高一数学子集-补集-全集
高一数学必修1-子集、全集、补集-课件
高一数学集合子集、全集、补集要点一子集、真子集[重点]在上一节中，我们用约定的字母标记了一些特殊的集合，在这些特殊的集合中，我们会发现这样一个现象：正整数集中的所有元素都在自然数集中；自然数集中的所有元素都在整数集中；整数集中的所有元素都在有理数集中；有利数集中的所有元素都在实数集中.其实，上述各集合之间是一种集合见得包含关系；可以用子集的概念来表示这种关系.1．子集(1)定义：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素(若a∈A则a∈B)，那么集合A成为集合B的子集，记作A B或B A，读作“集合A包含于集合B”或“集合B包含于集合A” .(2)举例：例如，{4，5} Z，{4，5} Q，Z Q，Q R.A B可以用图1-2-1来表示.(3)理解子集的定义要注意以下四点：①“A是B的子集”的含义是集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，既由x∈A，能推出x ∈B，例如{-1，1} {-1，0，1，2}.②任何一个集合是它本身的子集，即对于任何一个集合A，它的任何一个元素都是属于集合A本身，记作A A.③我们规定，空集是任何集合的子集，即对于任何一个集合A，有 A.④在子集的定义中，不能理解为子集A是B中的“部分元素”所组成的集合.因为若A= ，则A中不含任何元素；若A=B，则A中含有B中的所有元素，但此时都说集合A是集合B的子集.以上②③点告诉我们，在邱某一个集合时，不要漏掉空集和它的本身两种特殊情况.(4)例题：例1设集合A={1，3，a }，B={1，a 2-a +1}，且A B，求a的值.解：∵A B，∴a 2-a +1=3或a 2-a +1=a，由a 2-a +1=3，得a =2或a =-1；由a 2-a +1=a，得a =1.经检验，当a =1时，集合A、B中元素有重复，与集合元素的互异性矛盾，所以符合题意的a的值为-1，2.2．真子集(1)定义：如果A B ，并且A≠B，那么集合A 称为集合B 的真子集，记作A B 或B A ，读作 “A 真包含于B ”或“B 真包含A ”.(2)举例：{1，2} {1，2，3}.(3)理解子集的定义要注意以下四点： ①空集是任何非空集合的真子集.②对于集合A 、B 、C ，如果A B ，B C ，那么A C.③若A B ，则⎩⎪⎨⎪⎧A=B A B 且B A A ≠B A B .④元素与集合的关系是属于于不属于的关系，分别用符号“∈”和“ ”表示；集合 与集合之间的关系是包含于、不包含于、真包含于、相等的关系，分别用符号“ ”“ ” “ ”和“=”.(4)例题：例2 写出集合{a ,b ,c }的所有子集，并指出其中哪些是真子集，哪些是非空真子集. 解：{a ,b ,c }的所有子集是： ，{a }，{b }，{c }，{a ，b }，{a ，c }，{b ，c }，{a ，b ，c }. 其中除了{a ，b ，c }外，其余7个集合都是它的真子集.除了 ，{a ，b ，c }外，其余6个都是它的非空真子集.练习：1．判断下列命题的正误：(1){2，4，6} {2，3，4，5，6}； (2){菱形} {矩形}； (3){x |x 2+1=0} {0}； (4){(0，1)} {0，1}.解题提示： 根据子集的定义，判断所给的两集合中前一个集合的任何一个元素是否都是后一个集合的元素.解：根据子集的定义，(1)显然正确；(2)中只有正方形才既是菱形，也是矩形，其他 的菱形不是矩形；(3)中集合{ x | x 2+1= 0 }是 ，而 是任何集合的子集；(4)中{(0，1)} 是点集，而{0，1}是数集，元素不同，因此正确的是(1)(3)，错误的是(2)(4). 判断两集合之间的子集关系时，主要是看其中一个集合的元素是不是都在另一个集合中. 2．写出集合A ={p ，q ，r ，s }的所有子集.解题提示： 根据集合A 的子集中所含有元素的个数进行分类，分别写出，不要漏掉. 解：集合A 的子集分为5类，即评 点(1) ；(2)含有一个元素的子集：{p }，{q }，{r }，{s }；(3)含有两个元素的子集：{p ，q }，{q ，r }，{r ，s }，{s ，p }，{p ，r }，{q ，s }； (4)含有三个元素的子集有：{p ，q ，r }，{p ，q ，s }，{q ，r ，s }，{p ，r ，s }； (5)含有四个元素的子集有：{p ，q ，r ，s }．综上所述：集合A 的子集有 ，{p }，{q }，{r }，{s }，{p ，q }，{q ，r }，{r ，s }，{s ，p }，{p ，r }，{q ，s }，{p ，q ，r }，{p ，q ，s }，{q ，r ，s }，{p ，r ，s }，{p ，q ，r ，s }，共16个．给定一个含有具体元素的集合，写其子集时，应根据子集所含元素的个数进行分类.以下结论可以帮助检验所写子集数的正确性：若一个集合含有m 个元素，则其子集有2m个，真子集有(2m-1)个，非空真子集有(2m-2)个.3．给出下列命题：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若 A ，则A≠ ．其中正确的序号有____④______．解题提示： 从子集、真子集的概念以及空集的特点入手，逐一进行判断.解析：①错误，空集是任何集合的子集， ；②错误，如空集的子集只有1个；③错误， 不是 的真子集；④正确，∵ 是任何非空集合的真子集.求解与子集、真子集概念有关的题目时，应记住以下结论：(1)空集是任何集合的子 集，即对于任意一个集合A ，有 A.(2)任何一个集合是它本身的子集，即对任何一个集合A ，有A A.4．满足集合{1，2，3} M {1，2，3，4，5}的集合M 的个数是 __2____ ．解题提示： 根据所给关系式，利用{1，2，3}是M 的真子集，且M 真包含于{1，2，3，4，5}的关系判断集合M 中的元素个数.解析：依题意，集合M 中除含有1，2，3外至少含有4，5中的一个元素，又M {1，2，3，4，5}，∴M={1，2，3，4}或{1，2，3，5}．