【生物数学】生物数学_回归分析180411更新
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故当 F ＞F (1, n-2)时，拒绝H0，认为x与y之间有显著的线
性关系，或称回归方程是显著的．
相关系数R（样本相关系数）
定义：R SR 为x与y的相关系数. S yy
F
Se
SR /(n
2)
(n 2)R2 (1 R2 )
~ F (1, n 2)
可以证明：R b1Sxy Sxy
S yy
并指定显著性概率alpha polytool(x,y,n,alpha,xname,yname) — 多项式拟合，并添加坐标轴说明 举例：
x=[1 2 3 4 5 6 7 8]; y=[1 3 10 15 26 35 50 65]; %拟合二次多项式： polytool(x,y,2) %拟合二次多项式，指定显著性水平0.05，添加坐标轴说明： polytool(x,y,2,0.05, '横坐标x', '纵坐标y')
§2 多元线性回归
一、多元线性回归的数学模型
设因变量y与p个自变量x1，…，xp之间有线性关系：
y 0 1x1 p xp
回归分析是研究变量之间的相关关系的一种统计方法。回 归（regression）这一术语是1886年高尔顿（Galton）研究遗传 现象时引进的。
§1 一元线性回归
例1 以家庭为单位，某商品年需求量与其价格之间的调查数 据如下：
价格x（元） 1 2 2 2.3 2.5 2.6 2.8 3 3.3 3.5
Sxx S yy
R2
F
(n F 2)
相关系数检验： 给定显著性水平α，查相关系数表得临界值R (n-2)， 当 |R|＞ R (n-2) 时拒绝H0．
F检验：
查F分布表得临界值F (1, n-2)，当 F＞ F (1, n-2) 时拒绝 H0．
t 检验：t F ~ t(n-2 )，当 t＞ t (n-2) 时拒绝H0．
例2为研究某一化学反应过程中,温度对产品得率Y ( % )的影响, 测得数据如下表, 求 Y 关于 x 的线性 回归方程 .
温度x(oC)100 110 120 130 140 150 160 170 180 190
得率Y(%) 45 51 54 61 66 70 74 78 85 89
在MATLAB中求解 源程序 x=100:10:190;
n i 1
xi ,
y
1 n
n i 1
yi .
解正规方程得到：
n
(xi x )( yi y)
b1 i1 n
(xi x )2
i 1
b0 y b1x
记
Sxy (xi x )( yi y) i
Se ( yi yˆi )2 i
Sxx (xi x )2
i
Syy ( yi y )2 i
需求量y（500g） 5 3.5 3 2.7 2.4 2.5 2 1.5 1.2 1.2
1. x与y之间是相关 关系，不能用解析表达 式 y = f(x) 表示．
2. 作散点图。发现这 些点分布在一条直线附 近．
3. 把y 看成是由两部分叠加而成：一是x的线性式 β0 + β1 x； 二是由随机因素引起的误差 ．于是有
n
总平方和 S yy ( yi y )2 i 1 n
回归平方和 SR ( yˆi y )2，可以证明SR b1Sxy i 1 n
剩余平方和 Se ( yi yˆi )2 i 1
可以证明：Syy= SR + Se ，且当假设H0成立时，
F SR ~ F (1, n 2) Se / (n 2)
y =β0 + β1 x +
（1）
且假定 ~ N(0, 2) ．
Baidu Nhomakorabea
4. 为估计未知参数β0 、β1，将n组观测值(xi, yi)代入得
yi=β0+β1xi+ i (i =1, 2, …, n)
（2）
假定 i 相互独立，且 i ~ N(0, 2) ．称（1）式为一元线 性回归的数学模型．
一、β0，β1的最小二乘估计
生物数学 回归分析
一般来说，变量之间的关系可分为两类： 1. 确定性的函数关系：已知一个（或几个）变量的值，就 可以精确地求出另一个变量的值。如 V = 4/3 R3，S = V t 2. 非确定性的相关关系：几个变量之间存在着密切的关系， 但不能由一个（或几个）变量的值精确地求出另一个变量的值。 在相关关系中至少有一个变量是随机变量。如人的血压与年龄， 环境因子与农作物的产量，商品价格与消费者的需求量等。
设 b0 ,b1 分别为β0, β1的 估计值，即
ˆ0 b0, ˆ1 b1
则可将yi写成 yi b0 b1xi ei. 记 yˆi b0 b1xi , 称yˆi为yi估计值， 并称 ei yi yˆi 为残差或剩余.
