行列式习题
第1章行列式自测题(答案)
内容提要：一、行列式的定义1、2阶和3阶行列式2112221122211211a a a a a a a a D -==312312322113332211333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++= 322311332112312213a a a a a a a a a ---2、排列与逆序定义 由n ,,3,2,1 组成的一个有序数组称为一个n 阶排列． 3、n 阶行列式定义定义 称∑-==nn n p p p np p p p p p nnn n nn a a a a a a a a a a a a D21212121)(212222111211)1(τ )det(ij a =为n 阶行列式，记作D 或n D ．也记作)det(ij a ．4、三角形行列式：主对角线元素的乘积。
二、行列式的性质 性质1 D D ='．性质2 互换行列式的某两行（或列），行列式仅变符号． 推论 若行列式中某两行（或列）相同，则行列式为零．性质3 行列式某行（列）的各元素乘以k ，等于用数k 乘以行列式．推论 行列式的某行（或列）各元素的公因子可以提到行列式符号外面相乘． 推论 若行列式的某两行（或列）的对应成元素成比例，则行列式为零．性质4 nnn n in i i nnnn n in i i n nnn n in in i i i i n a a a a a a a a a a a a a a a a a a21211121121211121121221111211βββαααβαβαβα+=+++性质5 将行列式的某行（或列）各元素乘以数k 加到另一行（或列）的对应元素上,行列式的值不变．三、行列式的展开定理定义 在n D 中划掉ij a 所在的行和列（即第i 行和第j 列），余下的元素按原来的相对位置构成一个（1-n ）阶行列式，称为ij a 的余子式，记作ij M ．ij j i ij M A +-=)1( ——ij a 的代数余子式定理1 in in i i i i A a A a A a D +++= 2211 （n i ,,2,1 =） →按第i 行展开 或 ni ni i i i i A a A a A a D +++= 2211 （n i ,,2,1 =） →按第i 列展开 推论 02211=+++jn in j i j i A a A a A a （j i ≠） 或 02211=+++nj ni j i j i A a A a A a （j i ≠） 四、Cramer 规则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212********* （1） 定理 当0≠D 时，方程组（1）有唯一解D D x 11=，D Dx 22=，……，DD x n n =．推论 齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221211212111n nn n n nn n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a (01=x ,02=x ,……，0=n x 显然是方程组的解，称为零解)1）0≠D ⇒仅有零解． 2）有非零解⇒0=D ．《线性代数》单元自测题答案第一章 行列式一、填空题：1．设j i a a a a a 54435231是五阶行列式中带有负号的项，则i =________；j =_________。
行列式习题
行列式习题一、填空题1．____________)4637251(=τ。
14 2．____________)315426(=τ。
53．四阶行列式00000000000d cb a= 。
abcd4． 在5级行列式中，项4524513213a a a a a 前带的符号是 。
+5．行列式3214214314324321中第1行第4列元素的代数余子式的值等于 。
446．在由数码1、2、…、n 组成的排列中，反序数最大的排列是 ，其反序数为 . n,n-1,n-2,…,2,1、2)1(-n n7．多项式=)(x P 333322221111xcbax c b a x c b a （其中a,b,c 是互不相同的数）的根是 .a 、b 、c8．方程03111121111111111=---xx x 的根是 . 0、1、29． 5阶行列式│a ij │5×5的中的项a 14a 23a 31a 45a 52的符号为 。
＋ 10．n 阶行列式│a ij │n×n 按第二行展开为D= 。
的代数余子式）是其中ij ij nn a A A a A a A a (2222222121+++11．三阶行列式 D ＝333222111435214352143521a a k a a a k a a a k a +++++++++ = 。
012．若0140200345678910=x ，则=x 。
813． 如果行列式D=12334152--a 中第二行第一列的代数余子式A 12=5，则a= 。
-5 14．线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλλ 有非零解，则λ= 。
1、－215．行列式D ＝=2112100012100012100012 ；6 16．行列式D ＝10100011zy x z y x ＝ ；2221z y x ---17．4阶行列式xd d d x c c c x b b b x a a a D 3213213213214=中第一列各元素的代数余子式之和=+++41312111A A A A。
行列式练习题及答案
行列式 练习题一、判断题1. 行列式的行数和列数可以相同也可以不同。
（ ）2. n 阶行列式共有2n 个元素，展开后共有n ！项。
（ ）3. n 阶行列式展开后的n ！项中，带正号的项和带负号的项各占一半。
（ ）4. 行列式D 中元素ij a 的余子式ij M 与其代数余子式ij A 符号相反。
（ ）5. 上（下）三角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积。
（ ）6. 行列式与它的转置行列式符号相反。
（ ）7. 行列式中有一行的元素全部是零则行列式的值为零。
（ ）8. 行列式中有两行元素相同，行列式的值为零。
（ ）9. 行列式中有两行元素成比例，行列式的值为零。
（ ） 10．互换行列式的两行，行列式的值不变。
（ ） 11. 行列式中某一行的公因子k 可以提到行列式符号之外。
( ) 12. 行列式中若所有元素均相同，则行列式的值为零。
（ ） 13. 行列式的值等于它的任一行（列）的元素与其对应的代数余子式乘积。
（ ）14. 行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应的元素的代数余子式乘积之和为零。
（ ） 15. 齐次线性方程组的系数行列式0D ≠，则它仅有零解。
（ ）二、填空题1.=______x yyx -。
2.sin cos =______cos sin θθθθ-。
3. 123246=______345。
4．2-20310=______450。
5．=______a x xx b x x x c。
6. 211123=0______49x x x =，则。
7.222031,005D =-已知111213=______M M M -+则。
8．=______x y x y y x y x x y x y+++。
9．100110=______011001a b c d---。
10．222=______a b c a b c b c c a a b+++。
11. 已知21341023,15211152D =-则1323432=______A A A ++。
线性代数练习册练习题—第1章 行列式
第1章 行列式及其应用一、填空题1．行列式1221--k k 0≠的充分必要条件是 .2．排列36715284的逆序数是 。
3．已知排列397461t s r 为奇排列，则r = ， s = ，t = . 4．在六阶行列式ij a 中，623551461423a a a a a a 应取的符号为 . 5．若54435231a a a a a j i 为五阶行列式带正号的一项，则 i = , j = .6.设行列式275620513--=D ，则第三行各余子式之和的值为 . 7.行列式=30092280923621534215 .8．行列式=1110110********* .9.多项式0211111)(321321321321=+++++=x a a a a x a a a a x a a a a x f 的所有根是 .10．若方程225143214343314321x x -- = 0 ，则 .11．行列式 ==2100121001210012D12. 行列式122305403-- 中元素3的代数余子式是 . 13. 设行列式4321630*********=D ，设j j A M 44,分布是元素j a 4的余子式和代数余子式，则44434241A A A A +++ = ，44434241M M M M +++= . 14.已知四阶行列D 中第三列元素依次为1-，2，0，1，它们的余子式依次分布为5，3，,7-4，则D = .15. 若方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=+02020z y kx z ky x z kx仅有零解，则k .二．选择题1．若行列式x52231521- = 0，则=x （ ）.（A ）2 （B ）2- （C ）3 （D ）3-2．线性方程组⎩⎨⎧=+=+473322121x x x x ，则方程组的解),(21x x = （ ）.（A ）（13，5） （B ）（13-，5） （C ）（13，5-） （D ）（5,13--）3．