高斯小学奥数四年级上册含答案第11讲_整数数列计算

第十一讲整数数列计算
在三年级的时候我们已经学习了有关等差数列的知识，
如等差数列2, 5, 8, 11, 14, 17, ? ?在等差数列中，称每一个数为一个项，第一个数2为首项，最后一
个数称为末项，数列中所有数的个数称为项数，相邻两项差3, 3称为公
差.
你们还记得等差数列的首项、末项、公差、项数以及数列和该怎么求吗?
第m 项和第n 项相差
m n
个公差（m> n ）；项数公式：项数末项首项公差1;
求和公式：
和首项末项项数 2 ；
项数为奇数时有：和中间项项数.
在涉及到等差数列的整数数列计算中，我们常用到“分组配对”的思想?事实上，
“分组配对”不仅在等差数列中用得到，在很多与数列计算相关的问题中也能够发挥作
用.
例题1
匚的作用
▼的作用
羊族和狼族发生了一场惊
天动地的大混战.战斗打得天昏地暗*同梭内部偶尔也会出现口和號杀-战场上，▲和▼这两种武器被广迂使用，它们的作用却不相同.
战场的某个肃落里*有这样串争斗（顺序从左至右）.
这场争斗最后幸存卜来的是羊还足狼?
计算：100 98 96 94 92 90 L 8 6 4 2 .
「分析」算式中的符号是加减交替的，几个符号为一个周期？能不能由此找到计算的捷径呢？
练习1
计算：100 99 98 97 96 95 L 2 1 .
例题2
计算：50 49 48 47 46 45 44 43 L 4 3 2 1 .
「分析」算式中的符号是加减交替的，几个符号为一个周期？能不能由此找到计算的捷径呢？最后一组是否包含4、3、2、1这4个数呢？
练习2
计算：95 93 91 89 87 85 83 81 L 7 5 3 1.
除了等差数列，还有多种整数数列，其中，平方数列就是非常常见的一种.
乘法是加法的简便运算，例如我们可以把 6 6 6 6 6简写为 6 5 .乘方是乘法的简便运算，例如我们可以把 6 6 6 6 6简写为65，读作“　6的5次方”.再举几个例子：10 10可以记为102，读作“10的2次方”或“10的平方”；10 10 10 可以记为103，读作“　10的3次方”或“　10的立方”；10 10 10 10可以记为104，读作“　10的4次方”.对于字母代表的数也有同样的表示方法，例如a2 a a，b4 b b b b 等.
已知平方差公式：a2b2a b a b （把等式右边的乘法运算采用乘法分配律拆开即可得等式左边算式，大家可以试试）.
可以用如下一句话来解释平方差公式：两个数的平方差等于它们的和乘以差，简记为“平方差等于和乘差”.
例题3
已知平方差公式：『b2 a b a b.
计算：（1 ）66623342;
（2）50 1 50 1 ；
2 2 2 2 2 2
(3) 20 19 18 17 16 15
2
L 2
2
1 .
「分析」对于202192我们可以写为20 19
20
19 20 19，是不是整个算式中的数
都可以这样转化呢？
练习3
计算：1 12 1 0292 8272 62 52423222 12.
本讲一开始的漫画中，幸存下来的是羊还是狼呢？故事中的和是我们新定义的运算符号，这类定义新运算的问题我们以前没有遇到过?在这类问题中，新引入的运算符号代表新的含义，而且在不同的题目中，符号代表的含义不一样.
例题4
规定运算“　@”为：a@b a 1 b 2 .计算：6@ 5@3 .
「分析」算式中涉及到两次“　@”运算，那么应该先算哪一个呢？
练习4
规定运算为：a b 2 a b，计算：(1) 6 5 4 ； (2) 6 5 4 .
例题5
计算:123456789L 97 98 99 .
「分析」算式中的符号是加减交替的，几个符号为一个周期？能不能由此找到计算的捷径呢？
例题6
计算：100 99 99 98 98 97 97 96 L 4 3 3 2 2 1 .
「分析」算式是一加一减的形式，能不能把两对乘积分成一组？各组之间有什么关系呢？
课堂内外
平方和公式
计算平方数列求和，往往需要用到“平方和公式”：
122232L n2n n 1 2n 1 6
平方和公式的推导过程需要综合运用到等差数列和整数裂项的知识.