最小二乘法是要选取bi使残
差平方和Q最小:
n
n
Q ei2 [ yi (b0 b1xi )]2
i 1
i 1
由微积分的极值原理得到
Q
b0
n
2
i 1
( yi
b0
b1xi )
0
Q b1
2
n i 1
( yi
b0
b1xi )xi
0
整理得
nb0
b1
n i 1
xi
n i 1
yi
n
n
n
b0 i1 xi b1 i1 xi2 i1 xi yi
称上述方程为正规方程．记
x
1 n
则
b1
S xy S xx
b0 y b1x
于是得到经验回归方程
yˆ b0 b1x
但当假定
y =β0 + β1 x + ε 不成立时，求得的经验回归方程 是无意义的．
因此，要检验 “y与x 存在 线性关系” 这一假设是否成立．
二、回归问题的统计检验
欲检验假设 H0: β1 = 0 H1: β1 ≠ 0
x=[100 110 120 130 140 150 160 170 180 190] y=[45,51,54,61,66,70,74,78,85,89]; polytool(x,y,1,0.05) %确定多项式回归的次数
Polytool函数说明
polytool(x,y) — 拟合 y =β0 + β1 x polytool(x,y,n) ) — 拟合 y =β0 + β1 x + β2 x2 +…+ βn xn polytool(x,y,n,alpha) — 拟合 y =β0 + β1 x + β2 x2 +…+ βn xn ，
性关系，或称回归方程是显著的．
相关系数R（样本相关系数）
定义：R SR 为x与y的相关系数. S yy
F
Se
SR /(n
2)
(n 2)R2 (1 R2 )
~ F (1, n 2)
可以证明：R b1Sxy Sxy
S yy
并指定显著性概率alpha polytool(x,y,n,alpha,xname,yname) — 多项式拟合，并添加坐标轴说明 举例：
x=[1 2 3 4 5 6 7 8]; y=[1 3 10 15 26 35 50 65]; %拟合二次多项式： polytool(x,y,2) %拟合二次多项式，指定显著性水平0.05，添加坐标轴说明： polytool(x,y,2,0.05, '横坐标x', '纵坐标y')
§2 多元线性回归
一、多元线性回归的数学模型
设因变量y与p个自变量x1，…，xp之间有线性关系：
y 0 1x1 p xp
回归分析是研究变量之间的相关关系的一种统计方法。回 归（regression）这一术语是1886年高尔顿（Galton）研究遗传 现象时引进的。
§1 一元线性回归
例1 以家庭为单位，某商品年需求量与其价格之间的调查数 据如下：
价格x（元） 1 2 2 2.3 2.5 2.6 2.8 3 3.3 3.5
Sxx S yy
R2
F
(n F 2)
相关系数检验： 给定显著性水平α，查相关系数表得临界值R (n-2)， 当 |R|＞ R (n-2) 时拒绝H0．
F检验：
查F分布表得临界值F (1, n-2)，当 F＞ F (1, n-2) 时拒绝 H0．
t 检验：t F ~ t(n-2 )，当 t＞ t (n-2) 时拒绝H0．
例2为研究某一化学反应过程中,温度对产品得率Y ( % )的影响, 测得数据如下表, 求 Y 关于 x 的线性 回归方程 .