方程093142112=x x 根的个数是（ ）.（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 4．下列构成六阶行列式展开式的各项中，取“+”的有 （ ）. （A ）665144322315a a a a a a （B ）655344322611a a a a a a （C ）346542165321a a a a a a （D ）266544133251a a a a a a5．若55443211)541()1(a a a a a l k l k N -是五阶行列式ij a 的一项，则l k ,的值及该项的符号为（ ）.（A ）3,2==l k ，符号为正 （B ）3,2==l k ，符号为负 （C ）2,3==l k ，符号为正 （D ）2,3==l k ，符号为负6．下列n （n >2）阶行列式的值必为零的是（ ）.(A) 行列式主对角线上的元素全为零 (B) 三角形行列式主对角线上有一个元素为零 (C) 行列式零的元素的个数多于n 个 (D) 行列式非零元素的个数小于等于n 个7．如果133********21131211==a a a a a a a a a D ，3332313123222121131211111232423242324a a a a a a a a a a a a D ---= ，则=1D （ ）. （A ）8 （B ）12- （C ）24- （D ）24 8．如果3333231232221131211==a a a a a a a a a D ，2323331322223212212131111352352352a a a a a a a a a a a a D ---=，则=1D （ ）. （A ）18 （B ）18- （C ）9- （D ）27-9． 2222222222222222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++d d d d c c c cb b b b a a a a =（ ）. （A ）8 （B ）2 （C ）0 （D ）6- 10．若111111111111101-------=x A ，则A 中x 的一次项系数是 （ ）.（A ）1 （B ）1- （C ）4 （D ）4-11．4阶行列式443322110000000a b a b b a b a 的值等于 （ ）.（A ）43214321b b b b a a a a - （B ）))((43432121b b a a b b a a --（C ）43214321b b b b a a a a + （D ）))((41413232b b a a b b a a -- 12．如果122211211=a a a a ，则方程组 ⎩⎨⎧=+-=+-022221211212111b x a x a b x a x a 的解是（ ）.（A ）2221211a b a b x =，2211112b a b a x = （B ）2221211a b a b x -=，2211112b a b a x = （C ）2221211a b a b x ----=，2211112b a b a x ----= （D ）2221211a b a b x ----=，2211112b a b a x -----=13. 方程0881441221111132=--x x x的根为 （ ）. （A ）3,2,1 （B ）2,2,1- （C ）2,1,0 （D ）2,1,1-14. 已知a a a a a a a a a a =333231232221131211,那么=+++323133312221232112111311222a a a a a a a a a a a a （ ）. （A ）a （B ）a - (C)a 2 （D ）a 2-15. 已知齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=++0030z y z y x z y x λλλ仅有零解，则 （ ）.（A ）0≠λ且1≠λ （B ）0=λ或1=λ （C ）0=λ （D ）1=λ三、判断题。
高等代数《行列式》部分习题及解答
高等代数《行列式》部分习题及解答例1：决定以下9级排列的逆序数，从而决定它们的奇偶性： 1）.134782695；2）.217986354；3）.987654321. 答：1）. ()134782695=10τ，134782695是一个偶排列；2）. ()217986354=18τ，217986354是一个偶排列； 3）. ()987654321=36τ，987654321是一个偶排列. 例2：写出把排列12435变成排列25341的那些对换.答：()()()()()()()12154,312435214352543125341−−→−−→−−−→.例3：如果排列121...n n x x x x -的逆序数为k ，排列121...n n x x x x -的逆序数是多少？答：()112n n k --例4：按定义计算行列式： 000100201).0100000n n - 010000202).0001000n n -001002003).1000000n n-答：1）.原行列式()()()()1,1,,2,121!1!n n n n n n τ--=-=-2）.原行列式()11!.n n -=-3）.原行列式()()()1221!n n n --=-.例5：由行列式定义计算()212111321111x x x f x x x-=中4x 与3x 的系数，并说明理由. 答：()f x 的展开式中x 的4次项只有一项；2,x x x x ⋅⋅⋅故4x 的系数为2；x 的3次项也只有一项()()213411,x x x τ-⋅⋅⋅故3x 的系数为-1.例6：由111111=0111，证明：奇偶排列各半.证明：由于12n j j j 为奇排列时()()121n j j j τ- 为-1，而偶排列时为1,.设有k 个奇排列和l 个偶排列，则上述行列式()()()()12121212110.n n nnj j j j j j j j j j j j l k ττ=-+-=-=∑∑ 即奇偶排列各占一半.例7：证明1111111112222222222b cc a a b a b c b c c a a b a b c b c c a a b a b c ++++++=+++. 证明：111111111111111111122222222222222222222222.2b cc a a bac aa baa b a cab c b c c a a b a c a a b a a b a c a b c b c c a a b a c a a b a a b a c a b c +++-+++++++=-++=++=+++-++++ 例8：算出行列式：121401211).00210003-；1122).321014-的全部代数余子式. 答：111213142122232431323334414243441).6,0;12,6,0;15,6,3,0;7,0,1, 2.A A A A A A A A A A A A A A A A =-====-=====-=-=====-1112132122233132332).7,12,3;6,4,1;5,5, 5.A A A A A A A A A ==-====-=-== 例9：计算下面的行列式：111121131).12254321-；11112112132).1111321112---；01214201213).135123312121035-- 答：1111111111110115011501151).= 1.011400010012012300120001---------==-=-------原式132).12-3).483-. 例10：计算下列n 级行列式： 0000001).;000000x y x y x yyx1112121222122).n nn n n na b a b a b a b a b a b a b a b a b ---------122222223).;2232222n1231110004)..02200011n n n n-----答：()()110000000000000001).11.000000000000000n n n n xy xy yx y x xy x y x y x y x yy yxxxy++=+-=+-2）.当1n =时，为11a b -；当2n =时，为()()1212a a b b --；当3n ≥时，为零.()12221000222222223).22!223200102220002n n n -==-⋅--（利用第2行（列）的特点）()()11231110001!4).1.02200211n n nn n n---+=---- （从左起，依次将前一列加到后一列） 例11：用克拉默法则解线性方程组1234123412341234232633325323334x x x x x x x x x x x x x x x x -++=⎧⎪-++=⎪⎨--+=⎪⎪-+-=⎩.答：2132333270031123131d --==-≠----，所以可以用克拉默法则求解.又因16132533270;31124131d --==-----22632353270;33123431d ==---32162335270;31323141d --==----42136333570;31133134d --==----所以此线性方程组有唯一解，解为1234 1.x x x x ====例12：求12121212111222,n nnnj j j j j j j j j nj nj nj a a a a a a a a a ∑这里12nj j j ∑是对所有n 级排列求和.答：对每个排列12n j j j ，都有：()()121212121111112122221222121.n n nnj j j n j j j j j j nn n nnnj nj nj a a a a a a a a a a a a a a a a a a τ=- 因为在全部n 级排列中，奇偶排列个数相同，各有!2n 个.所以121212121112220n n nnj j j j j j j j j nj nj nj a a a a a a a a a =∑.例13：计算n 级行列式：12222122221212111.nnn n n nnn n nx x x x x x x x x x x x ---答：作范德蒙德行列式：1212222121111111211211111.n n n n n n n n n n nnn nn n x x x x x x x x D x x x x x x x x ++----++=将这个行列式按最后一列展开，展开式中11n n x -+的系数的()11n n++-倍就是所求行列式D ，因为()111,ji i j n D xx ≤<≤+=-∏所以()()()()11111111.nnn nji k ji k k k i j n i j n D xx x xx x ++==≤<≤+≤<≤+=---=-∑∑∏∏。
