中考数学全面突破：题型7 综合实践题

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2020年中考数学三轮冲刺题型专练几何综合与实践专题(含答案)

2020中考数学三轮冲刺题型专练几何综合与实践专题（含答案）1. 综合与实践问题探究：(1)如图①，点A 是线段BC 外一动点，若AB ＝a ，BC ＝b ，求线段AC 长的最大值(用含a ，b 的式子表示)；(2)如图①，点A 是线段BC 外一动点，且AB ＝1，BC ＝4，分别以AB 、AC 为边作等边①ABD 、等边①ACE ，连接CD 、BE .①求证：CD ＝BE ；①求线段BE 长的最大值；问题解决：(3)如图①，在平面直角坐标系中，已知点A (2，0)、B (5，0)，点P 、M 是线段AB 外的两个动点，且P A ＝2，PM ＝PB ，①BPM ＝90°，求线段AM 长的最大值及此时点P 的坐标．第1题图(1)解：①点A 是线段BC 外一动点，且AB ＝a ，BC ＝b ，则AC ≤AB ＋BC ，且当点A 位于CB 的延长线上时，线段AC 的长取得最大值，此时AC 的长的最大值为：AB ＋BC ＝a ＋b ；(2)①证明：①①ABD ，①ACE 都是等边三角形，①AD ＝AB ，AC ＝AE ，①BAD ＝①EAC ＝60°，①①DAC ＝①BAE ，在①CAD 和①EAB 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝AB ①CAD ＝①EAB AC ＝AE，①①CAD ①①EAB (SAS)，①CD ＝BE ；①解：①CD ＝BE ，①线段BE 长的值最大值即为线段CD 长的最大值，此时BE 的最大值为：BD ＋BC ＝AB ＋BC ＝5；(3)解：如解图①，连接BM ，①PB ＝PM ，①MPB ＝90°，第1题解图①①可以将①APM 绕点P 顺时针旋转90°得到①PBN ，连接AN ，则①APN 是等腰直角三角形，①PN ＝P A ＝2，BN ＝AM ，①线段AM 的长的最大值即为线段BN 长的最大值，由(1)的结论可知，当点N 在线段BA 的延长线上时，线段BN 的值最大，且此时的最大值为AB ＋AN 的值．①A (2，0)，B (5，0)，①OA ＝2，OB ＝5，AB ＝3，①AN ＝2AP ＝22，①最大值为22＋3；如解图①中，作PE ①x 轴于点E ，第1题解图①①①APN 是等腰直角三角形，①PE ＝AE ＝12AN ＝2， ①OE ＝OA －AE ＝2－2，①P (2－2，2)，即线段AM 的最大值为22＋3，此时P 的坐标为(2－2，2)．2.综合与探究问题背景在综合实践课上，老师让同学们根据如下问题情境，写出两个教学结论：如图①，点C在线段BD上，点E在线段AC上．①ACB=①ACD=90°，AC=BC；DC=CE，M，N分别是线段BE，AD上的点．“兴趣小组”写出的两个教学结论是：①①BCE①①ACD；①当CM，CN分别是①BCE和①ACD 的中线时，①MCN是等腰直角三角形．解决问题（1）请证明“兴趣小组”所写的两个结论的正确性．类比探究受到“兴趣小组”的启发，“实践小组”的同学们写出如下结论：如图②，当①BCM=①ACN时，①MCN是等腰直角三角形．（2）“实践小组”所写的结论是否正确？请说明理由．感悟发现“奋进小组”认为：当点M，N分别是BE，AD的三等分点时，①MCN仍然是等腰直角三角形请你思考：（3）“奋进小组”所提结论是否正确？答：．（填“正确”、“不正确”或“不一定正确”．）（4）反思上面的探究过程，请你添加适当的条作，再写出使得①MCN是等腰直角三角形的数学结论．（所写结论必须正确，写出1个即可，不要求证明）图① 图② 备用图第2题图（1）证明：在①BCE 和①ACD 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=,,,CD CE ACD BCE AC BC ①①BCE ①①ACD （SAS ），①BE =AD ，①EBC =①DAC ，①CM ，CN 分别是①BCE 和①ACD 的中线，①BM =21BE ，AN =21AD ， ①BM =AN ，在①BCM 和①ACN 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=,,,AN BM NAC MBC AC BC ①①BCM ①①ACN （SAS ），①CM =CN ，①BCM =①ACN①①BCM +①MCE =90°，①①ACN +①MCE =90°，①MC ①CN ．①①MCN 是等腰直角三角形．（2）解：实践小组”所写的结论正确．理由：①①BCE ①①ACD ，①①EBC =①DAC ，在①BCM 和①CAN 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠,,,ACN BCM AC BC NAC MBC ①①BCM ①①ACN （ASA ），①CM =CN ，①①BCM +①MCE =①ACB =90°，①①ACN +①MCE =90°，①MC ①CN ．①①MCN 是等腰直角三角形．（3）解：不一定正确．【解法提示】当BM =31BE ，AN =31AD 时， ①MCN 仍然是等腰直角三角形．当BM =31BE ，DN =31AD 时，①MCN 不是等腰直角三角形．（4）解：答案不唯一．比如：当CM ，CN 分别是①BCE ，①ACD 的高时，①MCN 是等腰直角三角形；当CM ，CN 分别是①BCE ，①ACD 的角平分线时，①MCN 是等腰直角三角形；理由：只要证明①BCM ①①ACN （AAS ），即可推出①BCM =①ACN ，推出①MCN =90°，①CM =CN ，①①MCN 是等腰直角三角形．3. 综合与实践问题情境：如图①，在纸片①ABCD 中，AD ＝5，S ①ABCD ＝15，过点A 作AE ①BC ，垂足为E ，沿AE 剪下①ABE ，将它平移至①DCE ′的位置，拼成四边形AEE ′D .独立思考：(1)试探究四边形AEE ′D 的形状；深入探究：(2)如图②，在(1)的四边形纸片AEE ′D 中，在EE ′上取一点F ，使EF ＝4，剪下①AEF ，将它平移至①DE ′F ′的位置，拼成四边形AFF ′D ，试探究四边形AFF ′D 的形状；拓展延伸：(3)在(2)的条件下，求出四边形AFF ′D 的两条对角线的长;(4)若四边形ABCD 为正方形，请仿照上述操作，进行一次平移，在图①中画出图形，标明字母，你能发现什么结论，直接写出你的结论.图① 图② 图①第3题图解：(1)四边形AEE ′D 是矩形；理由：①四边形ABCD 是平行四边形，①AD ①BC ，且AD ＝BC ，①BE ＝CE ′，①EE ′＝BC ＝AD ，且AD ①EE ′，①四边形AEE ′D 是平行四边形，又①AE ①BC ，①四边形AEE ′D 是矩形．(2)四边形AFF ′D 是菱形，①已知AD ＝5，S ①ABCD ＝15，①AE ＝S ①ABCD AD ＝155＝3， ①将①AEF 平移至①DE ′F ′，①AF ＝DF ′，AF ①DF ′，①四边形AFF ′D 是平行四边形．在Rt①AEF 中，由勾股定理得AF ＝AE 2＋EF 2＝32＋42＝5. ①AF ＝AD ＝5，①四边形AFF ′D 是菱形． (3)如解图①，连接AF ′，DF ，第3题解图①①E′F＝EE′－EF＝5－4＝1，DE′＝3，在Rt①DE′F中，DF＝E′D2＋E′F2＝32＋12＝10，又EF′＝EF＋FF′＝4＋5＝9，AE＝3，在Rt①AEF′中，AF′＝AE2＋EF′2＝32＋92＝310.（4）答案不唯一.如解图②，在BC上取一点E，连接AE,然后将①ABE平移至①DCE´位置.结论：四边形AEE´D为平行四边形第3题解图②4.综合与实践数学活动— 移动中探究线段关系问题情境：数学课上，老师出示了一个问题：如图①，在①ABC中，①ACB＝90°，CD①AB 于点D，AC＝BC，点E，F分别在AC，BC上，①EDF＝90°，求DE与DF的数量关系．独立思考：(1)①请根据以上信息，解答老师提出的问题；①若CF=1,CE=2,请直接写出CD的长.(3)探索求证：如图①，在①ABC中，①ACB＝90°，CD①AB于点D，AC＝BC，延长BC到点F，沿CA方向平移线段CF到EG，且点G在边BA的延长线上，求证：DE＝DF，DE①DF；第4题图 (4)拓展延伸：如图①，在①ABC 中，①ACB ＝90°，CD ①AB 于点D ，①B ＝30°，延长BC 到点F ，沿CA 方向平移线段CF 到EG ，且点G 在边BA 的延长线上，直接写出线段 DE 与DF 之间的位置关系和数量关系．(1)①解：①①EDC ＋①CDF ＝①EDF ＝90°，①CDF ＋①FDB ＝90°，①①EDC ＝①FDB .由题可知①ACB 是等腰直角三角形，CD 是AB 边上的中线，①①ECD ＝①B ＝45°，CD ＝BD ，在①EDC 和①FDB 中，⎩⎪⎨⎪⎧①EDC ＝①FDB ，CD ＝BD ，①ECD ＝①B ，①①EDC ①①FDB (ASA)．①DE ＝DF ；【一题多解】①①ACB ＝90°，AC ＝BC ，CD ①AB ，①AD ＝CD ，①A ＝①DCF ＝45°，①①EDF ＝90°，①①ADE ＋①CDE ＝①CDF ＋①CDE ＝90°，①①ADE ＝①CDF ，在①ADE 和①CDF 中⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠,,,CDF ADE CD AD DCF A ①①ADE ①①CDF (ASA)，①DE ＝DF ；①解：CD 的长为223; 【解法提示】①知①ADE ①①CDF ，①BF =CE =2,①BC =CF +BF =3,①AC =BC ,①ACB =90°，①CD =223. (3)证明：①①ACB ＝90°，AC ＝BC ，CD ①AB ，①DA ＝DB ＝DC ，①ABC ＝①BAC ＝①ACD ＝①BCD ＝45°，①①DAE ＝①DCF ＝135°，又①①GAE ＝45°，①AEG ＝①ACF ＝①ACB ＝90°，①①AEG 是等腰直角三角形，①AE ＝EG ，由平移可知CF ＝EG ＝AE ，在①DAE 和①DCF 中，⎩⎪⎨⎪⎧DA ＝DC ，①DAE ＝①DCF ，AE ＝CF ，①①DAE ①①DCF (SAS)，①DE ＝DF ，①ADE ＝①CDF ，①①ADE ＋①ADF ＝①CDF ＋①ADF ，①①FDE ＝①CDA ＝90°，①DE ①DF ；(4)解：DE ①DF ，DF ＝3DE .【解法提示】由CD ①AB ，AC ①BC ，①B ＝30°，可得①ACD ＝30°，则有CD AD ＝3，由平移可知①FGE ＝90°，FC ＝GE ，则有①AGE ＝90°－60°＝30°，GE AE ＝CF AE ＝ 3. ①CF AE ＝CD AD ＝ 3. 又①①FCD ＝①EAD ＝①CDB ＋①B ＝120°，①①CFD ①①AED ，①DF DE ＝3，即DF ＝3DE ，同(2)可证得DE ①DF .5. 综合与实践问题情境：综合实践课上，老师让同学们以“三角形的旋转”为主题进行数学活动，如图①，在三角形纸片ABC 中，AB ＝AC ，①B ＝①C .操作发现：(1)创新小组将图①中的①ABC 以点B 为旋转中心，逆时针旋转角度α，得到①DBE ，再将①ABC 以点A 为旋转中心，顺时针旋转角度α，得到①AFG ，连接DF ，得到图①，试判断四边形AFDE 的形状；(2)实践小组将图①中的①ABC 以点B 为旋转中心，逆时针旋转90°得到①DBE ，再将①ABC 以点A 为旋转中心，顺时针旋转90°得到①AFG ，连接DF ，DG ，AE ，得到图①，发现四边形AFDB 为正方形，①请你证明这个结论；①若AB =4,①ABC =60°，求BE 的长;拓展探究：(3)请你在实践小组操作的基础上，再写出图①中的一个特殊四边形，并证明你的结论．第5题图(1)解：四边形AFDE 是平行四边形；理由：①①DBE 是由①ABC 绕点B 逆时针旋转角度α得到的，①AFG 是由①ABC 绕点A顺时针旋转角度α得到的，①DE＝AC＝AF，①BAF＝α，①DBE＝①ABC＝α，①DEB＝①C＝α，①①DEB＝①BAF，①DE①AF，①DE＝AF，①四边形AFDE是平行四边形；(2)①证明：①①DBE是由①ABC绕点B逆时针旋转90°得到的，①AFG是由①ABC绕点A顺时针旋转90°得到的，①①DBA＝①F AB＝90°，DB＝AB＝AF，①①DBA＋①F AB＝180°，①DB①AF，①四边形AFDB是平行四边形，①DB＝AF，①四边形AFDB是菱形，①①DBA＝90°，①菱形AFDB是正方形；①解：如解图，过点D作DH①BE于点H,由旋转知，①DBE①①ABC,①BD=DE=AB=AC,①ABC=①DBE=60°,①在Rt①DBH中，BH=2，①BE=2BH=4;第5题解图(3)解：四边形AEDG是平行四边形．证明：①四边形ABDF是正方形，①①DF A ＝①DBA ＝90°，AB ＝DF ，又①①DBE ＝①AFG ，①①EBA ＝①GFD ，在①ABE 和①DFG 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DF ，①EBA ＝①GFD ，BE ＝GF ，①①ABE ①①DFG (SAS)；①AE ＝DG ，又①DE ＝AG ，①四边形AEDG 是平行四边形．6. 综合与实践独立思考：(1)已知正方形ABCD ，如图①，点E 和F 分别是边AB 和AD 边上的点，且AE ＝AF ，则线段DF 与BE 之间有怎样的关系？请直接写出结论；合作交流：(2) 如图①，等腰直角三角形F AE 绕直角顶点A 顺时针旋转α，当0°＜α＜90°时，连接BE 、DF ，此时(1)中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；(3)如图①，等腰直角三角形F AE 绕直角顶点A 顺时针旋转α，当α＝90°时，连接BE 、DF ，若AE ＝5，则当直线DF 垂直平分EB 时，直接写出AD 的值；(4)如图①，等腰直角三角形F AE 绕直角顶点A 顺时针旋转α，当90°＜α＜180°时，连接BD 、DE 、FB ，得到四边形BDEF ，则顺次连接四边形BDEF 的各边中点所组成的四边形是什么特殊的四边形？直接写出结论．第6题图解：(1)DF ＝BE ，且DF ①BE .【解法提示】①四边形ABCD 是正方形，①AD ＝AB ，AD ①AB ，①AE ＝AF ，①DF ＝BE ，且DF ①BE ；(2)(1)中的结论成立．证明如下：第6题解图①如解图①，延长DF 交AB 于点H ，交BE 于点G ，由题意可知①DAF ＝①BAE ，在①DAF 与①BAE 中，⎩⎪⎨⎪⎧DA ＝BA ①DAF ＝①BAE ，AF ＝AE①①DAF ①①BAE (SAS)，①DF ＝BE ，①ADF ＝①ABE ，①①ADF ＋①DHA ＋90°＝①ABE ＋①BHG ＋①HGB ，且 ①DHA ＝①BHG ，①①HGB ＝90°，即①DGB ＝90°，即DF ①BE ，①DF ＝BE ，且DF ①BE ；(3)AD ＝52＋5.【解法提示】连接BD ，如解图①，①直线DF 垂直平分BE ，①AD ＋AE ＝BD ，BD ＝2AD ，①AE ＝(2－1)AD ，①AE ＝5，①AD ＝52＋5.(图① 图①第6题解图(4)正方形．【解法提示】连接BE、DF，如解图①，与(2)同理得出BE＝DF，BE①DF，结合中位线的性质可知，顺次连接四边形BDEF各边中点所组成的四边形是正方形．7.综合与实践：数学活动：“标准纸”尺寸的研究问题情境：A4纸是我们学习、工作中最常用的纸张之一，小明通过网络搜索得到“A4纸是由国际标准化组织的ISO 216定义的，其长宽比是2①1，规格为210 mm×297 mm，如图①所示，A0纸是面积为1 m2，长宽比为2①1的纸张，接下来的A1，A2，A3等纸张尺寸，都是定义成将编号少一号的纸张沿着长边对折，然后保留最接近的毫米值．”于是，我们定义：长与宽之比为2①1的矩形纸片称为“标准纸”．如图①所示A组纸都是“标准纸”．第7题图操作判断：(1)如图①所示，矩形纸片ABCD(AD＝2AB)是一张“标准纸”，将纸片折叠一次，使点B与点D重合，再展开，折痕EF交AD于点E，交BC于点F，交BD于点O，分别连接BE和DF，判断四边形BFDE是哪种特殊的四边形，并说明理由；探究发现：(2)如图①所示，在(1)的基础上，展开纸片后，将纸片再折叠一次，使点A 与点C重合，再展开，折痕MN交AD边于点M，交BC边于点N，交BD也是点O，然后将四边形ENFM剪下，探究纸片ENFM是否为“标准纸”，说明理由；第7题图①(3)通过以上操作探究，请你写出一个有关“标准纸”的结论，例如“标准纸”长和宽的比值为2①1.解：(1)四边形BFDE 是菱形；证明：当点B 与点D 重合时，折痕EF 垂直平分BD ，①OB ＝OD ，①BOF ＝①DOE ＝90°.①在矩形ABCD 中，AD ①BC ，①①OBF ＝①ODE .在①BOF 和①DOE 中，⎩⎪⎨⎪⎧①OBF ＝①ODE ，OB ＝OD ，①BOF ＝①DOE ，①①BOF ①①DOE (ASA)，①OE ＝OF ，①OB ＝OD ，①四边形BFDE 是平行四边形．①EF ①BD ，①四边形BFDE 是菱形；(2)纸片ENFM 是“标准纸”；理由如下：由(1)可知，OE ＝OF ，同理可证，OM ＝ON ，①四边形ENFM 是平行四边形．①四边形ABCD 是矩形，①①DAB ＝①DOE ＝90°，①ODE ＝①ADB ，①tan①ODE ＝OE OD ＝AB AD. ①AD ＝2AB ，①OE ＝22OD ，①EF ＝22BD ，同理可得，MN ＝22AC ， ①四边形ABCD 是矩形，①AC ＝BD ，①EF ＝MN .①四边形ENFM 是矩形，①①EMF ＝90°.①tan①FEM ＝MF ME ＝OD OE＝2， ①MF ＝2ME ，①纸片ENFM 是“标准纸”；(3)答案不唯一，例如：①所有的“标准纸”形状都相似；①图①中四边形ENFM 的面积是四边形ABCD 面积的一半；①A0纸与A1纸的面积之比为2①1；①A3纸与A2纸的周长之比为1① 2.8. 综合与实践：折叠中的数学．已知在矩形纸片ABCD 中，AB ＝24 cm ，BC ＝10 cm.任务一：先将矩形纸片上下对折，然后左右对折，再沿对角线对折，展开得到图中的折痕四边形EFGH (如图①)，求菱形EFGH 的面积．任务二：如图①，将矩形纸片ABCD 先沿对角线AC 对折，再将纸片折叠使点A 与点C 重合得折痕EF ，则四边形AECF 必为菱形，请加以证明．任务三：请通过一定的操作，构造一个菱形EFGH (不同于任务一中的特殊图形)，使菱形的四个顶点分别落在矩形ABCD 的四条边上(即点E ，F ，G ，H 分别在边AB ，BC ，CD ，DA 上，且不与矩形ABCD 的顶点重合)．第8题图（1）请简述操作的方法，并在图①中画出菱形EFGH .(2)求菱形EFGH 的面积的取值范围．解：任务一：如解图①，由折叠性质可得：HF ＝AB ＝24 cm ，GE ＝BC ＝10 cm .①S 菱形EFGH ＝12HF ·GE ＝12×24×10＝120 cm 2， ①菱形EFGH 的面积为120 cm 2.第8题解图① 第8题解图①任务二：证明：如解图①，设两折痕的交点为O ，由折叠性质可得：EF ①AC ，OA ＝OC ，①四边形ABCD 是矩形，①DC ①AB .①①ECO ＝①F AO .在①EOC 和①FOA 中，⎩⎪⎨⎪⎧①ECO ＝①F AO OC ＝OA①EOC ＝①FOA， ①①EOC ①①FOA (ASA)．①OE ＝OF ，①OE ＝OF ，OC ＝OA ，①四边形AECF 是平行四边形．又①EF ①AC ，①平行四边形AECF 是菱形．任务三：(1)如解图①，将矩形纸片分别沿着对角线AC ，BD 折叠，设两折痕的交点为O ，展开后沿经过点O 的直线FH 折叠，展开后再沿经过点O 且与FH 垂直的直线EG 折叠，而后展开得到的折痕四边形EFGH 就是符合要求的菱形．第8题解图①(2)①四边形ABCD 是矩形，四边形EFGH 是菱形，①①GDH ＝①GOH ＝90°，①O ，G ，D ，H 四点共圆，①①GHO ＝①GDO ，①tan①GHO ＝tan①GDO ，①OG OH ＝BC DC ＝1024＝512，设OG ＝5k ，则OH ＝12k ，①FH ＝24k ，GE ＝10k ，①S 菱形EFGH ＝12FH ·GE ＝120k 2，在Rt①ABC 中，AC ＝AB 2＋BC 2＝242＋102＝26， ①OA ＝12AC ＝13. 当OH ①AD 时，OH ＝12AB ＝12， ①12＜OH ＜13，①12＜12k ＜13，①1＜k ＜1312，①1＜k 2＜169144， ①120＜120k 2＜8456，即菱形EFGH 的面积大于120 cm 2且小于8456cm 2.9. 如图，等边三角形ABC 中，点D 、E 、F 、分别为边AB ，AC ，BC 的中点，M 为直线BC 上一动点，①DMN 为等边三角形图① 图①图①第9题解图（1）如图①，当点M 在点B 左侧时，请你判断EN 与MF 有怎样的数量关系？（2）如图①，当点M 在BC 上时，其它条件不变，（1）的结论中EN 与MF 的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图②证明；若不成立，请说明理由；（3）若点M 在点C 右侧时，请你在图①中画出相应的图形，并判断（1）的结论是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，若不成立请说明理由．解：（1）EN 与MF 相等，证明：如解图①，连接DE 、DF ，①①ABC 和①DMN 为等边三角形，①DM =DN ，①MDN =60°，①点D 、E 、F 分别为边AB ，AC ，BC 的中点，①①DEF 是等边三角形，①①MDF =①NDE ，在①DMF 和①DNE 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=,,,DE DF NDE MDF DN DM ， ①①DMF ①①DNE ，①EN =MF ；第9题图解①（2）成立，证明：如解图①，连接DE ，DF ，EF ．第1题解图①①①ABC 是等边三角形，①AB =AC =BC ． ①D ，E ，F 是三边的中点，①DE ，DF ，EF 为三角形ABC 的中位线． ①DE =DF =EF ，①FDE =60°．又①MDF +①FDN =60°，①NDE +①FDN =60°， ①①MDF =①NDE ．在①DMF 和①DNE 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=,,DN DM NDE MDF DE DF ， ①①DMF ①①DNE ，①MF =NE ；（3）画出图形如解图①，MF 与EN 相等的结论仍然成立．由（2）得，①DMF ①①DNE ，①MF =NE .第9题解图①10. 综合与实践问题背景如图①，等腰①ABC 中，AB ＝AC ，①BAC ＝120°，作AD ①BC 于点D ，则D 为BC 的中点，①BAD ＝12①BAC ＝60°，于是BC AB ＝2BD AB ＝ 3. 迁移应用(1)如图①，①ABC 和①ADE 都是等腰三角形，①BAC ＝①DAE ＝120°，D ，E ，C 三点在同一条直线上，连接BD .①求证：①ADB ①①AEC ；①请直接写出线段AD ，BD ，CD 之间的等量关系式．拓展延伸(2)如图①，在菱形ABCD 中，①ABC ＝120°，在①ABC 内作射线BM ，作点C 关于BM 的对称点E ，连接AE 并延长交BM 于点F ，连接CE ，CF .试判断①CEF 的形状；（3）如图①，若AE ＝5，CE ＝2，求BF 的长．第10题图(1)①证明：由题意可知：AD ＝AE ，AB ＝AC ，①①DAE ＝①BAC ，①①DAB ＝①EAC ，①①ADB ①①AEC ；①解：CD ＝3AD ＋BD ；【解法提示】①AD ＝AE ，①DAE ＝120°，①DE ＝3AD ，①DE ＝DC －EC ，①DC －EC ＝3AD ，由①知，①ADB ①①AEC ，①EC ＝DB ，①DC －DB ＝3AD ，即CD ＝3AD ＋BD .（2）解：①EFC 为等边三角形.理由如下：如解图，连接BE ，作BG ①AE 于点G .设CE 与BF 相交于点N ，第10题解图①C 、E 关于BM 对称，①BE ＝BC ，CF ＝EF ，①3＝①4，在菱形ABCD 中，①①ABC ＝120°，AB ＝BC ，①AB ＝BC ＝BE ，又①BG ①AE ，①①1＝①2，①①GBF ＝①2＋①3＝12①ABC ＝60°， ①在四边形GBNE 中，①GEN ＝360°－①EGB －①ENB －①GBN ＝120°，①①FEN ＝60°，又①EF ＝FC ，①①EFC ＝60°，①①EFC 为等边三角形；（3）解：①AE ＝5，CE ＝2，①EG ＝12AE ＝52，EF ＝CE ＝2， ①GF ＝EG ＋EF ＝92， ①①BGF ＝90°，①GFB ＝30°，①BF＝GFcos30°＝3 3.。

