人教版九年级数学下册相似

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人教版九年级下册数学《位似》相似PPT教学课件

人教版九年级下册数学《位似》相似PPT教学课件
如果两个图形不仅形状相同,而且每组 对应顶点所在的直线都经过同一个点,那么 这样的两个图形叫做位似图形。
这个点叫做位似中心。 这时的相似比又称为位似比.
2. 位似图形的性质:
✓ 位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距 离之比等于位似比。 ✓ 以坐标原点为位似中心的位似变换有以下性质: 若原图形上点的坐标为(x,y),与原图形的位 似比为k,则像上的对应点的坐标为(kx,ky) 或(―kx,―ky)。
小练习
使新图形与原图形对应线段的比是 在原图2上∶取几1.个关键点A,B,C,D,E,F,G;图外任取一点
作射线A 在这些射线上依次取点A′,B′,C′,D′,E′,F′,G′,使
E′
D′
A ●
BG CF
DE
F′
C′
G′
B′
A′
顺次连接点A′, B′, C′, D′, E′, F′,G′,所得到的图形(向下的 箭头)就是符合要求的图形。
位似图形的性质
✓ 对应点与位似中心共线。 ✓ 不经过位似中心的对应边平行。 ✓ 位似图形上任意一对应点到位似中心的 距离之比等于位似比。
位似的作用 位似可以将一个图形放大或缩小。
小练习
请以坐标原点O为位似中心,作□ ABCD
的位似图形,并把它的边长放大3倍。
分析:根据位似图形上任意一对对应点到位似中 心的距离之比等于位似比,我们只要连结位似中心O
作法一
(3)分别在射线OA,OB,OC,OD上取点A′、B′、C′、D′,使得
OA OB OC OD 1 ; OA OB OC OD 2
(4)顺次连接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′,得到所要画的四边形
A′B′C′D′,如图2.
A

人教版九年级数学下册相似三角形的周长与面积

人教版九年级数学下册相似三角形的周长与面积

练习
1.判断 (1)一个三角形的各边长扩大为原来的5倍,这个 三角形的周长也扩大为原来的5倍; (2)一个四边形的各边长扩大为原来的9倍,这个 四边形的面积也扩大为原来的9倍.
(1)一个三角形各边扩大为原来5倍,相似比为1:5
扩大5倍周长=5原周长
(2)一个四边形的各边长扩大为原来的9倍,这个四边 形的面积也扩大为原来的9倍. 解: 一个三角形各边扩大为原来9倍,相似比为1:9
S S A'B'C'
A'C ' D'
C'
S四边形ABCD =k2 S四边形A'B'C'D'
相似多边形面积的比等于相似比的平方.
例题分析
例6.如图,在△ABC和△DEF中,AB=2DE,AC=2DF, ∠A=∠D,△ABC的周长是24,面积是48,求△DEF的周长 和面积.
解:在△ABC和△DEF中,
1.三角形相似的判定方法有那些? 定义三个对应角相等,三条对应边的比相等。 (不常用) 预备定理平行线构成的三角形与原三角形相似。 常 三边对应成比例的两个三角形相似。 用 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。 两个角对应相等的两个三角形相似。
2. 相似三角形的有哪些性质? 相似三角形的对——应—角——相—等—, 各对应边——成——比—例—。
B
C
3.两个相似三角形的一对对应边分别是35厘米和14 厘米,
(1)它们的周长差60厘米,这两个三角形的周长分别是
——————。
(2)它们的面积之和是58平方厘米,这两个三角形的面积分 别是_____________。
4.如图,△ABC∽△A'B'C',他们的周长分别为60cm和72cm,

2023九年级数学下册第二十七章相似27.3位似第1课时位似图形的概念及画法教案(新版)新人教版

2023九年级数学下册第二十七章相似27.3位似第1课时位似图形的概念及画法教案(新版)新人教版
-学生可以尝试利用计算机软件(如几何画板、Mathematica等)进行位似图形的绘制和变换,感受图形变换的动态过程,增强空间观念和数学应用能力。
课后拓展
1.拓展内容:
-阅读材料:《数学的故事》中关于几何变换的起源和发展,了解位似变换在数学史上的地位。
-视频资源:寻找与位似图形相关的教学视频,如介绍位似变换的基本概念、性质和应用实例。
-学生通过观察生活中的位似图形,将所学知识应用到实际中,提高解决问题的能力。
-鼓励学生针对位似图形的特定性质或应用进行深入研究,撰写研究报告,培养探究精神。
-教师提供必要的指导和帮助,如推荐阅读材料、解答学生在自主学习中遇到的疑问等。
-教师组织学生开展课后讨论活动,让学生分享自己的学习心得和研究成果,促进交流与合作。
三、实践活动(用时10分钟)
1.分组讨论:学生们将分成若干小组,每组讨论一个与位似图形相关的实际问题。
2.实验操作:为了加深理解,我们将进行一个简单的实验操作,如使用几何画板绘制位似图形,演示位似的基本原理。
3.成果展示:每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
四、学生小组讨论(用时10分钟)
2.位似比的概念及其计算方法;
3.位似图形的画法,包括位似中心、位似向量、位似图形的作图方法;
4.应用位似变换解决实际问题。
本节课将结合新人教版教材,以生活实例为导入,让学生在实际操作中体会位似图形的特点,培养他们的观察能力和空间想象能力,从而提高解决几何问题的能力。
核心素养目标
本节课旨在培养学生的以下数学核心素养:
2023九年级数学下册第二十七章相似27.3位似第1课时位似图形的概念及画法教案(新版)新人教版
学校
授课教师

人教版初中数学九年级下册 27.2.1 相似三角形的判定(第4课时)课件 【经典初中数学课件】

人教版初中数学九年级下册 27.2.1 相似三角形的判定(第4课时)课件 【经典初中数学课件】

A
3.如图,△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,
D
E
试说明△ADE∽△EFC.
B
F
C
4.已知如图,∠ABD=∠C,AD=2,AC=8,求AB.
A D
B
C
相似三角形的判别方法有那些?
方法1:通过定义
三个角对应相等 三边对应成比例
方法2:平行于三角形一边的直线.
方法3:三边对应成比例.
方法4:两边成比例且夹角相等. 方法5:两角分别相等.
A
3.如图,△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,
D
E
试说明△ADE∽△EFC.
B
F
C
4.已知如图,∠ABD=∠C,AD=2,AC=8,求AB.
A D
B
C
相似三角形的判别方法有那些?
方法1:通过定义
三个角对应相等 三边对应成比例
方法2:平行于三角形一边的直线.
方法3:三边对应成比例.
方法4:两边成比例且夹角相等. 方法5:两角分别相等.
一定需三个角对应相等吗?
相似三角形的判别方法: 两角分别相等的两个三角形相似.
如果两个三角形仅有一组角是对应相等的,那么它们是否 一定相似?
相似三角形的判别
用数学符号表示: ∵∠A=∠A', ∠B=∠B' ∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'
A A'
B
C B' C'
(两个角分别相等的两个三角形相似.)
条件 DE‖BC ,就可以使△ADE与原△ABC相似.
(或者∠B=∠ADE) (或者∠C=∠AED)
2.如图,在□ABCD中,EF∥AB,
DE:EA=2:3,EF=4,求CD的长.