行列式-习题解答
③因为 a43 , a21 , a35 , a12 , a54是五阶行列式中位于不同 的行与不同的列的五个元素，所以 a43 a21a35 a12 a54 的行与不同的列的五个元素， 是五阶行列式中的一项.且 τ (42315) + τ (31524) = 9 是五阶行列式中的一项. 于是该项带负号. 于是该项带负号. ④因为a12 , a23 , a34 , a45 是五阶行列式中位于不同的行 与不同的列的四个元素. 与不同的列的四个元素.所以a12 a23 a34 a45 不是五阶行列 式的一项. 式的一项. 9.在六阶行列式 D = aij 中，下列各项应取什么符号？ 9.在六阶行列式 下列各项应取什么符号？ ① a15 a23 a32 a44 a51a66 ③ a21a53 a16 a42 a65 a34 ⑤a61a52 a43 a34 a25 a16 ② a11a26 a32 a44 a53 a65 ④ a51a32 a13 a44 a65 a26
−( x − 3) − ( x − 3) = ( x − 2)( x − 3)( x − 6) = 0
所以 x = 2 或 x = 3 或 x = 6
λ −1
3.已知 D = 3.已知
3 −a
−a λ −a 3 =0,求λ λ −1 2 2
解 因为 D = (λ − 1)2 (λ − a ) − 6a − 6a − a 2 (λ − a )
解 ②此行列式刚好只有处在不同的行与不同的列的
n个非零元素 a1( n−1) , a2( n− 2) ,L , a( n−1)1 , ann , 故非零项只
行列式练习题与答案资料讲解
行列式练习题与答案收集于网络，如有侵权请联系管理员删除第1章 行列式 (作业1)一、填空题1．设自然数从小到大为标准次序，则排列1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n 的逆序数为 ，排列1 3 … )12(-n )2(n )22(-n …2的逆序数为 . 2．在6阶行列式中，651456314223a a a a a a 这项的符号为 . 3．所有n 元排列中，奇排列的个数共 个. 二、选择题1.由定义计算行列式nn 0000000010020001000 -= （ ）.（A ）!n （B ）!)1(2)1(n n n -- （C ）!)1(2)2)(1(n n n --- （D ）!)1()1(n n n --2．在函数xx x xx x f 21123232101)(=中，3x 的系数是（ ）.（A ）1 （B ）-1 （C ）2 （D ）33．四阶行列式的展开式中含有因子32a 的项，共有（ ）个. （A ）4； （B ）2； （C ）6； （D ）8.三、请按下列不同要求准确写出n 阶行列式)det(ij a D =定义式： 1． 各项以行标为标准顺序排列；2． 各项以列标为标准顺序排列；3． 各项行列标均以任意顺序排列.四、若n阶行列式中，等于零的元素个数大于nn 2，则此行列式的值等于多少？说明理由.收集于网络，如有侵权请联系管理员删除收集于网络，如有侵权请联系管理员删除第1章 行列式 (作业2)一、填空题1．若D=._____324324324,13332313123222121131211111333231232221131211=---==a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a 则2．方程229132513232213211x x --=0的根为___________ .二、计算题 1． 8171160451530169144312----- 2．dc b a100110011001---3．ab b babb b a D n=收集于网络，如有侵权请联系管理员删除4.111113213211211211211nn n n n a a a a x a a a a x a a a a xa a a a x D---+=5．计算n 阶行列式)2(212121222111≥+++++++++=n nx x x n x x x n x x x D n n n n 。
线性代数习题册行列式-习题详解
行列式的概念一、选择题1． 下列选项中错误的是( ) (A)ba d c dc b a -= ； (B)acb d dc b a =；(C)dc b a dcd b c a =++33； (D)dc b a dc b a -----=.答案：D2．行列式n D 不为零，利用行列式的性质对n D 进行变换后，行列式的值（ ）．(A)保持不变； (B)可以变成任何值； (C)保持不为零； (D)保持相同的正负号． 答案：C二、填空题1.ab b a log 11log = .解析：0111log log log 11log =-=-=ab abb a ba . 2.6cos3sin6sin3cosππππ= . 解析：02cos 6sin 3sin 6cos 3cos 6cos 3sin6sin3cos==-=πππππππππ3.函数x x xxx f 121312)(-=中，3x 的系数为 ； xx xx x x g 21112)(---=中，3x 的系数为 . 答案：-2；-2.阶行列式n D 中的n 最小值是 . 答案：1.5. 三阶行列式11342321-中第2行第1列元素的代数余子式等于 . 答案：5.6.若02182=x，则x = . 答案：2. 7.在n阶行列式ija D =中，当i<j 时，),,2,1,(0n j i a ij L ==，则D = .答案：nn a a a Λ2211.8.设a ,b 为实数，则当a = ,b = 时，010100=---ab b a .解析：0)()1(1010022=+-=--=---b a ab ba abb a故0,0==b a .三、解答题1.用行列式的定义计算.(1)1100001001011010；解：原式=100010101)1(1010000011)1(14121++-⨯+-⨯110010100-=--=(2)000000hgf e d c b a.原式=00000gf e d b hf e dc a - =00000g f bd hf df e c a +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=bdfg adfh -2. 设行列式λλλ01010101-=D , 3512321132=D ,若21D D =,求λ的值.解：由对角线法则，得()()0,11221=-+=D D λλ若21D D =,则()()0112=-+λλ于是1-=λ或1.四、证明题1.（略）行列式的性质一、选择题1．设行列式x x xD 0101011-=, 1133512322=D ,若21D D =,则x 的取值为 ( ).(A)2，-1； (B)1，-1； (C)0，2； (D)0，1．答案：B2．若3333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则3332333123222321131213111525252a a a a a a a a a a a a D +++==（ ）． (A)30； (B) -30； (C)6； (D)-6． 答案：C二、填空题1．若三阶行列式D 的第一行元素分别是1,2,0,第三行元素的余子式分别是8，x ，19，则x = . 解析：1820190,4x x ⨯-+⨯==. 2．2016201420182016 = .解析：4202220162014222016201420182016===.3.行列式cb dc a bcb aD =，则312111A A A ++= . 解析：312111A A A ++0111==cb c acb .4.行列式xx x xx D 31213231232154-=的展开式中，4x 的系数为 ；3x 的系数为 .解析：xxx x x x x x xx D 312131232321531213231232154--=-=xx x x 3121312512585103215---= 含4x ，3x 的项仅有主对角线上元素之积项，故4x ，3x 的系数分别为15，-3.三、解答题1.计算下列行列式 .(1)3214214314324321；解：各行加到第一行，得原式=32142143143211111032142143143210101010==160400400121011111012301211210111110=---=------.(2)4444333322225432154321543215432111111；解：原式=(5-4)(5-3)(5-2)(5-1)(4-3)(4-2)(4-1)(3-2)(3-1) =288.