证明线段成比例的方法与技巧
如何证明四条线段成比例
如何证明四条线段成比例资阳市雁江区第二初级中学葛吉明证明线段成比例的问题，思路灵活，涉及的定理较多，辅助线的添加方法亦很巧妙，多数学生感到困难，现介绍一种易学易懂的方法供大家参考。
口诀：遇等积，换等比；横找竖找定相似不相似，别生气；等线等比来代替平行线，转比例，两端各自找联系举例说明思路一、遇等积，换等比；横找竖找定相似由欲证的比例式或等积式转化为比例式．用三点定形法寻找相似三角形，这是证明线段成比例问题最基本的方法之一，一般是找到以四条成比例线段为边的两个三角形，再证明这两个三角形相似．[例1]已知：如图1，∠ABC=∠ADE．求证：AB·AE=AC·AD等式左边的三点A、B、C构成△ABC，等式右边的三点A、D、E构成△ADE．因此，只要证明△ABC∽△ADE，本题即可获证．（竖找定相似）由已知∠ABC=∠ADE，∠A是公共角，易证△ABC∽△ADE．证明：略．号两边的分母，三个字母A、D、E构成△ADE．(横找定相似)二、不相似，别生气；等线等比来代替当需要证明的成比例的四条线段不能构成相似三角形时，往往需要进行等量代换，包括“线段的代换”或利用“中间比”进行代换．[例2]已知：如图2，在Rt△ABC中有正方形H EFG，点H、G分别在AB、AC上，EF在斜边BC上．求证：EF2=BE·FC．上，无论如何不能构成相似三角形，因此不能直接应用三点定形法．此时应联想到正方形H EFG的四条边都相等的隐含条件，用H E代换等式左边的△H BE∽△FCG使本题获证．证明：略．这是利用线段进行等量代换的典型例题，不难看出，这种代换方法往往需要含有等腰三角形、平行四边形、正三角形、正方形、线段中点等已知条件或隐含条件．[例3]已知：如图3，AC是ABCD的对角线，G是AD延长线上的一点，BG交AC于F，交CD于E．分析：由B、E、F、G四点共线可知，本题既不能直接应用平行截线定理或三点定形法，又找不到与比例式中线段相等的线段进行等量代换．代换是解决本题的关键．证明：略．这是利用中间比进行代换的典型例题，这种代换往往出现于平行线分相等成比例以及相似三角形的对应边成比例三、平行线，转比例，两端各自找联系．利用辅助平行线来转移比例是证明线段成比例的有效方法，这种方法经常通过平行线分线段成比例定理和它的推论来实现．[例4]已知：如图4，在△ABC中，D是AC上一点，延长CB到E，使BE=AD，ED交AB于F．分析：观察比例式的右边三点A、B、C可构成△ABC，而左边的三点D、E、F不能构成三角形，因此不能直接利用相似三角形获证．证明：略．此题添平行线的方法还有：（1）过D点作BC的平行线交AB于M。
谈谈比例线段证明的方法
谈谈比例线段证明的方法比例线段证明是一种常用的数学证明方法，它可以用来证明两条线段之间的比例关系。
比例线段证明的基本思想是：如果两条线段的长度之比等于两个数之比，则这两条线段之间存在比例关系。
比例线段证明的步骤如下：首先，在平面直角坐标系中绘制两条线段，其中一条线段的长度为a，另一条线段的长度为b。
然后，在两条线段之间绘制一条新的线段，其长度为c，使得a:b=c:d，其中d为新线段的长度。
最后，证明a:b=c:d，即证明两条线段之间存在比例关系。
比例线段证明的关键在于证明a:b=c:d，即证明两条线段之间存在比例关系。
可以使用数学归纳法来证明，即从一般情况出发，逐步推导出特殊情况，最终证明a:b=c:d。
比例线段证明是一种简单而有效的数学证明方法，它可以用来证明两条线段之间的比例关系。
它的基本思想是：如果两条线段的长度之比等于两个数之比，则这两条线段之间存在比例关系。
比例线段证明的关键在于证明a:b=c:d，即证明两条线段之间存在比例关系。
可以使用数学归纳法来证明，即从一般情况出发，逐步推导出特殊情况，最终证明a:b=c:d。
比例线段证明是一种简单而有效的数学证明方法，它可以用来证明两条线段之间的比例关系。
它的优点在于，可以通过简单的图形操作来证明两条线段之间的比例关系，而不需要复杂的数学推理。
此外，比例线段证明也可以用来证明其他几何图形之间的比例关系，比如三角形、圆形等。
总之，比例线段证明是一种简单而有效的数学证明方法，它可以用来证明两条线段之间的比例关系，也可以用来证明其他几何图形之间的比例关系。
它的基本思想是：如果两条线段的长度之比等于两个数之比，则这两条线段之间存在比例关系。
比例线段证明的关键在于证明a:b=c:d，。
证明线段比例式或等积式的方法
证明线段比例式或等积式的方法（一）比例的性质定理：（二）平行线中的比例线段：①平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线所得对应线段成比例（图1、2）。
②平行于三角形的一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例（图3、4）。
③平行于三角形的一边，且与其他两边（或两边的延长线）相交的直线所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例（图3、4）。