2021年中考数学压轴题专项训练07 综合探究类(含解析)

综合探究类1．综合与实践问题背景：综合与实践课上，同学们以两个全等的三角形纸片为操作对象，进行相一次相关问题的研究．下面是创新小组在操作过程中研究的问题，如图一，△ABC≌△DEF，其中∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°．操作与发现：（1）如图二，创新小组将两张三角形纸片按如图示的方式放置，四边形ACBF的形状是，CF= ；（2）创新小组在图二的基础上，将△DEF纸片沿AB方向平移至图三的位置，其中点E 与AB的中点重合．连接CE，BF．四边形BCEF的形状是，CF= ．操作与探究：（3）创新小组在图三的基础上又进行了探究，将△DEF纸片绕点E逆时针旋转至DE与BC平行的位置，如图四所示，连接AF，BF．经过观察和推理后发现四边形ACBF也是矩形，请你证明这个结论．【解析】（1）如图所示：△ABC ≌△DEF ，其中∠ACB =90°，BC =2，∠A =30°，∴60,2ABC FED BC EF ∠=∠=︒==， ∴90C F FAC ∠=∠=∠=︒，∴四边形ACBF 是矩形，AB=4∴，∴AB=CF=4；故答案为：矩形，4 ；（2）如图所示：△ABC ≌△DEF ，其中∠ACB =90°，BC =2，∠A =30°，∴60,2ABC FED BC EF ∠=∠=︒==， ∴//BC EF ，∴四边形ECBF 是平行四边形，点E 与AB 的中点重合，∴CE=BE ，∴CBE △是等边三角形，∴EC=BC ，∴四边形ECBF 是菱形，∴CF 与EB 互相垂直且平分，∴OC EC ==∴CF =，故答案为：菱形，（3）证明：如图所示：∵90,3060C A ABC ∠=︒∠=︒∴∠=︒ ∵//,DE BC DEF ABC ≌ ∴60DEB DEF ABC ∠=∠=∠=︒ ∴60AEF ∠=︒∵24,2AB BC AE ==∴= ∵2EF BC AE EF ==∴= ∴AEF ∆为等边三角形 ∴60FAE ABC ∠=︒=∠ ∴//BC AF ∵AE EF BC ==∴四边形ACBF 为平行四边形 ∵90C ∠=︒∴四边形ACBF 为矩形．2．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A ，B ，C 为格点，D 为小正方形边的中点.（1）AC的长等于_________；+取得最小值时，请在如图所示（2）点P，Q分别为线段BC，AC上的动点，当PD PQ的网格中，用无刻度．．．的直尺，画出线段PD，PQ，并简要说明点P和点Q的位置是如何找到的（不要求证明）.【解析】解：（1）由图可得：5=，故答案为：5；（2）如图，BC与网格线相交，得点P；取格点E，F，连接EF，与网格线相交，得点G，取格点M，N，连接MN，与网格线相交，得点H，连接GH，与AC相交，得点Q.连接PD，PQ.线段PD，PQ即为所求.如图，延长DP，交网格线于点T，连接AB，GH与DP交于点S，由计算可得：，，AC=5，∴△ABC为直角三角形，∠ABC=90°，∴tan∠ACB=2，∵tan∠BCT=PT：TC=2，∴∠ACB=∠BCT，即BC平分∠ACT，根据画图可知：GH∥BC，∴∠ACB=∠CQH，∠BCT=∠GHC，∵∠BCT=∠BCA，∴∠CQH=∠GHC，∴CQ=CH，由题意可得：BS=CH，∴BS=CQ，又∵BP=CP，∠PBS=∠PCQ，∴△BPS≌△CPQ，∴∠PSB=∠PHC=90°，即PQ⊥AC，∴PD+PQ的最小值即为PD+PT，∴所画图形符合要求.3．数学实验室：制作4张全等的直角三角形纸片（如图1），把这4张纸片拼成以弦长c为边长的正方形构成“弦图”（如图2），古代数学家利用“弦图”验证了勾股定理．探索研究：（1）小明将“弦图”中的2个三角形进行了运动变换，得到图3，请利用图3证明勾股定理；数学思考：（2）小芳认为用其它的方法改变“弦图”中某些三角形的位置，也可以证明勾股定理．请你想一种方法支持她的观点（先在备用图中补全图形，再予以证明）．【解析】（1）解：如图3所示，图形的面积表示为：2222122a b ab a b ab ++⨯=++，图形的面积也可表示：22122c ab c ab +⨯=+， ∴a 2b 2ab c 2ab ，∴a2b2c 2（2）解：如图4所示，大正方形的面积表示为：a b2，大正方形的面积也可以表示为：221422c ab c ab +⨯=+，∴22a b c ab+=+，()2∴a2b22ab c22ab，∴a2b2c2；4．综合与探究（实践操作）三角尺中的数学数学实践活动课上，“奋进”小组将一副直角三角尺的直角顶点叠放在一起，如图1，使直角顶点重合于点C．（问题发现）（1）①填空：如图1，若∠ACB＝145°，则∠ACE的度数是，∠DCB的度数，∠ECD的度数是．②如图1，你发现∠ACE与∠DCB的大小有何关系？∠ACB与∠ECD的大小又有何关系？请直接写出你发现的结论．（类比探究）（2）如图2，当△ACD与△BCE没有重合部分时，上述②中你发现的结论是否还依然成立？请说明理由．【解析】解：（1）①1459055∠=∠︒︒︒=﹣=，ACE DCB==﹣；∠∠-∠︒︒=︒ECD BCE BCD905535②结论：ACE DCB=；∠+∠︒ACB ECD∠=∠，180证明：∵90∠=∠-∠=∠-︒DCB ACB ACD ACB∠=∠-∠=∠-︒，90ACE ACB BCE ACB∴ACE DCB∠=∠∵9090180∠=∠+∠-∠=︒+︒-∠=︒-∠ACB ACD BCE ECD ECD ECD∴180=ACB ECD∠+∠︒（2）结论：当ACD与BCE没有重合部分时，上述②中发现的结论依然成立．理由：∵90∠=∠=︒，ACD ECB∴ACD DCE ECB DCE∠+∠=∠+∠，∴ACE DCB∠=∠，∵90∠=∠=︒，ACD ECB∴180=，∠+∠︒ACD ECB∵360=，ACD ECD ECB ACB∠+∠+∠+∠︒∴180ACB ECD=，∠+∠︒∴ACE DCB∠+∠︒=．ACB ECD∠=∠，180∴上述②中发现的结论依然成立．故答案为：（1）①55°，55°，35°；②∠ACE＝∠DCB，∠ACB+∠ECD＝180°；（2）当△ACD与△BCE没有重合部分时，上述②中发现的结论依然成立，理由详见解析5．操作：将一把三角尺放在如图①的正方形ABCD中，使它的直角顶点P在对角线AC 上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q，探究：=.(1)如图②，当点Q在DC上时，求证：PQ PB(2)如图③，当点Q在DC延长线上时，①中的结论还成立吗？简要说明理由.【解析】(1)证明：过点P作//BCMN，分别交AB于点M，交CD于点N，则四边形AMND和四边形BCNM都是矩形，△AMP和△CNP都是等腰直角三角形．∴NP=NC=MB∵∠BPQ=90°∴∠QPN+∠BPM=90°，而∠BPM+∠PBM=90° ，∴∠QPN=∠PBM，又∠QNP=∠PMB=90°，在△QNP和△BMP中，∠QNP=∠PMB，MB=NP，∠QPN=∠PBM∴△QNP≌△PMB（ASA），∴PQ=BP．(2)成立.过点P作PN AB⊥于N,PN交CD于点M在正方形ABCD中//AB CD,45∠=ACD∴90∠=∠=∠=PMQ PNB CBN∴CBNM是矩形，∴CM BN=，∴CMP∆是等腰直角三角形，∴PM CM BN ==，∵90PBN BPN ∠+∠=，90BPN MPQ ∠+∠=∴MPQ PBN ∠=∠，在PMQ ∆和BNP ∆中，90MPQ PBN PNB PMQ BN PM ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩， ∴()PMQ BNP AAS ∆≅∆， ∴BP QP =；6．实践操作：第一步：如图1，将矩形纸片ABCD 沿过点D 的直线折叠，使点A 落在CD 上的点A '处，得到折痕DE ，然后把纸片展平．第二步：如图2，将图1中的矩形纸片ABCD 沿过点E 的直线折叠，点C 恰好落在AD 上的点C '处，点B 落在点B '处，得到折痕EF ，B C ''交AB 于点M ，C F '交DE 于点N ，再把纸片展平．问题解决：（1）如图1，填空：四边形AEA D '的形状是_____________________；（2）如图2，线段MC '与ME 是否相等？若相等，请给出证明；若不等，请说明理由；（3）如图2，若2cm,'4cm AC DC '==，求:DN EN 的值．【解析】（1）解：∵ABCD 是平行四边形， ∴'////AD BC EA ，'//AE DA ∴四边形'AEA D 是平行四边形∵矩形纸片ABCD 沿过点D 的直线折叠，使点A 落在CD 上的点A '处 ∴'AED A ED ≌ ∴'AE A E = ∵90A ∠=∴四边形AEA D '的形状是正方形故最后答案为：四边形AEA D '的形状是正方形；（2）MC ME '=理由如下：如图，连接EC '，由（1）知：AD AE = ∵四边形ABCD 是矩形， ∴90AD BC EAC B '=∠=∠=︒，由折叠知：B C BC B B '''=∠=∠， ∴90AE B C EAC B ''''=∠=∠=︒，又EC C E ''=， ∴Rt EC A Rt C EB '''≌ ∴C EA EC B '''∠=∠ ∴MC ME '=（3）∵Rt EC A Rt C EB '''≌，∴AC B E ''= 由折叠知：B E BE '=，∴AC BE '= ∵2(cm)4(cm)AC DC ''==， ∴()2428cm AB CD ==++=设cm DF x =，则()8cm FC FC x '==-在Rt DC F '中，由勾股定理得：2224(8)x x +=- 解得：3x =，即()3cm DF =如图，延长BA FC '，交于点G ，则AC G DC F ''∠=∠ ∴3tan tan 4AG DF AC G DC F AC DC ''∠=∠==='' ∴3(cm)2AG = ∴3156(cm)22EG =+= ∵//DF EG ，∴DNF ENG ∽ ∴152::3:25DN EN DF EG === 7．综合与实践在线上教学中，教师和学生都学习到了新知识，掌握了许多新技能．例如教材八年级下册的数学活动﹣﹣折纸，就引起了许多同学的兴趣．在经历图形变换的过程中，进一步发展了同学们的空间观念，积累了数学活动经验．实践发现：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕BM，把纸片展平，连接AN，如图①．（1）折痕BM（填“是”或“不是”）线段AN的垂直平分线；请判断图中△ABN 是什么特殊三角形？答：；进一步计算出∠MNE＝°；（2）继续折叠纸片，使点A落在BC边上的点H处，并使折痕经过点B，得到折痕BG，把纸片展平，如图②，则∠GBN＝°；拓展延伸：（3）如图③，折叠矩形纸片ABCD，使点A落在BC边上的点A'处，并且折痕交BC边于点T，交AD边于点S，把纸片展平，连接AA'交ST于点O，连接AT．求证：四边形SATA'是菱形．解决问题：（4）如图④，矩形纸片ABCD中，AB＝10，AD＝26，折叠纸片，使点A落在BC边上的点A'处，并且折痕交AB边于点T，交AD边于点S，把纸片展平．同学们小组讨论后，得出线段AT的长度有4，5，7，9．请写出以上4个数值中你认为正确的数值．【解析】解：（1）如图①∵对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，∴EF垂直平分AB，∴AN＝BN，AE＝BE，∠NEA＝90°，∵再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，∴BM垂直平分AN，∠BAM＝∠BNM＝90°，∴AB＝BN，∴AB＝AN＝BN，∴△ABN是等边三角形，∴∠EBN＝60°，∴∠ENB＝30°，∴∠MNE＝60°，故答案为：是，等边三角形，60；（2）∵折叠纸片，使点A落在BC边上的点H处，∴∠ABG＝∠HBG＝45°，∴∠GBN＝∠ABN﹣∠ABG＝15°，故答案为：15°；（3）∵折叠矩形纸片ABCD，使点A落在BC边上的点A'处，∴ST垂直平分AA'，∴AO＝A'O，AA'⊥ST，∵AD∥BC，∴∠SAO＝∠TA'O，∠ASO＝∠A'TO，∴△ASO≌△A'TO（AAS）∴SO＝TO，∴四边形ASA 'T 是平行四边形，又∵AA '⊥ST ，∴边形SATA '是菱形；（4）∵折叠纸片，使点A 落在BC 边上的点A '处， ∴AT ＝A 'T ，在Rt△A 'TB 中，A 'T ＞BT ， ∴AT ＞10﹣AT ， ∴AT ＞5， ∵点T 在AB 上，∴当点T 与点B 重合时，AT 有最大值为10， ∴5＜AT ≤10，∴正确的数值为7，9，故答案为：7，9． 8．综合与实践问题情境数学活动课上，老师让同学们以“三角形平移与旋转”为主题开展数学活动，ACD 和BCE 是两个等边三角形纸片，其中，52AC cm BC cm ==,．解决问题（1）勤奋小组将ACD 和BCE 按图1所示的方式摆放(点,,A C B 在同一条直线上) ，连接,AE BD ．发现AE DB =，请你给予证明；（2）如图2，创新小组在勤奋小组的基础上继续探究，将BCE 绕着点C 逆时针方向旋转，当点E 恰好落在CD 边上时，求ABC 的面积；拓展延伸（3）如图3，缜密小组在创新小组的基础上，提出一个问题： “将BCE 沿CD 方向平移acm 得到''',B C E 连接''AB B C ,，当'AB C △恰好是以'AB 为斜边的直角三角形时，求a 的值．请你直接写出a 的值．【解析】（1）∵ACD 和BCE 是两个等边三角形， ∴AC=CD，BC=CE ，∠ACD=∠ECB=60°， ∴∠ACD+∠DCE=∠ECB+∠DCE, 即∠ACE=∠DCB， ∴△ACE≌△DCB， ∴AE=BD；（2）由题意得∠ACD=∠ECB=60°，过点B 作BF⊥AC，交AC 的延长线于F ，∴∠BCF=180°-∠ACD -∠ECB=60°，∠F=90°， ∴∠CBF=30°， ∴CF=12BC=1cm ，=cm ，∴11522ABCSAC BF =⋅=⨯；（3）由题意得∠ACD=E C B '''∠=60°， ∵∠ACB '=90°， ∴30C CB ''∠=,∵C CB C B C E C B '''''''∠+∠=∠, ∴30C B C ''∠=, ∴C C C B '''==2cm ， ∴a=2.9．动手做一做：某校教具制作车间有等腰三角形正方形、平行四边形的塑料若干，数学兴趣小组的同学利用其中7块恰好拼成一个矩形（如图1），后来又用它们拼出了XYZ等字母模型（如图2、图3、图4），每个塑料板保持图1的标号不变，请你参与：（1）将图2中每块塑料板对应的标号填上去；（2）图3中，点画出了标号7的塑料板位置，请你适当画线，找出其他6块塑料板，并填上标号；（3）在图4中，找出7块塑料板，并填上标号．【解析】（1）如下图（2）如下图（3）如下图10．已知：如图1，在O 中，弦2AB =，1CD =，AD BD ⊥．直线,AD BC 相交于点E ．（1）求E ∠的度数；（2）如果点,C D 在O 上运动，且保持弦CD 的长度不变，那么，直线,AD BC 相交所成锐角的大小是否改变？试就以下三种情况进行探究，并说明理由（图形未画完整，请你根据需要补全）．①如图2，弦AB与弦CD交于点F；②如图3，弦AB与弦CD不相交：③如图4，点B与点C重合．【解析】解：（1）连接OC、OD，如图：∵AD BD⊥∴AB是直径∴1===OC OD CD∴OCD是等边三角形∴60∠=︒COD∴30∠=︒DBE∴60∠=︒E（2）①结论：直线AD、BC相交所成锐角的大小不发生改变依然是60︒证明：连接OD、OC、AC，如图：∵1===OD OC CD∴OCD为等边三角形∴60∠=︒COD∴30DAC∠=︒∴30∠=︒EBD∵90∠=︒ADB∴903060E∠=︒-︒=︒②结论：直线AD、BC相交所成锐角的大小不发生改变依然是60︒证明：连接OC、OD，如图：∵AD BD⊥∴AB是直径∴1===OC OD CD∴OCD是等边三角形∴60∠=︒COD∴30∠=︒DBE∴903060∠=︒-︒=︒BED③结论：直线AD、BC相交所成锐角的大小不发生改变依然是60︒证明：如图：∵当点B与点C重合时，则直线BE与O只有一个公共点∴EB恰为O的切线∴90∠=︒ABE∵90CD=，2∠=︒，1ADBAD=∴30A∠=︒∴60∠=︒．E故答案是：（1）60∠=︒（2）①结论：直线AD、BC相交所成锐角的大小不发生改变，E依然是60︒；证明过程见详解．②结论：直线AD、BC相交所成锐角的大小不发生改变，依然是60︒；证明过程见详解．③结论：直线AD、BC相交所成锐角的大小不发生改变，依然是60︒；证明过程见详解．11．综合与实践：折纸中的数学问题背景在数学活动课上，老师首先将平行四边形纸片ABCD按如图①所示方式折叠，使点C与点A重合，点D落到D′处，折痕为EF．这时同学们很快证得：△AEF是等腰三角形．接下来各学习小组也动手操作起来，请你解决他们提出的问题．操作发现(1) “争先”小组将矩形纸片ABCD 按上述方式折叠，如图②，发现重叠部分△AEF 恰好是等边三角形，求矩形ABCD 的长、宽之比是多少？实践探究(2)“励志”小组将矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，如图③，使B 点落在AD 边上的B ′处；沿B ′G 折叠，使D 点落在D ′处，且B ′D ′过F 点．试探究四边形EFGB ′是什么特殊四边形？(3)再探究：在图③中连接BB ′，试判断并证明△BB ′G的形状．【解析】解：（1）矩形ABCD证明：设BE a =，AEF ∆等边三角形，60EAF ∴∠=︒，四边形ABCD 为矩形，90BAD ABE ∴∠=∠=︒，30BAE BAD EAF ∠=∠-∠=︒．在Rt ABE ∆中，90ABE ∠=︒，30BAE ∠=︒，BE a =，2sin BEAE a BAE ∴==∠，tan BEAB BAE ==∠，AE EC =，3BC BE EC a ∴=+=，∴BCAB ．（2）四边形B EFG '是平行四边形．证明：四边形ABCD 为矩形，//AD BC ∴，B EF BFE ∴∠'=∠，EB F GFB ∠'=∠'，DB G FGB ∠'=∠'．由翻折的特性可知：BFE B FE ∠=∠'，DB G FB G ∠'=∠'，B EF B FE ∴∠'=∠'，FB G FGB ∠'=∠'，又EB F GFB ∠'=∠'，B FE FB G ∴∠'=∠'，//EF B G ∴'，又//B E FG '，∴四边形B EFG '是平行四边形．（3）△BB G '为直角三角形．证明：连接BB '交EF 于点M ，如图所示．//AD BC ，EB B FBB ∴∠'=∠'，BF B F ='，FBB FB B ∴∠'=∠'，EB B FB B ∴∠'=∠'．B EF B FE ∠'=∠'，∴△B EF '为等腰三角形，B M EF ∴'⊥，90∴∠=︒．BMFEF B G'，//∴∠'=∠=︒，90BB G BMF∴△BB G'为直角三角形．12．综合与实践问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“等腰三角形的剪拼”为主题开展数学活动．如图1，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm．将△ABC沿BC边上的中线AD剪开，得到△ABD和△ACD．操作发现：（1）乐学小组将图1中的△ACD以点D为旋转中心，按逆时针方向旋转，使得A'C'⊥AD，得到图2，A'C'与AB交于点E，则四边形BEC'D的形状是．（2）缜密小组将图1中的△ACD沿DB方向平移，A'D'与AB交于点M，A'C'与AD交于点N，得到图3，判断四边形MNDD'的形状，并说明理由．实践探究：（3）缜密小组又发现，当（2）中线段DD'的长为acm时，图3中的四边形MNDD'会成为正方形，求a的值．（4）创新小组又把图1中的△ACD放到如图4所示的位置，点A的对应点A'与点D重合，点D的对应点D'在BD的延长线上，再将△A'C'D'绕点D逆时针旋转到如图5所示的位置，DD'交AB于点P，DC'交AB于点Q，DP＝DQ，此时线段AP的长是cm．【解析】解：操作发现：（1）如图1：∵AB＝AC＝10cm，BC＝16cm．∴∠B＝∠C，BD＝CD＝8cm，∠BAD＝∠CAD，∵△ACD以点D为旋转中心，按逆时针方向旋转，∴C'D＝BD，∵AD⊥BD，A'C'⊥AD，∴A'C'∥BD，∠ADC'＝90°﹣∠C'，∴∠ADC'＝90°﹣∠B，且∠BAD＝90°﹣∠B，∴∠ADC'＝∠BAD，∴AB∥C'D，∴四边形BDC'E是平行四边形，∵BD＝C'D，∴四边形BEC'D是菱形，故答案为：菱形；（2）如图3，四边形MNDD'是矩形，理由如下：∵BD＝CD，∴BD'＝CD，且∠B＝∠C'，∠MD'B＝∠NDC'∴△MDB'≌△NDC'（ASA）∴MD'＝ND，∵△ACD 沿DB 方向平移，∴MD '∥DN ，∴四边形MNDD '是平行四边形，∵∠BD 'M ＝90°，∴四边形MNDD '是矩形；（3）由图形（1）可得AB ＝10cm ，BD ＝8cm ， ∴AD6cm ，∵四边形MNDD '为正方形，∴D 'M ∥DN ，D 'M ＝D 'D ＝acm ，∴△BD 'M ∽△BDA ， ∴BD MD BD AD''=， ∴886a a -=， ∴a ＝247；（4）如图5，过点D 作DG ⊥AB 于点G ，∵DP ＝DQ ，∴∠DQP ＝∠DPQ ，QG ＝PG ，又∵∠A ＝∠PDQ ，∴△DQP ∽△AQD ，∴∠ADQ ＝∠DPQ ，2021年中考数学压轴题专项训练07 综合探究类（含解析）∴∠ADQ＝∠AQD，∴AQ＝AD＝6，∵∠A＝∠A，∠DGA＝∠BDA，∴△DGA∽△BDA，∴AG AD AD AB=，∴6 610 AG=，∴AG＝185，∴GQ＝AQ﹣AG＝6﹣185＝125，∴PG＝QG＝125，∴AP＝AG﹣PG＝185﹣125＝65，故答案为：65．。

教育最新K12中考数学综合闯关专题七综合实践与探究(无答案)