(3)49362516362516925169416941；原式=02222222297531694113119711975975316941==.(4)000000xyy x y x x y ；原式=xy x yx x xyy y xy 00000000-- =22222)(y x xyy x xxyy x y--=-.(5)xy z zx yyzx111； 原式=)(0)(01x z y x z x y z x y yzx------ =))()((11))((x z z y y x yz x z x y ---=---.(6)200012000000130012000101--；原式=31012010140131201014200013012001012---=--=--=2031124=---. (7)43211111111111111111x x x x ++++；解：原式=432111110010011x x x x x x x ---+=432111413121100000001x x x x x x x x x x x x x ---++++ =3214214314324321x x x x x x x x x x x x x x x x ++++.2.设4322321143113151-=D ，计算44434241A A A A +++的值.其中)4,3,2,1(4=j A j 是D 的代数余子式.解：44434241A A A A +++61111321143113151=-=.3. 已知1142113110111253------=D ,求41312111M M M M +++.解：41312111M M M M +++=41312111)1(1)1(1M M M M --⋅+--⋅=1141113110111251-------=0.4.计算下列n 阶行列式.(1)211121112ΛMM M ΛΛ； 解：原式=211121111ΛM M MΛΛ+++n n n =211121111)1(ΛMMM ΛΛ+n =1100010111)1(+=+n n ΛMM M ΛΛ. (2)xy yyy x y yy y x yy y y x ΛM M M M ΛΛΛ ； 解：原式=[]x y y y y x y yy y x yy n x ΛM M M M ΛΛΛ1111)1(-+ =[]yx y x y x y n x ----+ΛM M M MΛΛΛ0000001111)1(=[]1)()1(---+n y x y n x .(3)),,2,1,0(010011111021n i x x x x i nΛΛM M M M ΛΛΛ=≠.解：原式=nni ix x x x ΛM M M M ΛΛΛ0000000011101211∑=- =)1(121∑=-ni in x x x x Λ.四、证明题1.设a ,b ,c 是互异的实数，证明0111333=c b a c b a的充分必要条件是a+b+c=0.证明：33333333001111a c ab aa c ab acbac b a----==3333a c a b a c a b ----=222211))((a ac c a ab b a c a b ++++--=))()((22ab ac b c a c a b -+--- =))()()((c b a b c a c a b ++---=0,由于a ,b ,c 是互异的实数，故要上式成立，当且仅当a+b+c=0.2.证明4+2324323631063a b c d a a b a b c a b c da a ab a bc a b cd a a b a b c a b c d +++++=++++++++++++证明：左边43322102320363a b c d r r a a b a b cr r a a b a b c r r a a b a b c-+++-+++-+++433210002003a b c d r r a a b a b ca ab r r a a b-++++-+4430002000a b c d a a b a b cr r a a a b a+++-=+=右边克莱姆法则一、选择题1．方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++1,1,1321321321x x x x x x x x x λλλ, 有唯一解,则( ).(A)1-≠λ且2-≠λ； (B) 1≠λ且2-≠λ；(C) 1≠λ且2≠λ； (D) 1-≠λ且2≠λ．解析：由克莱姆法则，当0)1)(2(1111112≠-+=λλλλλ，即1≠λ且2-≠λ，选B.2.当≠a （ ）时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=+02,02,0z y ax z ax x z ax 只有零解.(A) -1 ；(B) 0 ；(C) -2 ；(D) 2. 解析：由克莱姆法则，当0)2(212012100121210≠-=--=-a aaa aa即2≠a ，选D.三、解答题1.用克莱姆法则下列解方程组.(1)⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=-+;32,322,22z y x z y x z y x解： 03112221121≠=---=D ， 由克莱姆法则知，此方程组有唯一解，31132231221=---=D ，61322311212=-=D ，93323312213==D ，因此方程组的解为11==D D x ,22==D Dy ，33==DD z .(2)..23342,223,3232,124321432143214321⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++=+++=+-+=-++x x x x x x x x x x x x x x x x解：043342123121321121≠=---=D由克莱姆法则知，此方程组有唯一解，833421232213311211=---=D ， 233221221213211112-=---=D ,232421231233211213=--=D ,223422231313211214=-=D .因此方程组的解为211==D D x ,2122-==D D x ，2133==D D x ,2144==D D x . 2.判断线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-=-+0285,042,022321321321x x x x x x x x x 是否有非零解解：因为系数行列式285122421285421122----=---=D=0305009604212218960421≠-=--=----, 所以，方程组只有零解.3.已知齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=-+02,0,0321321321x x x x x kx x kx x 有非零解，求k 的值.解：因为齐次线性方程组有非零解，所以该方程组的系数行列式必为零，即32101101111211112k k kk kk --+--=--=)21)(1()1(32k k k +++- =0)4)(1(=-+k k 解得，k =-1或k =4.4.当μ取何值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--+-=-+-=-++0)1(02)3(0)1(42321321321x x x x x x x x x μμμ有非零解解：由齐次线性方程组有非零解的条件可知，0111213142=------μμμ,解得3,2,0=μ.第一章综合练习一、判断题1. n 阶行列式n D 中的n 最小为2.( ╳ )2. 在n 阶行列式ij a D =中元素),2,1,(L =j i a ij 均为整数，则D 必为整数.( √ )3.413223144433221144413332232214110000000a a a a a a a a a a a a a a a a -=.( ╳)二、选择题1.若11131--+=x x x D ，211122-+=x x D ，则1D 与2D 的大小关系是( ).(A)21D D <； (B)21D D >；(C)21D D =；(D)随x 值变化而变化.答案：C 2.行列式{})2,1,1,,,(-∈d c b a dc b a 的所有可能值中，最大的是( ).(A) 0； (B)2； (C)4； (D)6.答案：D三、填空题1.︒︒︒︒40cos 20sin 40sin 20cos = .解析：︒︒-︒︒=︒︒︒︒40sin 20sin 40cos 20cos 40cos 20sin 40sin 20cos2160cos =︒=. 2.若y y x x y x -=-1122,则x+y = . 解析：由y y x x y x -=-1122，得xy y x 222-=+ 即0)(2=+y x ，从而x+y =0.3.已知111,0112==yx x ，则y = . 解析：由111,0112==yxx ,得x =2,x-y =1,从而y =14. 若222222222642531C c B b A a c b a ++=,则2C 化简后的结果等于 . 解析：242312=-=C .5.设xxx x xx f 111123111212)(-=，则4x 的系数为 ；3x 的系数为 .解析：当f (x )的主对角线的4个元素相乘才能得出4x ，系数为2；含3x 的项只能是44332112,,,a a a a 的乘积，系数为-1. 答案：2，-1.6.设0123411222641232211154321=D ,则(1)333231A A A ++= ； (2)3534A A + ； （3）5554535251A A A A A ++++ . 