不等式中的取值范围求法
不等式中参数范围的求法
不等式中参数范围的求法不等式是数学中常见的一种基本关系式，可以用来表示数、代数式或几何图形大小关系。
参数范围的求法是指在不等式中的未知数所满足的取值范围的确定。
一、一元一次不等式的参数范围求法对于一元一次不等式 ax+b<0 （或ax+b>0）中，参数a和b的取值范围可以通过以下步骤来确定：1.当a>0时，不等式解集为x<-b/a，所以b/a的取值范围是(-∞,0)；2.当a<0时，不等式解集为x>-b/a，所以b/a的取值范围是(0,+∞)；3. 当a=0时，不等式变为 bx<0（或bx>0），此时b=0，解集为全体实数。
二、一元二次不等式的参数范围求法对于一元二次不等式ax²+bx+c<0 （或ax²+bx+c>0）中，参数a、b和c的取值范围可以通过以下步骤来确定：1.当a>0时，不等式解集为x∈(x₁,x₂)，其中x₁和x₂为二次函数的两个根，可由二次方程求根公式或配方法求得；2.当a<0时，不等式解集为x∈(-∞,x₁)∪(x₂,+∞)，所以x的取值范围为(-∞,x₁)∪(x₂,+∞)；3. 当a=0时，不等式变为 bx+c<0（或bx+c>0），此时b=0，解集为cx<0（或cx>0），则c=0，解集为全体实数。
三、多元一次不等式的参数范围求法对于多元一次不等式的参数范围求法，通常需要对每个未知数进行讨论。
以二元一次不等式ax+by+c<0为例，可以通过以下步骤来确定参数a、b和c的取值范围：1.当a>0时，不等式解集与y的取值无关，所以b和c的取值范围没有限制；2. 当a=0时，不等式变为 by+c<0（或by+c>0），此时b=0，解集为cy<0（或cy>0），则c=0，解集为全体实数；3.当a<0时，不等式解集与y的取值无关，所以b和c的取值范围没有限制。
求不等式(组)参数的取值范围
·数学基础精讲·刘家良（天津市静海区沿庄镇中学 ３０１６０５）刘家良中学高级教师，在《数理天地》、《中国数学教育》、《中学数学教学参考》等２２种刊物上发表文章２６０余篇，其中的６篇文章被全文转发于中国人民大学书报资料中心主编的《初中数学教与学》上。
已知不等式（组）有几个整数解，求不等式（组）中参数的值或范围，是不等式问题中的常见题型．例１ 若关于ｘ的不等式３ｘ＋ａ≤２只有２个正整数解，则ａ的取值范围为（ ）（Ａ）－７＜ａ＜－４． （Ｂ）－７≤ａ≤－４．（Ｃ）－７≤ａ＜－４．（Ｄ）－７＜ａ≤－４．分析 先将不等式的解集用含参数的式子表示，再根据题意确定哪几个正整数是不等式的解，确定含参数的式子介于哪两个两个连续正整数之间，进而得以参数ａ为未知数的不等式组，其解集即为参数取值范围．解 解３ｘ＋ａ≤２，得ｘ≤２－ａ３．因为不等式只有２个正整数解，所以不等式的正整数解为１，２，如图１．图１所以２≤２－ａ３＜３．解得－７＜ａ≤－４．故选（Ｄ）．注 确定２－ａ３的范围（介于哪两个连续正整数之间）是求ａ值范围的关键，含参数式子的值是否等于其中的正整数是求ａ值范围应注意的地方，此处２－ａ３可等于２但不等于３．例２ 若关于ｘ的一元一次不等式组ｘ－１＞０，２ｘ－ａ＜０｛有且只有２个整数解，则ａ的取值范围是．分析 类比例１，先解不等式组，再根据题意得到哪几个正整数是不等式组的解，确定不等式组的解集含参数式子的一端介于哪两个连续正整数之间，得以参数ａ为未知数的不等式组，其解集即为参数的取值范围．解 解不等式ｘ－１＞０，得ｘ＞１，解不等式２ｘ－ａ＜０，得ｘ＜ａ２，所以不等式组的解集是１＜ｘ＜ａ２．因为ｘ的一元一次不等式组有２个整数解，所以不等式的整数解为２和３，如图２．图２所以３＜ａ２≤４．解得６＜ａ≤８．注 １＜ｘ＜ａ２的右端ａ２可以等于４但不能等于３．（下转３页）·１·２０２０年第１２期数学基础精讲数理天地初中版图２ 解 （１）首先根据题意画出图形，如图２．二次函数ｙ＝ａｘ２＋２ａｘ＋ｃ的对称轴为：ｘ＝－２ａ２ａ＝－１．即ＯＥ＝１．由于ＡＤ∥ＰＱ∥ｙ轴，所以ＯＥ∶ＥＡ＝ＣＰ∶ＰＤ＝２∶３．所以ＥＡ＝３２，即Ａ－５２，０（）．由抛物线的对称性可知Ｂ１２，０（）．（２）由二次函数ｙ＝ａｘ２＋２ａｘ＋ｃ及对称轴为ｘ＝－１可知Ｐ（－１，ｃ－ａ），Ｃ（０，ｃ）．过点Ｃ作ＣＧ⊥ＰＱ于点Ｇ，则ＣＧ＝１，ＧＥ＝ｃ，ＰＧ＝－ａ．因为ＡＤ∥ＰＱ，所以∠ＣＰＧ＝∠ＣＤＡ．由ｔａｎ∠ＣＤＡ＝５４，得ｔａｎ∠ＣＰＧ＝ＣＧＰＧ＝１－ａ＝５４．所以ａ＝－４５．所以二次函数的解析式为ｙ＝－４５ｘ－１２（）ｘ＋５２（）＝－４５ｘ２－８５ｘ＋１． （３）设Ｑ点的坐标为（－１，ｍ），△ＱＡＣ是直角三角形有以下三种情况：①ＡＱ是斜边，但由于∠ＡＣＱ＜∠ＧＣＯ＝９０°，故这种情形不存在；②ＡＣ是斜边，此时有ＡＣ２＝ＡＱ２＋ＱＣ２．而ＡＣ２＝ＯＣ２＋ＯＡ２＝１２＋５２（）２＝２９４，ＡＱ２＝ＥＡ２＋ＥＱ２＝３２（）２＋ｍ２，ＱＣ２＝ＱＦ２＋ＣＦ２＝１２＋（１－ｍ）２．所以２９４＝９４＋ｍ２＋１＋（１－ｍ）２，解得ｍ＝１±槡７２（正值舍去）．故ｍ＝１ －槡７２，即Ｑ点的坐标为－１，１ －槡７２（）．③ＣＱ是斜边，此时有ＱＣ２＝ＡＱ２＋ＡＣ２，即１＋（１－ｍ）２＝９４＋ｍ２＋２９４，解得ｍ＝－１５４．即Ｑ点的坐标为－１，－１５４（）．综上所述，当Ｑ点的坐标为－１，１－槡７２（）或－１，－１５４（）时，△ＱＡＣ是直角三角形．（上接１页）例３ 若关于ｘ的不等式组ｘ－２４＜ｘ－１３，２ｘ－ｍ≤２－ｘ烅烄烆有且只有３个整数解，则ｍ的取值范围是．解 解不等式ｘ－２４＜ｘ－１３，得ｘ＞－２，解不等式２ｘ－ｍ≤２－ｘ，得ｘ≤ｍ＋２３，所以不等式组的解集为－２＜ｘ≤ｍ＋２３，因为不等式组有且只有３个整数解，即－１，０，１．所以１≤ｍ＋２３＜２，解得１≤ｍ＜４．·３·２０２０年第１２期数学基础精讲数理天地初中版。