温度x(oC)100 110 120 130 140 150 160 170 180 190
得率Y(%) 45 51 54 61 66 70 74 78 85 89
在MATLAB中求解 源程序 x=100:10:190;
n i 1
xi ,
y
1 n
n i 1
yi .
解正规方程得到：
n
(xi x )( yi y)
b1 i1 n
(xi x )2
i 1
b0 y b1x
记
Sxy (xi x )( yi y) i
Se ( yi yˆi )2 i
Sxx (xi x )2
i
Syy ( yi y )2 i
需求量y（500g） 5 3.5 3 2.7 2.4 2.5 2 1.5 1.2 1.2
1. x与y之间是相关 关系，不能用解析表达 式 y = f(x) 表示．
2. 作散点图。发现这 些点分布在一条直线附 近．
3. 把y 看成是由两部分叠加而成：一是x的线性式 β0 + β1 x； 二是由随机因素引起的误差 ．于是有
n
总平方和 S yy ( yi y )2 i 1 n
回归平方和 SR ( yˆi y )2，可以证明SR b1Sxy i 1 n
剩余平方和 Se ( yi yˆi )2 i 1
可以证明：Syy= SR + Se ，且当假设H0成立时，
F SR ~ F (1, n 2) Se / (n 2)
y =β0 + β1 x +
（1）
且假定 ~ N(0, 2) ．
Baidu Nhomakorabea
4. 为估计未知参数β0 、β1，将n组观测值(xi, yi)代入得
yi=β0+β1xi+ i (i =1, 2, …, n)
（2）
假定 i 相互独立，且 i ~ N(0, 2) ．称（1）式为一元线 性回归的数学模型．
一、β0，β1的最小二乘估计
生物数学 回归分析
一般来说，变量之间的关系可分为两类： 1. 确定性的函数关系：已知一个（或几个）变量的值，就 可以精确地求出另一个变量的值。如 V = 4/3 R3，S = V t 2. 非确定性的相关关系：几个变量之间存在着密切的关系， 但不能由一个（或几个）变量的值精确地求出另一个变量的值。 在相关关系中至少有一个变量是随机变量。如人的血压与年龄， 环境因子与农作物的产量，商品价格与消费者的需求量等。
设 b0 ,b1 分别为β0, β1的 估计值，即
ˆ0 b0, ˆ1 b1
则可将yi写成 yi b0 b1xi ei. 记 yˆi b0 b1xi , 称yˆi为yi估计值， 并称 ei yi yˆi 为残差或剩余.
最小二乘法是要选取bi使残
差平方和Q最小:
n
n
Q ei2 [ yi (b0 b1xi )]2
i 1
i 1
由微积分的极值原理得到
Q
b0
n
2
i 1
( yi
b0
b1xi )
0
Q b1
2
n i 1
( yi
b0
b1xi )xi
0
整理得
nb0
b1
n i 1
xi
n i 1
yi
n
n
n
b0 i1 xi b1 i1 xi2 i1 xi yi
称上述方程为正规方程．记
x
1 n
则
b1
S xy S xx
b0 y b1x
于是得到经验回归方程
yˆ b0 b1x
但当假定
y =β0 + β1 x + ε 不成立时，求得的经验回归方程 是无意义的．
因此，要检验 “y与x 存在 线性关系” 这一假设是否成立．
二、回归问题的统计检验
欲检验假设 H0: β1 = 0 H1: β1 ≠ 0
x=[100 110 120 130 140 150 160 170 180 190] y=[45,51,54,61,66,70,74,78,85,89]; polytool(x,y,1,0.05) %确定多项式回归的次数
Polytool函数说明
polytool(x,y) — 拟合 y =β0 + β1 x polytool(x,y,n) ) — 拟合 y =β0 + β1 x + β2 x2 +…+ βn xn polytool(x,y,n,alpha) — 拟合 y =β0 + β1 x + β2 x2 +…+ βn xn ，