综合实践与探究专题命题规律纵观河北8年中考：综合实践与探究是河北每年中考的压轴题型．结合几何图形如三角形、正方形、圆及正方体考查，一般以简单几何图形的基本性质为出发点进行考查．近7年涉及到的考查形式有2015年的矩形、半圆为背景探索图形旋转变化中的规律；2014年以景区内的环形(正方形)路为背景，考查一次函数的实际应用、方程、列代数式并比较大小和不等式的实际应用；2013年以正方体容器为背景考查线段的位置关系、直棱柱的体积、倾斜角、一次函数的实际应用等；2012年以三角形为背景，考查列代数式及线段之间的距离的最值关系等；2011年以平行线间的半圆为背景，考查点到直线的距离和旋转角等；2010年以转动的机械装置为背景，考查点之间的最值、直线与圆的位置关系、点与直线的距离等；2009年以圆为背景，结合规律探究考查；2008年以设计抽水站给村庄供水为背景，考查点的对称问题难度较大，考查学生综合能力，具有选拔性．解题策略此类题目前几问一般比较简单，解决后面问题往往会套用前面问题的解题思路，则将问题变为从简单逐渐到难的过程，从而能解决问题．做题时，需要将后面问与前面问对比，才能轻松得解．2016预测预计2016年河北中考，依然会以简单几何图形为背景进行运动化，考查学生综合分析以及运用函数、方程、相似等知识解决问题的能力，难度会很大．,中考重难点突破)探究与拓展【经典导例】【例1】(2013河北中考)一透明的敞口正方体容器ABCD —A′B′C′D′装有一些液体，棱AB 始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为α(∠CBE＝α，如图①所示)．探究如图①，液面刚好过棱CD ，并与棱BB′交于点Q ，此时液体的形状为直三棱柱，其三视图及尺寸如图②所示．解决问题：(1)CQ 与BE 的位置关系是________，BQ 的长是________dm ；(2)求液体的体积；(参考算法：直棱柱体积V 液＝底面积S △BCQ ×高AB )(3)求α的度数．(注：sin 49°＝cos 41°＝34，tan 37°＝34)拓展在图①的基础上，以棱AB 为轴将容器向左或向右旋转，但不能使液体溢出，图③或图④是其正面示意图．若液面与棱C′C 或CB 交于点P ，设PC ＝x ，BQ ＝y.分别就图③和图④，求y与x的函数关系式，并写出相应的α的范围．延伸在图④的基础上，于容器底部正中间位置，嵌入一平行于侧面的长方形隔板(厚度忽略不计)，得到图⑤，隔板高NM＝1dm，BM＝CM，NM⊥BC.继续向右缓慢旋转，当α＝60°时，通过计算，判断溢出容器的液体能否达到4dm3.【解析】探究：本题根据三视图可以计算．拓展根据勾股定理，在Rt△BCQ中求出BQ 的长度，以及α的度数．拓展：本题中的α的取值范围分3种情况：①当容器向左旋转；②当容器向右旋转；③当液面恰好到容器口，即点Q与点B′重合，分别求出α的度数．延伸：求证本题中的问题时，考虑到容器内液体形成两层液面，液体的形状分别以Rt△NFM和直角梯形MBB′G为底面的直棱柱，即可求解．【学生解答】【方法指导】此题的难点在于延伸中嵌入长方形隔板且容器旋转，这样的运动产生的液体的流动不易思考，应抓住α＝60°时液体形成两个液面，液体的形状分别是以三角形和直角梯形为底面的直棱柱，求出棱柱的体积和，便可得知溢出的液体，从而得解．1．(2015石家庄二模)如图①，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C＝90°，∠B＝∠E＝30°.(1)操作发现如图②，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转．当点D恰好落在AB边上时，填空：①线段DE与AC的位置关系是________；②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是________．(2)猜想论证当△DEC绕点C旋转到图③所示的位置时，小明猜想(1)中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想．(3)拓展探究已知∠ABC＝60°，点D是其角平分线上一点，BD＝CD＝4，DE∥AB交BC于点F(如图④)．若在射线BA上存在点F，使S△DCF＝S△BDE，请直接写出相应的BF的长．2．(2014河北中考)某景区内的环形路是边长为800米的正方形ABCD，如图①和图②.现有1号、2号两游览车分别从出口A和景点C同时出发，1号车顺时针、2号车逆时针沿环形路连续循环行驶，供游客随时免费乘车(上、下车的时间忽略不计)，两车速度均为200米/分．探究设行驶时间为t分．(1)当0≤t≤8时，分别写出1号车、2号车在左半环线离出口A的路程y1，y2(米)与t(分)的函数关系式，并求出当两车相距的路是400米时t的值；,图①图②)(2)t为何值时，1号车第三次恰好经过景点C？并直接写出这一段时间内它与2号车相遇过的次数．发现如图②，游客甲在BC上的一点K(不与点B，C重合)处候车，准备乘车到出口A.设CK＝x米．情况一：若他刚好错过2号车，便搭乘即将到来的1号车；情况二：若他刚好错过1号车，便搭乘即将到来的2号车．比较哪种情况用时较多？(含候车时间)决策已知游客乙在DA上从D向出口A走去，步行的速度是50米/分．当行进到DA上一点P(不与点D，A重合)时，刚好与2号车迎面相遇．(1)他发现，乘1号车会比乘2号车到出口A 用时少，请你简要说明理由；(2)设PA ＝s(0＜s ＜800)米．若他想尽快到达出口A ，根据s 的大小，在等候乘1号车还是步行这两种方式中，他该如何选择？思考与探究【经典导例】【例2】(2011河北中考)如图①至图④中，两平行线AB ，CD 间的距离均为6，点M 为AB 上一定点．思考：如图①，圆心为O 的半圆形纸片在AB ，CD 之间(包括AB ，CD)，其直径MN 在AB 上，MN ＝8，点P 为半圆上一点，设∠MOP ＝α.当α＝________度时，点P 到CD 的距离最小，最小值为________．探究一：在图①的基础上，以点M 为旋转中心，在AB ，CD 之间顺时针旋转该半圆形纸片，直到不能再转动为止，如图②，得到最大旋转角∠BMO＝________度，此时点N 到CD 的距离是________．探究二：将图①中的扇形纸片MOP 按下面对α的要求剪掉，使扇形纸片MOP 绕点M 在AB ，CD 之间顺时针旋转．(1)如图③，当α＝60°时，求在旋转过程中，点P 到CD 的最小距离，并请指出旋转角∠BMO 的最大值；(2)如图④，在扇形纸片MOP 旋转过程中，要保证点P 能落在直线CD 上，请确定α的取值范围．(参考数据：sin 49°＝34，cos 41°＝34，tan 37°＝34)【解析】思考：根据两平行线之间垂线段最短，以及切线的性质定理，直接得出答案．探究一：根据MN＝8，MO＝4，OY＝4，得出UO＝2，即可得出最大旋转角∠BMO＝30°，此时点N到CD的距离是2；探究二：(1)由已知得出M与P的距离为4，PM⊥AB时，点P到AB的最大距离是4，从而点P到CD的最小距离为6－4＝2，即可得出∠BMO的最大值；(2)分别求出α最大值为∠OMH＋∠OHM＝30°＋90°以及最小值α＝2∠MOH，即可得出α的取值范围．【学生解答】1．(2014南京中考)【问题提出】学习了三角形全等的判定方法(即“SAS”，“ASA”，“AAS”，“SSS”)和直角三角形全等的判定方法(即“HL”)后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．【初步思考】我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，然后，对∠B进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．【深入探究】第一种情况：当∠B是直角时，△ABC≌△DEF.(1)如图①，在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E＝90°，根据________，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF.,图①)第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF.(2)如图②，在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B、∠E都是钝角．求证：△ABC≌△DEF.,图②)第三种情况：当∠B 是锐角时，△ABC 和△DEF 不一定全等．(3)在△ABC 和△DEF 中，AC ＝DF ，BC ＝EF ，∠B ＝∠E，且∠B、∠E 都是锐角，请你用尺规在图③中作出△DEF，使△DEF 和△ABC 不全等．(不写作法，保留作图痕迹),图③)(4)∠B 还要满足什么条件，就可以使△ABC≌△DEF？请直接填写结论：在△ABC 和△DEF 中，AC ＝DF ，BC ＝EF ，∠B ＝∠E，且∠B、∠E 都是锐角，若________，则△ABC≌△DEF.2．(2015沧州模拟)问题背景：如图①，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝120°，∠B ＝∠ADC＝90°，E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE ，EF ，FD 之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD 到点G ，使DG ＝BE ，连接AG ，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是________；探索延伸：如图②，若在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＋∠D＝180°，E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF ＝12∠BAD ，上述结论是否仍然成立，并说明理由；实际应用：如图③，在某次军事学习中，舰艇甲在指挥中心(O 处)北偏西30°的A 处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E ，F 处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．操作与探究【经典导例】【例3】(2008河北中考)如图①至图⑤，⊙O 均作无滑动滚动，⊙O 1、⊙O 2、⊙O 3、⊙O 4均表示⊙O 与线段AB 或BC 相切于端点时刻的位置，⊙O 的周长为c.阅读理解：(1)如图①，⊙O 从⊙O 1的位置出发，沿AB 滚动到⊙O 2的位置．当AB ＝c 时，⊙O 恰好自转1周．(2)如图②，与∠ABC 相邻的补角是n °，⊙O 在∠ABC 外部沿A —B —C 滚动，在点B 处，必须由⊙O 1的位置旋转到⊙O 2的位置，⊙O 绕点B 旋转的角∠O 1BO 2＝n °，⊙O 在点B 处自转n360周．实践应用：(1)在阅读理解的(1)中，若AB ＝2c ，则⊙O自转________周；若AB ＝l ，则⊙O自转________周．在阅读理解的(2)中，若∠ABC＝120°，则⊙O 在点B 处自转________周；若∠ABC＝60°，则⊙O 在点B 处自转________周．(2)如图③，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝12c.⊙O 从⊙O 1的位置出发，在∠ABC 外部沿A —B —C滚动到⊙O 4的位置，⊙O 自转________周．拓展联想：(1)如图④，△ABC 的周长为l ，⊙O 从与AB 相切于点D 的位置出发，在△ABC 外部，按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB 相切于点D 的位置，⊙O 自转了多少周？请说明理由；(2)如图⑤，多边形的周长为l ，⊙O 从与某边相切于点D 的位置出发，在多边形外部，按顺时针方向沿多边形滚动，又回到与该边相切于点D 的位置，直接写出⊙O 自转的周数．【解析】(1)读懂题意，套公式易得AB ＝2c ，则⊙O 自转2周，若AB ＝l ，则⊙O 自转lc 周，在阅读理解的(2)中，若∠ABC＝120°，则⊙O 在点B 处自转16周，若∠ABC＝60°，则⊙O 在点B 处自转13周．(2)因∠ABC＝90°，AB ＝BC ＝12c ，则⊙O 自转1＋14＝54周．拓展联想：因三角形和五边形的外角和是360°，则⊙O 共自转了(lc＋1)周．【学生解答】【难点剖析】本题的难点在于拓展联想中第(1)、(2)问．(1)问中由于△ABC 的周长是l ，所以当⊙O 绕△ABC 一周后，⊙O 自转lc 周，但是，⊙O 在运动中，还经过了△ABC 的三个顶点，所以在运动到顶点时，⊙O 还自转了360°，即为△ABC 的外角和．所以⊙O实际自转了(l c ＋360360)周，即(lc ＋1)周；(2)问中⊙O 在多边形边上的自转不难求出，最关键的是运动到多边形顶点上时，⊙O 的自转度数，通过(1)问探究，⊙O 在顶点时自转的度数实际上等于多边形的外角和，即360°.所以⊙O 实际上还是自转了(lc＋1)周．1．(2015保定模拟)某学校活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：操作发现：在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的外侧作等腰直角三角形，如图①所示，其中DF⊥AB 于点F ，EG ⊥AC 于点G ，M 是BC 的中点，连接MD 和ME ，则下列结论正确的是________；(填序号即可)①AF＝AG＝错误!AB；②MD＝ME；③整个图形是轴对称图形；④∠DAB＝∠DMB.数学思考：在任意△ABC中，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图②所示，M是BC的中点，连接MD和ME，则MD与ME具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程；类比探究：在任意△ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图③所示，M是BC的中点，连接MD和ME，试判断△MED的形状．2．(2015河北中考)平面上，矩形ABCD与直径为QP的半圆K如图摆放，分别延长DA和QP交于点O，且∠DOQ＝60°，OQ＝OD＝3，OP＝2，OA＝AB＝1，让线段OD及矩形ABCD位置固定，将线段OQ连带着半圆K一起绕着点O按逆时针方向开始旋转，设旋转角为α(0°≤α≤60°)．发现：(1)当α＝0°，即初始位置时，点P________直线AB上(选填“在”或“不在”)．求当α是多少时，OQ经过点B；(2)在OQ旋转过程中，简要说明α是多少时，点P，A间的距离最小？并指出这个最小值；(3)如图，当点P恰好落在BC边上时，求α及S阴影．拓展：如图，当线段OQ与CB边交于点M，与BA边交于点N时，设BM＝x(x>0)，用含x 的代数式表示BN的长，并求x的取值范围．探究：当半圆K与矩形ABCD的边相切时，求sinα的值．。

中考数学全面突破(含详细答案)题型7 综合实践题

题型7 综合实践题题型解读此类题考查形式多样，但都与实际问题结合，且解决实际问题时一般会用到前面的结论，解题时要多结合前面的问题，大胆猜想．综合性较强，入手简单，但要得满分较难，此类题型是今后中考命题的方向，应引起重视．1.如图①，△ABC 和△DEF 中，AB ＝AC ，DE ＝DF ，∠A ＝∠D. (1)求证：BC AB ＝EFDE；(2)由(1)中的结论可知，等腰三角形ABC 中，当顶角∠A 的大小确定时，它的对边(即底边BC)与邻边(即腰AB 或AC)的比值也就确定，我们把这个比值记作T(A)，即T(A)＝∠A的对边（底边）∠A的邻边（腰）＝BCAB .如T(60°)＝1.①理解巩固：T(90°)＝________，T (120°)＝________，若α是等腰三角形的顶角，则T(α)的取值范围是________；②学以致用：如图②，圆锥的母线长为9，底面直径PQ ＝8，一只蚂蚁从点P 沿着圆锥的侧面爬行到点Q ，求蚂蚁爬行的最短路径长(精确到0.1)．(参考数据：T(160°)≈1.97，T (80°)≈1.29，T(40°)≈0.68)2. (1)如图①，已知△ABC，以AB、AC为边分别向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE、CD，请你完成图形(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)，并证明：BE＝CD；(2)如图②，已知△ABC，以AB、AC为边分别向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE、CD，猜想BE与CD有什么数量关系？并说明理由；(3)运用(1)，(2)解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图③，要测量池塘两岸相对的两点B、E的距离，已经测得∠ABC＝45°，∠CAE＝90°，AB＝BC＝100米，AC＝AE，求BE的长(结果保留根号)．3.问题：如图①，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，试判断BE、EF、FD之间的数量关系．【发现证明】小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，从而发现EF＝BE＋FD，请你利用图①证明上述结论．【类比引申】如图②，四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足__________关系时，仍有EF＝BE＋FD.【探究应用】如图③，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形ABCD.已知AB＝AD＝80米，∠B＝60°，∠ADC ＝120°，∠BAD＝150°，道路BC、CD上分别有景点E、F，且AE⊥AD，DF＝40(3－1)米，现要在E、F 之间修一条笔直的道路，求这条道路EF的长．(结果取整数，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)4.理解：数学兴趣小组在探究如何求tan 15°的值，经过思考、讨论、交流，得到以下思路：思路一如图①，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，延长CB 至点D ，使BD ＝BA ，连接AD.图① 设AC ＝1，则BD ＝BA ＝2，BC ＝ 3.tan D ＝tan 15°＝12＋3＝2－3（2＋3）（2－3）＝2－ 3. 思路二利用科普书上的和．(．差．)．角正切公式．．．．．：tan (α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β. 假设α＝60°，β＝45°代入差角正切公式：tan 15°＝tan (60°－45°)＝tan 60°－tan 45°1＋tan 60°tan 45°＝3－11＋3＝2－ 3.思路三在顶角为30°的等腰三角形中，作腰上的高也可以… 思路四 …请解决下列问题(上述思路仅供参考)． (1)类比：求出tan 75°的值；(2)应用：如图②，某电视塔建在一座小山上，山高BC 为30米，在地平面上有一点A ，则得A 、C 两点间距离为60米，从A 测得电视塔的视角(∠CAD)为45°，求这座电视塔CD 的高度；(3)拓展：如图③，直线y ＝12x －1与双曲线y ＝4x 交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，将直线AB 绕点C 旋转45°后，是否仍与双曲线相交？若能，求出交点P 的坐标；若不能，请说明理由．图②图③备用图5.【操作发现】在计算器上输入一个正数，不断地按“ ”键求算术平方根，运算结果越来越接近1或都等于1.【提出问题】输入一个实数，不断地进行“乘以常数k ，再加上常数b”的运算，有什么规律？【分析问题】我们可用框图表示这种运算过程：也可用图象描述：如图①，在x 轴上表示出x 1，先在直线y ＝kx ＋b 上确定点(x 1，y 1)，再在直线y ＝x 上确定纵坐标为y 1的点(x 2，y 1)，然后在x 轴上确定对应的数x 2，…，依次类推．【解决问题】研究输入实数x 1时，随着运算次数n 的不断增加，运算结果x n 怎样变化． (1)若k ＝2，b ＝－4，得到什么结论？可以输入特殊的数如3，4，5进行观察研究； (2)若k>1，又得到什么结论？请说明理由；(3)①若k ＝－23，b ＝2，已在x 轴上表示出x 1(如图②所示)，请在x 轴上表示x 2，x 3，x 4，并写出研究结论；②若输入实数x 1时，运算结果x n 互不相等，且越来越接近常数m ，直接写出k 的取值范围及m 的值(用含k ，b 的代数式表示)．6.问题提出(1)如图①，已知△ABC.请画出△ABC关于直线AC对称的三角形．问题探究(2)如图②，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，AE＝4，AF＝2.是否在边BC、CD上分别存在点G、H，使得四边形EFGH的周长最小？若存在，求出它周长的最小值；若不存在，请说明理由．问题解决(3)如图③，有一矩形板材ABCD，AB＝3米，AD＝6米．现想从此板材中裁出一个面积尽可能大的四边形EFGH部件，使∠EFG＝90°，EF＝FG＝5米，∠EHG＝45°.经研究，只有当点E、F、G分别在边AD、AB、BC上，且AF＜BF，并满足点H在矩形ABCD内部或边上时，才有可能裁出符合要求的部件．试问能否裁得符合要求的面积尽可能大的四边形EFGH部件？若能，求出裁得的四边形EFGH部件的面积；若不能，请说明理由．1. (1)证明：∵AB ＝AC ，DE ＝DF ， ∴AB DE ＝AC DF，又∵∠A ＝∠D ，∴△ABC ∽△DEF ，∴BC EF ＝ABDE ，∴BC AB ＝EF DE. (2)解：①2，3，0<T(α)<2.【解法提示】①如解图①，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，∠B ＝∠C ＝45°， ∴设AB ＝AC ＝x ，由勾股定理得BC ＝2x ， ∴T(90°)＝BC AB ＝2x x＝2；第1题解图①第1题解图②如解图②，在△ABC 中，∠A ＝120°，AB ＝AC ，过点A 作AD ⊥BC ， ∴∠BAD ＝60°，BD ＝12BC ，设AD ＝y ，在Rt △ABD 中，∠BAD ＝60°， ∴BD ＝AD·tan 60°＝3y ，AB ＝2AD ＝2y ， ∴BC ＝2BD ＝23y ， ∴T(120°)＝23y2y＝3； ∵∠A<180°，当∠A ＝180°时，此时AB ＝AC ＝12BC 即T(A)＝BC AB ＝BC 12BC ＝2，∵要构成三角形，∴T(A)<2， ∵T(A)＞0，∴0<T(α)<2.第1题解图②如解图，设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，∵圆锥的底面圆周长＝圆锥展开图扇形的弧长，即2πr ＝n πl180，∴r l ＝n 360， ∵ r ＝4，l ＝9，∴n ＝160. ∵T(80°)≈1.29，∴蚂蚁爬行的最短距离＝T(80°)×l ≈1.29×9≈11.6. 2. 解：(1)作图如解图①，第2题解图①证明：∵△ABD 和△ACE 为等边三角形，则AB ＝AD ，AE ＝AC ，∠DAB ＝∠EAC ＝60°，又∵∠DAC ＝∠DAB ＋∠BAC ＝∠EAC ＋∠BAC ＝∠BAE ， ∴△DAC ≌△BAE(SAS )，∴BE ＝CD. (2)BE ＝CD. 理由如下：∵四边形ABFD 和四边形ACGE 为正方形， ∴AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠DAB ＝∠EAC ＝90°，又∵∠DAC ＝∠DAB ＋∠BAC ＝∠EAC ＋∠BAC ＝∠BAE ， ∴△DAC ≌△BAE(SAS )，∴BE ＝CD.(3)如解图②，以AB 为边，作等腰直角三角形ABD ，∠BAD ＝90°，第2题解图②则AD ＝AB ＝100米，∠ABD ＝45°， ∴BD ＝100 2 米，连接CD ，则由(2)可得，BE ＝CD ， ∵∠ABC ＝45°， ∴∠DBC ＝90°，在Rt △DBC 中，BC ＝100米，BD ＝100 2 米，由勾股定理得CD ＝1002＋（1002）2＝100 3 米，则BE ＝CD ＝100 3 米．第3题解图①∴∠BAE ＝∠DAG ，∠B ＝∠ADG ，BE ＝GD ， AE ＝AG ，∴∠GAF ＝∠DAF ＋∠GAD ＝∠BAE ＋∠DAF ＝45°，在正方形ABCD 中，∠B ＝∠ADC ＝90°， ∴∠ADG ＋∠ADF ＝180°，即G 、D 、F 在一条直线上， ∵∠EAF ＝45°，在△EAF 和△GAF 中，AE ＝AG ，∠EAF ＝∠GAF ＝45°，AF ＝AF ， ∴△EAF ≌△GAF(SAS )， ∴EF ＝GF ，∴EF ＝FG ＝FD ＋DG ＝FD ＋BE. 【类比引申】∠EAF ＝12∠BAD.【解法提示】如解图②，延长CB 至M ，使BM ＝DF ，连接AM ， ∵∠ABC ＋∠D ＝180°，∠ABC ＋∠ABM ＝180°， ∴∠D ＝∠ABM ，在△ABM 和△ADF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ∠ABM ＝∠D BM ＝DF，第3题解图②∴△ABM ≌△ADF(SAS )，∴AF ＝AM ，∠DAF ＝∠BAM ， ∵∠BAD ＝2∠EAF ， ∴∠DAF ＋∠BAE ＝∠EAF ＝12∠BAD ， ∴∠EAB ＋∠BAM ＝∠EAM ＝∠EAF ，在△FAE 和△MAE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝AE ∠FAE ＝∠MAE AF ＝AM， ∴△FAE ≌△MAE(SAS )， ∴EF ＝EM ，又∵EM ＝BE ＋BM ＝BE ＋DF ， ∴EF ＝BE ＋DF.【探究应用】解：如解图③，连接AF ，延长BA 、CD 交于点O ， ∵∠BAD ＝150°，∠ADC ＝120°， ∴∠OAD ＝30°，∠ODA ＝60°， ∴△OAD 是直角三角形． ∵AD ＝80，∴AO ＝403，OD ＝40，∵OF ＝OD ＋DF ＝40＋40(3－1)＝403， ∴AO ＝OF ，第3题解图③∴∠OAF ＝45°， ∵∠OAD ＝30°， ∴∠DAF ＝15°， ∵∠EAD ＝90°，∴∠EAF ＝∠EAD －∠DAF ＝75°＝12∠BAD ，又∠B ＋∠ADC ＝180°，由(2)知EF ＝BE ＋DF.∠BAE ＝∠BAD －∠EAD ＝150°－90°＝60°＝∠B ， ∴△ABE 为等边三角形， ∴BE ＝AB ＝80，∴EF ＝BE ＋DF ＝80＋40(3－1)≈109(米)． 4. 解：(1)如解图①，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，延长CB 至点D ，使BD ＝BA ，连接AD.第4题解图①tan ∠DAC ＝tan 75°＝DC AC ＝BD ＋BC AC ＝2＋31＝2＋ 3.【一题多解】tan 75°＝tan (45°＋30°)＝tan 45°＋tan 30°1－tan 45°·tan 30°＝1＋331－33＝3＋33－3＝2＋ 3.第4题解图②(2)如解图②，在Rt △ABC 中，AB ＝AC 2－BC 2＝602－302＝303， sin ∠BAC ＝BC AC ＝3060＝12，即∠BAC ＝30°，∵∠DAC ＝45°，∴∠DAB ＝45°＋30°＝75°.在Rt △ABD 中，tan ∠DAB ＝DBAB ＝2＋3，∴DB ＝AB·tan ∠DAB ＝303·(2＋3)＝603＋90， ∴DC ＝DB －BC ＝603＋90－30＝ 603＋60.(米)答：这座电视塔CD 的高度为(603＋60)米.第4题解图③(3)直线AB 能与双曲线相交，点P 的坐标为(－1，－4)或(43，3)，理由如下：若直线AB 绕点C 逆时针旋转45°后，与双曲线相交于点P 1、P 2，如解图③，过点C 作CD ∥x 轴，过点P 1作P 1E ⊥CD 于点E ，过点A 作AF ⊥CD 于点F.解方程组⎩⎨⎧y ＝12x －1y ＝4x，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝－2， ∴点A(4，1)，点B(－2，－2)．对于y ＝12x －1，当x ＝0时，y ＝－1，则C(0，－1)，OC ＝1，∴CF ＝4，AF ＝1－(－1)＝2， ∴tan ∠ACF ＝AF CF ＝24＝12， ∴tan ∠P 1CE ＝tan (∠ACP 1＋∠ACF)＝tan (45°＋∠ACF)＝tan 45°＋tan ∠ACF 1－tan 45°·tan ∠ACF＝1＋121－12＝3，即P 1ECE ＝3.设点P 的坐标为(a ，b)，则有⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝4b ＋1a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝－4，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝43b ＝3， ∴点P 的坐标为(－1，－4)或(43，3)；(ii )若直线AB 绕点C 顺时针旋转45°后，与x 轴相交于点G ，如解图④. 由(i )可知∠ACP ＝45°，P(43，3)，则CP ⊥CG .过点P 作PH ⊥y 轴于H ，则∠GOC ＝∠CHP ＝90°，∠GCO ＝90°－∠HCP ＝∠CPH ，第4题解图④∴△GOC ∽△CHP ， ∴GO CH ＝OCHP. ∵CH ＝3－(－1)＝4，PH ＝43，OC ＝1，∴GO 4＝143＝34， ∴GO ＝3，G(－3，0)．设直线CG 的解析式为y ＝kx ＋b ，则有⎩⎪⎨⎪⎧－3k ＋b ＝0b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－13b ＝－1，∴直线CG 的解析式为y ＝－13x －1.联立⎩⎨⎧y ＝－13x －1y ＝4x，消去y ，得4x ＝－13x －1，整理得x 2＋3x ＋12＝0，∵b 2－4ac ＝32－4×1×12＝－39<0， ∴方程没有实数根，∴直线绕点C 顺时针旋转45°，与双曲线无交点．(综上所述，直线AB 绕点C 逆时针旋转45°后，能与双曲线相交，交点P 的坐标为(－1，－4)或(43，3)．5. 解：(1)若k ＝2, b ＝－4，①x 1＝3时，x 2＝2×3－4＝2，x 3＝2×2－4＝0，x 4＝2×0－4＝－4，x 5＝2×(－4)－4＝－12； ②x 1＝4时，x 2＝2×4－4＝4，x 3＝2×4－4＝4，x 4＝2×4－4＝4，x 5＝2×4－4＝4； ③x 1＝5时，x 2＝2×5－4＝6，x 3＝2×6－4＝8，x 4＝2×8－4＝12，x 5＝2×12－4＝20，由上面的特殊值可得，y ＝2x －4与y ＝x 交点的横坐标为4，所以当输入的值x>4时，x n 的值会随着运算次数的增大而增大；当输入的值x ＝4时，x n 的值不变；当输入的值x<4时，x n 的值会随着运算次数的增大而减小．(2)当k>1时，y ＝kx ＋b 与y ＝x 的交点坐标横坐标为x ＝－bk －1，所以当输入的值x>－bk －1时，x n 的值会随着运算次数的增大而增大；当输入的值x ＝－bk －1时，x n 的值不变；当输入的值x<－bk －1时，x n 的值会随着运算次数的增大而减小．理由如下：直线y ＝kx ＋b 与直线y ＝x 的交点坐标为(b 1－k ，b 1－k )，当x ＞b 1－k时，对于同一个x 的值，kx ＋b ＞x ，∴y 1＞x 1，∵y 1＝x 2，∴x 1＜x 2，同理x 2＜x 3＜…＜x n ，∴当x 1＞b1－k 时，随着运算次数n的增加，x n 越来越大，同理，当x 1＜b 1－k 时，随着运算次数n 的增加，x n 越来越小，当x ＝b1－k 时，随着运算次数n 的增加，x n 保持不变．(3)①画如解图，第5题解图结论：通过画图可得，x n 的值越来越靠近两个函数图象交点的横坐标即65；②|k|<1且k ≠0时，m ＝－bk －1.即－1＜k ＜1且k ≠0，【解法提示】两个函数图象的交点的横坐标满足kx ＋b ＝x ，解得x ＝－bk －1，且k ≠0，由(1)得|k|＜1.6. (1)【思路分析】要作对称图形，先要考虑对称的性质，即对应点关于对称轴对称，只需作出点B 关于直线AC 的对称点D ，连接AD ，CD 即可．第6题解图①解：如解图①，△ADC 即为所求作三角形．【作法提示】(1)过点B 作直线AC 的垂线，垂足为点O ；(2)在垂线上截取OD ＝OB ，连接AD ，CD ，则△ADC 即为所要求作的三角形．(2)【思路分析】四边形EFGH 的周长＝EF ＋FG ＋GH ＋HE ，由题意可知AF 和AE 的长均为定值，利用勾股定理可求得EF 的长为定值，所以要求四边形周长的最小值，只需令FG ＋GH ＋HE 最小即可，利用作对称线段将所求线段和转化到三角形中进行求解，进而利用直角三角形三边关系求出线段和最小值．第6题解图②解：存在．理由如下：如解图②，作点E 关于CD 的对称点E′，作点F 关于BC 的对称点F′，连接E′F′，交BC 于点G ，交CD 于点H ，连接FG 、EH ，则F ′G ＝FG ，E ′H ＝EH ，所以此时四边形EFGH 的周长最小．这是因为：在BC 上任取一点G′，在CD 上任取一点H′，则FG′＋G′H′＋H′E ＝F′G′＋G′H′＋H ′E ′≥E ′F ′.由题意得：BF′＝BF ＝AF ＝2，DE ′＝DE ＝2，∠A ＝90°， ∴AF ′＝6，AE ′＝8.∴E ′F ′＝10，EF ＝2 5.∴四边形EFGH 周长的最小值为EF ＋FG ＋GH ＋HE ＝EF ＋E ′F ′＝25＋10.∴在BC 、CD 上分别存在满足条件的点G 、H ，使四边形EFGH 的周长最小，最小值是25＋10.(3)【思路分析】要使四边形EFGH面积最大，因为E、F、G的位置确定，即△EFG的面积是固定的，只要求以EG为底边的△EGH最大面积即可，且∠EHG为45°，作△EFG关于EG的对称图形，以点F 的对称点O为圆心，作以EG为弦的圆，根据圆的基本性质，即EG的中垂线与圆的交点即为所求的点H′，然后再由对称的性质和勾股定理求解即可．解：能裁得．∵∠EFG＝∠A＝90°，∴∠2＋∠AFE＝∠1＋∠AFE＝90°，∴∠1＝∠2，∵EF＝FG＝5，∴△AEF≌△BFG(AAS)，∴AF＝BG，AE＝BF.设AF＝x，则AE＝BF＝3－x，∴x2＋(3－x)2＝(5)2解得x1＝1或x2＝2，∵AF＜BF，∴x2＝2舍去，∴AF＝BG＝1，AE＝BF＝2，∴DE＝4，CG＝5.如解图③，连接EG，作△EFG关于EG的对称图形△EOG，则四边形EFGO为正方形，∠EOG＝90°.以点O为圆心，OE长为半径作⊙O，则∠EHG＝45°的点H在⊙O上．连接FO，并延长交⊙O于点H，则点H在EG中垂线上．第6题解图③连接EH、GH，则∠EHG＝45°.此时，四边形EFGH就是想要裁得的四边形EFGH中面积最大的．连接CE，则CE＝CG＝DE2＋CD2＝5.∴点C在线段EG的中垂线上，连接HC，∴点F、O、H、C在一条直线上，又∵EG＝EF2＋FG2＝10，∴FO＝EG＝10.又∵CF＝BF2＋BC2＝210，∴OC＝10.又∵OH＝OE＝FG＝5，∴OH＜OC，。