如何求不等式恒成立的参数的取值范围
一
次函数 ｆ ） ａ （ ＝ ｘ＋ｂ在 ∈［ ｎ 上恒 大 ｍ， ］
于零 的充要 条件 是 ：
｛
或 ＇或 ＞ 。 ，
） ａ ＋ｂ恒小于零 的条件亦可类似给 出。 ＝ ｘ 例 １ 对任意的 ａ 一１ １ ， ∈［ ，］ 函数 ｆ ） ＋ （ ＝ （ ４ ＋ ａ一 ） ４—２ ｎ的值总大于零 ， 求 的取值 范围。 解 ： （ 可变形为 ｇ 口 ＝（ 一２ ａ＋ 一４ 厂 ） （） ｚ ） ｘ＋
、
利 用 一 次 函数 的 性 质
０ ① 在区间 ， ） 上恒 成立 ， 要求实参数 ｋ的范 围。
如果能将不等式①化 为 Ｆ ｋ ≥Ｇ ）或 Ｆ ｋ （） （ （ （） ≤Ｇ ） （ ）的形 式 ， 且可求 出 Ｇ ） 区间 ，上 的最 （ 在 大（ 最小 ） ， 么不等式 ①在 区间 ， 恒成立 的充 值 那 上
时 ， 有 ＋ ｋ ｋ一 １ 恒 ｘ＞ ，
ｚ
‘
任何一个一元二次不等 式总可 以化 为 ａ ｘ ｘ ＋ｂ
＋ｃ ＞０（ ０ ａ＞ ）的形 式 ， 由二 次 函数 Ｙ＝
论：
＋ ＋ｃ
求实数 ｋ的取值范 围。
解 ： 等 式 可 化 为 不
（ ａ＜０ 的 图 象 和 性 质 ， 们 不 难 得 出 以 下 两 个 结 ） 我
｛ ｝ 。
， ｆ ２ ａ 则 —ｔ＞ｍ ｘ
①
于是该 题 就 变成 ： ａ∈［一１ １ 内任 意取 值 当 ，］ 时，（） ｇ ａ 恒大于零 ， 求 的取 值范围。 因为 ｇ ｎ 是一次 函数 ， 以 ｇ ａ 在 ［ ， ］ （） 所 （ ） 一１１ 上
恒 为 正 ， 要 只
ｒ （ ） 一 ｘ＋６ ， ｇ 一１ ： ５ ＞０ Ｌ （ ） —３ ｇ１＝ ｘ＋２ 。 ＞０
初中数学----不等式(组)的字母取值范围的确定方法(含参考答案)
初中数学----不等式(组)的字母取值范围的确定方法（含参考答案）七下数学与中考试题中，经常出现已知不等式(组)的解集，确定其中字母的取值范围的问题，下面举例说明字母取值范围的确定方法，供同学们学习时参考．一、 根据不等式(组)的解集确定字母取值范围例l 、如果关于x 的不等式(a+1)x>2a+2．的解集为x<2，则a 的取值范围是 ( ) A ．a<0 B ．a<一l C ．a>l D ．a>一l解：将原不等式与其解集进行比较，发现在不等式的变形过程中运用了不等式的基本性质3，因此有a+l<0，得a<一1，故选B ．例2、已知不等式组153x a x a <<⎧⎨<<+⎩的解集为a<x<5。
则a 的范围是 ．解：借助于数轴，如图1，可知： 1≤a<5并且 a+3≥5． 所以，2≤a<5 ．二、根据不等式组的整数解情况确定字母的取值范围例3、关于x 的不等式组23(3)1324x x x x a <-+⎧⎪⎨+>+⎪⎩有四个整数解，则a 的取值范围是 ．分析：由题意，可得原不等式组的解为8<x<2—4a ，又因为不等式组有四个整数解，所以8<x<2—4a 中包含了四个整数解9，10，11，12于是，有12<2—4a ≤13． 解之,得 114-≤a<52- ．例4、已知不等式组⎩⎨⎧<+>-b x ax 122的整数解只有5、6。
求a 和b 的范围．解：解不等式组得⎪⎩⎪⎨⎧-<+>212b x a x ，借助于数轴，如图2知：2+a 只能在4与5之间。
21-b 只能在6与7之间． ∴4≤2+a<5 6<21-b ≤7∴2≤a<3， 13<b ≤15．三、根据含未知数的代数式的符号确定字母的取值范围例5、已知方程组213(1)21(2)x y m x y m +=+-----⎧⎨+=------⎩满足x+y<0，则( )图1图2A ．m>一lB ．m>lC ．m<一1D ．m<1分析：本题可先解方程组求出x 、y ，再代入x+y<0，转化为关于m 的不等式求解；也可以整体思考，将两方程相加，求出x+y 与m 的关系，再由x+y<0转化为m 的不等式求解． 解：(1)十(2)得，3(x+y)＝2+2m ，∴x+y ＝223m+<0．∴m<一l ，故选C ． 例6、(江苏省南通市2007年)已知2a －3x ＋1＝0，3b －2x －16＝0，且a ≤4＜b ，求x 的取值范围．解：由2a －3x ＋1＝0，可得a=312x -;由3b －2x －16＝0，可得b=2163x +. 又a ≤4＜b ， 所以,312x -≤4＜2163x +， 解得:-2＜x ≤3. 四、逆用不等式组解集求解例7、如果不等式组260x x m-≥⎧⎨≤⎩ 无解，则m 的取值范围是 ．分析：由2x 一6≥0得x ≥3，而原不等式组无解，所以3>m ，∴m<3． 解：不等式2x-6≥0的解集为x ≥3，借助于数轴分析，如图3，可知m<3．例8、不等式组⎩⎨⎧>≤<m x x 21有解，则（ ）．A m<2B m ≥2C m<1D 1≤m<2解：借助图4，可以发现：要使原不等式组有解，表示m 的点不能在2的右边，也不能在2上，所以，m<2．故选（A ）．例9、(2007年泰安市)若关于x 的不等式组3(2)224x x a x x --<⎧⎪⎨+>⎪⎩，有解，则实数a 的取值范围是 ．解：由x-3(x-2)<2可得x>2,由24a x x +>可得x<12a. 因为不等式组有解,所以12a>2. 所以,4a >.31 2图4图3例3、 某县筹备20周年县庆，园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配A B ，两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道两侧，已知搭配一个A 种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆，搭配一个B 种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆．（1）某校九年级（1）班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来． （2）若搭配一个A 种造型的成本是800元，搭配一个B 种造型的成本是960元，试说明（1）中哪种方案成本最低？最低成本是多少元？不等式（组）中待定字母的取值范围不等式（组）中字母取值范围确定问题，在中考考场中频频登场。