人教版九年级数学下册 第27章 相 似 相似三角形 相似三角形的判定 第3课时 由两角判定三角形相似

人教版九年级数学下册 第27章 相 似 相似三角形 相似三角形的判定 第3课时 由两角判定三角形相似
数学 九年级下册 人教版
第二十七章 相 似
27.2 相似三角形
27.2.1 相似三角形的判定
第3课时 由两角判定三角形相似
知识点❶:两角对应相等的两个三角形相似
1.在△ABC和△A′B′C′中,∠A=68°,∠B=40°,∠A′=68°,∠C′=72°,
则这两个三角形( )
B
A.全等 B.相似
C.不相似 D.无法确定
14.如图,等边三角形 ABC 的边长为 6,在 AC,BC 边上各取一点 E,F, 使 AE=CF,连接 AF,BE 相交于点 P.
(1)求证:AF=BE,并求∠APB 的度数; (2)若 AE=2,试求 AP·AF 的值.
解:(1)∵△ABC 为等边三角形,∴AB=AC,∠C=∠CAB=60°,在△ABE 和
4.(南京中考)如图,在△ABC中,BC的垂直平分线MN交AB于点D,CD平分 ∠ACB.若AD=2,BD=3,则AC的长为__1_0_.
5.(通辽中考)如图,⊙O的直径AB交弦(不是直径)CD于点P,且PC2=PB·PA, 求证:AB⊥CD.
证 明 : 连 接 AC , BD , ∵ ∠ A = ∠ D , ∠ C = ∠ B , ∴ △ APC∽△DPB , ∴ PC∶PB = PA∶PD , ∴ PC·PD = PA·PB , ∵ PC2 = PB·PA , ∴ PC = PD , ∵ AB 为 直 径 , ∴AB⊥CD
解:(1)在△AOF 和△EOF 中,
பைடு நூலகம்
OA=OE, ∠AOD=∠EOD, ∴△AOF≌△EOF(SAS),∴∠OAF=∠OEF,∵BC 与⊙O 相 OF=OF,
切,∴OE⊥FC,即∠OEF=90°,∴∠OAF=90°,即 OA⊥AF,又∵OA 是⊙O 的半径,

新人教版九年级数学下册 第27章 相似 课件

新人教版九年级数学下册 第27章  相似 课件

图形的缩小
相似图形的关系
两个图形相似,其中一个图形可以 看做是由另一个图形_________ 放大 或 缩小 得到的,实际的建筑物 _________ 相似 的,用 和它的模型是___________ 复印机把一个图形放大或缩小后所 得的图形,也是与原来的图 _________ 相似 的.
1、如图,从放大镜里看到的三角尺 和原来的三角尺相似吗?
• 认识形状相同的图形。
• 对相似图形概念的理解。
• 抓住形状相同的图形的特征,认
识其内涵。
回顾旧知
全等图形
A' B
A
B'
C'
C
形状、 大小完全相 同的图形是 全等图形。
新课导入
多啦A梦的2寸照片和4寸照片,他的形状改变 了吗?大小呢?
符合国家标准的两面共青团团旗的形状 相同吗?大小呢?
四阶魔方和三阶魔方形状相同吗?大小呢?
A
E A E B B
D C C
D
A
D
A
D
B
C
B
C
A
A
C B C
B
你从上述几组图片发现了什么?
它们的大小不一定相等,
形状相同.
知识要点
两个图形的形状 完全相同 ________,但图形 的大小位置 不一定相同 __________,这样的图形叫 做相似图形。
图形的放大
图形的放大
两个图形相似
不规则四边形
B
A
请分别量出 这两个不规则四 边形各内角的度 数,求出对应边 的长度。
C
缩小 B1
A1
对 应 角 有 什 么 D 关 系?
对应边有什么关系? C1

人教版九年级数学下册《第二十七章 相似》教案

人教版九年级数学下册《第二十七章 相似》教案

人教版九年级数学下册《第二十七章相似》教案一. 教材分析人教版九年级数学下册《第二十七章相似》主要讲述了相似图形的性质和判定方法。

本章内容包括相似图形的定义、相似比、相似多边形的性质、相似三角形的性质和判定、相似圆的性质和判定等。

这些内容是学生学习几何学的基础,对于培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力具有重要意义。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何基础,对图形有了一定的认识。

但是,对于相似图形的定义和性质,学生可能还比较陌生,需要通过具体的例子和实践活动来加深理解。

此外,学生对于图形的变换和判定方法可能还不够熟练,需要通过大量的练习来提高。

三. 教学目标1.理解相似图形的定义和性质,能够判断两个图形是否相似。

2.掌握相似三角形的性质和判定方法,能够应用到实际问题中。

3.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力,提高解决问题的能力。

四. 教学重难点1.相似图形的定义和性质的理解。

2.相似三角形的性质和判定方法的掌握。

3.图形变换的熟练运用。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法,通过引导学生思考和探索,激发学生的学习兴趣和积极性。

2.利用多媒体和实物模型,进行直观演示和操作,帮助学生建立直观的空间想象能力。

3.提供丰富的练习题,进行巩固和拓展,提高学生的解题能力。

六. 教学准备1.多媒体教学设备。

2.实物模型和图片。

3.练习题和答案。

七. 教学过程1.导入(5分钟)通过展示一些相似的图形,如字母“A”和“a”,让学生观察和思考,引出相似图形的概念。

2.呈现(10分钟)讲解相似图形的定义和性质,通过具体的例子和实物模型进行演示,让学生理解和掌握相似图形的特征。

3.操练(10分钟)让学生进行一些类似的练习题,巩固对相似图形的理解和判断能力。

可以提供一些提示和指导,帮助学生解决问题。

4.巩固(10分钟)通过一些综合性的练习题,让学生应用相似图形的性质和判定方法,解决实际问题。

教师可以给予一些帮助和指导,鼓励学生独立思考和解决问题。

人教版九年级数学下册 图形的相似(教学课件)

人教版九年级数学下册 图形的相似(教学课件)

