，当P、E、A、B四点构成平行四边形时，求点E的坐标；②将点P绕点A逆时针旋转90°得点Q，当点Q落在双曲线上时，求点Q的坐标．18．（2021·湖南·李达中学九年级阶段练习）如图，一次函数y=kx+b的图像与反比例函数y=m的图像交x于C（2，n）、D两点，与x轴，y轴分别交于A、B（0，2）两点，如果△AOC的面积为6．(1)求点A的坐标；(2)求一次函数和反比例函数的解析式；(3)如图2，连接DO并延长交反比例函数的图像于点E，连接CE，求点E的坐标和△COE的面积．(m≠0)的19．（2022·四川·威远县凤翔中学八年级期中）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y=mx图像交于A（2，3），B（﹣6，n）两点．(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)求△AOB的面积；(3)P是y轴上一点，且S△ABP＝12，求出P点坐标；(4)M是x轴上一点，满足|MA−MB|最大，求点M的坐标．(5)求不等式kx+b﹣m＜0的解集．（直接写出答案）x20．（2022·河南·商水县希望初级中学八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+3k+2与坐标轴交于点B与C(0,1)，点A是x轴上一点，连接AC，且AB=1，D(1,m)是线段BC上一点，反比例函数y=k′x 的图象经过点D．(1)求k′的值．(2)求线段AC所在直线的函数表达式．(3)延长DO，与反比例函数y=k′的图象在第三象限交于点F，Q是x轴上的一点，当以F、Q、D三点构成的三x角形为直角三角形时，直接写出Q点的坐标．21．（2022·河南·商水县希望初级中学八年级期中）如图，一次函数y=kx+b(k≠0)与反比例函数y=−6x (x<0)的图象交于点C(m,1)和点D(n,6)，与坐标轴交于点A，B．(1)求直线AB的函数表达式．<kx+b的解集．(2)结合图象，直接写出不等式−6x(3)连接OC，OD，在直线AB上是否存在一点P，使得S△OBP=S△COD，若存在，求出P点的坐标，若不存在，请说明理由．22．（2022·河南新乡·八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，点B，D分别在反比例函数y=−6(x<0)和xy=k(k>0,x>0)的图象上，AB⊥x轴于点A，DC⊥x轴于点C，O是线段AC的中点，AB=3，DC=2．x(1)求反比例函数y=k的表达式；x(2)连接BD，OB，OD，求△ODB的面积；(3)P是线段AB上的一个动点，Q是线段OB上的一个动点，试探究是否存在点P，使得△APQ是等腰直角三角形？若存在，求所有符合条件点P的坐标；若不存在，请说明理由．23．（2022·吉林·长春市第一〇八学校八年级阶段练习）已知一次函数y＝kx+b图像经过点A（2，0）、B （0，2），回答下列问题：(1)求一次函数解析式．(2)在函数y＝kx+b图像上有两个点（a，2）、（b，3），请说明a与b的大小关系．(3)以AB为直角边作等腰直角△ABC，点C不与点O重合，过点C的反比例函数的解析式为y＝k，请直接x写出点C的坐标以及过点C的反比例函数的解析式．(4)是否在x轴上找一点C，使S△ABC＝2S△ABO，若存在，写出点C坐标若不存在，请说明理由．24．（2022·全国·九年级单元测试）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，已知点A(0，﹣6)、D(﹣3，﹣7)，点B、C在第三象限内．(1)求点B的坐标；(2)在y轴上是否存在一点P，使△ABP是AB为腰的等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．(3)将正方形ABCD沿y轴向上平移，若存在某一位置，使在第二象限内点B、D两点的对应点B′、D′正好落在某反比例函数的图象上，求该反比例函数的解析式．。

2024山东省济南市中考一模押题预测卷数学试卷及答案

2024年中考第一次模拟考试（山东济南卷）数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．图1所示的正五棱柱，其俯视图是（）A ．B ．C ．D ．2．2023年10月18日，第三届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行．国家主席习近平在主旨演讲中声明：“本届高峰论坛期间举行的企业家大会达成了972亿美元的项目合作协议．”将972亿美元用科学记数法表示成元，正确的是（）A ．29.7210⨯B ．99.7210⨯C ．109.7210⨯D ．119.7210⨯3．如图，直线m n ∥，点A 在直线n 上，点B 在直线m 上，连接AB ，过点A 作AC AB ⊥，交直线m 于点C ．若150∠=︒，则2∠的度数为（）．B ．C ．D ．．三张图片除画面不同外无其他差别，将它们从中间剪断得到三张上部图片和三张下部图片，把三张上部图片放入一个布袋，把三张下部图片放入另一个布袋，再分别从两个布袋中各随机摸取一张，则这两张小图片恰好合成一张完整图片的概率是（16B ．C 19D 15．若点()(()1232,1,1,A y B y C y --、、都在反比例函数21k y x+=（k 为常数）的图象上，则23y y 、、的大小关系为（）123y y y <<B ．31y y <<C 213y y y <<D 312y y y <<中用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数(21)(32)++-=-的计算过程，则图2．(13)(23)10-++=B ．(31)(32)1-++=．(13)(23)36+++=D ．(13)(23)10++-=-C．3+（a，b是常数，且abx．下列结论：第Ⅱ卷二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）三、解答题（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）()2213032-⎛⎫︒--+- ⎪⎝⎭．)10521x x -+><-在数轴上表示出它的解集，并求出它的正整数解．ABCD 中，BCD ∠的平分线交AD ，3EF =，求BC 的长．如图2，求遮阳棚前端B 到墙面AD 的距离；如图3，某一时刻，太阳光线与地面夹角60CFG ∠=︒，求遮阳棚在地面上的遮挡宽度的长（结果精确到1cm ）．（参考数据：sin 720.951,cos 720.309,tan 72 3.078,3 1.732︒≈︒≈︒≈≈）分）近年来，网约车给人们的出行带来了便利，林林和数学兴趣小组的同学对“美团网约车司机收入频数分布表：月收入4千元5千元9千元10千元人数（个）3421根据以上信息，分析数据如表：思考问题：1,a a ⎫⎪⎭，1,R b b⎛⎫⎪⎝⎭，求直线OM 的函数解析式（用含a ，b 的代数式表示），并说明OM 上；证明：13MOB AOB ∠=∠．求c 的值及顶点M 的坐标，如图2，将矩形ABCD 沿x 轴正方向平移t 个单位()03t <<得到对应的矩形A B C ''知边C D ''，A B ''分别与函数24y x x c =-+的图象交于点P ，Q ，连接PQ ，过点P 作PG 于点G ．①当2t =时，求QG 的长；PGQ △1，调整菱形ABCD ，使90A ∠=︒，当点M 在菱形ABCD 外时，在射线BP 上取一点BN DM =，连接CN ，则BMC ∠=，MCMN=操作探究二2024年中考第一次模拟考试（山东济南卷）数学·全解全析第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．图1所示的正五棱柱，其俯视图是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意看见的棱用实线表示．【详解】解：从上面看，是一个矩形，矩形的中间有一条纵向的实线，两条纵向的虚线．故选：A ．【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．2．2023年10月18日，第三届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行．国家主席习近平在主旨演讲中声明：“本届高峰论坛期间举行的企业家大会达成了972亿美元的项目合作协议．”将972亿美元用科学记数法表示成元，正确的是（）A ．29.7210⨯B ．99.7210⨯C ．109.7210⨯D ．119.7210⨯【答案】C【分析】本题考查了科学记数法：把一个绝对值大于等于10的数表示成10n a ⨯的形式（a 大于或等于1且小于10，n 是正整数）；n 的值为小数点向左移动的位数．根据科学记数法的定义，即可求解．【详解】解：972亿10972000000009.7210⨯=，故选：C ．3．如图，直线m n ∥，点A 在直线n 上，点B 在直线m 上，连接AB ，过点A 作AC AB ⊥，交直线m 于点C ．若150∠=︒，则2∠的度数为（）．B．C．．【答案】B【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称把一个图形绕某一点旋转180︒，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，本选项不符合题意；、是轴对称图形，也是中心对称图形，本选项符合题意；、不是轴对称图形，是中心对称图形，本选项不符合题意；、不是轴对称图形，是中心对称图形，本选项不符合题意；．三张图片除画面不同外无其他差别，将它们从中间剪断得到三张上部图片和三张下部图片，把三张下部图片放入另一个布袋，再分别从两个布袋中各随机摸第Ⅱ卷二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）【答案】2或3/3或2【分析】过点M 作MF ⊥直线l ，交y 轴于点F ，交x 轴于点E ，与直线l 相交于点A ，则点E 、F 为点M 在坐标轴上的对称点，过点M 作MD x ⊥轴于点D ，设直线l 的解析式为y x b =-+，由直线l 与直线y x =-平行可得45OPA ∠=︒，即可证明MDE 与OEF 均为等腰直角三角形，进而可求出点E 、F 的坐标，根据中点坐标公式可求出MF 和ME 的中点坐标，代入y x b =-+可求出b 值，即可得点P 坐标，即可求解．【详解】如图，过点M 作MF ⊥直线l ，交y 轴于点F ，交x 轴于点E ，与直线l 相交于点A ，则点E 、F 为点M 在坐标轴上的对称点．直线l 与直线y x =-平行，∴设直线l 解析式为y x b =-+，过点M 作MD x ⊥轴于点D ，则3OD =，2MD =，直线l 的解析式为y x b =-+，45OPD ∴∠=︒，45OFE OEF ∴∠=∠=︒，MDE ∴ 与OEF 均为等腰直角三角形，2DE MD ∴==，1OE OF ==，三、解答题（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤），“滴滴”网约车司机收入频数分布表：月收入4千元5千元9千元人数（个）342根据以上信息，分析数据如表：，当点G 在点Q 的下方时，(22224QG t t t t =-+--+52（在03t <<的范围内）．或52．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特点、矩形的性质以及三角形的面积等知识，掌握二次函数的图象与性质、灵活应用数形结合思想是解题的关键．2024年中考第一次模拟考试（山东济南卷）数学·参考答案第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）12345678910A C C CB BC A C B第Ⅱ卷二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）三、解答题（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤），，当点G 在点Q 的下方时，(22224QG t t t t =-+--+52（在03t <<的范围内）．或52．（12分）【详解】（1）解：四边形ABCD 是正方形，CD ，90BCD ∠=︒，。

2022年中考数学复习之挑战压轴题(解答题)：反比例函数(含答案)

