第三部分代数结构练习题
线性代数练习册第三章部分答案（本）
线性代数练习册第三章部分答案（本）第三章⾏列式及其应⽤§3-1 ⾏列式的定义⼀、填空题。
1、⾏列式a bc d=__ad bc -___;112213141---=____-24____. 2、⾏列式111112121200000a a a ab bc cd d =______0_____. 3、已知⾏列式1111111111111111D -=-----,则32M =___4__;32A =___-4__. 4、已知排列2145697m n 为奇排列，则m =__8_;n =__3_. 5、4阶⾏列式中含1331a a 且符号为负的项是____13223144a a a a -____.⼆、选择题。
1、⽅程0110001x x x=的实根为__C___. （A ）0; （B ）1; （C ）-1; （D ）2.（A ）18; （B ）19; （C ）20; （D ）21 4、n 阶⾏列式00102000D n = 的值为__D ___.（A ）!n ; （B ）!n -; （C ）(1)!nn -; （D ）(1)2(1)!n n n --.5、⾏列式312111321111x x x x x--中4x 的系数为__A____.(A ）-1; （B ）1; （C ）2; （D ）3.三、计算下列⾏列式1、12110001- 解：3331212110(1)(1)111001r +--=-按展开2、1010120012301234解：44432101010112004(1)120123012312341014120243、1132101123011002-- 解：414113211310111013223012303100210001300133033c c --------=--按r 展开四、设排列12n a a a 的逆序数为k ，证明排列11n n a a a - 的逆序数为(1)2n n k --. 证明：设i a 在排列12n a a a 的逆序数为i k ，则12n k k k k +++= ，且i a 在排列11n n a a a - 的逆序数为i t ，则i i i k t n a +=-，所以，i i i t n a k =--，所以，排列11n n a a a - 的逆序数为12112122122(1)()()2n n n n n n a k n n n t t t n a k n a k a a k k a k k ---=--+++=--+--++++++++=-（另解：因为12n a a a 中的任两个不同的元素,i j a a 必在排列12n a a a或排列11n n a a a - 中构成逆序且只能在其中⼀个中构成逆序，所以排列12n a a a 和11n n a a a - 的逆序数之和等于从n 个元素中任取两个不同数的组合数kn C ，即11n n a a a - 的逆序数为(1)§3-2 ⾏列式的性质与计算⼀、填空题。
代数结构习题答案
第十五章：4.解：(1)封闭。
有消去律，不具有单位元和零元。
(2)封闭。
该运算只具有交换律、结合律和消去律。
单位元是1，没有零元。
(3)加法不封闭，乘法封闭。
乘法具有交换律、结合律和消去律。
乘法单元是1，没有零元。
(4)矩阵加法和乘法都封闭。
矩阵加法满足交换律、结合律和消去律；矩阵乘法满足结合律。
矩阵乘法对加法满足分配律。
仅当n=1时(平凡的情况)，矩阵乘法还满足交换律和消去律。
矩阵加法的单位元为n阶全0矩阵，没有零元；矩阵陈发的单位元为n阶单位矩阵，零元为n阶全0矩阵。
(5)实可逆矩阵的加法不封闭，而乘法封闭。
陈发满足结合律和消去律，单位元为n阶单位矩阵，没有零元。
仅当n=1时(平凡的情况)，矩阵陈发满足交换律。
(6)加法和乘法都封闭。
加法和乘法都满足交换律、结合律与消去律；此外，乘法对加法满足分配律。
加法的单位元是0，没有零元。
乘法的零元是0.仅当n=1时，陈发单位元是1.(7)不封闭。
(8)封闭。
运算满足结合律和幂等律。
仅当n=1时，运算满足交换律和消去律，并且单位元和零元都是a1.(9)封闭。
对于一般集合A，合成运算满足结合律。
单位元为I A,零元为∅。
当|A|=0,R(A)={∅}，合成运算还满足交换律和幂等律；此时单位元和零元都是∅。
当|A|=1时，R(A)={∅，I A}，合成运算也满足交换律和幂等律。
(10)两个运算都封闭。
两个运算都满足交换律、结合律和幂等律。
它们互相可分配，也满足吸收律。
1是求最小公倍数运算的单位元，也是求最大公约数运算的零元。
注：有的问题对所给定的参数没有具体值，如(4)、(5)、(6)和(8)中的n。
只知道n是一个给定的正整数。
在n=1与n>1两种情况下，运算旺旺呈现不同的性质，如是否具有交换律和幂等律，是否具有单位元，是否具有可逆元素等。
通常要对n的不同取值进行讨论。
有的问题对集合中的元素没有规定，如(9)中的A集合，由于A 可以是空集、单元集或者含有2个以上元素的集合。
离散数学——代数结构_作业部分答案
第四章代数结构（作业）作业：P86：4、7、94、（1）若a和b是整数，则a+b+ab也是整数，故a*b也是整数，所以运算*是封闭的。
（2）任选整数集合中的三个元素x,y和z。
则有：(x*y)*z = (x+y+xy)*z= (x+y+xy)+z+(x+y+xy)×z= x+y+z+xy+xz+yz+xyzx*(y*z) = x*(y+z+yz)= x+(y+z+yz)+x×(y+z+yz)= x+y+z+yz+xy+xz+xyz= (x*y)*z因此，*运算满足结合律。
（3）假设e为（Z,*）的幺元，则有：任选整数集中的一个元素x，都有0*x = 0+x+0×x=x且x*0 = x+0+x×0=x故0是(Z,*)的幺元。
7、N+上的所有元素都是（N+ ,*）等幂元；（N+ ,*）无幺元；（N+ ,*）的零元为1。
9、（A,*）中的等幂元：a、b、c、d；（A,*）中的幺元：b；（A,*）中的零元：c；a-1 = d，b-1 = b，c-1 不存在，d-1 = a，作业：P87：12、13、1812、（A，*）到（N4,⊕4）的同构映射f为：f(a)=0, f(b)=1, f(c)=2, f(d)=3;或者：f(a)=0, f(b)=3, f(c)=2, f(d)=1;13、同构映射f为：f(0)=∅, f(1)={a}, f(2)={b}, f(3)={a,b};或者：f(0)=∅, f(1)={b}, f(2)={a}, f(3)={a,b};18、任选a ∈N +,b ∈N +, 只需证明f(a+b)=f(a)+f(b)由f 的定义可知：f(a+b)=2a+2b=f(a)+f(b)，故f 是（N +,+）到(E +,+)的同态映射。
作业：P96：3，P97：73、(1)显然，*运算对Z 是封闭的。
(2) (a*b)*c = (3(a+b+2)+ab)*c= 3((3(a+b+2)+ab)+c+2)+(3(a+b+2)+ab)×c = 3(3a+3b+c+ab+8+ac+bc+2c)+abc = 3(3a+3b+3c+ab+ac+bc+8)+abca*(b*c) = a*(3(b+c+2)+bc)= 3(a+(3(b+c+2)+bc)+2)+a(3(b+c+2)+bc) = 3(a+3b+3c+bc+8+ab+ac+2a)+abc = 3(3a+3b+3c+ab+ac+bc+8)+abc= (a*b)*c故*运算满足结合律。
高二代数专题训练(优秀经典练习及答案详解)
高二代数专题训练(优秀经典练习及答案
详解)
引言
本文旨在为高二学生提供全面系统的代数练，覆盖高中数学中代数的各个方面，旨在帮助学生掌握代数知识，提高数学成绩。
练篇
本文共包含高二代数部分的典型题，并均附有详细答案解析，供学生进行练参考。
练题主要覆盖了以下知识点：
1. 一元二次方程的求解
2. 函数及其图像
3. 比例函数的性质及应用
4. 分式函数的性质及应用
5. 指数函数、对数函数及其应用
6. 等比数列、等差数列的基本概念和性质
7. 多项式函数的基本概念、性质和应用
每个知识点都设置了多道题，既包含基础性知识点的考查，也
有较难的拓展性题目，可以供不同程度的学生选择。
也欢迎老师根
据学生的实际情况，选用适合的题。
答案篇
每道题都附有详细的解题过程及最终答案，同时还加入了一些
解题技巧和注意事项，帮助学生更好的理解和掌握题。
同时，所有
答案都经过了专业老师的审阅和校对，保证答案的正确性和有效性。
总结
通过本文的习题练习和答案解析，相信学生们可以更好地掌握
代数知识，提高数学水平。
同时，本文所提供的习题和解析也可以
作为数学教师备课、复习和做题参考的重要资料。
线性代数第三章练习册答案
线性代数第三章练习册答案线性代数第三章综合自测题一、单项选择题（在四个备选答案中，只有一项是正确的，将正确答案前的字母填入下面横线上。
本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 如果向量β能由向量组m ααα,,,21 线性表示，则（ D ）。
（A ）存在一组不全为零的数m k k k ,,,21 ，使得m m k k k αααβ+++= 2211 （B ）对β的线性表示惟一（C ）向量组m αααβ,,,,21 线性无关（D ）存在一组数m k k k ,,,21 ，使得m m k k k αααβ+++= 2211 2. 向量组t ααα,,,21 线性无关的充分条件是（C ）（A ）t ααα,,,21 均为非零向量；（B ）t ααα,,,21 的任意两个向量的分量不成比例；（C ）t ααα,,,21 中任意部分向量组线性无关；（D ）t ααα,,,21 中有一个部分向量组线性无关。
3. 若m ααα,,,21 线性相关，且0=+++m m k k k ααα 2211，则（ D ）。
（A ）021====m k k k （B ）m k k k ,,,21 全不为零（C ）m k k k ,,,21 不全为零（D ）上述情况都有可能4. 一个n m ?阶矩阵A 的秩为m ，则下列说法正确的是（ A ）（A ）矩阵A 的行向量组一定线性无关；（B ）矩阵A 的列向量组一定线性无关；（C ）矩阵A 的行向量组一定线性相关；（D ）矩阵A 的列向量组一定线性相关。