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【详解】相似多边形对应边成比例,对应角相等,菱形之间的对应角不一定相等,故①错误;放大镜
下的图形只是大小发生了变化,形状不变,所以一定相似,②错误;等边三角形的角都是60°,一定
相似,③正确;钝角只能是等腰三角形的顶角,则底角只能是35°,所以两个等腰三角形相似,④正
变式1-1 如图,将图形用放大镜放大,应该属于(
A.平移变换
B.相似变换
C.旋转变换
D.对称变换
).
(相似图形的判定)
变式1-2 下列结论中,错误的有:(

①所有的菱形都相似; ②放大镜下的图形与原图形不一定相似;
③等边三角形都相似; ④有一个角为110度的两个等腰三角形相似;
⑤所有的矩形不一定相似.
D.所有的等腰直角三角形都相似
【详解】A、所有的等腰三角形,边的比不一定相等,对应角不一定对应相等,故错误;B、所有
的菱形,边的比一定相等,而对应角不一定对应相等,故错误;C、所有的矩形,对应角的度数
一定相同,但对应边的比值不一定相等,故错误;D、所有的等腰直角三角形,边的比一定相等,
而对应角对应相等,故正确.故选:D.
例2 如图,四边形ABCD和EFGH相似,求角α,β的大小和EH的长度 x.
解:∵ 四边形 ABCD 和 EFGH 相似
∴ 它们的对应角相等.由此可得
∴∠α=∠C=83°,∠A=∠E=118°
在四边形ABCD中,∠β=360°- ∠A - ∠B - ∠C=81°
∵ 四边形ABCD和EFGH相似,
∴ 它们的对应边成比例
确;矩形之间的对应角相等,但是对应边不一定成比例,故⑤正确.有2个错误,故选B.

九年级数学下册人教版27.1图形的相似优秀教学案例

九年级数学下册人教版27.1图形的相似优秀教学案例
(五)作业小结
在课堂教学结束后,我会布置一些作业,让学生进一步巩固所学知识。同时,我会提醒学生在完成作业时注意运用相似图形的性质,解决实际问题。作业小结环节有助于学生巩固课堂所学,提高他们的应用能力。
五、案例亮点
1.生活实例导入:通过展示生活中的实例,引导学生关注相似图形在实际中的应用,激发学生的学习兴趣,引出相似图形的概念。这种教学方法使学生能够更好地理解抽象的数学概念,并感受到数学与生活的紧密联系。
三、教学策略
(一)情景创设
在教学过程中,我注重创设贴近学生生活实际的情景,激发学生的学习兴趣。例如,通过展示实际生活中的图片、模型等,引导学生关注相似图形在生活中的应用,从而引出相似图形的概念。同时,我还会设计一些有趣的实践活动,如让学生自己动手绘制、变换图形,使其在实际操作中感受相似图形的性质。
(二)问题导向
4.反思与评价:在教学过程中,我注重引导学生进行反思与评价,使其能够及时发现自己的不足,调整学习方法。这种教学方法有助于学生建立自信,提高学习兴趣,培养良好的学习习惯。
5.多媒体教学手段:我运用动画、图片等多媒体教学手段,形象地展示相似图形的变化过程,帮助学生建立起空间想象能力。这种教学方法使抽象的数学概念更加直观,有助于学生更好地理解和掌握知识点。同时,多媒体教学手段也使课堂更加生动有趣,提高了学生的学习兴趣。
在教学过程中,我以生活实际为出发点,设计了一系列具有针对性和实用性的教学活动,旨在激发学生的学习兴趣,提高学生的动手操作能力和解决问题的能力。同时,我也注重引导学生从直观图形中抽象出相似图形的共同特征,培养学生的高级思维能力。
二、教学目标
(一)知识与技能
1.学生能够理解相似图形的概念,掌握相似比、对应角、对应边等基本性质。

27.2.2+相似三角形的性质++课件++-2024-2025学年人教版九年级数学下册

27.2.2+相似三角形的性质++课件++-2024-2025学年人教版九年级数学下册
位置情况进行分类. 注意多种情况的存在,利用相似找函
数关系往往需要考虑相似比与对应线段的比,以及相似比
与面积比之间的关系.
综合应用创新
题型
4 利用相似三角形的性质解决实际问题
例 7 课本中有一道复习题:如图27.2-37 ①所示,有一
块三角形材料ABC,它的边BC=120 mm,高AD=
80 mm,要把它加工成正方形零件,使正方形的边
′′

= =k
′′
相似比为k
感悟新知
知1-讲
续表
图形
推理
结论
由两角分别相等
的两个三角形相 相 似 三 角
对应
似 , 得 △ABD ∽ 形 对 应 高
高的
AD , A′D′ 分 别 为 △A′B′D′ , 再 由 相 的 比 等 于

△ABC 和 △A′B′C′ 的 似 三 角 形 的 性 质 ,相似比
-6
3

2
6
3 2
2
) ×24= x -
2
12x
+24.
3
8
3
2
9
8
∴ y=S△A1MN-S△A1EF= x2-( x2-12x+24=- x2+12x-
24(4 <x<8).
16
易知当x= 时,y最大=8.
3
16
3
∵ 8>6,∴当x= 时,y最大,y 最大=8.
综合应用创新
解法提醒
本题运用了分类讨论思想,对点A1与四边形BCNM的
的平分线.
感悟新知
知1-练
例 1 如图27.2-32,在△ABC中,AD是BC边上的高,矩形
EFGH内接于△ABC,且长边FG在BC上,AD与EH的

人教版数学九年级下册 27.3位似 课件

人教版数学九年级下册 27.3位似 课件

OA:OA'
1:4 ,那么
S :S 四边形ABCD
四边形A' B' C' D'
__1_:1_6__ .
课堂小结
位似
1.位似图形的概念. 2.位似与相似的关系. 3.位似图形的性质.
再见
似比又叫位似比.
A
位似中心:点O 相似比或位似比:EF FG HE
AB BC DA
ห้องสมุดไป่ตู้
E
B
O
F
HD
G
C
探究新知
结论: ①位似图形一定是相似图形. ②相似图形不一定是位似图形.
D'
C'
D
C
O
A'
A B'
B
探究新知
位似的特征: 1.位似是一种具有位置关系的相似. 2.位似图形是相似图形的特殊情形. 判断位似图形时,要注意首先它们必须是相似图形, 其次每一对对应点所在直线都经过同一点.
探究新知
①④对位应似线中段心有可可能能位平于行两,个也图可形能的共内线部.,也可能在两图形 ②的两公个共位顶似点图上形,的还位可似能中在心两只个有图一形个的.外部. ③⑤两每个组位对似应图点形到可位能似位中于心位的似距中离心之的比两都侧等,于也相可似能比位. 于 本位质似区中别心:的位一似侧多. 边形是具有特殊位置关系的相似多边形.
巩固新知
1.两个位似多边形中的对应角__相__等__,对应线段__成__比__例__, 对应顶 点的连线必经过___位__似__中__心___.
2.位似多边形上某一对对应点到位似中心的距离分别为5和10, 则它们的相似比为____1_:2_____.
3.四边形ABCD和四边形 A' B' C' D' 位似,O为位似中心,若

