归纳向量及其线性运算.ppt
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《向量的线性运算》课件
02 向量的线性运算
向量的加法
总结词
向量加法是向量运算中的基本运算之一，它遵循平行四边形法则。
详细描述
向量加法是将两个向量首尾相连，然后由第一个向量的起点指向第二个向量的终 点的向量。这个新的向量称为原来两个向量的和。在几何上，向量加法可以由平 行四边形的对角线向量得出。
向量的数乘
总结词
数乘是向量的一种线性运算，它通过 乘以一个标量来改变向量的长度和方 向。
《向量的线性运算》 ppt课件
目录
Contents
• 向量的基本概念 • 向量的线性运算 • 向量的数量积 • 向量的向量积 • 向量的外积
01 向量的基本概念
向量的定义
总结词
向量是一个既有大小又有方向的量，通常用有向线段表示。
详细描述
向量是物理学、工程学和数学中常用的概念，它表示一个既有大小又有方向的 量。在二维或三维空间中，向量通常用有向线段表示，起点为原点，终点为任 意点。
详细描述
数乘是将一个向量与一个标量相乘， 得到的结果是原向量的长度按比例缩 放，同时方向可能改变。数乘满足结 合律和分配律，但不满足交换律。
向量的减法
总结词
向量减法是通过将一个向量的起点与另一个向量的终点相连，得到的结果向量就是两个向量的差。
详细描述
向量减法是将两个向量首尾相连，由第一个向量的起点指向第二个向量的起点，这个新的向量称为原 来两个向量的差。在几何上，向量减法可以由三角形法则得出。
向量积不满足交换律，即a×b≠b×a；向量积也不满足结合 律，即(a+b)×c≠a×c+b×c。
05 向量的外积
外积的定义
总结词
基于向量的坐标表示
详细描述
线性代数向量及其线性运算 ppt课件
称为数ｋ与向量α的数量积.
设β=kα，那么两个向量之间是什么样的关系？ 引申到多个向量，关系又如何？
一定义 给定 A : 向 1,2, 量 ,m 和 组 b 向 ,如量 果 一 组 1 ， 2 ， 数 ,m ，使
b 1 1 2 2 m m
则向b是 量向量 A的 组线性组合， 向量这 b能时称 由向量组 A线性表示．
iT a i1a i2L a i n
矩阵与向量的关系中 注意什么是向量的个 数、什么是向量的维 数，二者必须分清.
三、向量组、矩阵、线性方程组
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所 组成的集合叫做向量组．
记作： A :1 ,2 ,L ,s .or. i
例如 对于一个 m矩n阵有ｎ个ｍ维列向量.
解 n维单位坐标向量组 的构 矩成 阵 I (e1,e2,,en)
是n阶单位矩. 阵由I10， 及定理2的推论知 n维单位坐标向量组线 无性 关。
自己练习：
1、设向量组 1k 3 0T, 21 k 2T, 30 2 1Τ线性相关，则ｋk3.or.k1 .
2、设向量组1Ta 0 c,2Tb c 0, 3T0ab线性无关，则 a , b , c 必满足 abc.0
A
a i1 a i2
a in
T i
a m 1 a m 2
a mn
T m
向量组 A :1 T ,2 T ,L ,m T 为矩阵Ａ的行向量组．
四、线性方程组AX=b的向量表示
a11x1a12x2 a1nxn b1, a21x1a22x2 a2nxn b2, am1x1am2x2 amnxn bm.
P91定理
推论 ｎ个ｎ维向量线性无关 a ij 0 . 推论 ｎ个ｎ维向量线性相关 a ij 0 .
设β=kα，那么两个向量之间是什么样的关系？ 引申到多个向量，关系又如何？
一定义 给定 A : 向 1,2, 量 ,m 和 组 b 向 ,如量 果 一 组 1 ， 2 ， 数 ,m ，使
b 1 1 2 2 m m
则向b是 量向量 A的 组线性组合， 向量这 b能时称 由向量组 A线性表示．
iT a i1a i2L a i n
矩阵与向量的关系中 注意什么是向量的个 数、什么是向量的维 数，二者必须分清.
三、向量组、矩阵、线性方程组
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所 组成的集合叫做向量组．
记作： A :1 ,2 ,L ,s .or. i
例如 对于一个 m矩n阵有ｎ个ｍ维列向量.