5. 两个n 维向量组A ：s ααα,,,21 ，B ：t βββ,,,21 ，且r B R A R ==)()(，于是有（ C ）（A ）两向量组等价，也即可以相互线性表出；（B ）s R ααα,,,(21 ，r t =),,,21βββ ；（C ）当向量组A 能由B 线性表出时，两向量组等价；（D ）当t s =时，两向量组等价。
冀教版数学七年级上册第三章3.3代数式的值练习题
初中数学冀教版七年级上册第三章3.3代数式的值练习题一、选择题1.|a|=3，|b|=2，且a<b，则a+b的值是A. 1或5B. 1或−5C. −1或−5D. −1或52.若|x+2|+|y−3|=0，则x+y的值是()A. 1B. −1C. 5D. −53.若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2，则代数式m−cd+a+bm的值为()A. −3B. 1C. ±3D. −3或14.已知|m|=4，|n|=6，且|m+n|=m+n，则m−n的值等于()A. 2或−10B. −2或10C. −2或−10D. 2或105.若|x−1|+(y+1)2=0，则(xy)2019的值为()A. 1B. −2019C. −1D. 20196.a，b互为倒数，x，y互为相反数，|m|=1，则3(x+y)−ab+m的值为()A. 0B. −2C. 2D. 0或−27.有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则a+b的值A. 大于0B. 等于0C. 大于或等于0D. 小于08.当a=2时，代数式2a−3的值为()A. 3B. 1C. −1D. 51/ 119.若a+2b=3，则代数式2a+4b的值为()A. 3B. 4C. 5D. 610.若|m−3|+(n+1)2=0，则m+n的值为()A. −4B. −2C. 2D. 4二、填空题11.若a、b互为倒数，c、d互为相反数，则−2015(c+d)−ab=______ ．12.已知当x=1时，代数式ax3+bx+5的值为−4，那么当x=−1时，代数式ax3+bx+5的值为______．13.已知|x−1|+|y−3|=0，则x+y=________．14.若a−b=2，则代数式5+2a−2b的值是______．15.已知|x+2|+|1−x|=9−|y−5|−|1+y|，2x−3y的最大值与最小值之和为．三、解答题16.已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，x到原点的距离为2且x位于原点左侧，求x2−(a+b−cd)x+(a+b)2013+(cd)2014的值．17.飞机的无风航速为x km/ℎ，风速为50km/ℎ.飞机顺风飞行5h的行程是多少？飞机逆风飞行3h的行程是多少？两个行程相差多少？18.已知2a与b互为倒数，c与d2互为相反数，|x|=2,求4ab+2c+d+x2的值.19.已知x的相反数是−212，y是最小的自然数，z是最大的负整数。
离散数学-第三部分代数结构练习题答案(课件模板)
《离散数学》第三部分----代数结构一、选择或填空1、设A={2,4,6}，A上的二元运算*定义为：a*b=max{a,b}，则在独异点<A,*>中，单位元是( )，零元是( )。
答：2，62、设A={3,6,9}，A上的二元运算*定义为：a*b=min{a,b}，则在独异点<A,*>中，单位元是( )，零元是( )；答：9，33、设〈G,*〉是一个群，则(1) 若a,b,x∈G，a*x=b，则x=( )；(2) 若a,b,x∈G，a*x=a*b，则x=( )。
答：（1）a*-1 b （2）b4、设a是12阶群的生成元，则a2是( )阶元素，a3是( )阶元素。
答：6,45、代数系统<G,*>是一个群，则G的等幂元是( )。
答：单位元6、设a是10阶群的生成元，则a4是( )阶元素，a3是( )阶元素。
答：5，107、群<G,*>的等幂元是( )，有( )个。
答：单位元，18、素数阶群一定是( )群, 它的生成元是( )。
答：循环群，任一非单位元9、设〈G,*〉是一个群，a,b,c∈G，则(1) 若c*a=b，则c=( )；(2) 若c*a=b*a，则c=( )。
答：（1）b1-*a(2) b10、<H,,*>是<G,,*>的子群的充分必要条件是( )。
答：<H,,*>是群或∀ a，b ∈G，a*b∈H，a-1∈H 或∀ a,b ∈G，a*b-1∈H 11、群＜A,*＞的等幂元有( )个，是( )，零元有( )个。
答：1，单位元，012、在一个群〈G,*〉中，若G中的元素a的阶是k，则a-1的阶是( )。
答：k13、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？（）(1) a*b=a-b (2) a*b=max{a,b} (3) a*b=a+2b (4) a*b=|a-b| 答：(2)14、任意一个具有2个或以上元的半群，它（）。
初中数学冀教版七年级上册第三章3.3代数式的值练习题-普通用卷
初中数学冀教版七年级上册第三章3.3代数式的值练习题一、选择题1.|a|=3，|b|=2，且a<b，则a+b的值是A. 1或5B. 1或−5C. −1或−5D. −1或52.若|x+2|+|y−3|=0，则x+y的值是()A. 1B. −1C. 5D. −53.若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2，则代数式m−cd+a+b的值m 为()A. −3B. 1C. ±3D. −3或14.已知|m|=4，|n|=6，且|m+n|=m+n，则m−n的值等于()A. 2或−10B. −2或10C. −2或−10D. 2或105.若|x−1|+(y+1)2=0，则(xy)2019的值为()A. 1B. −2019C. −1D. 20196.a，b互为倒数，x，y互为相反数，|m|=1，则3(x+y)−ab+m的值为()A. 0B. −2C. 2D. 0或−27.有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则a+b的值A. 大于0B. 等于0C. 大于或等于0D. 小于08.当a=2时，代数式2a−3的值为()A. 3B. 1C. −1D. 59.若a+2b=3，则代数式2a+4b的值为()A. 3B. 4C. 5D. 610.若|m−3|+(n+1)2=0，则m+n的值为()A. −4B. −2C. 2D. 4二、填空题11.若a、b互为倒数，c、d互为相反数，则−2015(c+d)−ab=______ ．12.已知当x=1时，代数式ax3+bx+5的值为−4，那么当x=−1时，代数式ax3+bx+5的值为______．13.已知|x−1|+|y−3|=0，则x+y=________．14.若a−b=2，则代数式5+2a−2b的值是______．15.已知|x+2|+|1−x|=9−|y−5|−|1+y|，2x−3y的最大值与最小值之和为．三、解答题16.已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，x到原点的距离为2且x位于原点左侧，求x2−(a+b−cd)x+(a+b)2013+(cd)2014的值．17.飞机的无风航速为x km/ℎ，风速为50km/ℎ.飞机顺风飞行5h的行程是多少？飞机逆风飞行3h的行程是多少？两个行程相差多少？18.已知2a与b互为倒数，c与d2互为相反数，|x|=2,求4ab+2c+d+x2的值.19.已知x的相反数是−21，y是最小的自然数，z是最大的负整数。
代数第三章习题解答
习题三习题解答 (A)1．用消元法解以下线性方程组．(1)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-+=+-=+--=-+3102332362382321321321321x x x x x x x x x x x x ．(2)⎪⎩⎪⎨⎧=+-+-=--++=+---84342222222543215432154321x x x x x x x x x x x x x x x ．(3)⎪⎩⎪⎨⎧-=--+=-+=--+55631236232343213214321x x x x x x x x x x x ． (4)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-+-+=+-+-=+-+-=+-+-137824633422322254321543215432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ．(5)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-+=-++-=-+-=--+0744420436240203543215432143215421x x x x x x x x x x x x x x x x x x ．(6)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=+-=--=+-05220430320321321321321x x x x x x x x x x x x ．解：(1) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=614409175061440382131023311236213821A⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→00003100120103001000031001201027021， 所以原方程组的解为31-=x ，122-=x 33-=x ．(2) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------=252450052450222121814113412212222121A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→200000052450222121， 所以原方程组无解．