待定系数法求不等式取值范围
待定系数法求不等式取值范围哎呀，今天我们来聊聊一个听上去有点高大上的话题——待定系数法求不等式的取值范围。
别担心，虽然名字有点拗口，但咱们轻松一聊，就能让它变得简单明了。
想象一下，就像吃一碗热腾腾的汤面，初看上去复杂，但其实每一口都是暖心的味道。
待定系数法就像我们在做一道美味的菜，得先准备好食材。
啥食材呢？就是不等式中的各个部分，比如系数、变量等等。
咱们就得把这些食材按比例混合，最后才能做出一道可口的佳肴。
什么是“待定系数”呢？简单说，就是我们在解不等式时，得先假设一些变量的值，然后再通过这些假设来找到它们的真实范围。
就像你逛街的时候，看到一件衣服，心里琢磨着这件好看不，得先试试，再看看是不是适合自己。
这时候，待定系数法就帮我们试衣服，能让我们在各种可能性中找到那个最合适的选择。
拿一个例子来说吧。
假设我们有个不等式，像是 ( ax + b > c )。
这时候，咱们的目标就是找出 ( x ) 的范围。
先不急，咱们来看看这个不等式。
得确定 ( a )、( b )、( c ) 的值。
就像购物时先算好预算一样，有了这几个数值，才能下手。
假如说 ( a = 2 )，( b = 3 )，而 ( c = 7 )，那么不等式就变成了 ( 2x + 3 > 7 )。
别急，咱们来一步一步解。
把 3 移到另一边，得到 ( 2x > 4 )。
然后，再把 2 除过去，得出 ( x > 2 )。
哎呀，这样一来，咱们就找到了 ( x ) 的范围。
就是大于 2 的那些数字，真是简单得让人想拍手叫好。
生活中也是这样的，很多时候我们都需要设定一个底线，才能让自己更轻松自在。
再想想，这个待定系数法还可以解决很多有趣的问题呢。
比如，有时候我们会碰到一些更复杂的不等式，像是 ( ax^2 + bx + c > 0 )。
这时候，心里千万别慌，先用待定系数法，把二次项给拆开。
把不等式的系数设定好，找出它的根，再看这个二次函数的图像，哎呀，像是在画画呢，得先知道起点和终点，才能更好地把画面勾勒出来。
如何确定不等式组中字母的取值范围
如何确定不等式（组）中字母的取值范围江苏海安紫石中学 黄本华 226600利用不等式（组）的解或解集情况，确定字母的取值范围是不等式中的难点。
我们只有根据不等式（组）和方程之间的联系，并借助于数轴，多角度、全方位的考虑字母系数所蕴含的相等或不等关系，并且不能遗漏极端情况，才能够准确地求到字母的取值或取值范围，并实现解题过程的全优化．一、已知不等式（组）的解集例1 （2007 天门） 关于x 的不等式12-<-a x 的解集如图所示，则a 的值是（ ）A 0B 3-Ｃ 2- Ｄ 1- 分析：由数轴可知，不等式的解集是1-<x ，不等式的一个极端状态即是方程，解集的极端状态即为方程的解．所以当1-=x 时，不等式左右两边一定相等． 解：由题意得：1)1(2-=--⨯a解得：1-=a ，故选D二、只知道不等式（组）有解或无解例2 若不等式组4050a x x a ->⎧⎨+->⎩无解，则a 的取值范围是 分析：先求出不等式组的解集，即把解集用字母表示出来，再根据不等式组是有解或无解，在数轴上把①、②的解集表示出来，从而得到一个关于字母a 的不等式． 解：由①得：a x 4< 由②得：a x ->5所以 a a -≤54 得1≤a要特别注意：当1=a 时，不等式组也无解，所以此题在列不等式时，一定要考虑在极端位置时，即两点重合时，不等式组是有解还是无解，像这题，当a a -=54时，不等式组也无解，所以千万不要把等号丢了．同时，我们还要考虑到是空心圈还是实心点．总之在极端位置，一定要非常慎重．说明：此题若改为不等式组有解，则4a 就要画到a -5的右边，从而得到不等式a a 45<-，解得：1>a三、已知不等式（组）的几个特殊解例3 已知不等式组30080x a x a -≥⎧⎨-<⎩ 的整数解仅为1、2、3，求字母a 的取值范围。
分析：先求出不等式组的解集，即把解集用字母表示出来，再根据不等式组的整数解，在数轴上表示出这个不等式组的解集的可能区间，再列出关于字母a 的不等式组．在列不等式组的时候一定要认真考虑端点情况，慎重确定有无等号．解：由①得： 30a x ≥ 由②得：8a x < 在数轴上表示出这个不等式组的解集的可能区间①② ①②830所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<≤<4831300a a 解得：3024≤<a 注意：要非常重视实心点和空心圈的情况，所以30a 可以等于1，但不能等于0；8a 可以等于4，但不能等于3，这一点在列不等式组的时候一定要小心．巩固练习：1、已知关于x 的不等式组 ⎩⎨⎧>-<-3212b x a x 的解集为11<<-x ，那么)1)(1(++b a 的值等于2、若关于x 的不等式组⎩⎨⎧<<≤-ax x 211有解，则a 必须满足3、已知关于x 的不等式组⎩⎨⎧->-≥-1230x a x 的整数解共有5个，则a 的取值范围是。
