第2章第8讲 函数与方程
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第8讲函数与方程
基础知识整合
1．函数的零点
(1)函数零点的定义
对于函数y＝f(x)(x∈区间D)，把使□01f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈区间D)的零点．
(2)三个等价关系
方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与□02x轴有交点⇔函数y＝f(x)有□03零点.
(3)函数零点的判定(零点存在性定理)
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有□04 f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间□05(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得□06f(c)＝0，这个□07c也就是方程f(x)＝0的根．
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系
Δ>0Δ＝0Δ<0 二次函数
y＝ax2＋bx＋c
(a>0)的图象
与x轴的交点□08(x1,0)，(x2,0)□09(x1,0)无交点
零点个数□102□111□120
有关函数零点的结论
(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．
(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．
(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．
(4)函数的零点是实数，而不是点，是方程f(x)＝0的实根．
(5)由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0，如图所示，所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)的闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．
1．(2020·云南玉溪一中二调)函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是()
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
答案 B
解析易知函数f(x)＝2x＋3x在定义域上单调递增，且f(－2)＝2－2－6<0，f(－1)＝2－1－3<0，f(0)＝1>0，所以由零点存在性定理得，零点所在的区间是(－1，0)．故选B．
2．(2019·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝2sin x－sin2x在[0,2π]的零点个数为()
A．2 B．3
C．4 D．5
答案 B
解析令f(x)＝0，得2sin x－sin2x＝0，即2sin x－2sin x cos x＝0，∴2sin x(1－cos x)＝0，∴sin x＝0或cos x＝1.又x∈[0,2π]，∴由sin x＝0得x＝0，π或2π，由cos x＝1得x＝0或2π.故函数f(x)的零点为0，π，2π，共3个．故选B．
3．函数f(x)＝2x－2
x
－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是
()
A．(1,3) B．(1,2) C．(0,3) D．(0,2) 答案 C