人教版九年级数学下册27.1图形的相似(教案)

人教版九年级数学下册27.1图形的相似(教案)
通过这次教学,我深感教学反思的重要性。在今后的工作中,我会继续努力,以学生为中心,关注他们的学习需求,提高教学质量,让每个学生都能在数学的世界里找到乐趣。
-难点二:在实际图形中找出相似图形。教师可以设计一些具有挑战性的题目,如多边形内含相似三角形等,引导学生通过观察、分析找到相似图形。
-难点三:相似性质与其他几何知识的综合应用。例如,在求解复杂图形的线段长度时,需要运用相似性质与勾股定理。教师需引导学生逐步分析,将复杂问题分解为简单步骤,便于学生理解。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解并掌握相似图形的定义:相似图形的对应角相等,对应边成比例。
-掌握相似图形的性质及其应用,如相似三角形的判定(AA、SAS等)。
-学会运用相似性质解决实际问题,如求线段长度、角度等。
-通过实例,让学生理解相似在实际生活中的应用,提高学生的实际应用能力。
举例解释:
-通过比较两个三角形,强调对应角相等、对应边成比例的相似定义。
四、教学流程
(一)导入新课(用时5分钟)
同学们,今天我们将要学习的是《图形的相似》这一章节。在开始之前,我想先问大家一个问题:“你们在日常生活中是否遇到过两个物体形状相似但大小不同的情况?”(如两个不同大小的三角形装饰品)这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题,我希望能够引起大家的兴趣和好奇心,让我们一同探索图形相似的奥秘。
(二)新课讲授(用时10分钟)
1.理论介绍:首先,我们要了解相似图形的基本概念。相似图形是指对应角相等,对应边成比例的图形。它在几何学中有着广泛的应用,如解决实际问题中的长度、面积等计算。
2.案例分析:接下来,我们来看一个具体的案例。通过分析两个相似三角形,展示相似在实际中的应用,以及如何利用相似性质解决问题。

人教版九年级数学下册1相似三角形应用举例

人教版九年级数学下册1相似三角形应用举例
不到右边较高的树的顶端C 了?




分析:如图,设观察者眼睛的位置 (视点) 为点 F,画出观察者的水平视
线 FG,它交 AB,CD 于点 H,K.视线 FA,FG 的夹角 ∠AFH 是观察点
A 的仰角. 类似地,∠CFK 是观察点 C 时的仰角,由于树的遮挡,区域
Ⅰ和Ⅱ都在观察者看不到的区域 (盲区) 之内. 再往前走就根本看不到 C
第二十七章 相似
27.2 相似三角形
相似三角形应用举例




1. 能够利用相似三角形的知识,求出不能直接测量
的物体的高度和宽度. (重点)
2. 进一步了解数学建模思想,能够将实际问题转化
为相似三角形的数学模型,提高分析问题、解决
问题的能力. (难点)
0 1 . 课 前 导 入
0 2 . 探 索 新 知
∴ BO

FD
3
=134 (m).
因此金字塔的高度为
134 m.




方法总结:
测量不能到达顶部的物体的高度,可以用“在同一
时刻物高与影长成正比例”的原理解决.
表达式:物1高 :物2高 = 影1长 :影2长




小明身高 1.5 米,在操场的影长为 2 米,同时
测得教学大楼在操场的影长为 60 米,则教学大楼
因此,河宽大约为 90 m.




方法总结:
测量如河宽等不易直接测量的物体的宽度,常构造相
似三角形求解.




如图,为了测量水塘边 A、B 两点之间的距离,在可以看

人教版九年级数学下册相似三角形全章课件

人教版九年级数学下册相似三角形全章课件

∴△A′B′C′∽△ABC
B
E C
A A′
B
B′ C
C′
△ABC∽△A′B′C′
如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边 对应成比例,那么这两个三角形相似. 简单地说:三边对应成比例,两三角形相似.
【例】在△ABC和△A′B′C′中,已知:AB=6cm,BC= 8cm,AC=10cm,A′B′=18cm,B′C′=24cm,A′C′ =30cm.试证明△ABC与△A′B′C′相似.
A C
B
D
P2 P3
P1 P4
E
P5 F
【解析】(1)△ABC和△DEF相似.根据勾股定理,

, ,BC=5;
,,
.

,∴ △ABC∽△DEF.
(2) 答案不唯一,下面6个三角形中的任意2个均可.
A C
B
P3 E
D P1 P2
P4
P5 F
△P2P5D,△P4P5F,△P2P4D,
△P4P5D,△P2P4 P5,△P1FD.
4.(成都中考)如图,已知线段AB∥CD,AD与B
C相交于点K,E是线段AD上一动点。 (1)若BK= KC,
求 的值;
(2)连接BE,若BE平分∠ABC,则当AE= AD时,猜想线
段AB、BC、CD三者之间有怎样的等量关系?请写出你的
结论并予以证明.再探究:当AE= AD (n>2),而其余
MN∥AB交BC于N,量得MN=38cm,则AB的长为 152c . m
2.如图,在△ABC中,DG∥EH∥FI∥BC, (1)请找出图中所有的相似三角形;
△ADG∽△AEH∽△AFI∽△ABC
(2)如果AD=1,DB=3,那么DG:BC=_1_:_4__. A

人教版九年级下册数学27.1:相似多边形 课件(共16张PPT)

人教版九年级下册数学27.1:相似多边形 课件(共16张PPT)

对于图中两个相似的四边形,它们的对应角、对应边是否有同样的结论?
∠C=∠G= 900, ∠D=∠H= 900
在比例尺为1:10 000 000的地图上,量得甲、乙两地的距离是30cm,求两地的实际距离
相似多边形的判定方法:
(2)正方形ABCD与正方形EFGH. ∴AB=BC=CD=DA
x
∴∠A=∠E= 900, ∠B=∠F= 900
D
∴AB=BC=CD=DA
EF=FG=GH=HE
B
C
∴ ABBCCDDA.
E
H
EF FGGHHE
F
G
探究
1. 下图是两个相似的三角形,猜想它们的对 应角、对应边的比是否相等?
2. 对于图中两个相似的四边形,它们的对应 角、对应边是否有同样的结论?
问题:任意两个相似的多边形有什么性质?
相似多边形性质: 相似多边形对应角相等,对应边的比相等.
118°
18cm 例 如图,四边形ABCD和EFGH相似,求角α,β的大小和EH的长度x
x = 300000000 答: 甲,乙两地的实际距离为30000千米
解:四边形ABCD和EFGH相似,它们的对应角相等.由此可得
78° 83° ∠β=360°-(78°+83°+118°)=81°.
我们把相似多边形对应边的比称为相似比.
EF=FG=GH=HE ∠α=∠C=83°,∠A=∠E=118°
的比相等,那么这两个多边形相似. 解得 x=28(cm)
四边形ABCD和EFGH相似,它们的对应边的比相等.由此可得 我们把相似多边形对应边的比称为相似比.
答: 甲,乙两地的实际距离为30000千米 答: 甲,乙两地的实际距离为30000千米 (2)正方形ABCD与正方形EFGH. ∴∠A=∠E= 900, ∠B=∠F= 900