(1)解答此题应首先根据子集与真子集的概念判断出集合M 中含有元素的可能情况，然后根据集合M 中含有元素的多少进行分类讨论，防止遗漏.(2)若{ a 1，a 2，…，a m } A {a 1，a 2，…，a m ，a m+1，…，a n } ，则A 的个数为2n －m.若{ a 1，a 2，…，a m } A {a 1，a 2，…，a m ，a m+1，…，a n }，则A 的个数为2n －m-1. 若{ a 1，a 2，…，a m } A {a 1，a 2，…，a m ，a m+1，…，a n }，则A 的个数为2n －m-2.要点二 补集、全集[重点]评点 评点 评点1．补集设A S ，由S 中不属于A 的所有 元素组成的集合称为S 的子集A 的补集， 记作 S A(读作“A 在S 中的补集”)，即S A={ x | x ∈S ，且x A}.C S A 可用图1-2-2中的阴影部分来表示.2．全集. (1)定义：如果集合S 包含我们所要研究的各个集合，这时S 可以看做一个全集，全集通常记作U. (2)举例：例如，在实数范围内讨论集合时，R 便可看做一个全集U ，在自然数范围内讨论集合时，N 便可看做一个全集U.3．理解补集、全集要注意以下两点：(1)对全集概念的理解：全集是相对于所研究的问题而言的一个相对概念，它含有与所研究的问题有关的各个集合的全部元素，因此，全集因研究问题而异.例如在研究数集时，常常把实数集R 看做全集；在立体几何中，三维空间是全集，这是平面是全集的一个子集；而在平面几何中，整个平面可以看做一个全集.(2)求子集A 在全集U 中的补集的方法：从全集U 中去掉所有属于A 的元素，剩下的元素组成的集合即为A 在U 中的补集.如已知U= a ，b ，c ，d ，e ，f ，A= b ，f ，求C U A.该题中显然A U ，从U 中除去子集A 的元素b 、f ，乘下的a 、c 、d 、e 组成的集合即为 U A= a ，c ，d ，e .另外，原题若是无限集，在实数范围内求补集，我们则可以充分利用数轴的直观性来求解.如已知U=R ，A= x x > 3 ，求 U A.用数轴表示如图1-2-3，可知 U A= x x > 3 .4．例题例2 不等式组⎩⎨⎧2x -1>0，3x -6≤0的解集为A ，U=R .试求A 及C U A ，并把它们分别表示在数轴上.解：A= x 2 x -1 > 0且3 x –6 ≤ 0 =122<xx ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭，在数轴上表示如图1-2-4(1). C U A=1,22x x x ⎧⎫≤>⎨⎬⎩⎭或，在数轴上表示如图1-2-4(2).练习5．已知全集U=R ，集合A={ x |1< x ≤6}，求C U A.解题提示： 在数轴上标出集合A ，结合补集的定义求解.解：根据补集的定义，在实数集R 中，由所有不属于A 的实数组成的集合，就是C U A ，如图1-2-5，122122结合数轴可知，C U A={ x |1< x ≤6}.涉足与数集有关的补集，求解时一般要利用数轴只管求解，求解时要注意端点值的取舍. 6．已知全集U={不大于5的自然数}，A={0，1}，B={x |x ∈A ，且x <1}，C={x |x -1 A ，且x ∈U}. (1)判断A 、B 的关系； (2)求C U B 、C U C ，并判断其关系.解题提示： 根据题意，先写出全集U ，按所给集合B 、C 的含义，写出B 、C ，并求其补集后求解第(2)题.解：由题意知U={0，1，2，3，4，5}，B={0}，又集合C 中的元素必须满足以下两 个条件：x ∈U ，x -1 A.若x =0，此时0-1=-1 A ，∴0是C 中的元素； 若x =1，此时1-1=0∈A ，∴1不是C 中的元素； 若x =2，此时2-1=1∈A ，∴2不是C 中的元素；同理可知3，4，5是集合C 中的元素，∴C={0，3，4，5}. (1)∵A={0，1}，B={0}，∴B A ；(2)C U B={1，2，3，4，5}，C U C={1，2}，∴C U C C U B.若给定具体的数的集合，判断其两个子集的补集之间的关系时，应先求集合的补集. 7．设全集U={1，2，x 2-2}，A={1，x }，求C U A.解题提示： 要求C U A ，必须先确定集合A ，实际上就是确定x 的值，从而需要分类讨论. 解：由条件知A U ，∴x ∈U={1，2，x 2-2}，又x ≠1，∴x =2或x = x 2-2. 若x =2，则x 2-2=2，此时U={1，2，2}，这是与互异性矛盾，舍去. 由x =x 2-2得x 2-x -2=0，解得x =-1或x =2(舍去). 此时U={-1，1，2}，A={1，-1}，∴C U A={2}.求解此题首先确定参数x 的值，然后确定出U 和A 的具体结果.在求解集合问题时必须密切关注集合元素的特征，并且特别注意互异性，以免产生增根.8．已知A={x |x <5}，B={x |x <a }，分别求满足下列条件的a 的取值范围：(1)B A ；(2)A B. 解题提示： 紧扣子集、全集、补集的定义，利用数轴，数形结合求出a 范围. 解：(1)因为B A ，B 是A 的子集，如图1-2-6(1)，故a ≤5.评点 评点 A Ba5x(2)ABa5x(1)(2)因为A B ，B 是A 的子集，如图1-2-6(2)，故a ≥5．9．已知M={x |x = a 2+1，a ∈N *}，P={ y | y =b 2- 6b +10，b ∈N}，判断集合M 与P 之间的关系. 解法一：集合P 中，y =b 2-6b +10=(b -3)2+1当b =4，5，6，…时，与集合M 中a =1，2，3，…时的值相同，而当b =3时，y =1∈P ，1 M ，∴M P. 解法二：对任意的x 0∈M ，有x 0=a 2 0+1=(a 0+3)2-6(a 0+3)+10∈P(∵a 0∈N *，∴a 0+3∈ N)，∴M P ，又b =3时，y =1，∴1∈P.而1<1+ a 2 0+1=(a 0∈N *)，∴1 M ，从而M P.10．已知全集U ，集合A={1，3，5，7，9}，C U A={2，4，6，8}，C U B={1，4，6，8，9}，求集合 B.