2022年中考数学复习之挑战压轴题（解答题）：反比例函数一．解答题（共10小题）1．（2021秋•双流区期末）如图，过A（2，0），B（0，2）的直线y＝﹣x+2与双曲线y＝（x＞0）交于P（，），Q（，）两点，连接OQ．点C是线段OA上一点（不与O，A重合），CD⊥AB于D，DE⊥OB于E．设CA＝a．（1）求AQ的长；（2）当a为何值时，CE＝AC？（3）设OQ，EC相交于点F，是否存在这样的点C，使得△OEF为等腰三角形？若存在，求出此时点C的坐标；若不存在，请说明理由．2．（2021秋•天府新区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（3，n），与y轴交于点B（0，﹣2），点P是反比例函数y＝（x＞0）的图象上一动点，过点P作直线PQ∥y轴交直线y＝x+b于点Q，设点P 的横坐标为t，且0＜t＜3，连接AP，BP．（1）求k，b的值．（2）当△ABP的面积为3时，求点P的坐标．（3）设PQ的中点为C，点D为x轴上一点，点E为坐标平面内一点，当以B，C，D，E为顶点的四边形为正方形时，求出点P的坐标．3．（2022•南山区模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上，点C在y轴的正半轴上，直线BC的解析式为y＝kx+12（k≠0），AC⊥BC，线段OA的长是方程x2﹣15x﹣16＝0的根．请解答下列问题：（1）求点A、点B的坐标．（2）若直线l经过点A与线段BC交于点D，且tan∠CAD＝，双曲线y＝（m≠0）的一个分支经过点D，求m的值．（3）在第一象限内，直线CB下方是否存在点P，使以C、A、P为顶点的三角形与△ABC 相似．若存在，请直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．4．（2022•济南一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（2，4）和点B（m，﹣2）．（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）直线AB与x轴交于点D，与y轴交于点C．①过点C作CE∥x轴交反比例函数y＝的图象于点E，连接AE，试判断△ACE的形状，并说明理由；②设M是x轴上一点，当∠CMO＝∠DCO时，求点M的坐标．5．（2021秋•锦江区校级期中）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+与双曲线y＝交于A、B两点，直线AB分别交x轴、y轴于C、D两点，且S△COD＝．（1）求一次函数的解析式；（2）如图2，E的坐标为（6，0），将线段DO沿y轴向上（或向下）平移得线段D′O′，在移动过程中，是否存在某个位置使AD′+EO′的值最小？若存在，求出AD′+EO′的最小值及此时点O′的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，将直线OA沿x轴平移，平移过程中在第一象限交y＝的图象于点M（M可与A重合），交x轴于点N．在平移过程中，是否存在某个位置使以M、N、E和平面内某一点P为顶点的四边形为菱形且以MN为菱形的边？若存在，请直接写出P的坐标；若不存在，请说明理由．6．（2021秋•渝中区校级月考）如图，已知直线y＝x+1与双曲线y＝交于A、B两点，且A点坐标为（a，2）．（1）求双曲线解析式及B点坐标．（2）将直线y＝x+1向下平移一个单位得直线l，P是y轴上的一个动点，Q是l上的一个动点，求AP+PQ的最小值．（3）若点M为y轴上的一个动点，N为平面内一个动点，当以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形时，直接写出N点坐标．7．（2021•亭湖区校级一模）材料：帕普斯借助函数给出了一种“三等分锐角”的方法，具体如下：①建立平面直角坐标系，将已知锐角∠AOB的顶点与原点O重合，角的一边OB与x轴正方向重合；②在平面直角坐标系里，绘制函数y＝的图象，图象与已知角的另一边OA交于点P；③以P为圆心，2OP为半径作弧，交函数y＝的图象于点R；④分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，两线相交于点M、Q；⑤连接OM，得到∠MOB，这时∠MOB＝∠AOB．根据以上材料解答下列问题：（1）设点P的坐标为（a，），点R的坐标为（b，），则点M的坐标为；（2）求证：点Q在直线OM上；（3）求证：∠MOB＝∠AOB；（4）应用上述方法得到的结论，如何三等分一个钝角（用文字简要说明）．8．（2021•铁岭模拟）如图，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于A、B两点，与x轴、y轴分别交于C、D两点，与x轴、y轴分别交于C，D两点，若CD＝2，tan∠ACO＝，点A的坐标为（m，3）．（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）连接OB，点P在直线AC上，且S△AOP＝2S△BOC，求点P的坐标．9．（2021•杭锦旗二模）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A，C分别在坐标轴上，顶点B的坐标为（4，2），过点D（0，3）和E（6，0）的直线分别与AB，BC交于点M，N．（1）求直线DE的解析式和点M的坐标；（2）若反比例函数y＝的图象经过点M，求该反比例函数的解析式，并通过计算判断点N是否在该函数的图象上；（3）若反比例函数y＝（x＞0）的图象与△MNB有公共点，请直接写出k的取值范围；（4）若将△MNB放置于平面直角坐标系中：使斜边在横轴上，直角顶点B在反比例函数y＝的图象上，试求出N点的坐标．10．（2020•岳麓区校级模拟）直线y＝﹣x+2a（常数a＞0）和双曲线y＝（k＞0，x＞0）的图象有且只有一个交点B．（1）求点B的坐标（用含a的式子表示）；（2）如图1，一次函数y＝﹣x+2a与x轴交于点A，点P是线段OA上的动点，点Q在反比例函数图象上，且满足∠BPO＝∠QP A．①若a＝1时，点P在移动过程中，求BP+PQ的最小值；②如图2，设PQ与线段AB的交点为M，若OM⊥BP，试求的值．2022年中考数学复习之挑战压轴题（解答题）：反比例函数（10题）参考答案与试题解析一．解答题（共10小题）1．（2021秋•双流区期末）如图，过A（2，0），B（0，2）的直线y＝﹣x+2与双曲线y＝（x＞0）交于P（，），Q（，）两点，连接OQ．点C是线段OA上一点（不与O，A重合），CD⊥AB于D，DE⊥OB于E．设CA＝a．（1）求AQ的长；（2）当a为何值时，CE＝AC？（3）设OQ，EC相交于点F，是否存在这样的点C，使得△OEF为等腰三角形？若存在，求出此时点C的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】反比例函数综合题．【专题】代数几何综合题；推理能力．【分析】（1）如图1中，过点Q作QN⊥OA于点N．证明△ANQ是等腰直角三角形，可得结论；（2）如图1中，过点D作DG⊥OA于点G．用a表示出CE，OC，OE，利用勾股定理，构建方程求解即可；（3）存在．分三种情形：①如图2中，当EF＝OF时，②如图3中，当OE＝OF时，③当OE＝EF时，分别利用等腰三角形的性质，构建方程求解即可．【解答】解：（1）如图1中，过点Q作QN⊥OA于点N．∵Q（，），∴QN＝，∵∠BOA＝90°，OA＝OB＝2，∴∠OAB＝∠OBA＝45°，∴AQ＝QN＝；（2）如图1中，过点D作DG⊥OA于点G．∵∠OAB＝45°，CD⊥AB，∴△CDA是等腰直角三角形，∴DG＝CA＝a，∵DE⊥OB，∴四边形OEDG是矩形，∴OE＝DG＝a，∵CE＝AC，∴（2﹣a）2+（a）2＝a2，解得，a＝8+4（舍去），或a＝8﹣4，∴当a＝8﹣4时，CE＝AC；（3）存在．由（2）可知，C（2﹣a，0），E（0，），∴直线CE的解析式为y＝x+，∵Q（，），∴直线OQ的解析式为y＝x，由，解得，，∴F（，），①如图2中，当EF＝OF时，过点F作FH⊥OE于点H，则OH＝OE，∴＝a，解得，a＝0（舍去）或a＝，经检验，a＝是分式方程的解，∴C（，0）．②如图3中，当OE＝OF时，则OF＝a，过点F作FH⊥OC于点H．∵F（，），∴FH＝OH，∴FH＝OF＝a，∴＝a，解得，a＝0（舍去）或a＝，经检验，a＝是分式方程的解，∴C（，0）．③当OE＝EF时，过点E作EK⊥OF于点K，则OK＝OF＝FH，由△EOK∽△OFH，可得OE＝OK＝5FH，即FH＝OE，∴＝a，解得，a＝0（舍去）或a＝，经检验，a＝是分式方程的解，∴C（，0），综上所述，满足条件的点C的坐标为（，0）或（，0）或（，0）．【点评】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题．2．（2021秋•天府新区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（3，n），与y轴交于点B（0，﹣2），点P是反比例函数y＝（x＞0）的图象上一动点，过点P作直线PQ∥y轴交直线y＝x+b于点Q，设点P 的横坐标为t，且0＜t＜3，连接AP，BP．（1）求k，b的值．（2）当△ABP的面积为3时，求点P的坐标．（3）设PQ的中点为C，点D为x轴上一点，点E为坐标平面内一点，当以B，C，D，E为顶点的四边形为正方形时，求出点P的坐标．【考点】反比例函数综合题．【专题】反比例函数及其应用；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．【分析】（1）将点B代入y＝x+b，求得b，进而求得y＝x﹣2，将A点坐标代入求得n；（2）表示出PQ的长，根据PQ•（x A﹣x B）＝3求得t，进而得出点P的坐标；（3）分为BC是边，点D在x轴正半轴上和在负半轴上，以及BC为对角线．当BC为边时，点D在x轴正半轴上时，过点C作CF⊥y轴，作DG⊥CF，证明△BCF≌△CGD，进而得出CF＝OF，从而求得t的值，另外两种情况类似方法求得．【解答】解：（1）∵直线y＝x+b过点B（0，﹣2），∴0+b＝﹣2，∴b＝﹣2，∵直线y＝x﹣2过点A（3，n），∴n＝3﹣2＝1，∴A（3，1），∵y＝过点A（3，1），∴k＝xy＝3×1＝3；（2）∵P（t，），Q（t，t﹣2），A（3，1），B（0，﹣2），∴PQ＝，∵S△APB＝S△APQ+S△BPQ＝（x A﹣x B），∴×3＝3，∴t＝，∴P（，）；（3）如图1，∵P（t，），Q（t，t﹣2），∴C（t，），当BC是边，点D在x轴正半轴上，作CF⊥OB于F，作DG⊥CF于G，∴∠BFC＝∠G＝90°，∴∠FBC+∠FCB＝90°，∵∠BCD＝90°，∴∠DCG+∠FCB＝90°，∴∠FBC＝∠DCG，∵BC＝CD，∴△BFC≌△CGD（AAS），∴CF＝DG，∵OF＝DG，∴OF＝CF，∴，∴t1＝1，t2＝﹣3（舍去），∴P（1，3）如图2，当点D在x轴的负半轴上时，由上知：BG＝DF＝2，∴t＝2，∴P（2，），当BC是对角线时，当BC是对角线时，点D在x轴负半轴上时，可得：CF＝OD，DF＝OB＝2，∴＝2﹣t，∴t＝1，∴P（1，3），如图4，CE＝DF＝2，DE＝BF，∴t+2＝，∴t1＝2﹣3，t2＝﹣2﹣3（舍去），当t＝2﹣3时，y＝＝2+3，∴P（2﹣3，2+3），综上所述：P（2，）或（1，3），（2﹣3，2+3）．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数关系式，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是正确分类，画出图形，找出列方程的等量关系．3．（2022•南山区模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上，点C在y轴的正半轴上，直线BC的解析式为y＝kx+12（k≠0），AC⊥BC，线段OA的长是方程x2﹣15x﹣16＝0的根．请解答下列问题：（1）求点A、点B的坐标．（2）若直线l经过点A与线段BC交于点D，且tan∠CAD＝，双曲线y＝（m≠0）的一个分支经过点D，求m的值．（3）在第一象限内，直线CB下方是否存在点P，使以C、A、P为顶点的三角形与△ABC 相似．若存在，请直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】反比例函数综合题．【专题】一元二次方程及应用；反比例函数及其应用；等腰三角形与直角三角形；图形的相似；运算能力；推理能力．【分析】（1）先解方程，求得A点坐标，根据△AOC∽△ACB，求得AB，进而求得B点坐标；（2）作DE⊥OC于E，先求得CD，可证△CDE∽△CBO，从而求得DE，CE，OE，进而求得结果；（3）分为四种情形：当△P AC∽△BCA时，此时△P AC≌△BCA，可直接写出点P坐标，当△P AC∽△ACB时，作PE⊥AB于E，先求得AP＝，再根据△PEA∽△ACO得PE＝，AE＝16，从而得出点P坐标，当△P AC∽△CBA时，此时△P AC≌△OCA，直接得出点P坐标，当△P AC∽△CAB时，此时△P AC≌△OAC，作PH⊥OC于H，AG⊥PH 于G，可证由△AGP∽△PHC，进一步求得点P坐标．【解答】解：由x2﹣15x﹣16＝0得，x1＝16，x2＝﹣1（舍去），∴OA＝16，∴A（16，0），当x＝0时，y＝12，∴C（0，12），∴OC＝12，∴AC＝＝＝20，∵AC⊥BC，∴∠ACB＝∠AOC＝90°，∵∠OAC＝∠BAC，∴△AOC∽△ACB，∴，∴＝，∴AB＝25∴OB＝AB﹣OA＝25﹣16＝9，∴B（﹣9，0）；（2）如图1，作DE⊥OC于E，∵tan∠CAD＝＝，AC＝20，∴CD＝＝5，∵OC＝12，OB＝9，∴BC＝＝15，∵∠CED＝∠BOC＝90°，∴DE∥OB，∴△CDE∽△CBO，∴，∴＝，∴DE＝3，CE＝4，∴OE＝OC﹣CE＝8，∴D（﹣3，8），∴，∴m＝﹣24；（3）如图2，当△P AC∽△BCA时，此时△P AC≌△BCA，∵A（12，0），B（﹣9，0），C（0，12），∴P（25，12），如图3，当△P AC∽△ACB时，作PE⊥AB于E，∴，∴，∴AP＝，由△PEA∽△ACO得，＝＝，∴＝＝＝，∴PE＝，AE＝16，∴OE＝OA+AE＝32，∴P（32，），如图4，当△P AC∽△CBA时，此时△P AC≌△OCA，∴P（16，12），如图5，当△P AC∽△CAB时，此时△P AC≌△OAC，∴＝＝，作PH⊥OC于H，AG⊥PH于G，由△AGP∽△PHC得，＝＝＝，∴设AG＝4x，PG＝4y，则PH＝3x，CH＝3y，∵PH+PG＝OA＝16，OC+CH＝AG，∴，∴，∴PH＝3x＝，AH＝4x＝，∴P（，），综上所述：P（25，12）或（32，）或（16，12）或（，）．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，求反比例函数解析式，解一元二次方程，解直角三角形，勾股定理等知识，解决问题的关键是正确分类及计算能力．4．（2022•济南一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（2，4）和点B（m，﹣2）．（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）直线AB与x轴交于点D，与y轴交于点C．①过点C作CE∥x轴交反比例函数y＝的图象于点E，连接AE，试判断△ACE的形状，并说明理由；②设M是x轴上一点，当∠CMO＝∠DCO时，求点M的坐标．【考点】反比例函数综合题．【专题】几何综合题；推理能力．【分析】（1）利用待定系数法求出k2，k1，b即可解决问题．（2）①结论：△ACE是等腰直角三角形．利用勾股定理以及勾股定理的逆定理证明即可．②分两种情形：当点M在x轴的负半轴上时，当点M在x轴的正半轴上时，分别求解即可．【解答】解：（1）∵点A（2，4）在反比例函数y＝上，∴k2＝8，∴反比例函数的解析式为y＝，∵点B（m，﹣2）在y＝上，∴m＝﹣4，∴B（﹣4，﹣2），∵y＝k1x+b的图象经过A（2，4），B（﹣4，﹣2），∴，解得，∴一次函数的解析式为y＝x+2．（2）对于y＝x+2，当x＝0时，y＝2，∴点C坐标为（0，2），当y＝0时，x＝﹣2，∴点D坐标为（﹣2，0），①结论：△ACE是等腰直角三角形．理由：∵CE∥x轴，∴点E的横坐标为2，∵点E在反比例函数y＝的图象上，∴E（2，4），∴CE＝4，∵AC＝＝2，AE＝＝2，∴AC2+AE2＝（2）2+（2）2＝16＝CE2，AC＝AE，∴∠CAE＝90°，∴△ACE是等腰直角三角形．②如图，由①可知，OC＝2，OD＝2，∴CD＝2，当点M在x轴的负半轴上时，∵∠CM2O＝∠DCO，∠CDO＝∠CM2O+∠M2CD，∴∠CM2O＝∠DCM2，∴DM2＝CD＝2，∴OM2＝OD+DM2＝2+2，∴点M2的坐标为（﹣2﹣2，0），同理，当点M在x轴的正半轴上时，根据对称性可知点M1的坐标为（2+2，0），综上所述，点M的坐标为（2+2，0）或（﹣2﹣2，0）．【点评】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，待定系数法，勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定等知识，解题的关键是学会由分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．5．（2021秋•锦江区校级期中）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+与双曲线y＝交于A、B两点，直线AB分别交x轴、y轴于C、D两点，且S△COD＝．（1）求一次函数的解析式；（2）如图2，E的坐标为（6，0），将线段DO沿y轴向上（或向下）平移得线段D′O′，在移动过程中，是否存在某个位置使AD′+EO′的值最小？若存在，求出AD′+EO′的最小值及此时点O′的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，将直线OA沿x轴平移，平移过程中在第一象限交y＝的图象于点M（M可与A重合），交x轴于点N．在平移过程中，是否存在某个位置使以M、N、E和平面内某一点P为顶点的四边形为菱形且以MN为菱形的边？若存在，请直接写出P的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】反比例函数综合题．【专题】几何综合题；推理能力．【分析】（1）求出C，D两点坐标，可得结论；（2）作点A关于y轴的对称点A′，作A′A″∥OD，且A′A″＝OD，连接EA″交y 轴于点O′，此时AD′+EO′的值最小，求出直线EA″的解析式，可得结论；（3）分三种情形：如图3﹣1中，当点N在点E的左侧时，MN＝ME．如图3﹣2中，当MN＝ME时，如图3﹣3中，当点N在点E的右侧时，MN＝EN，分别构建方程求解即可．【解答】解：（1）∵直线y＝kx+与y轴交于点D，∴D（0，），∴OD＝，∵S△COD＝，∴•OC•OD＝，∴×OC×＝，∴OC＝5，∴C（﹣5，0），把C（﹣5，0）代入y＝kx+，得到k＝，∴直线AB的解析式为y＝x+；（2）由，解得或，∴A（3，4），B（﹣8，﹣），作点A关于y轴的对称点A′，作A′A″∥OD，且A′A″＝OD，连接EA″交y轴于点O′，此时AD′+EO′的值最小，∵E（6，0），A″（﹣3，），∴AD′+EO′的值最小为A''E＝＝，直线EA″的解析式为y＝﹣x+1，∴O′（0，1）；（3）如图3﹣1中，当点N在点E的左侧时，MN＝ME过点M作MH⊥x轴于点H，∵tan∠MNH＝＝，∴可以设HN＝3k，MH＝4k，则MN＝5k，∴NE＝MN＝5k，∴EH＝2k，∴M（6﹣2k，4k），∴（6﹣2k）×4k＝12，解得k＝，此时P（，6+2）或（，6﹣2）．如图3﹣2中，当MN＝ME时，此时M（6﹣3m，4m），∴（6﹣3m）×4m＝12，解得m＝1，此时P（3，﹣4）．如图3﹣3中，当点N在点E的右侧时，MN＝EN，此时M（6+8n，4n），∴（6+8n）×4n＝12，解得n＝（负根已经舍弃），可得P（，）综上所述，满足条件的点P的坐标为（4，﹣3）或（，）或（，6+2）或（，6﹣2）．【点评】本题属于反比例函数综合题、考查了运用待定系数法求函数解析式、一次函数的应用、轴对称最短问题、菱形的性质，等腰三角形性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．6．（2021秋•渝中区校级月考）如图，已知直线y＝x+1与双曲线y＝交于A、B两点，且A点坐标为（a，2）．（1）求双曲线解析式及B点坐标．（2）将直线y＝x+1向下平移一个单位得直线l，P是y轴上的一个动点，Q是l上的一个动点，求AP+PQ的最小值．（3）若点M为y轴上的一个动点，N为平面内一个动点，当以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形时，直接写出N点坐标．【考点】反比例函数综合题．【专题】代数几何综合题；推理能力．【分析】（1）利用待定系数法求出点A的坐标，再求出双曲线的解析式，构建方程组确定交点B的坐标；（2）首先判断出直线l是一三象限的角平分线，过点O作OT⊥直线l交AB于点T，作点Q关于y轴的对称点Q′，连接PQ′，考点AP+PQ＝QP+PQ′≥AT，求出AT，可得结论；（3）分三种情形：①当∠BAM＝90°时．②当∠ABM＝90°时．③当∠AMB＝90°时，设M（0，m），设AB的中点为J（﹣，），利用勾股定理构建方程求出m，即可解决问题．【解答】解：（1）∵直线y＝x+1经过点A（a，2），∴2＝a+1，∴a＝1，∴A（1，2），∵双曲线y＝经过点A（1，20，∴k＝2，∴双曲线的解析式为y＝，由，解得或，∴B（﹣2，﹣1）；（2）如图1中，∵直线y＝x+1向下平移一个单位得直线l，∴直线l是一三象限的角平分线，过点O作OT⊥直线l交AB于点T，作点Q关于y轴的对称点Q′，连接PQ′，∴AP+PQ＝QP+PQ′≥AT，由题意A（（1，2），T（﹣，），∴AT＝＝∴AP+PQ的最小值为；（3）如图2中，①当∠BAM＝90°时，M1（0，3），N1（﹣3，0）．②当∠ABM＝90°时，M2（0，﹣3），N2（3，0）．③当∠AMB＝90°时，设M（0，m），设AB的中点为J（﹣，），∵AB＝＝3，∴AJ＝JB＝JM＝，∴（﹣）2+（﹣m）2＝（）2，解得m＝，∴M3（0，），M4（0，），∵JN3＝JM3，JN4＝JM4，∴N3（﹣1，），N4（﹣1，），综上所述，满足条件的点N的坐标为（﹣3，0）或（3，0）或（﹣1，）或（﹣1，）．【点评】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，待定系数法，矩形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，把最值问题转化为垂线段最短，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．7．（2021•亭湖区校级一模）材料：帕普斯借助函数给出了一种“三等分锐角”的方法，具体如下：①建立平面直角坐标系，将已知锐角∠AOB的顶点与原点O重合，角的一边OB与x轴正方向重合；②在平面直角坐标系里，绘制函数y＝的图象，图象与已知角的另一边OA交于点P；③以P为圆心，2OP为半径作弧，交函数y＝的图象于点R；④分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，两线相交于点M、Q；⑤连接OM，得到∠MOB，这时∠MOB＝∠AOB．根据以上材料解答下列问题：（1）设点P的坐标为（a，），点R的坐标为（b，），则点M的坐标为（b，）；（2）求证：点Q在直线OM上；（3）求证：∠MOB＝∠AOB；（4）应用上述方法得到的结论，如何三等分一个钝角（用文字简要说明）．【考点】反比例函数综合题．【专题】代数几何综合题；推理能力．【分析】（1）由点P的坐标为（a，），PM∥x轴，可得点M的纵坐标为，由点R的坐标为（b，），RM∥y轴，可得点M的横坐标为b，即可求解；（2）先求出直线OM解析式和点Q坐标，将点Q坐标代入解析式即可判断点Q是否在直线OM上；（3）连接PR，交OM于点S，由矩形的性质可得∠1＝∠2，由2PO＝PR＝2PS，可得PS＝PO，可得∠4＝∠3＝2∠2，由平行线的性质可得∠2＝∠5，即可得结论；（4）可以按照题意叙述的方法进行作图即可（方法不唯一）．【解答】（1）解：如图，∵点P的坐标为（a，），PM∥x轴，∴点M的纵坐标为，∵点R的坐标为（b，），RM∥y轴，∴点M的横坐标为b，∴点M（b，），故答案为：（b，）．（2）证明：设直线OM解析式为：y＝kx，∵点M（b，），∴＝bk，∴k＝，∴直线OM解析式为：y＝x，∵分别过点P和R作y轴和x轴的平行线，两直线相交于点Q，∴点Q（a，），∵当x＝a时，y＝×a＝，∴点Q在直线OM上；（3）证明：连接PR，交OM于点S，由题意得四边形PQRM是矩形，∴PR＝QM，SP＝PR，SM＝QM，∴SP＝SM，∴∠1＝∠2，∴∠3＝∠1+∠2＝2∠2，∵PR＝2PO，∴PS＝PO，∴∠4＝∠3＝2∠2，∵PM∥x轴，∴∠2＝∠5，∴∠AOB＝∠4+∠5＝3∠5，即∠MOB＝∠AOB；（4）解：如图，设边OA与函数y＝﹣（x＜0）的图象交于点P，以点P为圆心，2OP 的长为半径作弧，在第四象限交函数y＝﹣（x＞0）的图象于点R，过点P作x轴的平行线，过点R作y轴的平行线，两直线相交于点M，连接OM，则∠MOB＝∠AOB．【点评】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，矩形的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．8．（2021•铁岭模拟）如图，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于A、B两点，与x轴、y轴分别交于C、D两点，与x轴、y轴分别交于C，D两点，若CD＝2，tan∠ACO＝，点A的坐标为（m，3）．（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）连接OB，点P在直线AC上，且S△AOP＝2S△BOC，求点P的坐标．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；解直角三角形．【分析】（1）根据Rt△COD中，tan∠ACO＝，CD＝2，即可得到D（0，2），C（4，0），运用待定系数法即可求得反比例函数与一次函数的解析式；（2）先解方程组求得B（6，﹣1），进而得到S△AOP＝2S△BOC＝2××4×1＝4，设P（x，﹣x+2），再分两种情况：①当点P在CD上时，S△AOP＝S△AOD+S△DOP，②当点P'在CA延长线上时，S△AOP'＝S△DOP﹣S△AOD，分别求得点P的坐标为（2，1）或（﹣6，5）．【解答】解：（1）∵Rt△COD中，tan∠ACO＝，∴CO＝2OD，又∵CD＝2，∴OD2+4OD2＝（2）2，解得OD＝2，CO＝4，∴D（0，2），C（4，0），∵直线y＝ax+b（a≠0）与x轴、y轴分别交于C、D两点，∴，解得，∴一次函数的解析式为y＝﹣x+2，把点A的坐标（m，3）代入，可得3＝﹣m+2，解得m＝﹣2，∴A（﹣2，3），∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点A，∴k＝﹣2×3＝﹣6，∴反比例函数解析式为y＝﹣；（2）解方程组，可得或，∴B（6，﹣1），∴S△AOP＝2S△BOC＝2××4×1＝4，设P（x，﹣x+2），分两种情况：①当点P在CD上时，S△AOP＝S△AOD+S△DOP，∴4＝×2×2+×2×|x|，解得x＝2，∴P（2，1）；②当点P'在CA延长线上时，S△AOP'＝S△DOP'﹣S△AOD∴4＝×2×|x|﹣×2×2，解得x＝﹣6，∴P'（﹣6，5）．综上所述，点P的坐标为（2，1）或（﹣6，5）．【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及解直角三角形的应用，解决问题的关键是掌握待定系数法求函数解析式的方法，解题时注意分类思想的运用．求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解即可．9．（2021•杭锦旗二模）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A，C分别在坐标轴上，顶点B的坐标为（4，2），过点D（0，3）和E（6，0）的直线分别与AB，BC交于点M，N．（1）求直线DE的解析式和点M的坐标；（2）若反比例函数y＝的图象经过点M，求该反比例函数的解析式，并通过计算判断点N是否在该函数的图象上；（3）若反比例函数y＝（x＞0）的图象与△MNB有公共点，请直接写出k的取值范围；（4）若将△MNB放置于平面直角坐标系中：使斜边在横轴上，直角顶点B在反比例函数y＝的图象上，试求出N点的坐标．【考点】反比例函数综合题．【专题】反比例函数及其应用；矩形菱形正方形．【分析】（1）设直线DE的解析式是y＝kx+b，把D、E的坐标代入即可求出直线的解析式，把y＝2代入即可求出M的坐标．（2）把M的坐标代入反比例函数解析式求出即可，把x＝4代入直线的解析式即可求出N的坐标．（3）求出反比例函数的图象过B点的k值，即可求出答案．（4）求出直角三角形MBN的斜边上的高BL，根据相似求出LN，即可求出N的坐标．【解答】解：（1）设直线DE的解析式是y＝kx+b，把D、E的坐标代入得：，解得：k＝﹣，b＝3，∴直线DE的解析式是：y＝﹣x+3，∵矩形AOCB，B（4，2），∴把y＝2代入y＝﹣x+3得：x＝2，∴M的坐标是（2，2）．（2）把M（2，2）代入y＝得：k＝4，即反比例函数的解析式是y＝，∵B（4，2），∴把x＝4代入y＝﹣x+3得：y＝1，∴N的坐标是（4，1），把N的坐标代入y＝得：左边＝4，右边＝4，左边＝右边，即点N在反比例函数的图象上．（3）把B（4，2）代入y＝得：k＝8，∵反比例函数y＝过M、N点，∴若反比例函数y＝（x＞0）的图象与△MNB有公共点，k的取值范围是4≤k≤8．（4）过B作BL⊥MN于L，在△MNB中，BM＝4﹣2＝2，BN＝2﹣1＝1，由勾股定理得：NM＝＝，S△MNB＝BM×BN＝MN×BL，∴2×1＝×BL，∴BL＝，如图所示：∵直角顶点B在反比例函数图象上，∴B的纵坐标是，代入y＝得：横坐标是2，∴OL＝2，∵△MNB是直角三角形，BL⊥MN于L，∴△BLN∽△MBN，∴＝，∴＝，∴LN＝，∴ON＝OL+LN＝2+＝或ON＝OL﹣LN＝2﹣＝（此时N在M的左边），∴N的坐标是（，0）或（，0）．【点评】本题考查了用待定系数法求一次和反比例函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，勾股定理，三角形的面积，矩形的性质的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，有一定的难度．10．（2020•岳麓区校级模拟）直线y＝﹣x+2a（常数a＞0）和双曲线y＝（k＞0，x＞0）的图象有且只有一个交点B．（1）求点B的坐标（用含a的式子表示）；（2）如图1，一次函数y＝﹣x+2a与x轴交于点A，点P是线段OA上的动点，点Q在反比例函数图象上，且满足∠BPO＝∠QP A．①若a＝1时，点P在移动过程中，求BP+PQ的最小值；②如图2，设PQ与线段AB的交点为M，若OM⊥BP，试求的值．【考点】反比例函数综合题．【专题】几何综合题；反比例函数及其应用；应用意识．【分析】（1）构建方程组根据Δ＝0，确定k与a的关系，再求出方程组的解即可．（2）①如图1中，作过B关于OA的对称点B′，连接QB′交OA于P，此时∠BPO＝∠QP A，设Q（m，），构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可．②过点B作BH⊥OA于H交OM于J，设OM交PB于K．利用全等三角形的性质证明OJ＝PB，JH＝PH，JM＝PM即可解决问题．【解答】解：（1）由消去x得到，x2﹣2ax+k＝0，由题意Δ＝0，∴4a2﹣4k＝0，∴k＝a2，解方程组得到，，∴B（a，a）．（2）①如图1中，作过B关于OA的对称点B′，连接QB′交OA于P，此时∠BPO ＝∠QP A，设Q（m，），∵B（1，1），B′（1，﹣1），∴PB+PQ＝PB′+PQ＝B′Q＝＝＝＝，∵1＞0，∴当m﹣＝1时，PB+PQ的值最小，最小值为．②过点B作BH⊥OA于H交OM于J，设OM交PB于K．由题意，B（a，a），A（2a，0），∴OH＝BH＝AH＝a，∵OM⊥PB，BH⊥OA，∴∠OHJ＝∠BKJ＝90°，∵∠OJH＝∠BJK，∴∠HOJ＝∠HBP，∵∠OHJ＝∠BHP＝90°，OH＝BH，∴△OHJ≌△BHP（ASA），∴OJ＝PB，JH＝PH，∠OJH＝∠BPH，AP＝BJ，∵∠AHB＝90°，HB＝HA，∴∠P AM＝∠JBM＝45°，∵∠BPH＝∠APM，∠OJH＝∠BJM，∴∠BJM＝∠APM，∴△BJM≌△APM（ASA），∴JM＝PM，∴OM﹣PB＝OJ+JM﹣BP＝JM＝PM，∴＝1．【点评】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，一元二次方程的根的判别式，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．考点卡片1．反比例函数与一次函数的交点问题反比例函数与一次函数的交点问题（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．（2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有2个交点；②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝在同一直角坐标系中有0个交点．2．反比例函数综合题（1）应用类综合题能够从实际的问题中抽象出反比例函数这一数学模型，是解决实际问题的关键一步，培养了学生的建模能力和从实际问题向数学问题转化的能力．在解决这些问题的时候我们还用到了反比例函数的图象和性质、待定系数法和其他学科中的知识．（2）数形结合类综合题利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法．3．解直角三角形（1）解直角三角形的定义在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．（2）解直角三角形要用到的关系①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；②三边之间的关系：a2+b2＝c2；③边角之间的关系：sin A＝＝，cos A＝＝，tan A＝＝．（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）。

