数学学科导论
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2019/2/7
y f ( x)
A?
9
解决步骤 :
1) 大化小. 在区间 [a , b]中任意插入 n –1 个分点
a x0 x1 x2 xn1 xn b 用直线 x xi 将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形; 2) 常代变. 在第i 个窄曲边梯形上任取 i [ xi 1 , xi ] y 作以 [ xi 1 , xi ] 为底 , f ( i )
2019/2/7
4
变量数学发展的第二个决定性步骤, 是英国的牛顿和德 国的莱布尼兹完成了微积分的创建. 微积分是17世纪发现 的最伟大的数学工具. 有了它, 数学研究的许多崭新的、 广泛的领域才得以迅速开辟和发展.
恩格斯高度评价这一人类智力奋斗的结晶：“在一切理论成就 中, 未必再有什么象17世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类 精神的最高胜利”. 微积分在数学发展中的地位是十分重要的, 它是继欧几里得几 何学之后, 全部数学中的一个最伟大的创造. 但是微积分的发展经 历了漫长而曲折的道路, 才成为数学中的一大部门——数学分析, 成为现代科学技术发展的强有力的计算工具.
2019/2/7 6
牛顿研究微积分着重于以运动来考察. 1669年在一篇 名为《运用无穷多项分析学》的论文中, 牛顿不仅给出 了求一个变量对另一个变量瞬时变化率的普遍方法, 而 且还证明了面积可由求变化率的逆过程得到, 因为面积也正是用 无穷小面积的和来表示的. 莱布尼兹是德国博学的哲学家和著名 的数学家, 他在研究求曲线切线和求曲边梯形的面积中, 独立地 建立了一套微积分理论. 他注意到求曲线的切线需要确定曲线的 纵坐标之差和横坐标之差的比, 而求曲边梯形的面积, 则需要确 定曲线的纵坐标之和, 于是他把微分问题与积分问题联系起来, 把两者看作互逆运算, 从而创立了一套关于无限小量的“求差法” 和“求和法”, 即微分学和积分学. 牛顿和莱布尼兹在创建微积分 上的基本功绩是把前人在实际中应用的某一方法加以概括和提升 使之变成适合一般的运算方法, 并且指出微分和积分的互逆过程.
0 i 1
n
被 积 函 数
被 积 表 达 式
积 分 变 量
积 分 和
黎曼积分仅与被积函数及积分区间有关 .
2019/2/7 14
黎曼可积的充分条件:
定理1. 定理2. 且只有有限个间断点
2019/2/7
15
Mi
mi
xi-1 xi
xi-1 xi
2019/2/7
ppt
曲边梯形面积问题在p9, 稍后讲
7
微积分继续发展的三个方向
外微分形式 (整体微分几何)（微积分基本定理如何
在高维空间得到体现）
复数域上的微积分（复变函数）
微积分的深化和拓展（实变函数） 下面我们就给大家介绍一下黎曼积分.
2019/2/7 8
黎曼积分问题举例
矩形面积
梯形面积
1. 曲边梯形的面积 设曲边梯形是由连续曲线 以及两直线 所围成 , 求其面积 A .
函数论、概率论、微分方程、拓扑学、金融随机 分析等课程提供必要的测度论和积分论的基础, 并为进一步学习现代数学基础打下必要的基础.
2019/2/7 3
世界数学发展史,一般划分为四个时期：
数学的产生(公元前3000年─公元前5世纪)； 常量数学即初等数学 (公元5世纪─公元17世纪)； 变量数学即近代数学 (公元17世纪─19世纪末)； 现代数学 (19世纪─至今)；
为高的小矩形, 并以此小 矩形面积近似代替相应 窄曲边梯形面积 得 Ai f ( i )x i (x i xi xi 1 ), i 1, 2,
2019/2/7
o a x1
xi 1 xi i ,n
10
3) 近似和.