2024年中考数学复习：综合与实践专项练习

综合与实践专项练习类型1 实践操作型试题1.(2022江苏宿迁)如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点,点A、B、C、D、M 均为格点.【操作探究】在数学活动课上，佳佳同学在如图①的网格中，用无刻度的直尺画了两条互相垂直的线段AB、CD，相交于点P，并给出部分说理过程.请你补充完整．．．．．．：解：在网格中取格点E，构建两个直角三角形，分别是△ABC 和△CDE.在Rt△ABC中, tan∠BAC=BCAC =12,在Rt△CDE 中, ,所以tan∠BAC=tan∠DCE.所以∠BAC=∠DCE.因为∠ACP+∠DCE=∠ACB=90°,所以∠ACP+∠BAC=90°.所以∠APC=90°,即AB⊥CD.【拓展应用】(1)图②是以格点O 为圆心，AB 为直径的圆，请你只用无刻度的直尺．．．．．．．．，在BM 上找出一点P,使PM=AM,写出作法,并给出证明;(2)图③是以格点O为圆心的圆，请你只用无刻度的直尺．．．．．．．．，在弦AB 上找出一点P，使AM²=AP⋅AB,写出作法，不用证明.2.(2022 黑龙江齐齐哈尔)综合与实践数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学.数学实践活动有利于我们在图形运动变化的过程中去发现其中的位置关系和数量关系，让我们在学习与探索中发现数学的美，体会数学实践活动带给我们的乐趣.转一转:如图①,在矩形ABCD 中,点E、F、G分别为边BC、AB、AD 的中点,连接EF、DF,H 为DF 的中点,连接GH.将△BEF绕点B 旋转,线段DF、GH 和CE 的位置和长度也随之变化.当△BEF绕点B顺时针旋转90°时，请解决下列问题：(1)图②中,AB=BC,此时点E落在AB的延长线上，点F 落在线段BC上，连接AF，猜想GH 与CE 之间的数量关系，并证明你的猜想；(2)图③中,AB=2,BC=3,则GHCE =¯;(3)当AB=m,BC=n时, GHCE =¯;剪一剪、折一折：(4)在(2)的条件下，连接图③中矩形的对角线AC，并沿对角线AC剪开，得△ABC(如图④).点M、N分别在AC、BC上,连接MN,将△CMN沿MN 翻折,使点C 的对应点P 落在AB 的延长线上,若PM 平分∠APN,,则CM的长为.类型2 探究迁移型试题3.(2022 山东泰安)问题探究(1) 在△ABC 中,BD,CE 分别是∠ABC 与∠BCA的平分线.①若∠A=60°,AB=AC,如图1,试证明:BC=CD+BE;②将①中的条件“AB=AC”去掉,其他条件不变，如图2，问①中的结论是否成立?并说明理由；迁移运用(2)若四边形ABCD 是圆的内接四边形，且∠ACB=2∠ACD,∠CAD=2∠CAB,如图3,试探究线段AD,BC,AC 之间的等量关系，并证明.4.(2022 甘肃武威)已知正方形ABCD,E为对角线AC上一点.【建立模型】如图1,连接BE,DE.求证:BE=DE;【模型应用】如图2，F 是DE 延长线上一点，FB⊥BE,EF交AB 于点G,连接AF.(1)判断△FBG的形状并说明理由；(2)若G为AB 的中点,且AB=4,求AF的长;【模型迁移】如图3,F 是DE 延长线上一点,FB⊥BE,EF 交AB 于点G,BE=BF.求证:GE= (√2−1)DE.类型3 综合应用型试题5.(2022山东潍坊)为落实“双减”政策，老师布置了一项这样的课后作业：二次函数的图象经过点(-1，-1)，且不经过第一象限，写出满足这些条件的一个函数表达式.【观察发现】请完成作业，并在直角坐标系中画出大致图象；【思考交流】小亮说：“满足条件的函数图象的对称轴一定在y轴的左侧.”小莹说：“满足条件的函数图象一定在x轴的下方.”你认同他们的说法吗?若不认同，请举例说明；【概括表达】小博士认为这个作业的答案太多，老师不方便批阅，于是探究了二次函数y=ax²+bx+c的图象与系数a，b，c 的关系，得出了提高老师作业批阅效率的方法.请你探究这个方法，写出探究过程.6.(2022湖南湘潭)在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC，直线l经过点A，过点B、C分别作l的垂线，垂足分别为点D、E.(1)特例体验:如图①,若直线l∥BC,AB=AC =√2,,分别求出线段BD、CE 和DE 的长;(2)规律探究:(i)如图②，若直线l从图①状态开始绕点A 旋转α(0°<α<45°),请探究线段BD、CE和DE 的数量关系并说明理由；(ii)如图③，若直线l从图①状态开始绕点A顺时针旋转α(45°<α<90°),与线段BC相交于点H,请再探究线段BD、CE 和DE的数量关系并说明理由；(3)尝试应用：在图③中，延长线段BD交线段AC于点F,若CE=3,DE=1,求S△BFC-。

中考数学题型解法：综合与实践专题

中考数学题型解法：综合与实践专题综合与实践近几年在中考题中出现频率越来越高，新课标修订稿中将“双基”变成“四基”，“四基”中就有“基本的活动经验”；由此可见对学生综合与实践能力的培养已经放到非常重要的位置，个人认为在今后的中考试题中会逐步的加大综合与实践的题型，在这样的大背景下本人编写了这课时二轮复习材料，希望能够对大家有一定的启发.第一部分讲解部分一．专题诠释“综合与实践”是以一类问题为载体，学生主动参与的学习活动，是帮助学生积累数学活动经验的重要途径，其具体目标是：⑴通过对有关问题的探讨，了解所学过的数与代数、图形与几何、统计与概率知识之间的关联；⑵初步获得发现问题和提出问题的经验；⑶结合实际背景，在给定目标下，设计解决问题的方案，进一步体验分析问题和解决问题的过程，发展相应的能力．“综合与实践”试题一般由问题情景、操作发现、提出问题、问题解决和应用拓展等部分构成，可以从不同角度综合考查学生基本活动技能和活动经验，以及学生在活动中形成数学思想和数学方法的能力、探究能力、创新能力和运用能力．二．解题策略和解法精讲“综合与实践”试题关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；二是根据问题情景的变化，通过类比和引申，合理进行思想方法的迁移．三．考点精讲考点1．探索应用型例1． (1)计算:如图①,直径为a的三等圆⊙O1、⊙O2、⊙O3两两外切，切点分别为A、B、C，A的长(用含a的代数式表示).求O1⑵探索:若干个直径为a 的圆圈分别按如图②所示的方案一和如图③所示的方案二的方式排放，探索并求出这两种方案中n 层圆圈的高度n h 和(用含n 、a 的代数式表示).⑶应用:现有长方体集装箱，其内空长为5米，宽为3.1米，高为3.1米.用这样的集装箱装运长为5米，底面直径(横截面的外圆直径)为0.1米的圆柱形钢管，你认为采用⑵中的哪种方案在该集装箱中装运钢管数最多？并求出一个这样的集装箱最多能装运多少根钢管？(3≈1.73)【分析】(1)三个两两外切的圆的圆心构成一个边长为圆的直径的正三角形，因此可由勾股定理求解；（2）按如图10②所示的方案一的方式排放，n 层圆圈的高度n h 就是n 个圆的直径，按如图10③所示的方案二的方式排放，n 层圆圈的高度可由（1）证得来；（3）方案一：即按图10②的方式排放钢管，放置根数为每层排放31根，可放31层，则共放31×31＝941根钢管，而方案二：即：按图10③的方式排放钢管，第一层排放31根，第二层排放30根，设钢管的放置层数为n,可得)10.10.1 3.1n -⨯+≤解得35.68n ≤ 得可放35层，则共放31×18+30×17=1068根钢管．由此可得方案二装运钢管最多．【解】(1)∵⊙O 1、⊙O 2、⊙O 3两两外切，∴O 1O 2=O 2O 3=O 1O 3=a ，又∵O 2A =O 3A ，∴O 1A ⊥O 2O 3，∴O 1A 2=2a ．⑵n h =n a ，=()a a n +-123， ⑶方案二：装运钢管最多．即：按图③的方式排放钢管，放置根数最多. 根据题意，第一层排放31根，第二层排放30根，设钢管的放置层数为n ,)10.10.1 3.1n -⨯+≤，解得35.68n ≤， ∵n 为正整数∴n =35，钢管放置的最多根数为：31×18+30×17=1068(根)．【评注】图①是图②和图③的“单元”，(1)的计算问题是后继问题的原型； (2)中的方案一很容易找到一般的规律，方案二需要将问题(1)中找到的等边三角形的模型迁移过来，通过对/1h ，/2h ，/3h ，/4h 进行计算，得到一个猜想“圆圈的高度就是能形成的最大的等边三角形的高加上一个圆圈的直径”；然后再选择n大于4的情况验证我们结论的正确性，例如n=5，我们在右侧再添加一列对圆圈的高度不产生任何影响，(不妨问自己三个问题：①如何构造直角三角形?②直角三角形的斜边与n有着怎样的联系?③等边三角形的高与圆圈的高度有着怎样的联系?)；本题的探究过程真正体现“特殊→一般→特殊”的认知规律．问题(3)是在问题(2)基础上的进一步引申，既是对上述认识的运用，又是对问题的深入探索．考点2. 拓广应用型例2．问题再现现实生活中，镶嵌图案在地面、墙面乃至于服装面料设计中随处可见．在八年级课题学习“平面图形的镶嵌”中，对于单种多边形的镶嵌，主要研究了三角形、四边形、正六边形的镶嵌问题．今天我们把正多边形．．．．的镶嵌作为研究问题的切入点，提出其中几个问题，共同来探究.我们知道，可以单独用正三角形、正方形或正六边形镶嵌平面．如右图中，用正方形镶嵌平面，可以发现在一个顶点O周围围绕着4个正方形的内角.试想：如果用正六边形来镶嵌平面，在一个顶点周围应该围绕着____个正六边形的内角．问题提出如果我们要同时用两种不同的正多边形镶嵌平面，可能设计出几种不同的组合方案？问题解决猜想1：是否可以同时用正方形、正八边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？分析：我们可以将此问题转化为数学问题来解决．从平面图形的镶嵌中可以发现，解决问题的关键在于分析能同时用于完整镶嵌平面的两种正多边形的内角特点．具体地说，就是在镶嵌平面时，一个顶点周围围绕的各个正多边形的内角恰好拼成一个周角．验证1：在镶嵌平面时，设围绕某一点有x个正方形和y个正八边形的内角可以拼成一个周角．根据题意，可得方程：()82180903608x y-⨯+ =，整理得：238x y+=，我们可以找到惟一一组适合方程的正整数解为12xy=⎧⎨=⎩．结论1：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着1个正方形和2个正八边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正方形和正八边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌．猜想2：是否可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？若能，请按照上述方法进行验证，并写出所有可能的方案；若不能，请说明理由．O验证2：结论2：．上面，我们探究了同时用两种不同的正多边形组合镶嵌平面的部分情况，仅仅得到了一部分组合方案，相信同学们用同样的方法，一定会找到其它可能的组合方案．问题拓广请你仿照上面的研究方式，探索出一个同时用三种不同的正多边形组合进行平面镶嵌的方案，并写出验证过程．猜想3：验证3：结论3：【分析】要使正多边形形成平面镶嵌，需满足的条件是在一个顶点周围围绕着的正多边形的内角恰好能拼成一个周角。

2024年中考数学综合与实践：圆、二次函数有关重难点题型

综合与实践、圆、二次函数有关重难点题型题型一综合与实践1.综合与实践问题情境：综合与实践课上，老师让同学们以“等腰直角三角形”为主题开展数学活动，并提出如下问题：如题2-1图，将等腰Rt△ABC的直角边AC与等腰Rt△ADC的斜边AC 重合，∠BAC=∠ADC=90°,试判断线段BC 与CD之间的数量关系，并加以证明.(1)数学思考：请你解答老师提出的问题；(2)猜想证明：如题2-2图，点 E 是线段AD上的一个动点(不与A，D重合)，连接CE，过点 E作EF⊥CE,分别交AB,AC于F,G两点,连接FC,试判断△CEF的形状，并说明理由.2.综合与实践【阅读理解】如题1-1图，在△ABC中，AM是BC边上的高线，由勾股定理得AM²=AB²−BM²,AM²= AC²−CM²,故AB²−BM²=AC²−CM².【知识迁移】如题1-2 图,在矩形ABCD中,当点P在矩形ABCD内任意位置时,连接AP,BP,CP,DP.求证: AP²+ CP²=BP²+DP².【探索发现】如题1-3 图，若点 P在矩形ABCD 的外部时，上述结论是否仍然成立?请加以判断，并说明理由.【尝试应用】如题1-4图，在△ABC中, AB=3,AC=4,Q为平面内一点，且AQ=1,∠BQC=90°,求 BC 的最大值.3.如题1-1图,正方形ABCD的边AB上有一点E,连接DE.(1)若AD=3AE,则sin∠ADE= ;(2)如题1-2图，将边 CB绕点 C顺时针旋转，旋转角为α，使得点 B 的对应点 F 落在DE上(点F不与点D 重合),连接BF,求∠BFE的度数;(3)如题1-3图,在(2)的条件下,若E为AB的中点,DF=n,正方形ABCD的面积为S,求S关于n的函数关系式.4.小颖在学习了摩擦力的相关知识后，准备在水平面上探究滑动摩擦力与压力之间的关系，探究步骤如下：第一步：如题3-1图，在一水平放置的木板上放置一个质量为1kg的木块(压力大小=重力大小)，用弹簧测力计沿水平方向拉动木块，使木块做匀速直线运动(滑动摩擦力的大小可以由弹簧测力计读出)；第二步：在木块上增加质量不同的砝码，使木块做匀速直线运动；当在木块上增加质量不同的砝码后，设弹簧测力计所拉物体的质量为m(kg)，弹簧测力计的示数为F(N)，通过多次测量，得到如下数据：(1)把表中的图的坐标系中，描点，连线，画出弹簧测力计拉力F关于物体质量m的图象；(2)观察所画的图象，猜测F和m之间的函数关系，求出函数表达式；(3)小颖将水平拉动木块实验变成在斜面拉动木块实验，如题3-3图，用弹簧测力计拉着木块分别沿倾斜程度不同的斜面向上做匀速直线运动.经测算，在弹性范围内，沿斜面的拉力 F(N)是高度h(m)的一次函数.当斜面水平放置在地面上时，弹簧测力计的读数为2N，高度h每增加0.1m，弹簧测力计的读数增加0.8N，若弹簧测力计的最大量程是8N，求装置高度h的取值范围.5.综合与实践某数学实验小组在学习了电阻的知识后，计划通过实验探究铂电阻在0∼100°C范围内的温度特性，具体过程如下：【知识背景】电阻温度计是根据导体电阻随温度而变化的规律来测量温度的温度计，铂电阻温度计是最精确的温度计.【实验过程】如题2-1图，将电阻温度计接入电路，开始使导体温度升温，控制温度在( 0°C−100°C范围内，每升温20°C记录一次指示仪表输出的电阻值(单位：Ω)，实验完毕后，关闭所有电源.【收集数据】记录的数据如下表：(1)如题2-2图，建立平面直角坐标系，横轴表示温度( (°C),纵轴表示电阻值(Ω)，描出以上表中的数据为坐标的各点，并进行连线；(2)观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，若在同一条直线上，请你建立适当的函数模型，并求出解析式，若不在同一条直线上，请说明理由；(3)当温度为50°C时，求铂电阻的电阻值.题型二圆的综合题1. 如题1图, △ABC内接于⊙O,AB是⊙O 的直径,分别过点 C 作⊙O 的切线，过点 O作AB的垂线，两线相交于点 D.(1)求证: ∠D=2∠A;(2)请用无刻度的直尺和圆规过点O 作AC 的垂线交AC 于点 E(保留作图痕迹，不写作法)；(3)在(2)的条件下,若AB=8,CD=3,求OE的长.2. 如题2图, △ABC内接于⊙O,延长BA至点D,连接DC,使DB=DC,过点A作AE⊥AB交DC于点E,连接B E,BE 与AC相交于点F，且满足∠ADE=2∠EAC.(1)求证:CA=CB;(2)若AD:AB=1:4,求tan∠ABC的值；的值.(3)在(2)的条件下,求AFFC3.如题1-1图, △ABC内接于⊙O,BC是⊙O的直径,CD是∠ACB的平分线,交⊙O 于点D,连接OD,交AB于点E.(1)求证:OD∥AC;,求直线AF与⊙O的位关系.(2)如题1-2图,延长OD至点 F,连接AF,使得AF=BC,且tanB=12在△ABC中,AB=AC,点O是AB边上一动点,以点O为圆心,OB长为半径作圆,交BC于点 D.过点 D作DE⊥AC,垂足为E.(1)如题2-1图,若点O为AB的中点,求证:BD=CD;(2)如题2-2图,当点O为AB 上任意一点时,求证:DE 与⊙O 相切;(3)如题2-3图,若⊙O与AC相切于点F,且⊙O的半径为3,CE=1,求AF的长.如题4图,四边形ABCE内接于⊙O, AB=AC,CE⊥BC,，过点A作BC的平行线交CE的延长线于点 D.(1)求证:AD是⊙O的切线;(2)若DE=2,AE平分∠CAD,求⊙O的半径；(3)新考法探究线段数量关系若( CE=m,DE=n,⊙O的直径为d，探究m，n与d的数量关系，并说明理由.题型三二次函数综合题1. 已知抛物线y₁=ax²−4ax+c经过点(3,−2),与x轴交于点A(x₁,0),B两点.(1)若抛物线过点(−1,2),求抛物线的解析式；(2)若−1<x₁<0,点P(5,n)(n⟩0))在该抛物线上，求a的取值范围；(3)若抛物线y₁向上平移两个单位长度后得到抛物线y₂，抛物y₁与直线y₁=kx+b(k≠0)交于点(x₁,0)(x₁<2),且函数y=y₁+y₁的图象与x轴仅有一个交点.求证：k=2a.2.如题2图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−x²+bx+c交x轴于A,B(1,0)两点,交y轴于点C(0,3),连接AC,BC.(1)求抛物线的解析式；(2)N是线段AC上一点，过点N作NN′⊥x轴于点N′,若△ABC的面积被 NN'分为1∶2的两部分，求点N 的坐标；(3)将抛物线向左平移m(m⟩0))个单位长度，与原抛物线的交点为点 D,连接 AD,BD,AC 与 BD 相交于点 E,若△ADE与△BCE的面积差为1，求m的值.3.已知抛物线y=25x2+bx+c的顶点坐标为(−2,185),与x轴交于点A,B(点A在点 B左侧),与y轴交于点C.(1)求b,c的值;(2)点M(-4，2)，N是抛物线上两点，若点N到对称轴的距离等于点M到对称轴距离的2倍，求点 N的坐标；(3)若点 P是第二象限内抛物线上一点，连接PB交AC于点D,求PDBD的最大值.x−3与x轴，y轴交于A，B两点，抛物线y=x²+bx+c经过A，B两点，M是射线4.如题2图,直线y=34BA上一动点，过点 M作MN∥y轴交抛物线于点 N.(1)求抛物线的解析式；(2)当M在线段BA上时,连接AN,BN,若S∆ABN=S∆ABO,求此时点M的坐标；(3)新考法与点的运动结合点M从点 B 出发，沿射线BA方向以每秒5个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，MB=MN?请直接写出所有符合条件的t值.5.如题3图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax²+bx−2(a≠0)与x轴交于点A(−1,0),B(0)，与y 轴交于点 C，点P为直线BC下方抛物线上一动点.(1)求抛物线的解析式；(2)过点P作PE⊥x轴于点 E，连接OP，是否存在点 P 使得. ∠OPE=∠ABC?若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由；(3) 将抛物线沿着x轴翻折，点P 的对应点为P′,连接P'B,求△P′CB面积的最大值及此时点 P的坐标.。