解 n维单位坐标向量组 的构 矩成 阵 I (e1,e2,,en)
是n阶单位矩. 阵由I10， 及定理2的推论知 n维单位坐标向量组线 无性 关。
自己练习：
1、设向量组 1k 3 0T, 21 k 2T, 30 2 1Τ线性相关，则ｋk3.or.k1 .
2、设向量组1Ta 0 c,2Tb c 0, 3T0ab线性无关，则 a , b , c 必满足 abc.0
A
a i1 a i2
a in
T i
a m 1 a m 2
a mn
T m
向量组 A :1 T ,2 T ,L ,m T 为矩阵Ａ的行向量组．
四、线性方程组AX=b的向量表示
a11x1a12x2 a1nxn b1, a21x1a22x2 a2nxn b2, am1x1am2x2 amnxn bm.
P91定理
推论 ｎ个ｎ维向量线性无关 a ij 0 . 推论 ｎ个ｎ维向量线性相关 a ij 0 .
高等数学向量及其运算PPT课件.ppt
例如, a、r、v、F 或a 、r 、v 、F .
2
• 自由向量 与起点无关的向量, 称为自由向量, 简称向量.
• 向量的相等 如果向量a和b的大小相
等, 且方向相同, 则说向量a 和b是相等的, 记为a=b.
相等的向量经过平移后可以完全重合.
3
•向量的模 向量的大小叫做向量的模.
向量 a、a 、AB 的模分别记为|a|、|a| 、|AB| .
23
例3 已知两点A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)以及实数-1,
在直线 AB 上求一点 M, 使 AM =MB .
解 由于
解 由于 AM =OM-OA , MB=OB-OM ,
=OM-OA , MB=OB-OM ,
因此 OM-OA=(OB-OM) ,
从而
OM =
1
(OA+ OB)
当两个平行向量的起点放在同一点时, 它 们的终点和公共的起点在一条直线上. 因此, 两向量平行又称两向量共线.
设有k(k3)个向量, 当把它们的起点放在同 一点时, 如果k个终点和公共起点在一个平面上, 就称这k个向量共面.
6
二、向量的线性运算
1.向量的加法
设有两个向量a与b, 平移向量, 使b的起点与a
当=0时, |a|=0, 即a为零向量. 当=1时, 有1a=a; 当=-1时, 有(-1)a =-a.
10
•向量与数的乘积的运算规律
(1)结合律 (a)=(a)=()a; (2)分配律 (+)a=a+a;
(a+b)=a+b.
•向量的单位化
设a0, 则向量 a 是与a同方向的单位向量,
记为ea.
|a|
2
• 自由向量 与起点无关的向量, 称为自由向量, 简称向量.
• 向量的相等 如果向量a和b的大小相
等, 且方向相同, 则说向量a 和b是相等的, 记为a=b.
相等的向量经过平移后可以完全重合.
3
•向量的模 向量的大小叫做向量的模.
向量 a、a 、AB 的模分别记为|a|、|a| 、|AB| .
23
例3 已知两点A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)以及实数-1,
在直线 AB 上求一点 M, 使 AM =MB .
解 由于
解 由于 AM =OM-OA , MB=OB-OM ,
=OM-OA , MB=OB-OM ,
因此 OM-OA=(OB-OM) ,
从而
OM =
1
(OA+ OB)
当两个平行向量的起点放在同一点时, 它 们的终点和公共的起点在一条直线上. 因此, 两向量平行又称两向量共线.
设有k(k3)个向量, 当把它们的起点放在同 一点时, 如果k个终点和公共起点在一个平面上, 就称这k个向量共面.
6
二、向量的线性运算
1.向量的加法
设有两个向量a与b, 平移向量, 使b的起点与a
当=0时, |a|=0, 即a为零向量. 当=1时, 有1a=a; 当=-1时, 有(-1)a =-a.
10
•向量与数的乘积的运算规律
(1)结合律 (a)=(a)=()a; (2)分配律 (+)a=a+a;
(a+b)=a+b.
•向量的单位化
设a0, 则向量 a 是与a同方向的单位向量,
记为ea.
|a|
第一节平面向量的概念及线性运算课件共105张PPT
又知B→O＝λA→B＋μA→C，
∴λ＝－23，μ＝13，∴λ－2μ＝－23－2×13＝－43，故选D.