解析：0)(23534333231=++++A A A A A 0)()(23534333231=++++A A A A A于是0333231=++A A A ，03534=+A A .5554535251A A A A A ++++1111111222641232211154321=01111133333641232211154321==. 即0555*******=++++A A A A A .四、解答题1.计算下列行列式.(1)44342414433323134232221241312111y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x ++++++++++++++++；解：原式=14131214141312131413121214131211y y y y y y y x y y y y y y y x y y y y y y y x y y y y y y y x ---+---+---+---+=000000000014131214131211=------+x x x x x x y y y y y y y x .(2)43211111111111111111x x x x ++++；解：原式=432111110010011x x x x x x x ---+=432111413121100000001x x x x x x x x x x x x x ---++++ =3214214314324321x x x x x x x x x x x x x x x x ++++.(3)2007000002006000200500020001000ΛΛΛMM M M M ΛΛ. 解：原式=!2006)1(2007220052006⨯-⋅=!2007-2.已知123452221127312451112243150D ==, 求(1)434241A A A ++；(2)4544A A +. 解：27)(21114544434241=++⋅+⋅+⋅A A A A A0)()(24544434241=++++A A A A A得9434241-=++A A A ,184544=+A A . 3.计算下列n 阶行列式.(1)nn n n n n n D ΛM M M ΛΛΛ222333222111=； 解：（利用范德蒙行列式计算）1122133321111!--==n n n Tn n n n n D D ΛM MMΛΛΛ [])1()2()24)(23)(1()13)(12(!--------=n n n n n ΛΛΛ!2)!2()!1(!Λ--=n n n .(2)211121112ΛMM M ΛΛ； 解：原式=211121111ΛM M MΛΛ+++n n n =211121111)1(ΛMMM ΛΛ+n =1100010111)1(+=+n n ΛMM M ΛΛ.(3)mx x x x m x x x x mx D n n n n ---=ΛM M M ΛΛ212121解：将第2列，L ，第n 列分别加到第一列，并提取第一列的公因子，得m x x mx x x x m x m x x x x x m x x x D n n n n n n n --+++--+++-+++=ΛΛM M MΛΛΛΛ221221221mx x x m x x x m x x x n n n n ---+++=ΛMM M ΛΛΛ22221111)(mm m x x x n ---+++=ΛM M M ΛΛΛ0101001)(21121))((---+++=n n m m x x x Λ(4)nn n n n a a a a a a b b b b b D 1322113210000000-----=ΛM M M M M ΛΛΛ （其中n i a i ,,2,1,0Λ=≠）解： 1221100000000)1(-+----=n nn n a a a a b D ΛM M M M ΛΛ1222112210000000------+n n n n n a a a a a b b b b a ΛM M M M ΛΛΛ 121-+⋅=n n nnn D a a b a a a Λ ⎪⎪⎭⎫⎝⎛==∑=n i i in a b a a a 121ΛΛ. 三、证明题1.试证：如果n 次多项式n n x a x a a x f +++=Λ10)(对n+1个不同的x 值都是零，则此多项式恒等于零.(提示：用范德蒙行列式证明)。
行列式练习题答案
.第1 章行列式( 作业1)一、填空题1．设自然数从小到大为标准次序，则排列13⋯(2n1)24⋯(2n)的逆序数为，排列13⋯(2n1)(2n)(2n2)⋯2的逆序数为.2．在6阶行列式中，a23a42a31a56a14a65这项的符号为.3．所有n元排列中，奇排列的个数共个.二、选择题00010002001.由定义计算行列式=（）.n100000000nn(n1)(n1)(n2)（A）n!（B）(1)2n!（C）(1)2x x102．在函数1x23f(x)3x中，x3的系数是（22n!（D）(1)n(n1)n!）.112x（A）1 （B）-1 （C）2 （D）33．四阶行列式的展开式中含有因子a32的项，共有（）个.（A）4；（B）2；（C）6；（D）8.三、请按下列不同要求准确写出n阶行列式D det()定义式：aij1．各项以行标为标准顺序排列；2．各项以列标为标准顺序排列；3．各项行列标均以任意顺序排列.四、若n阶行列式中，等于零的元素个数大于n2n，则此行列式的值等于多少？说明理由.......第1 章行列式( 作业2) 一、填空题a11a12a134a112a113a12a13 1．若D=a21a22a231,则D14a212a213a22a23_____.a31a32a334a312a313a32a3311232．方程12x223的根为___________. 231=052319x2二、计算题2134a1001．419162 ．1b10 3015456001c1 11718001da b bb a b3．D nb b a......x a1a2a n11a1x a2an114.a1a2x a n11D n1a1a2a3x1a1a2a3a n1x11x12x1nx21x22x2n(n2)。
5．计算n阶行列式D nxn1xn2xn n ......第1 章行列式(作业3)一、填空题0a12a13a1na120a23a2n1．当n为奇数时，行列式a13a230a3n=_________.a1n a2n a3n0x y0000x y002．行列式.000x yy000x二、选择题1．设D是n阶行列式,则下列各式中正确的是( ).[ A ij是D中a ij的代数余子式].(A)n(B)naijAij0,j1,2,,n;aijAij D,j1,2,,n; i1i1(C)n(D)na1jA2j D;aijAij0,i1,2,,n. j1j12．行列式结果等于(ba)(c a)(d a)(c b)(d b)(d c)的行列式是（）.111111111aa2a31000（A）abc d；（B）0bacad a；（C）1bb2b3；（D）1babb2 a2b2c2d20b c d1cc2c31cacc2a4b4c4d40b3c3d31dd2d31dadd2三、计算题15131．设A 1134A41A42A43A44,其中A（j1，2，3，4）是A中元素a的代，计算11234j4j 2234数余子式.......x10000x1002．a n 3．D n1 4．D2n00x1an1an2a2xa1a n(a1)n(an)na n1(a1)n1(an)n1a a1an111a nb na1b100c1d1c nd n第1章行列式( 作业4) 一、填空题......a1x1a2x2a3x3d11．已知关于变量x i(i1,3)的线性方程组b1x1b2x2b3x3d2，由克莱姆法则，当满足c1x1c2x2c3x3d3条件时，方程组有唯一解，且x3. a11x1a12x2a1n x n02．齐次线性方程组a21x1a22x2a2nxn0的系数行列式为D，那么D 0是该行列式有an1x1an2x2annxn0非零解的条件.二、求解下列行列式0123n11012n21．Dn2101n33210n4n1n2n3n40......1a111111a2, 其中a1a2a n0.2．D n111a n(1)x12x24x30三、问取何值时，齐次线性方程组2x1(3)x2x30有非零解？x1x2(1)x30......第1 章行列式 (检测题)一、填空题1．若排列i 1i 2i n 的逆序数为k ，则排列i n i n1 i 1的逆序数为. a 1 a 2 0 0 0 a 3a 4 0 0 0 2．Dc 1c 2 2 31. c 3 c 4 0 1 4 c 5c 6 4 5 0a1na2nan1nanna1n1 a2n2 an1n10 3．n 阶行列式=. a12 a22 0 0a110 0 1 2 2223 4．11 1 1=.1 4 42 4 31 5 5253二、选择题1 a 1 a2 an11 a1 x1 a2an11．设P(x) 1 a 1 a 2x2an1,其中a 1,a 2,,a n1是互不相同得实1a1a2 an1 xn1数，则方程P （x ）=0（）。
线性代数第一章行列式习题
2a11 2a12 2a13
(6)已知 a21 a22 a23 2 ，则 2a31 2a32 2a33 ________.
a31 a32 a33
2a21 2a22 2a23
(7)已知 3 阶行列式 D 中第 3 列元素依次为1,3, 2 ，且对应的余子式依
次为 3, 2,1 ，则 D __________.
x1 x2 x3
x1x2 x3 q ，则 x3 x1 x2 = ___________
x2 x3 x1
00
01
00
20
(4) n 阶行列式
.