解题提示： 求集合B ，需根据题意先求全集U ，由于集合A 及C U A 已知，因此可用Venn 图来表示所给集合，将A 及C U A 填入即可得U解：借助Veen 图，如图1-2-7.由题意知U={1，2，3，4，5，6，7，8，9}. ∵C U B={1，4，6，8，9} ∴B={2，3，5，7}.求本题中的全集，用Veen 较直观，本题的求解实际上应用了补集的性质C U (C U B)=B.例7 已知A={ x | x <-1或x > 5 }，B={ x ∈R | a < x <a + 4 }，若A B ，求实数a 的取值范围.解题提示： 注意到B≠ ，将A 在数轴上保释出来，再将B 在数轴上表示出来，使得A B ，即可得a 的取值范围.解：如图-2-6，∵A B ，∴a + 4 ≤-1或a ≥5，∴a ≤-5或a ≥5.本题利用数轴处理一些实数集之间的关系，以形助数直观、形象，体现了数形结合的思想，这在以后的学习中会经常用到，但一定要检验端点值是否能取到，此题的易错点是各端点的取值情况,例8 设{}{}2A=8150B=10,x x x x ax -+=-=，若B A ，求实数a 的值.解题提示： 集合B 是方程ax -1=0的解集，该方程不一定是一次方程，当a =0时，B= ，此时符方法一 数形结合思想 A 1-4a +aBA4a +aB5AA51-评点 方法二 分类讨论思想U A1 3，，5 7 9，，2468评点。
子集,全集和补集
第二课 子集 全集 补集一.概念（1）子集：一般地，对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何．．一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 包含于集合B ，或集合B 包含集合A 记作:A B B A ⊇⊆或 ，A ⊂B 或B ⊃A ， 当集合A 不包含于集合B ，或集合B 不包含集合A 时，则记作A ⊆/B 或B ⊇/A（2）集合相等：一般地，对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何．．一个元素都是集合B 的元素，同时集合B 的任何．．一个元素都是集合A 的元素，我们就说集合A 等于集合B ，记作A=B（3）真子集：对于两个集合A 与B ，如果B A ⊆，并且B A ≠，我们就说集合A 是集合B 的真子集，记作：A B 或B A, 读作A 真包含于B 或B 真包含A（4）子集与真子集符号的方向不同与同义；与B A B A A B B A ⊇⊆⊇⊆（5）空集是任何集合的子集Φ⊆A 空集是任何非空集合的真子集ΦA 若A ≠Φ，则Φ A 任何一个集合是它本身的子集A A ⊆ （6）易混符号①“∈”与“⊆”：元素与集合之间是属于关系；集合与集合之间是包含关,,1,1R N N N ⊆∉-∈Φ⊆R ，{1}⊆{1，2，3}②{0}与Φ：{0}是含有一个元素0的集合，Φ是不含任何元素的集合（7） 补集：一般地，设S 是一个集合，A 是S 的一个子集（即S A ⊆），由S 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做S 中子集A的补集（或余集），记作A C S ，即C S A=},|{A x S x x ∉∈且（8）、性质：C S （C S A ）=A ，C S S=φ，C S φ=S（9）、全集：如果集合S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，全集通常用U 表示二、讲解范例：例1（1） 写出N ，Z ，Q ，R 的包含关系，并用文氏图表示 （2） 判断下列写法是否正确 ①Φ⊆A ②Φ A ③A A ⊆ ④A A例2 （1）填空：N___Z, N___Q, R___Z, R___Q ， Φ___{0}（2）若A={x∈R|x2-3x-4=0},B={x∈Z||x|<10},则A⊆B正确吗？⊆A，为什么？（3）是否对任意一个集合A，都有A（4）集合{a,b}的子集有那些？（5）高一（1）班同学组成的集合A，高一年级同学组成的集合B，则A、B的关系为. 例3 解不等式x+3<2，并把结果用集合表示出来.例4（1）若S={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，求C S A（2）若A={0}，求证：C N A=N*（3）求证：C R Q是无理数集A例5已知全集U＝R，集合A＝｛x｜1≤2x＋1＜9｝，求CU例6 已知S＝｛x｜－1≤x＋2＜8｝，A＝｛x｜－2＜1－x≤1｝，B＝｛x｜5＜2x－1＜11｝，讨论A与CB的关系S三、练习：1.写出集合{1，2，3}的所有子集1、已知全集U＝｛x｜－1＜x＜9｝，A＝｛x｜1＜x＜a｝，若A≠φ，则a的取值范围是（）（A）a＜9（B）a≤9（C）a≥9（D）1＜a≤92、已知全集U，A是U的子集，φ是空集，B＝C U A，求C U B，C Uφ，C U U3、设U=｛梯形｝,A=｛等腰梯形｝,求C U A.4、已知U=R，A=｛x|x2+3x+2<0｝, 求C U A.5、集合Ｕ=｛（x ，y ）|x ∈｛1,2｝,y ∈｛1,2｝｝ , Ａ=｛（x ，y ）|x ∈N*,y ∈N*,x+y=3｝，求C U A .6、设全集U （U ≠Φ），已知集合M ，N ，P ，且M=C U N ，N=C U P ，则M 与P 的关系是（ ）(A)M=C U P ， （B ）M=P ， （C ）M ⊇P ， （D ）M ⊆P .7、设全集U={2,3,322-+a a },A={b,2},A C U ={2b},求实数a 和b 的值.8、⑴写出集合{}1,2的所有子集：⑵写出集合{},,a b c 的所有真子集． (3)猜想若集合A 的元素有n 个，则A 的子集个数为多少？9、给出下面四个关系：①{}10,1,2∈；②{}{}10,1,2∈；③{}{}0,1,20,1,2⊆； ④{}0,1,2⊂∅≠；⑤{}{}2,0,10,1,2=，其中错误关系的序号是 。
高一数学全集与补集知识点
高一数学全集与补集知识点在高一数学中，全集与补集是重要的概念。