4．[多选]如图所示，点A，B，C是圆O上的三点，线段OC与线段AB交于圆内一 点P，若A→P＝λA→B，O→C＝μO→A＋3μO→B，则( AC )
知识点二 向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向 量和的运
算
交换律：a＋b＝_b_＋__a_；
结合律：(a＋b)＋c＝a＋ (__b_＋__c___)
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
减法
求a与b的相反 向量－b的和的 运算
a－b＝a＋(_－__b__)
数乘
求实数λ与向量a 的积的运算
②错误：长度等于1个单位的向量，叫做单位向量，即单位向量的模都为1，但 是方向不确定，所以单位向量不一定都相等．
③错误：向量本身不能比较大小，向量的模可以比较大小．正确说法：若|a|＝ 2，|b|＝1，则|a|>|b|.
④正确：因为a＝b，所以a，b的长度相等且方向相同．又b＝c，所以b，c的长 度相等且方向相同．所以a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.
⑤错误：若向量A→B＝C→D，则|A→B|＝|C→D|且A→B∥C→D，所以直线AB与CD平行或重 合，故A，B，C，D四点不一定能构成平行四边形．正确说法：已知A，B，C，D是 不共线的四点，若向量A→B＝C→D，则A，B，C，D四点能构成平行四边形．
⑥错误：零向量与任一向量平行，故当a∥b，b∥c时，若 b＝0，则a，c不一定
方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法) 向量线性运算的解题策略
(1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行 四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则．
向量及其线性运算ppt课件
ax
az )
ay
az
bx by bz
22
例5 求解以向量为未知元的线性方程组
5
x
3
y
a,
其中
a
(2,1,2),
3x 2 y b, b (1,1,2).
解 如同解以实数为未知元的线性方程组一样，
可解得 x 2a 3b, y 3a 5b.
向量的模 26
例 7 求证以M1(4,3,1)、 M 2 (7,1,2)、 M3 (5,2,3)
三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.
解 M1M2 2 (7 4)2 (1 3)2 (2 1)2 14, M2M3 2 (5 7)2 (2 1)2 (3 2)2 6, M3M1 2 (4 5)2 (3 2)2 (1 3)2 6, M2M3 M3M1 , 原结论成立.
两式相减，得
(
)a
0，
即
a 0，
a 0， 故 0， 即 .
8
此定理是建立数轴的理论依据
数轴：点、方向、单位长度
． 1 ．x
O i Px
点P 向量 OP = xi 实数 x
轴上点P的坐标为x的充分必要条件是 OP = xi . 另外 设a0表示与非零向量a 同方向的单位向量，
zR
M1
P o
d M1M2 ?
M2
Q N
在直角M1 NM 2 及 直 角 M1 PN
中，使用勾股定
y 理知
x
d 2 M1P 2 PN 2 NM 2 2 ,
az )
ay
az
bx by bz
22
例5 求解以向量为未知元的线性方程组
5
x
3
y
a,
其中
a
(2,1,2),
3x 2 y b, b (1,1,2).
解 如同解以实数为未知元的线性方程组一样，
可解得 x 2a 3b, y 3a 5b.
向量的模 26
例 7 求证以M1(4,3,1)、 M 2 (7,1,2)、 M3 (5,2,3)
三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.
解 M1M2 2 (7 4)2 (1 3)2 (2 1)2 14, M2M3 2 (5 7)2 (2 1)2 (3 2)2 6, M3M1 2 (4 5)2 (3 2)2 (1 3)2 6, M2M3 M3M1 , 原结论成立.
两式相减，得
(
)a
0，
即
a 0，
a 0， 故 0， 即 .
8
此定理是建立数轴的理论依据
数轴：点、方向、单位长度
． 1 ．x
O i Px
点P 向量 OP = xi 实数 x
轴上点P的坐标为x的充分必要条件是 OP = xi . 另外 设a0表示与非零向量a 同方向的单位向量，
zR
M1
P o
d M1M2 ?