初中数学：不等式和不等式组中参数的取值求法
初中数学：不等式和不等式组中参数的取值求法“参数的取值”指的是在不等式或不等式组中，除未知数外的字母为满足不等式（组）成立而所取的准确数或值的范围。
要学会解这类题，必须清楚地明确以下两个问题：（1）不等式的主要基本性质：不等式的两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
（2）不等式组的四种解集情况（a<b）①若，则x>b（大大取大大）；②若，则x<a（小小取小小）③若，则a<x<b（大小小大取中间）④若，则无解（大大小小落空了）以上两个问题反过来也成立。
一、用不等式的基本性质求例1、不等式ax>b的解集是，则a的取值范围是（）A.B. a<0C.D. a>0分析：由不等式的基本性质知a<0，故选B。
二、用等值代换法求例2、如果关于x的不等式和2x<4的解集相同，则a的值为____________。
分析：由2x<4得x<2由得所以例3、关于x的不等式组的解集为，求a、b的值。
解：将原不等式组化简后，得即所以解方程组得a＝－2，三、用不等式组的解集情况求例4、已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是____________。
分析：由原不等式组得，因为不等式组无解，所以由“大大小小落空了”得。
例5、不等式组的解集是x>2，则m的取值范围是（）A.B.C.D. m>1分析：由原不等式组得，因为不等式组的解集是x>2，所以由“大大取大大”得，，故选C。
例6、若不等式组的解集为，求a 的取值范围。
解：由原不等式组得以下两个不等式组和，因为原不等式组的解集为，所以由“大大取大大”和“小小取小小”得即，得又有，得a>1所以例7、若不等式组解集为x>－1，则m的值为___________。
分析：这里是“大大取大大”，若，则m＝－1；若m＋2＝－1，则m＝－3因为当m＝－1时原不等式组就是，解集为x>1不合题意；当m＝－3时原不等式组就是，解集为x>－1，所以m＝－3。
求绝对值不等式中参数的取值范围资料
求绝对值不等式中参数的取值范围求绝对值不等式中参数的值例1 已知关于x 的不等式x a b +<的解集为{}15x x <<，求实数,a b 的值。
变式 已知关于x 的不等式2x a b +<的解集为1322x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，求实数,a b 的值。
例2 已知关于x 的不等式23ax -<的解集为5133x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，求实数a 的值。
变式 已知关于x 的不等式14ax -<的解集为513x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，求实数a 的值。
求绝对值不等式中参数的取值范围本节课主要利用三角形绝对值不等式求出含绝对值函数的最值，从而解决不等式恒成立问题和存在性问题。
例1 已知不等式23x x m +-+>,分别求出以下情况中m 的取值范围(1)若不等式有解；(2)若不等式解集为R ；(3)若不等式解集为∅。
规律总结：问题(1)是存在性问题，只要求存在满足条件的x 即可；不等式解集为R 或为空集时，不等式为绝对不等式或矛盾不等式，属于恒成立问题，恒成立问题f (x )<a 恒成立⇔f (x )max <a ，f (x )>a 恒成立⇔f (x )min >a .变式1 把本例中的“>”改成“<”，即|x ＋2|－|x ＋3|<m 时，分别求出m 的取值范围．变式2 把本例中的“－”改成“＋”，即|x ＋2|＋|x ＋3|>m 时，分别求出m 的取值范围．（2016沈阳一模）设函数()214f x x x =+--.（1） 解不等式)(0f x >.（2） 若()34f x x m +->对一切实数x 均成立，求出m 的取值范围．（2016洛阳模拟）设函数()21f x x x =+-.（1） 解不等式)(0f x >；（2） 若存在0x R ∈,使得)0(f x m ≤成立，求出m 的取值范围。
初二数学知识点梳理：不等式待定系数的取值范围
初二数学知识点梳理：不等式待定系数
的取值范围
初二数学知识点梳理：不等式待定系数的取值范围
不等式待定系数的取值范围
不等式待定系数的取值范围就是已知不等式或不等
式组的解集或特殊解，确定不等式中未知数的系数的取
值范围。
不等式待定系数的取值范围求法：
一、根据不等式(组)的解集确定字母取值范围
例:
如果关于x的不等式(a+1)x2a+2．的解集为x2，则a 的取值范围是 ( )
A．a0 B．a一l C．al D．a一l
解：将原不等式与其解集进行比较，发现在不等式
的变形过程中运用了不等式的基本性质3，因此有a+l0，得a一1，故选B．
二、根据不等式组的整数解情况确定字母的取值范
围
例：
已知不等式组
的整数解只有5、6。
求a和b的范围．
解：解不等式组得
，借助于数轴，如图:
知： 2+a只能在4与5之间。
只能在6与7之间．
∴4≤2+a5,6
≤7
∴2≤a3,13b≤15
三、根据含未知数的代数式的符号确定字母的取值范围
例：
已知2a－3x＋1＝0，3b－2x－16＝0，且a≤4＜b，求x的取值范围．
解：由2a－3x＋1＝0，可得a=
;由3b－2x－16＝0，可得b又a≤4＜b，
所以,
≤4＜
，
解得:-2＜x≤3.