人教版九年级下册数学 相似三角形的性质与判定

人教版九年级下册数学   相似三角形的性质与判定

人教版九年级下册数学相似三角形的性质与判定归纳总结:1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段的比相等.2.平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段的比相等;平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似.3.相似三角形的判定:①如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似;②如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似;③如果一个三角形的两个角与另外一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.4. 相似三角形的性质:(1)相似三角形的面积比等于 .(2)相似三角形对应边,对应角。

(3)相似三角形的对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线)之比和周长之比都等于 .5. 相似三角形的概念:对应角、对应边的两个三角形叫做相似三角形,对应边之比叫做 .当相似比为1时,则两个三角形称 .6.四种相似三角形模型:A字、8字、K字、重叠型.1. 如图,点D在△ABC的边AC上,若CD=2,AC=6,且△CDB∽△CBA,则BC的值为.2. 如图,已知△ACD∽△ADB,AC=4,AD=2,则AB的长为.3. 如图,已知△ABC是面积为的等边三角形,△ABC∽△ADE,AB=2AD,∠BAD=45°,AC与DE相交于点F,则点D 到线段AB的距离等于(结果保留根号).4. 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,CD⊥AB于D,且AD:BD=9:4,则AC:BC的值为.5. 如图,D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点,且DE∥AC,AE、CD相交于点O,若S△DOE:S△COA=1:25,则S△BDE与S△CDE的比是.6. 如图,矩形EFGH内接于△ABC,且边FG落在BC上,若AD⊥BC,BC=3,AD=2,EF=EH,那么EH的长为.7. 如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,若AB=2,BC=4.则DC的长度为.8. 如图,在直角坐标系xOy中,A(﹣4,0),B(0,2),连接AB并延长到C,连结CO,若△COB∽△CAO,则点C 的坐标为.9. 如图,矩形ABCD中,AB=,BC=,点E在对角线BD上,且BE=1.8,连接AE并延长交DC于点F,则= .10.如图,在△ABC中,已知D、E分别是AB、AC边上的点,且AD=3,AB=8,AC=10,若△ADE与△ABC相似,则AE的长为.11. 如图,正方形ABCD中,AB=2,E为BC中点,两个动点M和N分别在边CD和AD上运动且MN=1,若△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似,则DM为.12. 如图,△ABC中,AC=6,AB=4,点D与点A在直线BC的同侧,且∠ACD=∠ABC,CD=2,点E是线段BC延长线上的动点,当△DCE和△ABC相似时,线段CE的长为13. 如图,在正方形ABCD中,E、F分别是边AD、CD上的点,AE=ED,DF=DC,连接EF并延长交BC的延长线于点G.(1)求证:△ABE∽△DEF;(2)若正方形的边长为4,求BG的长.14. 如图,在△ABC中,∠C=90°,BC=16cm,AC=12cm,点P从B出发沿BC以2cm/s的速度向C移动,点Q从C出发,以1cm/s的速度向A移动,若P、Q分别从B、C同时出发,设运动时间为ts,当为何值时,△CPQ与△CBA相似?15. 如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6cm,BC=8cm.动点M从点B出发,在BA边上以每秒3cm的速度向定点A运动,同时动点N从点C出发,在CB边上以每秒2cm的速度向点B运动,且MG⊥BC,运动时间为t秒(0<t<),连接MN.(1)用含t的式子表示MG;(2)当t为何值时,四边形ACNM的面积最小?并求出最小面积;(3)若△BMN与△ABC相似,求t的值.16. 如图所示,Rt△ABC中,已知∠BAC=90°,AB=AC=2,点D在BC上运动(不能到达点B,C),过点D作∠ADE=45°,DE交AC于点E.(1)求证:△ABD∽△DCE;(2)当△ADE是等腰三角形时,求AE的长.。