全集指的是特定问题所涉及的全部元素的集合，而补集则是全集中不属于某个子集合的元素的集合。
接下来，我们将详细介绍高一数学中的全集和补集的相关知识点。
1. 全集（Universal Set）全集是指一个问题所涉及的全部元素的集合，通常用大写字母U表示。
全集可以是有穷集合，也可以是无穷集合。
在解决问题时，我们需要明确全集，以确保所有的元素都能被考虑到。
2. 子集（Subset）子集是指全集中的一部分元素构成的集合。
如果集合A的所有元素都是集合B的元素，那么集合A是集合B的子集，用A⊆B 表示。
特别地，由于任何集合的元素都是它本身的子集，所以对于任意集合A而言，A⊆A恒成立。
3. 补集（Complement）补集是指在全集中不属于某个集合的元素构成的集合。
假设全集为U，集合A是U的子集，那么A在U中的补集，也称为相对补集，用A'表示。
可以将补集理解为“除了集合A中的元素，全集中的其他元素”。
4. 补集的性质- A∪A' = U，即集合A与其补集的并集等于全集U。
由于补集包含了全集中不属于A的元素，所以并集结果就是全集。
- A∩A' = φ，即集合A与其补集的交集等于空集φ。
由于补集包含了全集中不属于A的元素，所以交集结果为空集。
- (A')' = A，即A的补集的补集等于A本身。
即补集两次取反即可恢复为原集合。
- A⊆B当且仅当B'⊆A'，即集合A是集合B的子集，当且仅当集合B的补集是集合A的补集。
这个性质可以通过对两个集合同时取补集来证明。
5. 补集的运算规律- De Morgan律是指关于补集的两个重要运算规律：- (A∪B)' = A'∩B'，即集合A和B的并集的补集等于集合A的补集和集合B的补集的交集。
- (A∩B)' = A'∪B'，即集合A和B的交集的补集等于集合A的补集和集合B的补集的并集。
子集、全集、补集
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规定：任何一个集合是它本身的子集. 如A={11，22，33}，B={20，21，31}，
那么有A A，B B.
例如：A={正方形}，B={四边形}，C={多边形}， 则从中可以看出什么规律：
AB，B C， A C
从上可以看到，包含关系具有“传递性”.
新课讲授
真子集的定义：
如果A B，并且 A ≠B，则集合A是集合B 的真子集.
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问题：集合与集合之间的关系如何建立？
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高一数学集合与子集、全集、补集人教版知识精讲
高一数学集合与子集、全集、补集人教版【同步教育信息】一. 本周教学内容集合与子集、全集、补集二. 教学目标1. 理解集合的概念，知道常用数集及其记法；2. 了解“属于”关系的意义；3. 了解有限集、无限集、空集的意义；4. 了解集合的包含、相等关系的意义；5. 理解子集、真子集、补集的概念以及全集的意义。
三. 重点和难点本讲重点是集合的基本概念与表示方法，子集与补集的概念。
难点是集合的两种常用表示方法即列举法与描述法的运用以及弄清元素与子集、属于与包含之间的区别与联系。
【例题讲解】[例1] 下列条件能够确定一个集合的是（ ）A. 比较小的正数的全体B. 由太阳、风、水、火组成的整体C. 充分接近2的实数全体D. 高一年级中身材较高的同学组成的整体 解：此题正确选项应为B 。
集合是由某些指定的对象集在一起而构成的。
它是一个原始的数学概念，我们只能给出它的一个描述性的定义。
集合具有三个重要性质，即集合中的元素具有确定性、互异性和无序性，这三个性质也称为集合的三要性。
根据集合的概念，集合中的元素的形式是没有限制的，即使元素之间没有关联，也可以形成一个集合，如选项B 。
集合的要点是它的元素必须是确定的，即任何一对象要么是某给定集合的元素，要么不是其元素，二者必居其一。
选项A 、C 、D 不能构成集合的原因是整体中的对象不明确，不满足集合中的元素的确定性原则。
[例2] 已知集合{}y x y x x A -⋅=,,与集合{}y x B ,,0=表示同一集合，求x 、y 的值。
解：（1）若0=x ，则{}y A -=,0,0，这与集合中元素的互异性矛盾，故0≠x 。
（2）若0=⋅y x ，由0≠x ，则0=y ，此时，{}0,,0x B =，与互异性矛盾，故0≠y 。
（3）若0=-y x ，则y x =，此时{}0,,2x x A =，{}x x B ,,0=故x x =2，解得1±=x 。
1.2 子集、全集、补集ppt课件
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分析：主要考查两集合之间的关系的判断能力． 解析：A＝{(x，y)|y＝x－1(x≠－1)}． 即集合A的元素是直线y＝x－1上去掉了点(－1，－2)后剩余的 所有点，而集合B的元素是直线y＝x－1(x∈R)图象上所有的点，显 然有A⊆B，而集合A≠B，故有A B，即A是B的真子集．
栏 目 链 (3)补集的几个特殊性质：A∪∁SA＝S，∁SS＝∅，∁S∅＝S，∁S(∁SA) 接
90° 的菱形}；当S＝{矩形}时，∁SA＝{邻边不相等的矩形}．
＝A.
三、重要结论 (1)空集是任何集合的子集． (2)空集是任何非空集合的真子集． (3)任何一个集合都是它自身的子集．
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5．若A是全集U的子集，由U中不属于A的元素构成的集 合 ， 叫 做 A 在 U 中 的 补 集 ， 记作 ∁ UA ，即 ∁ UA ＝ {x|x∈U ， 且 x∉A}． {1,3} 例1：若U＝{1,2,3,4,5}，A＝{2,4,5}，则∁UA＝_________.
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(1)当a＝0时，若A⊆B，此种情况不存在．
2>－1， a 2 当a<0时，若A⊆B，则 1 －a≤2
⇒a<－4.