(3) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=8440062100312315563112036231231A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→410002010030031， 所以原方程组的全部解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==-=42334321x x c x cx 〔c 为任意常数〕．(4)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------=131111782463211122342231131111782463342231211122A⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------→000000457100226010102001000000457100231110342231， 所以原方程组的全部解为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==--=--=-=25142132121157426221c x c x c c x c c x c x (21,c c 为任意常数)．．(5) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------=05102200015660012220013011074242043624001211013011A ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→00000003110000650110067011， 所以原方程组的全部解为⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧===+=+-=252413212211316567c x c x c x c c x c c x (21,c c 为任意常数)．(6) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=700120310111522413132111A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→000100010001000100310111， 所以原方程组的解为⎪⎩⎪⎨⎧===000321x x x ．2．当k 为何值时，齐次线性方程组 有非零解，并求出非零解．解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=0120253012101202530374k k A⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---→023*********k ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→010*********k ， 当01=-k ，即1=k 时，原方程组有非零解，当1=k 时，继续对上述行阶梯形矩阵施以初等行变换⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→000001100101，由此得⎩⎨⎧=-=3231x x x x ，令自由未知量c x =3，那么原方程组的非零解为⎪⎩⎪⎨⎧===c x c x c x 321〔c 为任意常数〕．3．当k 为何值时，线性方程组有唯一解？无解？有无穷多解？并在有无穷多解的情况下，求出它的解．解：)1(3)1(3112132-=++-+k k k kk k kk ，(1)当0≠k 且1≠k 时，所以原方程组有唯一解； (2)当0=k 时，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→300001100213， 所以原方程组有无解；当1=k 时，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→321032101101⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→000032101101， 由此得⎩⎨⎧+-=-=3231231x x x x ，令自由未知量c x =3，那么原方程组的全部解为⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-=c x c x c x 321231〔c 为任意常数〕． 4．向量)2,0,2,3(1-=α，)2,2,1,6(2--=α，)2,3,4,1(3-=α，且向量β满足βααβαβ-=+--321)(4)(2，求向量β．解：由题有32142αααβ---=，所以 )2,3,4,1()2,2,1,6(4)2,0,2,3(2-------=β )10,5,12,17(--=．5．把β表示为其余向量的线性组合．(1))7,4,3(-=β，)1,0,1(1-=α，)1,1,1(2=α，)2,1,0(3-=α． (2))2,1,1(--=β，)1,1,1(1=α，)4,3,1(2---=α，)2,1,1(3-=α．解：(1)对矩阵),,,(321TT T T βααα施以初等行变换⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→310010102001310041103011， 所以32132αααβ++=．(2)对矩阵),,,(321TT T T βααα施以所以，对应的线性方程组有无穷解，令 0,1,2321===k k k ，β表示向量321,,ααα的线性组合为32102αααβ++=．6．设有向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1111λα，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1112λα，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=λα1113，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=20λλβ．试问当λ为何值时，(1) β可由321,,ααα线性表示，且表达式唯一． (2) β可由321,,ααα线性表示，但表达式不唯一．(3) β不能由321,,ααα线性表示． 解：设βααα=++332211k k k ，因此有 其系数行列式=321,,ααα)3(1111111112+=+++λλλλλ，(1) 当30-≠λ≠λ且时，方程组有唯一解，此时，β可由321,,ααα唯一地线性表示．(2) 当0=λ时，方程组有无穷多个解，此时，β可由321,,ααα线性表示 ，但表达式不唯一．(3) 当3-=λ．时，上述方程组的增广阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=6000123309211921131210112A ，由于3)(,2)(==A r A r ，因此，上述方程组无解，故β不能由321,,ααα线性表示 ．7．判断以下向量组是线性相关，还是线性无关？(1) )3,2,1(1-=α,)5,0,2(2=α，)5,4,2(3---=α． (2) )1,3,2,1(1-=α，)2,3,1,1(2--=α，)1,0,1,2(3=α．解：(1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=180140321542502321321αααA ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→100140321， 于是3)(=A r ，所以向量组321,,ααα线性无关．(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=363036301321101223111321321αααA⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→000036301321， 于是32)(<=A r ，所以向量组321,,ααα线性相关．8．设21,αα线性无关，βαβα++21,线性相关，试将β由21,αα线 性表示．解：因为βαβα++21,线性相关，所以存在不全为零的数21,k k ，使0)()(2211=+++βαβαk k ，即221121)(ααβk k k k --=+，因为21,αα线性无关，21k k +不为零，否那么，假设021=+k k ，必有02211=+ααk k ，于是021==k k ，这与21,k k 不全为零矛盾，所以 22121211ααβk k k k k k +-+-=，)0(21≠+k k9．设21,αα线性相关，21,ββ也线性相关，问2211,βαβα++是否一定线性相关？举例说明．解：否．例如⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011α，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=022α，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=201β，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=302β，于是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+2111βα，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+3222βα，而21,αα线性相关，21,ββ也线性相关，但2211,βαβα++线性无关．10．向量组)1,2,(1-=k α,)0,,2(2k -=α，)1,1,1(3-=α，求k 为何值时，向量组321,,ααα线性相关？