M2
Q N
在直角M1 NM 2 及 直 角 M1 PN
中，使用勾股定
y 理知
x
d 2 M1P 2 PN 2 NM 2 2 ,
空间向量及其线性运算(26张PPT)——高中数学人教A版选择性必修第一册
C D
2.已知空间任一点O 和不共线的三点A,B,C, 下列能得到P,A,B,C四点共面的是(B )A.OP=OA+OB+OC
解 析 ：若点P,A,B,C 共面，设OP=xOA+yOB+zOC,则x+y+z=1, 满足条件的只有B, 故选B.
D. 以上都不对
(2)∵M 是AA的中点，
又N 是BC的中点，
回顾一下本节课学习了哪些新知识呢?1.空间向量的概念2.空间向量的运算律3.共线向量和共面向量
小结：
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
2024课件
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
的充要条件是
如图，0是直线1上一点，在直线1上取非零向量a, 则对于直线1上任意一 点P, 由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ,使得
直线的方向向量
OP=λa. 把与向量a 平行的非零向量称为直线l的方向向量.
共面向量如图，如果表示向量a 的有向线段OA 所在的直线OA 与直线1平行或重合，那么称向量α平行于直线l.如果直线OA 平行于平面α或在平面α内，那么称向量a 平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量.a0 Aa 1aa如果两个向量a,b 不共线，那么向量p 与 向 量a,b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y), 使 P=xa+yb.
证明：设 DA=a,DC=b.则DB=DC+CB=b+a,
10.如图，在平行六面体ABCD-A₁B₁CD₁中，设AA M,N,P 分别是AA,BC,C₁D₁的中点，试用a,b,c
=a,AB=b,AD=c,表示以下向量：
2.已知空间任一点O 和不共线的三点A,B,C, 下列能得到P,A,B,C四点共面的是(B )A.OP=OA+OB+OC
解 析 ：若点P,A,B,C 共面，设OP=xOA+yOB+zOC,则x+y+z=1, 满足条件的只有B, 故选B.
D. 以上都不对
(2)∵M 是AA的中点，
又N 是BC的中点，
回顾一下本节课学习了哪些新知识呢?1.空间向量的概念2.空间向量的运算律3.共线向量和共面向量
小结：
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2024课件
同学们再见！
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时间：2024年9月1日
的充要条件是
如图，0是直线1上一点，在直线1上取非零向量a, 则对于直线1上任意一 点P, 由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ,使得
直线的方向向量
OP=λa. 把与向量a 平行的非零向量称为直线l的方向向量.
共面向量如图，如果表示向量a 的有向线段OA 所在的直线OA 与直线1平行或重合，那么称向量α平行于直线l.如果直线OA 平行于平面α或在平面α内，那么称向量a 平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量.a0 Aa 1aa如果两个向量a,b 不共线，那么向量p 与 向 量a,b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y), 使 P=xa+yb.
证明：设 DA=a,DC=b.则DB=DC+CB=b+a,
10.如图，在平行六面体ABCD-A₁B₁CD₁中，设AA M,N,P 分别是AA,BC,C₁D₁的中点，试用a,b,c
=a,AB=b,AD=c,表示以下向量：
空间向量及其线性运算ppt课件
1 OA 2 MN
23
1 OA 2 MA AB BN
23
1 2
OA
2 3
1 2
OA
OB
OA
1 2
BC
1 2
OA
2 3
OB
1 2
OA
1 2
OC OB
1 OA 1 OB 1 OC 633
1 6
a＋
13b＋
1
c3
学习目标
新课讲授
课堂总结
技巧归纳 空间向量加法、减法运算的两个技巧 (1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关 键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接； (2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加法、减法运算 时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移 获得运算结果.
B b A
AQ M
a
O
λa(λ＜0)
PN
λa(λ＞0)
学习目标
新课讲授
课堂总结
运算律的类比（其中λ，μ∈R）：
平面向量
空间向量
交换律
a＋b=b＋a
a＋b=b＋a
结合律 分配律
(a＋b)＋c = a(＋b＋c) ， (a＋b)＋c =a(＋b＋c) ，
λ(μa) = (λμ)a
λ(μa) = (λμ)a
学习目标
新课讲授
课堂总结
利用数乘运算进行向量表示的技巧 (1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用向量的三角形 法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量； (2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质.
学习目标
新课讲授
课堂总结
向量及其线性运算ppt课件
向量的共线 :因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行 又称两向量共线 .