0 n1
00
n0
00
(5)已知某 5 阶行列式的值为 5 ，将其第一行与第五行交换，再用 2 乘以
所有元素，则所得的新行列式的值为 __________.
a11 a12 a13
1 2 32 5 0 62
专业班级
学号
姓名
21 11 (8) 4 2 1 1 .
201 102 99 98 1 2 1 2
a a
(9) Dn
1
1
. （未列出的元素均为 0） a
a
专业班级
学号
x 1 0 0 x 1 (10) Dn 0 0 x
00 0 an an1 an2
姓名
00 00 00
.
专业班级
学号
姓名
第一章 行列式
1. 填空题:
12a
(1)在行列式 2 0 3 中，余子式 M21 3 ，则 a
.
369
(2)若 Dn aij a ，则 D aij _____________.
(3)设方程 x3 px q 0 的三个根 x1, x2 , x3 满足 x1 x2 x3 =0,
行列式习题及答案
行列式习题及答案行列式是线性代数中的重要概念，它在矩阵运算和方程组求解中起着重要的作用。
本文将介绍一些行列式的习题及其答案，帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
1. 习题一：计算行列式的值已知行列式A = |2 3||4 5|求解行列式A的值。
答案：根据行列式的定义，可以得到A的值为：2*5 - 3*4 = 10 - 12 = -2。
2. 习题二：行列式的性质已知行列式B = |a b||c d|如果行列式B的值为0，是否可以得出a、b、c、d中至少有一个为0的结论？答案：是的，如果行列式B的值为0，根据行列式的性质，可以得出至少存在一组a、b、c、d中的一个为0的情况。
这是因为行列式的值为0意味着矩阵的行向量或列向量线性相关，即存在线性关系式使得行向量或列向量之间存在依赖关系。
3. 习题三：行列式的展开已知行列式C = |1 2 3||4 5 6||7 8 9|求解行列式C的值。
答案：根据行列式的展开定理，可以选择第一行或第一列展开计算。
选择第一行展开，可以得到C的值为：1 * (-1)^(1+1) * |5 6| - 2 * (-1)^(1+2) * |4 6| + 3 * (-1)^(1+3) * |4 5||8 9| |7 9| |7 8|= 1 * (5*9 - 6*8) - 2 * (4*9 - 6*7) + 3 * (4*8 - 5*7)= 1 * (-3) - 2 * (-6) + 3 * (-3)= -3 + 12 - 9= 04. 习题四：行列式的性质已知行列式D = |a b||c d|如果行列式D的值为1，是否可以得出a、b、c、d中至少有一个为1的结论？答案：不可以。
行列式的值为1并不能直接得出a、b、c、d中至少有一个为1的结论。
因为行列式的值为1并不代表矩阵的元素本身就是1，行列式的值只是表示了矩阵的行向量和列向量之间的线性关系。
5. 习题五：行列式的性质已知行列式E = |1 2||3 4|如果行列式E的值为k，是否可以得出a、b、c、d中的元素之和等于k的结论？答案：是的。
行列式练习题与答案
.第1章行列式(作业1) 一、填空题1．设自然数从小到大为标准次序，则排列13 ⋯(2n1)24 ⋯(2n)的逆序数为，排列13⋯(2n1)(2n)(2n 2)⋯2的逆序数为.2．在6阶行列式中，a23a42a31a56a14a65这项的符号为. 3．所有n元排列中，奇排列的个数共个.二、选择题00010002001.由定义计算行列式=（）.n100000000n（A）n(n1)!（）(n1)(n2)（）n!（B）(1)2C (1)2n! D (1)n(n1)n!nx x102．在函数1x23中，x3的系数是（）. f(x)3x22112x（A）1 （B）-1 （C）2 （D）33．四阶行列式的展开式中含有因子a32的项，共有（）个. （A）4；（B）2；（C）6；（D）8.三、请按下列不同要求准确写出n阶行列式 D det(a ij)定义式：1．各项以行标为标准顺序排列；2．各项以列标为标准顺序排列；3．各项行列标均以任意顺序排列.四、若n阶行列式中，等于零的元素个数大于n2n，则此行列式的值等于多少？说明理由.......第1 章 行列式 (作业2) 一、填空题a11 a12 a134a 11 2a 11 3a 12 a13 1．若D=a21 a22 a23 1,则D14a21 2a21 3a22 a23_____. a31 a32 a33 4a 312a 31 3a 32 a331 12 31 2 x 2 2 3的根为___________. 2．方程3 1 =0 2523 1 9 x 2二、计算题2 13 4a 1 0 0 4 1 9 161 b 1 01． 15 45 60 2．1 c 130 0 117 1 80 1 da b b b a b 3．Dnb ba.....x a1a2a1x a2a1a2x 4.D n1a1a2a3a1a2a3.an11a n11a n11x1a n1x11x12x1n x21x22x2n5．计算n阶行列式D n(n2)。
行列式习题
7. 行列式按行(列)展开
在 n 阶行列式D中, 把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列元素划去后, 留下来的 n–1 阶行列式叫做(行列式D 的关于)元素aij 的余子式, 记作 Mij . 即 记 Aij = (–1)i+j Mij, 称 Aij 为元素 aij 的代数余子式. n n D 当i j aki Akj aik A jk D ij 0 当i j k 1 k 1 1 当 i j ij 0 当 i j
0 0 0
a 21 a 22 a 23 a 24 a 25 a 31 a 32 a 33 a 34 a 35
0 a12 0 a42 0 a52
0.