线性无关？解：由题有)2)(1(1110212321k k k k +-=---=ααα，当2-≠k 且1≠k 时， 线性无关；当2-=k 或1=k 时， 线性相关．11．向量组s ααα,,,21 线性无关，试证：向量组1α，s ααααα++++ 2121,,也线性无关．证明：设有数s k k k ,,,21 ，使得0)()(232121=++++++++s s s s k k k k k k k ααα ，即 0)()(2121211=+++++++s s k k k αααααα ， 由于向量组s ααα,,,21 线性无关，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==++=+++0003221s ss k k k k k k k ，解这个方程组得021====s k k k ，由此可知，向量组1α，s ααααα++++ 2121,,也线性无关．12．向量组321,,βββ由321,,ααα线性表示为3211αααβ+-=，3212αααβ-+=，3213αααβ++-=，(1)试把向量组321,,ααα由321,,βββ线性表示； (2)这两个向量组是否等价？解：(1)将向量组321,,ααα由321,,βββ线性表示的关系式写成矩阵形式为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321321111111111αααβββ， 于是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3213211321210212121002121111111111ββββββααα， 所以向量组321,,ααα由321,,βββ线性表示的关系是为2112121ββα+=，3222121ββα+=，3132121ββα+=． (2)由(1)知，向量组321,,ααα与321,,βββ能相互线性表示，所以这两个向量组等价．13．设n 维向量组),0,,0,0,1(1 =α,),0,,0,1,1(2 =α1,1,1(=n α)1,, ，证明：n ααα,,,21 与n 维根本单位向量组n εεε,,,21 等价．证明：向量组n ααα,,,21 可由n 维根本单位向量组n εεε,,,21 线性表示，即11εα=，,,212 εεα+=，n n εεεα+++= 21．n 维根本单位向量组n εεε,,,21 可由向量组n ααα,,,21 线性表示，即11αε=，,,122 ααε-=1--=n n n ααε．向量组n ααα,,,21 与n 维根本单位向量组n εεε,,,21 能相互线性表示，所以这两个向量组等价．14．设向量组)1(,,,21>s s ααα 中，O ≠1α，并且i α不能由121,,,-i ααα 线性表示),,3,2(s i =，证明：s ααα,,,21 线性无关．证明：设存在数s k k k ,,,21 ，使得02211=+++s s k k k ααα ．对于s k k k ,,,21 ，从右往左考虑，设i k 是第一个不为零的数，即0≠i k ，0,,01==+s i k k ，而O ≠1α，所以1≠i ，从而02211=+++i i k k k ααα ，即)(1112211--+++-=i i ii k k k k αααα ， i α能由121,,,-i ααα 线性表示，与题设矛盾，因此，021====s k k k ，因此s ααα,,,21 线性无关．15．设向量组)2(,,,21≥r r ααα 线性无关，作以下线性组合 r k ααβ111+=，,,222 r k ααβ+=r r r r k ααβ111---+=，证明：121,,,-r βββ 也线性无关．证明：设存在数s t t t ,,,21 ，使得0112211=+++--r r t t t βββ ，即0)()()(111222111=++++++---r r r r r r k t k t k t αααααα ，于是0)(112211112211=+++++++----r r r r r k t k t k t t t t αααα ，由题设，向量组)2(,,,21≥r r ααα 线性无关，所以0112211121=+++====---r r r k t k t k t t t t ，121,,,-r βββ 也线性无关．16．证明：n 维向量组n ααα,,,21 线性无关的充分必要条件是任一n 维向量都可由n ααα,,,21 线性表示．证明：必要性 对于任一n 维向量β，向量组βααα,,,,21n 线性相关，从而存在不全为零的数k k k k n ,,,,21 使得02211=++++βαααk k k k n n ，其中0≠k ，那么n k k k ,,,21 不全为零，且02211=+++n n k k k ααα ，这与n ααα,,,21 线性无关矛盾．因为0≠k ，所以β可被n ααα,,,21 线性表示．充分性 因为任一n 维向量均可被n ααα,,,21 线性表示，所以n 维根本单位向量组n εεε,,,21 可由n ααα,,,21 线性表示，而,,,21 ααn α又可由n εεε,,,21 线性表示，所以n r r n n ==),,,(),,,(2121εεεααα ，从而n ααα,,,21 线性无关．17．设向量组s ααα,,,21 的秩为r )(s r <，求证：s ααα,,,21 中任意r 个线性无关的向量都是该向量组的一个极大线性无关组．证明：设向量组r i i i ααα,,,21 是向量组s ααα,,,21 中的线性无关的局部组，因为r r s =),,,(21ααα ，所以对于任一向量)1(s i i ≤≤α，向量组i i i i r αααα,,,,21 必线性相关。
数学思维训练代数结构的综合算式练习题
数学思维训练代数结构的综合算式练习题在数学学习中，代数结构是一个非常重要的概念。
通过代数结构，我们能够更好地理解数学中的关系和运算。
为了强化我们的数学思维和训练代数结构的掌握，下面将给出一些综合算式练习题。
在解题过程中，请仔细考虑问题并运用适当的数学方法。
1. 已知 a = 2，b = 3，c = 4，求解下列算式的值：a + bb * ca^2 + b^2 + c^2(a + b) * c2. 若 a = 5，b = 7，c = 9，求解下列算式的值：a - bb / c(a + b) / ca^2 + 2ab + b^23. 若 a = 2，b = 4，c = 6，d = 8，求解下列算式的值：a *b +c * d(a + b) * (c + d)(a * b) + (c * d)(a + b) * (c - d)4. 若 a = 5，b = 3，c = 2，求解下列算式的值：(a - b) * c(a + b) / (c + 1)(a^2 - b^2) / c(a + b + c) / (a - b - c)5. 若 a = 2，b = 3，c = 4，求解下列算式的值：(a + b) * ca - (b + c)a^2 - b^2 + c^2a^3 + b^2 - c^36. 若 a = 4，b = 6，c = 2，求解下列算式的值：(a + b) / (c - b)(a * b) / (c - a)(a^2 - b^2) / (a - b)(a^3 + b^2 + c^3) / (a + b + c)通过以上综合算式练习题，我们能够锻炼自己的数学思维能力，加深对代数结构的理解。
在解题过程中，要注意仔细分析算式特征，灵活运用数学公式和运算规则，以及合理使用已知条件，才能得到准确的答案。
更进一步地，我们可以通过对更复杂的代数结构进行理解和运算，来解决实际生活和工作中的问题。
通过数学思维训练代数结构的综合算式练习题，我们能够不断提升解决数学问题的能力，为今后的学习和工作打下坚实的数学基础。
(完整版)代数的初步认识练习题
(完整版)代数的初步认识练习题代数的初步认识练题1. 简答题1. 什么是代数？代数是研究数学结构和运算符号的一种数学分支，包括数与代数运算（加、减、乘、除），代数方程和代数函数等。
2. 代数中的常见符号有哪些？代数中常见的符号有：数字（0、1、2、...）、运算符号（+、-、×、÷）、等号（=）、未知数（x、y、z）、代数变量（a、b、c）等。
3. 什么是方程？方程是一种陈述式，它表达了两个表达式相等的关系。
方程通常包含未知数，并通过解方程得到未知数的值。
4. 解方程的步骤是什么？解方程的步骤一般为：- 通过合并同类项化简方程；- 移项，将未知数移到一个方程的一边；- 使用逆运算消去系数；- 计算未知数的值。
2. 计算题1. 计算下列代数式的值：(2x + 3y) / (x + y)，已知 x = 5，y = 2。
将 x = 5，y = 2 代入代数式得：(2 x 5 + 3 x 2) / (5 + 2) = (10 + 6) / 7 = 16 / 7。
2. 解方程：2(x - 3) + 5 = 13。
将式子展开得：2x - 6 + 5 = 13，合并同类项得：2x - 1 = 13，移项得：2x = 14，解得：x = 7。
3. 解方程组：- 3x + 2y = 6- 4x - y = 10通过消元法可得：x = 2，y = 0。
4. 计算下列代数式的值：(a - 1)(a + 1)。
将式子展开得：a^2 - 1。
以上是代数的初步认识练题的解答。
参考资料- 《高中数学九年级上册》- 《高中数学九年级下册》。
第三部分代数结构练习题
《离散数学》第三部分----代数结构一、选择或填空1、设A={2,4,6}，A上的二元运算*定义为：a*b=max{a,b}，则在独异点<A,*>中，单位元是( )，零元是( )。
2、设A={3,6,9}，A上的二元运算*定义为：a*b=min{a,b}，则在独异点<A,*>中，单位元是( )，零元是( )；3、设〈G,*〉是一个群，则(1) 若a,b,x∈G，a*x=b，则x=( )；(2) 若a,b,x∈G，a*x=a*b，则x=( )。
4、设a是12阶群的生成元，则a2是( )阶元素，a3是( )阶元素。
5、代数系统<G,*>是一个群，则G的等幂元是( )。