中考数学复习专题七综合实践题

第二部分专题综合强化
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解：(1)如图1，∵四边形ABCD是正方形，由旋转知，AD＝ AD′，∠D＝∠D′＝90°，∠DAD′＝∠OAP＝60°，
∴∠DAP＝∠D′AO，∴△APD≌△AOD′(ASA)， ∴AP＝AO.∵∠OAP＝60°，∴△AOP是等边三角形；
答图1
第二部分专题综合强化
(3)如图4，四边形ABCD纸片满足AD∥BC，AD＜BC，AB⊥BC，AB＝8，CD＝ 10，小明把该纸片折叠，得到叠合正方形，请你帮助画出叠合正方形的示意图，并求出AD，BC的长．
第二部分专题综合强化
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【思路点拨】本题是四边形综合题目，考查了折叠的性质，正方形的性质，勾股定理，梯形面积的计算，解方程．(1)根据题意得出操作形成的折痕分别是线段 AE，GF.由折叠的性质得出△ABE 的面积＝△AHE 的面积，四边形 AHFG 的面积＝四边形 DCFG 的面积，得出 S 矩形 AEFG＝12S▱ABCD，即可得出答案；(2)由矩形的性质和勾股定理求出 FH，即可得出答案；(3)折法 1 中，由折叠的性质得，AD＝BG，AE ＝BE＝12AB＝4，CF＝DF＝12CD＝5，GM＝CM，∠FMC＝90°，由叠合正方形的性质得出 BM＝FM＝4，由勾股定理得出 GM＝CM＝ CF2－FM2＝3，得出 AD＝BG ＝BM－GM＝1，BC＝BM＋CM＝7；
第二部分专题综合强化
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(2)结论：AD＝12BC．
理由如下：如图 1 中，延长 AD 到 M，使得 AD＝DM，连接 B′M，C′M，
∵B′D＝DC′，AD＝DM.∴四边形 AC′MB′是平行四边形，∴AC′＝B′M
＝AC．
∵∠BAC＋∠B′AC′＝180°，

中考数学重难题型突破之题型七综合实践题

题型七综合实践题例1．【问题情境】已知Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点E是线段AC上的一个动点(不与A、C重合)，以CE为一边作Rt△DCE，使∠DCE＝90°，且CD＝CA.沿CA方向平移△CDE，使点C移动到点A，得到△ABF.过点F作FG⊥BC，交线段BC于点G，连接DG、EG.【深入探究】(1)如图①，当点E在线段AC上时，小文猜想GC＝GF，请你帮他证明这一结论；(2)如图②，当点E在线段AC的延长线上，且CE＜CA时，猜想线段DG与EG的数量关系和位置关系，并证明你的猜想；【拓展应用】(3)如图③，将(2)中的“CE＜CA”改为“CE＞CA”，若设∠CDE＝α，请用含α的式子表示∠CGE的度数(直接回答即可，不必证明)．第1题图例2．在正方形ABCD中，BD是一条对角线，点P在直线CD上(不与点C、D重合)，连接AP，平移△ADP，使点D 移动到点C，得到△BCQ，过点Q作QH⊥BD于H，连接AH，PH.【问题发现】(1)如图①，若点P在线段CD上，AH与PH的数量关系是________，位置关系是________；【拓展探究】(2)如图②，若点P在线段CD的延长线上，其他条件不变，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，否则说明理由；【解决问题】(3)若点P在线段DC的延长线上，且∠AHQ＝120°，正方形ABCD的边长为2，请直接写出DP的长度．第2题图例3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点(不与点B、点C重合)，连接OC、OP，将线段OP绕点P逆时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ.(1)如图①，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系；(2)如图②，当点P在CB延长线上时，(1)中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；(3)如图③，当点P在BC延长线上时，若∠BPO＝45°，AC＝6，请直接写出BQ的长．第3题图例4．已知正方形ABCD，点E在直线AD上(不与点A、D重合)，连接BE，作EF⊥BE，且EF＝BE，过点F作FG⊥BC，交直线BC于点G.(1)如图①，当点E在边AD上，点G在边BC的延长线上时，求证：AB＋AE＝BG；(2)如图②，当点E在边DA的延长线上，点G在边BC上时，FG交AD于点H，试猜想AB、AE与BG的关系，并加以证明；(3)如图③，当点E 在边AD 的延长线上，点G 在边BC 上时，FG 交AD 于点N ，请直接写出线段AB 、AE 、BG 之间的数量关系，不需要证明．图① 图② 图③第4题图例5．如图，△ABC 中，AB ＝BC ，BD ⊥AC 于点D ，∠F AC ＝12∠ABC ，且∠F AC 在AC 下方，点P ，Q 分别是射线BD ，射线AF 上的动点，且点P 不与点B 重合，点Q 不与点A 重合，连接CQ ，过点P 作PE ⊥CQ 于点E ，连接DE .(1)若∠ABC ＝60°，BP ＝AQ .①如图①，当点P 在线段BD 上运动时，请直接写出线段DE 和线段AQ 的数量关系和位置关系； ②如图②，当点P 运动到线段BD 的延长线上时，试判断①中的结论是否成立，并说明理由；(2)若∠ABC ＝2α≠60°，请直接写出当线段BP 和线段AQ 满足什么数量关系时，能使(1)中①的结论仍然成立(用含α的三角函数表示)．第5题图例6．已知，△ABC 为直角三角形，∠ACB ＝90°，点P 是射线CB 上一点(点P 不与点B 、C 重合)，线段AP 绕点A 顺时针旋转90°得到线段AQ ，连接QB 交射线AC 于点M .(1)如图①，当AC ＝BC ，点P 在线段CB 上时，线段PB ，CM 的数量关系是________；(2)如图②，当AC ＝BC ，点P 在线段CB 的延长线上时，(1)中的结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由；(3)如图③，若AC BC ＝52，点P 在线段CB 的延长线上，CM ＝2，AP ＝13，求△ABP 的面积．第6题图例7．如图，等边△ABC 中，点D ，E ，F 分别为边AB ，AC ，BC 的中点，M 为直线BC 上一动点，△DMN 为等边三角形．(1)如图①，当点M 在点B 左侧时，请你判断EN 与MF 有怎样的数量关系？(2)如图②，当点M 在线段BC 上时，其他条件不变，(1)的结论中EN 与MF 的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图②证明；若不成立，请说明理由；(3)若点M 在点C 右侧时，请你在图③中画出相应的图形，并判断(1)的结论是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，若不成立请说明理由．第7题图例8．已知，在矩形ABCD中，BC＝2AB，点M为AD边的中点，连接BD，点P是对角线BD上的动点，连接AP，以点P为顶点作∠EPF＝90°，PE交AB边于点E，PF交AD边于点F.(1)发现问题如图①，当点P运动过程中∠PBA与∠P AB互余时，线段BE、MF与AB的数量关系为__________；(2)解决问题如图②，当点P运动过程中∠PBA与∠P AB相等时，请判断(1)中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；(3)拓展延伸在(2)的条件下，连接EF并延长EF，交直线BD于点G，若BE∶AF＝2∶3，EF＝85，求DG的长．第8题图例9．如图①，在等腰Rt△ABC和等腰Rt△EDB中，AC＝BC，DE＝BD，∠ACB＝∠EDB＝90°，P为AE的中点．(1)观察猜想连接PC、PD，则线段PC与PD的位置关系是________，数量关系是________；(2)探究证明如图②，当点E在线段AB上运动时，其他条件不变，作EF⊥BC于F，连接PF，试判断△PCF的形状，并说明理由；(3)拓展延伸在点E的运动过程中，当△PCF是等边三角形时，直接写出△ACB与△EDB的两直角边之比．第9题图例10．已知在△ABC 中，AB 边上的动点D 由A 向B 运动(与A ，B 不重合)，点E 与点D 同时出发，由点C 沿BC 的延长线方向运动(E 不与C 重合)，连接DE 交AC 于F ，点H 是线段AF 上一点．(1)初步尝试如图①，若△ABC 是等边三角形，DH ⊥AC ，且点D ，E 的运动速度相等，过点D 作DG ∥BC 交AC 于点G ，则GH 与AH 的数量关系是________，GF 与FC 的数量关系是________，ACHF的值是________；(2)类比探究如图②，若在△ABC 中，∠ABC ＝90°，∠ADH ＝∠A ＝30°，且点D ，E 的运动速度之比是3∶1，求ACHF 的值；(3)延伸拓展如图③，若在△ABC 中，AB ＝AC ，∠ADH ＝∠A ＝36°，记BCAB ＝m ，且点D ，E 的运动速度相等，试用含m 的代数式表示ACHF.(直接写出结果，不必写出解答过程)第10题图题型七综合实践题例1．【问题情境】已知Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点E是线段AC上的一个动点(不与A、C重合)，以CE为一边作Rt△DCE，使∠DCE＝90°，且CD＝CA.沿CA方向平移△CDE，使点C移动到点A，得到△ABF.过点F作FG⊥BC，交线段BC于点G，连接DG、EG.【深入探究】(1)如图①，当点E在线段AC上时，小文猜想GC＝GF，请你帮他证明这一结论；(2)如图②，当点E在线段AC的延长线上，且CE＜CA时，猜想线段DG与EG的数量关系和位置关系，并证明你的猜想；【拓展应用】(3)如图③，将(2)中的“CE＜CA”改为“CE＞CA”，若设∠CDE＝α，请用含α的式子表示∠CGE的度数(直接回答即可，不必证明)．第1题图【答案】(1)证明：∵在Rt△BAC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠BCA＝∠ABC＝45°，∵FG⊥BC，∴∠FGC＝90°，∴∠GFC＝90°－∠GCF＝45°，∴∠GFC＝∠GCF，∴GC＝GF；(2)解：DG＝EG，DG⊥EG；证明：同(1)可证GC＝GF，∵∠DCE＝90°，∠BCA＝45°，∴∠DCG＝45°，∵∠GFC＝45°，∴∠DCG＝∠EFG，∵△CDE平移得到△ABF，∴CE＝AF，∴CE＋CF＝AF＋CF，即EF＝AC，∵AC＝CD，∴EF＝CD，∴△DCG≌△EFG(SAS)，∴DG＝EG，∠DGC＝∠EGF，∴∠DGC－∠EGC＝∠EGF－∠EGC，即∠DGE＝∠CGF＝90°，∴DG⊥EG；(3)解：∠CGE＝180°－α.例2．在正方形ABCD中，BD是一条对角线，点P在直线CD上(不与点C、D重合)，连接AP，平移△ADP，使点D 移动到点C，得到△BCQ，过点Q作QH⊥BD于H，连接AH，PH.【问题发现】(1)如图①，若点P在线段CD上，AH与PH的数量关系是________，位置关系是________；【拓展探究】(2)如图②，若点P在线段CD的延长线上，其他条件不变，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，否则说明理由；【解决问题】(3)若点P在线段DC的延长线上，且∠AHQ＝120°，正方形ABCD的边长为2，请直接写出DP的长度．第2题图【答案】解：(1)AH＝PH，AH⊥PH；【解法提示】如解图①，连接HC，第2题解图①∵四边形ABCD是正方形，∴∠BDC＝45°，又∵QH⊥BD，∴△DHQ是等腰直角三角形，∴HD ＝HQ ，∠HDP ＝∠HQC ＝45°，由平移的性质可知DP ＝CQ ，在△HDP 和△HQC 中，⎩⎪⎨⎪⎧HD ＝HQ ∠HDP ＝∠HQC DP ＝QC ，∴△HDP ≌△HQC .∴HP ＝HC ，∠DHP ＝∠QHC .根据正方形是轴对称图形得到HA ＝HC ，∠AHD ＝∠CHD ， ∴∠AHP ＝∠AHD ＋∠DHP ＝∠CHD ＋∠QHC ＝90°，即AH ⊥PH . ∴HA ＝HP ，AH ⊥PH . (2)(1)中的结论仍然成立，理由如下：如解图②，连接HC ，第2题解图②∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠BDC ＝45°，又∵QH ⊥BD ，∴△DHQ 是等腰直角三角形，∴∠HDP ＝∠HQC ＝135°，HD ＝HQ ，由平移的性质可知DP ＝CQ ，在△HDP 和△HQC 中，⎩⎪⎨⎪⎧HD ＝HQ ∠HDP ＝∠HQC PD ＝CQ ，∴△HDP ≌△HQC (SAS)， ∴HP ＝HC ，∠DHP ＝∠QHC ，根据正方形是轴对称图形得到HA ＝HC ，∠AHD ＝∠CHD ， ∴∠AHP ＝∠AHD －∠DHP ＝∠CHD －∠CHQ ＝90°， ∴HA ＝HP ，AH ⊥PH ； (3)DP ＝2 3.【解法提示】由(1)知，AH ＝PH ，AH ⊥PH ， ∴∠HP A ＝45°，∵∠AHQ ＝120°，∴∠PHQ ＝120°－90°＝30°.∴∠PHD ＝∠QHD －∠PHQ ＝60°，∠AHB ＝∠CHB ＝∠AHP －∠PHD ＝30°， ∴∠CHP ＝∠CHB ＝∠AHB ＝30°， ∴∠CPH ＝180°－∠CHP 2＝75°，∴∠APD ＝∠CPH －∠APH ＝30°，在Rt △ADP 中，AD ＝2， ∴DP ＝2tan ∠APD＝2 3.例3．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，点O 为AB 中点，点P 为直线BC 上的动点(不与点B 、点C 重合)，连接OC 、OP ，将线段OP 绕点P 逆时针旋转60°，得到线段PQ ，连接BQ .(1)如图①，当点P 在线段BC 上时，请直接写出线段BQ 与CP 的数量关系；(2)如图②，当点P 在CB 延长线上时，(1)中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由； (3)如图③，当点P 在BC 延长线上时，若∠BPO ＝45°，AC ＝6，请直接写出BQ 的长．第3题图【答案】解：(1)CP ＝BQ;【解法提示】如解图①，连接OQ ，第3题解图①由旋转可知，PQ ＝OP ，∠OPQ ＝60°， ∴△POQ 是等边三角形，∴OP ＝OQ ，∠POQ ＝60°，在Rt △ABC 中，O 是AB 中点， ∴OC ＝OA ＝OB ，∴∠BOC ＝2∠A ＝60°＝∠POQ ， ∴∠COP ＝∠BOQ ，在△COP 和△BOQ 中，⎩⎪⎨⎪⎧OC ＝OB ∠COP ＝∠BOQ ，OP ＝OQ∴△COP ≌△BOQ (SAS)， ∴CP ＝BQ ； (2)成立，理由如下：如解图②，连接OQ ，图②由旋转知PQ ＝OP ，∠OPQ ＝60°， ∴△POQ 是等边三角形， ∴OP ＝OQ ，∠POQ ＝60°， ∵在Rt △ABC 中，O 是AB 中点， ∴OC ＝OA ＝OB ，∴∠BOC ＝2∠A ＝60°＝∠POQ ，∴∠COP ＝∠BOQ ，在△COP 和△BOQ 中，⎩⎪⎨⎪⎧OC ＝OB ∠COP ＝∠BOQ ，OP ＝OQ∴△COP ≌△BOQ (SAS)， ∴CP ＝BQ ； (3)BQ ＝6－22. 【解法提示】在Rt △ABC 中，∠A ＝30°，AC ＝6， ∴BC ＝AC ·tan A ＝2，如解图③，过点O 作OH ⊥BC 于点H ，第3题解图③∴∠OHB ＝90°＝∠BCA ，∴OH ∥AC ， ∵O 是AB 中点，∴CH ＝12BC ＝22，OH ＝12AC ＝62，∵∠BPO ＝45°，∠OHP ＝90°， ∴∠BPO ＝∠POH ，∴PH ＝OH ＝62， ∴CP ＝PH －CH ＝62－22＝6－22，连接OQ ，同(1)的方法得，BQ ＝CP ＝6－22. 例4．已知正方形ABCD ，点E 在直线AD 上(不与点A 、D 重合)，连接BE ，作EF ⊥BE ，且EF ＝BE ，过点F 作FG ⊥BC ，交直线BC 于点G .(1)如图①，当点E 在边AD 上，点G 在边BC 的延长线上时，求证：AB ＋AE ＝BG ；(2)如图②，当点E 在边DA 的延长线上，点G 在边BC 上时，FG 交AD 于点H ，试猜想AB 、AE 与BG 的关系，并加以证明；(3)如图③，当点E 在边AD 的延长线上，点G 在边BC 上时，FG 交AD 于点N ，请直接写出线段AB 、AE 、BG 之间的数量关系，不需要证明．图① 图② 图③第4题图【答案】(1)证明：如解图，延长AD 交GF 的延长线于点M ， ∵四边形ABCD 是正方形，第4题解图∴∠A ＝90°，∠ABC ＝90°，又∵FG ⊥BC ，∴四边形ABGM 是矩形， ∴AM ＝BG ，∵∠A ＝90°，EF ⊥BE ，∠M ＝90°， ∴∠AEB ＝∠MFE ，在△ABE 和△MEF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠M ∠AEB ＝∠MFE EB ＝EF ，∴△ABE ≌△MEF (AAS)， ∴AB ＝EM ，∵AM ＝AE ＋EM ＝AE ＋AB ， ∴AB ＋AE ＝BG ； (2)AB －AE ＝BG ；证明：∵∠FEH ＋∠BEA ＝90°， ∠BEA ＋∠ABE ＝90°， ∴∠FEH ＝∠ABE ，在△ABE 和△HEF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BAE ＝∠EHF ∠ABE ＝∠HEF BE ＝EF ，∴△ABE ≌△HEF (AAS)，∴EH ＝AB ，EH －AE ＝AB －AE ＝AH ， ∵四边形ABGH 是矩形， ∴AH ＝BG ，∴AB －AE ＝BG ； (3)AE ＝AB ＋BG .【解法提示】由(2)得△ABE ≌△NEF ， ∴NE ＝AB ，∵AN ＋NE ＝AN ＋AB ＝AE ，BG ＝AN ， ∴AE ＝AB ＋BG .例5．如图，△ABC 中，AB ＝BC ，BD ⊥AC 于点D ，∠F AC ＝12∠ABC ，且∠F AC 在AC 下方，点P ，Q 分别是射线BD ，射线AF 上的动点，且点P 不与点B 重合，点Q 不与点A 重合，连接CQ ，过点P 作PE ⊥CQ 于点E ，连接DE .(1)若∠ABC ＝60°，BP ＝AQ .①如图①，当点P 在线段BD 上运动时，请直接写出线段DE 和线段AQ 的数量关系和位置关系； ②如图②，当点P 运动到线段BD 的延长线上时，试判断①中的结论是否成立，并说明理由；(2)若∠ABC ＝2α≠60°，请直接写出当线段BP 和线段AQ 满足什么数量关系时，能使(1)中①的结论仍然成立(用含α的三角函数表示)．第5题图【答案】解：(1)①DE ＝12AQ ，DE ∥AQ ；②成立；【解法提示】如解图①，连接PC 、PQ ，第5题解图①∵BA ＝BC ，∠ABC ＝60°， ∴△ABC 是等边三角形， ∴BC ＝AC ，∵BC ＝AC ，∠F AC ＝∠PBC ＝30°，AQ ＝BP ， ∴△AQC ≌△BPC (SAS)， ∴QC ＝PC ，∠ACQ ＝∠BCP ，∴∠ACQ ＋∠ACP ＝∠BCP ＋∠ACP ＝60°， ∴△PCQ 是等边三角形，又PE ⊥QC ，∴E 为QC 的中点，∵AB ＝BC ，BD ⊥AC ，∴D 为AC 的中点， ∴DE ＝12AQ ，DE ∥AQ ；②成立．理由如下：如解图②，连接PC 、PQ .第5题解图②∵BA ＝BC ，∠ABC ＝60°，∴△ABC 是等边三角形，∴BC ＝AC ， ∵BC ＝AC ，∠F AC ＝∠PBC ＝30°，AQ ＝BP ， ∴△AQC ≌△BPC (SAS)， ∴QC ＝PC ，∠ACQ ＝∠BCP ， ∴∠PCQ ＝∠BCA ＝60°， ∴△PCQ 是等边三角形，又∵PE ⊥QC ，∴E 为QC 的中点， ∵AB ＝BC ，BD ⊥AC ，∴D 为AC 的中点， ∴DE ＝12AQ ，DE ∥AQ ；第5题解图③(2)如解图③，连接PC ，取PC 中点M ，连接MD 、ME ，设PE 与AC 交点为N ，∵∠PDC ＝90°， ∴MD ＝12PC ，同理ME ＝12PC ，即MP ＝MC ＝MD ＝ME ，∴P 、D 、E 、C 四点共圆，∴∠NCE ＝∠NPD ，∠EDC ＝∠NPC ， ∵DE ∥AQ ，∴∠QAC ＝∠EDC ，又∠QAC ＝∠PBC ， ∴∠NPC ＝∠PBC ，∵∠EPD ＋∠NPC ＝∠PBC ＋∠BCP ， ∴∠EPD ＝∠BCP ， ∴∠NCE ＝∠BCP .由∠NCE ＝∠BCP ，∠QAC ＝∠PBC ，得△QAC ∽△PBC ， ∴AQ BP ＝AC BC ＝2DC BC ＝2sin ∠DBC ＝2sin ∠ABC 2，即AQBP＝2sin α. 例6．已知，△ABC 为直角三角形，∠ACB ＝90°，点P 是射线CB 上一点(点P 不与点B 、C 重合)，线段AP 绕点A 顺时针旋转90°得到线段AQ ，连接QB 交射线AC 于点M .(1)如图①，当AC ＝BC ，点P 在线段CB 上时，线段PB ，CM 的数量关系是________；(2)如图②，当AC ＝BC ，点P 在线段CB 的延长线上时，(1)中的结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由；(3)如图③，若AC BC ＝52，点P 在线段CB 的延长线上，CM ＝2，AP ＝13，求△ABP 的面积．第6题图【答案】解：(1)PB ＝2CM ；【解法提示】如解图①，过点Q 作QD ⊥AC 于点D ，第6题解图①QE ⊥BC 交BC 的延长线于点E .∵AQ 是由AP 绕点A 顺时针旋转90°得到的， ∴AP ＝AQ ，且∠P AQ ＝90°，∴∠P AC ＋∠QAD ＝90°，又∠P AC ＋∠APC ＝90°， ∴∠QAD ＝∠APC ， ∴△ACP ≌△QDA (AAS)， ∴AC ＝QD ＝CE ，又∵△ABC 为等腰直角三角形， ∴AC ＝BC ＝EC ，即点C 为BE 的中点， ∴CM ＝12QE ，即QE ＝2CM ，连接AE ，∵AC ＝CE ＝BC ， ∴△ABE 为等腰直角三角形， ∴AE ＝AB ，∵∠BAE ＝∠P AQ ＝90°，∴∠BAP ＝∠EAQ ，又∵AP ＝AQ ，∴△APB ≌△AQE (SAS)， ∴BP ＝QE ＝2CM ， ∴PB ＝2CM ；(2)(1)中的结论PB ＝2CM 仍然成立；证明：如解图②所示，过点Q 作QG ⊥BC 交BC 的延长线于点G ，过点A 作AF ⊥QG 交QG 的延长线于点F .第6题解图②∵AQ 是由AP 绕点A 顺时针旋转90°得到的， ∴AP ＝AQ ，且∠P AQ ＝90°，∴∠P AC ＋∠CAQ ＝90°，又∵∠QAF ＋∠CAQ ＝90°， ∴∠P AC ＝∠QAF ， ∴△P AC ≌△QAF (AAS)， ∴AC ＝AF ，∴四边形AFGC 为正方形，∴CG ＝AC ＝BC ，即C 为BG 的中点， ∴QG ＝2CM ，连接AG 可得，△ABG 为等腰直角三角形， ∴AB ＝AG ，∠P AB ＋∠BAQ ＝∠QAG ＋∠BAQ ＝90°， ∴∠P AB ＝∠QAG ， ∴△P AB ≌△QAG (SAS)， ∴PB ＝QG ＝2CM ， ∴PB ＝2CM ；(3) 如解图③所示，过点Q 作QH ⊥AC 交AC 的延长线于点H .第6题解图③由题知，AC BC ＝52，设AC ＝5a ，BC ＝2a ，由(2)知，△ACP ≌△QHA ，∴QH ＝AC ＝5a ，又∵△BCM ∽△QHM ， ∴BC QH ＝CM MH， ∴2a 5a ＝2MH，∴MH ＝5，又∵AP ＝AQ ＝13，∴在Rt △AHQ 中，根据勾股定理得：QH 2＋AH 2＝AQ 2， ∴(5a )2＋(5a ＋2＋5)2＝132，化简得：5a 2＋7a －12＝0，即(a －1)(5a ＋12)＝0，解得：a 1＝1，a 2＝－125(舍)，∴BC ＝2，AH ＝CP ＝12，AC ＝5， ∴BP ＝PC －BC ＝12－2＝10， ∴S △ABP ＝12BP ·AC ＝12×10×5＝25.例7．如图，等边△ABC 中，点D ，E ，F 分别为边AB ，AC ，BC 的中点，M 为直线BC 上一动点，△DMN 为等边三角形．(1)如图①，当点M 在点B 左侧时，请你判断EN 与MF 有怎样的数量关系？(2)如图②，当点M 在线段BC 上时，其他条件不变，(1)的结论中EN 与MF 的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图②证明；若不成立，请说明理由；(3)若点M 在点C 右侧时，请你在图③中画出相应的图形，并判断(1)的结论是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，若不成立请说明理由．第7题图【答案】解：(1)EN ＝MF ；【解法提示】如解图①，连接DE 、DF ， ∵D 、E 、F 是等边△ABC 三边中点，∴△DEF 是等边三角形，∴DE ＝DF ，∠EDF ＝60°， ∵△DMN 为等边三角形，∴DM ＝DN ，∠MDN ＝60°， ∴∠MDF ＝∠NDE ＝60°＋∠NDF ， ∴△DMF ≌△DNE (SAS)，∴EN ＝MF .图① 图②第7题解图(2)成立．证明：如解图②，连接DE 、DF 和EF ， ∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝AC ＝BC . 又∵D ，E ，F 是三边的中点， ∴DE ，DF ，EF 为三角形的中位线， ∴DE ＝DF ＝EF ，∠FDE ＝60°.又∵∠MDF ＋∠FDN ＝60°， ∠NDE ＋∠FDN ＝60°， ∴∠MDF ＝∠NDE .在△DMF 和△DNE 中，⎩⎪⎨⎪⎧DF ＝DE ，∠MDF ＝∠NDE ，DM ＝DN ，∴△DMF ≌△DNE (SAS)，∴EN ＝FM ； (3)画出图形如解图③，第7题解图③MF 与EN 相等的结论仍然成立(或EN ＝MF 成立)．【解法提示】如解图④，连接DE 、EF 、DF .第7题解图④∵D 、E 、F 分别为AB 、AC 、BC 的中点，且△ABC 是等边三角形，∴△DEF 是等边三角形， ∴DE ＝DF ，∠EDF ＝60°. ∵△DMN 是等边三角形， ∴DM ＝DN ，∠MDN ＝60°，∴∠MDF ＋∠MDE ＝∠MDE ＋∠NDE ，∴∠MDF ＝∠NDE ， ∴△MDF ≌△NDE (SAS)， ∴MF ＝NE .例8．已知，在矩形ABCD 中，BC ＝2AB ，点M 为AD 边的中点，连接BD ，点P 是对角线BD 上的动点，连接AP ，以点P 为顶点作∠EPF ＝90°，PE 交AB 边于点E ，PF 交AD 边于点F .(1)发现问题如图①，当点P 运动过程中∠PBA 与∠P AB 互余时，线段BE 、MF 与AB 的数量关系为__________； (2)解决问题如图②，当点P 运动过程中∠PBA 与∠P AB 相等时，请判断(1)中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；(3)拓展延伸在(2)的条件下，连接EF 并延长EF ，交直线BD 于点G ，若BE ∶AF ＝2∶3，EF ＝85，求DG 的长．第8题图【答案】解：(1)BE －12MF ＝12AB ；【解法提示】如解图①，取AB 的中点N ，连接PN 、PM .第8题解图①∵∠PBA 与∠P AB 互余， ∴∠PBA ＋∠P AB ＝90°， ∴∠APB ＝90°， ∴∠APD ＝90°，∵N 是AB 的中点，M 是AD 的中点，∴PN ＝BN ＝AN ＝12AB ，AM ＝DM ＝PM ＝12AD ，∴∠NAP ＝∠NP A ，∠MAP ＝∠MP A . ∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD ＝90°，AB ＝CD ，AD ＝BC . ∵BC ＝2AB ， ∴AD ＝2AB ， ∴AB AD ＝12，而∠NAP ＋∠MAP ＝∠BAD ＝90°， ∴∠NP A ＋∠MP A ＝90°，即∠NPM ＝90°. ∵∠EPF ＝90°， ∴∠NPM ＝∠EPF ，∴∠NPM －∠EPM ＝∠EPF －∠EPM ， ∴∠NPE ＝∠MPF .∵∠ABP ＋∠BAP ＝90°，∠BAP ＋∠DAP ＝90°， ∴∠ABP ＝∠DAP . ∵PN ＝BN ，AM ＝PM ，∴∠ABP ＝∠BPN ，∠DAP ＝∠MP A ， ∴∠ENP ＝∠FMP ， ∴△PNE ∽△PMF ， ∴NE MF ＝PN PM ＝12AB12AD ＝12. ∴NE ＝12MF ，∵BE －NE ＝BN ， ∴BE －12MF ＝BN ，又∵BN ＝12AB ，∴BE －12MF ＝12AB .(2)不成立；理由如下：如解图②，取AB 的中点N ，连接PN 、PM ，第8题解图②∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠ABC＝90°，AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∵∠PBA＝∠P AB，∴P A＝PB，∵N是AB的中点，∴PN⊥AB，∴∠ANP＝90°，∵∠P AB＋∠P AD＝90°，∠PBA＋∠PBC＝90°，∴∠P AD＝∠PBC，∴∠P AD＝∠PDA，∴P A＝PD.∵M是AD的中点，∴PM⊥AD，∴∠PMA＝90°，∴四边形PMAN是矩形，∴∠NPM＝90°，AN＝PM，PN＝AM.∵∠EPF＝90°，∴∠NPM＝∠EPF，∴∠NPM－∠EPM＝∠EPF－∠EPM，∴∠NPE＝∠MPF.∵∠PNE＝∠PMF＝90°，∴△PNE∽△PMF，∴NEMF＝PNPM＝12AD12AB.∵AD ＝2AB ， ∴NE ＝2MF . ∵BE －NE ＝BN ， ∴BE －2MF ＝BN ， ∵N 是AB 的中点， ∴BN ＝12AB ，∴BE －2MF ＝12AB ，故(1)中结论不成立；(4) 如解图③，延长CD 交FG 于点H ，设BE ＝2a ，则AF ＝3a .第8题解图③∵BE －2MF ＝12AB ，∴BE －2(AF －AM )＝12AB .∵AM ＝AB ，∴2a －2(3a －AB )＝12AB ，∴AB ＝83a ，∴AD ＝163a ，AE ＝23a ，FD ＝73a .∵AE 2＋AF 2＝EF 2， ∴(23a )2＋(3a )2＝(85)2，解得a 1＝3，a 2＝－3(舍去)．∴AE ＝2，BE ＝6，AF ＝9，DF ＝7，BD ＝8 5. ∵HD ∥AB ， ∴△AEF ∽△DHF ， ∴DH AE ＝DF AF ， ∴DH 2＝79，∴DH ＝149.∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ∥CD ，即HD ∥BE . ∴△GDH ∽△GBE ， ∴DG BG ＝DH BE， ∴DGDG ＋85＝1496， ∴DG ＝1455.例9．如图①，在等腰Rt △ABC 和等腰Rt △EDB 中，AC ＝BC ，DE ＝BD ，∠ACB ＝∠EDB ＝90°，P 为AE 的中点． (1)观察猜想连接PC 、PD ，则线段PC 与PD 的位置关系是________，数量关系是________； (2)探究证明如图②，当点E 在线段AB 上运动时，其他条件不变，作EF ⊥BC 于F ，连接PF ，试判断△PCF 的形状，并说明理由； (3)拓展延伸在点E 的运动过程中，当△PCF 是等边三角形时，直接写出△ACB 与△EDB 的两直角边之比．第9题图【答案】解：(1)PC ⊥PD ，PC ＝PD ；【解法提示】如解图①，过点E 作EF ⊥BC 于F ，过点P 作PH ⊥BC 于H ，连接PF ，第9题解图①易得四边形EFBD 是正方形， ∴EF ＝ED ，∠DEB ＝∠FEB ＝45°，∴∠PEF ＝∠PED ＝135°，在△PEF 和△PED 中， ⎩⎪⎨⎪⎧EF ＝ED ∠PEF ＝∠PED PE ＝PE， ∴△PEF ≌△PED (SAS)， ∴PF ＝PD ，∠EPF ＝∠EPD ， ∵AC ∥PH ∥EF ，点P 为AE 的中点， ∴点H 是FC 的中点， ∴CH ＝HF ，又PH ⊥BC ，∴PC ＝PF ，故△PCF 是等腰三角形，∴∠CPH ＝∠FPH ， ∴PC ＝PD ；∵∠HPB ＝∠HPF ＋∠EPF ＝45°，∴∠CPD ＝∠CPH ＋∠HPF ＋∠EPF ＋∠EPD ＝2(∠HPF ＋∠EPF )＝90°， ∴PC ⊥PD .(2)△PCF 为等腰三角形，理由如下：如解图②，过点P 作PH ⊥BC 于点H ，第9题解图②则AC ∥PH ∥EF ， ∵P 为AE 的中点，∴点H 是FC 的中点，∴CH ＝HF ，又PH ⊥BC ， ∴PC ＝PF ，∴△PCF 为等腰三角形； (3)3＋2.【解法提示】如解图③，过点E 作EF ⊥BC 于点F ，过点P 作PH ⊥BC 于点H ，由(1)知，四边形BDEF 为正方形，设EF ＝BF ＝BD ＝x ，HF ＝y ，第9题解图③∵△PCF 是等边三角形， ∴PH ＝3y ， ∵PH ∥EF ， ∴△BEF ∽△BPH ， ∴EF PH ＝BF BH ，即x 3y ＝x x ＋y，解得y ＝3＋12x ， ∴BC ＝x ＋2y ＝(3＋2)x ， ∴BC BD ＝（3＋2）x x＝3＋2. ∴△ACB 与△EDB 的两直角边之比为3＋2.例10．已知在△ABC 中，AB 边上的动点D 由A 向B 运动(与A ，B 不重合)，点E 与点D 同时出发，由点C 沿BC 的延长线方向运动(E 不与C 重合)，连接DE 交AC 于F ，点H 是线段AF 上一点．(1)初步尝试如图①，若△ABC 是等边三角形，DH ⊥AC ，且点D ，E 的运动速度相等，过点D 作DG ∥BC 交AC 于点G ，则GH 与AH 的数量关系是________，GF 与FC 的数量关系是________，ACHF的值是________；(2)类比探究如图②，若在△ABC 中，∠ABC ＝90°，∠ADH ＝∠A ＝30°，且点D ，E 的运动速度之比是3∶1，求ACHF 的值；(3)延伸拓展如图③，若在△ABC 中，AB ＝AC ，∠ADH ＝∠A ＝36°，记BCAB ＝m ，且点D ，E 的运动速度相等，试用含m 的代数式表示ACHF.(直接写出结果，不必写出解答过程)第10题图【答案】解：(1)GH ＝AH ，GF ＝FC ，2；【解法提示】∵DG ∥BC ， ∴∠ADG ＝∠B ，∠AGD ＝∠ACB ， ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A ＝∠B ＝∠ACB ＝60°， ∴∠ADG ＝∠AGD ＝∠A ，∴△ADG 是等边三角形，∴GD ＝AD ＝CE ， ∵DH ⊥AC ，∴GH ＝AH ， ∵DG ∥BC ，∴∠GDF ＝∠CEF ，∠DGF ＝∠ECF ，在△GDF 和△CEF 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧∠GDF ＝∠CEF GD ＝CE ∠DGF ＝∠ECF ， ∴△GDF ≌△CEF (ASA)， ∴GF ＝CF ，∴GH ＋GF ＝AH ＋CF ，即HF ＝12AC ，∴ACHF＝2. (2)如解图①，过点D 作DG ∥BC ，交AC 于点G ，第10题解图①则∠ADG ＝∠B ＝90°，∵∠A ＝∠ADH ＝30°，∴∠HGD ＝∠HDG ＝60°， ∴△DHG 是等边三角形， ∴AH ＝GH ＝GD ，AD ＝3GD ，根据题意得AD ＝3CE ，∴GD ＝CE ，∵DG ∥BC ，∴∠GDF ＝∠CEF ，∠DGF ＝∠ECF ，在△GDF 和△CEF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠GDF ＝∠CEF GD ＝CE ∠DGF ＝∠ECF ，∴△GDF ≌△CEF (ASA)， ∴GF ＝CF ，∴GH ＋GF ＝AH ＋CF ，即HF ＝12AC ，∴ACHF ＝2；(3)AC HF ＝m ＋1m. 【解法提示】如解图②，过点D 作DG ∥BC ，交AC 于点G ，第10题解图②则∠ADG ＝∠B ，∠AGD ＝∠ACB ，AD ＝EC ， ∵AB ＝AC ，∠A ＝36°，∴∠ACB ＝∠B ＝∠ADG ＝∠AGD ＝72°， ∵∠ADH ＝∠A ＝36°，∴AH ＝DH ，∠DHG ＝72°＝∠AGD ， ∴DG ＝DH ＝AH ，∴△ADG ∽△ABC ，△ADG ∽△DGH ，∴△DGH ∽△ABC ，∴GH DG ＝BC AB ＝DG AD ＝m ，∴GHAH ＝m ，∵DG ∥BC ，∴△DFG ∽△EFC ，∴GF FC ＝DGCE，第 31 页共 31 页又∵CE ＝AD ，∴DG CE ＝DG AD ＝m ，∴GF FC ＝DG CE＝m ， ∴GH ＋GF AH ＋FC ＝HF AH ＋FC ＝m ，∴AH ＋FC HF ＝1m ， ∴AC HF ＝AH ＋FC ＋HF HF ＝1m ＋1＝m ＋1m.。

