中考几何最值问题(含答案)(最新整理)

几何最值问题

一．选择题（共 6 小题）

1．（2015•孝感一模）如图，已知等边△ABC的边长为6，点D 为AC 的中点，点E 为BC 的中点，点P 为BD 上一点，则PE+PC 的最小值为（）

A．3 B．3C．2D．3

考点：轴对称-最短路线问题．

分析：由题意可知点 A、点C 关于BD 对称，连接 AE 交BD 于点P，由对称的性质可得，PA=PC，故PE+PC=AE，由两点之间线段最短可知，AE 即为PE+PC 的最小值．

解答：解：∵△ABC 是等边三角形，点 D 为 AC 的中点，点 E 为 BC 的中点，∴BD⊥AC，EC=3，

连接 AE，线段 AE 的长即为 PE+PC 最小值，

∵点 E 是边 BC 的中点，

∴AE⊥BC，

∴AE===3，

∴PE+PC的最小值是3

．故选 D．

点评：本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等边三角形的性质是解答此题的关键．

2．（2014•鄂城区校级模拟）如图，在直角坐标系中有线段AB，AB=50cm，A、B 到x 轴的距离分别为10cm 和40cm，B 点到y 轴的距离为30cm，现在在x 轴、y 轴上分别有动点P、Q，当四边形PABQ 的周长最短时，则这个值为（）

A．50 B．50C．50﹣50 D．50+50

考点：轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质．

专题：压轴题．

分析：过B 点作BM⊥y轴交 y 轴于 E 点，截取 EM=BE，过A 点作AN⊥x轴交x 轴于 F 点，截取 NF=AF，连接 MN 交 X，Y 轴分别为 P，Q 点，此时四边形 PABQ 的周长最短，根据题目所给的条件可求出周长．

解答：解：过B 点作BM⊥y轴交 y 轴于E 点，截取 EM=BE，过 A 点作AN⊥x轴交x 轴于F 点，截取NF=AF，连接 MN 交x，y 轴分别为 P，Q 点，

过 M 点作MK⊥x轴，过 N 点作NK⊥y轴，两线交于 K 点． MK=40+10=50，

作BL⊥x 轴交 KN 于 L 点，过 A 点作AS⊥BP 交 BP 于 S 点．

∵LN=AS==40．

∴KN=60+40=100．

∴MN==50．

∵MN=MQ+QP+PN=BQ+QP+AP=50．

∴四边形PABQ 的周长=50

+50．

故选D．

点评：本题考查轴对称﹣最短路线问题以及坐标和图形的性质，本题关键是找到何时四边形的周长最短，以及构造直角三角形，求出周长．

3．（2014 秋•贵港期末）如图，AB⊥BC，AD⊥DC，∠BAD=110°，在BC、CD 上分别找一点M、N，当△AMN周长最小时，∠MAN的度数为（）

A．30°B．40°C．50°D．60°

考点：轴对称-最短路线问题．

分析：根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出 A 关于 BC 和 CD 的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M+∠A″=∠HAA′=70°，进而得出∠MAB+∠NAD=70°，即可得出答案．

解答：解：作A 关于BC 和CD 的对称点A′，A″，连接A′A″，交 BC 于M，交CD 于N，则A′A ″即为△AMN的周长最小值，作 DA 延长线 AH，．

∵∠DAB=110°，

∴∠HAA′=70°，

∴∠AA′M+∠A″=∠HAA′=70°，

∵∠MA′A=∠MAB，∠NAD=∠A″，

∴∠MAB+∠NAD=70°，

∴∠MAN=110°﹣70°=40°．

故选 B．

点评：本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出 M，N 的位置是解题关键．

4．（2014•无锡模拟）如图，∠MON=90°，矩形 ABCD 的顶点 A，B 分别在 OM、ON 上，当 B 在边ON 上运动时，A 随之在边 OM 上运动，矩形 ABCD 的形状保持不变，其中 AB=2，BC=

．运动过程中，当点D 到点O 的距离最大时，OA 长度为（）

A．B．C．2 D．

考点：勾股定理；三角形三边关系；直角三角形斜边上的中线．

分析：取AB 的中点，连接 OE、DE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出 OE，利用勾股定理列式求出 DE，然后根据三角形的任意两边之和大于第三边判断出 O、E、D三点共线时点 D 到点O 的距离最大，过点 A 作AF⊥OD于F，利用∠ADE的余弦列式求出DF，从而得到点 F 是OD 的中点，判断出 AF 垂直平分 OD，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得 OA=AD．

解答：解：如图，取 AB 的中点，连接 OE、DE，

∵∠MON=90°，

∴OE=AE=AB=×2=1，

∵三边形 ABCD 是矩形，

∴AD=BC=，

在Rt△ADE中，由勾股定理得，DE===2，

由三角形的三边关系得，O、E、D 三点共线时点 D 到点O 的距离最大，

此时，OD=OE+DE=1+2=3，

过点A 作AF⊥OD于F，则cos∠ADE==，

即= ，

解得DF=，

∵OD=3，

∴点 F 是 OD 的中点，

∴AF 垂直平分 OD，

∴OA=AD=．

故选 B．

点评：本题考查了勾股定理，三角形的任意两边之和大于第三边，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，作辅助线并判断出 OD 最大时的情况是解题的关键，作出图形更形象直观．

5．（2015•鞍山一模）如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 在边BC 上且CE=1，长为的线段MN 在AC 上运动，当四边形BMNE 的周长最小时，则tan∠MBC的值是（）

A．B．C．D．1

考点：轴对称-最短路线问题；正方形的性质．

分析：根据题意得出作EF∥AC且EF=，连结DF 交AC 于M，在AC 上截取MN=，此时四边形 BMNE 的周长最小，进而利用相似三角形的判定与性质得出答案．

解答：解：作EF∥AC且EF=，连结DF 交AC 于M，在AC 上截取MN=，延长DF 交BC 于 P，作FQ⊥BC 于 Q，

则四边形 BMNE 的周长最小，

由∠FEQ=∠ACB=45°，可求得 FQ=EQ=1，

∵∠DPC=∠FPQ，∠DCP=∠FQP，

∴△PFQ∽△PDC，

∴=，

∴=，

解得：PQ= ，