6、设a是10阶群的生成元，则a4是( )阶元素，a3是( )阶元素。
7、群<G,*>的等幂元是( )，有( )个。
8、素数阶群一定是( )群, 它的生成元是( )。
9、设〈G,*〉是一个群，a,b,c∈G，则(1) 若c*a=b，则c=( )；(2) 若c*a=b*a，则c=( )。
10、<H,,*>是<G,,*>的子群的充分必要条件是( )。
11、群＜A,*＞的等幂元有( )个，是( )，零元有( )个。
12、在一个群〈G,*〉中，若G中的元素a的阶是k，则a-1的阶是( )。
13、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？（）(1) a*b=a-b (2) a*b=max{a,b} (3) a*b=a+2b (4) a*b=|a-b|14、任意一个具有2个或以上元的半群，它（）。
(1) 不可能是群(2) 不一定是群(3) 一定是群(4) 是交换群15、6阶有限群的任何子群一定不是（ ）。
(1) 2阶 (2) 3 阶 (3) 4 阶 (4) 6 阶16、下列哪个偏序集构成有界格（ ）(1) （N,≤） (2) （Z,≥）(3) （{2,3,4,6,12},|（整除关系）） (4) (P(A),⊆)18、有限布尔代数的元素的个数一定等于（ ）。
图论与代数结构第一二三章习题解答
习题一1. 一个工厂为一结点；若两个工厂之间有业务联系，则此两点之间用边相联；这样就得到一个无向图。
若每点的度数为3，则总度数为27，与图的总度数总是偶数的性质矛盾。
若仅有四个点的度数为偶数，则其余五个点度数均为奇数，从而总度数为奇数,仍与图的总度数总是偶数的性质矛盾。
(或者利用度数为奇数的点的个数必须为偶数个）2.若存在孤立点,则m 不超过K n —1的边数， 故m 〈= （n-1)(n-2）/2， 与题设矛盾。
3.4。
用向量（a 1，a 2，a 3)表示三个量杯中水的量, 其中a i 为第i 杯中水的量, i = 1，2,3。
以满足a 1+a 2+a 3 = 8 (a 1,a 2，a 3为非负整数）的所有向量作为各结点, 如果(a 1,a 2，a 3）中某杯的水倒满另一杯得到 ( a ’1, a'2, a ’3 ） , 则由结点到结点画一条有向边。
这样可得一个有向图。
本题即为在此图中找一条由( 8， 0， 0 )到( 4, 4， 0 )的一条有向路，以下即是这样的一条:5. 可以。
6 若9个人中没有4个人相互认识,构造图G ，每个点代表一个点，两个人相互认识则对应的两个点之间有边。
1） 若可以找到点v,d （v)>5，则与v 相连的6个点中,要么有3个相互认识,要么有3个相互不认识（作K 6并给边涂色：红=认识，蓝=不认识，只要证图中必有同色三角形。
v 1有5条边，由抽屉原则必有三边同色（设为红），这三边的另一顶点设为v 2， v 3， v 4。
若 △v 2v 3v 4有一边为红，则与v 1构成红色△，若△v 2v 3v 4的三边无红色，则构成蓝色△)。
若有3个人相互认识，则这3个人与v 相互认识,这与假设没有4个人相互认识矛盾，所以这6个人中一定有3个人相互不认识∑∑∑∑∑∑∑==+====-=++=-==---=--=ni i n i i n i n i n i ni i i n i i n i i i i a a n n a a a n n n a n a v v 12 12 12112212 12 i i 2/)1(C )1(2)1(])1[(a a 。
2019—2020年最新苏科版七年级数学上册第三章代数式的值1课时练习及答案.docx
§3.3 代数式的值(1)1．a是一个三位数，b是一个两位数，若把b放在a的左边，组成一个五位数，则这个五位数为( )A．b + a B．10b + a C．100b + a D．1 000b + a2．若a是有理数，则4 a与3 a的大小关系是( )A．4 a>3 a B．4 a =3 a C．4 a<3 a D．不能确定3．已知代数式x + 2y的值是3，则代数式2 x + 4y + 1的值是( ) A．1 B．4 C．7 D．不能确定m +(n + 2)2 =0，则m + 2n的值为( )4．若3A．－4 B．－1 C．0 D．45．某商场2006年的销售利润为a，预计以后每年比上一年增长b％，那么2008年该商场的销售利润将是( )A．a (1 + b)2B．a (1 + b％)2C．a + a·(b％)2D．a + ab26．下列图形都是由同样大小的矩形按一定的规律组成，其中第(1)个图形的面积为2 cm2，第(2)个图形的面积为8 cm2，第(3)个图形的面积为18 cm2……第(10)个图形的面积为( )A．196 cm2B．200 cm2C．216 cm2D．256 cm27．列代数式：(1) n箱苹果重p千克，每箱重千克；(2) 甲身高a厘米，乙比甲高6厘米，则乙的身高为厘米；(3) 小明从一排座位的第m个数起，一直数到n个(n>m)，他数过的座位数是．(4) 有a名男生和b名女生在社区做义工，他们为建花坛搬砖．男生每人搬了40块，女生每人搬了30块，这a名男生和b名女生一共搬了块砖．(用含a，b的代数式表示)．8．若x =－1，则代数式x3－x2 + 4的值为．9．若a b =3，a－2 b =5，则a2 b－2ab2的值是．10．观察下列等式：9－1 =8，16－4 =12，25－9 =16，36－16 =20，…这些等式反映的是正整数间的某种规律，若n表示正整数，将这一规律用含n的式子表示为．11．定义新运算“⊗”，a⊗b=13a－4b，则12⊗(－1) =．12．当多项式－5x2－(2m－1) x2 +(2－3n) x－1不含二次项和一次项时，m=；n=．13．根据条件求代数式的值：(1) 求当a=12，b=3 时，代数式4a2+3b－2ab的值．(2) 求当x=1，y=2，z=－1时代数式2x2 y + 3 x z2 + 6y2 z的值．(3) 已知当x=1时，2ax2 + bx的值为3，则当x=2时，ax2 + bx的值为．14．如图是一个数表，现用一个长方形在数表中任意框出4个数则(1) a，c的关系是：，(2) 当a + b + c + d－32时，a=．15．某市市内电话月收费规定：月租费15元，通话每三分钟计为一次，不足三分钟的按一次计，每次计费为0．20元．(1) 如果某个月用户用了n次电话，那么这个月用户要交多少电话费?(2) 如果用户在一个月内共打了47次电话，他该交多少电话费?16．若：(2x－1)5=a0+ a l x + a2 x 2+ a3 x3+ a4 x4+ a5 x5．(1)当x = 0时，a0 = ；(2) a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = ．17．如图所示，用三种大小不同的六个正方形和一个缺角的正方形拼成长方形ABCD，其中，GH=2 cm，GK=2 cm，设BF=x cm．(1) 用含x的代数式表示CM= cm，DM= cm．(2) 求长方形ABCD的面积．参考答案1．D 2．D 3．C 4．B 5．B 6．B 7．(1) pn(2) (a + 6) (3) n－m + 1(4) 40a + 30b 8．2 9．15 10．4n + 4 11．8 12．m=－2，n=2313．(1)7(2) －17 (3) 6 14．(1) a + 5=c (2) 5 15．(1) 根据题意可知，这个月用户要交(15+0．20n)元电话费．(2) 当n=47时，15+0．20n=15+0．20×47=24．4(元)．16．(1) －1 (2) 2 17．(1) x + 2 2x + 2(或3x) (2) 长方形的长为：x+x+x+x+2+x+2=14 cm，宽为：4x + 2=4×2+2=10 crn．所以长方形的面积为：14×10=140 cm2．。
初中数学 代数练习题(含答案)
1.幂的基本运算：⑴同底数幂的乘法：m n m n a a a +⨯= 底数不变，指数相加 ⑵幂的乘方：()nmmn a a = 底数不变，指数相乘⑶积的乘方：()nn n ab a b =把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘2.整式的乘法：⑴单项式⨯单项式：系数⨯系数，同字母⨯同字母，不同字母为积的因式.⑵单项式⨯多项式：用单项式乘以多项式的每个项后相加.⑶多项式⨯多项式：用一个多项式每个项乘以另一个多项式每个项之后相加.计算公式： ⑴平方差公式：()()22a b a b a b -+=-⑵完全平方公式：()2222a b a ab b +=++；()2222a b a ab b -=-+3.整式的除法：⑴同底数幂的除法：m n m na a a-÷=⑵单项式÷单项式：系数÷系数，同字母÷同字母，不同字母作为商的因式.⑶多项式÷单项式：用多项式的每个项除以单项式后相加.初二代数部分の重点梳理一、基础知识梳理4.整式乘除与因式分解整式乘除()()()()2222222222a b a b a b a b a ab b a b a ab b +-=-+=++-=-+因式分解5.因式分解的一般步骤：（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式；（2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：二项式可以尝试运用平方差公式法分解因式；三项式可以尝试运用完全平方公式法、十字相乘法分解因式； （3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。