中考数学压轴题全面突破综合训练(含答案详解)

（3）当时，点E有1个；当时，点E
有2个．
2.（1）c=3．
（2）△ADE的面积S的最大值为．
（3）或．
3.（1）顶点坐标为（2，m1），m=2．
（2）点N的纵坐标为，证明略．
（3）M ．
4.（1）y=x2+4x+3．
（2），⊙O1的半径为．
（3）符合条件的点N的坐标为（）或（）．
中考数学压轴题全面突破•综合训练
1.（2012浙江义乌）如图1，已知直线y=kx与抛物线交于点A(3，6)．
（1）求直线y=kx的解析式和线段OA的长度．
（2）点P为第一象限内抛物线上一动点，过点P作直线PM，交x轴于点M（点M与点O不合），交直线OA于点Q，再过点Q作直线PM的垂线，交y轴于点N．试探究：线段QM与线段QN的长度之比是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求cos∠CAB的值和⊙O1的半径；
（3）如图2，抛物线的顶点为P，连接BP，CP，BD，M为弦BD的中点．若点N在坐标平面内，满足△BMN∽△BPC，请直接写出所有符合条件的点N的坐标．
5.（2011浙江丽水）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(10，0)．以OA为直径在第一象限内作半圆C，点B是该半圆周上一动点，连接OB，AB，并延长AB至点D，使DB=AB．过点D作x轴的垂线，分别交x轴、直线OB于点E，F，点E为垂足，连接CF．
9.（2012辽宁本溪）如图，抛物线经过B(-1，0)，C(3，0)两点，与y轴交于点A．将线段OB绕点O顺时针旋转90°，点B的对应点为点M，过点A的直线与x轴交于点D(4，0)．直角梯形EFGH的上底EF与线段CD重合，顶点G在直线AD上，∠FEH=90°，EF∥HG，且EH=EF=1．直角梯形EFGH从点D开始，沿射线DA方向匀速运动，运动的速度为每秒1个单位长度，在运动过程中腰FG与直线AD始终重合，设运动时间为t秒．

2024年中考数学二轮复习题型全通关专练—综合与实践(含答案)