（三）三角形中比例线段：①相似三角形中一切对应线段（对应边、对应高、对应中线、对应角平分线、对应周长…）的比都相等，等于相似比。
②相似三角形中一切对应面积的比都相等，等于相似比的平方。
③勾股定理：直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和（图5）。
④射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项（图5）。
直角三角形上任一直角边是它在斜边上的射影与斜边的比例中项（图5）。
⑤正弦定理：三角形中，每一边与对角的正弦的比相等（图6）。
即/sinA=b/sinB=c/sinC⑥余弦定理：三角形中，任一边的平方等于另两边的平方和减去这两边及其夹角余弦乘积的二倍（图6）。
如a2 = b2+c2 - 2 b·c·cosA（四）圆中的比例线段：圆幂定理：①相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段的积相等（图7）。
（推论：若弦与直径垂直相交，则弦的一半为它分直径所成两线段的比例中项。
图8）②切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长为这点到割线与圆交点的两线段长的比例中项（图9）。
③割线定理从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的两线段长的积相等（图10）。
（五）比例线段的运算：①借助等比或等线段代换。
②运用比例的性质定理推导。
③用代数或三角方法进行计算。
例说证明线段比例式或等积式的方法与技巧
例说证明线段比例式或等积式的方法与技巧何美兰证明线段比例式或等积式的常用方法之一是利用相似三角形，而相似三角形是初中数学中的一个非常重要的知识点，它也是历年中考的热点内容，通常考查以下三个部分：（1）考查相似三角形的判定；（2）考查利用相似三角形的性质解题；（3）考查与相似三角形有关的综合内容。
以上试题的考查既能体现开放探究性，又能加深知识之间的综合性。
但不少学生证题却是不会寻找相似三角形，特别是对比较复杂的图形，感到眼花缭乱，无从下手。
为了帮助学生们扩大解题思路，迅速而正确地解题。
下面以一些例题来说明解答策略及规律。
一三点定形法利用两个三角形相似去解决比例式或等积式证明的方法。
解决问题的基本思想是：先找出与结论中的线段有关的两个三角形，然后根据原题所给条件，对照图形分析，寻找这两个三角形的相似条件，再证明这两个三角形相似，利用“相似三角形对应边成比例”推出结论。
寻找并证明两个三角形相似是解题的关键，寻找相似三角形的基本方法是“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。
具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。
例1：如图1，ABCD是⊙O的内接四边形，过C作DB的平行线，交AB的延长线于E。
求证BE·AD＝BC·CD。
分析：要证BE·AD＝BC·CD，即＝。
横定：这个比例式的前项中的线段BE、CD共有四个不同的端点，不能确定一个三角形；竖定：这个比例式的比中的线段BE、BC它们有三个不同的端点，可以确定一个△BEC，另一个比中的线段CD、AD的三个不同的端点也可以确定一个△ACD，于是只要证明△BEC∽△DCA，这样，证明所需添加的辅助线AC也就显示在眼前了。
初中线段相等比例关系的证明方法
初中线段相等比例关系的证明方法线段相等和线段比例关系是几何学中常见的性质，其证明方法也是多种多样的。
下面将介绍几种常用的证明方法。
1.利用等长矩形的性质：如果四边形ABCD是等长矩形，那么AB与CD、BC与DA是相等的线段。
证明方法是利用相等角的性质得出等长矩形的条件，然后判断给定的四边形是否满足这个条件。
2.利用勾股定理：如果三角形ABC是一个直角三角形，且AB的平方等于AC的平方加上BC的平方，那么AB与BC是相等的线段。
证明方法是利用勾股定理以及角度的对应关系，将已知条件转化为直角三角形的条件，然后判断给定的三角形是否满足这个条件。
3.利用线段的长度性质：当两条线段的长度相等时，它们的线段加法等于它们的线段减法，即AB+CD=BC+AD，其中AB和CD是相等的线段，BC和AD是相等的线段。
证明方法是将给定的线段按照等式两边长度相等的条件分别相加，然后通过观察得出结果是否相等。
1.利用相似三角形的性质：如果三角形ABC与三角形DEF是相似的，那么AB与DE、BC与EF、AC与DF的比值相等。
证明方法是利用相似三角形的定义以及角度的对应关系，将已知条件转化为相似三角形的条件，然后判断给定的三角形是否满足这个条件。
2.利用线段分割定理：如果一条直线上的三个点A、B、C满足AB/BC=DE/EF，那么这个点C把线段AB和线段DE、EF按照相等的比例分割。
证明方法是将已知的线段比例转化为直线上点的坐标比例，根据线段分割定理得出结论。
3.利用线段的相似性质：当两个三角形或四边形中的对应边按照相等的比例分割时，它们的对应边的比例也相等。