6.十字相乘法【196大招之94-因式分解-十字相乘法】()()()2x a b x ab x a x b +++=++()()()2abx ad bc x cd ax c bx d +++=++7.因式分解方法：（1）提公因式法：找出最大公因式.（2）公式法：xxdc①平方差公式：()()22a b a b a b -=+-②完全平方公式：()2222a ab b a b ±+=±③立方和：3322()()a b a b a ab b +=+-+④立方差：3322()()a b a b a ab b -=-++（3）十字相乘法：()()()2x p q x pq x p x q +++=++8.与分式AB有关的条件： ①分式有意义：分母不为0（0B ≠） ②分式无意义：分母为0（0B =） ③分式值为0：分子为0且分母不为0（⎩⎨⎧≠=00B A ） ④分式值为正或大于0：分子分母同号（⎩⎨⎧>>00B A 或⎩⎨⎧<<00B A ）⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（⎩⎨⎧<>00B A 或⎩⎨⎧><00B A ） ⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B ）⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0）9.分式的基本性质分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
《高等代数》第三章习题及答案
习题3.1计算下列行列式：①5312--+a a ②212313121+----a a a解 ①5312--+a a =(a+2)(a-5)+3=a 2-3a-7②212313121+----a a a =(a-1)(a-1)(a+2)-3-12+2(a-1)-3(a-1)+6(a+2)= a 3+2a习题3.2求从大到小的n 阶排列(n n-1 … 2 1)的逆序数． 解 τ(n n-1 … 2 1)=(n-1)+(n-2)+…+1+0=2)1(-n n 习题3.31.在6阶行列式中，项a 23a 31a 42a 56a 14a 65和项a 32a 43a 14a 51a 66a 25应各带有什么符号？解 因为a 23a 31a 42a 56a 14a 65=a 14a 23a 31a 42a 56a 65，而τ(4 3 1 2 6 5)=3+2+0+0+1+0=6，所以项a 23a 31a 42a 56a 14a 65带有正号．又因为项a 32a 43a 14a 51a 66a 25=a 14a 25a 32a 43a 51a 66，而τ(4 5 2 3 1 6)=3+3+1+1+0+0=8，所以项a 32a 43a 14a 51a 66a 25带有正号． 2.计算：000400010002000300050000 解 因为a 15a 24a 33a 42a 51的逆序数为τ(5 4 3 2 1)=5×4/2=10，带有正号，所以000400010002000300050000=5×3×2×1×4=120 习题3.4计算：6217213424435431014327427246-解 6217213424435431014327427246-=6211003424431001014327100246-=100×621134244*********1246-=-294×105习题3.51.计算下列行列式：①1723621431524021----- ②6234352724135342------解 ①1723621431524021-----=1374310294111120001------=137410291111-----=-726②6234352724135342------=1035732130010313410------=0105731331310---- =05723133710----=-5×72337--=-1002. 计算下列n 阶行列式（n ≥2）：①ab ba b a b a 000000000000 ②1210010010011110-n a a a③n n n n x x x x x x a a a a x a 1322113211000000000-----+④111)()1()()1()()1(111n a a a n a a a n a a a n n n n n n --------- 解 ① n n a b b a b a b a ⨯000000000000=)1()1(00000000000-⨯-⨯n n a b a b a b a a+)1()1(1000000000000)1(-⨯-+⨯-n n n b a b b ab b=a n+(-1)n+1b n② D n =1210010*********-n a a a=a n-1×D n-1+(-1)n+1×)1)(1(2100000000001111---n n n a a= a n-1D n-1+(-1)n+1×(-1)1+(n-1)×)2)(2(232100000000----n n n n a a a a=a n-1D n-1-a 1a 2…a n-2=a n-1(a n-2D n-2-a 1a 2…a n-3)-a 1a 2…a n-2 =a n-1a n-2D n-2-a n-1a 1a 2…a n-3-a 1a 2…a n-2 …= a n-1a n-2…a 2D 2-a n-1a n-2…a 3a 1-…-a n-1a n-2a 1a 2…a n-4-a n-1a 1a 2…a n-3-a 1a 2…a n-2= a n-1a n-2…a 21110a -a n-1a n-2…a 3a 1-…-a n-1a n-2a 1a 2…a n-4-a n-1a 1a 2…a n-3-a 1a 2…a n-2=-a n-1a n-2…a 2-a n-1a n-2…a 3a 1-…-a n-1a n-2a 1a 2…a n-4-a n-1a 1a 2…a n-3-a 1a 2…a n-2 =-∑---11211)...(n i in a a a a ③ D n =nn n n x x x x x x a a a a x a 1322113211000000000-----+=112111...)1()1(---++-⨯-n n n n n n D x x x x a =a n x 1x 2…x n-1+x n D n-1=a n x 1x 2…x n-1+x n (a n-1x 1x 2…x n-2+x n-1D n-2) =a n x 1x 2…x n-1+x n a n-1x 1x 2…x n-2+x n x n-1D n-2 …=a n x 1x 2…x n-1+x n a n-1x 1x 2…x n-2+…+x n x n-1…x 4a 3x 1x 2+x n x n-1…x 4x 3D 2=a n x 1x 2...x n-1+x n a n-1x 1x 2...x n-2+...+x n x n-1...x 4a 3x 1x 2+x n x n-1...x 4x 3[(a 1+x 1)x 2+a 2x 1] =)( (1)1121121∑=+--+ni n i i i n n x x a xx x x x x x④D n+1=111)()1()()1()()1(111n a a a n a a a n a a a n n n nn n ---------=nn n n n n n n a a a n a a a n a a a )1()1()()1()()1(111)1(1112)1(----------+=)1()]}1([)2)(1)]{(()2)(1[()1(2)1(---------+ n n n n=2!3!...n!3.计算下列n 阶行列式（n ≥1）：①n a a a a ++++1111111111111111321②ax x x x x a x x x x a x a x x x x x a x n n nn ----- 321321321321解 ① D n =na a a a ++++1111111111111111321=na a a a +++++++11110111*********11321=1111111111111111321a a a ++++na a a a111011101110111321+++ =110010010321a a a +1-n n D a =a n D n-1-a 1a 2…a n-1=a n (a n-1D n-2-a 1a 2…a n-2)-a 1a 2…a n-1 =a n a n-1D n-2-a n a 1a 2…a n-2-a 1a 2…a n-1 =n ni n i i a a a a a aa 211111)(+∑=+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∑=ni i n a a a a 12111 (a i ≠0) ②D n =a x x x x x a x x x x a x a x x x x x a x n n n n -----321321321321=ax x x x x a x x x x a x a x x x x x a x n n n n -+-+--+- 321321321321000=n n n n x x x x x a x x x x a x a x x x x x a x 321321321321----+ax x x a x x x a x a x x x x a x -----321321321321000 =x n (-a)n-1(x 1+x 2+…+x n )+(-a)n4.证明：n 阶行列式yz z x y y x z xzz zz y y x z z yy y x z yy y y x nn ----=)()( 其中z ≠y ．解 D n =xzz zzy y x z z yy y x z x y zx00--=(x-z)D n-1-(y-x))1()1(-⨯-n n x zz zy y x zy y y z=(x-z)D n-1-(y-x)z)1()1(111-⨯-n n x z z y y x y yy=(x-z)D n-1-(y-x)z)1()1(10010001-⨯-----n n y x yz y z y x=(x-z)D n-1-(y-x)z(x-y)n-2=(x-z)D n-1+z(x-y)n-1即有D n =(x-z)D n-1+z(x-y)n-1(1)又D n =xzz zy y x z yy y x x z yy y y y x--=(x-y)D n-1-(z-x))1()1(-⨯-n n x zz zy y x zy y y y=(x-y)D n-1-(z-x)y)1()1(1111-⨯-n n x z z z yy x z=(x-y)D n-1-(z-x)y)1()1(001111-⨯-----n n z x z y z y z x=(x-y)D n-1-(z-x)y(x-z)n-2即有D n =(x-y)D n-1+y(x-z)n-1(2) 联立式（1）和式（2）得yz z x y y x z xzz zzy y x z z yy y x z yy y y x nn ----=)()( 习题3.61.