a13 a 24 a43 a 34 a53
a 25 a 35
1 1 1 2 22 2n Dn 3 32 3n . n n 2 nn 解: Dn中各行元素分别是同一个数的不同方幂, 方 幂的次数自左至右按递升次序排列, 但不是从0到 n–1, 而是从1递升至 n. 若提出各行的公因子, 则方幂的次 数便是从0升到 n–1, 于是得: 1 1 1 1 1 2 22 2n1 n! 1 3 32 3n1 . Dn 1 n n2 nn1
a x1 a D2 ax1 ax2 x1 x 2 a a x2 所以, Dn = x1x2·xn-1a + x1x2·xn-2axn + · + x1x2ax4·xn · · · · · · · · + x1ax3·xn + ax2x3·xn + x1x2x3·xn. · · · · · · =a (x1x2·xn-1 + x1x2·xn-2xn + · + x1x3·xn · · · · · · · · + x2x3·xn) +x1x2x3·xn. · · · ·
高等数学行列式习题
1、若行列式10012010001x x x xx x =，则x =( )。
（A ） A ．1； B ．–1; C ．1±; D ．2±2、设行列式22211211a a a a =m ，21231113a a a a =n ，则行列式232221131211a a a a a a ++等于（ D ）（A ） n m + （B ）-(n m +) （C ） m n -（D ）n m -3、已知行列式K x x x x x x x x x =333231232221131211，则行列式111213112122232131323331122231222312223x x x x x x x x x x x x ------= （ D ） (A) 23K (B) –23K (C) K (D) –K4、已知2阶行列式12122a a b b =，则21221222a a +a b b +b -=- （ ）. （A ）-4; （B ）-2; （C ）2 ; （D ）4.5、设B A ,均为三阶矩阵，且2=A ，3-=B ，*A 是A 的伴随矩阵， 则=-1*3B A6、设A 为3阶矩阵，|A |= 3, *A 为A 伴随矩阵，若交换A 的第1行与第2行得矩阵B ，则*BA =7、已知2n 阶行列式D 的某一列元素及其余子式都等于a ，则D =( A ).A. 0；B.2a ；C. 2a -；D. 2na . 8、已知三阶方阵A 和B 满足2A B ==，则2AB =( D ). A ．22； B ．32； C ．42； D. 52.9、设3阶方阵)3,,2(),,(αγβγβα==B A ，，其中γβα,,为3维列向量。
若1det =A ，则=B det10、若0333231232221131211≠==M a a a a a a a a a D ，则=------=3331323123212221131112111535353a a a a a a a a a a a a D （3M ）11、若622211211=a a a a ，则12020221221112--a a a a 的值为（ C ）. （A ）18 （B ）－12 （C ）12 （D ）012、已知行列式014111112--，则=++333231A A A （0）13、已知2413201x x 的代数余子式012=A ，则代数余子式=21A （4）1. 已知1012110311101254D -=-，求 （１）12223242A A A A -+- （2）41424344A A A A +++解 （1）由行列式的展开定理知：()()1222324212223242111111121103011101154A A A A A A A A -+-=⋅+-⋅+⋅+-⋅--==--(2) 由行列式的展开定理知：2143314142434441424344111110121012101211031103011511111101110010210111100010001r r r r r r A A A A A A A A +--+++=⋅+⋅+⋅+⋅--=====--2. 利用行列式的性质计算行列式1122331111111b b b b b b ------解 令行列式为D ,则324321111222233333111011011110101111101r r r r r r b b b b b b D b b b b b b +++====------3、证明:2222111a ab b a a b b +=3()a b - 证明222221312221a ab a b ac c a b a b a c c ---=---左边 22231(1)22ab a b a b ab a +--=---()()12a b a b a b a +=--3()a b =-=右边4、试证明2221112222221111112c b a c b a c b a b a a c c b b a a c c b b a a c c b =+++++++++ 证明：先用行列式的加法性质拆第一列，再用初等变换化简得22222111112222211111b a ac c b a a c c b a a c c b a a c b b a a c b b a a c b +++++++++++++=左2222111122221111b a ac b a a c ba a c a a cb a ac b a a c b +++++++= 222111222111b ac b a c b a c a c b a c b a c b += 222111222111a cb ac b a c b a c b a c b a c b += 2221112a c b a c b acb ==右5、已知,3256411222245233355554321=A 求（1）A 51+2A 52+3A 53+4A 54+5A 55； （2）A 31+A 32+A 33及A 34+A 35 。
(完整版)行列式练习题及答案
一、填空题1．设自然数从小到大为标准次序，则排列1 3 … 2 4 … 的逆序数为)12(-n )2(n ，排列1 3 … …2的逆序数为 .)12(-n )2(n )22(-n 2．在6阶行列式中，这项的符号为 .651456314223a a a a a a 3．所有n 元排列中，奇排列的个数共 个.二、选择题1.由定义计算行列式= （ ）.nn 0000000010020001000 -（A ） （B ） （C ） （D ）!n !)1(2)1(n n n --!)1(2)2)(1(n n n ---!)1()1(n n n --2．在函数中，的系数是（ ）.xx xx x x f 21123232101)(=3x （A ）1 （B ）-1 （C ）2 （D ）33．四阶行列式的展开式中含有因子的项，共有（ ）个.32a （A ）4； （B ）2； （C ）6； （D ）8.三、请按下列不同要求准确写出n 阶行列式定义式：)det(ij a D =1．各项以行标为标准顺序排列；2．各项以列标为标准顺序排列；3．各项行列标均以任意顺序排列.四、若n 阶行列式中，等于零的元素个数大于，则此行列式的值等于多少？说明理由.n n -2一、填空题1．若D=._____324324324,13332313123222121131211111333231232221131211=---==a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a 中2．方程=0的根为___________ .229132513232213211x x --二、计算题1．2．8171160451530169144312-----dc b a10011001101---3．ab b ba b b b aD n =4.111113213211211211211n n n n n a a a a x a a a a x a a a a x a a a a x D ---+=5．计算n 阶行列式。
线性代数习题
13、设行列式 D=
3 6 9 12 2 4 6 8 1 2 0 5 6 4 3 3
，则 A41 2 A42 3 A44 =_____.
14.确定排列 217986354 的奇偶性_____（奇排列/偶排列）.
a 15.若 11 a 21
3a11 a12 1 ，则 3a 21 a 22 0
10.求解方程
1 x 1 1 0。 1 1 x 1 1 1 1 x
3
a b
b
b ... b
11.计算行列式 Dn b
b
a b ... b b a ... b ... ... ... ... ... b ... b a
1 10 1 2 12. 计算四阶行列式 3 5 1 2
1 3 6 4
1 1 . 1 1
5. 设 A 为 4 阶方阵，且 A 2 , A =_____. A. 2 C. 8 B. 4 D. 16
6
6. 设 A, B 分别为 n 方阵， 是实数，则下列等式错误的是_____.
A. A B A B C. AT A
B. AB A B D. 2 A 2n A
.
)
1 17.计算 2 1 2 3 _____. 3 1 0 2015 18、设 A ，则 A _________ 1 1 2 1 19、设 A ，则 A =_________ 3 4
二、选择题 1、 A 和 B 均为 n 阶方阵，且 ( A B) 2 A 2 2 AB B 2 ，则必有 （A） A E （B） B E （C） A B （D） AB BA 2、设 A 为方阵，如果有矩阵关系 AB AC ，则必有 。 （A） A 0 （B） B C 时 A 0 （C） A 0 时 B C （D） A 0 时 B C
行列式练习题及答案.docx
一、填空1．自然数从小到大准次序，排列 1 3 ⋯ (2n1) 2 4 ⋯ ( 2n ) 的逆序数，排列 13⋯ ( 2n 1)( 2n ) ( 2n 2) ⋯ 2 的逆序数.2．在 6 行列式中，a23 a42a 31a56 a14a65的符号.3．所有 n 元排列中，奇排列的个数共个.二、00010002001. 由定算行列式= （） .n100000000nn(n 1 )(n 1)( n2)（ A）n!（B） ( 1)2!（C） ( 1)2n!（D） ( 1)n( n 1)n!nx x102．在函数1x23） .f ( x )3x中， x 3的系数是（22112x（A）1（B）-13．四行列式的展开式中含有因子（A）4；（B）2；（ C）2（D）3a 32的，共有（（C）6；（D）8.）个 .三、按下列不同要求准确写出n 行列式D det(a ij) 定式：1．各以行准序排列；2．各以列准序排列；3．各行列均以任意序排列.四、若 n 行列式中，等于零的元素个数大于n2n ，此行列式的等于多少？明理由.一、填空题a11a12a134a112a113a12a131．若 D= a21a22a231, 则D14a212a213a22a23_____.a 31a32a334a312a313a32a3311232．方程1 2 x 223的根为 ___________ . 231=052319 x2二、计算题2134a1001．419162．1b10 3015456001c1 11718001da b bb a b3．D nb b ax a1a2 a n11 a1x a2 a n114.a1a2x a n11Dn 1a1a2a3x1a1a2a3 a n1x11x 12x 1nx 21x 22x 2n2) 。
