高中数学1.1.1变化率问题课时作业(含解析)新人教A版选修22

高中数学1.1.1变化率问题课时作业（含解析）新人教A 版选修

22

知识点一 函数的平均变化率

1.当自变量从x 0变到x 1(x 0

D ．在区间[x 0，x 1]上的导数 答案 A

解析 由平均变化率的定义，可知当自变量从x 0变到x 1(x 0

2．一质点的运动方程是s ＝4－2t 2

，则在时间段[1,1＋Δt ]内相应的平均速度为( ) A ．2Δt ＋4 B ．－2Δt ＋4 C ．2Δt －4 D ．－2Δt －4

答案 D

解析 Δs Δt ＝4－21＋Δt 2

－4＋2×12

Δt ＝

－4Δt －2Δt 2

Δt

＝－2Δt －4.

3．函数f (x )＝x 2

－1在区间[1，m ]上的平均变化率为3，则实数m 的值为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．4

答案 B

解析 由已知得m 2－1－12－1m －1

＝3，∴m ＋1＝3，

∴m ＝2.

知识点二 平均变化率的应用

4.将半径为R 的铁球加热，若铁球的半径增加ΔR ，则铁球的表面积增加( ) A ．8πR ·ΔR

B ．8πR ·ΔR ＋4π(ΔR )2

C ．4πR ·ΔR ＋4π(ΔR )2

D ．4π(ΔR )2

答案 B

解析 ΔS ＝4π(R ＋ΔR )2

－4πR 2

＝8πR ·ΔR ＋4π(ΔR )2

.

5．已知函数f (x )的图象如图所示，则函数f (x )在[－2,1]上的平均变化率为________；函数f (x )在[－2,3]上的平均变化率为________．

答案 23 45

解析 从题图中可以看出f (－2)＝－1，f (1)＝1，f (3)＝3，所以函数f (x )在[－2,1]上的平均变化率为f 1－f －2

1－－2

＝

1－－13＝2

3

；函数f (x )在[－2,3]上的平均变化率为

f 3－f －2

3－－2＝3－－15＝4

5

.

6．求函数y ＝x 3

从x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率，并计算当x 0＝1，Δx ＝12时平均变

化率的值．

解 当自变量从x 0变化到x 0＋Δx 时，函数的平均变化率为

Δy Δx

＝f

x 0＋Δx －f x 0

Δx

＝

x 0＋Δx 3

－x 3

Δx

＝3x 20＋3x 0Δx ＋(Δx )2，当x 0＝1，Δx ＝12

时平均变化率的值为3×12

＋

3×1×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝194

.

一、选择题

1．已知函数y ＝f (x )＝x 2

＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( ) A ．0.40 B ．0.41 C ．0.43 D ．0.44

答案 B

解析 Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝f (2.1)－f (2)＝2.12

－22

＝0.41. 2．如图，函数y ＝f (x )在A ，B 两点间的平均变化率等于( )

A ．1

B ．－1

C ．2

D ．－2

答案 B

解析 平均变化率为1－3

3－1

＝－1.

3．如果函数y ＝ax ＋b 在区间[1,2]上的平均变化率为3，则a ＝( ) A ．－3 B ．2 C ．3 D ．－2

答案 C

解析 根据平均变化率的定义，可知Δy Δx ＝2a ＋b －a ＋b

2－1＝a ＝3.故选C.

4．已知函数y ＝f (x )＝2x 2

的图象上点P (1,2)及邻近点Q (1＋Δx,2＋Δy )，则Δy Δx 的值

为( )

A ．4

B ．4x

C ．4＋2Δx 2

D ．4＋2Δx

答案 D 解析 Δy Δx

＝

21＋Δx 2

－2×1

2

Δx

＝4＋2Δx .

5．汽车行驶的路程s 和时间t 之间的函数图象如图，在时间段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，

t 3]上的平均速度分别为v 1，v 2，v 3，则三者的大小关系为( )

A.v 1>v 2>v 3

B.v 3>v 2>v 1

C.v 2>v 1>v 3

D.v 2>v 3>v 1 答案 B 解析

v 1＝

s t 1－s t 0

t 1－t 0

＝k OA ，v 2＝

s t 2－s t 1

t 2－t 1

＝k AB ，v 3＝

s t 3－s t 2

t 3－t 2

＝k BC ，由图象知k OA

二、填空题

6．质点运动规律s ＝12gt 2

，则在时间区间(3,3＋Δt )内的平均速度等于________．(g ＝

10 m/s 2

)

答案 30＋5Δt

解析 Δs ＝12g ×(3＋Δt )2－12g ×32＝12×10×[6Δt ＋(Δt )2]＝30Δt ＋5(Δt )2

，v ＝

Δs

Δt

＝30＋5Δt . 7．在北京奥运会上，牙买加飞人博尔特刷新了百米世界纪录：9.69秒，通过计时器发现前50米用时5.50秒．那么在后50米他的平均速度是________米/秒．(最后结果精确到0.01)

答案 11.93

解析 Δs ＝100－50＝50，Δt ＝9.69－5.50＝4.19，v ＝Δs

Δt ≈11.93米/秒．

8．甲、乙两人的运动路程与时间的函数关系分别为s ＝s 1(t )，s ＝s 2(t )，图象如图，则在时间段[0，t 0]内甲的平均速度________乙的平均速度(填“大于”“小于”或“等于”)．

答案 小于

解析 由图象知s 1(t 0)＝s 2(t 0)，s 1(0)>s 2(0)，所以s 1t 0－s 10t 0

t 0

，

即v 甲

乙．

三、解答题

9．蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为T (t )＝120

t ＋5

＋15，其中T (t )为体温(单位：℃)，t 为太阳落山后的时间(单位：min)．

(1)从t ＝0到t ＝10，蜥蜴的体温下降了多少？

(2)从t ＝0到t ＝10，蜥蜴的体温的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？ 解 (1)在t ＝0和t ＝10时，蜥蜴的体温分别为

T (0)＝

1200＋5＋15＝39，T (10)＝120

10＋5

＋15＝23， 故从t ＝0到t ＝10，蜥蜴的体温下降了16 ℃. (2)平均变化率为

T 10－T 0

10＝－16

10

＝－1.6.