帕普斯三等分角原理

帕普斯三等分角原理
嘿，朋友们！今天咱来聊聊帕普斯三等分角原理呀！这可是个神奇又有趣的东西呢！
你想想看，要把一个角三等分，这可不是个简单事儿啊，就好像要把一个大蛋糕平均分给三个人，还不能切得歪七扭八的。

帕普斯就想出了个办法，就像一个聪明的大厨找到了分蛋糕的完美诀窍。

这个原理啊，就像是一把神奇的钥匙，能打开三等分角这个神秘的大门。

它不是那种一下子就能让人明白的简单玩意儿，得花点心思去琢磨琢磨。

比如说，咱画个角，然后按照帕普斯的方法去摆弄，嘿，你还真能看到角被慢慢三等分了呢！这感觉多奇妙呀，就好像变魔术一样。

咱平时生活中也有很多类似的情况呀，比如要把一件事情平均分给几个人去做，或者要把一个资源合理地分配。

这不就和三等分角有点像嘛！
你说，要是没有帕普斯的这个智慧，咱得费多大劲去想办法三等分角呀。

这可真是前人栽树，后人乘凉呢！
帕普斯三等分角原理，它不是那种高高在上、遥不可及的理论，而是能实实在在让我们受益的东西。

它就像一个隐藏在数学世界里的宝藏，等着我们去发现，去挖掘。

它也提醒着我们，不要小瞧了那些看起来很难的问题，说不定就有个聪明的办法在等着我们呢！
而且，通过研究这个原理，咱还能锻炼自己的思维能力呀，让我们的脑子变得更灵活，更会想办法。

这不就是学习的乐趣嘛，能从一个小小的原理中发现大大的世界。

所以啊，帕普斯三等分角原理可真是个好东西，大家可得好好去了解了解，说不定哪天就能派上大用场呢！这可不是我瞎说，你自己去试试就知道啦！。

2021年福建省中考数学反比例函数压轴试题(30题原卷版和答案版)