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初中数学试卷灿若寒星整理制作相似一、选择题1.已知2x=5y(y≠0),则下列比例式成立的是()A .B .C .D .2.若,则等于()A.8 B.9 C.10 D.113.下列各组条件中,一定能推得△ABC与△DEF相似的是()A.∠A=∠E且∠D=∠F B.∠A=∠B且∠D=∠FC.∠A=∠E 且D.∠A=∠E 且4.如图,正方形ABCD的边长为2,BE=CE,MN=1,线段MN的两端点在CD、AD上滑动,当DM为()时,△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似.A .B .C .或D .或5.如图所示,△ABC中若DE∥BC,EF∥AB,则下列比例式正确的是()A .B .C .D .6.如图,在△ABC中,DE∥BC,,DE=4,则BC的长是()A.8 B.10 C.11 D.127.如图,四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1,AB=12,CD=15,A1B1=9,则边C1D1的长是()A.10 B.12 C.D.8.已知△ABC∽△A′B′C′且,则S△ABC:S△A'B'C′为()A.1:2 B.2:1 C.1:4 D.4:19.如图,铁路道口的栏杆短臂长1m,长臂长16m.当短臂端点下降0.5m时,长臂端点升高(杆的宽度忽略不计)()A.4m B.6m C.8m D.12m10.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,如果AC=3,AB=6,那么AD的值为()A.B.C.D.3二、填空题11.在直角△ABC中,AD是斜边BC上的高,BD=4,CD=9,则AD=.12.如图,直线AD∥BE∥CF,BC=AC,DE=4,那么EF的值是.13.已知△ABC∽△DEF,且它们的面积之比为4:9,则它们的相似比为.14.如图,以点O为位似中心,将△ABC放大得到△DEF,若AD=OA,则△ABC与△DEF 的面积之比为.15.如图是小明设计用手电来测量都匀南沙州古城墙高度的示意图,点P处放一水平的平面镜,光线从点A出发经过平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处,已知AB ⊥BD,CD⊥BD,且测得AB=1.2米,BP=1.8米,PD=12米,那么该古城墙的高度是米(平面镜的厚度忽略不计).16.如图,在△ABC中,AB=9,AC=6,BC=12,点M在AB边上,且AM=3,过点M作直线MN与AC边交于点N,使截得的三角形与原三角形相似,则MN=.三、解答题17.如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,若DE∥BC,AD=3,AB=5,求的值.18.已知:平行四边形ABCD,E是BA延长线上一点,CE与AD、BD交于G、F.求证:CF2=GF•EF.19.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD为角平分线,DE⊥AB,垂足为E.(1)写出图中一对全等三角形和一对相似比不为1的相似三角形;(2)选择(1)中一对加以证明.20.如图,已知A(﹣4,2),B(﹣2,6),C(0,4)是直角坐标系平面上三点.(1)把△ABC向右平移4个单位再向下平移1个单位,得到△A1B1C1.画出平移后的图形,并写出点A的对应点A1的坐标;(2)以原点O为位似中心,将△ABC缩小为原来的一半,得到△A2B2C2,请在所给的坐标系中作出所有满足条件的图形.21.在△ABC中,点D为BC上一点,连接AD,点E在BD上,且DE=CD,过点E作AB 的平行线交AD于F,且EF=AC.如图,求证:∠BAD=∠CAD.22.如图,在梯形ABCD中,已知AD∥BC,∠B=90°,AB=7,AD=9,BC=12,在线段BC 上任取一点E,连接DE,作EF⊥DE,交直线AB于点F.(1)若点F与B重合,求CE的长;(2)若点F在线段AB上,且AF=CE,求CE的长.23.如图,已知△ABC∽△ADE,AB=30cm,AD=18cm,BC=20cm,∠BAC=75°,∠ABC=40°.(1)求∠ADE和∠AED的度数;(2)求DE的长.24.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=20cm,BC=15cm,现有动点P从点A出发,沿AC向点C方向运动,动点Q从点C出发,沿线段CB也向点B方向运动,如果点P的速度是4cm/秒,点Q的速度是2cm/秒,它们同时出发,当有一点到达所在线段的端点时,就停止运动.设运动时间为t秒.求:(1)当t=3秒时,这时,P,Q两点之间的距离是多少?(2)若△CPQ的面积为S,求S关于t的函数关系式.(3)当t为多少秒时,以点C,P,Q为顶点的三角形与△ABC相似?相似参考答案与试题解析一、选择题1.已知2x=5y(y≠0),则下列比例式成立的是()A.B.C.D.【考点】比例的性质.【分析】本题须根据比例的基本性质对每一项进行分析即可得出正确结论.【解答】解:∵2x=5y,∴.故选B.【点评】本题主要考查了比例的性质,在解题时要能根据比例的性质对式子进行变形是本题的关键.2.若,则等于()A.8 B.9 C.10 D.11【考点】比例的性质.【分析】设=k,得出a=2k,b=3k,c=4k,代入求出即可.【解答】解:设=k,则a=2k,b=3k,c=4k,即===10,故选C.【点评】本题考查了比例的性质的应用,主要考查学生的分析问题和解决问题的能力.3.下列各组条件中,一定能推得△ABC与△DEF相似的是()A.∠A=∠E且∠D=∠F B.∠A=∠B且∠D=∠FC.∠A=∠E且D.∠A=∠E且【考点】相似三角形的判定.【分析】根据三角形相似的判定方法:①两角法:有两组角对应相等的两个三角形相似可以判断出A、B的正误;②两边及其夹角法:两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可以判断出C、D的正误,即可选出答案.【解答】解:A、∠D和∠F不是两个三角形的对应角,故不能判定两三角形相似,故此选项错误;B、∠A=∠B,∠D=∠F不是两个三角形的对应角,故不能判定两三角形相似,故此选项错误;C、由可以根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可以判断出△ABC与△DEF相似,故此选项正确;D、∠A=∠E且不能判定两三角形相似,因为相等的两个角不是夹角,故此选项错误;故选:C.【点评】此题主要考查了相似三角形的判定,关键是掌握三角形相似的判定方法:(1)平行线法:平行于三角形的一边的直线与其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似;(2)三边法:三组对应边的比相等的两个三角形相似;(3)两边及其夹角法:两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似;(4)两角法:有两组角对应相等的两个三角形相似.4.如图,正方形ABCD的边长为2,BE=CE,MN=1,线段MN的两端点在CD、AD上滑动,当DM为()时,△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似.A.B.C.或D.或【考点】相似三角形的判定;正方形的性质.【分析】根据AE=EB,△ABE中,AB=2BE,所以在△MNC中,分CM与AB和BE是对应边两种情况利用相似三角形对应边成比例求出CM与CN的关系,然后利用勾股定理列式计算即可.【解答】解:∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC,∵BE=CE,∴AB=2BE,又∵△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似,∴①DM与AB是对应边时,DM=2DN∴DM2+DN2=MN2=1∴DM2+DM2=1,解得DM=;②DM与BE是对应边时,DM=DN,∴DM2+DN2=MN2=1,即DM2+4DM2=1,解得DM=.