四、逆用不等式组解集求解
例：。
不等式有三个整数解求a的取值范围类型题
不等式有三个整数解求a的取值范围一、引言在数学中，不等式是描述了两个数或多个数之间的关系的数学表达式。
解不等式意味着找到使不等式成立的变量的取值范围。
在本文中，我们将探讨一个有趣的问题：对于一个不等式，如果存在三个整数解，那么a的取值范围是什么？二、问题分析要找到一个不等式的解，首先需要明确不等式的形式。
考虑一个一元二次不等式的一般形式：ax^2 + bx + c > 0，其中a、b、c为实数，a不等于0。
我们的目标是找到a的取值范围。
三、案例分析让我们通过一个具体的案例来解决这个问题。
考虑不等式x^2 - (a + 1)x + a -2 > 0。
我们需要找到a的取值范围，使得该不等式存在三个整数解。
3.1 一元二次不等式的解首先，我们需要了解一元二次不等式的解的性质。
对于一元二次不等式ax^2 + bx + c > 0，它有以下解的情况：1.当a > 0时：–若b^2 - 4ac < 0，即判别式小于0，不等式无解。
–若b^2 - 4ac = 0，即判别式等于0，不等式存在一个解。
–若b^2 - 4ac > 0，即判别式大于0，不等式存在两个解。
2.当a < 0时：–若b^2 - 4ac < 0，不等式存在两个解。
–若b^2 - 4ac = 0，不等式存在一个解。
–若b^2 - 4ac > 0，不等式无解。
3.2 求解具体案例的条件对于我们的具体案例x^2 - (a + 1)x + a - 2 > 0，我们需要找到a的取值范围，使得不等式存在三个整数解。
由于该不等式为一元二次不等式，我们知道对于不等式ax^2 + bx + c > 0来说，判别式b^2 - 4ac必须大于0，即b^2 - 4ac > 0。
对于我们的具体案例，根据系数对应的a、b、c的值，我们有(- (a + 1))^2 -4(a - 2) > 0。
将其展开并化简得到a^2 + a - 7 > 0。
含参不等式求参范围
含参不等式（组）求参范围问题
精选训练
特点：含参不等式（组），常见的题型设置为，一元一次不等式或不等式组，都带一个参数，已知不等式的解集，求确定参数的取值范围。
解决方法：找参数式的变化区间
训练：
一元一次不等式部分
1、不等式3x-a ≤0,只有两个正整数解，则a 的取值范围是
2、已知不等式3x-a ≤0的正整数解恰好是1,2,3，4，那么a 的取值 范围是
3、若关于x 的不等式x ＜a 只有4个正整数解，则a 的取值范围是
4、若不等式2x-m ＜0的正整数解有3个，则m 的取值范围是
不等式组部分
1、不等式组 ⎩⎨⎧+<+>-1
551x x m x 的解集是1>x ，则m 的取值范围是 。
2、若不等式组⎩⎨
⎧->-<-)1(2130x x m x 无解，那么m 的取值范是 . 3、若不等式组⎩
⎨⎧->+<121m x m x 无解，则m 的取值范围是 4、不等式组 ⎩⎨
⎧-><1
1m x x 恰有两个整数解，则m 的取值范围是 综合合部分：
当2≤x ≤5时，有mx-4＜0，则m 的取值范围是
****若数a 使关于x 的分式方程4112=-+-x a x 的解为正数，且使关于y 的不等式组 ⎪⎩⎪⎨⎧≤->-+0
)(21232a y y y 的解集为2-<y ，则符合条件的所有整数a 的和为（ ）
A 、10
B 、12
C 、14
D 、16
答案：A。
一元一次不等式组中参数取值范围的确定方法
２０２２年８月下半月㊀学习交流㊀㊀㊀㊀一元一次不等式组中参数取值范围的确定方法◉白银区武川新村学校㊀刘振琴㊀㊀摘要:一元一次不等式组是学生在学完一元一次不等式㊁一元一次方程和二元一次方程组基础上接触到的新知识,该知识点本身难度不大．但是,如果一元一次不等式组中出现了另一个参数,那么这对学生求出解集和确定参数取值范围带来了很大困扰．如果借助数形结合与分类讨论的方法,采用 解㊁画㊁移㊁比 四个步骤,可顺利解决一元一次不等式组中关于参数取值范围的确定问题．关键词:一元一次不等式组;数形结合;分类讨论;参数;取值范围１引言含参数的一元一次不等式组中参数取值范围的确定是 一元一次不等组 这一节的重难点内容．从课堂教学情况来看,学生在该知识点上存在很大问题,出现了诸多错误．所以,笔者对一元一次不等式组中参数取值范围的确定方法进行了研究,希望对学生有更多帮助．２例题分析例１㊀若不等式组x＜m,x＞３{无解,则m的取值范围是．分析:本题中的不等式组无需进一步求解,只需在数轴上将x＜m和x＞３表示出来．然而,由于m是除未知数x之外的又一个字母,且m的值题中未给出,这就给在数轴上的表示解集增加了难度．所以,根据题意应该采用数形结合和分类讨论的方法,分析如下．第一步,画出数轴,在数轴上表示出x＞３的解集,将x＜m的解集表示图如图１所示画出;第二步,将x＜m的解集表示图在数轴上移动,直至找出符合题意的情况;第三步,观察符合题意的x＜m解集表示图所在的位置,比较m与３的大小．解:首先,将x＜m和x＞３在数轴上表示出来,如下图１所示．㊀图１然后,分析x＜m的解集表示图有三个不同的位置可以放置,分别是数轴上３的左边㊁３的上面和３的右边,如图２所示．㊀图２再者,根据 无解 这一题意,可以确定(１)(２)两种情况符合．很明显,(１)中m＜３,(２)中m＝３．最后,综上分析可得出m的取值范围为mɤ３．例２㊀若不等式组x＋１＞a,xɤ２{有３个整数解,则a的取值范围是．分析:本题与例１的不同点在于本题中不等式组需要求解及不等式组有解集两个方面,同样用数形结合和分类讨论的方法分析如下．第一步,解出不等式的解集,分别是x＞a－１和xɤ２;第二步,画出数轴,在数轴上表示出xɤ２的解集,将x＞a－１的解集表示图如图３所示画出;第三步,将x＞a－１的解集表示图在数轴上移动,直至找出符合题意的情况;第四步,观察符合题意情况下的x＞a－１解集表示图所在的位置,比较a－１与２的大小．