福建中考反比例函数压轴题（30题原卷版）1.在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（4，0），点B 为y 轴上的一动点，将线段AB 绕点B 顺时针旋转90°得到线段BC ，若点C 恰好落在反比例函数xy 3=的图象上，则点B 的坐标为 .2.已知矩形ABCD 的四个顶点在反比例函数ky x=（k ＞0）的图象上，且AB =4，AD =2，则k 的值为．3.如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC 的对角线交于点D ，双曲线)0(>=x x k y 经过C ，D 两点，双曲线)0(8>=x x y 经过点B ，则平行四边形OABC 的面积为．4.如图1，点P 在双曲线y =k 1x(x >0)上，PA ⊥x 轴于点A ，PB ⊥y 轴于点B ，PA ，PB 分别与双曲线y =k 2x (0<k 2<k 1,x >0)交于点C ，D ，DN ⊥x 轴于点N. 若PB=3PD ，S 四边形PDNC =2，则k 1=___________.5.如图，在平面直角坐标系中，O 为□ABCD 的对称中心，点A 的坐标为（－2，－2），AB =5，AB ∥x 轴，反比例函数y =kx 的图象经过点D ，将□ABCD 沿y 轴向下平移，使点C 的对应点C ′落在反比例函数的图象上，则平移过程中线段AC 扫过的面积为___________.6.如图，矩形OABC 的面积为10，双曲线(0)k y x x=>与AB 、BC 分别交于点D 、E ，若2AD BD =，则k 的值为_____．7.如图，点A 为双曲线2y x=-在第二象限上的动点，AO 的延长线与双曲线的另一个交点为B ，以AB 为边的矩形ABCD 满足:3:2AB BC =，对角线AC ，BD 交于点P ，设P 的坐标为(,)m n ，则m ，n 满足的关系式为_____．8.如图，在平面直角坐标系xOy 中，□ABCD 的顶点A ，B 分别在x ，y 轴的负半轴上，C ，D 在反比例函数ky x =（x ＞0）的图象上，AD 与y 轴交于点E ，且AE =23AD ，若△ABE 的面积是3，则k 的值是．．9.如图，四边形OABC 是矩形，对角线OB 在y 轴正半轴上，点A 在反比例函数y ＝xk1的图象上，点C 在反比例函数y ＝xk 2的图象上，且点A 在第一象限．过点A 、C 分别作x 轴的垂线段，垂足分别为点E 、F ，则以下说法：①k 1k 2＝－1，②CFAE ＝│21k k │，③阴影部分面积是21(k 1＋k 2)，④若四边形OABC 是正方形，则k 1＋k 2＝0，正确的是．（填序号）xyBCD E A O10.如图，点AOA ，作OB ⊥OA．11.设函数1y x=与1y x =+的图象的交点坐标为（m ，n ），则（m +1)(n +1)的值为_______．12.如图所示，反比例函数y ＝（＞0）与过点M （﹣2，0）的直线l ：y ＝kx +b的图象交于A ，B 两点，若△ABO 的面积为，则直线l 的解析式为．14.如图，等边三角形ABC 的顶点A ，B 分别在反比例函数ky x=()0k >图象的两个分支上，点C 在反比例函数y x=-的图象上，//BC x 轴．当ABC ∆的面积最小时，k 的值为_______．15.已知双曲线4y x=与O 在第一象限内交于A B ，两点，45AOB ∠=，则扇形OAB 的面积是．16.如图，点A 是双曲线y=8x在第一象限上的一动点，连接AO 并延长交另一分支于点B ，以AB 为斜边作等腰Rt △ABC ，点C 在第二象限，随着点A 的运动，点C 的位置也不断的变化，但始终在一函数图象上运动，则这个函数的解析式为_____．17.如图，在平面直角坐标系xOy 中，平行四边形OABC 的对角线交于点D ，顶点A 在x 轴正半轴上，双曲线()30y x x=>经过C ，D 两点，双曲线()0ky x x =>经过点B ，则k 的值为______．18.如图，点A 在反比例函数y ＝1x 的图象上，点B 在反比例函数y ＝3x的图象上，且AB ∥x 轴，点C 、D 在x 轴上，若四边形ABCD 为矩形，则它的面积为______．19.已知等边三角形ABC 是边长为4，两顶点A 、B 分别在平面直角坐标系的x 轴负半轴、y 轴的正半轴上滑动，点C 在第四象限，连接OC ，则线段OC 的长的最小值是_____．20.如图，以点O 为圆心，半径为2的圆与ky x=的图象交于点,A B ，若60AOB ∠=︒，则k 的值为________．21.在平面直角坐标系xOy 中，点A ()a b ，()00a b >>，在双曲线1k y x=上．点A 关于x 轴的对称点B 在双曲线2k y x=上，则12k k +的值为_______. 20.如图,A E 为反比例函数()20=>y x x上的两点，B 、D 为反比例函数()0ky x x=>上的两点，////AB DE y 轴，连结DA 并延长交y 轴于点C 且CD x轴，若19ABC ADE S S ∆∆-=，则k =__________．22.如图，已知双曲线ky x=与直线y =﹣x +6相交于A ，B 两点，过点A 作x 轴的垂线与过点B 作y 轴的垂线相交于点C ，若△ABC 的面积为8，则k 的值为______．23.已知点M 为双曲线0)y x x=>上的一点，过点M 作x 轴、y 轴的垂线，分别交直线(0)y x m m =-+>于点D 、C 两点（点D 在点M 下方.若直线(0)y x m m =-+>与y 轴交于点A ，与x 轴相交于点B ，则AD BC ⋅的值为________.24.如图，在平面直角坐标系，菱形ABOC 的顶点O 在坐标原点，边BO 在x 轴的负半轴上，60BOC ∠=︒，顶点C 的坐标为(m ，反比例函数ky x=的图象与菱形对角线AO 交于点D ，连接BD ，当BD x ⊥轴时，k ．25.如图，点A 是反比例函数y ＝（x ＞0）图象上一点，直线y ＝kx +b 过点A 并且与两坐标轴分别交于点B ，C ，过点A 作AD ⊥x 轴，垂足为D ，连接DC ，若△BOC 的面积是4，则△DOC 的面积是．26.如图，反比例函数y ＝（k ≠0）的图象经过等边△ABC 的顶点A ，B ，且原点O 刚好落在AB 上，已知点C 的坐标是（3，3），则k 的值为．27.如图，曲线是由函数4y x=在第一象限内的图象绕坐标原点O 逆时针旋转30得到的，过点(4,A -，()2B 的直线与曲线l 相交于点M 、N ，则OMN 的面积为．28.“三等分角”是数学史上一个著名的问题，但仅用尺规不可能“三等分角”．下面是数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐角”的方法(如图)：将给定的锐角∠AOB 置于直角坐标系中，边OB 在x 轴上、边OA 与函数ky x=的图象交于点C ，以C 为圆心、以2OC 为半径作弧交图象于点D ．分别过点C 和D 作x 轴和y 轴的平行线，两直线相交于点E ，连接OE 得到∠EOB ，则∠EOB ＝13∠AOB ．过点C 作CH ⊥x 轴于点H ，交OE 于点G ，连接GD ，若6OC =5OF =30，则k 的值为．29.反比例函数y＝6x与y＝3x在第一象限的图象如图所示，作一条平行于x轴的直线分别交双曲线于A、B两点，连接OA、OB，则△AOB的面积为（）30.已知点A是双曲线y=－3x在第二象限分支上的一个动点，连接AO并延长另一分支于点B，以AB为底作等腰三角形ABC，点C在第一象限，且∠ACB=120∘，点C的位置随着点A的运动在不断变化，但始终在双曲线y=kx上，则k的值为．福建中考反比例函数压轴题（30题答案版）1.在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（4，0），点B 为y 轴上的一动点，将线段AB 绕点B 顺时针旋转90°得到线段BC ，若点C 恰好落在反比例函数xy 3=的图象上，则点B 的坐标为 . 答案：（0，1）或（0，3）2.已知矩形ABCD 的四个顶点在反比例函数ky x=（k ＞0）的图象上，且AB =4，AD =2，则k 的值为．答案：323.如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC 的对角线交于点D ，双曲线)0(>=x x k y 经过C ，D 两点，双曲线)0(8>=x x y 经过点B ，则平行四边形OABC 的面积为．答案：64.如图1，点P 在双曲线y =k 1x(x >0)上，PA ⊥x 轴于点A ，PB ⊥y 轴于点B ，PA ，PB 分别与双曲线y =k 2x (0<k 2<k 1,x >0)交于点C ，D ，DN ⊥x 轴于点N. 若PB=3PD ，S 四边形PDNC =2，则k 1=___________.答案：95.如图，在平面直角坐标系中，O 为□ABCD 的对称中心，点A 的坐标为（－2，－2），AB =5，AB ∥x 轴，反比例函数y =kx 的图象经过点D ，将□ABCD 沿y 轴向下平移，使点C 的对应点C ′落在反比例函数的图象上，则平移过程中线段AC 扫过的面积为___________.答案：206.如图，矩形OABC 的面积为10，双曲线(0)k y x x=>与AB 、BC 分别交于点D 、E ，若2AD BD =，则k 的值为_____．答案：2037.如图，点A 为双曲线2y x=-在第二象限上的动点，AO 的延长线与双曲线的另一个交点为B ，以AB 为边的矩形ABCD 满足:3:2AB BC =，对角线AC ，BD 交于点P ，设P 的坐标为(,)m n ，则m ，n 满足的关系式为_____．答案：mn=898.如图，在平面直角坐标系xOy 中，□ABCD 的顶点A ，B 分别在x ，y 轴的负半轴上，C ，D 在反比例函数k y x=（x ＞0）的图象上，AD 与y 轴交于点E ，且AE =23AD ，若△ABE 的面积是3，则k 的值是．答案：949.如图，四边形OABC 是矩形，对角线OB 在y 轴正半轴上，点A 在反比例函数y ＝xk 1的图象上，点C 在反比例函数y ＝xk 2的图象上，且点A 在第一象限．过点A 、C 分别xyBCD EAO作x 轴的垂线段，垂足分别为点E 、F ，则以下说法：①k 1k 2＝－1，②CFAE＝│21k k │，③阴影部分面积是21(k 1＋k 2)，④若四边形OABC 是正方形，则k 1＋k 2＝0，正确的是．（填序号）答案：②④10.如图，点AOA ，作 OB ⊥OA ，交双曲线8y x=于点B ，则OA OB的值为______．答案：1211.设函数1y x=与1y x =+的图象的交点坐标为（m ，n ），则（m +1)(n +1)的值为_______．答案：2+√5或2-√5（注：系统原因，根号的书写有点问题）12.如图所示，反比例函数y ＝（＞0）与过点M （﹣2，0）的直线l ：y ＝kx +b的图象交于A ，B 两点，若△ABO 的面积为，则直线l 的解析式为．答案：y=43x+83【分析】解方程组，即可得出B （﹣3，﹣k ），A （1，3k ），再根据△ABO 的面积为，即可得到k ＝，进而得出直线l 的解析式为y ＝x +．【解答】解：把M （﹣2，0）代入y ＝kx +b ，可得b ＝2k ， ∴y ＝kx +2k ，由消去y 得到x 2+2x ﹣3＝0，解得x ＝﹣3或1，∴B （﹣3，﹣k ），A （1，3k ）， ∵△ABO 的面积为， ∴•2•3k +•2•k ＝，解得k ＝，∴直线l 的解析式为y ＝x +．故答案为：y ＝x +．13.如图，等边三角形ABC 的顶点A ，B 分别在反比例函数ky x=()0k >图象的两个分支上，点C 在反比例函数y x=-的图象上，//BC x 轴．当ABC ∆的面积最小时，k 的值为_______．答案：－314.已知双曲线4y x=与O 在第一象限内交于A B ，两点，45AOB ∠=，则扇形OAB 的面积是．答案：√2π15.如图，点A是双曲线y=8x在第一象限上的一动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为斜边作等腰Rt△ABC，点C在第二象限，随着点A的运动，点C的位置也不断的变化，但始终在一函数图象上运动，则这个函数的解析式为_____．答案：y=－8x【分析】连结OC，作CD⊥x轴于D，AE⊥x轴于E，利用反比例函数的性质和等腰直角三角形的性质，根据“AAS”可判定△COD≌△OAE，设A点坐标为（a，8a），得出OD=AE=8a，CD=OE=a，最后根据反比例函数图象上点C的坐标特征确定函数解析式．【详解】解：如图，连结OC，作CD⊥x轴于D，AE⊥x轴于E，∵A点、B点是正比例函数图象与双曲线y=8x的交点，∴点A与点B关于原点对称，∴OA=OB，∵△ABC为等腰直角三角形，∴OC=OA，OC⊥OA，∴∠DOC+∠AOE=90°，∵∠DOC+∠DCO=90°，∴∠DCO=∠AOE，∵在△COD和△OAE中，CDO OEADCO EOACO OA∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△COD≌△OAE（AAS），设A点坐标为（a，8a），则OD=AE=8a，CD=OE=a，∴C点坐标为（﹣8a，a），∵﹣8aa•=﹣8，∴点C在反比例函数y=﹣8x图象上．故答案为：y=﹣8x．【点睛】本题主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，解题时需要综合运用反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质．判定三角形全等是解决问题的关键环节．16.如图，在平面直角坐标系xOy 中，平行四边形OABC 的对角线交于点D ，顶点A 在x 轴正半轴上，双曲线()30y x x=>经过C ，D 两点，双曲线()0ky x x =>经过点B ，则k 的值为______．答案：12【分析】根据平行四边形的性质得到OD BD =，设D 的坐标是3(,)m m，得到B 的坐标是6(2,)m m即可．【详解】解：平行四边形OABC 的对角线交于点D ，OD BD ∴=，OB=2OD ，设D 的坐标是3(,)m m， B ∴的坐标是6(2,)m m，k=2m ×6m =12，故答案为：12．【点睛】本题考查了平形四边形的性质，反比例函数系数k的几何意义，根据D 点的坐标表示出点B坐标是解题的关键．17.如图，点A在反比例函数y＝1x的图象上，点B在反比例函数y＝3x的图象上，且AB∥x轴，点C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为______．答案：2【分析】首先延长BA交x轴于点E，易得四边形ADOE与四边形BCOE是矩形，又由点A在反比例函数y＝1x的图象上，点B在反比例函数y＝3x的图象上，即可得S矩形ADOE=1，S矩形BCOE=3，继而求得答案．【详解】延长BA交x轴于点E，∵四边形ABCD为矩形，且AB∥x轴，点C、D在x轴上，∴AE⊥x轴，∴四边形ADOE与四边形BCOE是矩形，∵点A在反比例函数y＝1 x的图象上，点B在反比例函数y＝3x的图象上，∴S矩形ADOE =1，S矩形BCOE=3，∴S矩形ABCD=S矩形BCOE-S矩形ADOE=3-1=2．故答案为2．18.已知等边三角形ABC是边长为4，两顶点A、B分别在平面直角坐标系的x 轴负半轴、y轴的正半轴上滑动，点C在第四象限，连接OC，则线段OC的长的最小值是_____．答案：2√3－2【分析】过点C作CE⊥AB于点E，然后利用等边三角形的性质得出C点位置，进而求出OC的长．【详解】解：如图所示：过点C作CE⊥AB于点E，当点C，O，E在一条直线上，此时OC最短，∵△ABC是等边三角形，∴CE过点O，E为AB中点，则此时EO＝12AB＝2，故OC的最小值为：OC＝CE﹣EO＝BC sin60°－12AB＝2．故答案为：2．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，垂线的性质，锐角三角函数，得出当点C，O，E在一条直线19.如图，以点O为圆心，半径为2的圆与kyx=的图象交于点,A B，若60AOB∠=︒，则k的值为________．答案：1【分析】分别过A作AM⊥y轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N，利用对称性，可得∠AOM=∠BON=15°．再作点B关于x轴的对称点C，连接BC，OC，作BD⊥OC于点D，根据S△OBN=12S△OBC得出△OBN的面积，从而可求出k的值．详解】解：分别过A作AM⊥y轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N，由圆、反比例函数图象的对称性可知，图形关于一、三象限角平分线对称，即关于直线y=x 对称，可得△AOM ≌△BON ，∴∠AOM=∠BON=12×（90°-60°）=15°．作点B 关于x 轴的对称点C ，连接BC ，OC ，作BD ⊥OC 于点D ，则∠BOC=2∠BON=30°，OB=OC=2，∴BD=12OB=1， ∴S △OBN =12S △OBC =12×OC ×BD=1， ∴k=S △OBN =1．故答案为：1．【点睛】本题考查了反比例函数k 的几何意义，圆与反比例函数的对称性，含30°的直角三角形的性质等知识，正确作出辅助线是解决问题的关键．20.在平面直角坐标系xOy 中，点A ()a b ，()00a b >>，在双曲线1k y x=上．点A 关于x 轴的对称点B 在双曲线2k y x =上，则12k k +的值为_______. 答案：0【解析】关于x 轴对称的点的坐标特点、双曲线ky x =上点的坐标与k 的关系.∵A 、B 两点关于x 轴对称，∴B 点的坐标为(),a b -.又∵A ()a b ，、B (),a b -两点分别在又曲线1k y x =和2k y x=上； ∴12,ab k ab k =-=.∴120k k +=；故填0.21.如图,A E 为反比例函数()20=>y x x 上的两点，B 、D 为反比例函数()0k y x x=>上的两点，////AB DE y 轴，连结DA 并延长交y 轴于点C 且CD x 轴，若19ABC ADE S S ∆∆-=，则k =__________．答案：9422.如图，已知双曲线k y x=与直线y =﹣x +6相交于A ，B 两点，过点A 作x 轴的垂线与过点B 作y 轴的垂线相交于点C ，若△ABC 的面积为8，则k 的值为______．答案：523.已知点M 为双曲线0)y x =>上的一点，过点M 作x 轴、y 轴的垂线，分别交直线(0)y x m m =-+>于点D 、C 两点（点D 在点M 下方.若直线(0)y x m m =-+>与y 轴交于点A ，与x 轴相交于点B ，则AD BC ⋅的值为________.答案：2√3【分析】作CE ⊥x 轴于E ，DF ⊥y 轴于F ，由直线的解析式为y=-x+m ，易得A （0，m ），B （m ，0），得到△OAB 等腰直角三角形，则△ADF 和△CEB 都是等腰直角三角形，设M 的坐标为（a ，b ），则CE=b ，DF=a ，则a ，，b ，于是得到【详解】作CE ⊥x 轴于E ，DF ⊥y 轴于F ，如图，对于y=-x+m ，令x=0，则y=m ；令y=0，-x+m=0，解得x=m ，∴A （0，m ），B （m ，0），∴△OAB 等腰直角三角形，∴△ADF 和△CEB 都是等腰直角三角形，设M 的坐标为（a ，b ），则CE=b ，DF=a ，∴a ，，∴b ⨯故答案为【点睛】本题考查了反比例函数综合题：点在反比例函数图象上，点的横纵坐标满足其解析式；会求一次函数与坐标轴的交点坐标以及灵活运用等腰直角三角形的性质．24.如图，在平面直角坐标系，菱形ABOC 的顶点O 在坐标原点，边BO 在x 轴的负半轴上，60BOC ∠=︒，顶点C 的坐标为(m ，反比例函数k y x=的图象与菱形对角线AO 交于点D ，连接BD ，当BD x ⊥轴时，k ．答案：－12√3【分析】延长AC交y轴于E，如图，根据菱形的性质得AC∥OB，则AE⊥y 轴，再由∠BOC＝60°得到∠COE＝30°，则根据含30度的直角三角形三边的关系得到CE＝OE＝3，OC＝2CE＝6，接着根据菱形的性质得OB＝OC ＝6，∠BOA＝30°，于是在Rt△BDO中可计算出BD＝OB＝2，所以D点坐标为（﹣6，2），然后利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出k的值．【解答】解：延长AC交y轴于E，如图，∵菱形ABOC的顶点O在坐标原点，边BO在x轴的负半轴上，∴AC∥OB，∴AE⊥y轴，∵∠BOC＝60°，∴∠COE＝30°，而顶点C的坐标为（m，3），∴OE＝3，∴CE＝OE＝3，∴OC＝2CE＝6，∵四边形ABOC为菱形，∴OB＝OC＝6，∠BOA＝30°，在Rt△BDO中，∵BD＝OB＝2，∴D点坐标为（﹣6，2），∵反比例函数y＝的图象经过点D，∴k＝﹣6×2＝﹣12．故答案为﹣12．25.如图，点A是反比例函数y＝（x＞0）图象上一点，直线y＝kx+b过点A并且与两坐标轴分别交于点B，C，过点A作AD⊥x轴，垂足为D，连接DC，若△BOC的面积是4，则△DOC的面积是．答案：2√3－2【分析】方法1、先用三角形BOC的面积得出k＝①，再判断出△BOC∽△BDA，得出a2k+ab＝4②，联立①②求出ab，即可得出结论．方法2、先利用△BOC的面积得出k＝，表示出A（m，），进而得出m+b＝，即（mb）2+mb﹣4＝0，即可得出结论．【解答】解法1：设A（a，）（a＞0），∴AD＝，OD＝a，∵直线y＝kx+b过点A并且与两坐标轴分别交于点B，C，∴C（0，b），B（﹣，0），∵△BOC的面积是4，∴S＝OB×OC＝××b＝4，△BOC∴b2＝8k，∴k＝①∵AD⊥x轴，∴OC∥AD，∴△BOC∽△BDA，∴，∴，∴a2k+ab＝4②，联立①②得，ab＝﹣4﹣4（舍）或ab＝4﹣4，∴S＝OD•OC＝ab＝2﹣2△DOC故答案为2﹣2．解法2、∵直线y＝kx+b与两坐标轴分别交于点B，C，∴B（﹣，0），C（0，b），∴OB＝，OC＝b，∵△BOC的面积是4，∴××b＝4，∴＝8，∴k＝设OD＝m，∵AD⊥x轴，∴A（m，），∵点A在直线y＝kx+b上，∴km+b＝，∴m+b＝，∴（mb）2+mb﹣4＝0，∴mb＝﹣4﹣4（舍）或mb＝4﹣4，＝OC×OD＝b×m＝2﹣2∴S△COD26.如图，反比例函数y＝（k≠0）的图象经过等边△ABC的顶点A，B，且原点O刚好落在AB上，已知点C的坐标是（3，3），则k的值为．答案：－3【分析】由对称性可知：OA＝OB，△ABC是等边三角形，推出OC⊥AB，由C（3，3），推出OC＝3，推出OB＝OC＝，推出B（，﹣），由此即可解决问题；【解答】解：由对称性可知：OA＝OB，∵△ABC是等边三角形，∴OC⊥AB，∵C（3，3），∴OC＝3，∴OB＝OC＝，∴B（，﹣），把B点坐标代入y＝，得到k＝﹣3，故答案为﹣3．27.如图，曲线是由函数4y x=在第一象限内的图象绕坐标原点O 逆时针旋转30得到的，过点(4,A -，()2B 的直线与曲线l 相交于点M 、N ，则OMN 的面积为．答案：8√228.“三等分角”是数学史上一个著名的问题，但仅用尺规不可能“三等分角”．下面是数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐角”的方法(如图)：将给定的锐角∠AOB 置于直角坐标系中，边OB 在x 轴上、边OA 与函数k y x=的图象交于点C ，以C 为圆心、以2OC 为半径作弧交图象于点D ．分别过点C 和D 作x 轴和y 轴的平行线，两直线相交于点E ，连接OE 得到∠EOB ，则∠EOB ＝13∠AOB ．过点C 作CH ⊥x 轴于点H ，交OE 于点G ，连接GD ，若6OC =5OF =30，则k 的值为．答案：22529.反比例函数y＝6x与y＝3x在第一象限的图象如图所示，作一条平行于x轴的直线分别交双曲线于A、B两点，连接OA、OB，则△AOB的面积为．答案：32【分析】分别过A、B作x轴的垂线，垂足分别为D、E，过B作BC⊥y轴，点C为垂足，由反比例函数系数k的几何意义可知，S四边形OEAC ＝6，S△AOE＝3，S△BOC＝32，再利用面积相减的关系求出答案.【详解】分别过A、B作x轴的垂线，垂足分别为D、E，过B作BC⊥y轴，点C为垂足，∵由反比例函数系数k的几何意义可知，S四边形OEAC ＝6，S△AOE＝3，S△BOC＝32，∴S△AOB＝S四边形OEAC﹣S△AOE﹣S△BOC＝6﹣3﹣32＝32．故选：32．【点睛】此题考查反比例函数的系数k的几何意义，根据函数图象作出对应的三角形或矩形，利用系数k求出对应图象的面积是解题的关键.在第二象限分支上的一个动点，连接AO并延长另一30.已知点A是双曲线y=－3x分支于点B，以AB为底作等腰三角形ABC，点C在第一象限，且∠ACB=120∘，上，则k的值点C的位置随着点A的运动在不断变化，但始终在双曲线y=kx为．答案：1。