2024年中考数学二轮复习题型全通关专练—综合与实践（含答案）初中阶段综合与实践领域，可采用项目式学习的方式，以问题解决为导向，，整合数学与其他学科的知识和思想方法，让学生从数学的角度观察与分析、思考与表达、解决与阐释社会生活以及科学技术中遇到的现实问题，感受数学与科学、技术、经济、金融、地理、艺术等学科领域的融合，积累数学活动经验，体会数学的科学价值，提高发现与提出问题、分析与解决问题的能力，发展应用意识、创新意识和实践能力．考点讲解：跨章节的综合与实践，就是利用同板块的内容解决问题，但这些内容来自初中的不同年级的不同章节．【例1】（2023·宁夏·统考中考真题）1．综合与实践问题背景数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为36︒的等腰三角形，对此三角形产生了极大兴趣并展开探究．探究发现如图1，在ABC 中，36A ∠=︒，AB AC =．（1）操作发现：将ABC于点D，连接DE，DB （用含x的式子表示）（2）进一步探究发现：证明：512 BCAC-=底腰【变1】（2023·江苏盐城·统考中考真题）2．综合与实践【问题情境】如图1，小华将矩形纸片ABCD试卷第2页，共16页考点讲解：跨板块的综合与实践，就是利用不同数学模块的内容综合解决问题，但这些板块都来自于初中所学的知识，是这些知识的综合应用．【问题解决】请你基于上述数据整理的信息解答下列问题：(1)这8周每周来访旅客的平均人数有______万人；(2)求平均每周到访该市只游玩一天的游客人数；(3)请你通过计算估计第9周来访的旅客量约是多少万人？（精确到0.1）【问题提出】小组同学提出这样一个问题：若【问题探究】小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：设AB为m x，BC为m y．由矩形地块面积为成是反比例函数8yx=的图象在第一象限内点的坐标；满足条件的(),x y可看成一次函数这两个条件的(),x y就可以看成两个函数图象交点的坐标．试卷第4页，共16页（1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空．【类比探究】（2）若6a =，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图说明理由．【问题延伸】当木栏总长为m a 时，小颖建立了一次函数是直线2y x =-通过平移得到的，在平移过程中，当过点比例函数()80y x x=>的图象有唯一交点．（3）请在图2中画出直线2y x a =-+过点【拓展应用】小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题在第一象限内交点的存在问题”．（4）若要围出满足条件的矩形地块，且AB 值范围．考点讲解：跨学科的综合与实践，就是利用数学知识和方法解决其它学科的问题，或者把数学与其它学科结合起来，共同解决实际问题．【例1】（2022·广西·统考中考真题）芒果树叶的长宽比荔枝树叶的长宽比【问题解决】试卷第6页，共16页【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：()0()m m l M a y +⋅=⋅+.其中秤盘质量0m 克，重物质量m 克，秤砣质量M 克，秤纽与秤盘的水平距离为l 厘米，秤纽与零刻线的水平距离为a 厘米，秤砣与零刻线的水平距离为y 厘米．【方案设计】目标：设计简易杆秤．设定010m =，50M =，最大可称重物质量为1000克，零刻线与末刻线的距离定为50厘米．任务一：确定l 和a 的值．(1)当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于l ，a 的方程；(2)当秤盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于l ，a 的方程；(3)根据（1）和（2）所列方程，求出l 和a 的值．任务二：确定刻线的位置．(4)根据任务一，求y 关于m 的函数解析式；(5)从零刻线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻线，请写出相邻刻线间的距离．（2023·广东·统考中考真题）7．综合与实践主题：制作无盖正方体形纸盒素材：一张正方形纸板．步骤1：如图1，将正方形纸板的边长三等分，画出九个相同的小正方形，并剪去四个角上的小正方形；步骤2：如图2，把剪好的纸板折成无盖正方体形纸盒．猜想与证明：试卷第8页，共16页(1)直接写出纸板上ABC ∠与纸盒上111A B C ∠的大小关系；(2)证明（1）中你发现的结论．（2023·广西北海·统考二模）8．综合与实践【数学理解】德国数学家米勒曾提出最大视角问题，对该问题的一般描述是：如图2，已知点A ，B 是MON ∠的边OM 上的两个定点，C 是ON 边上的一个动点，当且仅当ABC 的外接圆与ON 边相切于点C 时，ACB ∠最大．人们称这一命题为米勒定理．(1)【问题提出】如图1，在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN 进攻，当甲带球冲到A 点时，乙已跟随冲到B 点，仅从射门角度大小考虑，甲是自己射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好？假设球员对球门的视角越大，足球越容易被踢进．请结合你所学知识，求证：MBN MAN ∠>∠．(2)【问题解决】如图3，已知点A ，B 的坐标分别是()0,1，()0,3，C 是x 轴正半轴上的一动点，当ABC 的外接圆⊙D 与x 轴相切于点C 时，ACB ∠最大．当ACB ∠最大时，求点C 的坐标．（2023·山东临沂·统考中考真题）9．综合与实践问题情境小莹妈妈的花卉超市以15元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，小莹帮试卷第10页，共16页（1）如图2，分别以BC 、CA 、AB 为边向外作的等腰直角三角形的面积为1S 、2S 、3S ，则1S 、2S 、3S 之间的数量关系是______．（2）如图3，分别以BC 、CA 、AB 为边向外作的等边三角形的面积为4S 、5S 、6S ，试猜想4S 、5S 、6S 之间的数量关系，并说明理由．实践应用（1）如图4，将图3中的BCD 绕点B 逆时针旋转一定角度至BGH ，ACE 绕点A 顺时针旋转一定角度至AMN ，GH 、MN 相交于点P ．求证：PHN PMFG S S = 四边形；（2）如图5，分别以图3中Rt ABC 的边BC 、CA 、AB 为直径向外作半圆，再以所得图形为底面作柱体，BC 、CA 、AB 为直径的半圆柱的体积分别为1V 、2V 、3V ．若4AB =，柱体的高8h =，直接写出12V V +的值．（2022·甘肃兰州·统考中考真题）11．综合与实践问题情境：我国东周到汉代一些出土实物上反映出一些几何作图方法，如侯马铸铜遗址出土车軎范、芯组成的（如图1），它的端面是圆形，如图2是用“矩”（带直角的角尺）确定端面圆心的方法．．．．．：将“矩”的直角尖端A 沿圆周移动，直到AB AC =，在圆上标记A ，B ，C 三点；将“矩”向右旋转，使它左侧边落在A ，B 点上，“矩”的另一条边与圆的交点标记为D 点，这样就用“矩”确定了圆上等距离的A ，B ，C ，D 四点，连接AD ，BC 相交于点，这样就用“矩”确定了圆上等距离的A ，B ，C ，D 四点，连接AD ，BC 相交于点O ，即O 为圆心．(1)问题解决：请你根据“问题情境”中提供的方法，用三角板还原．．我国古代几何作图确定圆心O ．如图3，点A ，B ，C 在O 上，AB AC ⊥，且AB AC =，请作出圆心O ．（保留作图痕迹，不写作法）(2)类比迁移：小梅受此问题的启发，在研究了用“矩”（带直角的角尺）确定端面圆心的方法后发现，如果AB 和AC 不相等，用三角板也可以确定圆心O ．如图4，点A ，B ，C 在O 上，AB AC ⊥，请作出圆心O ．（保留作图痕迹，不写作法）(3)拓展探究：小梅进一步研究，发现古代由“矩”度量确定圆上等距离点时存在误差，用平时学的尺规作图．．．．的方法确定圆心可以减少误差．如图5，点A ，B ，C 是O 上任意三点，请用不带刻度的直尺和圆规作出圆心O ．（保留作图痕迹，不写作法）请写出你确定圆心的理由：______________________________．（2023·广西桂林·统考一模）12．综合与实践[问题情境]学习完《解直角三角形的应用》后，同学们对如何建立解直角三角形的模型测量物体的实际高度产生了浓厚的兴趣，数学老师决定开展一次主题为《测量学校旗杆高度》的数学实践活动，并为各小组准备了卷尺、测角仪等工具，要求各小组建立测高模型并测量学校旗杆的高度．[问题探究]第一小组的同学经过讨论，制定出了如下测量实施方案：第一步，建立测高模型，画出测量示意图（如图1），明确需要测量的数据和测量方法：试卷第12页，共16页(1)n 的值为；该小组选择不同的位置测量三次，再以三次测量计算的旗杆高度的平均数作为研究结论，这样做的目的是．(2)该测量模型中，若CD a AC b ==，，仰角为α，用含a b α，，的代数式表示旗杆高度为．[拓展应用](3)第二小组同学设计的是另外一种测量方案，他们画出的测量示意图如图2，测量时，固定测角仪的高度为1m ，先在点C 处测得旗杆顶端B 的仰角30α=︒，然后朝旗杆方向试卷第14页，共16页（3）方法迁移：用正方形纸片ABCD 折叠出一个2阶奇妙矩形．要求：在图（3）中画出折叠示意图并作简要标注．（4）探究发现：小明操作发现任一个n 阶奇妙矩形都可以通过折纸得到．他还发现：如图（4），点E 为正方形ABCD 边AB 上（不与端点重合）任意一点，连接CE ，继续（2）中操作的第二步、第三步，四边形AGHE 的周长与矩形GDCK 的周长比值总是定值．请写出这个定值，并说明理由．（2023·青海·统考中考真题）15．综合与实践车轮设计成圆形的数学道理小青发现路上行驶的各种车辆，车轮都是圆形的.为什么车轮要做成圆形的呢？这里面有什么数学道理吗？带着这样的疑问，小青做了如下的探究活动：将车轮设计成不同的正多边形，在水平地面上模拟行驶.(1)探究一：将车轮设计成等边三角形，转动过程如图1，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是 BD ，2BA CA DA ===，圆心角120BAD ∠=︒.此时中心轨迹最高点是C （即 BD 的中点），转动一次前后中心的连线是BD （水平线），请在图2中计算C 到BD 的距离1d .(2)探究二：将车轮设计成正方形，转动过程如图3，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是 BD，2BA CA DA ===，圆心角90BAD ∠=︒.此时中心轨迹最高点是C （即 BD 的中点），转动一次前后中心的连线是BD （水平线），请在图4中计算C 到BD 的距离2d （结果保留根号）.(3)探究三：将车轮设计成正六边形，转动过程如图5，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是 BD ，圆心角BAD ∠=______.此时中心轨迹最高点是C （即 BD 的中点），转动一次前后中心的连线是BD （水平线），在图6中计算C 到BD 的距离3d =______（结果保留根号）.(4)归纳推理：比较1d ，2d ，3d 大小：______，按此规律推理，车轮设计成的正多边形边数越多，其中心轨迹最高点与转动一次前后中心连线（水平线）的距离______（填“越大”或“越小”）.(5)得出结论：将车轮设计成圆形，转动过程如图7，其中心（即圆心）的轨迹与水平地面平行，此时中心轨迹最高点与转动前后中心连线（水平线）的距离d ______.这样车辆行驶平稳、没有颠簸感.所以，将车轮设计成圆形.试卷第16页，共16页参考答案：答案第2页，共27页∵在菱形ABCD 中，BAD ∠=∴36,CAD ACD CD ∠=∠=︒=∴EDC DAC ACD ∠=∠+∠=∴EDC AEC ∠=∠，∴1CE CD ==，∴ACE △为黄金三角形，由折叠得：EF BD⊥，OB= BOF DOE∴∠=∠=︒，90四边形ABCD是矩形，∴∥，AD BC∴∠=∠，OBF ODEBMF BCD∴∠=∠，FBM DBC∠=∠，BFM BDC ∴△∽△，∴BM BFBC BD=，即3845BM=，答案第4页，共27页四边形ABCD 是矩形，OA OB ∴=，90OBA OBC ∠+∠=OAB OBA ∴∠=∠，设OAB OBA α∠=∠=，则90OBC α∠=︒-，答案第6页，共27页答案第8页，共27页（4）根据题意可得∶若要围出满足条件的矩形地块，内交点的存在问题，即方程()820x a a x -+=>有实数根，整理得：2280x ax -+=，∴()2Δ4280a =--⨯⨯≥，把()8,1代入2y x a =-+得：解得：17a =，∴817a ≤≤．【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数综合，意得出等量关系，掌握待定系数法，会根据函数图形获取数据．5．(1)3.75，2.0(2)②(3)这片树叶更可能来自于荔枝，理由见解析答案第10页，共27页答案第12页，共27页设小正方形边长为1，则AC 22255AC BC AB +=+=Q ABC ∴ 为等腰直角三角形，∵1111111A C B C A C B ==⊥，【点睛】本题考查圆的基本性质，关系，垂径定理，圆的切线定理．9．(1)见解析(2)售价每涨价2元，日销售量少卖(3)①定价为每盆25元或每盆35够获得最大利润【分析】（1）按照从小到大的顺序进行排列即可；（2）根据表格数据，进行求解即可；（3）①设定价应为x元，根据题意，列出一元二次方程，进行求解即可；②设每天的利润为w，列出二次函数表示式，利用二次函数的性质，进行求解即可．答案第14页，共27页答案第16页，共27页作∠ABD=90°，BD与圆相交于∵∠CAB=∠ABD=90°，∴BC、AD是圆的直径，∴点O是圆的圆心．（2）解：如图所示，点O就是圆的圆心．答案第18页，共27页作∠ABD =90°，BD 与圆相交于D ，连接BC 、AD 相交于点O ，∵∠CAB =∠ABC =90°，∴BC 、AD 是圆的直径，∴点O 是圆的圆心．（3）解：如图所示，点O 就是圆的圆心．作AB 的垂直平分线DE ，作AC 的垂直平分线MN ，DE 交MN 于O ，∵DE 垂直平分AB ，∴DE 经过圆心，即圆心必在直线DE 上，∵MN 垂直平分AC ，∴MN 经过圆心，即圆心必在直线MN 上，∴DE 与MN 的交点O 是圆心．确定圆心的理由：弦的垂直平分线经过圆心．【点睛】本题考查圆周角定理的推论，垂径定理的推论，尺规作线段垂直平分线，熟练掌握直角的圆周角所对的弦是直径是解题的关键．12．(1)13.1；减小误差(2)tan b aα+答案第20页，共27页答案第22页，共27页设正方形的边长为2，根据折叠的性质，可得设DG x =，则2AG =-根据折叠，可得GH GD =理由如下，连接GE ，设正方形的边长为设DG x =，则4AG x=-根据折叠，可得GH GD =在Rt BEC △中，EC =答案第24页，共27页设DG x =，则1AG x=-根据折叠，可得GH GD =在Rt BEC △中，EC EB =∴211EH m =+-，在Rt ,Rt AEG GHE 中，2222,AG AE GE GH +=+2AB AD == ，AC 12BAC CAD ∴∠=∠=AB AD，AC⊥=∴∠=∠=ABD ADBsinAE AB ABD∴=⋅∠∴==-d CE AC AE∠=∴=，ABDAB BD∴ 是等边三角形，ABDBAD=∴∠︒，60在Rt ABE△中，=⋅∠=sinAE AB ABD答案第26页，共27页【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，正方形的性质，圆的定义，解直角三角形等知识，解决问题的关键是弄清数量间的关系．。

中考数学全面突破(含详细答案)题型7 综合实践题

中考数学全面突破(含详细答案)题型7综合实践题1.如图①，已知等腰三角形ABC和DEF，满足AB＝AC，DE＝DF，∠A＝∠D。

1)证明：△ABE≌△DFC，△ACE≌△DBF，BE＝CF。

2)根据(1)中的结论可知，当等腰三角形ABC的顶角∠A确定时，它的对边BC与邻边AB或AC的比值也就确定，记作T(A)，即T(A)＝BE/AB＝CF/AC。

如T(60°)=√3，T(90°)=1，T(120°)=1/√3.若α是等腰三角形的顶角，则T(α)的取值范围是(0,1]。

①解答：T(90°)=1，T(120°)=1/√3，α∈(0,180°)。

②解答：如图②，根据勾股定理可得，AP=√65，BP=3，PC=1，所以BE=√10+2√2，CD=√10-2√2，BE=CD≈4.24.2.如图①，已知△ABC，以AB、AC为边分别向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE、CD。

1)作图如图②所示，连接AE、BD，证明：BE=CD。

2)根据图③可知，BE=AB+AE，CD=AC+AD，又因为AB=AD，AC=AE，所以BE=CD。

3.如图①，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，求BE、EF、FD之间的数量关系。

证明】将△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，如图②所示，可得△ADF≌△EBG，所以EF=BG=BE+FD。

类比引申】如图③，四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，点E、F分别在边BC、CD上，当∠EAF与∠BAD满足∠EAF=∠BAD时，仍有EF＝BE＋FD。

探究应用】如图④，要测量池塘两岸相对的两点B、E的距离，已知∠ABC＝45°，∠CAE＝90°，AB＝BC＝100米，AC＝AE，求BE的长。

根据勾股定理可得，AC=AE=100√2，所以BE=√2×AC=200米。

2023版中考数学总复习第四章三角形提分小专题七-解直角三角形中的综合实践活动精选全文

任务二：
解：由题意可得四边形 ACDB，四边形 ACEH 都
是矩形，∴EH = AC = 1.5 ，CD = AB = 5.5 . 设 EG = x m. 在 Rt△DEG 中，∠DEG = 90°，∠GDE = 31°，
∵tan 31° = EG ，∴DE = x .
DE
tan 31
在 Rt△CEG 中，∠CEG = 90°，∠GCE = 25.7°，
解：（1）∵∠COG = 90°，∠AON = 90°， ∴∠POC + ∠CON = ∠GON + ∠CON. ∴∠POC = ∠GON.
实地测量：（2）如图3，公园广场上有一棵树，为了测量树的高度PH，同学们在观测点K处测得顶端P的仰角∠POQ = 60°，观测点与树的距离KH 为5米，点O到地面的距离OK为1.5米，且点P，O，Q，K，H在同一竖直平面内.求树的高度PH.（结果精确到0.1米， 3 ≈ 1.73）
解：（2）由题意得 KH = OQ = 5，OK = QH = 1.5， ∠OQP = 90°，∠POQ = 60°.
在 Rt△POQ 中，tan∠POQ = PQ PQ 3 . OQ 5
∴PQ = 5 3 .
∴PH = PQ + QH = 5 3 + 1.5 ≈ 10.2（米）. 答：树高 PH 的高度为 10.2 米.
1.（2022山西第21题·8分）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度.某校“综合与实践”活动小组的同学要测量AB，CD两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在AB，CD两楼之间上方的点O处，点O距地面AC的高度为60 m，此时观测到楼AB底部点A处的俯角为70°，楼CD上点E处的俯角为30°，沿水平方向由点O飞行24 m到达点F，测得点E处俯角为60°，其中点A，B，C， D，E，F，O均在同一竖直平面内.

中考数学中档题突破专项训练七综合与实践

【解题过程】
如图①，若甲、乙两种作物的种植区分别为长方形AMND和MNCB，此时设
AM＝x m, MB ＝y m，根据题意，列出方程组：
100x∶（2×100y）＝3∶4， x＝120，
x＋y＝200，
解得y＝80. 过长方形土地的长边上离一
端120 m处，作这条边的垂线，把这块土地分为两块长方形土地，较大
(3)现有一片长11 cm，宽5.6 cm的树叶，请判断这片树叶更可能来自于芒果、荔枝中的哪种树？并给出你的理由．
解：∵一片长11 cm，宽5.6 cm的树叶，长宽比接近2，∴这片树叶更可能来自荔枝树．
3．综合与实践问题情境：我国东周到汉代一些出土实物上反映出一些几何作图方法，如侯马铸铜遗址出土车軎(wèi)范、芯组成的铸型(如图①)，它的端面是圆形．如图②是用“矩”(带直角的角尺)确定端面圆心的方法：将“矩” 的直角尖端 A 沿圆周移动，直到 AB＝AC，在圆上标记 A，B，C 三点；将 “矩”向右旋转，使它左侧边落在 A，B 点上，“矩”的另一条边与圆的交点标记为 D 点，这样就用“矩”确定了圆上等距离的 A，B，C，D 四点，连接 AD，BC 相交于点 O，即点 O 为圆心．
一块土地种植甲作物，其面积为100×120＝12 000 (m2)，
较小的一块土地种乙种作物，其面积为
80×100＝8 000 (m2)．
【尝试应用】同学们从以上解决方法中得到启发并提出解决上述问题的另一思路：若按如图②所示，划分出一块三角形土地AMN种植乙种作物，其余土地种植甲种作物，则AM应该取多长？
m
4.0 0.042 4
荔枝树叶的长宽比 1.91
1.95
n
0.066 9
【问题解决】 (1)上述表格中：m＝33..7 755，n＝22..00； (2)①A同学说：“从树叶的长宽比的方差来看，我认为芒果树叶的形状差别大．” ②B同学说：“从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，我发现荔枝树叶的长约为宽的两倍．” 上面两位同学的说法中，合理的是BB (选填字母)同学；

中考命题研究河北省中考数学综合闯关专题七综合实践与探究试题

综合理论与探究制卷人：打自企；成别使；而都那。

审核人：众闪壹；春壹阑；各厅……日期：2022年二月八日。

专题命题规律纵观8年中考：综合理论与探究是每年中考的压轴题型．结合几何图形如三角形、正方形、圆及正方体考察，一般以简单几何图形的根本性质为出发点进展考察．近7年涉及到的考察形式有2021年的矩形、半圆为背景探究图形旋转变化中的规律；2021年以景区内的环形(正方形)路为背景，考察一次函数的实际应用、方程、列代数式并比拟大小和不等式的实际应用；2021年以正方体容器为背景考察线段的位置关系、直棱柱的体积、倾斜角、一次函数的实际应用等；2021年以三角形为背景，考察列代数式及线段之间的间隔的最值关系等；2021年以平行线间的半圆为背景，考察点到直线的间隔和旋转角等；2021年以转动的机械装置为背景，考察点之间的最值、直线与圆的位置关系、点与直线的间隔等；2021年以圆为背景，结合规律探究考察；2021年以设计抽水站给村庄供水为背景，考察点的对称问题难度较大，考察学生综合才能，具有选拔性．解题策略此类题目前几问一般比拟简单，解决后面问题往往会套用前面问题的解题思路，那么将问题变为从简单逐渐到难的过程，从而能解决问题．做题时，需要将后面问与前面问比照，才能轻松得解．2021预测预计2021年中考，仍然会以简单几何图形为背景进展运动化，考察学生综合分析以及运用函数、方程、相似等知识解决问题的才能，难度会很大．,中考重难点打破)探究与拓展【经典导例】【例1】(2021中考)一透明的敞口正方体容器ABCD —A′B′C′D′装有一些液体，棱AB 始终在程度桌面上，容器底部的倾斜角为α(∠CBE＝α，如图①所示)．探究如图①，液面刚好过棱CD ，并与棱BB′交于点Q ，此时液体的形状为直三棱柱，其三视图及尺寸如图②所示．解决问题：(1)CQ 与BE 的位置关系是________，BQ 的长是________dm ； (2)求液体的体积；(参考算法：直棱柱体积V 液＝底面积S △BCQ ×高AB ) (3)求α的度数．(注：sin 49°＝cos 41°＝34，tan 37°＝34)拓展在图①的根底上，以棱AB 为轴将容器向左或者向右旋转，但不能使液体溢出，图③或者图④是其正面示意图．假设液面与棱C′C 或者CB 交于点P ，设PC ＝x ，BQ ＝y.分别就图③和图④，求y 与x 的函数关系式，并写出相应的α的范围．延伸在图④的根底上，于容器底部正中间位置，嵌入一平行于侧面的长方形隔板(厚度忽略不计)，得到图⑤，隔板高NM ＝1dm ，BM ＝CM ，NM ⊥BC.继续向右缓慢旋转，当α＝60°时，通过计算，判断溢出容器的液体能否到达4dm 3.【解析】探究：此题根据三视图可以计算．拓展根据勾股定理，在Rt△BCQ中求出BQ的长度，以及α的度数．拓展：此题中的α的取值范围分3种情况：①当容器向左旋转；②当容器向右旋转；③当液面恰好到容器口，即点Q与点B′重合，分别求出α的度数．延伸：求证此题中的问题时，考虑到容器内液体形成两层液面，液体的形状分别以Rt△NFM和直角梯形MBB′G为底面的直棱柱，即可求解．【学生解答】【方法指导】此题的难点在于延伸中嵌入长方形隔板且容器旋转，这样的运动产生的液体的流动不易考虑，应抓住α＝60°时液体形成两个液面，液体的形状分别是以三角形和直角梯形为底面的直棱柱，求出棱柱的体积和，便可得知溢出的液体，从而得解．1．(2021二模)如图①，将两个完全一样的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C＝90°，∠B ＝∠E＝30°.(1)操作发现如图②，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转．当点D恰好落在AB边上时，填空：①线段DE与AC的位置关系是________；②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，那么S1与S2的数量关系是________．(2)猜测论证当△DEC绕点C旋转到图③所示的位置时，小明猜测(1)中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜测．(3)拓展探究∠ABC＝60°，点D是其角平分线上一点，BD＝CD＝4，DE∥AB交BC于点F(如图④)．假设在射线BA上存在点F，使S△DCF＝S△BDE，请直接写出相应的BF的长．2．(2021中考)某景区内的环形路是边长为800米的正方形ABCD，如图①和图②.现有1号、2号两游览车分别从出口A和景点C同时出发，1号车顺时针、2号车逆时针沿环形路连续循环行驶，供游客随时免费乘车(上、下车的时间是忽略不计)，两车速度均为200米/分．探究设行驶时间是为t分．(1)当0≤t≤8时，分别写出1号车、2号车在左半环线离出口A的路程y1，y2(米)与t(分)的函数关系式，并求出当两车相距的路是400米时t的值；,图①图②)(2)t为何值时，1号车第三次恰好经过景点C？并直接写出这一段时间是内它与2号车相遇过的次数．发现如图②，游客甲在BC上的一点K(不与点B，C重合)处候车，准备乘车到出口A.设CK＝x米．情况一：假设他刚好错过2号车，便搭乘即将到来的1号车；情况二：假设他刚好错过1号车，便搭乘即将到来的2号车．比拟哪种情况用时较多？(含候车时间是)决策游客乙在DA上从D向出口A走去，步行的速度是50米/分．当行进到DA上一点P(不与点D，A重合)时，刚好与2号车迎面相遇．(1)他发现，乘1号车会比乘2号车到出口A用时少，请你简要说明理由；(2)设PA＝s(0＜s＜800)米．假设他想尽快到达出口A，根据s的大小，在等候乘1号车还是步行这两种方式中，他该如何选择？考虑与探究【经典导例】【例2】(2021中考)如图①至图④中，两平行线AB，CD间的间隔均为6，点M为AB上一定点．考虑：如图①，圆心为O的半圆形纸片在AB，CD之间(包括AB，CD)，其直径MN在AB上，MN＝8，点P 为半圆上一点，设∠MOP ＝α.当α＝________度时，点P 到CD 的间隔最小，最小值为________．探究一：在图①的根底上，以点M 为旋转中心，在AB ，CD 之间顺时针旋转该半圆形纸片，直到不能再转动为止，如图②，得到最大旋转角∠BMO＝________度，此时点N 到CD 的间隔是________．探究二：将图①中的扇形纸片MOP 按下面对α的要求剪掉，使扇形纸片MOP 绕点M 在AB ，CD 之间顺时针旋转．(1)如图③，当α＝60°时，求在旋转过程中，点P 到CD 的最小间隔，并请指出旋转角∠BMO 的最大值；(2)如图④，在扇形纸片MOP 旋转过程中，要保证点P 能落在直线CD 上，请确定α的取值范围．(参考数据：sin 49°＝34，cos 41°＝34，tan 37°＝34)【解析】考虑：根据两平行线之间垂线段最短，以及切线的性质定理，直接得出答案．探究一：根据MN ＝8，MO ＝4，OY ＝4，得出UO ＝2，即可得出最大旋转角∠BMO＝30°，此时点N 到CD 的间隔是2；探究二：(1)由得出M 与P 的间隔为4，PM ⊥AB 时，点P 到AB 的最大间隔是4，从而点P 到CD 的最小间隔为6－4＝2，即可得出∠BMO 的最大值；(2)分别求出α最大值为∠OMH＋∠OHM＝30°＋90°以及最小值α＝2∠MOH，即可得出α的取值范围．【学生解答】1．(2021中考)【问题提出】学习了三角形全等的断定方法(即“SAS〞，“ASA〞，“AAS〞，“SSS〞)和直角三角形全等的断定方法(即“HL〞)后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等〞的情形进展研究．【初步考虑】我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，然后，对∠B进展分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角〞三种情况进展探究．【深化探究】第一种情况：当∠B是直角时，△ABC≌△DEF.(1)如图①，在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E＝90°，根据________，可以知道Rt △ABC≌Rt△DEF.,图①)第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF.(2)如图②，在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B、∠E都是钝角．求证：△ABC≌△DEF.,图②)第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等．(3)在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B、∠E都是锐角，请你用尺规在图③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．(不写作法，保存作图痕迹),图③)(4)∠B还要满足什么条件，就可以使△ABC≌△DEF？请直接填写上结论：在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B、∠E都是锐角，假设________，那么△ABC≌△DEF.2．(2021模拟)问题背景：如图①，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是________；探究延伸：如图②，假设在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝12∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；实际应用：如图③，在某次HY事学习中，舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B 处，并且两舰艇到指挥中心的间隔相等，接到行动指令后，舰艇甲向正向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E ，F 处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的间隔．操作与探究【经典导例】【例3】(2021中考)如图①至图⑤，⊙O 均作无滑动滚动，⊙O 1、⊙O 2、⊙O 3、⊙O 4均表示⊙O 与线段AB 或者BC 相切于端点时刻的位置，⊙O 的周长为c.阅读理解：(1)如图①，⊙O 从⊙O 1的位置出发，沿AB 滚动到⊙O 2的位置．当AB ＝c 时，⊙O 恰好自转1周． (2)如图②，与∠ABC 相邻的补角是n °，⊙O 在∠ABC 外部沿A —B —C 滚动，在点B 处，必须由⊙O 1的位置旋转到⊙O 2的位置，⊙O 绕点B 旋转的角∠O 1BO 2＝n °，⊙O 在点B 处自转n360周．理论应用：(1)在阅读理解的(1)中，假设AB ＝2c ，那么⊙O 自转________周；假设AB ＝l ，那么⊙O 自转________周．在阅读理解的(2)中，假设∠ABC＝120°，那么⊙O 在点B 处自转________周；假设∠ABC＝60°，那么⊙O 在点B 处自转________周．(2)如图③，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝12c.⊙O 从⊙O 1的位置出发，在∠ABC 外部沿A —B —C 滚动到⊙O 4的位置，⊙O 自转________周．拓展联想：(1)如图④，△ABC 的周长为l ，⊙O 从与AB 相切于点D 的位置出发，在△ABC 外部，按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB 相切于点D 的位置，⊙O 自转了多少周？请说明理由；(2)如图⑤，多边形的周长为l ，⊙O 从与某边相切于点D 的位置出发，在多边形外部，按顺时针方向沿多边形滚动，又回到与该边相切于点D 的位置，直接写出⊙O 自转的周数．【解析】(1)读懂题意，套公式易得AB ＝2c ，那么⊙O 自转2周，假设AB ＝l ，那么⊙O 自转lc 周，在阅读理解的(2)中，假设∠ABC＝120°，那么⊙O 在点B 处自转16周，假设∠ABC＝60°，那么⊙O 在点B 处自转13周．(2)因∠ABC＝90°，AB ＝BC ＝12c ，那么⊙O 自转1＋14＝54周．拓展联想：因三角形和五边形的外角和是360°，那么⊙O 一共自转了(lc＋1)周．【学生解答】【难点剖析】此题的难点在于拓展联想中第(1)、(2)问．(1)问中由于△ABC 的周长是l ，所以当⊙O 绕△ABC 一周后，⊙O 自转lc周，但是，⊙O 在运动中，还经过了△ABC 的三个顶点，所以在运动到顶点时，⊙O 还自转了360°，即为△ABC 的外角和．所以⊙O 实际自转了(l c ＋360360)周，即(l c＋1)周；(2)问中⊙O 在多边形边上的自转不难求出，最关键的是运动到多边形顶点上时，⊙O 的自转度数，通过(1)问探究，⊙O 在顶点时自转的度数实际上等于多边形的外角和，即360°.所以⊙O 实际上还是自转了(l c＋1)周．1．(2021模拟)某活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：操作发现：在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的外侧作等腰直角三角形，如图①所示，其中DF⊥AB 于点F ，EG ⊥AC 于点G ，M 是BC 的中点，连接MD 和ME ，那么以下结论正确的选项是________；(填序号即可)①AF ＝AG ＝错误!AB ；②MD＝ME ；③整个图形是轴对称图形；④∠DAB＝∠DMB.数学考虑：在任意△ABC 中，分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的外侧作等腰直角三角形，如图②所示，M 是BC 的中点，连接MD 和ME ，那么MD 与ME 具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程；类比探究：在任意△ABC 中，仍分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的内侧作等腰直角三角形，如图③所示，M 是BC 的中点，连接MD 和ME ，试判断△MED 的形状．2．(2021中考)平面上，矩形ABCD与直径为QP的半圆K如图摆放，分别延长DA和QP交于点O，且∠DOQ＝60°，OQ＝OD＝3，OP＝2，OA＝AB＝1，让线段OD及矩形ABCD位置固定，将线段OQ连带着半圆K一起绕着点O按逆时针方向开场旋转，设旋转角为α(0°≤α≤60°)．发现：(1)当α＝0°，即初始位置时，点P________直线AB上(选填“在〞或者“不在〞)．求当α是多少时，OQ经过点B；(2)在OQ旋转过程中，简要说明α是多少时，点P，A间的间隔最小？并指出这个最小值；(3)如图，当点P恰好落在BC边上时，求α及S阴影．拓展：如图，当线段OQ与CB边交于点M，与BA边交于点N时，设BM＝x(x>0)，用含x的代数式表示BN的长，并求x的取值范围．探究：当半圆K与矩形ABCD的边相切时，求sinα的值．制卷人：打自企；成别使；而都那。