３４Copyright博看网. All Rights Reserved.学习交流２０２２年８月下半月㊀㊀㊀解:解不等式组x ＋１＞a ,x ɤ２,{得x ＞a －１,x ɤ２．{将不等式组的解集在数轴上表示,如图３所示:㊀图３因为原不等式组有３个整数解,所以a －１一定小于２．因为x ɤ２确定了原不等式组中的一个解,又由于x ＞a －１,a －１处是空心,所以在满足原不等式组有三个解的前提下,a －１一定要在０的左边㊁－１的右边,即－１ɤa －１＜０,如图４所示．㊀图４所以,a 的取值范围是０ɤa ＜１．３解法总结通过以上两道例题的分析可以发现,一元一次不等式组中参数取值范围的确定,不仅要利用数形结合的方法将之直观地在数轴上表示出来,还需要借助分类讨论思想,对符合题意的几种情况逐个分析[１]．对于这类问题,大致可采用以下思路解决:第一步,解．解出不等式的解集．第二步,画．画出数轴,在数轴上分别表示出不等式组的解集．对于含参数的解集,可像例１,２中一样先画出其形状待用．第三步,移．将含参数的解集表示图在数轴上移动,直至找出符合题意的情况．第四步,比．观察符合题意情况下含参数的解集表示图所在的位置,比较对应数字的大小[２]．另外,在操作第三步和第四步时,需注意以下几个方面的问题:首先,为了让学生有更直观的移动体验,教师可以利用多媒体画图工具,先用一种颜色将不含参数的解集在数轴上画好,然后用另一种颜色将含参数的解集在数轴以外的地方画好,然后利用 平移 或 移动 工具移动该解集的表示图,让学生经历解集表示图移动的过程,更直观地感受符合题意的几种情况．这样操作,比教师包办效果更好．其次,在移动到相应位置取值时,一定要注意 空心 和 实心 的区别[３]．空心 意味着取不到该点对应的数值,需继续移动． 实心 意味着可以取到该点对应的数值,移动时需结合题意谨慎进行．例如,在例２中a －１处是空心 ,那么在 不等式组x ＋１＞a ,x ɤ２{有３个整数解 的条件下,a －１不能放在０上,因为这样不等式解集无法取到０,那么原不等式组只有１和２两个整数解,与题意矛盾,所以应将a －１处是 空心 移向－１的左边．但是,a －１处是 空心 可以放在－１处,因为即使a －１处是 空心 可以放在－１处时原不等式组也取不到－１这个整数解,原不等式组仍只有３个整数解,符合题意．最后,解㊁画㊁移㊁比是解这类问题的通用步骤,学生不仅要对这些步骤进行常规化练习,而且要进行变式训练,以不断激发思维和拓展解题思路[４]．４结语综上所述,虽然含有参数的一元一次不等式组会给人以疑惑感,但如果能在 解 的基础上一步步尝试探究和深入,学生可能会获得不一样的学习心得．这种心得不仅体现在学习本身,更体现在与学生全面发展有关的诸多素养方面．所以,作为一线教师不仅要重视解㊁画㊁移㊁比这四个步骤的不断训练,更要借助变式练习激发学生的思维,培养学生更好的学习品质,为学生更全面的发展奠定基础．参考文献:[１]李进,王磊．解决含参数一元一次不等式问题 数形结合与分类讨论在解题中的运用[J ]．初中生世界,２０１７(Z ３):２８Ｇ２９．[２]钮丹媛．数学思想方法在课堂教学中的应用 以 一元一次不等式 教学为例[J ]．成长,２０２１(１０):１０１Ｇ１０２．[３]曹元军．例谈一元一次不等式组中参数取值问题[J ]．初中数学教与学,２０１７(５):１３Ｇ１４．[４]马永刚．用 三定法 解决一类一元一次不等式组中参数取值范围的问题[J ]．中小学数学,２０２２(Z １):６９Ｇ７０．Z４４Copyright 博看网 . All Rights Reserved.。
确定不等式(组)中参数的取值范围
确定不等式(组)中参数的取值范围知识回顾:不等式的性质1:不等式的两边都加上(或都减去)同一个数或同一个整式,不等式的方向不变； 不等式的性质2:不等式的两边都乘以(或都除以)同一个正数,不等式的方向不变；不等式的性质3:不等式的两边都乘以(或都除以)同一个负数,不等式的方向改变。
类型一：根据不等式的性质确定参数的取值范围1.若不等式(a-5)x<1的解集是x>51-a ，则a 的取值范围是（ ）A.a>5B.a<5C.5≠aD.以上都不对2.若关于x 的不等式(a-2)x<2-a 的解集是x>-1,则a 的取值范围是（ ）A.a>0B.a>2C.a<0D.a<2小结:①如果ax>b(a ≠0)的解集为x<a b,那么a<0；如果ax<b(a ≠0的解集为x>a b,那么a<0.②如果ax>b(a ≠0)的解集为x>a b,那么a>0；如果ax<b(a ≠0)的解集为x<a b,那么a>0.类型二：已知不等式(组〕的解集确定参数的值或取值范围3.如果关于x 的不等式x<a+5和2x<4的解集相同,那么a 的值为( )A.3B.－3C.2D.－24.已知x=4是不等式mx-3m+2≤0的解,且x=2不是这个不等式的解,则实数m 的取值范围为（） A.m ≤－2 B.m<2 C.-4<m ≤-2 D.-2≤m<2关键词：x=2不是不等式mx-3m+2≤0的解，相当于x=2是不等式mx-3m+2＞0的解。
类型三：已知不等式(组)的特殊解个数确定参数的取值范围5.关于ⅹ的不等式组⎩⎨⎧++ax x x 63)4(2，若不等式组解集中只有一个整数解,则a 的取值范围是（） A ．3＜a ＜4 B ．3＜a ≤4 C ．3≤a ＜4 D ．3≤a ≤46.如果关于 x 的不等式 x ＞2a －1 的最小整数解为 x ＝3，则 a 的取值范围是( )A ．1.5＜a ＜2B ．a ＜2 C.1.5≤a ＜2 D ．a ≤27．不等式组 ⎪⎩⎪⎨⎧-≤----)(2)1(412131a x x x x 有 3 个整数解，则 a 的取值范围是( ) A ．－6≤a ＜－5 B ．－6＜a ≤－5 C ．－6＜a ＜－5 D ．－6≤a ≤－5 小结：1.当x>a 有最小整数解为m 时,则m-1≤a<m ；当x ≥a 有最小整数解为m 时,则m-1<a ≤m ； 当x<a 有最大整数解为m 时,则m<a ≤m+1；当x ≤a 有最大整数解为m 时,则m ≤a<m+1.(其中a 为参数,m 为常数）2.已知不等式(组)有最大（小）整数解或有n 个整数解，确定参数的取值范围，则参数a 的取值范围是n<a ≤m 或n ≤a<m 两种形式（有且只有一个不等号含等号）。