证明方法是利用对应边的比例分割得出相似性质，然后利用线段的性质判断给定的图形是否满足这个条件。
以上是几种常用的线段相等、比例关系的证明方法，当然还有其他的方法，但这些方法是初中阶段常用且比较简单的方法。
在实际的证明过程中，除了运用这些方法，还需要根据具体问题进行合理的推理和构造，以便得到正确的结论。
怎样证明线段成比例
怎样证明线段成比例【知识要点】本章节中，所要介绍的线段成比例的证明方法，主要有以下几种：（1）利用相似三角形的对应边成比例法证。
思路是：把待证的四条线段视为两个三角形的边，从而把问题转化为证两个三角形相似。
（2）用等线代换法证：若所要证的比例式中的线段不是两个三角形的边，可把比例式中的线段换成与它相等的线段，这四条线段都在两个三角形中，证这两个三角形相似。
（3）用等比代换法去证：若d c b a ,,,是四条线段，欲证dc b a =，可先证得fe ba =（fe ,是两条线段）然后证dc fe =，这里把fe 叫做中间比。
【典型例题】例1 如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，E 是AC 上一点，连DE 并延长交BA 延长线于F ，且ED=FE ，AD ∥FD 交BC 于G ，DH ∥BA 交AC 于H ，求证：GD:CD=DH:FB 。
例2 如图，已知ABC Rt ∆中，AB CD ACB ⊥︒=∠,90于D ，E 是BC 的中点，连结ED 并延长交CA 的延长线于F ，求证：CFBC DFAC =。
例3 已知，如图，在ABC ∆中，AB=AC ，AD 是中线，P 是AD 上一点，过C 作CF ∥AB ，延长BP 交AC 于E ，交CF 于F 。
求证：PF PE BP ⋅=2。
A B CDG E H F12 3ABCED F12 3 A BCDP EF1 23 4例4 如图，ABC ∆中，DAC BDE BD AD ∠=∠=,，求证：DCBD EBAE =。
【经典练习】1．如图，已知AD 为ABC ∆的角平分线，E 为DC 上的一点，EF ∥AD 交AC 于F ，交BA 延长线于G ，求证：BE:CE=GB:FC 。
2．如图，AD 为ABC ∆的角平分线，由D 向ACB ∠的外角平分线作垂线与AC 的延长线交于F 点，由D 作ABC ∠的平分线的垂线与AB 交于E ，垂足分别为N ，M 。
平行线分线段成比例定理及证明
平行线分线段成比例定理证明简介平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例。
如图，因为AD∥BE∥CF，所以AB：BC=DE：EF；AB：AC=DE：DF；BC：AC=EF：DF。
也可以说AB：DE=BC：EF；AB：DE=AC：DF；BC：EF=AC：DF。
说明上述图样只是平行线分线段的一种特殊情况。
事实上，直线AC和直线DF 可以在平行线之间相交，同样有定理成立。
推广：过一点的一线束被平行线截得的对应线段成比例。
证明思路该定理是用举例的方法引入的，没有给出证明，严格的证明要用到我们还未学到的知识，通过举例证明，让同学们承认这个定理就可以了，重要的是要求同学们正确地使用它（用相似三角形可以证明它，在这里要用到平移和设三条平行线与直线1交于A、B、C三点，与直线2交于D、E、F三点法1：过A作平行线的垂线交另两条平行线于M、N过D作平行线的垂线交另两条平行线于P、Q则四边形AMPD、ANQD均为矩形AM=DP，AN=DQAB=AM/cosA，AC=AN/cosA，∴AB/AC=AM/ANDE=DP/cosD，DF=DQ/cosD，∴DE/DF=DP/DQ又∵AM=DP，AN=DQ，∴AB/AC=DE/DF根据比例的性质：AB/(AC-AB)=DE/(DF-DE)∴AB/BC=DE/EF法2：过A点作AN∥DF交BE于M点，交CF于N点，则AM=DE，MN=EF.∵ BE∥CF∴△ABM∽△ACN.∴AB/AC=AM/AN∴AB/(AC-AB)=AM/(AN-AM)∴AB/BC=DE/EF法3：连结AE、BD、BF、CE根据平行线的性质可得S△ABE=S△DBE，S△BCE=S△BEF∴S△ABE/S△CBE=S△DBE/S△BFE根据不同底等高三角形面积比等于底的比可得：AB/BC=DE/EF由更比性质、等比性质得：AB/DE=BC/EF=（AB+BC)/(DE+EF）=AC/DF定理推论平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例。
比例线段的技巧
比例线段的技巧
1. 保持比例：在画比例线段时，需要按照相应的比例来划分线段长度，保持比例的准确性。
2. 等分法：将线段分成若干等分，可以较为精确地画出比例线段，特别是当比例为分数时，这一方法尤为有用。
3. 平行法：对于长度已知的线段，可以通过平移或镜像的方式来画出比例线段，这一方法尤其适用于比例为整数的情况，且易于精确计算。
4. 相似三角形法：在相似三角形中，相对边长的比例相等，可以通过构造相似三角形来画出比例线段。