三等分角知识点

12.3 数学视野
三等分角
三等分角大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，它和“立方倍积问题”、“化圆为方问题”一起被称为“古代三大几何难题”. 两千多年来，从初学几何的青少年到经验丰富的学者，数以万计的人都曾经研究过“三等分角问题”，希腊数学家阿基米德（Archimedes，前287-前212年）曾用线条作图法宣称解决了“三等分角问题”；帕普斯(Pappus，约公元300年)在他有独创性的名著中曾证明用一固定双曲线也能解“三等分角问题”；希腊数学家尼科梅达斯(Nicomedes．公元前二世纪)称他的“蚌线法”也可三等分一个角. 直至1837年，法国数学家旺策尔（Wantzel，pierrela urene，1814-1848）才用代数的方法证明了尺规作图不可能（任意角三等分），但由于该问题历史长久，流传广泛，仍不断有人为之耗费精力，1936年8月18日《北京晨报》曾经发表一条消息说：郑州铁路站站长汪君，耗费了14年的精力，终于解决了“三等分角问题”，并将其尺规作法寄往各国，一时间引起国内外数学界的注意，可是不久，就有许多人陆续来信，指出他的作法是错误的.
直到1966年以前，中国科学院数学研究所每年都要接到不少研究“三等分角问题”的稿件. 后来，研究所只好在国家权威杂志《数学通报》上发表通告：三等分任意角用尺规作图是不可能的. 该命题也已经被数学家伽罗瓦用《近世代数》和《群论》证明是不可能的.
现在三等分角个人研究的爱好者数量还是不少的，网页上陆陆续续地出现很多“我能尺规作图三等分角”的观点，一经发表几乎在最短的时间内被评论为是错误的，或者是违背了尺规作图的原理.
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中考新定义题及答案

1．阅读以下材料：对于三个数a、b、c，用M（a，b，c）表示这三个数的平均数，用min（a，b，c）表示这三个数中最小的数．例如：M{﹣1，2，3}=；min{﹣1，2，3}=﹣1；min{﹣1，2，a}=a（a≤﹣1）；﹣1（a＞﹣1）解决下列问题：（1）填空：min{sin30°，cos45°，tan30°}= ，如果min{2，2x+2，4﹣2x}=2，则x的取值范围为≤x≤；（2）①如果M{2，x+1，2x}=min{2，x+1，2x}，求x．②根据①，你发现了结论“如果M{a，b，c}=min{a，b，c}，那么（填a，b，c的大小关系）”，证明你发现的结论．③运用②的结论，填空：若M{2x+y+2，x+2y，2x﹣y}=min{2x+y+2，x+2y，2x﹣y}，则x+y= ；（3）在同一直角坐标系中作出函数y=x+1，y=（x﹣1）2，y=2﹣x的图象（不需列表描点），通过观察图象，填空：min{x+1，（x﹣1）2，2﹣x}的最大值为．2．阅读理解：对于三个数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的平均数，用min{a，b，c}表示这三个数中最小的数．例如：M{﹣1，2.3}==；min{﹣1，2，3}=﹣1min{﹣1，2，a}=（1）填空：①M{（﹣2）3，（﹣3）2，（﹣）﹣2}= ；②min{sin60°，cos45°，tan30°}= ；③如果min{3，2x﹣5，﹣3x+24}=3，则x的取值范围为．探究归纳：（2）①如果M{2015，x+2014，2x+2013}=min{2015，x+2014，2x+2013}，求x的值；①根据①，你发现了结论“如果M{a，b，c}=min={a，b，c}，那么（填a，b，c的大小关系）”．证明你发现的结论；迁移运用：③运用②的结论，填空：M{3x+y，x+2y+11，4x﹣y﹣2}=min{3x+y，x+2y+11，4x﹣y﹣2}，则x+y= ．3．设x i（i=1，2，3，…，n）为任意代数式，我们规定：y=max{x1，x2，x3，…，x n}表示x1，x2，…，x n中的最大值，如y=max{1，2}=2（1）求y=max{x，3}；（2）借助函数图象，解决以下问题：①解不等式 max{x+1，}≥2②若函数y=max{|x﹣1|，x+a，x2﹣4x+3}的最小值为1，求实数a的值．4．定义运算max{a，b}：当a≥b时，max{a，b}=a；当a＜b时，max{a，b}=b．如max{﹣3，2}=2．（1）max{，3}= ；（2）已知y1=和y2=k2x+b在同一坐标系中的图象如图所示，若max{，k2x+b}=，结合图象，直接写出x的取值范围；（3）用分类讨论的方法，求max{2x+1，x﹣2}的值．5．小明在课外学习时遇到这样一个问题：定义：如果二次函数y=a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与y=a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2，b2，c2是常数）满足a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，则称这两个函数互为“旋转函数”．求函数y=﹣x2+3x﹣2的“旋转函数”．小明是这样思考的：由函数y=﹣x2+3x﹣2可知，a1=﹣1，b1=3，c1=﹣2，根据a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，求出a2，b2，c2，就能确定这个函数的“旋转函数”．请参考小明的方法解决下面问题：（1）写出函数y=﹣x2+3x﹣2的“旋转函数”；（2）若函数y=﹣x2+mx﹣2与y=x2﹣2nx+n互为“旋转函数”，求（m+n）2015的值；（3）已知函数y=﹣（x+1）（x﹣4）的图象与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，试证明经过点A1，B1，C1的二次函数与函数y=﹣（x+1）（x﹣4）互为“旋转函数．”6．给出函数．（1）写出自变量x的取值范围；（2）请通过列表、描点、连线画出这个函数的图象；①列表：x …﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1﹣﹣﹣1 2 3 4 …y ……②描点（在下面给出的直角坐标中描出上表对应的各点）：③连线（将上图中描出的各点用平滑曲线连接起来，得到函数图象）（3）观察函数图象，回答下列问题：①函数图象在第象限；②函数图象的对称性是（）A．既是轴对称图形，又是中心对称图形B．只是轴对称图形，不是中心对称图形C．不是轴对称图形，而是中心对称图形D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形③在x＞0时，当x= 时，函数y有最（大，小）值，且这个最值等于；在x＜0时，当x= 时，函数y有最（大，小）值，且这个最值等于；④在第一象限内，x在什么范围内，y随着x增大而减小，x在什么范围内，y随x增大而增大；（4）方程是否有实数解？说明理由．7．阅读材料：用配方法求最值．已知x，y为非负实数，∵x+y﹣2≥0∴x+y≥2，当且仅当“x=y”时，等号成立．示例：当x＞0时，求y=x++4的最小值．解：+4=6，当x=，即x=1时，y的最小值为6．（1）尝试：当x＞0时，求y=的最小值．（2）问题解决：随着人们生活水平的快速提高，小轿车已成为越来越多家庭的交通工具，假设某种小轿车的购车费用为10万元，每年应缴保险费等各类费用共计0.4万元，n年的保养、维护费用总和为万元．问这种小轿车使用多少年报废最合算（即：使用多少年的年平均费用最少，年平均费用=）？最少年平均费用为多少万元？8．抛物线y=ax2+bx+c，若a，b，c满足b=a+c，则称抛物线y=ax2+bx+c为“恒定”抛物线．（1）求证：“恒定”抛物线y=ax2+bx+c必过x轴上的一个定点A；（2）已知“恒定”抛物线y=x2﹣的顶点为P，与x轴另一个交点为B，是否存在以Q 为顶点，与x轴另一个交点为C的“恒定”抛物线，使得以PA，CQ为边的四边形是平行四边形？若存在，求出抛物线解析式；若不存在，请说明理由．9．在平面直角坐标系xOy中，定义直线y=ax+b为抛物线y=ax2+bx的特征直线，C（a，b）为其特征点．设抛物线y=ax2+bx与其特征直线交于A、B两点（点A在点B的左侧）．（1）当点A的坐标为（0，0），点B的坐标为（1，3）时，特征点C的坐标为；（2）若抛物线y=ax2+bx如图所示，请在所给图中标出点A、点B的位置；（3）设抛物线y=ax2+bx的对称轴与x轴交于点D，其特征直线交y轴于点E，点F的坐标为（1，0），DE∥CF．①若特征点C为直线y=﹣4x上一点，求点D及点C的坐标；②若＜tan∠ODE＜2，则b的取值范围是．10．如图①，直线l：y=mx+n（m＜0，n＞0）与x，y轴分别相交于A，B两点，将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△COD，过点A，B，D的抛物线P叫做l的关联抛物线，而l叫做P的关联直线．（1）若l：y=﹣2x+2，则P表示的函数解析式为；若P：y=﹣x2﹣3x+4，则l 表示的函数解析式为．（2）求P的对称轴（用含m，n的代数式表示）；（3）如图②，若l：y=﹣2x+4，P的对称轴与CD相交于点E，点F在l上，点Q在P的对称轴上．当以点C，E，Q，F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形时，求点Q的坐标；（4）如图③，若l：y=mx﹣4m，G为AB中点，H为CD中点，连接GH，M为GH中点，连接OM．若OM=，直接写出l，P表示的函数解析式．11．对某一个函数给出如下定义：若存在实数M＞0，对于任意的函数值y，都满足﹣M≤y ≤M，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是1．（1）分别判断函数 y=（x＞0）和y=x+1（﹣4≤x≤2）是不是有界函数？若是有界函数，求其边界值；（2）若函数y=﹣x+1（a≤x≤b，b＞a）的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求b 的取值范围；（3）将函数 y=x2（﹣1≤x≤m，m≥0）的图象向下平移m个单位，得到的函数的边界值是t，当m在什么范围时，满足≤t≤1？12．如图1，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的顶点为M，直线y=m与x轴平行，且与抛物线交于点A，B，若△AMB为等腰直角三角形，我们把抛物线上A，B两点之间的部分与线段AB围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，线段AB称为碟宽，顶点M称为碟顶，点M到线段AB的距离称为碟高．（1）抛物线y=x2对应的碟宽为；抛物线y=4x2对应的碟宽为；抛物线y=ax2（a＞0）对应的碟宽为；抛物线y=a（x﹣2）2+3（a＞0）对应的碟宽为；（2）抛物线y=ax2﹣4ax﹣（a＞0）对应的碟宽为6，且在x轴上，求a的值；（3）将抛物线y=a n x2+b n x+c n（a n＞0）的对应准蝶形记为F n（n=1，2，3…），定义F1，F2，…，F n为相似准蝶形，相应的碟宽之比即为相似比．若F n与F n﹣1的相似比为，且F n的碟顶是F n﹣1的碟宽的中点，现将（2）中求得的抛物线记为y1，其对应的准蝶形记为F1．①求抛物线y2的表达式；②若F1的碟高为h1，F2的碟高为h2，…F n的碟高为h n，则h n= ，F n的碟宽右端点横坐标为；F1，F2，…，F n的碟宽右端点是否在一条直线上？若是，直接写出该直线的表达式；若不是，请说明理由．13．菱形与正方形的形状有差异，我们将菱形与正方形的接近程度记为“接近度”．设菱形相邻的两个内角的度数分别为m°和n°，将菱形与正方形的“接近度”定义为|m﹣n|．在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c（b＜0）交y轴于点A（与原点O不同），以AO为边作菱形OAPQ．（1）当c=﹣b时，抛物线上是否存在点P，使菱形OAPQ与正方形的“接近度”为0，请说明理由．（2）当c＞0时，对于任意的b，抛物线y=x2+bx+c上是否存在点P，满足菱形OAPQ与正方形的“接近度”为60？若存在，请求出所有满足条件的b与c的关系式；若不存在，请说明理由．14．如果一条抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．（1）“抛物线三角形”一定是三角形；（2）如图，△OAB是抛物线y=﹣x2+bx（b＞0）的“抛物线三角形”，是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由；（3）在（2）的条件下，若以点E为圆心，r为半径的圆与线段AD只有一个公共点，求出r 的取值范围．15．定义：把一个半圆与抛物线的一部分合成封闭图形，我们把这个封闭图形称为“蛋圆”．如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线．如图，A，B，C，D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D的坐标为（0，8），AB为半圆的直径，半圆的圆心M的坐标为（1，0），半圆半径为3．（1）请你直接写出“蛋圆”抛物线部分的解析式y ，自变量的取值范围是；（2）请你求出过点C的“蛋圆”切线与x轴的交点坐标；（3）求经过点D的“蛋圆”切线的解析式．16．阅读材料：如图1，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点P的坐标为（x p，y p）．由x p﹣x1=x2﹣x p，得x p=，同理y p=，所以AB的中点坐标为．由勾股定理得AB2=，所以A、B两点间的距离公式为AB=．注：上述公式对A、B在平面直角坐标系中其它位置也成立．解答下列问题：如图2，直线l：y=2x+2与抛物线y=2x2交于A、B两点，P为AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线于点C．（1）求A、B两点的坐标及C点的坐标；（2）连结AB、AC，求证△ABC为直角三角形；（3）将直线l平移到C点时得到直线l′，求两直线l与l′的距离．17．对于某一自变量为x的函数，若当x=x0时，其函数值也为x0，则称点（x0，x0）为此函数的不动点．现有函数y=，（1）若y=有不动点（4，4），（﹣4，﹣4），求a，b；（2）若函数y=的图象上有两个关于原点对称的不动点，求实数a，b应满足的条件；（3）已知a=4时，函数y=仍有两个关于原点对称的不动点，则此时函数y=的图象与函数y=的图象有什么关系？与函数y=的图象又有什么关系？18．阅读下列材料，回答问题．材料一：人们习惯把形如的函数称为“根号函数”，这类函数的图象关于原点中心对称．材料二：对任意的实数a、b而言，a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2≥0，即a2+b2≥2ab．易知当a=b时，（a﹣b）2=0，即：a2﹣2ab+b2=0，所以a2+b2=2ab．若a≠b，则（a﹣b）2＞0，所以a2+b2＞2ab．材料三：如果一个数的平方等于m，那么这个数叫做m的平方根（square root）．一个正数有两个平方根，它们互为相反数．0的平方根是0，负数没有平方根．问题：（1）若“根号函数”在第一象限内的大致图象如图所示，试在网格内画出该函数在第三象限内的大致图象；（2）请根据材料二、三给出的信息，试说明：当x＞0时，函数的最小值为2．19．“三等分角”是数学史上一个著名的问题，但仅用尺规不可能“三等分角”．下面是数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐角”的方法（如图）：将给定的锐角∠AOB置于直角坐标系中，边OB在x轴上、边OA与函数y=的图象交于点P，以P为圆心、以2OP为半径作弧交图象于点R．分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，两直线相交于点M，连接OM 得到∠MOB，则∠MOB=∠AOB．要明白帕普斯的方法，请研究以下问题：（1）设P（a，）、R（b，），求直线OM对应的函数表达式（用含a，b的代数式表示）；（2）分别过点P和R作y轴和x轴的平行线，两直线相交于点Q．请说明Q点在直线OM上，并据此证明∠MOB=∠AOB；（3）应用上述方法得到的结论，你如何三等分一个钝角（用文字简要说明）．抛物线y=x2上任意一点到点（0，1）的距离与到直线y=﹣1的距离相等，你可以利用这一性质解决问题．问题解决如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+1与y轴交于C点，与函数y=x2的图象交于A，B两点，分别过A，B两点作直线y=﹣1的垂线，交于E，F两点．（1）写出点C的坐标，并说明∠ECF=90°；（2）在△PEF中，M为EF中点，P为动点．①求证：PE2+PF2=2（PM2+EM2）；②已知PE=PF=3，以EF为一条对角线作平行四边形CEDF，若1＜PD＜2，试求CP的取值范围．如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，对于任意两点A （x1，y1），B（x2，y2），由勾股定理可得：AB2=（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2，我们把叫做A、B两点之间的距离，记作AB=例题：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设点P（x，0）．①A（0，2），B （3，﹣2），则AB= ．；PA= ．；解：由定义有AB=；PA=．②表示的几何意义是；表示的几何意义是．解：因为，所以表示的几何意义是点P（x，0）到点（1，2）的距离；同理可得，表示的几何意义是点P（x，0）分别到点（0，1）和点（2，3）的距离和．根据以上阅读材料，解决下列问题：（1）如图2，已知直线y=﹣2x+8与反比例函数y=（x＞0）的图象交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，则点A、B的坐标分别为A（，），B（，），AB= ．（2）在（1）的条件下，设点P（x，0），则表示的几何意义是；试求的最小值，以及取得最小值时点P的坐标．1．已知：二次函数22y ax bx =+-的图象经过点（1，0），一次函数图象经过原点和点（1，－b ），其中0a b >>且a 、b 为实数．（1）求一次函数的表达式（用含b 的式子表示）；（2）试说明：这两个函数的图象交于不同的两点；（3）设（2）中的两个交点的横坐标分别为x 1、x 2，求| x 1－x 2 |的范围．2．使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点。