平方数列求和：
2 2 2 2
1 2 3 L n 121 231 341L nn11
=1 2 2 3 3 4 L nn1 1 2 3 L n
其中，等差数列
1 2 3 L n n n 1 2 ；...................................... ①
剩下的部分 1 2 2 3 3 4 L n n1 1 2 3 L n则是最基本的整数裂项, 我们进行如下操作：3 1 2 1 2 4 0 1 2
323234123
3 3
4 3 4
5 2 3 4
3nn1nn1 n2 n1nn1
相加，等号右边除了最大项与最小项外，中间的所有项都加减抵消了，因此就有:
3 1 2 2 3 3
4 L n n 1 = n n 1 n 2
所以， 1 2 2 3 3 4 L n n 1 = n n 1 n 2 3 ............ ........... ②
②减①，得平方和公式：
2 2
1 2 32L n 2=n n 1 n 2 3 n n 1 2
=n n 1 n 2 3 1 2
=n n 1 2n 4 6 3 6
=n n 1 2n 1 6
作业
1. 计算：99 97 95 93 91 89 L 3 1
2. 计算：（1）552452；（2）632372．
3. 计算：1002992982972962952L 2212
4. 规定运算“　?”为： a b a b+2 ．计算 5 4 2
5．计算：1+2 3 4 5 6 7 8 9 L 28 29 30 ．
第十一讲整数数列计算
1.
例题 1 答案：50 详解：原式共有
50项，两个一组，共有
25组，每一组都是
2，所以这个算式的结果是
25 2 50.
2.
例题 2 答案：51
8. 练习 2 答案：96 简答：原式(95 93 91 89) (87 85 83 81) L (7 5 3 1) ，1~95 连续奇数共有48 个，所
以共分了12 组，原式12 8 96 .
9.
练习 3
原式(50 49 48 47) (46
45 44 43) L
(6 5 4 3) 2 1
，
3~50 共
48
个数，所以一共分了12 组，原式12 4 2 1 51 .
例题 3
答案：(1)332000；(2)2499；(3)210 详解：(1)原式(666 334)(666-334) 332000 ；
(2)原式=502 12 2500 1 2499 ；(3)原式
20 19 20 19
18 17 18 17 L 2 1
2 1
20 19 18 17 L
2 1 210.
详解：3.
4
例题答案：28
4.
详解：先算括号里面的：5@3 (5 1) (3 2) 6，
5.
6@(5@3) 6@6 (6
例题5答案：1584 1) (6 2) 28 .
详解：
6.
原式(1 2 3) (4 5 6) L
(97
98 99) 0 3 6L 96 (3 例题 6 答案：5000
96) 32
1584 .
详解：原式=(100 99
99 98) (98 97 97 96)
(4 3 3 2) 2 1
99 2 97 2 L 3
(99 1) 50 2 5000 .
7.
练习 1 答案：50简答：原式共有
100 项，两个一组，共有50 组，每一组都是
1，所以这个算式的结果是
501 50 .
答案：6612. 作业 2
答案：1000 ；2600
简答：（1）原式= 55 45 55
45 100 10
1000 ；
（2）原式=
63
37 63
37
100 26 2600 ．
13.
作业 3 答案：5050
简答：平方差公式，原式
=100
99 98
97 L
321
，和为5050．
14.
作业 4 答案：52
简答：根据运算规定：
4 2 4
22
10，5
4 2 5
10 5
10 2
52
15.
作业 5 答案：135
简答：三项为一组，共
有
10 组：
原式= 1 2 3 4 5 67 89 L 28 29 30
03 6L 27 可以看成首项为3，末项为27，公差为 3 的等差数列，和为
3+27 9 2=135 ．
简答：
原式
11 10
11 10
9 8 9 11 10
9 8 L 2
1 66
10. 练习
4
答案：10；6
简答：
（1）65 4 2 6 5 4 742 （2）65 4
6
2 5 4
662
11. 作业
1
答案：50
简答：
原式
= 99 97 95 93 L3
99 1
21
50
项，
每两项为一组，共有
7 4 10；6 6 6 ．
1 ，从 1 至99，公差为
2 的等差数列共有
25 组，和= 2 25 50 ．。