5. 利用垂线：将线段延长，再画一条垂线将其分成两个线段，可得到两个相似三角形，从而得出比例线段。
6. 利用等角：在两条相交的直线上，如果两个角度相等，则两个相交线段的比例相等，可以利用这一特性来画出比例线段。
证明线段成比例的方法与技巧
证明线段成比例的方法与技巧安徽李师证明线段成比例的问题，思路灵活，涉及的定理较多，辅助线的添加方法亦很巧妙，常用的方法有以下几种．1．三点定形法：利用分析的方法，由欲证的比例式或等积式转化为比例式．寻找相似三角形，这是证明线段成比例问题最基本的方法之一，一般是找到以四条成比例线段为边的两个三角形，再证明这两个三角形相似．[例1]已知：如图1，∠ABC=∠ADE．求证：AB·AE=AC·AD等式左边的三点A、B、C构成△ABC，等式右边的三点A、D、E构成△ADE．因此，只要证明△ABC∽△ADE，本题即可获证．由已知∠ABC=∠ADE，∠A是公共角，易证△ABC∽△ADE．证明：略．号两边的分母，三个字母A、D、E构成△ADE．2．等量代换法：当需要证明的成比例的四条线段不能构成相似三角形时，往往需要进行等量代换，包括“线段的代换”或利用“中间比”进行代换．[例2]已知：如图2，在Rt△ABC中有正方形H EFG，点H、G分别在AB、AC上，EF在斜边BC上．求证：EF2=BE·FC．上，无论如何不能构成相似三角形，因此不能直接应用三点定形法．此时应联想到正方形H EFG的四条边都相等的隐含条件，用H E代换等式左边的△H BE∽△FCG使本题获证．证明：略．这是利用线段进行等量代换的典型例题，不难看出，这种代换方法往往需要含有等腰三角形、平行四边形、正三角形、正方形、线段中点等已知条件或隐含条件．[例3]已知：如图3，AC是ABCD的对角线，G是AD延长线上的一点，BG交AC于F，交CD于E．分析：由B、E、F、G四点共线可知，本题既不能直接应用平行截线定理或三点定形法，又找不到与比例式中线段相等的线段进行等量代换．代换是解决本题的关键．证明：略．这是利用中间比进行代换的典型例题，这种代换往往出现于平行截线定理以及相似三角形的综合应用．3．辅助平行线法：利用辅助平行线来转移比例是证明线段成比例的有效方法，这种方法经常通过平行线分线段成比例定理和它的推论来实现．[例4]已知：如图4，在△ABC中，D是AC上一点，延长CB到E，使BE=AD，ED交AB于F．分析：观察比例式的右边三点A、B、C可构成△ABC，而左边的三点D、E、F不能构成三角形，因此不能直接利用相似三角形获证．证明：略．。
证明线段的比例式或等积式的方法
证明线段的比例式或等积式的方法要证明线段的比例式或等积式，有多种方法可以使用。
下面我们将介绍几个常用的方法。
方法一：向量法利用向量的性质可以很方便地证明线段的比例式或等积式。
假设有线段AB和CD，要证明它们的比例式或等积式，可以先求出向量AB和向量CD，然后判断它们是否平行或共线，再比较它们的模长大小。
如果向量AB和向量CD平行或共线，我们可以根据向量的定义得知它们的比例式：AB：CD=，AB，：，CD如果向量AB和向量CD不平行或不共线，但线段AB与线段CD的比例式或等积式成立，我们也可以利用向量的性质推导出它们的比例关系。
具体的推导过程需要根据具体的题目条件来确定。
方法二：相似三角形法利用相似三角形的性质也可以方便地证明线段的比例式或等积式。
相似三角形是指两个或多个三角形的对应角相等且对应边成比例。
如果有线段AB和CD，我们可以通过构造相似三角形来证明它们的比例式。
假设我们可以找到一个三角形ABC与三角形CDE相似，那么根据相似三角形的性质有：AB：CD=AC：CE这样我们就证明了线段AB和CD的比例式。
方法三：重心法利用重心的性质也可以证明线段的比例式或等积式。
重心是指一个几何图形的平衡点，即重心到图形上各点的距离乘以图形上各点的质量（或面积）之和为零。
对于线段AB和CD，我们可以找到它们的重心O，并将线段AO和BO 延长到与CD相交于点E和F。
那么根据重心的性质，线段AO与线段OD 以及线段BO与线段OC的比例关系可以推导出：AO：OC=BO：OD进一步地，根据线段分线段外部点定理，我们可以得出：AO：OD=AB：CD这样我们就证明了线段AB和CD的比例式。
方法四：三角形面积法利用三角形面积的性质也可以证明线段的比例式或等积式。
假设有线段AB和CD，我们可以构造三角形AOB与三角形COD，其中O为点A和C 的连接线与BC的交点。
根据三角形面积的性质，有：三角形AOB的面积：三角形COD的面积=AB：CD这样我们就证明了线段AB和CD的比例式。
证明线段成比例的基本方法
证明线段成比例的基本方法
1、观察欲证成比例的四条线段是否分居于两个三角形中，或是否处于能运用“平行分线段成比例一组定理”的形势下；若是，设法证明需要的相似或平行。
2、若不属于“1”，则观察其中的三条线段能否处于适合“1”的情况；若是，设法把另一条线段代换过来。
称为等量代换的方法。
3、若“2”也不适合，则观察欲证的比例式d c b a =两端的比b a 或d
c 是否能等于另外的比，努力证出那些比相等，最后转换回来，得到d