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－1≥－1， a 2 当a>0时，若A⊆B，则 2 a≤2
⇒a≥2.
综上可知：此时a的取值范围是{a|a＜－4或a≥2}．
(2)当a＝0时，显然B⊆A.
1．如果集合 A中的每一个元素都是集合 B中的元素，那
么集合A叫做集合B的子集，记作A⊆B或B⊇A.
例 如 ： A ＝ {0,1,2} ， B ＝ {0,1,2,3} ， 则 A 、 B 的 关 系 是
第1章-1.2-子集、全集、补集高中数学必修第一册苏教版
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= {⋯ , , ,1, , , ,⋯ },易知集合A中任一元素均为B中的元素,但B中的有些元素不在
集合A中，故 ⫋ .
2
1
4
（特征法） 集合A中的元素为 = + =
=
4
1
+
2
=
+2
4
2+1
(
4
∈ ),集合B中的元素为
∈ ,而2 + 1 ∈ 为奇数, + 2 ∈ 为整数,故 ⫋ .
知识点4 有限集合的子集、真子集个数
例4-10 (2024·广东省深圳中学月考)若集合满足 ⫋ {1，2}，则的个数为( B
A.2
B.3
C.4
D.5
【解析】集合满足 ⫋ {1，2}，集合{1，2}的元素个数为2，则的个数为
22 − 1 = 3．
)
例4-11 (2024·河南模拟)已知集合 = { ∈ | − 2 < < 3}，则集合的所有非空真
第1章 集合
1.2 子集、全集、补集
教材帮丨必备知识解读
知识点1 子集、真子集
例1-1 能正确表示集合 = { ∈ |0 ≤ ≤ 2}和集合 = { ∈ | 2 − = 0}关系的
Venn图为( B
A.
)
B.
C.
D.
பைடு நூலகம்
【解析】由2 − = 0得 = 1或 = 0，所以 = {0,1}，故 ⫋ .结合选项可知,B正确.
【解析】因为 2 − 5 + 6 = 0的两根为2,3，故A正确；
因为⌀ 是任何集合的子集，故B正确；
集合的运算(全集、补集)-沪教版必修1教案
集合的运算(全集、补集)-沪教版必修1教案篇一：高中数学《子集、全集、补集》教案(1)子集、全集、补集教学目标：理解子集、真子集概念，会判断和证明两个集合包含关系，会判断简单集合的相等关系.教学重点：子集的概念，真子集的概念.教学难点：元素与子集，属于与包含间的区别；描述法给定集合的运算.课型：新授课教学手段：讲、议结合法教学过程：一、创设情境在研究数的时候，通常都要考虑数与数之间的相等与不相等（大于或小于）关系，而对于集二、活动尝试12．用列举法表示下列集合：①{x|x3?2x2?x?2?0} {-1，1，2}②数字和为5的两位数} {14，23，32，41，50}11111{1,,,,{x|x?,n?N*且n?5}n3．用描述法表示集合：23454．用列举法表示：“与2相差3的所有整数所组成的集合”{x?Z||x?2|?3}={-1，5}5．问题：观察下列两组集合，说出集合A与集合B的关系（共性）（1）A={-1，1}，B={-1，0，1，2}（2）A=N，B=R（3）A={xx为北京人}，B= {xx为中国人}(4)A＝?，B＝{0}（集合A中的任何一个元素都是集合B的元素）三、师生探究通过观察上述集合间具有如下特殊性(1)集合A的元素-1，1同时是集合B的元素.(2)集合A中所有元素，都是集合B的元素.(3)集合A中所有元素都是集合B的元素.(4)A中没有元素，而B中含有一个元素0，自然A中“元素”也是B中元素. 由上述特殊性可得其一般性，即集合A都是集合B的一部分.从而有下述结论.四、数学理论1.子集定义：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A.记作A?B（或B?A），这时我们也说集合A是集合B的子集.请同学们各自举两个例子，互相交换看法，验证所举例子是否符合定义.2．真子集：对于两个集合A与B，如果A?B，并且A?B，我们就说集合A是集合B的真子集，记作：A或B读作A真包含于B或B真包含这应理解为：若A?B，且存在b∈B，但b?A，称A是B的真子集. 3．当集合A不包含于集合B，或集合B 不包含集合A时，则记作AB（或BA）.如：A＝{2，4}，B＝{3，5，7}，则AB.4．说明（1?A（2若A≠Φ，则Φ（3A?A（4）易混符号①“?”与“?”：元素与集合之间是属于关系；1?N,?1?N,N?R,Φ?R，{1}?{1，2，3}②{0}与Φ：{0}是含有一个元素0的集合，Φ如Φ?Φ={0}，Φ∈{0}五、巩固运用例1（1）写出N，Z，Q，R（2）判断下列写法是否正确①Φ?A ②Φ③A?A ④A 解（1）：N?Z?Q?R（2）①正确；②错误，因为A可能是空集；③正确；④错误；思考1：A?B与B?A能否同时成立？结论：如果A?B，同时B?A，那么A＝B.如：{a，b，c，d}与{b，c，d，a}相等；{2，3，4}与{3，4，2}相等；{2，3}与{3，2}相等. 问：A＝{x｜x＝2m＋1，m∈Z}，B＝{x｜x＝2n－1，n∈Z}.（A=B）稍微复杂的式子特别是用描述法给出的要认真分辨.思考2：若AB，BC，则AC？