中考试题中的数学文化第三节反比例函数

第三章函数第三节反比例函数中考试题中的数学文化帕普斯与三等分角【文化背景】帕普斯(Pappus )是古希腊数学家，3～4世纪人，他是亚历山大学派的最后一位伟大的几何学家，生前有大量著作，但只有《数学汇编》保存下来．《数学汇编》对数学史具有重大的意义．【中考对接】1. 阅读下列材料，完成相关试题： (1)求证：点Q 在直线OM 上；(2)你能说明∠MOB ＝13∠AOB 的理由吗？ (3)当给定的已知角是钝角或直角时，你还会求三等分角吗？三等分角是古希腊三大几何问题之一，如今数学上已证实了这个问题用尺规作图无解．但是帕普斯利用反比例函数的图象及性质解决了此问题，方法如下：第1题图如图，将给定的锐角∠AOB 置于直角坐标系中，角的一边OA 与y ＝1x的图象交于点P ，以P 为圆心，以2OP 为半径作弧交图象于点R .分别过点P 和R 作x 轴和y 轴的平行线，两线相交于点M ，Q ，连接OM 得到∠MO B.参考答案中考试题中的数学文化1. (1)证明：设P 、R 两点的坐标分别为P (a 1，1a 1)，R (a 2，1a 2)，则Q (a 1，1a 2)，M (a 2，1a 1)，设直线OM 的关系式为y ＝kx ，∴1a 1＝ka 2，∴k ＝1a 1a 2.∴y ＝1a 1a 2x .当x ＝a 1时，y ＝1a 2，∴点Q (a 1，1a 2)在直线OM 上；(2)解：如解图，设PR 与OM 的交点为C ，第1题解图∵四边形PQRM 是矩形，∴PC ＝12PR ＝CM ，∴∠2＝2∠3，∵PR ＝2PC ，PR ＝2OP ，∴PC ＝OP ，∴∠1＝∠2，∵∠3＝∠4，∴∠1＝2∠4，1即∠MOB＝3∠AOB.。

帕普斯的几何命题与三角公式

帕普斯的几何命题与三角公式上海华东师范大学数学系汪晓勤众所周知,古希腊几何学自公元1世纪初开始走向衰微,在此后近3个世纪漫长的时间里,并没有出现过做出重要贡献的大几何学家.直到3世纪末,在亚历山大出现了一位精通几何学,并致力于复兴古代几何学的学者,他就是帕普斯(Pappus).帕普斯是古希腊亚历山大时期最后一位重要的几何学家,他的代表作是《数学汇编》.《数学汇编》是一部"关于希腊几何学的手册或指南"[,它不仅为我们保留了许多重要的希腊数学史料(如倍立方问题的解法,阿基米德半正多面体等等),而且电包含了许多帕普斯自己的命题.帕普斯对蜜蜂"智慧"的赞美,对勾股定理的推广,三等分角的圆锥曲线解法,鞋匠刀形内切圆问题,轨迹问题,圆锥曲线的统一定义,关于旋转体的体积和表面积的形心定理(今称"古尔丁定理")等等在今天都已广为人知(具体可参阅一些数学史专着的介绍,如文[1]～文[5]).《数学汇编》第3卷第2部分所给出的算术中项,几何中项和调和中项的作图法今天已经成了中学数学教师所熟悉的证明均值不等式的方法(如图l,由0.LJDE≤cD≤()D,得≤v/"Ds~—TO).实际上,我们还可以从《数学汇编》中获取更多有用的教学材料.该书第5卷第4部分是对阿基米德《论球与圆柱》的"评注,其中,帕普斯给出了下面两个命题:图1命题1如图2,设H是以AB为直径的半圆上的一点,CE是半圆在点H处的切线,CH—HE.CD和EF为AB的垂线,D,F为垂足.则(CD+EF)CE—AB?DF.命题2如图3,设C,E是以AB为直径的半圆上的两点,CD和EF为AB的垂线,D,F为垂足,CEK弧为半圆.则(CDA十EF?CE—EK?DF在图2中,过H作AB的DOGB2垂线,垂足为G;过E作CD的垂线,垂足为.易知Rt/kOGH-~Rt△CIE相似.于是一—D—F,或即GH.CEOHGHGH'IJ,i=OH?DF.但GH—1(EF+CD),OH=]AB,故得命题1的结论.在图3中,作()H—LCE于H.作垂线HG,El,由Rt△OC;H与Rt△CIE的相似性,即可证得命题2. 命题1和命题2为我们提供_『许多三角公式的几何模型.设HOB一口,COH===EOH一口,OC—OE=1,则C(JD一一(Ol+),.~EOF—Ol—ft.于是有OH—COS卢,HG—sinaCOS卢,CB—COSaCOS, HE=sin卢,SJ===CL—COSasin卢,JE=sinasinft.因CD—LD+CL=:=HG+HJ,EF—HG—HJ,0F一(+E,D===DG一(X;--JE一(I)G,故sin(口十卢)一sinaCOSfl+COSasin卢,①sin(口～卢)一sinaCOS—COSasin卢,②COS(口十)=::COSffCOS一sinasin,③COS(口～)一COSaCOS十sinasinft.④又因HG一寺(CD+EF),H.,一-6-(CD—EF),JE寺(OF+OD),OG寺(OF…OD),故sinaCOS卢一.÷[sin(口+)+sin(口)],⑤COSasin一吉[sin(口十)—sin(a-f1)],⑥sinasln卢一寺[cos(口...)cos(口+)],⑦COSaCOS卢一-~[cos(a一卢)+cos(a十卢)].(着所设的角不变,而OG===1,因HCI—口,故得HG—tan口,OH—sec口,CH—S[tCatan,CI.一CHcos口_'tanft.LH—fanatanft.于是在Rt/xxCOD中tanZCOD--面CD一HG=+丽CL(口+<号)或(号<a十凼此我们雨'tan(a一.如图4和图5,若设/COD口,EOF—,0(2一OE一1,N~COE=丌～(口+),,~OHG一cEJ一,~OEHA=.于是有OH===i,HG—sincos4.,(一sini,HE=cos,HJ=cossin,JE=c.s.图4⑨图5凼(十E—ZH,L—E一【』一ZJ,011+OF=DF=2JE,OD--OF=一20G,故an8__2c.s2,⑩sina—sin8=2c.s出2in删2,⑩cosa+cos8=2㈣出2㈣,⑩c一c.s卢一2sin2.⑩义梯形ECDF,ACOD,AEOF,ACOE的面积分别为s梯形肼.F=I(EF+CD)?DF=-1(sin口十sin卢)(cos口+COS),SAC~)V=lop?cD一丢sina?c.sa,s△一吉oF?FF=一sin卢?c.s卢,s圳丢oc?OEn(a+卢)==丢(a邯1).而梯形ECDF的面积等于△COD,ACOE,AEOF的面积之和,因此sin口+1sin8e.s卢+1si4COSn(+卢)m.十mo十"十=1(sin口+sin卢)?(c.sa+cos卢),即sin口COSa+sinZcos+sin(4+)一(sin4+sin)?(cos12-~-COS).⑩由此即得和角正弦公式①.等式⑩对应着图6中的菱形面积与图7中的两个矩形面积相等,此即和角公式的面积交换推导法,它类似于勾股定理的证明.sinflc0cOSa岛c(=l(Y oga图7另一方面,在△COE和ACIE中,由余弦定理和勾股定理分别可得(E=C,0+JE0一(sin4一sin).+(COS4+COS)0,CE.一CJ+JE.一0(2+OE+20C?0ECOS(口+口)一2+2cos(口+).故得公式③.我们知道,几何定理是三角公式的源泉,几何方法是教学设计所不可或缺的方法;帕普斯的几何命题有着如此丰富的三角学内涵,完全可以用于和角,差角,积化和差,和差化积等公式的教学.区区一个几何模型能简洁,直观地解决众多的三角公式,而这个模型竟出自一位公元4世纪初数学家的手笔,这使我们充分领略到数学史的魅力,数学史的价值.因此, HPM也为数学史研究提供了新视角.探求数学教材中某个概念,公式,定理,方法或某个专题的来源或历史发展过程,从数学史料中寻找教学素材,从历史发展中获得教学启示,数学史因而不再是"无用的学问",而是能够为数学教学提供丰富养料的"宝藏".这种教育取向的数学史研究是HPM各项研究的基础, 正如文[6]所指出的那样,它将是未来HPM研究的方向之一.参考文献1Heath.T.L.AHistoryofMathematics.London:Oxford UniversityPress,19212BoyerC.B.AHistoryofMathematics.NewY ork:John Wiley&Sons.19683Kline,M.MathematicalThougthfromAncienttoModern Times.NewY ork:OxfordUniversityPress,19724Eves.H.AnintroductiontotheHistoryofMathematics. Philadelphia:SaundersCollegePublishing,19835Fauvel,J.&JGrayJ,TheHistoryofMathematics:A Reader.Hampshire:MacmillanEducation,19876张小明,汪晓勤.HPM的实践与若干启示[J].中学数学教学参考(高中版).2006.1～2。

2020-2021学年合肥三十八中八年级上学期第一次月考数学试卷(含解析)

