高考数学玩转压轴题专题3_8欲证直线过定点,结合特征方程验1

专题3.8 欲证直线过定点，结合特征方程验

【题型综述】

直线过定点的解题策略一般有以下几种：（1）如果题设条件没有给出这个定点，那么，我们可以这样思考：由于这个定点对符合要求的一些特殊情况必然成立，那么我们根据特殊情况先找到这个定点，再证明这个点与变量无关.(2)直接推理、计算，找出参数之间的关系，并在计算过程中消去部分参数，将直线方程化为点斜式方程，从而得到定点.（3）若直线方程含多个参数并给出或能求出参数满足的方程，观察直线方程特征与参数方程满足的方程的特征，即可找出直线所过顶点坐标，并带入直线方程进行检验.注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算.

【典例指引】

类型一椭圆中直线过未知顶点问题

例1 【2017课标1，理20】已知椭圆C：

22

22

=1

x y

a b

（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，

3

），

P4（1，3

）中恰有三点在椭圆C上.

（1）求C的方程；

（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.

类型二 椭圆中直线过已知定点问题

例2. 【2017课标II ，理】设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2

212

x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =

。

(1) 求点P 的轨迹方程；

(2)设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=，证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F 。 【解析】(1)设出点P 的坐标，利用2=

NP NM 得到点P 与点,M 坐标之间的关系即可求得轨迹方程为

222x y +=。

（2）由题意知()1,0F -。设()()3,,,Q t P m n -,则

()()3,,1,,33OQ t PF m n OQ PF m tn =-=---⋅=+-， ()(),,3,OP m n PQ m t n ==---。

由1=OP PQ 得2231m m tn n --+-=，又由（1）知22

2m n +=，故

330m tn +-=。

所以0=OQ PF ，即⊥OQ PF 。又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F 。

类型三 点在定直线上问题

例3【2016高考山东理数】平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()222210x y a b a b

+=＞＞ 3

，

抛物线E ：2

2x y =的焦点F 是C 的一个顶点. （I ）求椭圆C 的方程；

（II ）设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交与不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M . （i ）求证：点M 在定直线上;

（ii ）直线l 与y 轴交于点G ，记PFG △的面积为1S ，PDM △的面积为2S ，求1

2

S S

的最大值及取得最大值时点P 的坐标.

设),(),,(),,(002211y x D y x B y x A ，联立方程222241m y mx x y ⎧=-

⎪⎨⎪+=⎩

得014)14(4

3

2

2

=-+-+m x m x m ，

由0>∆，得520+<

21+=+m m x x ，

因此1

42223

210+=+=m m x x x ,

（ii ）由（i ）知直线l 方程为22

m mx y -=，

令0=x 得22

m y -=，所以)2,0(2m G -， 又21(,),(0,),22m P m F D ))

14(2,142(22

23+-+m m m m ， 所以)1(4

1

||2121+==

m m m GF S ， )14(8)12(||||212

2

202++=-⋅=m m m x m PM S ， 所以2

22221)

12()1)(14(2+++=m m m S S ， 令122

+=m t ，则21

1)1)(12(2221++-=+-=t t

t t t S S ，

当

211=t ，即2=t 时，21S

S 取得最大值4

9

，此时22=m ，满足0>∆，

所以点P 的坐标为)41,22(

，因此12S S 的最大值为4

9

，此时点P 的坐标为)41,22(.

类型四 抛物线中直线过定点问题

例4.【2013年高考理科陕西卷】已知动圆过定点A(4,0), 且在y 轴上截得的弦MN 的长为8. (Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹C 的方程;

(Ⅱ) 已知点B(－1,0), 设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P, Q, 若x 轴是PBQ ∠的角平分线, 证明直线l 过定点.

【扩展链接】

1. 对任意圆锥曲线，过其上任意一点作两条直线，若直线斜率之积为定值，两直线交圆锥曲线于B A , 两点，则直线AB 过定点.

2.已知AB 为过抛物线2

y =)0(2>p px 的焦点F 的弦，),(),,(2211y x B y x A ，则p x x AB ++=21||.

3.已知AB 为过椭圆)0(122

22>>=+b a b y a x 的焦点F 的弦，),(),,(2211y x B y x A ，则

||2||21x x e a AB +-=.

4.已知直线)(00x x k y y -=-，当k 变动时，直线恒过定点),(00y x .

【同步训练】