设A,B,P ∈Mat n ×n (F)，并且P 是可逆的，证明：如果B=P -1AP ，则|B|=|A|．证 因为|P -1||P|=1，所以|B|=|P -1AP|=|P -1||A||P|=|A|． 2*.仿照例3.6.1，试用分块初等变换，证明定理3.6.1． 证 设A ，B 都是n ×n 矩阵，则nE BA -0=B A B A A E B n n n n=-=--+)1(0)1(另一方面，对nE BA -0的第2行小块矩阵乘以A 加到第一行上去，有nE BA -0=AB E BAB n=0所以B A AB =．习题3.71.求下列矩阵的伴随矩阵和逆矩阵①⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1112 ②⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--325436752解 ①设原矩阵为A ，则A 11=-1，A 21=-1，A 12=1，A 22=2，伴随矩阵A *=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--2111，|A|=-2+1=-1，所以，A -1=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---211111=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2111②设原矩阵为A ，则A 11=3243--=-9+8=-1，A 21=3275---=-（-15+14）=1，A 31=4375=20-21=-1，A 12=3546--=38，A 22=3572-=-41，A 32=4672-=34， A 13=2536-=-27，A 23=2552--=29，A 33=3652=-24伴随矩阵A *=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----242927344138111，|A|=-18-84+100-105+16+90=-1，所以，A -1=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------24292734413811111=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----2429273441381112.证明：上三角形矩阵是可逆矩阵的充分必要条件是：它的主对角线元全不为零．证 因为矩阵可逆的充分必要条件是它的行列式不为零，而上三角形矩阵的行列式等于它的主对角线上所有元的乘积，所以上三角形矩阵的行列式不为零的充分必要条件是：它的主对角线元全不为零，故上三角形矩阵可逆矩阵的充分必要条件是：它的主对角线元全不为零．3.设A 是n ×n 矩阵．证明：A 是可逆的，当且仅当A *也是可逆的．证 因为 AA *=|A|E ，两边取行列式得|A||A *|=|A|n．若A 可逆，则A 的行列式|A|≠0，从而有|A *|=|A|n-1≠0，所以A *可逆．反之，若A *可逆，设A *的逆阵为(A *)-1．用反证法，假设A 不可逆，则A 的行列式|A|=0，所以AA *=|A|E=0，对AA *=0两边同时右乘(A *)-1，得A=0，从而A 的任一n-1阶子式必为零，故A *=0，这与A *可逆相矛盾，因此A 可逆． 4.证明定理3.7.2的推论1．推论1的描述：设A 是分块对角矩阵，A=diag(A 1,A 2,…,A s )，证明：A 可逆当且仅当A 1,A 2,…,A s 均可逆，并且A -1=diag(A 1-1,A 2-1,…,A s -1)．证 A 可逆，当且仅当A 的行列式|A|≠0，而|A|=|A 1||A 2|…|A s |，所以|A|≠0当且仅当|A 1|，|A 2|，…，|A s |都不为零，即A 1,A 2,…,A s 均可逆．令B=diag(A 1-1,A 2-1,…,A s -1)，则有AB=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛S A A A21⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---11211s A A A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛S E E E21=E 故A -1=diag(A 1-1,A 2-1,…,A s -1)．4.设A=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛333231232221131211a a aa a a a a a 是实矩阵（实数域上的矩阵），且a 33=-1．证明：如果A 的每一个元都等于它的代数余子式，则|A|=1．证 如果A 的每一个元都等于它的代数余子式，则A 的伴随矩阵A *=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛332313322212312111a a a a a a a a a =A T ．所以|A *|=|A|，又AA *=|A|E ，两边取行列式得|A|2=|A|3． 由a 33=-1，得AA *=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛333231232221131211a a aa a a a a a ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛332313322212312111a a a a a a a a a =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-12313322212312111a a a a a a a a ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-12313322212312111a a a a a a a a =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++1232231a a =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛||000||000||A A A比较最后一个等式两端第3行3列的元素知|A|=a 312+a 322+1≠0，对|A|2=|A|3两边同时除以|A|2得|A|=1．6.设A=(a ij )是n ×n 可逆矩阵，有两个线性方程组（Ⅰ）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=+++u x c x c x c bx a x a x a b x a x a x a b x a x a x a n n nn nn n n n n n n (221122112222212111212111)（Ⅱ）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=+++vx b x b x b cx a x a x a c x a x a x a c x a x a x a n n nn nn n n n n n n (221122112222211211221111)如果（Ⅰ）有解．证明：当且仅当u =v 时，（Ⅱ）有解．证 设方程组（Ⅰ）的解为x 1*, x 2*,…, x n *，代入方程组（Ⅰ）得（Ⅲ）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=+++ux c x c x c bx a x a x a b x a x a x a b x a x a x a n n n n n nnn n n n n **2*1**2*12*2*22*211*1*12*11................................................ (212)12121 当u =v 时，因为 A=(a ij )是n ×n 可逆矩阵，A 的行列式不等于零，根据克莱姆法则，方程组（Ⅱ）的前n 个方程作为一个线性方程组，它有唯一解，记该解为x 1**, x 2**,…, x n **，代入方程组（Ⅱ）的前n 个方程中得（Ⅳ）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=+++----nnn n n n nn n n n n c x a x a x a cx a x a x a c x a x a x a c x a x a x a n n nn ****2**11**1**12**112**2**22**121**1**21**11......................................................21212121 对等式组（Ⅳ）中第1个等式的两端同时乘以x 1*,第2个等式的两端同时乘以 x 2*,…, 第n个等式的两端同时乘以 x n *，然后将n 各等式的左边全部相加，也将右边全部相加，并利用（Ⅲ）式，可得b 1x 1**+b 2x 2**+…+b n x n **=c 1x 1*+ c 2x 2*+…+ c n x n *=u由u =v ，得b 1x 1**+b 2x 2**+…+b n x n **=u即x 1**, x 2**,…, x n **也满足（Ⅱ）中最后一个方程．所以方程组（Ⅱ）有解．反之，若方程组（Ⅱ）有解，设其解为x 1**, x 2**,…, x n **，代入（Ⅱ）得到（Ⅴ）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=+++-vx b x b x b cx a x a x a c x a x a x a c x a x a x a n n n n n n nn n n n n ****2**11****2**12**2**22**121**1**21**11......................................................21212121 对等式组（Ⅲ）中第1个等式的两端同时乘以x 1**,第2个等式的两端同时乘以 x 2**,…,第n 个等式的两端同时乘以 x n **，然后将n 各等式的左边全部相加，也将右边全部相加，并利用（Ⅴ）式，可得c 1x 1*+c 2x 2*+…+c n x n *=b 1x 1**+ b 2x 2**+…+ b n x n **将上式左端与（Ⅴ）式中最后一个等式比较，将上式右端与（Ⅲ）式中最后一个等式比较，得 u =v ．7.设A 是n ×n 矩阵．证明：|A *|=|A|n-1证 因为AA *=|A|E ，两边取行列式得 |A||A *|=|A|n ．如果|A|≠0，两边除以|A|，得|A *|=|A|n-1如果|A|=0，也可写成|A *|=|A|n-1，总之，有|A *|=|A|n-1成立．。