∴DM为或时,△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似.故选C.【点评】本题考查相似三角形的判定与性质、正方形的性质.解决本题特别要考虑到①DM与AB是对应边时,②当DM与BE是对应边时这两种情况.5.如图所示,△ABC中若DE∥BC,EF∥AB,则下列比例式正确的是()A.B.C.D.【考点】平行线分线段成比例.【分析】用平行线分线段成比例定理以及比例的性质进行变形即可得到答案.【解答】解:∵DE∥BC,EF∥AB,∴四边形DEFB是平行四边形,∴DE=BF,BD=EF;∵DE∥BC,∴==,==,∵EF∥AB,∴=,=,∴,故选C.【点评】此题主要考查平行线分线段成比例定理的理解及运用.找准对应关系,避免错选其他答案.6.如图,在△ABC中,DE∥BC,,DE=4,则BC的长是()A.8 B.10 C.11 D.12【考点】平行线分线段成比例.【分析】由在△ABC中,DE∥BC,根据平行线分线段成比例定理,即可得DE:BC=AD:AB,又由,DE=4,即可求得BC的长.【解答】解:∵,∴=,∵在△ABC中,DE∥BC,∴=,∵DE=4,∴BC=3DE=12.故选D.【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理.此题难度不大,注意掌握比例线段的对应关系.7.如图,四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1,AB=12,CD=15,A1B1=9,则边C1D1的长是()A.10 B.12 C.D.【考点】相似多边形的性质.【分析】由四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1,根据相似多边形对应边的比相等列出比例式=,将AB=12,CD=15,A1B1=9代入,计算即可求出边C1D1的长.【解答】解:∵四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1,∴=,∵AB=12,CD=15,A1B1=9,∴C1D1==.故选C.【点评】本题考查了相似多边形的性质,根据相似多边形对应边的比相等列出比例式是解题的关键.8.已知△ABC∽△A′B′C′且,则S△ABC:S△A'B'C′为()A.1:2 B.2:1 C.1:4 D.4:1【考点】相似三角形的性质.【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求出即可.【解答】解:∵△ABC∽△A′B′C′,,∴=()2=,故选C.【点评】本题考查了相似三角形的性质的应用,能运用相似三角形的性质进行计算是解此题的关键,注意:相似三角形的面积比等于相似比的平方.9.如图,铁路道口的栏杆短臂长1m,长臂长16m.当短臂端点下降0.5m时,长臂端点升高(杆的宽度忽略不计)()A.4m B.6m C.8m D.12m【考点】相似三角形的应用.【分析】栏杆长短臂在升降过程中,将形成两个相似三角形,利用对应变成比例解题.【解答】解:设长臂端点升高x米,则=,∴解得:x=8.故选;C.【点评】此题考查了相似三角形在实际生活中的运用,得出比例关系式是解题关键.10.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,如果AC=3,AB=6,那么AD的值为()A.B.C.D.3【考点】射影定理.【分析】根据射影定理得到:AC2=AD•AB,把相关线段的长度代入即可求得线段AD的长度.【解答】解:如图,∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,∴AC2=AD•AB,又∵AC=3,AB=6,∴32=6AD,则AD=.故选:A.【点评】本题考查了射影定理.每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项.二、填空题11.在直角△ABC中,AD是斜边BC上的高,BD=4,CD=9,则AD=6.【考点】射影定理.【分析】根据直角三角形中的射影定理来做:AD2=BD•CD.【解答】解:∵△ABC是直角三角形,AD是斜边BC上的高,∴AD2=BD•CD(射影定理),∵BD=4,CD=9,∴AD=6.【点评】本题主要考查了直角三角形的性质:射影定理.12.如图,直线AD∥BE∥CF,BC=AC,DE=4,那么EF的值是2.【考点】平行线分线段成比例.【分析】根据BC=AC可得=,再根据条件AD∥BE∥CF,可得=,再把DE=4代入可得EF的值.【解答】解:∵BC=AC,∴=,∵AD∥BE∥CF,∴=,∵DE=4,∴=2,∴EF=2.故答案为:2.【点评】此题主要考查了平行线分线段成比例定理,关键是掌握三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.13.已知△ABC∽△DEF,且它们的面积之比为4:9,则它们的相似比为2:3.【考点】相似三角形的性质.【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方,可直接得出结果.【解答】解:因为△ABC∽△DEF,所以△ABC与△DEF的面积比等于相似比的平方,因为S△ABC :S△DEF=2:9=()2,所以△ABC与△DEF的相似比为2:3,故答案为:2:3.【点评】本题比较容易,考查相似三角形的性质.利用相似三角形的性质时,要注意相似比的顺序,同时也不能忽视面积比与相似比的关系.相似比是联系周长、面积、对应线段等的媒介,也是相似三角形计算中常用的一个比值.14.如图,以点O为位似中心,将△ABC放大得到△DEF,若AD=OA,则△ABC与△DEF 的面积之比为1:4.【考点】位似变换.【分析】由AD=OA,易得△ABC与△DEF的位似比等于1:2,继而求得△ABC与△DEF 的面积之比.【解答】解:∵以点O为位似中心,将△ABC放大得到△DEF,AD=OA,∴AB:DE=OA:OD=1:2,∴△ABC与△DEF的面积之比为:1:4.故答案为:1:4.【点评】此题考查了位似图形的性质.注意相似三角形的面积比等于相似比的平方.15.如图是小明设计用手电来测量都匀南沙州古城墙高度的示意图,点P处放一水平的平面镜,光线从点A出发经过平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处,已知AB ⊥BD,CD⊥BD,且测得AB=1.2米,BP=1.8米,PD=12米,那么该古城墙的高度是8米(平面镜的厚度忽略不计).【考点】相似三角形的应用.【分析】由已知得△ABP∽△CDP,根据相似三角形的性质可得,解答即可.【解答】解:由题意知:光线AP与光线PC,∠APB=∠CPD,∴Rt△ABP∽Rt△CDP,∴,∴CD==8(米).故答案为:8.【点评】本题综合考查了平面镜反射和相似形的知识,关键是根据相似三角形在测量中的应用分析.16.如图,在△ABC中,AB=9,AC=6,BC=12,点M在AB边上,且AM=3,过点M作直线MN与AC边交于点N,使截得的三角形与原三角形相似,则MN=4或6.【考点】相似三角形的判定.【分析】分别利用,当MN∥BC时,以及当∠ANM=∠B时,分别得出相似三角形,再利用相似三角形的性质得出答案.【解答】解:如图1,当MN∥BC时,则△AMN∽△ABC,故==,则=,解得:MN=4,如图2所示:当∠ANM=∠B时,又∵∠A=∠A,∴△ANM∽△ABC,∴=,即=,解得:MN=6,故答案为:4或6.【点评】此题主要考查了相似三角形判定,正确利用分类讨论得出是解题关键.三、解答题17.如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,若DE∥BC,AD=3,AB=5,求的值.【考点】平行线分线段成比例.【分析】根据平行线分线段成比例定理得出=,再根据AD=3,AB=5,即可得出答案.