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题型7 综合实践题题型解读此类题考查形式多样，但都与实际问题结合，且解决实际问题时一般会用到前面的结论，解题时要多结合前面的问题，大胆猜想．综合性较强，入手简单，但要得满分较难，此类题型是今后中考命题的方向，应引起重视．1.如图①，△ABC 和△DEF 中，AB ＝AC ，DE ＝DF ，∠A ＝∠D. (1)求证：BC AB ＝EFDE；(2)由(1)中的结论可知，等腰三角形ABC 中，当顶角∠A 的大小确定时，它的对边(即底边BC)与邻边(即腰AB 或AC)的比值也就确定，我们把这个比值记作T(A)，即T(A)＝∠A的对边（底边）∠A的邻边（腰）＝BCAB .如T(60°)＝1.①理解巩固：T(90°)＝________，T (120°)＝________，若α是等腰三角形的顶角，则T(α)的取值范围是________；②学以致用：如图②，圆锥的母线长为9，底面直径PQ ＝8，一只蚂蚁从点P 沿着圆锥的侧面爬行到点Q ，求蚂蚁爬行的最短路径长(精确到0.1)．(参考数据：T(160°)≈1.97，T (80°)≈1.29，T(40°)≈0.68)2. (1)如图①，已知△ABC，以AB、AC为边分别向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE、CD，请你完成图形(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)，并证明：BE＝CD；(2)如图②，已知△ABC，以AB、AC为边分别向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE、CD，猜想BE与CD有什么数量关系？并说明理由；(3)运用(1)，(2)解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图③，要测量池塘两岸相对的两点B、E的距离，已经测得∠ABC＝45°，∠CAE＝90°，AB＝BC＝100米，AC＝AE，求BE的长(结果保留根号)．3.问题：如图①，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，试判断BE、EF、FD之间的数量关系．【发现证明】小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，从而发现EF＝BE＋FD，请你利用图①证明上述结论．【类比引申】如图②，四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足__________关系时，仍有EF＝BE＋FD.【探究应用】如图③，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形ABCD.已知AB＝AD＝80米，∠B＝60°，∠ADC ＝120°，∠BAD＝150°，道路BC、CD上分别有景点E、F，且AE⊥AD，DF＝40(3－1)米，现要在E、F 之间修一条笔直的道路，求这条道路EF的长．(结果取整数，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)4.理解：数学兴趣小组在探究如何求tan 15°的值，经过思考、讨论、交流，得到以下思路：思路一如图①，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，延长CB 至点D ，使BD ＝BA ，连接AD.图① 设AC ＝1，则BD ＝BA ＝2，BC ＝ 3.tan D ＝tan 15°＝12＋3＝2－3（2＋3）（2－3）＝2－ 3. 思路二利用科普书上的和．(．差．)．角正切公式．．．．．：tan (α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β. 假设α＝60°，β＝45°代入差角正切公式：tan 15°＝tan (60°－45°)＝tan 60°－tan 45°1＋tan 60°tan 45°＝3－11＋3＝2－ 3.思路三在顶角为30°的等腰三角形中，作腰上的高也可以… 思路四 …请解决下列问题(上述思路仅供参考)． (1)类比：求出tan 75°的值；(2)应用：如图②，某电视塔建在一座小山上，山高BC 为30米，在地平面上有一点A ，则得A 、C 两点间距离为60米，从A 测得电视塔的视角(∠CAD)为45°，求这座电视塔CD 的高度；(3)拓展：如图③，直线y ＝12x －1与双曲线y ＝4x 交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，将直线AB 绕点C 旋转45°后，是否仍与双曲线相交？若能，求出交点P 的坐标；若不能，请说明理由．图②图③备用图5.【操作发现】在计算器上输入一个正数，不断地按“ ”键求算术平方根，运算结果越来越接近1或都等于1.【提出问题】输入一个实数，不断地进行“乘以常数k ，再加上常数b”的运算，有什么规律？【分析问题】我们可用框图表示这种运算过程：也可用图象描述：如图①，在x 轴上表示出x 1，先在直线y ＝kx ＋b 上确定点(x 1，y 1)，再在直线y ＝x 上确定纵坐标为y 1的点(x 2，y 1)，然后在x 轴上确定对应的数x 2，…，依次类推．【解决问题】研究输入实数x 1时，随着运算次数n 的不断增加，运算结果x n 怎样变化． (1)若k ＝2，b ＝－4，得到什么结论？可以输入特殊的数如3，4，5进行观察研究； (2)若k>1，又得到什么结论？请说明理由；(3)①若k ＝－23，b ＝2，已在x 轴上表示出x 1(如图②所示)，请在x 轴上表示x 2，x 3，x 4，并写出研究结论；②若输入实数x 1时，运算结果x n 互不相等，且越来越接近常数m ，直接写出k 的取值范围及m 的值(用含k ，b 的代数式表示)．6.问题提出(1)如图①，已知△ABC.请画出△ABC关于直线AC对称的三角形．问题探究(2)如图②，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，AE＝4，AF＝2.是否在边BC、CD上分别存在点G、H，使得四边形EFGH的周长最小？若存在，求出它周长的最小值；若不存在，请说明理由．问题解决(3)如图③，有一矩形板材ABCD，AB＝3米，AD＝6米．现想从此板材中裁出一个面积尽可能大的四边形EFGH部件，使∠EFG＝90°，EF＝FG＝5米，∠EHG＝45°.经研究，只有当点E、F、G分别在边AD、AB、BC上，且AF＜BF，并满足点H在矩形ABCD内部或边上时，才有可能裁出符合要求的部件．试问能否裁得符合要求的面积尽可能大的四边形EFGH部件？若能，求出裁得的四边形EFGH部件的面积；若不能，请说明理由．1. (1)证明：∵AB ＝AC ，DE ＝DF ， ∴AB DE ＝AC DF，又∵∠A ＝∠D ，∴△ABC ∽△DEF ，∴BC EF ＝ABDE ，∴BC AB ＝EF DE. (2)解：①2，3，0<T(α)<2.【解法提示】①如解图①，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，∠B ＝∠C ＝45°， ∴设AB ＝AC ＝x ，由勾股定理得BC ＝2x ， ∴T(90°)＝BC AB ＝2x x＝2；第1题解图①第1题解图②如解图②，在△ABC 中，∠A ＝120°，AB ＝AC ，过点A 作AD ⊥BC ， ∴∠BAD ＝60°，BD ＝12BC ，设AD ＝y ，在Rt △ABD 中，∠BAD ＝60°， ∴BD ＝AD·tan 60°＝3y ，AB ＝2AD ＝2y ， ∴BC ＝2BD ＝23y ， ∴T(120°)＝23y2y＝3； ∵∠A<180°，当∠A ＝180°时，此时AB ＝AC ＝12BC 即T(A)＝BC AB ＝BC12BC ＝2，∵要构成三角形，∴T(A)<2， ∵T(A)＞0，∴0<T(α)<2.第1题解图②如解图，设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，∵圆锥的底面圆周长＝圆锥展开图扇形的弧长，即2πr ＝n πl180，∴r l ＝n 360， ∵ r ＝4，l ＝9，∴n ＝160. ∵T(80°)≈1.29，∴蚂蚁爬行的最短距离＝T(80°)×l ≈1.29×9≈11.6. 2. 解：(1)作图如解图①，第2题解图①证明：∵△ABD 和△ACE 为等边三角形，则AB ＝AD ，AE ＝AC ，∠DAB ＝∠EAC ＝60°，又∵∠DAC ＝∠DAB ＋∠BAC ＝∠EAC ＋∠BAC ＝∠BAE ， ∴△DAC ≌△BAE(SAS )，∴BE ＝CD. (2)BE ＝CD. 理由如下：∵四边形ABFD 和四边形ACGE 为正方形， ∴AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠DAB ＝∠EAC ＝90°，又∵∠DAC ＝∠DAB ＋∠BAC ＝∠EAC ＋∠BAC ＝∠BAE ， ∴△DAC ≌△BAE(SAS )，∴BE ＝CD.(3)如解图②，以AB 为边，作等腰直角三角形ABD ，∠BAD ＝90°，第2题解图②则AD ＝AB ＝100米，∠ABD ＝45°，∴BD ＝100 2 米，连接CD ，则由(2)可得，BE ＝CD ， ∵∠ABC ＝45°， ∴∠DBC ＝90°，在Rt △DBC 中，BC ＝100米，BD ＝100 2 米，由勾股定理得CD ＝1002＋（1002）2＝100 3 米，则BE ＝CD ＝100 3 米．3. 【发现证明】证明：如解图①，将△ABE 绕点A 逆时针旋转90°到△ADG ，则AB 与AD 重合，第3题解图①∴∠BAE ＝∠DAG ，∠B ＝∠ADG ，BE ＝GD ， AE ＝AG ，∴∠GAF ＝∠DAF ＋∠GAD ＝∠BAE ＋∠DAF ＝45°，在正方形ABCD 中，∠B ＝∠ADC ＝90°， ∴∠ADG ＋∠ADF ＝180°，即G 、D 、F 在一条直线上， ∵∠EAF ＝45°，在△EAF 和△GAF 中，AE ＝AG ，∠EAF ＝∠GAF ＝45°，AF ＝AF ， ∴△EAF ≌△GAF(SAS )， ∴EF ＝GF ，∴EF ＝FG ＝FD ＋DG ＝FD ＋BE. 【类比引申】∠EAF ＝12∠BAD.【解法提示】如解图②，延长CB 至M ，使BM ＝DF ，连接AM ， ∵∠ABC ＋∠D ＝180°，∠ABC ＋∠ABM ＝180°， ∴∠D ＝∠ABM ，在△ABM 和△ADF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ∠ABM ＝∠D BM ＝DF，第3题解图②∴△ABM ≌△ADF(SAS )，∴AF ＝AM ，∠DAF ＝∠BAM ， ∵∠BAD ＝2∠EAF ， ∴∠DAF ＋∠BAE ＝∠EAF＝12∠BAD ， ∴∠EAB ＋∠BAM ＝∠EAM ＝∠EAF ，在△FAE 和△MAE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝AE ∠FAE ＝∠MAE AF ＝AM， ∴△FAE ≌△MAE(SAS )， ∴EF ＝EM ，又∵EM ＝BE ＋BM ＝BE ＋DF ，∴EF ＝BE ＋DF.【探究应用】解：如解图③，连接AF ，延长BA 、CD 交于点O ， ∵∠BAD ＝150°，∠ADC ＝120°， ∴∠OAD ＝30°，∠ODA ＝60°， ∴△OAD 是直角三角形． ∵AD ＝80，∴AO ＝403，OD ＝40，∵OF ＝OD ＋DF ＝40＋40(3－1)＝403， ∴AO ＝OF ，第3题解图③∴∠OAF ＝45°， ∵∠OAD ＝30°， ∴∠DAF ＝15°， ∵∠EAD ＝90°，∴∠EAF ＝∠EAD －∠DAF ＝75°＝12∠BAD ，又∠B ＋∠ADC ＝180°，由(2)知EF ＝BE ＋DF.∠BAE ＝∠BAD －∠EAD ＝150°－90°＝60°＝∠B ， ∴△ABE 为等边三角形， ∴BE ＝AB ＝80，∴EF ＝BE ＋DF ＝80＋40(3－1)≈109(米)． 4. 解：(1)如解图①，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，延长CB 至点D ，使BD ＝BA ，连接AD.第4题解图①设AC ＝1，则BD ＝BA ＝2，BC ＝3，tan ∠DAC ＝tan 75°＝DC AC ＝BD ＋BC AC ＝2＋31＝2＋ 3.【一题多解】tan 75°＝tan (45°＋30°)＝tan 45°＋tan 30°1－tan 45°·tan 30°＝1＋331－33＝3＋33－3＝2＋ 3.第4题解图②(2)如解图②，在Rt △ABC 中，AB ＝AC 2－BC 2＝602－302＝303， sin ∠BAC ＝BC AC ＝3060＝12，即∠BAC ＝30°，∵∠DAC ＝45°，∴∠DAB ＝45°＋30°＝75°.在Rt △ABD 中，tan ∠DAB ＝DBAB ＝2＋3，∴DB ＝AB·tan ∠DAB ＝303·(2＋3)＝603＋90， ∴DC ＝DB －BC ＝603＋90－30＝ 603＋60.(米)答：这座电视塔CD 的高度为(603＋60)米.第4题解图③(3)直线AB 能与双曲线相交，点P 的坐标为(－1，－4)或(43，3)，理由如下：若直线AB 绕点C 逆时针旋转45°后，与双曲线相交于点P 1、P 2，如解图③，过点C 作CD ∥x 轴，过点P 1作P 1E ⊥CD 于点E ，过点A 作AF ⊥CD 于点F.解方程组⎩⎨⎧y ＝12x －1y ＝4x，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝－2，∴点A(4，1)，点B(－2，－2)．对于y ＝12x －1，当x ＝0时，y ＝－1，则C(0，－1)，OC ＝1，∴CF ＝4，AF ＝1－(－1)＝2， ∴tan ∠ACF ＝AF CF ＝24＝12， ∴tan ∠P 1CE ＝tan (∠ACP 1＋∠ACF)＝tan (45°＋∠ACF)＝tan 45°＋tan ∠ACF 1－tan 45°·tan ∠ACF＝1＋121－12＝3，即P 1ECE ＝3.设点P 的坐标为(a ，b)，则有⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝4b ＋1a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝－4，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝43b ＝3，∴点P 的坐标为(－1，－4)或(43，3)；(ii )若直线AB 绕点C 顺时针旋转45°后，与x 轴相交于点G ，如解图④. 由(i )可知∠ACP ＝45°，P(43，3)，则CP ⊥CG .过点P 作PH ⊥y 轴于H ，则∠GOC ＝∠CHP ＝90°，∠GCO ＝90°－∠HCP ＝∠CPH ，第4题解图④∴△GOC ∽△CHP ， ∴GO CH ＝OCHP. ∵CH ＝3－(－1)＝4，PH ＝43，OC ＝1，∴GO 4＝143＝34， ∴GO ＝3，G(－3，0)．设直线CG 的解析式为y ＝kx ＋b ，则有⎩⎪⎨⎪⎧－3k ＋b ＝0b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－13b ＝－1，∴直线CG 的解析式为y ＝－13x －1.联立⎩⎨⎧y ＝－13x －1y ＝4x，消去y ，得4x ＝－13x －1，整理得x 2＋3x ＋12＝0，∵b 2－4ac ＝32－4×1×12＝－39<0， ∴方程没有实数根，∴直线绕点C 顺时针旋转45°，与双曲线无交点．(综上所述，直线AB 绕点C 逆时针旋转45°后，能与双曲线相交，交点P 的坐标为(－1，－4)或(43，3)．5. 解：(1)若k ＝2, b ＝－4，①x 1＝3时，x 2＝2×3－4＝2，x 3＝2×2－4＝0，x 4＝2×0－4＝－4，x 5＝2×(－4)－4＝－12； ②x 1＝4时，x 2＝2×4－4＝4，x 3＝2×4－4＝4，x 4＝2×4－4＝4，x 5＝2×4－4＝4； ③x 1＝5时，x 2＝2×5－4＝6，x 3＝2×6－4＝8，x 4＝2×8－4＝12，x 5＝2×12－4＝20，由上面的特殊值可得，y ＝2x －4与y ＝x 交点的横坐标为4，所以当输入的值x>4时，x n 的值会随着运算次数的增大而增大；当输入的值x ＝4时，x n 的值不变；当输入的值x<4时，x n 的值会随着运算次数的增大而减小．(2)当k>1时，y ＝kx ＋b 与y ＝x 的交点坐标横坐标为x ＝－bk －1，所以当输入的值x>－bk －1时，x n 的值会随着运算次数的增大而增大；当输入的值x ＝－bk －1时，x n 的值不变；当输入的值x<－bk －1时，x n 的值会随着运算次数的增大而减小．理由如下：直线y ＝kx ＋b 与直线y ＝x 的交点坐标为(b 1－k ，b 1－k )，当x ＞b 1－k时，对于同一个x 的值，kx ＋b ＞x ，∴y 1＞x 1，∵y 1＝x 2，∴x 1＜x 2，同理x 2＜x 3＜…＜x n ，∴当x 1＞b1－k 时，随着运算次数n的增加，x n 越来越大，同理，当x 1＜b 1－k 时，随着运算次数n 的增加，x n 越来越小，当x ＝b1－k 时，随着运算次数n 的增加，x n 保持不变．(3)①画如解图，第5题解图结论：通过画图可得，x n 的值越来越靠近两个函数图象交点的横坐标即65；②|k|<1且k ≠0时，m ＝－bk －1.即－1＜k ＜1且k ≠0，【解法提示】两个函数图象的交点的横坐标满足kx ＋b ＝x ，解得x ＝－bk －1，且k ≠0，由(1)得|k|＜1.6. (1)【思路分析】要作对称图形，先要考虑对称的性质，即对应点关于对称轴对称，只需作出点B 关于直线AC 的对称点D ，连接AD ，CD 即可．第6题解图①解：如解图①，△ADC 即为所求作三角形．【作法提示】(1)过点B 作直线AC 的垂线，垂足为点O ；(2)在垂线上截取OD ＝OB ，连接AD ，CD ，则△ADC 即为所要求作的三角形．(2)【思路分析】四边形EFGH 的周长＝EF ＋FG ＋GH ＋HE ，由题意可知AF 和AE 的长均为定值，利用勾股定理可求得EF 的长为定值，所以要求四边形周长的最小值，只需令FG ＋GH ＋HE 最小即可，利用作对称线段将所求线段和转化到三角形中进行求解，进而利用直角三角形三边关系求出线段和最小值．第6题解图②解：存在．理由如下：如解图②，作点E 关于CD 的对称点E′，作点F 关于BC 的对称点F′，连接E′F′，交BC 于点G ，交CD 于点H ，连接FG 、EH ，则F ′G ＝FG ，E ′H ＝EH ，所以此时四边形EFGH 的周长最小．这是因为：在BC 上任取一点G′，在CD 上任取一点H′，则FG′＋G′H′＋H′E ＝F′G′＋G′H′＋H ′E ′≥E ′F ′.由题意得：BF′＝BF ＝AF ＝2，DE ′＝DE ＝2，∠A ＝90°， ∴AF ′＝6，AE ′＝8.∴E ′F ′＝10，EF ＝2 5.∴四边形EFGH 周长的最小值为EF ＋FG ＋GH ＋HE ＝EF ＋E ′F ′＝25＋10.∴在BC 、CD 上分别存在满足条件的点G 、H ，使四边形EFGH 的周长最小，最小值是25＋10. (3)【思路分析】要使四边形EFGH 面积最大，因为E 、F 、G 的位置确定，即△EFG 的面积是固定的，只要求以EG 为底边的△EGH 最大面积即可，且∠EHG 为45°，作△EFG 关于EG 的对称图形，以点F 的对称点O 为圆心，作以EG 为弦的圆，根据圆的基本性质，即EG 的中垂线与圆的交点即为所求的点H′，然后再由对称的性质和勾股定理求解即可．解：能裁得．∵∠EFG ＝∠A ＝90°，∴∠2＋∠AFE ＝∠1＋∠AFE ＝90°， ∴∠1＝∠2，∵EF ＝FG ＝5，∴△AEF ≌△BFG(AAS )， ∴AF ＝BG ，AE ＝BF.设AF ＝x ，则AE ＝BF ＝3－x ，∴x 2＋(3－x)2＝(5)2 解得x 1＝1或x 2＝2， ∵AF ＜BF ，∴x 2＝2舍去，∴AF ＝BG ＝1，AE ＝BF ＝2， ∴DE ＝4，CG ＝5. 如解图③，连接EG ，作△EFG 关于EG 的对称图形△EOG ，则四边形EFGO 为正方形，∠EOG ＝90°.以点O 为圆心，OE 长为半径作⊙O ，则∠EHG ＝45°的点H 在⊙O 上．连接FO ，并延长交⊙O 于点H ，则点H 在EG 中垂线上．第6题解图③连接EH 、GH ，则∠EHG ＝45°.此时，四边形EFGH 就是想要裁得的四边形EFGH 中面积最大的．连接CE ，则CE ＝CG ＝DE 2＋CD 2＝5.∴点C 在线段EG 的中垂线上，连接HC ， ∴点F 、O 、H 、C 在一条直线上，又∵EG ＝EF 2＋FG 2＝10， ∴FO ＝EG ＝10.又∵CF ＝BF 2＋BC 2＝210，∴OC ＝10.又∵OH ＝OE ＝FG ＝5， ∴OH ＜OC ，∴点H 在矩形ABCD 的内部，∴可以在矩形板材ABCD 中，裁得符合条件的面积最大的四边形EFGH 部件，这个部件的面积即S 四边形EFGH＝12EG·FH ＝12×10×(10＋5)＝(5＋522)m 2. ∴所裁得的四边形部件EFGH 是符合条件的面积最大的部件，这个部件的面积为(5＋522) m 2.难点突破本题的难点在于第(3)问点H 位置的确定，题中已知点E 、F 、G 的位置，即解决本题的实质是求以EG 为底边的△EGH 的面积最大时点H 的位置，由于∠EHG ＝45°，想到作直角△EFG 关于EG 的对称图形，则以点F 的对称点为圆心、EG 为弦的圆在矩形ABCD 内的点H 满足题意，根据圆的基本性质，则点H 为EG 的中垂线与所作圆的交点．。

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