A A i f ( i )xi
i 1 i 1
2019/2/7
5
一、牛顿、莱布尼兹的微积分
17世纪是科学技术发展的一个重要时期, 在这一时期有许多科学 问题需要解决, 这些问题也就成了促使微积分产生的重要因素. 归 结起来, 大体有四类问题：第一类问题是研究物体运动时直接表现 出来的, 也就是求瞬时速度的问题; 第二类问题是求曲线的切线问 题; 第三类问题是求函数的最大最小值问题; 第四类问题是求曲线 的长度、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心以及一 个体积相当大的物体作用于另一个物体产生的引力等问题. 17世纪 许多著名的数学家、天文学家对上述问题作了大量的研究工作, 如 费马、笛卡尔、开普勒等都提出过许多有价值的理论, 为微积分理 论的创立做出了十分重要的贡献.
2019/2/7
7
34
36
1
实变函数论的产生
及其意义
西南财经大学 经济数学学院
朱文莉
zhuwl@swufe.edu.cn
2019/2/7 2
实变函数论 是数学专业的一门重要的基 础课程, 通过学习使学生掌握近代抽象分析的基 本思想, 加深对数学分析知识的理解, 深化对中学
数学有关内容的认识, 同时为今后学习泛函分析、
a f ( x) d x
即 I a f ( x )d x lim f ( i ) xi
b
b
n
0 i 1
此时称 f ( x ) 在 [ a , b ] 上黎曼可积 .
2019/2/7
13
积分上限
[a , b] 称为积分区间
a
积分下限
b
f ( x) d x lim f ( i ) xi
n
n
4) 取极限. 令
则曲边梯形面积
A lim Ai
0 i 1
n
n
y
lim f ( i )x i
0
i 1
2019/2/7
o a x1
xi 1 xi
i
11
• 解决问题的方法步骤: “大化小 , 常代变 , 近似和 , 取极限 ” • 所求量极限来自百度文库构式: 特殊乘积和式的极限
黎曼积分定义
且有界, 在 一组分点 a x0 x1 x2 xn b , 任取 只要 时 中任意取
o a x1
2019/2/7
i xi 1 xi b x
12
o a x1
在区间 上的黎曼积分, 记作
i xi 1 xi b x
总趋于确定的常数 I , 则称此极限 I 为函数
y f ( x)
A?
9
解决步骤 :
1) 大化小. 在区间 [a , b]中任意插入 n –1 个分点
a x0 x1 x2 xn1 xn b 用直线 x xi 将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形; 2) 常代变. 在第i 个窄曲边梯形上任取 i [ xi 1 , xi ] y 作以 [ xi 1 , xi ] 为底 , f ( i )
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变量数学发展的第二个决定性步骤, 是英国的牛顿和德 国的莱布尼兹完成了微积分的创建. 微积分是17世纪发现 的最伟大的数学工具. 有了它, 数学研究的许多崭新的、 广泛的领域才得以迅速开辟和发展.
恩格斯高度评价这一人类智力奋斗的结晶：“在一切理论成就 中, 未必再有什么象17世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类 精神的最高胜利”. 微积分在数学发展中的地位是十分重要的, 它是继欧几里得几 何学之后, 全部数学中的一个最伟大的创造. 但是微积分的发展经 历了漫长而曲折的道路, 才成为数学中的一大部门——数学分析, 成为现代科学技术发展的强有力的计算工具.
2019/2/7 6
牛顿研究微积分着重于以运动来考察. 1669年在一篇 名为《运用无穷多项分析学》的论文中, 牛顿不仅给出 了求一个变量对另一个变量瞬时变化率的普遍方法, 而 且还证明了面积可由求变化率的逆过程得到, 因为面积也正是用 无穷小面积的和来表示的. 莱布尼兹是德国博学的哲学家和著名 的数学家, 他在研究求曲线切线和求曲边梯形的面积中, 独立地 建立了一套微积分理论. 他注意到求曲线的切线需要确定曲线的 纵坐标之差和横坐标之差的比, 而求曲边梯形的面积, 则需要确 定曲线的纵坐标之和, 于是他把微分问题与积分问题联系起来, 把两者看作互逆运算, 从而创立了一套关于无限小量的“求差法” 和“求和法”, 即微分学和积分学. 牛顿和莱布尼兹在创建微积分 上的基本功绩是把前人在实际中应用的某一方法加以概括和提升 使之变成适合一般的运算方法, 并且指出微分和积分的互逆过程.