2020-2021学年合肥三十八中八年级上学期第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.下列各曲线表示的y与x之间的关系中，y不是x的函数的是()A. B.C. D.2.如图，小明居住的小区内有一条笔直的小路，有一盏路灯位于小路上M、N两点的正中间，晚上，小明由点M处径直走到点N处，他在灯光照射下的影长y与行走路程x之间的变化关系用图象表示大致是()A. B.C. D.3.如图，在边长为1的正方形网格中，将△ABC向右平移两个单位长度得到△A′B′C′，则与点B′关于x轴对称的点的坐标是()A. (0,−1)B. (1,1)C. (2,−1)D. (1,−2)4.已知a、b、c为自然数，且a2+b2+c2+42<4a+4b+12c，且a2−a−2>0，则代数式1a+1 b +1c的值为()A. 1B. 76C. 10D. 115.已知点A的坐标为(2,0)，点P在直线y=x上运动，当以点P为圆心，PA的长为半径的圆的面积最小时，点P的坐标为()A. (1,−1)B. (0,0)C. (1,1)D. (√2,√2)6.下列函数中一次函数的个数为()①y=2x；②y=3+4x；③y=12；④y=ax(a≠0的常数)；⑤xy=3；⑥2x+3y−1=0．A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个7.如图，∠AOB=α°，点P是∠AOB内任意一点，OP=6cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，若△PMN周长的最小值是6cm，则α的值是()A. 15B. 30C. 45D. 608.不等式组：{2x>−4x−5≤0的解集是()A. x>−2B. −2<x≤5C. x≤5D. 无解9.如图，一次函数y=−x+1的图象与两坐标轴分别交于A、B两点，点C是线段AB上一动点(不与点A、B重合)，过点C分别作CD、CE垂直于x轴、y轴于点D、E，当点C从点A开始向点B运动时，则矩形CDOE的周长()A. 不变B. 逐渐变大C. 逐渐变小D. 先变小后变大10.如图，点B、C分别在直线y=2x和y=kx上，点A，D是x轴上的两点，已知四边形ABCD是正方形，则k的值为()A. 12B. 23C. 1D. 32二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）11.函数y=x−13+x中，自变量x的取值范围是______ ．12.如果一次函数y=kx+b的图象如图所示，那么k______0，b______0.13.已知三个非负实数a，b，c，满足3a+2b+c=5，2a+b−3c=1，若s=3a+b−7c的最大值为m，最小值为n，则mn=______ ．14.已知直线y=x−a与y=−x+b相交于点(1,0)，则不等式x−a≥−x+b的解集是______ ．三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）15.在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别是(0,−2)，(0,2)，点C在x轴上，如果S△ABC=6，求点C的坐标．四、解答题（本大题共8小题，共80.0分）16.“三等分角”是数学史上一个著名的问题，但仅用尺规不可能“三等分角”.下面是数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐角”的方法(如图)：将给定的锐角∠AOB置于直角坐标系中，边OB在x轴上、边OA与函数y=1x的图象交于点P，以P为圆心、以2OP为半径作弧交图象于点R.分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，两直线相交于点M，连接OM得到∠MOB，则∠MOB=13∠AOB.要明白帕普斯的方法，请研究以下问题：(1)设P(a,1a )、R(b,1b)，求直线OM对应的函数表达式(用含a，b的代数式表示)；(2)分别过点P和R作y轴和x轴的平行线，两直线相交于点Q.请说明Q点在直线OM上，并据此证明∠MOB=13∠AOB；(3)应用上述方法得到的结论，你如何三等分一个钝角(用文字简要说明)．17.如图1，在平面直角坐标系中，点A(0,n)，B(m,0)中的m，n满足|m+8|+(m+2n−4)2=0，点C在x轴的正半轴上，且△ABC的面积为33，AB=10，过点A作AD//x轴，过点C作CD⊥AD于点D，动点P从点D出发，以每秒2个单位长度的速度在射线DA上运动，同时另一动点Q从点B出发向终点A运动，速度是每秒3个单位长度，一点停止运动另一点也停止，设运动时间为t秒．(1)求出点A、B、C的坐标；(2)连接PC，请用含t的关系式来表示△PAC的面积S；(3)是否存在某一时刻t，使△PAC的面积等于△BOQ面积的一半？若存在请求出t值，若不存在请说明理由．18.如图，△A′B′C′是△ABC向右平移3个单位长度后得到的，且三个顶点的坐标分别为A′(2,1)，B′(5,2)，C′(4,4)(1)请画出△ABC，并写出点A，B，C的坐标；(2)画出△A′B′C′绕点O逆时针旋转180°后的图形．19.在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式−利用函数图象研究其性质−应用函数解决问题”的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了一个陌生函数的大致图象，结合上面经历的学习过程，现在来解决下面问题：在函数y=|√a×|x|+b中，当x=0时，y=1；当x=2时，y=√7．(1)求这函数的表达式______；(2)在给出的平面直角坐标系中画出这个函数的大致图象并写出这个函数的一条性质______；(3)结合你所画的函数图象与y=12x+32的图象，直接写出不等式组{√a×|x|+b≤12x+32x≥0的解集．20.已知：P(4,1)为平面直角坐标系中的一点，点A(a,0)，点B(0,a)(其中a>0)分别是坐标轴上的动点，若△PAB的面积为3，试求点A的坐标．21.如图，某公司组织员工假期去旅游，租用了一辆耗油量为每百公里约为25L的大巴车，大巴车出发前油箱有油100L，大巴车的平均速度为80km/ℎ，行驶若干小时后，由于害怕油箱中的油不够，在途中加了一次油，油箱中剩余油量y(L)与行驶时间x(ℎ)之间的关系如图所示，请根据图象回答下列问题：(1)汽车行驶______ h后加油，中途加油______ L；(2)求加油前油箱剩余油量y与行驶时间x的函数解析式；(3)若当油箱中剩余油量为10L时，油量表报警，提示需要加油，大巴车不再继续行驶，则该车最远能跑多远？此时，大巴车从出发到现在已经跑了多长时间？22.已知老师家20164月份用2吨，交水费71元；5月份用水28，水16．自来水销售格污水处价格每户每月用量价：元/吨单：元/吨17及以下a.80超过17不超过0吨的分b.80超过30的部分.000.0[说明：每户产生的污水量等于该户的量，=水费+水处理费]求a、的值；夏天到，用水量将大幅加，老师划把6月份水费控制在家月收入的2，老师家月收入为9200元，则按划张老家6月份最能用多少吨？x+6与x轴、y轴交于A、B两点，点C在第四象限，BC⊥AB，且BC=AB；23. 如图，直线y=34(1)如图1，求点C的坐标；(2)如图2，D是BC的中点，过D作AC的垂线EF交AC于E，交直线AB于F，连接CF，点P为射线AD上一动点，求PF2−PC2的值；(3)如图3，在(2)的条件下，在第二象限过点A作线段AM⊥AB于点A，在线段AB上取一点N，连接MN，使MN=BN，在第三象限取一点Q，使∠NMQ=90°，连接QC，若QC//AB，且QC=6AM，设点P的横坐标为t，△PMQ的面积为s，求s与t的函数关系式．【答案与解析】1.答案：C解析：解：根据函数的意义可知：对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，所以只有选项C不满足条件．故选：C．根据函数的意义即可求出答案．函数的意义反映在图象上简单的判断方法是：做垂直x轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点．本题主要考查了函数的定义．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．2.答案：C解析：解：∵小路的正中间有一路灯，小明在灯光照射下的影长y与行走的路程x之间的变化关系，应为当小明走到灯下以前为：y随x的增大而减小，离开灯走到N：y随x的增大而增大∴用图象刻画出来应为C．故选：C．根据中心投影的性质得出小明在灯下走的过程中应长随路程之间的变化，进而得出符合要求的图象．此题主要考查了函数图象以及中心投影的性质，得出l随s的变化规律是解决问题的关键．3.答案：D解析：试题分析：首先根据图形，得到点B的坐标，再根据平移时，坐标的变化规律：左减右加，上加下减，求得点B′的坐标，最后再利用平面内两点关于x轴对称时：横坐标不变，纵坐标互为相反数，进行求解．∵点B(−1,2)，∴向右平移两个单位后，B′(1,2)．∴点B′(1,2)关于x轴对称点的坐标为(1,−2)．故选D4.答案：A解析：解：由a2−a−2>0，a为自然数，可知a>2，将化a2+b2+c2+42<4a+4b+12c为(a−2)2+(b−2)2+(c−6)2<2，因为(a−2)2、(b−2)2、(c−6)2都大于0，当a≥4时，上式不成立，所以自然数a只能取值为3．当a=3时，代入上式，得：(b−2)2+(c−6)2<1，所以只能使(b−2)2=0，(c−6)2=0，即b=2，c=6，所以1a +1b+1c=1．故选：A．先由a2−a−2>0得到a>2或a<−1，再变形a2+b2+c2+42<4a+4b+12c为：(a−2)2+ (b−2)2+(c−6)2<2，得到a=3，进而得到(b−2)2+(c−6)2<1，再得到b=2，c=6，故能求得1a +1b+1c的值．本题的关键是把不等式转化成平方的形式，然后分析在什么情况下小于2，从而求出a，b，c的值．5.答案：C解析：解：如图，过点A作AP与直线y=x垂直，垂足为点P，此时PA最小，则以点P为圆心，PA的长为半径的圆的面积最小．过点P作PM与x轴垂直，垂足为点M．在Rt△OAP中，∵∠OPA=90°，∠POA=45°，∴∠OAP=45°，∴PO=PA，∵PM⊥x轴于点M，∴OM=MA=12OA=1，∴PM=OM=1，∴点P的坐标为(1,1)．故选：C．本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，垂线的性质，等腰直角三角形的判定与性质及对圆的认识，综合性较强，难度适中，得出点P的位置是解题的关键．当PA最小时，以点P为圆心，PA的长为半径的圆的面积最小．根据垂线段最短可知，过点A作AP 与直线y=x垂直，垂足为点P，此时PA最小．6.答案：B解析：解：①y=2x是一次函数；②y=3+4x是一次函数；③y=1，自变量系数为0，不是一次函数；2④y=ax(a≠0的常数)是一次函数；⑤xy=3自变量次数不为1，故不是一次函数；⑥2x+3y−1=0是一次函数．综上可得，①②④⑥是一次函数，共4个．故选：B．根据一次函数y=kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1，判断各式即可．本题主要考查了一次函数的定义，难度不大，注意基础概念的掌握．7.答案：B解析：解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA；∵点P关于OB的对称点为C，∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB，∠COD，∴OC=OP=OD，∠AOB=12∵△PMN周长的最小值是6cm，∴PM+PN+MN=6，∴DM+CN+MN=6，即CD=6=OP，∴OC=OD=CD，即△OCD是等边三角形，∴∠COD=60°，∴∠AOB=30°；故选：B．分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，由对称的性质得出PM=DM，OP=OC，∠COA=∠POA；PN=CN，OP=OD，∠DOB=∠POB，得出∠AOB=12∠COD，证出△OCD是等边三角形，得出∠COD=60°，即可得出结果．本题考查了轴对称的性质、最短路线问题、等边三角形的判定与性质；熟练掌握轴对称的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．8.答案：B解析：解：由2x>−4，得x>−2；由x−5≤0，得x≤5，所以−2<x≤5．选B．分别求出两个不等式的解集，再求其公共解集．本题考查一元一次不等式组的解法，属于基础题．求不等式组的解集，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．9.答案：A解析：解：设点C的坐标为(m,−m+1)(0<m<1)，则CE=m，CD=−m+1，∴C矩形CDOE=2(CE+CD)=2，故选：A．根据一次函数图象上点的坐标特征可设出点C的坐标为(m,−m+1)，根据矩形的周长公式即可得出C矩形CDOE=2，此题得解．本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及矩形的性质，根据一次函数图象上点的坐标特征设出点C的坐标是解题的关键．10.答案：B解析：解：设正方形的边长为a，则B的纵坐标是a，把点B代入直线y=2x的解析式，设点B的坐标为(a2,a)，则点C的坐标为(a2+a,a)，把点C的坐标代入y=kx中得，a=k(a2+a)，解得k=23，故选：B．设正方形的边长为a ，根据正方形的性质分别表示出B ，C 两点的坐标，再将C 的坐标代入函数中从而可求得k 的值．本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质，掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．11.答案：x ≠−3解析：解：由题意得，3+x ≠0，解得，x ≠−3，故答案为：x ≠−3．根据分式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握分式的分母不为0是解题的关键．12.答案：< <解析：解：∵一次函数y =kx +b 的图象经过第二、三、四象限，又∵当k <0时，直线必经过二、四象限， ∴k <0．∵图象与y 轴负半轴相交， ∴b <0．故答案为<，<．根据图象在坐标平面内的位置关系确定k ，b 的取值范围，从而求解．本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k 、b 的关系．解答本题注意理解：直线y =kx +b 所在的位置与k 、b 的符号有直接的关系．k >0时，直线必经过一、三象限；k <0时，直线必经过二、四象限；b >0时，直线与y 轴正半轴相交；b =0时，直线过原点；b <0时，直线与y 轴负半轴相交．13.答案：577解析：解：联立{3a +2b =5−c2a +b =1+3c解得：{a =7c −3b =7−11c∵a 、b 、c 都是非负实数，∴{7c −3≥07−11c ≥0c ≥0解得：37≤c≤711∴s=3a+b−7c=3(7c−3)+(7−11c)−7c=3c−2∴当c=711时，s的最大值为：m=−111，当c=37时，s的最小值为：n=−57∴mn=577故答案为：577联立两等式后求出a与b，然后将a与b代入s中，化为一次函数最值问题，利用非负实数求出c的范围即可求出m与n的值．本题考查一次函数的综合问题，解题的关键是列出方程组求出a与b的表达式，然后利用一元一次不等式组求出c的范围，本题属于中等题型．14.答案：x≥1解析：解：已知直线y=x−a与y=−x+b相交于点(1,0)，直线y=x−a中y随x的增大而增大，而y=−x+b中y随x的增大而减小，因而不等式x−a≥−x+b的解集是x≥1．故答案为：x≥1．由于直线y=x−a与y=−x+b相交于点(1,0)，根据直线y=x−a和y=−x+b的图象的性质可求得不等式x−a≥−x+b的解集．本题主要考查了一次函数的性质，根据性质比较容易解决．15.答案：解：设C点的坐标是(x,0)．12×(2+2)x=6x=3．C点的坐标为(3,0)或(−3,0)．解析：点C在x轴上，所以可以在右半轴上，也可以在左半轴上，因此有两个解，根据面积为6，可求出解．本题考查三角形的面积为：12×底×高，根据坐标与图形的性质，可求出坐标．16.答案：解：(1)设直线OM的函数关系式为y=kx，P(a,1a )、R(b,1b).则M(b,1a)，∴k=1a ÷b=1ab．∴直线OM的函数关系式为y=1abx.(2)∵Q的坐标(a,1b )，满足y=1abx，∴点Q在直线OM上．∵四边形PQRM是矩形，∴SP=SQ=SR=SM=12PR．∴∠SQR=∠SRQ．∵PR=2OP，∴PS=OP=12PR．∴∠POS=∠PSO．∵∠PSQ是△SQR的一个外角，∴∠PSQ=2∠SQR．∴∠POS=2∠SQR．∵QR//OB，∴∠MOB=∠SQR．∴∠POS=2∠MOB．∴∠MOB=13∠AOB．(3)①先做出钝角的一半，按照上述方法先将此钝角的一半(锐角)三等分，进而做出再做一个角与已做得的角相等即可得到钝角的三等分角．②先作钝角的邻补角的三等分角，然后再以得到的三等分角作等边三角形可得钝角的三等分角，在钝角内作做出这个角即可．解析：(1)直线OM是正比例函数，可利用所给的坐标得到M的坐标，代入函数解析式即可；(2)根据所给的点的坐标得到Q 的坐标，看是否符合(1)中的函数解析式；运用矩形的性质，作图过程中的条件，外角与不相邻内角的关系，即可得证；(3)既然能作出锐角的三等分角，先将此钝角的一半(锐角)三等分，再作钝角的三等分角．过某个点，这个点的坐标应适合这个函数解析式．注意使用作图过程中利用的条件．17.答案：解：(1)∵|m +8|+(m +2n −4)2=0，又∵|m +8|≥0，(m +2n −4)2≥0， ∴{m +8=0m +2n −4=0，解得{m =−8n =6，∴A(0,6).B(−8,0)，∵S △ABC =12×BC ×OA =33，∴BC =11， ∴OC =3， ∴C(3,0)．(2)由题意，D 的坐标是(3,6)，当0≤t <32时，AP =3−2t ，则S =12⋅AP ⋅CD =12(3−2t)×6=9−6t ；当32<t ≤103时，AP =2t −3，则S =12×(2t −3)×6=6t −9；(3)作QH ⊥OB 于点H.则BQ =3t ，△BQH∽△BAO ，则BQAB =QHQA，即3t 10=QH 6，解得：QH =95t ，则S △BOQ =12×8×95t =365t.当0≤t ≤32时，9−6t =12×365t ，解得：t =1516；当32<t ≤103时，6t −9=12×365t ，解得：t =154(舍去)，综上所述，满足条件的t 的值为1516．解析：(1)利用非负数的性质即可解决问题． (2)求得AD 的长是3，则分成0≤t ≤32和32<t ≤103两种情况求得AP 的长，利用三角形的面积公式求解；(3)作QH ⊥OB 于点H.则BQ =3t ，△BQH∽△BAO ，利用相似三角形的性质求得QH 的长，则△OBQ 的面积即可利用t 表示出来，然后分成0≤t ≤32和32<t ≤103两种情况，根据△PAC 的面积等于△BOQ面积的一半即可列方程求解．本题属于三角形综合题，考查了非负数的性质，三角形的面积，路程，速度，时间之间的关系等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．18.答案：解：(1)如图所示：A(−1,1)，B(2,2)，C(1,4)；(2)如图所示，△A″B″C″由△A′B′C′绕O 点逆时针旋转180°而得．解析：(1)直接利用平移的性质分别得出对应点位置进而得出答案；(2)直接利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案．此题主要考查了旋转变换以及平移变换，根据题意得出对应点位置是解题关键．19.答案：y =√3×|x|+1 关于y 轴对称解析：解：(1)∵在函数y =√a ×|x|+b 中，当x =0时，y =1；当x =2时，y =√7． ∴{√b =1√2a +b =√7，得{a =3b =1，∴这个函数的表达式是y =√3×|x|+1，故答案为y =√3×|x|+1； (2)∵y =√3×|x|+1， ∴y ={√3x +1(x ≥0)√−3x +1(x <0)，列表：x−5−2−10125…y4√7212√74…描点、连线画出该函数的图象如图所示：函数的性质：关于y轴对称，故答案为关于y轴对称；(3)由函数图象可得，y=√3×|x|+1是0≤x≤1．(1)根据在函数y=√a×|x|+b中，当x=0时，y=1；当x=2时，y=√7，可以求得该函数的表达式；(2)根据(1)中的表达式列表、描点，连线可以画出该函数的图象并得到函数的性质；(3)根据图象可以直接写出所求不等式组的解集．本题考查一次函数图象和性质、一元一次不等式与一次函数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．20.答案：解：过点P作PC⊥x轴于C，作PD⊥y轴于D，则四边形OCPD是矩形，如图1，点C在点A的左边时，a>4，∵P(4,1)，点A(a,0)，点B(0,a)，∴AC=a−4，BD=a−1，△PAB的面积=12×4×(a−1)+12×(a−4)×1+1×4−12×a2=3，整理得，a2−5a+6=0，解得a1=2(舍去)，a2=3(舍去)，如图2，点C在点A的右边时，a<4，∵P(4,1)，点A(a,0)，点B(0,a)，∴AC=4−a，BD=a−1，△PAB的面积=12×4×(a−1)+4×1−12×(4−a)×1−12×a2=3，整理得，a2−5a+6=0，解得a1=2，a2=3，∴点A的坐标为(2,0)或(3,0)，综上所述，若△PAB的面积为3，则点A的坐标为(2,0)或(3,0)．解析：过点P作PC⊥x轴于C，作PD⊥y轴于D，可得四边形OCPD是矩形，再分点C在点A的左边和右边两种情况，表示出AC、BD，再利用梯形的面积和三角形的面积表示出△ABP的面积，然后计算即可得解．本题考查了三角形的面积，坐标与图形性质，难点在于分情况讨论并表示出△ABP的面积列出方程．21.答案：解：(1)由图象可以直接看出汽车行驶两小时后加油，汽车2小时耗油25×80×2100=40，由此可知加油量为：250−(100−40)=190；故答案为2；190；(2)y=100−80×0.25x=−20x+100；(3)由于速度相同，因此每小时耗油量也是相同的，设此时油箱剩余油量y与行驶时间x的解析式为y=kx+b，把k=−20代入，得到y=−20x+b，再把(2,250)代入，得b=290，所以y=−20x+290，当y=10时，x=14，所以14×80=1120km，因此该车从出发到现在已经跑了1120km，用时14h．解析：此题主要考查了一次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式等知识，根据已知图象获取正确信息是解题关键．(1)由图象可以直接看出汽车行驶两小时后加油，先计算汽车2小时耗油量，再结合函数图象可计算加油量；(2)根据每百公里耗油量约为25L ，可知每公里耗油0.25L ，根据余油量=出发前油箱油量−耗油量列出函数表达式即可；(3)由于速度相同，因此每小时耗油量也是相同的，可知k 不变，设加油后的函数为y =−20x +b ，代入(2,250)求出b 的值，然后计算剩余油量为10时的行驶时间，计算行驶路程即可．22.答案：解：由题意得{7a +b +21×0.8=117a +11b +0.8=106，设张老师家6用水量为x ，当用量为30时水费为：17×2.+13×4.292元，92%=184元，由题意：172.234.2+6(x −30)+.x ≤194， ∴老师家六月的用水量超过3吨，解得：{=2.2b =42，张老师月份最多用水41吨．解析：根据表格收标准，及张45两用水量、水费，可得出程组，解出可；先判断用量超过30吨，继而再费超过94，可出不等式，解出即．本题考查了元一次方程组及元一次不等式的识答的键是细审题，将实际问题转为数学模型求解．23.答案：解：(1)如图1中，在y = 34 x +6中，令y =0，得x =−8；令x =0，得y =6∴A(−8,0)，B(0,6)， ∴OA =8，OB =6，过C 作CH ⊥y 轴于H ，则∠BCH +∠CBH =90°， ∵BC ⊥AB ，∴∠ABO +∠CBH =90°， ∴∠BCH =∠ABO ，又∠BHC =∠AOB =90°，BC =AB ，∴△BHC≌△AOB(AAS)，∴HC=OB=6，BH=OA=8，OH=8−6=2，∴C(6,−2)．(2)如图2中，设射线AD交CF于G．∵BC⊥AB，BC=AB，∴∠BAC=45°∵EF⊥AC，∴∠AFE=45°∴△BDF是等腰直角三角形，∴BD=BF，又∠ABD=∠CBF=90°，AB=CB∴△ABD≌△CBF(SAS)，∴∠BAD=∠BCF，∵∠BDA=∠CDG，∴∠CGD=∠ABD=90°，即AD⊥CF，∵OA=8，OB=6，∴AB= √62+82=10，∴BC=10，∴BF=BD=5，∴PF 2−PC 2=( PG 2+FG 2 )−( PG 2+CG 2 )=FG 2−CG 2=( DF 2−DG 2 )−( DC 2−DG 2 )=DF 2−DC 2=DF 2−BD 2=BF 2=25(3)如图3中，连接BM，BQ，过B作BK⊥QM延长线于点K，延长MA交QC于点T，可得正方形ABCT．∵MN=BN，∴∠NMB=∠NBM，∵BK⊥QK，NM⊥QK，∴BK//MN，∴∠KBM=∠BMN，∴∠KBM=∠MBA，∵MB=MB，∠K=∠BAM=90°∴△BKM≌△BAM(ASA)，∴BA=BK=BC，MK=MA，∴Rt△BKQ≌Rt△BCQ(HL)，∴QK=QC，设AM=a，则QK=QC=6a，在Rt△QMT中，MQ=5a，MT=a+10，QT=6a−10，勾股定理可得a=103，∵tan∠MNA=tan∠QMT=tan∠BAO=34，∴QT=10，MQ=503，MT=403∴MN//x轴，MQ//y轴，作PS⊥MQ于点S，∴S△PMQ=12MQ⋅PS，设MQ与x轴交于点I，Rt△MAI中，AI=2，作AL⊥PS于点L，得矩形ALSI，∴PS =PL +LS =t +10，∴S △PMQ =12×503×(t +10)，∴s =253t +2503．解析：(1)过C 作CH ⊥y 轴于H ，则∠BCH +∠CBH =90°，证明△BHC≌△AOB(AAS)即可解决问题．(2)(2)如图2中，设射线AD 交CF 于G.证明△ABD≌△CBF(SAS)，利用勾股定理解决问题即可．(3)如图3中，连接BM ，BQ ，过B 作BK ⊥QM 延长线于点K ，延长MA 交QC 于点T ，可得正方形ABCT.证明△BKM≌△BAM(ASA)，推出BA =BK =BC ，MK =MA ，证明Rt △BKQ≌Rt △BCQ(HL)，推出QK =QC ，设AM =a ，则QK =QC =6a ，在Rt △QMT 中，MQ =5a ，MT =a +10，QT =6a −10，勾股定理可得a =103，由tan∠MNA =tan∠QMT =tan∠BAO =34，推出QT =10，MQ =503，MT =403，作PS ⊥MQ 于点S ，根据S △PMQ =12MQ ⋅PS ，计算即可．本题属于一次函数综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．。