高等代数第三章检测题答案
高等代数第三章检测题答案一、填空题1．2 2．1 3．（-1，1，0，0） （0，0，1，1） 4．4155．1 二、单项选择题1．A 2．A 3．D 4．B 5．D三、计算题1．方程组的系数矩阵A 经行初等变换可化为0000002271012301-同解方程组为：⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++227023432431x x x x x x求解得基础解系为：)0,2,7,3(1-=η )1,0,2,1(2--=η 2．对增广矩阵进行初等变换：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→00000212100211011A 可是).()(B r A r =故方程组有解，并有⎪⎩⎪⎨⎧+=++=2122143421x x x x x取042=-x x 。
则2131==x x ，即得方程组的一个特解. )0,21,0,21(*=η而导出组的基础解系为：)0,0,1,1(1=η)1,2,0,1(2η结构解为：*),,,(22114321ηηη++=k k x x x x （21,k k 为任意实数）3．对增广矩阵用初等行变换得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→b a A 0011101211 ①当0≠a 时，3)()(==A r A r .方程组有唯一解a b x -=21 a b x --=12 abx =3 ②当0≠b ，0=a 时，)()(A r A r ≠，方程组无解. ③当0==b a 时，秩=')(A 秩2)(=A ，方程组有无穷多解.1,23231--=+-=x x x x 3x 任意.4.c4321,,,αααα为列向量作矩阵，并对矩阵进行初等行变换化为行最简形矩陈B .B A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------=00000000211011010112743165143121 由B 可以看出秩（A ）=2，且21,αα是这个向量组的一个极大线性无关组（极大无关组也可取31,αα或41,αα，或32,αα或42,αα或43,αα）并且2142132,,,αααααα+-=+-=.四、证明题1．对方程组的增广矩阵A 进行行初的等变换⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=∑=414321432100001100011000111001110001100011i a a a a a a a a A 因为方程组有解当且仅当∑=411i a=0所以方程组有解的充要条件为∑=411i a=02．由于t i b Aa i ,,0, == 因而),,1(0)(00t i b b Aa Aa a a A i i ==-=-=- 所以00201,a at a a a a --- 是方程组0=AX 的解：证明它们是线性无关的。
线性代数第三章习题及解答
− 20 83
5 83
− 17 83
0 1 0
0 0 1
−2
0
−7 2 − 21 4
−1 2
ξ = (2, 14, −21, 4)
10. 求下列非齐次线性方程组的一般解 2x + 7x2 + 3x3 + x4 =6 1 (1) 3x1 + 5x2 + 2x3 + 2x4 = 4 9x + 4x + x + 7x =2 1 2 3 4 2 7 3 1 6 2 7 解 3 5 2 2 4 −→ 1 −2 1 9 4 −2 1 7 5 −10 2 1 −1 2 0 11 0 −22 −1 1
性表示为
(β1 , β2 , . . . , βr ) = (α1 , α2 , . . . , αs )K,
其中 K 为 s × r 矩阵，且 A 向量组线性无关，证明：向量组 B 线性无关的充分必要条件是矩阵 K 的秩为 r 证明： (=⇒) 因为向量组 B 线性无关， 于是 R(β1 , . . . , βr ) = r, 注 意到 r = R(B ) ≤ R(K ) ≤ r 那么 R(K ) = r
一个向量 αk (2 ≤ k ≤ m) 使得 αk 能由 α1 , α2 , . . . , αk−1 线性表示. 证明：反证若 ∀αk 都不能被 α1 , α2 , . . . , αk−1 线性表示，于是对 于 k1 α1 + k2 α2 + · · · + km αm = 0，则 km = 0, 若否 αm 可以被前面
43
3 5 5
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
《离散数学》第三部分----代数结构
一、选择或填空
1、设A={2,4,6}，A上的二元运算*定义为：a*b=max{a,b}，则在独异点<A,*>中，单位元是( )，零元是( )。
2、设A={3,6,9}，A上的二元运算*定义为：a*b=min{a,b}，则在独异点<A,*>中，单位元是( )，零元是( )；
3、设〈G,*〉是一个群，则
(1) 若a,b,x∈G，a*x=b，则x=( )；
(2) 若a,b,x∈G，a*x=a*b，则x=( )。
4、设a是12阶群的生成元，则a2是( )阶元素，a3是( )阶元素。
5、代数系统<G,*>是一个群，则G的等幂元是( )。
6、设a是10阶群的生成元，则a4是( )阶元素，a3是( )阶元素。
7、群<G,*>的等幂元是( )，有( )个。
8、素数阶群一定是( )群, 它的生成元是( )。
9、设〈G,*〉是一个群，a,b,c∈G，则
(1) 若c*a=b，则c=( )；(2) 若c*a=b*a，则c=( )。
10、<H,,*>是<G,,*>的子群的充分必要条件是( )。
11、群＜A,*＞的等幂元有( )个，是( )，零元有( )个。
12、在一个群〈G,*〉中，若G中的元素a的阶是k，则a-1的阶是( )。
13、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？（）
(1) a*b=a-b (2) a*b=max{a,b} (3) a*b=a+2b (4) a*b=|a-b|
14、任意一个具有2个或以上元的半群，它（）。
(1) 不可能是群(2) 不一定是群
(3) 一定是群(4) 是交换群
15、6阶有限群的任何子群一定不是（ ）。
(1) 2阶 (2) 3 阶 (3) 4 阶 (4) 6 阶
16、下列哪个偏序集构成有界格（ ）
(1) （N,≤） (2) （Z,≥）
(3) （{2,3,4,6,12},|（整除关系）） (4) (P(A),⊆)
18、有限布尔代数的元素的个数一定等于（ ）。
(1) 偶数 (2) 奇数 (3) 4的倍数 (4) 2的正整数次幂
五、证明或解答：
1、求循环群C 12={e,a,a 2,…,a 11}中H={e,a 4,a 8}的所有右陪集。
解：
2、求下列置换的运算：
（1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛14334221 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛14233241;（2）3
163564235241⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛
3、I 上的二元运算*定义为：∀a,b ∈I ，a*b=a+b-2。
试问<I,*>是循环群吗？解：
4、设<G,〃>是群，a∈G。
令H={x∈G|a〃x=x〃a}。
试证：H 是G 的子群。
证明：
5、证明：偶数阶群中阶为2 的元素的个数一定是奇数。
证明：
6、证明：有限群中阶大于2的元素的个数一定是偶数。
证明：
7、设<G,〃>是群，a,b∈G，a≠e，且a4〃b=b〃a5。
试证a〃b≠b〃a。
证明：
8、I上的二元运算*定义为：∀a,b∈I，a*b=a+b-2。
试证：<I,*>为群。
证明：
9、单位元有惟一逆元。
证明：
10、设e和0是关于A上二元运算*的单位元和零元，如果|A|>1，则e≠0。
证明：
11、证明在元素不少于两个的群中不存在零元。
证明：
12、证明在一个群中单位元是惟一的。
证明：
13、设a是一个群〈G，*〉的生成元，则a-1也是它的生成元。
证明：
14、设<G,*>是一个群，则对于a,b∈G，必有唯一的x∈G，使得a*x=b。
证明：
15、设半群<S,〃>中消去律成立，则<S,〃>是可交换半群当且仅当∀a,b∈S，（a〃b）2=a2〃b2。
证明：
16、设G＝(a)，{e}≠H≤G，a m是H中a 的最小正幂，则
（1） H＝(a m)；
（2）若G为无限群，则H也是无限群；
证明：
17、在一个群<G,*>中，若G中的元素a的阶是k，即|a|=k，则a-1的阶也是k。
证明：。