0 i 1
n
被 积 函 数
被 积 表 达 式
积 分 变 量
积 分 和
黎曼积分仅与被积函数及积分区间有关 .
2019/2/7 14
黎曼可积的充分条件:
定理1. 定理2. 且只有有限个间断点
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Mi
mi
xi-1 xi
xi-1 xi
2019/2/7
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曲边梯形面积问题在p9, 稍后讲
7
微积分继续发展的三个方向
外微分形式 (整体微分几何)（微积分基本定理如何
在高维空间得到体现）
复数域上的微积分（复变函数）
微积分的深化和拓展（实变函数） 下面我们就给大家介绍一下黎曼积分.
2019/2/7 8
黎曼积分问题举例
矩形面积
梯形面积
1. 曲边梯形的面积 设曲边梯形是由连续曲线 以及两直线 所围成 , 求其面积 A .
函数论、概率论、微分方程、拓扑学、金融随机 分析等课程提供必要的测度论和积分论的基础, 并为进一步学习现代数学基础打下必要的基础.
2019/2/7 3
世界数学发展史,一般划分为四个时期：
数学的产生(公元前3000年─公元前5世纪)； 常量数学即初等数学 (公元5世纪─公元17世纪)； 变量数学即近代数学 (公元17世纪─19世纪末)； 现代数学 (19世纪─至今)；
为高的小矩形, 并以此小 矩形面积近似代替相应 窄曲边梯形面积 得 Ai f ( i )x i (x i xi xi 1 ), i 1, 2,
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xi 1 xi i ,n
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3) 近似和.
A A i f ( i )xi
i 1 i 1
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一、牛顿、莱布尼兹的微积分
17世纪是科学技术发展的一个重要时期, 在这一时期有许多科学 问题需要解决, 这些问题也就成了促使微积分产生的重要因素. 归 结起来, 大体有四类问题：第一类问题是研究物体运动时直接表现 出来的, 也就是求瞬时速度的问题; 第二类问题是求曲线的切线问 题; 第三类问题是求函数的最大最小值问题; 第四类问题是求曲线 的长度、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心以及一 个体积相当大的物体作用于另一个物体产生的引力等问题. 17世纪 许多著名的数学家、天文学家对上述问题作了大量的研究工作, 如 费马、笛卡尔、开普勒等都提出过许多有价值的理论, 为微积分理 论的创立做出了十分重要的贡献.
2019/2/7
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实变函数论的产生
及其意义
西南财经大学 经济数学学院
朱文莉
zhuwl@swufe.edu.cn
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实变函数论 是数学专业的一门重要的基 础课程, 通过学习使学生掌握近代抽象分析的基 本思想, 加深对数学分析知识的理解, 深化对中学
数学有关内容的认识, 同时为今后学习泛函分析、
a f ( x) d x
即 I a f ( x )d x lim f ( i ) xi
b
b
n
0 i 1
此时称 f ( x ) 在 [ a , b ] 上黎曼可积 .
2019/2/7
13
积分上限
[a , b] 称为积分区间
a
积分下限
b
f ( x) d x lim f ( i ) xi
n
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4) 取极限. 令
则曲边梯形面积
A lim Ai
0 i 1
n
n
y
lim f ( i )x i
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o a x1
xi 1 xi
i
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• 解决问题的方法步骤: “大化小 , 常代变 , 近似和 , 取极限 ” • 所求量极限来自百度文库构式: 特殊乘积和式的极限
黎曼积分定义
且有界, 在 一组分点 a x0 x1 x2 xn b , 任取 只要 时 中任意取
o a x1
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i xi 1 xi b x
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o a x1
在区间 上的黎曼积分, 记作
i xi 1 xi b x
总趋于确定的常数 I , 则称此极限 I 为函数