真子集关系也具有传递性若AB，BC，则AC.例2写出{a、b}的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集.分析：寻求子集、真子集主要依据是定义.解：依定义：{a，b}的所有子集是?、{a}、{b}、{a，b}，其中真子集有?、{a}、{b}. 变式：写出集合{1，2，3}的所有子集解：Φ、{1}、{2}、{3}、{1，2}、{1，3}、{2，3}、{1，2，3}猜想：(1)集合{a,b,c,d}的所有子集的个数是多少？(2?16)（2）集合4?a1,a2?,an?的所有子集的个数是多少？(2n)注：如果一个集合的元素有n个，那么这个集合的子集有2n个，真子集有2n －1个.六、回顾反思1．概念：子集、集合相等、真子集2．性质：（1?A（2（A≠Φ）（3A?A（4）含n个元素的集合的子集数为2；非空子集数为2?1；真子集数为2?1；非空真子集数为2?nnnn七、课外练习1．下列各题中，指出关系式A?B、A?B、AB、AB、A＝B中哪些成立：(1)A＝{1，3，5，7}，B＝{3，5，7}.解：因B中每一个元素都是A的元素，而A中每一个元素不一定都是B的元素，故A?B及AB成立.(2)A＝{1，2，4，8}，B＝{x｜x是8的约数}.解：因x是8的约数，则x：1，2，4，8那么集合A的元素都是集合B的元素，集合B的元素也都是集合A的元素，故A＝B. 式子A?B、A?B、A＝B成立.2．判断下列式子是否正确，并说明理由.(1)2?{x｜x≤10}解：不正确.因数2不是集合，也就不会是{x｜x≤10}的子集.(2)2∈{x｜x≤10}解：正确.因数2是集合{x｜x≤10}中数.故可用“∈”.(3){2}{x｜x≤10}解：正确.因{2}是{x｜x≤10}的真子集.(4) ?∈{x｜x≤10}解：不正确.因为?是集合，不是集合{x｜x≤10}的元素.(5) ?{x｜x≤10}解：不正确.因为?是任何非空集合的真子集.(6) ?{x｜x≤10}解：正确.因为?是任何非空集合的真子集.(7){4，5，6，7}{2，3，5，7，11}解：正确.因为{4，5，6，7}中4，6不是{2，3，5，7，11}的元素.(8){4，5，6，7}{2，3，5，7，11}解：正确.因为{4，5，6，7}中不含{2，3，5，7，11}中的2，3，11.3．设集合A={四边形}，B={平行四边形}，C={矩形} D={正方形}，试用Venn 图表示它们之间的关系。
高一数学《子集、全集、补集 》教案模板
高一数学《子集、全集、补集》教案模板一、教学目标1.了解集合、子集、全集、真子集、空集、补集等概念，并能够应用到实际问题中；2.掌握求解集合的并、交、差、对称差等操作及其运算规律；3.能够用Venn图表示集合关系，读懂文本或图示中的集合关系，并能够进行简单的逻辑推理。
二、教学重点1.子集、全集、真子集、空集等集合概念的区分与应用；2.集合并、交、差、对称差的概念及运算规律。
三、教学难点1.子集、真子集的抽象概念的理解与应用；2.布尔代数与集合运算的关系的理解。
四、教学程序1.集合概念引入（5分钟）–通过生活中的例子引入集合的概念，并解释集合的形式化定义；–引入子集、全集、真子集和空集等概念。
2.集合的运算及其规律（20分钟）–引导学生理解集合的运算，如集合的并、交、差、对称差，并详细解释每种运算；–利用生活实例和平面图形进行集合运算练习；–讨论每种集合运算的交换律、结合律、分配律等运算规律。
3.集合概念实例演示与分组活动（25分钟）–引导学生参与实例分析，通过文本或图示分析集合关系，并进行简单的逻辑推理；–利用分组活动引导学生自主运用所学知识，进行集合的分类识别，并进行交、并、补集等运算。
4.Venn图表示集合关系（20分钟）–引导学生了解Venn图的原理及其应用；–利用Venn图分析实际问题，探究Venn图的意义，并讨论如何利用Venn图进行简单逻辑推理；–利用Venn图的组合表示运用集合关系的复合逻辑推理。
5.练习巩固（20分钟）–针对所学知识设计综合练习题目；–让学生独立完成作业，并评估学生的掌握情况。
五、教学反思1.本课以集合、子集、全集、补集等概念为主线，通过讲解运算法则、举例分析、Venn图实践等方式让学生从多个角度理解和应用知识，有利于培养学生的逻辑思考能力和综合运用能力。
2.本课采用分组活动和Venn图演示等形式，将抽象的数学概念和实际问题进行关联，提高了学生的学习兴趣和参与度。
高一数学子集、全集、补集课件
例1
(1)写出集合{a,b}的所有子集; (2)写出集合{a,b,c}的所有子集; (3)写出集合{a}的所有子集; (4)写出∅的所有子集.
请归纳出规律来!
总结：元素个数与集合子集个数的关系:
集合
集合元素的个数 集合子集个数
∅
0
1
{a}
1
2
{a,b}
2
4
{a,b,c}
3
8
{a,b,c,d}
4
16
全集通常用U表示
2、补集的一些简单性质:
(1) CU U
(2) CU U
(3) CU ( CU A) A
3、例题：
1、已知全集U - 1，0，1，2，3，
集合M＝x | x为不大于3 的自然数，则CU M＝
2、已知A 0，2，4，6，CS A＝- 1，- 3，1，3, CSB - 1,0,2,用列举法写出集合B.