c b a =，称为等比代换的方法。
当然，等比代换的过程中，也常常辅以等量代换。
若不成功，变换
d c b a =为d
b c a =后，再进行等比代换思考。
4、边d
c b a =为乘积等式a
d bc =，考虑bc 、ad 是否可以是两个等积形的面积（或面积的2倍）；或是否分别是两条相等线段的平方（这种情况存在于直角三角形的射影定理中，及重合着一条非对应的边的两个相似三角形中）
5、根据思想发展的需要，自然地添加辅助线。
常用的辅助线，是过线段的相应分点或端点作平行线，构造能应用“平行线分线段成比例一组定理”的形势，或造成相似形，也可改变某些角的大小，以构造相似形。
6、利用等高（底）三角形的面积之比等于它们的底（高）之比，证明线段成比例，这时，常常要把同一组三角形的面积，用两种不同的方式加以表达。
证明线段成比例问题的常用方法
证明线段成比例问题的常用方法（1）方法一、三点定形法利用分析的方法，由欲证的比例式或等积式转化为比例式．寻找相似三角形，这是证明线段成比例问题最基本的方法之一，一般是找到以四条成比例线段为边的两个三角形，再证明这两个三角形相似．每一个三角形都是由三个不同的点所组成的，并且用三个不同的字母表示。
反过来想，由三个不同的字母必定可以确定一个三角形，如果四条成比例线段出自于一对相似三角形，我们必能从其比例式中看出是哪两个三角形相似。
【例1】如图，CD 、BE 是△ABC 的两条高，求证： ①AC AE AB AD ⋅=⋅ ②∠AED ＝∠ABC ③FE FB FC FD ⋅=⋅分析：①欲证AC AE AB AD ⋅=⋅即证ABACAE AD =I ．横看法：II ．竖找法：F ⑩DE ABC~AEB ∆⇒∆ADC ⇒∆AEBADC⇒∆ADE ⇒∆∆ACB ~ADE⇒∆⇒∆ADE试验：（射影定理）如图Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高， 求证： ①AB AD AC ⋅=2②BA BD BC ⋅=2③DB DA CD ⋅=2请用“三点定形法”尝试下面问题的可行性，看有何发现？ 1、已知：如图，△ABC 中，EF ∥BC ，AD 交EF 于G.求证： CDFGBD EG =；2、R t △ABC 中，∠C =90°，四边形DENM 为正方形， 求证：NB AM MN ⋅=2DCBAGABCF EDBCDEMNDCBADCBA证明线段成比例问题的常用方法（2）方法二、等量代换法当需要证明的比例式不能构成相似三角形时，往往需要进行等量代换，包括： 1.等比代换； 2.等线段代换； 3.等积代换．【例1】]已知：如图，AC 是□ABCD 的对角线，G 是AD 延长线上的一点，BG 交AC 于F ，交CD 于E ．求证：BFFEFG BF =。
归纳：这是利用中间比进行代换的典型例题，这种代换往往出现于平行截比定理以及相似三角形的综合应用．【例2】R t △ABC 中，∠C =90°，四边形DENM 为正方形， 求证：NB AM MN ⋅=2归纳：这是利用线段进行等量代换的典型例题，不难看出，这种代换方法往往需要含有等ABCDEMN腰三角形、平行四边形、正三角形、正方形、线段中点等已知条件或隐含条件．【例3】R t △ABC 中，∠BAC =90°， D 为AC 上一点，AE ⊥BD ①若DCB DEC ∠=∠，求证：D 为AC 的中点；②若AF ⊥BC 于F ，连EF ，求证：△BEF ∽△BCD归纳：此例为等积代换的典型例题，这种代换方法往往需要含有射影定理和另外一对相似三角形同时出现．【练习】△ABC 中，AD ⊥BC ，AB =AC ，E 为DA 上任意一点，CM ∥AB 交BE 于M ，BM 交AC 于F . 求证：EM EF BE ⋅=2ABCDEFABCDEABCEFM证明线段成比例问题的常用方法（3）方法三、辅助平行线法利用辅助平行线来转移比例是证明线段成比例的有效方法，这种方法经常通过平行线截比定理和平行相似定理来实现．【例1】如图，在△ABC 中，D 是AC 上一点，延长CB 到E ，使BE =AD ，ED 交AB 于F ．求证：ACBCEF DF．【例2】已知在△ABC 中，点D 为边BC 上一点，点E 为边AC 上的中点，AD 与BE 交于P ． （1）如图1，当BD ＝CD 时，PBPE＝ ；（2）如图2，当CD ＝2BD 时，求证：PE ＝PB ．DFABCEABC PE图1D图2ABC D PEFE DCB AFEDCB A【例3】如图，已知等腰Rt △ABC ，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，D 为BC 边上一动点，BC ＝nDC ，CE ⊥AD 于点E ，延长BE 交AC 于点F ． （1）若n ＝3，则=DE CE ，=DEAE（2）若n ＝2，求证：AF ＝2FC ；（3）当n ＝ ，F 为AC 的中点（直接填出结果，不要求证明）【练习】△ABC 中，D 是BC 中点，E 是AC 上一点，AD 、BE 交于F 。
平行线分线段成比例常见应用的六种技巧
∵点D为AB的中点A，D 1.