向量的共面 :若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个向量共面 .
第一讲 向量及其线性运算
一、向量的概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系 四、向量线性运算的坐标表示式 五、向量的模、方向角和投影
a∥b
( 为唯一实数)
注 定理1是建立数轴的理论根据
点P
向量OP =xi
实数x 点P的坐标
例1 设M为 ABCD 对角线的交点,
D
C
bM 用a与b表示 MA, MB , MC , MD . A a B
第一讲 向量及其线性运算
一、向量的概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系 四、向量线性运算的坐标表示式 五、向量的模、方向角和投影
B(0, y, z)
C( x,0, z)
o
x P(x,0,0)
M y
Q(0, y,0)
A(x, y,0)
SUCCESS
THANK YOU
2019/5/6
坐标轴和坐标面的坐标 特征:
z
坐标轴 :
x轴
o
y
坐标面 :
x
向量的坐标表示
z
x,y,z轴上的单位向量
C
任意向量
向径
点M的坐标
ko i
1．向量的加法 2．向量的减法 3．向量与数的乘法
运算法则 是一个数
,
与
a
的乘积是一个向量,
记作
a
.
规定
a a
注
则
1 a
a为单位向量,记作 ea
运算律
结合律 分配律
向量的共面 :若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个向量共面 .
第一讲 向量及其线性运算
一、向量的概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系 四、向量线性运算的坐标表示式 五、向量的模、方向角和投影
a∥b
( 为唯一实数)
注 定理1是建立数轴的理论根据
点P
向量OP =xi
实数x 点P的坐标
例1 设M为 ABCD 对角线的交点,
D
C
bM 用a与b表示 MA, MB , MC , MD . A a B
第一讲 向量及其线性运算
一、向量的概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系 四、向量线性运算的坐标表示式 五、向量的模、方向角和投影
B(0, y, z)
C( x,0, z)
o
x P(x,0,0)
M y
Q(0, y,0)
A(x, y,0)
SUCCESS
THANK YOU
2019/5/6
坐标轴和坐标面的坐标 特征:
z
坐标轴 :
x轴
o
y
坐标面 :
x
向量的坐标表示
z
x,y,z轴上的单位向量
C
任意向量
向径
点M的坐标
ko i
1．向量的加法 2．向量的减法 3．向量与数的乘法
运算法则 是一个数
,
与
a
的乘积是一个向量,
记作
a
.
规定
a a
注
则
1 a
a为单位向量,记作 ea
运算律
结合律 分配律
高一数学平面向量的概念及线性运算PPT优秀课件
a＋b＝λLeabharlann a－b)，即(λ－1)a＝(1＋λ)b，
∴ λ－1＝0 1＋λ＝0
，λ 无解，故假设不成立，即 a＋b 与 a－b 不平行，故选 D.
错源二：向量有关概念理解不当
【例2】 如图，由一个正方体的12条棱构成的向量组成了一个集合M，则集合M的元 素个数为________．
错解：正方体共有12条棱，每条棱可以表示两个向量，一共有24个向量．答案是24. 错解分析：方向相同长度相等的向量是相等向量，故AA1―→＝BB1―→＝CC1―→ ＝ DD1―→ ， AB―→ ＝ DC―→ ＝ D1C1―→ ＝ A1B1―→ ， AD―→ ＝ BC―→ ＝ B1C1―→＝A1D1―→.错解的原因是把相等的向量都当成不同的向量了． 正解：12条棱可以分为三组，共可组成6个不同的向量，答案是6. 答案：6
错解分析：错解一，忽视了 a≠0 这一条件．错解二，忽视了 0 与 0 的区别，AB―→＋
BC―→＋CA―→＝0；错解三，忽视了零向量的特殊性，当 a＝0 或 b＝0 时，两个等号同时
成立．
正解：∵向量 a 与 b 不共线，
∴a，b，a＋b 与 a－b 均不为零向量．
若 a＋b 与 a－b 平行，则存在实数 λ，使
∴|AM―→|＝12|AD―→|＝12|BC―→|＝2.故选 C.