注:图示法表示集合间的包含关系
A⊆B的图形语言：
用平面上封闭的 曲线的内部表示 集合这个图形叫 文氏图(韦恩图)
A B
2：集合相等
一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何 一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一 个元素都是集合A的元素，就说集合A等于集合B
记作：A=B
数学语言素
2n
真子集个数，非空真子集个数呢？
例2、集合A中有m个元素，若A中增加一个元素， 则它子集的个数将增加 个
例3、同时满足：（1）M 1，2，3，4，5；（2）a M,则
6 - a M 的非空集合M有（ ）
A.16个 B.15个
C.7 个
D.6个
例4：写出不等式x-3>2的解集并进行化简。 解：不等式x-3>2的解集是 {x|x-3>2}={x|x>5}
高一数学教案1.2子集、全集、补集
1.2子集、全集、补集教学目的：通过本小节的学习，使学生达到以下要求： (1)了解集合的包含、相等关系的意义； (2)理解子集、真子集的概念； (3)理解补集的概念；(4)了解全集的意义．教学重点与难点：本小节的重点是子集、补集的概念，难点是弄清元素与子集、属于与包含之间的区别。
教学过程:第一课时一提出问题:现在开始研究集合与集合之间的关系.存在着两种关系:“包含”与“相等”两种关系. 二“包含”关系—子集1. 实例: a={1,2,3}b={1,2,3,4,5} 引导观察. 结论: 对于两个集合a和b,如果集合a的任何一个元素都是集合b的元素,则说:集合a包含于集合b,或集合b包含集合a,记作aíb (或bêa)也说: 集合a是集合b的子集.2. 反之: 集合a不包含于集合b,或集合b不包含集合a,记作a?b (或b?a) 注意: í也可写成ì；ê也可写成é；í也可写成ì；ê也可写成é。
3. 规定: 空集是任何集合的子集. φía 三“相等”关系1. 实例：设a={x|x2-1=0} b={-1,1} “元素相同”结论：对于两个集合a与b，如果集合a 的任何一个元素都是集合b的元素，同时,集合b的任何一个元素都是集合a的元素，我们就说集合a等于集合b，即： a=b2. ①任何一个集合是它本身的子集。
aía②真子集：如果aíb ,且a1 b那就说集合a是集合b的真子集，记作③空集是任何非空集合的真子集。
④如果 aíb, bíc ,那么 aíc 证明：设x是a的任一元素，则 x?a aíb, x?b 又 bíc x?c 从而 aíc 同样；如果 aíb, bíc ,那么 aíc⑤如果aíb 同时 bía 那么a=b 四例题：例一写出集合{a,b}的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集.例二解不等式x-3>2,并把结果用集合表示出来. 练习 p9 例三已知，问集合m与集合p之间的关系是怎样的？例四已知集合m满足五小结：子集、真子集的概念，等集的概念及其符号几个性质： aíaaíb, bíc taícaíb bíat a=b 作业：p10 习题1.2 1,2,3。
高中数学必修一子集、全集、补集知识点和练习.docx
子集、全集、补集［预习自测］集合的运算运算类型交集并集补集定由所有属于A且属于由所有属于集合A或设S是一个集合，A是S 义B的元素所组成的集属于集合B的元素所的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做A,B的交组成的集合，叫做A,B 合，叫做S中子集A的补集•记作AQB （读作的并集.记作：AUB 集（或余集）'A 交B，),即AQB= （读作'A并B，）,记作C/,即{ X I X€ A,且XG B}・即AUB ={x|xeA,或xeB}).CsA 二{x|xwS,山纟A}韦(/I D) 恩C A C A图\/示 F. 1图2性AQA=A AUA二A (CuA) n (C U B)Ap e二e AU e二A二C u (AUB)质ARB^BAA AUB 二BUA (C U A) U (C U B)AABcA AUBo A =C u (A n B)AABcB AUBoB AU (GA)二UAA (GA)二 e.例1.判断以下关系是否正确：（1）｛。
匕何；（刀｛1，2,3｝ = ｛3,2,1｝；（3）0/°｝；⑷0e｛0｝；⑸0屮｝；⑹0珂0｝；例2.设A = gTv兀＜3,"Z｝,写出A的所有子集.例3.已知集合M={d,Q + d,d + 2d}, N = \a,aq,aq‘ ,其中心。
且M = N ,求§和d的值(用d 表示)•例4.设全集”={2,3,° +2d-3},人={|2°-1|,2}C〃A = {5},求实数G的值.例5.已知 A = {g<3},B = {gs}.⑴若B Q A，求Q的取值范围；⑵若AgB，求d的取值范围；⑶若c討吳C』，求d的取值范围.［课内练习］下列关系中正确的个数为( )①oe {0),②eQ{0},③{0, 1}^{ (0, 1) },④殳(a, b) } = { (b, a) }A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 42. 集合松，4,6,8}的真子集的个数是( )(A) 16 (B)15 (014 (D) 133. 集合人=｛正方形｝, 〃 = ｛矩形｝, C 二｛平行四边形｝, 0 = ｛梯丿切，则下面包含关系中不正确 的是( )(A) A ^B⑻ BuC(c) C Q D①)A U C4. 已知 M 二｛x| —2WxW5｝, N 二｛x| a+1WxW2a —1｝・ (I )若M^N,求实数a 的取值范圉； (II )若M — N,求实数a 的取值范围.［巩固提高］1.四个关系式：①0u ｛O ｝；②o*｛O ｝；③0w ｛O ｝；④0 = ｛0｝.其中表述正确的是［］ A.①,②B.①，③C. ①，④D.②，④ 2・若 U 二｛x | x 是三角形｝, p={X 1x 是直角三角形｝,则CuP = ------------------------- []A. ｛x x 是直角三角形｝B. {x | X 是锐角三角形｝C. ｛x | x 是钝角三角形｝D. {x | X 是锐角三角形或钝角三角形｝ 3.下列四个命题：①0 = ｛°｝；②空集没有子集；③任何一个集合必有两个子集；④空集是任 何一个 集 合 的 子 集5. 若5尺，A = {g )»x}, 3-{(讪；-1},则 A,B 的关系是—[] A ・兔人 B 聂B ・A BC. A = BD.6 •设 A 二何X <5K N},B={X I 1< x <6/旳，则 C 』A. 0个B. 1个 C ・2个4・ 满足关昊{1,2} G A------------------------ [1A ・5B. 6 C・7D. 3个｛1,2,3,4,*的集合A 的个数是D. 87. U二{x | /—8x + 15 = 0,xw/?},则u 的所有子集是8.已知集合A=UI GVXV5},B = {x\x^2}且满足AcB，求实数a的取值范围.9.已知集合p 二{x | F+ —6 $ 二{x | Q + 1 =若SUP,求实数Q的取值集合.1 0.已知M 二{x | x>°，兀丘尺}, N 二{x | x> ⑦ xwR}(1) 若M匚N ,求a得取值范围：(2) 若心N ,求。
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读作：集合Ａ包含于集合Ｂ或？
注 ：若 A B且B A，则称集合A与集合B相等。 记为A B（也即A中的元素与B中的元素相同）
A B
A B
A B
A B
注：A A， Ａ，ＡＢ．ＢＣＡＣ
真子集：若Ａ是Ｂ的子集且集合Ａ与Ｂ
不相等，称Ａ是Ｂ的真子集
记作：ＡＢ或Ｂ Ａ读作：Ａ真包含与 Ｂ或Ｂ真包含Ａ
淘客 淘客
例２：不等式组 ２ ３ｘ ｘ － －１ ６ ＞００的解集为Ａ，Ｕ＝ Ｒ，试求Ａ及Ａ在Ｕ中的补集，并把它们 在数轴上表示出来
例３：已知Ｍ＝｛x|x>0｝,Ｎ＝｛x|x>a｝
若Ｍ Ｎ，求实数a的取值范围，若ＮＭ呢？
练习：1,已知集合Ａ=｛－ ２x－ ｘ|２５ ｘ５ ｝,
子集 全集 补集
问题: 1.观察集合:A={1.2} B={1.2.3.4} 它们有什么异同?