DB
∴AD＝DB，即
∵CDEFFE∥BAEA，CE
AD DB
1.
∴
∴DE＝EF.
类型 3 证两个比的值的和为1
技巧6 同分母的中间比代换法
6.
如图，已知AC∥FE∥BD，求证：
AE AD
BE BC
1.
∵AC∥EF，
证明：∴
BE BF
①.
BC BA
又∵FE∥BD，
证明：(1)∵△ABC与△DCE都是等边三角形， ∴AC＝BC，CE＝CD， ∠ACB＝∠DCE＝60°. ∴∠ACB＋∠ACD＝∠DCE＋∠ACD， 即∠ACE＝∠BCD. ∴△ACE≌△BCD(SAS)．
(2)∵△ACE≌△BCD， ∴∠BDC＝∠AEC. 又∵∠GCD＝180°－∠ACB－∠DCE＝60° ＝∠FCE，CD＝CE， ∴△GCD≌△FCE(ASA)． ∴CG＝CF. ∴△CAFGG为A等F边. 三角形．
∴PD·PC＝PE·PBP. F
PD .
PC PA
∵DF∥AC，∴
∴PD·PC＝PF·PA.
PE PA . PF PB
∴PE·PB＝PF·PA. ∴
技巧3 等比代换法证比例式 3. 如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥CD.
AD AF .
证明：∵求E证F：∥CADB， AD
∴ AF AE .
第四章 图形的相似
平行线分线段成比例
第2课时
利用平行线证比例式或等积式的方法： 当比例式或等积式中线段不在平行线上，若平行
线为一组(两条以上)时，可直接利用平行线分线段成 比例的基本事实证明；若平行线只有两条时，则利用 平行线分线段成比例的基本事实的推论证明；当比例 式或等积式中的线段不是对应线段时，则利用转化思 想，用等线段、等比例、等积替换进行论证．
平行线分线段成比例定理证明方法
平行线分线段成比例定理证明方法平行线分线段成比例定理，也被称为延长线分线段成比例定理，是初中数学中的一个重要定理。
它是指当一条直线与两条平行线相交时，所相交的线段在平行线上的投影之间成等比例。
本文将介绍该定理的证明方法。
我们来看一下平行线分线段成比例定理的表述：设有两条平行线l 和m，直线AB与这两条平行线相交于点C和D，点E是直线AB上的一个任意点。
那么，有线段CE与线段DE的比等于线段AC与线段BD的比，即CE/DE=AC/BD。
接下来，我们开始证明平行线分线段成比例定理。
我们假设线段CE与线段DE的比等于线段AC与线段BD的比，即CE/DE=AC/BD。
我们要证明的是，当直线AB与平行线l和m相交时，线段CE与线段DE的比等于线段AC与线段BD的比。
根据平行线分线段成比例定理，我们可以得到以下等式：CE/DE=AC/BD接下来，我们需要利用一些几何性质来证明这个等式。
我们可以利用相似三角形的性质。
根据平行线的性质，我们可以得到∠ACB=∠CDE和∠BDC=∠CED。
因此，三角形ACB与三角形CDE相似，三角形BDC与三角形CED相似。
根据相似三角形的性质，我们可以得到以下等式：AC/CE=AB/DE （1）BD/DE=AB/CE （2）接下来，我们将等式（1）和等式（2）相除，得到：(AC/CE)/(BD/DE)=(AB/DE)/(AB/CE)AC/BD=CE/DE因此，我们得到了CE/DE=AC/BD的等式，即平行线分线段成比例定理成立。
通过上述推导，我们可以看出，平行线分线段成比例定理的证明方法主要依赖于相似三角形的性质。
通过利用相似三角形的性质，我们可以得到线段CE与线段DE的比等于线段AC与线段BD的比。
平行线分线段成比例定理在数学中有着广泛的应用。
例如，在解决平面几何问题时，我们经常会利用该定理来求解未知线段的长度。
同时，在解决实际问题时，该定理也能为我们提供有效的解题思路。
平行线分线段成比例定理是初中数学中的一个重要定理。
九年级线段成比例知识点
九年级线段成比例知识点一、什么是线段成比例？线段成比例是指两个线段之间的比值相等。
即如果两个线段的长度之比等于另外两个线段的长度之比，那么这四个线段就成比例。
二、线段成比例的判定方法1. 基于长度的判定方法：设有四个线段AB、CD、EF和GH，我们可以使用以下方法判定它们是否成比例。
（1）如果AB/CD = EF/GH，即两个比值相等，那么线段AB 和CD与线段EF和GH成比例。
（2）如果AB/CD = EF/GH = k（常数），即三个比值相等，那么线段AB和CD与线段EF和GH成比例。