中考数学阅读型试题

中考数学阅读型试题近几年中考试题中：阅读理解型试题题型新颖：形式多样：知识覆盖面较大：它可以是总计课本原文：也可以是设计一个新的数学情境：让学生在阅读的基础上：理解其中的内容、方法、思想：然后把握本质：理解实质的基础上作出回答例1、我国古代数学家秦九韶在《算书九章》中记述了“三斜求积术”：即已知三角形的三边长：求它的面积。

用现代式子表示即为：])2([41222222c b a b a s -+-=……①（其中a 、b 、c 为三角形的三边长：s 为面积）。

而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式：))()((c p b p a p p s ---=……②（其中2cb a p ++=）。

(1)若已知三角形的三边长分别为5、7、8：试分别运用公式①和公式②：计算该三角形的面积。

(2)你能否由公式①推导出公式②？请试试。

分析：这是一道阅读理解题：它要求学生通过阅读理解“三斜求积术”的现在代公式：第（1）小题是检验学生的阅读能力及学以致用的能力：第（2）题是考查学生是创新能力。

1243F EDDDCCCBBBAA A练习1．阅读下面操作过程：回答后面问题：在一次数学实践探究活动中：小强过A 、C 两点画直线AC 把平行四边形ABCD 分割成两个部分（a ）：小刚过AB 、AC 的中点画直线EF ：把平行四边形ABCD 也分割成两个部分（b ）：（a ）（b ）（c ）（1）这两种分割方法中面积之间的关系为：21____S S ：43____S S ：（2）根据这两位同学的分割方法：你认为把平行四边形分割成满足以上面积关系的直线有条：请在图（c ）的平行四边形中画出一种：（3）由上述实验操作过程：你发现了什么规律？（4）经过平行四边形对称中心的任意直线：都可以把平行四边形分成满足条件的图形：2．阅读以下短文：然后解决下列问题：如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合：且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上：则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”. 如图8①所示：矩形ABEF 即为△ABC 的“友好矩形”. 显然：当△ABC 是钝角三角形时：其“友好矩形”只有一个 .(1) 仿照以上叙述：说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”： (2) 如图8②：若△ABC 为直角三角形：且∠C=90°：在图8②中画出△ABC 的所有“友好矩形”：并比较这些矩形面积的大小：(3) 若△ABC 是锐角三角形：且BC>AC>AB ：在图8③中画出△ABC 的所有“友好矩形”：指出其中周长最小的矩形并加以证明.3．阅读下列材料：并解决后面的问题．在锐角△ABC 中：∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ．过A 作AD ⊥BC 于D(如图)：则sinB=c AD ：sinC=b AD ：即AD=csinB ：AD=bsinC ：于是csinB=bsinC ：即C cB b sin sin =．同理有A aC c sin sin =：B bA a sin sin =．所以CcB b A a sin sin sin ==………(*) 即：在一个三角形中：各边和它所对角的正弦的比相等．(1)在锐角三角形中：若已知三个元素a 、b 、∠A ：运用上述结论(*)和有关定理就可以求出其余三个未知元素c 、∠B 、∠C ：请你按照下列步骤填空：完成求解过程：第一步：由条件a 、b 、∠A ∠B ：第二步：由条件 ∠A 、∠B ． ∠C ：第三步：由条件．c ．(2)一货轮在C 处测得灯塔A 在货轮的北偏西30°的方向上：随后货轮以28．4海里／时的速度按北偏东45°的方向航行：半小时后到达B 处：此时又测得灯塔A 在货轮的北偏西70°的方向上(如图)：求此时货轮距灯塔A 的距离AB(结果精确到0．1．参考数据：sin40°=0．6 4 3：sin65°=0．90 6：sin70°=0．940：sin7 5°=0．9 6 6)．4、“三等分角”是数学史上一个著名的问题：但仅用尺规不可能“三等分角”．下面是数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐角”的方法（如图）：将给定的锐角∠AOB 置于直角坐标系中：边OB 在x 轴上、边OA 与函数xy 1的图象交于点P ：以P 为圆心、以2OP 为半径作弧交图象于点R ．分别过点P 和R 作x 轴和y 轴的平行线：两直线相交于点M ：连接OM 得到∠MOB ：则∠MOB=31∠AOB ．要明白帕普斯的方法：请研究以下问题：（1）设)1,(aa P 、)1,(bb R ：求直线OM 对应的函数表达式（用含b a ,的代数式表示）．（2）分别过点P 和R 作y 轴和x 轴的平行线：两直线相交于点Q ．请说明Q 点在直线OM 上：并据此证明∠MOB=31∠AOB ．（3）应用上述方法得到的结论：你如何三等分一个钝角（用文字简要说明）．5、已知：如图8：AB 是⊙O 的直径：P 是AB 上的一点（与A 、B 不重合）：QP ⊥AB ：垂足为P ：直线QA 交⊙O 于C 点：过C 点作⊙O 的切线交直线QP 于点D 。

八年级数学上册第12章三等分角(人教版)

尺规作图

三等分任意角★作法一三等分角问题尼科梅德斯(Nicomedes，公元前250年左右)方法对于已知锐角∠O，在角的一边上取任意点B，作OB的垂线，交∠O的另一边于点A.以O为定点，BA为定直线，2OA为定长，作出蚌线的右支C.从点A作BA的垂线，和蚌线C相交于点S，那么∠BOS=1/3∠BOA★作法二帕斯卡(Pascal，B.1623-1662)的方法对于∠AOB，在其一边上取任意长OA做半径，以点O为圆心作一圆(图12).延长AO，和圆O交于点C.以圆O为定圆，以C为定点，以定圆O的半径为定长，作一蚶线和角的另一边OB相交于点E.连结CE，过点O作OS∥CE，那么∠BOS=1/3∠BOA★作法三帕普斯(Pappus，约公元320年)方法对于∠AOB，在它的两边上截取OA=OB.连结AB并三等分，设两分点分别为C和D.以点C为中心，点A、D分别为顶点，作离心率e=√2的双曲线.以点O为圆心，OB为半径作弧，交双曲线于点S.则∠BOS=1/3∠BOA★作法四玫瑰线方法交∠AOB的两边于点A和B，分别以O和A为圆心，a为半径画弧，两弧交于点S，则有∠BOS=1/3∠BOA折叠立方倍积★作法一倍立方问题柏拉图(Plato，公元前427-347年)的方法:作两条互相垂直的直线，两直线交于点O，在一条直线上截取OA=a，在另一条直线上截取OB=2a，这里a为已知立方体的棱长.在这两条直线上分别取点C、D，使∠ACD=∠BDC=90°(这只要移动两根直角尺，使一个角尺的边缘通过点A，另一个角尺的边缘通过点B，并使两直角尺的另一边重合，直角顶点分别在两直线上，这时两直角尺的直角顶点即为点C、D).线段OC之长即为所求立方体的一边。

★作法二门纳马斯(Menaechmus，约公元前375-325年)方法:从a∶x=x∶y=y∶2a可得y2=2ax，x2=ay.所以，在直角坐标平面上画出上述两个二次方程所对应的两条抛物线(图16).这两条抛物线交于O、A两点，那么点A在x轴上的投影到原点的距离，就是所求的立方体的棱长。

关于三等分任意角的方法探究

三等分任意角的方法探究西工大附中孙开锋三等分任意角的方法探究摘要：三等分角是古希腊几何三大作图问题之一，本文关键词：只准用直角和圆规，你能将一个任意的角进行两等分吗？这可太简单了，几千前的数学家们就会做。

纸上任意画一个角，以其顶点O为圆心，任意选一个长度为半径画弧，找出弧与角的两边的交点，分别命名为A和B。

然后分别以A点和B点为圆心，以同一个半径画弧，这个半径要大于A、B之间距离的一半。

找出两段弧的相交点C，用直尺把O和C连接起来，那么直线OC就将角AOB平分成了两部分。

用同样的方法，我们可以把一个角任意分成4等分、8等分、16等分……，也就是说，只要你有耐心，可以把任意一个角等分为2的任意次方。

但是，如果只用直尺和圆规，并且，这直尺还不能有刻度，你能将任意一个角三等分吗？早在公元前5世纪，古希腊的巧辩学派就提出了在只用直尺画直线、圆规画弧的限定下，将任意给定的角三等分的命题。

很多伟大的数学家如阿基米德、笛卡儿、牛顿等都试图拿起直尺和圆规挑战自己的智力，但终于都以失败告终。

直至公元1837年，法国数学家闻脱兹尔宣布：“只准使用直尺与圆规，想三等分一个任意角是不可能的！”, 才暂时了结了这宗长达几千年的数学悬案。

但是，如果没有几何作图法的限制，任意角三等分问题当然可以解决，不妨举几个例子以共享。

一、利用工具三等分任意角如图1所示，叫做“三等分仪”吧，CE=EG=DG,ME ⊥CD,弧ED 是以G 为圆心的半圆，故ME 与半圆G 相切于点E.具体操作：将该仪器置于 ∠AOB 的内部，使得点C 落在OA 上，ME 经过点O,半圆G 与OB 相切于点F,则OE,OG 为∠AOB 的三等分线。

数理证明：分别连接OG,GF,故GF ⊥OB,而EG ⊥OE,所以易证：△GOE ≌△GOF;同理可证△GOE ≌△COE;故可得到：∠COE=∠GOE=∠FOG.所以，OE 、OG 为∠AOB 的三等分线。

二、中考中的三等分角题目：（广东佛山市）三等分一任意角是数学史上一个著名的问题，用尺规不可能“三等分一任意角”。

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数学家帕普斯“三等分角”
“三等分角”是数学史上一个著名的问题，但仅用尺规不可能“三等分角”．下面是数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐角”的方法（如图）：
将给定的锐角∠AOB置于直角坐标系中，边OB在x轴上、边OA与函数的图象交于点P，以P为圆心、以2OP为半径作弧交图象于点R．分别过点P和R
作x轴和y轴的平行线，两直线相交于点M ，连接OM得到∠MOB，则∠MOB=
∠AOB．要明白帕普斯的方法，请研究以下问题：
（1）设、，求直线OM对应的函数表达式（用含的代数式表示）．
（2）分别过点P和R作y轴和x轴的平行线，两直线相交于点Q．请说明Q
点在直线OM上，并据此证明∠MOB=∠AOB．
（3）应用上述方法得到的结论，你如何三等分一个钝角（用文字简要说明）．
解：（1）设直线OM的函数关系式为．……………1分则∴．……………2分
∴直线OM的函数关系式为．……………3分
（2）∵ 的坐标满足，∴点在直线OM上．
（或用几何证法，见《九年级上册》教师用书191页）……………4分∵四边形PQRM是矩形，∴SP=SQ=SR=SM=PR．
∴∠SQR=∠SRQ．……………5分
∵PR=2OP，∴PS=OP=PR．∴∠POS=∠PSO．……………6分
∵∠PSQ是△SQ R的一个外角，
∴∠PSQ=2∠SQR．∴∠POS=2∠SQR．……………7分
∵QR∥OB，∴∠SOB=∠SQR．……………8分
∴∠POS=2∠SOB．……………9分
∴∠SOB= ∠AOB．……………10分
（3）以下方法只要回答一种即可．
方法一：利用钝角的一半是锐角，然后利用上述结论把锐角三等分的方法即可．
方法二：也可把钝角减去一个直角得一个锐角，然后利用上述结论把锐角三等分后，再将直角利用等边三角形（或其它方法）将其三等分即可．
方法三：先将此钝角的补角（锐角）三等分，再作它的余角．……………。