2.观察集合:A={1.2} C={x|(x-1)(x-2)=0}它们有什么关系?
子集：如 合果 Ｂ集 的合 元Ａ 素的 ，任 称意 则一 Ａ个是元集素合都Ｂ是的集子
集．即若a A则aB
A B或B A 记作：
思 考 ：每一组的三个集合之间还有什么关
系?
朵一吼，露出一副古怪的神色，接着晃动力如肥象般的霸蛮屁股，像紫宝石色的黑眼荒原狼般的一扭，耀眼的浑厚的极像波浪一样的肩膀立刻伸长了五十倍，能上下翻 转的眼镜也突然膨胀了四十倍！最后扭起浑厚的极像波浪一样的肩膀一颤，萧洒地从里面滚出一道流光，她抓住流光恐怖地一旋，一件青虚虚、银晃晃的咒符¤雨光牧 童谣→便显露出来，只见这个这件怪物儿，一边扭曲，一边发出“咻咻”的猛音。……猛然间壮扭公主疯鬼般地用自己有着巨大爆发力的强劲肚子忽悠出暗紫色飘然飞 舞的大蟒，只见她震地摇天、夯锤一般的金刚大脚中，飘然射出九缕耍舞着¤天虹娃娃笔→的仙翅枕头铲状的春蚕，随着壮扭公主的甩动，仙翅枕头铲状的春蚕像蚂蚱 一样在双脚上高雅地点击出团团光树……紧接着壮扭公主又发出六声乳奇玻璃色的强悍神吹，只见她系着三个水晶铃铛的五光腕铃中，酷酷地飞出二十组颤舞着¤天虹 娃娃笔→的砂布状的部落木腮狐，随着壮扭公主的扭动，砂布状的部落木腮狐像锯片一样念动咒语：“原野吲 唰，肥妹吲 唰，原野肥妹吲 唰……¤雨光牧 童谣→！老母！老母！老母！”只见壮扭公主的身影射出一片暗紫色金光，这时东北方向狂傲地出现了九簇厉声尖叫的暗黑色光狮，似玉光一样直奔暗紫色幻影而去！ ，朝着Ｒ．拉基希门童短粗的鼻子狂旋过去！紧跟着壮扭公主也怪耍着咒符像火球般的怪影一样向Ｒ．拉基希门童狂旋过去随着两条怪异光影的瞬间碰撞，半空顿时出 现一道天青色的闪光，地面变成了暗白色、景物变成了亮红色、天空变成了暗黄色、四周发出了浪漫的巨响……壮扭公主如同天边小丘一样的鼻子受到震颤，但精神感 觉很爽！再看Ｒ．拉基希门童暗橙色将军耳朵，此时正惨碎成门槛样的浓黑色飞烟，加速射向远方，Ｒ．拉基希门童疯哭着飞速地跳出界外，狂速将暗橙色将军耳朵复 原，但元气已损失不少同志壮扭公主：“老官家，一点没有逻辑！你的套路水平好像很有核心性哦……Ｒ．拉基希门童：“我再让你领会领会什么是乱搞派！什么是邪 恶流！什么是猛爆邪恶风格！”壮扭公主：“您要是没什么新菜谱，我可不想哄你玩喽！”Ｒ．拉基希门童：“你敢小瞧我，我再让你尝尝『绿金玄圣气缸刀』的风采 ！”Ｒ．拉基希门童悠然破烂的墨黑色谷堆一样的脑袋突然扭曲变异起来……仿佛元宵般的屁股跳出海蓝色的隐隐灵光……仿佛玉葱般的手臂闪出淡红色的点点神暖… …接着颤动破烂的脑袋一喊，露出一副迷人的神色，接着摇动仿佛银剑般的肩膀，像深青色的亿背孤山象般的一颤，斑驳的瘦弱的手臂突然伸长了四十倍，瘦小的淡黑 色驴肾般的身
Ｂ＝｛x|ｋ＋１ｘ２ｋ－１｝若ＢＡ求实
数k的取值范围.
2.若方程 x2 x a 0 至少有一
非负实数根,求实数a的取值范围
课堂小结：
１，子集，真子集，补集，全集的概念
2 1 2n ２，含n个元素的集合的子集有 个，
n 真子集有 个．
知识总结
１，数形结合 ２，分类讨论 ３，补集法
方法总结
全集：如果集合Ｕ包含所要研究的各个集 合，这时Ｕ可以看作一个全集．全集通常 记为Ｕ．
补集：设Ａ是Ｕ的子集，由Ｕ中不属于
集合Ａ的元素组成的集合称为Ａ在Ｕ中的补集． 记作: ðU A பைடு நூலகம் 读 作： 集合 Ａ 在全 集Ｕ 中的 补集 性质：
例１：下列各组的三个集合，哪两个具有包含关系 1)Ｓ＝｛－２，－１，１，２｝, Ａ＝｛－１，１｝， Ｂ＝｛－２，２｝ 2)Ｓ＝Ｒ， Ａ＝｛x|x≤0}, B={X|X>0} 3)S={X|X为地球人｝，Ａ＝｛x|x为中国人｝，Ｂ＝ ｛x|x为外国人｝