2. 基于相似三角形的判定方法：我们也可以利用相似三角形的性质来判定线段成比例。
（1）如果三角形ABC与三角形DEF相似，那么线段AB和CD与线段AC和DF成比例。
（2）如果三角形ABC与三角形DEF相似，并且线段AB与线段DE相等，那么线段AB和CD与线段AC和DF成比例。
三、线段成比例的性质1. 线段成比例的交叉乘积性质：设AB/CD = EF/GH，那么有以下等式成立：AB × GH = CD × EF这条性质可以用来解决一些与线段成比例相关的问题。
2. 平行线段上的线段成比例性质：如果线段AB与线段CD平行，并且线段AD与线段BC相交于点O，那么有以下等式成立：AO/OD = BO/OC这个性质可以帮助我们在平行线段上找到线段成比例的关系。
四、线段成比例的应用线段成比例广泛应用于几何学和代数学中。
在几何学中，我们可以使用线段成比例来证明两个三角形相似或者证明平行线段之间的关系。
在代数学中，线段成比例可以用来求解未知长度和方程的解等问题。
简单来说，线段成比例在数学中是一个重要的概念，它帮助我们理解和解决与线段长度和比值有关的问题。
在学习几何学和代数学的过程中，我们需要掌握线段成比例的判定方法、性质和应用，以便能够灵活运用这一概念解决各种数学问题。
以上就是九年级线段成比例的相关知识点，希望能够帮助你更好地理解和掌握这一概念。
时平行线分线段成比例及其推论课件
平行线分线段成比例的应用拓展应用
解决几何问题
物理学中的应用
工程学中的应用性
平行线分线段成比例的推论证明
证明方法一：利用相似三角形的性质进行证明。 1. 定义相似三角形的概念。
2. 证明两组相似三角形对应边成比例。
平行线分线段成比例的推论证明
3. 得出结论：平行线分线段成比例的推论成立。 证明方法二：利用平行线的性质进行证明。
1. 定义平行线的性质。
平行线分线段成比例的推论证明 01 02
平行线分线段成比例的推论应用
01
02
03
应用一
应用二
应用三
平行线分线段成比例的特例介绍
平行线分线段成比例的特例证明
平行线分线段成比例的特例应用
平行线分线段成比例的特例可以应用于实际生活中，如在建筑设计、工 程绘图和机械制造等领域中常常需要使用平行线分线段成比例的性质来 计算尺寸和比例。
在建筑设计方面，利用平行线分线段成比例的性质可以确定建筑物的各 个部分在空间中的位置和比例关系，从而设计出美观实用的建筑方案。
时平行线分线段成比例及其推论课 件
• 时平行线分线段成比例的推论 • 时平行线分线段成比例的特例 • 时平行线分线段成比例的应用拓
平行线分线段成比例的定义
定义
解释
平行线分线段成比例的证明
证明方法一：利用相似三角形 的性质。
1. 设两条线段AB和DE平行于 一组平行线，得到两个相似的 三角形ABC和DEF。
在工程绘图方面，利用平行线分线段成比例的性质可以准确地绘制出各 个部分的尺寸和比例关系，从而制造出符合要求的机械零件或建筑物。
平行线分线段成比例的应用拓展介绍
平行线分线段成比例的基本概念
有关线段问题的证明
有关线段问题的证明1．证明线段成比例的方法（1）平行线分线段成比例定理（如果没有平行线，可作辅助平行线得到比例线段）．（2）利用相似三角形的性质定理．①相似三角形的对应边成比例．②相似三角形对应中线、对应高与对应角平分线之比等于相似比．③相似三角形周长之比等于相似比．④相似三角形面积的比等于相似比的平方．（3）利用相似三角形，依据待证的比例式，找出相应的两个三角形，证明它们相似．（4）不能证得比例线段时，应考虑通过第三个比（中间比）作媒介进行论证．（5）利用面积关系证明线段成比例．（6）用比例定义证明两组线段比相等．（7）平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例．（8）三角形内（外）角平分线性质定理三角形内角（或外角）的平分线内分（或外分）对边所成的两线段和两邻边成比例．2．证明线段成等积式的方法把等积式化为比例式，找出相应的两个三角形，再证明它们相似．3．证明线段相等的方法除了前两章中证明的方法外，另补充如下方法（借助于比例线段）．（1）若ab＝cd，且a＝c（或b＝d，或a＝b），则b＝d（或a＝c，或c＝d）．（2）若ab＝ba，则a＝b．（3）若ab＝cd，ab''＝cd''，a＝a′，b＝b′，c＝c′，则d＝d′．4．证明角相等的方法除前面所述之外，利用相似三角形对应角相等来证明两角相等．5．证明两直线平行的方法利用平行线分线段成比例定理推论的逆定理，把线段的比例关系转化成平行关系，利用这条定理可以证明三角形内两条线段平行．6．与相似形有关的辅助线的作法在相似三角形里，主要是掌握根据线段的比例式作平行线为辅助线的方法．这种平行辅助线不仅可以获得成比例线段而且还可以得到所需的相似三角形．。