二元一次方程不等式无解求取值范围
二元一次方程不等式无解求取值范围，是指求出使得二元一次方程不等式没有任何解的参数的取值范围。
一般的方法是先求出二元一次方程不等式的解集，然后根据参数的不同情况，讨论解集是否为空集。
例如，求a的取值范围，使得二元一次方程不等式2(a−3)x+31(2a−1)y<6无解。
解：首先，我们将二元一次方程不等式化为标准形式：(2a−32)x+32ay<6−31然后，我们根据x和y的系数的符号，确定二元一次方程不等式表示的平面区域。
有以下几种情况：（1）如果2a−32>0且32a>0，即a>31，那么二元一次方程不等式表示直线(2a−32)x+32ay=6−31右上方的平面区域。
这时，二元一次方程不等式有无数多个解，因为任意一个位于右上方区域的点都满足不等式。
（2）如果2a−32<0且32a<0，即a<31，那么二元一次方程不等式表示直线(2a−32)x+32ay=6−31左下方的平面区域。
这时，二元一次方程不等式也有无数多个解，因为任意一个位于左下方区域的点都满足不等式。
（3）如果2a−32=0且32a=0，即a=31且a=0，那么二元一次方程不等式化为92y<6−31即y<225这时，二元一次方程不等式表示直线y=225下方的平面区域。
这时，二元一次方程不等式也有无数多个解，因为任意一个位于下方区域的点都满足不等式。
（4）如果32a=0且2a−32=0，即a=0且a=31，那么二元一次方程不等式化为−32x<6−31即x>−425这时，二元一次方程不等式表示直线x=−425右侧的平面区域。
这时，二元一次方程不等式也有无数多个解，因为任意一个位于右侧区域的点都满足不等式。
综上所述，在所有情况下，二元一次方程不等式都有解。
因此，不存在使得二元一次方程不等式无解的a的取值范围。
我们可以说，a的取值范围是空集。
人教版 七年级 下册不等式(组)中参数的取值范围问题
求不等式（组）中参数的取值范围
一、已知解集求参数的值或取值范围.
1.不等式组⎩
⎨⎧-++11692＜＞k x x x 的解集为2＜x ，则k 的取值范围为 . 2.已知不等式a x a 242--＞）（的解集为2-＜x ，则a 的取值范围为 .
3.若不等式组⎩⎨⎧--3212＞＜b x a x
的解集为11＜＜x -，求代数式2022）（b a +的值. 二、已知有解、无解的情况求参数的取值范围.
1.若不等式组⎩⎨⎧-+0
01＜＞a x x 无解，求a 的取值范围.
2.若不等式组⎩
⎨⎧+-+a x x x ＜＞1753有解，求a 的取值范围.
三、已知整数解求参数的值或者取值范围.
已知不等式组⎩⎨⎧a
x x ＜＞2的解集只有3个整数，求a 的取值范围.
四、已知方程（组）解的情况求参数的取值范围.
1.已知方程组⎩⎨⎧+=---=+a
y x a y x 317的解中x 为非整数，y 为负数，求a 的取值范围. 2.（变式训练）已知方程组⎩⎨⎧+=---=+a y x a y x 317的解满足53＞y x -，求a 的取值范围.。
人教版数学高二-备课资料利用不等式的性质求式取值范围
高中数学-打印版精心校对 利用不等式的性质求式取值范围利用不等式性质求式的取值范围时，注意两个方面：一是注意不等式性质的条件 ，有些不等式性质条件是一切实数，而有些不等式性质只是在正数条件下才成立；二是注意不等式性质是否可逆。
有些不等式性质是可逆的，而有些不等式是不可逆的.下面就利用不等式的性质求式取值范围进行分析.例1已知－1＜a ＜b ＜1，－2＜c ＜3，求(a －b)·c 的取值范围.解析：∵－1＜a ＜b ＜1，∴－2＜a －b ＜0，∴2＞－(a －b)＞0.当－2＜c ＜0时，2＞－c ＞0，4＞(－c)[－(a －b)]＞0，即4＞(a －b)·c ＞0，当c ＝0时，(a －b)·c ＝0，当0＜c ＜3时，3＞c ＞0，6＞c ·[－(a －b)]＞0，即－6＞(a －b)·c ＜0，综上可得(a －b)·c 的取值范围是(－6，4).评注：在对不等式的乘法法则时，如果无法判断不等式两边的符号时，要注意分类讨论. 例2已知－1≤x 2－3x ＋y 2≤2，且2≤(y －1)2＋x ≤3，求2x 2＋5y 2－3x －6y ＋3的取值范围.解析：设2x 2＋5y 2－3x －6y ＋3＝m(x 2－3x ＋y 2)＋n[(y －1)2＋x]，即2x 2＋5y 2－3x －6y ＋3＝mx 2＋(m ＋n)y 2－(3m －n)x －2ny ＋n ，比较等式两边系数，得m ＝2，n ＝3.由已知－1≤2(x 2－3x ＋y 2)≤4,4≤3[(y －1)2＋x]≤9，∴2x 2＋5y 2－3x －6y ＋3的取值范围是[4，13].评注：不等式的性质定理除个别外，其他的条件和结论间都不是充要条件，而只是充分条件，因此在解答本题本题时，容易犯如下错误：反复多次使用性质定理，使题中的变量范围扩大，从而出现增解.这就要求我们在求解题中使用不等式性质要注意检查同解性，检查变量范围是否改变，但在证明题中不存在这个顾虑，只要能推到结论就行.例3已知1≤lg x y ≤2，2≤lg x 3y ≤3，求lg x 33y的取值范围. 解析：由1≤lg x y ≤2，2≤lg x 3y ≤3，得⎩⎪⎨⎪⎧1≤lgx －lgy ≤2 ①2≤3lgx －12lgy ≤3 ②， 令⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝lgx －lgy ③b ＝3lgx －12lgy ④，则由③④得⎩⎪⎨⎪⎧ lgx ＝2b －a 5 ⑤lgy ＝2b －6a 5⑥， 由⑤⑥得lg x 33y＝3lgx －13lgy ＝3×2b －a 5－13×2b －6a 5＝1615b －a 5. 由①②知1≤a ≤2，2≤b ≤3，由此可得2615≤1615b －a 5≤3， 即lg x 33y的取值范围是[2615，3]. 评注：本题是通过变量代换、解方程组的方法求出lg x 33y的取值范围.解此类题常见的错误的就是利用利用加减消元直接求出lgx 、lgy 的范围，然后再求lg x 33y的范围.。
