第一章物体运动的描述

第一章 物体运动的描述

§1.1

描述质点运动状态的物理量

一、位矢和位移

1、 位矢r

—描述质点的位置 （1） 定义：

从坐标原点O 到运动质点P 的有向线段OP 称为质点P 的位矢。

OP r =

（2） 位矢的直角坐表示

j y i x r

+= 当质点运动时：)(t r r

=

)

()()()()(t y y t x x j t y i t x t r ==⇒

+=

（3） 位矢的大小和方向

位矢的大小

22y x r r +=

=

位矢的方向——与X 轴的夹角

x

y tg =

α 2、 位移r

∆——描述质点位置的变化

设t 时刻，质点处于P 点，位矢为)(t r

。经时间t 后于t+Δt 时刻运动到P /

点，位矢为)(t t r ∆+

，则从初位置P 到未位置P /

的有向线段：

)()(t r t t r r

-∆+=∆

叫质点在t t t ∆+→时间内的位移。

讨论：

（1）r

∆与r ∆的区别

r

∆——位移的大小，r ∆——位矢长度的改变量。

（2）位移r

∆与路程S ∆的区别

r ∆是矢量，S ∆是标量，且S r ∆≠∆

当0→t 时，ds r

d =

但，r d dr

≠

二、速度v

——描述质点位置变化的快慢 1、 平均速度v

定义：质点在t t t ∆+→时间内的位移r

∆与时间t ∆的比值，叫质点在

t t t ∆+→内的平均速度。

t

r v ∆∆=

方向：与r

∆同方向

大小：t

r v ∆∆=

讨论：平均速率v 与平均速度大小v

的区别

t

s v ∆∆=

t r v ∆∆= t

r v ∆∆≠

2、 速度v

（1） 定义：

t r v t ∆∆=→∆

lim 0

dt

r d v =

即：速度是位矢对时间的一阶导数。 方向：沿轨迹切线且指各质点前进的方向。

大小：dt r

d v =

讨论：dt

ds

dt r d v == 是否成立？ （2） 在直角坐系下的表示

j v i v j dt

dy i dt dx v y x

+=+=

dt

dy v dt

dx

v y

x ==

大小：2

2y x v v v +=

方向：与与X 轴的夹角

x

y v v tg =

α

三、加速度a

——描述质点速度变化的快慢 1、 平均加速度a

设t 时刻，质点处于P 点，速度为)(t v

。经时间t 后于t+Δt 时刻运动到P /

点，速度为)(t t v ∆+

，则质点在

t t t ∆+→时间内的速度增量：

)()(t v t t v v

-∆+=∆

与时间Δt 的比值，叫质点在t t t ∆+→时间内的平均加速度。

t

v a ∆∆=

大小：t

v a ∆∆=

2、 加速度a

（1） 定义：

t v a t ∆∆=→∆

lim 0

2

2dt r d dt v d a ==

即：加速度是速度对时间的一阶导数，是位矢对时间的二导数。

大小：dt

v d a

=

方向：是0→∆t 时，v

∆的方向，指向曲线凹侧。

（2） 在直角坐标系下的表示

j a i a j dt

dv i dt dv a y x y x

+=+=

dt

dv a dt

dv a y y x

x =

= 大小：2

2y x a a a +=

方向：与与X 轴的夹角

x

y a a tg =

α

四、运动方程和轨迹方程 1、 运动方程

质点的位置与时间的数关系。

)

()()()()(t y y t x x j t y i t x t r ==⇒+=

2、 轨迹方程

质点运动时，其位置坐标间的数关系f （x ，y ）=0。 由

)

()(t y y t x x ==消去t 得轨迹方程f （x ，y ）=0

【例题】 在xy 平面内运动的物体，其运动方程为：

j t R i t Rcoc t r

)sin()()(ωω+= R 、ω为恒量。

求质点的轨迹方程。 【解】 由

)

sin()cos(t R y t R x ωω==消去t 得轨迹方程：22

2R y

x =+

§1.2

直线运动研究

一、 直线运动的分类

=0

匀速直线运动

a 与v 同向——匀加速直线运动

a

=c

匀变速直线运动

a 与v 反向——匀减速直线运动

≠c

非匀变速直线运动

【例】：若物体作匀变速直线运动，其加速度a 为恒量，且t=0时，物体在坐标原点的

速度为v 0。求质点的速度和位置、及a 、v 、x 间的关系。 【解】：（1）求v

由adt dv dt

dv

a =⇒=

at v

v adt dv t

v

v +=⇒=

⎰⎰

（2）求x

由vdt dx dt

dx

v =⇒=

200

00

2

1

)(at t v x dt at v dx t

x

+

=⇒+=

⎰

⎰

（3）求a 、v 、x 间的关系。

由adx vdv dx

dv

v dt dx dx dv dt dv a =⇒===

ax v v adx vdv x

v

v 22

020

+-⇒=

⎰

⎰

二、 运动图线

表示质点在运动过程中，位置、速度随时间的变化关系。 1、 位置——时间图线（x —t 图） （1）速度：由曲线的斜率表示。

（2）平均速度——由曲线中相应割线的斜率表示。 2、 速度——时间图线（v —t 图） （1） 由v —t 图求a

由曲线的斜率求出。