证明线段成比例的几种常用方法
证明线段成比例的几种常用方法
1.视觉比较法：
通过视觉比较法验证线段成比例，也就是直观地看出两条直线在视觉上比例相符，即可判定线段成比例。
这是最简单的验证线段成比例的方法，但是也是最受误解、错误使用的方法。
这种方法仅能够对相对可见的图形进行简单的比例检查，但它不能精确地验证成比例。
2.直接测量法：
直接测量是比较常用的线段成比例验证方法，也是最准确的方法。
通过采用不同的长度等的标尺测量线段的比例，可以使用三角计量法、勾股定理法等计算，测量完毕，再将各个线段的长度数据进行算术运算，就能验证线段的比例了。
3.几何构图法：
几何构图法是采用精确的几何构图原理，利用锥形等几何图形关系来分析验证线段成比例的方法。
比如几何中三角形、长方形、正方形都有规律的比例，可以通过三角计量法等，从而实现对线段比例的精确验证。
4.角度比较法：
角度比较法是通过测量两条线段所成角度的比值，来判断直线间是否成比例。
这是一种很容易被忽视但是又能够节省时间的验证线段成比
例的方法。
如果两条线段所成的角度比值为1:1，就说明他们成比例了。
5.面积比较法：
面积比较法是最常用的线段成比例的验证方法，通过测定线段组成的
面积、计算面积比值，最终判断两条线段是否成比例，如果面积的比
值等于1:1，那就说明两条线段成比例了。
面积比较法也比较容易，可
以节省大量的时间，也是现在学校教学中验证比例关系最常使用的方
法之一。
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证明线段成比例的方法与技巧
安徽李师
证明线段成比例的问题，思路灵活，涉及的定理较多，辅助线的添加方法亦很巧妙，常用的方法有以下几种．
1．三点定形法：利用分析的方法，由欲证的比例式或等积式转化为比例式．寻找相似三角形，这是证明线段成比例问题最基本的方法之一，一般是找到以四条成比例线段为边的两个三角形，再证明这两个三角形相似．
[例1]已知：如图1，∠ABC=∠ADE．求证：AB·AE=AC·AD
等式左边的三点A、B、C构成△ABC，等式右边的三点A、D、E构成△ADE．因此，只要证明△ABC∽△ADE，本题即可获证．
由已知∠ABC=∠ADE，∠A是公共角，易证△ABC∽△ADE．
证明：略．
号两边的分母，三个字母A、D、E构成△ADE．
2．等量代换法：当需要证明的成比例的四条线段不能构成相似三角形时，往往需要进行
等量代换，包括“线段的代换”或利用“中间比”进行代换．
[例2]已知：如图2，在Rt△ABC中有正方形H EFG，
点H、G分别在AB、AC上，EF在斜边BC上．求证：EF2=BE·FC．
上，无论如何不能构成相似三角形，因此不能直接应用三点定形法．
此时应联想到正方形H EFG的四条边都相等的隐含条件，用H E代换等式左边的
△H BE∽△FCG使本题获证．
证明：略．
这是利用线段进行等量代换的典型例题，不难看出，这种代换方法往往需要含有等腰三角形、平行四边形、正三角形、正方形、线段中点等已知条件或隐含条件．
[例3]已知：如图3，AC是ABCD的对角线，G是AD延长线上的一点，BG交AC于
F，交CD于E．
分析：由B、E、F、G四点共线可知，本题既不能
直接应用平行截线定理或三点定形法，又找不到与比例式中线段相等的线段进行等量代换．
代换是解决本题的关键．证明：略．
这是利用中间比进行代换的典型例题，这种代换往往出现于平行截线定理以及相似三角形的综合应用．
3．辅助平行线法：利用辅助平行线来转移比例是证明线段成比例的有效方法，这种方法经常通过平行线分线段成比例定理和它的推论来实现．
[例4]已知：如图4，在△ABC中，D是AC上一点，延长CB到E，使BE=AD，ED交AB于F．
分析：观察比例式的右边三点A、B、C可构成△ABC，
而左边的三点D、E、F不能构成三角形，因此不能直接利用相似三角形获证．
证明：略．。