【解答】解:∵DE∥BC,∴=,∵AD=3,AB=5,∴=.【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理.此题难度不大,解题的关键是注意准确应用平行线分线段成比例定理与数形结合思想的应用.18.已知:平行四边形ABCD,E是BA延长线上一点,CE与AD、BD交于G、F.求证:CF2=GF•EF.【考点】平行线分线段成比例;平行四边形的性质.【专题】证明题.【分析】根据平行四边形的性质得AD∥BC,AB∥CD,再根据平行线分线段成比例定理得=,=,利用等量代换得到=,然后根据比例的性质即可得到结论.【解答】证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AB∥CD,∴=,=,∴=,即CF2=GF•EF.【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例.也考查了平行四边形的性质.19.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD为角平分线,DE⊥AB,垂足为E.(1)写出图中一对全等三角形和一对相似比不为1的相似三角形;(2)选择(1)中一对加以证明.【考点】相似三角形的判定;全等三角形的判定.【分析】(1)利用相似三角形的判定以及全等三角形的判定方法得出符合题意的答案;(2)利用相似三角形的判定以及全等三角形的判定方法分别得出即可.【解答】解:(1)△ADE≌△BDE,△ABC∽△BCD;(2)证明:∵AB=AC,∠A=36°,∴∠ABC=∠C=72°,∵BD为角平分线,∴∠ABD=∠ABC=36°=∠A,在△ADE和△BDE中∵,∴△ADE≌△BDE(AAS);证明:∵AB=AC,∠A=36°,∴∠ABC=∠C=72°,∵BD为角平分线,∴∠DBC=∠ABC=36°=∠A,∵∠C=∠C,∴△ABC∽△BCD.【点评】此题主要考查了相似三角形以及全等三角形的判定,正确把握判定方法是解题关键.20.如图,已知A(﹣4,2),B(﹣2,6),C(0,4)是直角坐标系平面上三点.(1)把△ABC向右平移4个单位再向下平移1个单位,得到△A1B1C1.画出平移后的图形,并写出点A的对应点A1的坐标;(2)以原点O为位似中心,将△ABC缩小为原来的一半,得到△A2B2C2,请在所给的坐标系中作出所有满足条件的图形.【考点】作图﹣位似变换;作图﹣平移变换.【分析】(1)直接利用平移的性质,可分别求得△A1B1C1各点的坐标,继而画出图形;(2)利用位似的性质,可求得△A2B2C2各点的坐标,继而画出图形.【解答】解:(1)△A1B1C1如图所示,其中A1的坐标为:(0,1);(2)符合条件△A2B2C2有两个,如图所示.【点评】此题考查了位似变换与平移的变换.注意根据平移与位似的性质求得各点的坐标是关键.21.在△ABC中,点D为BC上一点,连接AD,点E在BD上,且DE=CD,过点E作AB的平行线交AD于F,且EF=AC.如图,求证:∠BAD=∠CAD.【考点】全等三角形的判定与性质.【分析】延长FD到点G,过C作CG∥AB交FD的延长线于点M,可证明△EDF≌△CMD,可得CM=EF=AC,进一步得到结论;【解答】证明:延长FD到点G,过C作CG∥AB交FD的延长线于点M,则EF∥MC,∴∠BAD=∠EFD=∠M,在△EDF和△CMD中,,∴△EDF≌△CMD(AAS),∴MC=EF=AC,∴∠M=∠CAD,∴∠BAD=∠CAD.【点评】本题考查了全等三角形的判定于性质、平行线的性质、等腰三角形的性质;证明三角形全等是解决问题的关键.22.如图,在梯形ABCD中,已知AD∥BC,∠B=90°,AB=7,AD=9,BC=12,在线段BC 上任取一点E,连接DE,作EF⊥DE,交直线AB于点F.(1)若点F与B重合,求CE的长;(2)若点F在线段AB上,且AF=CE,求CE的长.【考点】相似三角形的判定与性质;矩形的判定与性质;梯形.【分析】(1)根据题意画出图形,得出矩形ABEC求出BE,即可求出CE;(2)过D作DM⊥BC于M,得出四边形ABMD是矩形,推出AD=BM=9,AB=DM=7,CM=12﹣9=3,设AF=CE=a,则BF=7﹣a,EM=a﹣3,BE=12﹣a,求出∠BFE=∠DEM,∠B=∠DME,证△FBE∽△EMD,得出比例式=,求出a即可.【解答】解:(1)当F和B重合时,∵EF⊥DE,∵DE⊥BC,∵∠B=90°,∴AB⊥BC,∴AB∥DE,∵AD∥BC,∴四边形ABED是平行四边形,∴AD=EF=9,∴CE=BC﹣EF=12﹣9=3;(2)过D作DM⊥BC于M,∵∠B=90°,∴AB⊥BC,∴DM∥AB,∵AD∥BC,∴四边形ABMD是矩形,∴AD=BM=9,AB=DM=7,CM=12﹣9=3,设AF=CE=a,则BF=7﹣a,EM=a﹣3,BE=12﹣a,∵∠FEC=∠B=∠DMB=90°,∴∠FEB+∠DEM=90°,∠BFE+∠FEB=90°,∴∠BFE=∠DEM,∵∠B=∠DME,∴△FBE∽△EMD,∴=,∴=,a=5,a=17,∵点F在线段AB上,AB=7,∴AF=CE=17(舍去),即CE=5.【点评】本题考查了直角梯形性质,矩形的性质和判定,相似三角形的性质和判定等知识点,主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力,题目比较典型,是一道比较好的题目.23.如图,已知△ABC∽△ADE,AB=30cm,AD=18cm,BC=20cm,∠BAC=75°,∠ABC=40°.(1)求∠ADE和∠AED的度数;(2)求DE的长.【考点】相似三角形的性质.【分析】(1)根据三角形的内角和定理求出∠C,再根据相似三角形对应角相等解答;(2)根据相似三角形对应边成比例列式求解即可.【解答】解:(1)∵∠BAC=75°,∠ABC=40°,∴∠C=180°﹣∠BAC﹣∠ABC=180°﹣75°﹣40°=65°,∵△ABC∽△ADE,∴∠ADE=∠ABC=40°,∠AED=∠C=65°;(2)∵△ABC∽△ADE,∴=,即=,解得DE=12cm.【点评】本题考查了相似三角形的性质,三角形的内角和定理,主要利用了相似三角形对应角相等,对应边成比例的性质.24.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=20cm,BC=15cm,现有动点P从点A出发,沿AC向点C方向运动,动点Q从点C出发,沿线段CB也向点B方向运动,如果点P的速度是4cm/秒,点Q的速度是2cm/秒,它们同时出发,当有一点到达所在线段的端点时,就停止运动.设运动时间为t秒.求:(1)当t=3秒时,这时,P,Q两点之间的距离是多少?(2)若△CPQ的面积为S,求S关于t的函数关系式.(3)当t为多少秒时,以点C,P,Q为顶点的三角形与△ABC相似?【考点】相似三角形的性质;三角形的面积;勾股定理.【分析】(1)在Rt△CPQ中,当t=3秒,可知CP、CQ的长,运用勾股定理可将PQ的长求出;(2)由点P,点Q的运动速度和运动时间,又知AC,BC的长,可将CP、CQ用含t的=CP×CQ求解;表达式求出,代入直角三角形面积公式S△CPQ(3)应分两种情况:当Rt△CPQ∽Rt△CAB时,根据=,可将时间t求出;当Rt △CPQ∽Rt△CBA时,根据=,可求出时间t.【解答】解:由题意得AP=4t,CQ=2t,则CP=20﹣4t,(1)当t=3秒时,CP=20﹣4t=8cm,CQ=2t=6cm,由勾股定理得PQ=;(2)由题意得AP=4t,CQ=2t,则CP=20﹣4t,因此Rt△CPQ的面积为S=cm2;(3)分两种情况:①当Rt△CPQ∽Rt△CAB时,,即,解得t=3秒;②当Rt△CPQ∽Rt△CBA时,,即,解得t=秒.因此t=3秒或t=秒时,以点C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似.【点评】本题主要考查相似三角形性质的运用,在解第三问时应分两种情况进行求解,在解题过程应防止漏解或错解.。

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