【例2】 (2010年安徽师大附中二模)设O在△ABC的内部，且OA―→＋OB―→＋ 2OC―→＝0，则△ABC的面积与△AOC的面积之比为( ) (A)3 (B)4 (C)5 (D)6
解析：由 OC―→＝－12(OA―→＋OB―→)，设 D 为 AB 的中点， 则 OD―→＝12(OA―→＋OB―→)， ∴OD―→＝－OC―→，∴O 为 CD 的中点， ∴S△AOC＝12S△ADC＝14S△ABC，∴SS△△AAOBCC＝4.故选 B.
《向量及其线性运算》课件
详细描述
向量的模是衡量向量大小的量，用符号“| |”表示。向量的模可以通过勾股定理或向量 的点积等公式计算得出。向量的模具有一些基本性质，如非负性、传递性、三角不等式 等。了解向量的模对于解决实际问题非常重要，如物理中的力、速度和加速度等都可以
用向量表示，而向量的模则可以用来衡量这些量的大小。
02
CATALOGUE
向量的线性运算
向量的加法
总结词
向量加法的定义与性质
详细描述
向量加法是向量空间的基本运算之一，其定义基于平行四边形法则。向量加法 满足交换律和结合律，即向量加法不依赖于其运算的顺序。
向量的数乘
总结词
数乘的定义与性质
详细描述
数乘是标量与向量的乘法运算，其结果仍为向量。数乘满足结合律和分配律，即 对于任意实数$k$和向量$vec{a}$，有$k(mvec{a}) = (km)vec{a}$。
总结词
向量积表示一个向量在另一个向 量上的投影面积。
详细描述
向量积的大小等于一个向量在另 一个向量上的投影面积，方向与 两向量的正交角有关，遵循右手 定则。
向量积的运算性质
要点一
总结词
向量积满足交换律和结合律，但不满足数乘分配律。
要点二
详细描述
根据向量的运算性质，我们有$mathbf{A} times mathbf{B} = -mathbf{B} times mathbf{A}$，并且 $(mathbf{A} + mathbf{B}) times mathbf{C} = mathbf{A} times mathbf{C} + mathbf{B} times mathbf{C}$。但是，$lambda(mathbf{A} times mathbf{B}) neq mathbf{A} times lambdamathbf{B}$， 其中$lambda$是标量。
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点时，它们的终点和公共起点应在一条直
线上 .因此，两向量平行又称两向量共线.
向量共面：当把 k(k 3)个向量的起点放在同一 点 时，如果 k 个终点和公共起点在一个平面
上 . 就称这 k 个向量共面.
..。..
5
二、向量的线性运算
1. 向量的加法 平行四边形法则:
b ab
(a b) c
c
bc
（1）结合律：
(
a
)
(
a
)
(
)a
（2）分配律：((ab)a)
a
a
a b
..。..
9
例1. 设 M 为 ABCD 对角线的交点,
试用a 与b 表示 MA, MB , MC , MD.
解: a b AC
2 MA
D
C
b a BD
2 MB
bM
MA
1 2
(
a
b
)
MB
1 2
(
b
a
)
A
a
B
分必要条件是：存在唯一的实数 ，使 b a.
..。..
11
证 充分性显然；
必要性
设 b‖
a
取
b
,
当
b
与
a
同向时
取正值，
a
当
b
与
a
反向时
取负值，
即有
b
a.
此时
b
与
a
同向.
且
a
a
b
a
b.
的唯一性.
设
b
a，又设
b
aa，
两式相减，得
(
)a
0，
即
a
0，
a
0， 故
0，
( ax , ay , az )
,
为实数，则
bz )
平行向量对应坐标成比例:
当 a 0 时,
bx ax by ay
bx by bz ax ay az
bz az
..。..
17
例2.已知两点 在AB直线上求一点 M , 使
及实数 1,
解: 设 M 的坐标为
如图所示
AM MB
MC
1 2
(
a
b
)
MD
1 2
(
b
a
)
..。..
10
设a0表示与非零向量a 同方向的单位向量，
按照向量与数的乘积的规定，
a
|
a
|
a0
a a0 . |a|
上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是 一个与原向量同方向的单位向量.
两个向量的平行关系
定理 设向量 a 0，那么向量 b 平行于 a 的充
,
z1 z2 1
当 1时, 点 M 为 AB 的中点 ,于是得
M B
o
A
中点公式:
B
x1
x2 2
,
y1 2
y2
,
z1 z2 2
M
..。..
