分析法教学设计

分析法

教学目标

1.理解分析法证题思想，并掌握其应用；

2.培养学生分析问题与解决问题的能力。 教学难点：证题过程中逻辑语言的使用

知识重点：学会用分析法分析问题的思考方式

教学过程

引入

我们已经学习了综合法证明不等式，综合法是从已知条件入手去探明解题途径，概括地说，就是“从已知，利用性质、定理等，逐步推向未知”，它的思路是从已知条件A 出发，得到结论1B ，由1B 可得到2B ， ，由n B 可以推出结论B 成立。但是有许多不等式的证明题，已知条件与需证的结论间的关系很隐蔽，运用综合法证明有一定困难。例如 求证：3725+<

这个不等式若用综合法证明就不知从何处下手，困难在哪？ 概念分析

1． 定义：证明不等式，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题。如果能够肯定这些充分条件都已具备，那么就可以判定原不等式成立。这种证明方法通常叫做分析法。

2． 用分析法论证“若A 则B ”这个命题的模式是： 要证命题B 为真 只需证命题1B 为真 只需证命题2B 为真

只需证命题A 为真 今已知A 为真 故B 必真

3．逻辑关系为：123n B B B B B A ⇐⇐⇐⇐⇐ （结论）（步步寻求不等式成立的充分条件）（已知） 例题解析

【例１】求证：5273<+ 分析法证明：∵052,073>>+

只需证明：22)52()73(<+

展开得： 2021210<+ 即： 10212< ∴ 521<

即：21 < 25（显然成立） ∴5273<+

综合法证明：∵21 < 25 ∴521< ∴10212<

∴2021210<+∴22)52()73(<+ ∴5273<+

【例２】已知a 、b 、m 均为正数，且a

+<+。 证明：,,a b m 均为正数

∴要证

a a m

b b m

+<+ 只需证a(b+m)

∴原不等式成立。

【例３】（1）已知a>1，求证：112a a a ++-< （2）已知a>0,b>0,c>0，求证： 22233log ()2log ()1a b c a b c ++-++≥- 分析：（1）用分析法进行两次“平方”

（2）原式即证22233log ()12log ()a b c a b c +++≥++ 即证22223()()a b c a b c ++≥++

【例4】（课本例）证明：通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面（指横

截面）的周长相等，那么截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大。

证：设截面周长为l ，则周长为l 的圆的半径为π2l ，截面积为2

2⎪⎭

⎫ ⎝⎛ππl ，

周长为l 的正方形边长为4l ，截面积为2

4⎪⎭

⎫

⎝⎛l

问题只需证：22⎪⎭

⎫ ⎝⎛ππl > 2

4⎪⎭⎫

⎝⎛l

即证：224π

πl > 162

l

两边同乘

2

4l

，得：41

1>π 因此只需证：4 > π （显然成立）

∴ 2

2⎪⎭⎫ ⎝⎛ππl > 2

4⎪⎭⎫

⎝⎛l 也可用比较法（取商）证，也不困难。

【例5】设x > 0，y > 0，证明不等式：3

133

2

12

2

)()(y x y x +>+ 证一：（分析法）所证不等式即：233322)()(y x y x +>+

即：33662222662)(3y x y x y x y x y x ++>+++ 即：3322222)(3y x y x y x >+ 只需证：xy y x 3

222>+ ∵xy xy y x 3

2

222>

≥+成立 ∴ 3

133

2

12

2

)()(y x y x +>+ 证二：（综合法）

∵33662222663226)(3)(y x y x y x y x y x y x ++≥+++=+

2333366)(2y x y x y x +=++>

∵x > 0，y > 0， ∴3

133

2

12

2

)()(y x y x +>+

课堂小结

（１）分析法常用于比较法，综合法难于入手的题型．

（２）分析法的优点是利于思考，因为它方向明确思路自然，易于掌握，而综合法的优点是易于表述，条理清楚，形式简洁，因而证不等式时常常用分析法寻找解题思路，再用综合法写出证明过程． 练习

1．设a , b , c 是的△ABC 三边，S 是三角形的面积，求证：

S ab b a c 344222≥+--

证：正弦、余弦定理代入得：C ab ab C ab sin 324cos 2≥+-

即证：C C sin 32cos 2≥- 即：2cos sin 3≤+C C

即证：1)6

sin(≤π

+C （成立）

2．已知,a b R +∈，且a b ≠，求证：2233ab b a b a +>+ 证法一:：（分析法）要证：2233ab b a b a +>+， 即证()()

()b a ab b ab a b a +>+-+22

,0>+b a ∴只需证明ab b ab a >+-22，即0222>+-b ab a ，

即()02

>-b a ，又()0,2

>-∴≠b a b a 成立，.2233ab b a b a +>+∴

证法二：（综合法）

().020,22222

ab b ab a b ab a b a b a >+-⇒>+-⇒>-∴≠

又()()

()b a ab b ab a b a b a +>+-+∴>+22,0 ， 即.2233ab b a b a +>+

课后作业

1. 求证：3726+<+

2. 已知3a ≥，求证：123a a a a --<---

3.已知a,b,c 都是正实数，且1=++ca bc ab 。求证：3≥++c b a 。