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不等式中的取值范围求法
不等式是高中数学的重要内容，与各部分联系紧密，是历年高考的命题重点，在考查不等式的命题中以求取值范围问题居多，解决此类问题的方法体现了等价转换、函数与方程、分类讨论、数形结合等数学思想。
1、 不等式的性质法
利用不等式的基本性质，注意性质运用的前提条件。
例1：已知
f x ax c f f ()()()=--≤≤--≤≤2411125，且，，试求f ()3的取值范围。
解：由(1)(2)4f a c f a c =-⎧⎨=-⎩
解得[][]1(2)(1)31(2)4(1)3a f f c f f ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
∴=-=
⋅--≤≤∴-≤⋅≤-≤≤-∴≤-⋅≤∴-+≤⋅-≤+-≤≤f a c f f f f f f f f f ()()()()()()()()()()3983253
112583832403
41153531203
8353832531403203
1320ΘΘ，，
，即
评：解此类题常见的错误是：依题意得
-≤-≤--≤-≤41
11452a c a c （）（）
用（1）（2）进行加减消元，得
03173≤≤≤≤a c ，（）
由f a c f ()()397327=--≤≤得
其错误原因在于由（1）（2）得（3）时，不是等价变形，使范围越加越大。
2、 转换主元法
确定题目中的主元，化归成初等函数求解。
此方法通常化为一次函数。
例2：若不等式 2x －1>m(x 2-1)对满足－2≤m ≤2的所有m 都成立，求x 的取值范围。
解：原不等式化为 (x 2－1)m －(2x －1)<0 记f(m)= (x 2－1)m －(2x －1) (－2≤m ≤2)
根据题意有：⎪⎩⎪⎨⎧<=<=01)-(2x -1)-2(x f(2)01)-(2x -1)--2(x f(-2)22 即：⎪⎩⎪⎨⎧<->+0
1-2x 2x 03-2x 2x 22 解得2
31x 271+<<+- 所以x
的取值范围为 3、化归二次函数法
根据题目要求，构造二次函数，结合二次函数实根分布等相关知识，求出参数取值范围。
例3：在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝(1－y) 若不等式(x －a)⊗(x ＋a)<1对任意实数x 成立，则 ( )
(A)－1<a<1 (B)0<a<2 (C) 2321<<-a (D) 3122a -<< 解：由题意可知 (x-a)[1-(x+a)] <1对任意x 成立
即2210x x a a --++>对x ∈R 恒成立
记22()1f x x x a a =--++
则应满足0∆< 即：24430a a --<
解得 2321<<-
a ,故选择C 。
例4：若不等式2282001
x x mx mx -+<--对一切x 恒成立，求实数m 的取值范围。
解：由22820(4)40x x x -+=-+>，知原不等式恒成立等价于210mx mx --<恒成立，那么
1o 当0m =时，10-<，不等式成立；
2o 当0m ≠时，要使不等式210mx mx --<恒成立，
应有2040
m m m <⎧⎨∆=+<⎩ 解得40m -<< 综上所述：m 的取值范围为(4,0)-
评：二次项系数含有参数时，要对参数进行讨论等于零是否成立。
4、反解参数法
在题目中反解出参数，化成a>f(x) （a<f(x)）型恒成立问题，再利用a>f max (x) （a<f min (x)）求出参数范围。
例5：若不等式2210x mx -->对一切13x ≤≤恒成立，求m 的取值范围。
解：因为13x ≤≤，所以2210x mx -->可转化成12m x x
<- 所以要使原不等式恒成立，则需2m 小于1x x
-的最小值， 令1y x x
=-，则此函数在13x ≤≤时为增函数， 所以1110y x x
=-≥-= 所以20m <，即0m <，故m 的取值范围为(,0)-∞
评：本题也可利用方法3和方法5求解。
例6：已知函数12()(0)f x x a x
=-+>，若()20f x x +≥在(0,)+∞上恒成立，求a 的取值范围。
解：若()20f x x +≥在(0,)+∞上恒成立，
即1220x a x -++≥，112()x a x
∴≤+ 12()(0)x x x
+>Q 的最小值为4， 14a ∴≤，解得0a <或14
a ≥ 所以a 的取值范围为1(,0),4⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭
U 。
5、数形结合法
运用数形结合，不仅直观，易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，简化了解题过程，在选择和填空中更显其优越。
例7：如果对任意实数x，不等式kx
+恒成立，则实数k的取值范围是
1
x≥
≤
0≤
1
k
解析：画出y1=1
x+,y2=kx的图像，由图可看出0≤k≤1 Array由于不等式的综合性和灵活性，一道题往往有多种解法，所以要根据题目的
情况，选择恰当的方法，不要拘泥一种形式，要灵活多变。