19
五、向量的模、方向角、投影
1. 向量的模与两点间的距离公式
设
r
(x,
y , z ),
作 OM
r, 则有
r OM OP OQ OR
由勾股定理得
相等向量：大小相等且方向相同的向量.
a
b
负向量：大小相等但方向相反的向量.
a
a
a
向径： 空间直角坐标系中任一点 M与原点 构成的向量.OM
..。..
4
平行向量： 若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行, 记作 a∥b ;
规定: 零向量与任何向量平行 ; 向量共线：当两个平行向量的起点放在同一
AM OM OA MB OB OM
OM O A (OB OM )
A
M B
o
A
得
OM
1
1
(OA
OB
B
即
1
1
( x1
x2
,
y1
y2
,
z1
z2 )
M
..。..
18
说明: 由
1
1
(x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 )
得定比分点公式:
A
x1 x2 1
,
y1 y2 1
一般地，任给向量 AB 及点 O
AB AO OB OB OA
三角不等式
..。..
a
8
3、向量与数的乘法
设 是一个数，向量a 与 的乘积a 规定为
(1) 0,
a
与a
同向，|
a
|
|
a
|
(2) 0,
a
0
(3) 0,
a
与a
反向，|
a
||
|
|
a
|
a 2a
1 a 2
数与向量的乘积符合下列运算规律：
即
.
..。..
12
三、空间直角坐标系
1. 空间直角坐标系的基本概念
过空间一定点 o 由, 三条互相垂直的数轴按右手规则
组成一个空间直角坐标系.
• 坐标原点
Ⅲ
z z 轴(竖轴)
Ⅱ
• 坐标轴
Ⅳ
• 坐标面
• 卦限(八个) Ⅶ
x
x轴(横轴)
Ⅷ
..。..
yoz面 o xoy面
Ⅴ
Ⅰ
y
y轴(纵轴)
Ⅵ
13
2. 向量的坐标表示 在空间直角坐标系下,任意向量 r 可用向径 OM 表示.
a (b c)
a
三角形法则:
ab b
ab b a
a 运算规律 : 交换律 a b b a
结合律 ( a b ) c a (b c ) a b c
三角形法则可推广到多个向量相加 .
..。..
6
s a1 a2 a3 a4 a5
a4
a5
a3 s
a2 a1
..。..
7
2. 向量的减法
..。..
2
一、向量的概念
M2
向量：既有大小又有方向的量.
向量表示：a 或 M1M2
M1
向量的以模M：1向为量起点 的，大M小.2 为| a终| 或点|的M有1M向2线| 段.
单位向量：模长为1的向量. a0
或
M1 M 20
零向量：模长为0的向量. 0
..。..
3
自由向量：不考虑起点位置的向量.
坐标面上的点 A , B , C
z
R(0,0, z)
B(0, y, z)
C(x, o, z)
r
o
x P(x,0,0)
..。..
M y
Q(0, y,0)
A(x, y,0)
15
z
o
x
坐标面 :
坐标轴 :
y
..。..
16
四、利用坐标作向量的线性运算
设
a
(aax ,ba
a
y , az ), b (bx ,by ,bz ) (ax bx , ay by , az
OM ON NM OA OB OC
r
x
i
y
j
z
k
(
x
,
y
,
z
)
z
C
Q
R
r
此式称为向量 r 的坐标分解式 ,
o
O
xA
M By
N
沿三个坐标轴方向的分向量.
..。..
14
在直角坐标系下
点 M 11 有序数组 (x, y, z) 11 向径 r
(称为点 M 的坐标) 特殊点的坐标 :
原点 O(0,0,0) ; 坐标轴上的点 P, Q , R ;
第八章
空间解析几何与向量代数
第一部分 向量代数 第二部分 空间解析几何
在三维空间中: 空间形式 — 点, 线, 面
数量关系 — 坐标, 方程（组）
基本方法 — 坐标法; 向量法
..。..
1
第一节
第八章
向量及其线性运算
一、向量的概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系 四、利用坐标作向量的线性运算 五、向量的模、方向角、投影
r OM
z R
M
o
Q y
P
x
N
x2 y2 z2
对两点
与
因
得两点间的距离公式z1)2
..。..
20
例3.在 z 轴上求与两点