5．计算 n 阶行列式D n(nx n1x n2x n n第 1 章行列式 ( 作业 3)一、填空题0 a12a13a1na 120 a 23 a 2n1．当 n 为奇数时，行列式a13a23a 3n =_________.a 1n a 2na 3 nx y 0 0 0x y2．行列式.0 0 0 x yy0 0x二、选择题1．设 D 是 n 阶行列式 , 则下列各式中正确的是().[A ij 是 D 中 a ij 的代数余子式 ].nn(A)a ij A ij 0 , j1,2,,n;(B)a ij A ijD , j1,2, , n;i 1i 1nn(C)a 1 j A 2 j D ;(D)a ij A ij0 ,i1,2, , n .j 1j12．行列式结果等于 ( b a)( c a)(da)( c b)(db)( d c) 的行列式是（ ）.11 11（ A ）ab c d a2b 2c 2d 2a 4b 4c 4d 4三、计算题1 111 1 a a2 a 3100 0；（B ） 0b ac a da；（ C ）1b b 2b 3 ；（D ）1 b a b b 2 0 b cd 1 c c 2c31 c a cc20 b 3c 3d 31 d d2 d 31 d a dd 21 5 1 31．设 11 3 4A （ j1，2，3，4）是 A 中元素 a 4 j 的代A，计算 A 41 A 42 A 43 A 44 , 其中1 2 4 j13 2 2 3 4数余子式 .x10000x1002．000x1a n a n 1a n 2a2x a1a n( a 1)n( a n)na n 1(a 1) n 1(a n )n 1 3．D n 1a a 1 a n111a nb n4．D2 na1b10 0d1c1c nd n第1章行列式(作业4)一、填空题a 1 x1 a 2 x 2a3 x3d11．已知关于变量x i( i 1,3)的线性方程组 b1 x1b2 x 2b3 x3 d 2，由克莱姆法则，当满足c1 x1c2 x 2c3 x3 d 3条件时，方程组有唯一解，且x 3.a 11 x1a12x2a1nxn02．齐次线性方程组a21x1a22x2a2 nxn0的系数行列式为D，那么D0 是该行列式有a n1 x 1a n 2 x 2a nn x n0非零解的条件 .二、求解下列行列式0123n11012n22101n3 1． D n210n4 3n 1n 2n 3n 401 a1111 1 a212．D n,其中 a1a 2 a n0 .11 1 a n(1) x12x 24x 30三、问取何值时，齐次线性方程组2x1(3)x 2x30 有非零解？x1x 2(1) x 30第 1 章行列式 ( 检测题)一、填空题1．若排列 i 1 i 2i n 的逆序数为 k ，则排列 i n i n 1 i 1 的逆序数为 .a 1 a 2 0 0 0 a 3 a 40 0 02． D c 1c 2 2 3 1 .c 3 c 4 0 1 4 c 5c 64 5 0a 1na 2na n 1na nna 1 n 1a2n 2an 1n 13． n 阶行列式= .a 12a 22 0 0a1112 2 2 2 34．11 11 = .1 4 4 24 3 15 5 25 3二、选择题1 a 1 a2 an 11 a 1x 1 a 2a n 11． 设 P(x) 1 a 1a 2 x 2 a n 1 , 其中 a 1 , a 2 , , a n 1 是互不相同得实1 a 1a 2a n 1x n 1数，则方程 P （x ） =0（ ）。
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[自测题Ⅰ]一. 填空题。
1．若,0==ij n a D 则=-=ij a D 。
2．已知,1111203=z y x则=--1142612324z yx x 。
3．行列式=0650300404302003。
4．行列式=199421022130113。
5．方程027********111132=x x x的全部根是。
二．选择题。
1．下列各项中，（ ）是4阶行列式的一项。
（A ）42341321a a a a -； （B ）42332111a a a a -； （C ）44131231a a a a -； （D ）41322114a a a a -。
2．5阶行列式的展开式中共有（ ）项。
（A ）25； （B ）5！； （C ）10； （D ）15。
3．行列式=600300301395200199204200103（ ）。
（A ）1000 （B ）-1000 （C ）2000 （D ）-2000 4. 设,30303211na a a D=,00212na a a D=其中021≠n a a a ，则（ ）。
（A ）21D D =； （B ）2131D nD =； （C ）213D D n =； （D ）213D D n -=。
5． 齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-=-+0302022321321321x x x x x x x x x λ 只有零解，则λ应满足的条件是（ ）。
（A ）0=λ （B ）2=λ （C ）1=λ （D ）1≠λ三．计算题。
1．设,2161256427362516911116543=D 计算44434241A A A A +++。
2．已知,11000100011=z y x z y x 求z y x ,,。
3．计算,0100101111210na a a a D= ).0(21≠n a a a 4．问λ取何值时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=++=-02221332132131x x x x x x x x λλ 有唯一解。
四．综合题。
1．证明 2=+++++++++y x x z z y q p pr rq b a a c cb .zyxr q p c b a 2．设nn x c x c x c c x f ++++= 2210)(，若)(x f 有1+n 个不同的零点，证明)(x f 是零多项式。
3．计算n 阶行列式nn n n nnn b a b a b a b a b a b a b a b a b a D +++++++++=111111111212221212111 。
[自测题Ⅱ] 一．填空题。
1．已知函数xx x x x x f 12112)(---=，其中含有3x 的项是。
2．行列式=111110110110111。
3．方程032113224=---t t t 的实根是。
4．设行列式2235007022220403--=D ，则=+++44434241D D D D 。
5．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足。
二．选择题。
1．设,00000321==a a a D 其中321,,a a a 不全为零，那么D 是（ ）行列式。
（A ） 对角形； （B ）上三角形； （C ）下三角形； （D ）以上都对。
2．行列式=ab b b a bbb a （ ）。
（A ）3)(b a -； （B ）2))(2(b a b a ++；（C ）2))(2(b a b a -+； （D ）2))(2(b a b a +-。
3．若,0333231232221131211≠==m a a a a a a a a a D 则 =---=3332313123222121131211111254254254a a a a a a a a a a a a D （ ）。
（A ）m 40-； （B ）m 40； （C ）m 8-； （D ）m 20。
4．设,347534453542333322212223212)(---------------=x x x x x x x x x x x x x x x x x f 则方程0)(=x f 的根的个数为（ ）。
（A ）1； （B ）2； （C ）3； （D ）4。
5．若齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式（ ）。
（A ）必为0； （B ）必不为0； （C ）必为1； （D ）可取任何值。
三．计算题。
1．设f d d d f c c c fb b b fa a a D 3213213223214=，求第一列各元素的代数余子式之和41312111A A A A +++。
2．计算行列式3322111100110011001b b b b b b D ------=的值。
3．计算行列式2001000000200000200100=D 的值。
4．给定线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++332123211321222222xx x x x x x x x x x x λλλ，当λ取何值时，方程组有非零解？四．综合题。
1．设γβα,,为互不相等的实数，证明 0111333=γβαγβα的充要条件是0=++γβα。
2．已知1632，2160，3696，5024都可被16整除。
不经计算，证明4205696306122361可被16整除。
3．已知22b a ≠，证明方程组⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+=+=+-++-111111211221112221n n n n n n n n ax bx ax bx ax bx bx ax bxax bx ax 有唯一解，并求其解。
[答案与提示][自测题Ⅰ]一．填空题。
1．0； 2。
1； 3。
2； 4。
25； 5。
1，2，3 二．选择题。
1．A ； 2。
B ； 3。
C ； 4。
C ； 5。
D 。
三．计算题。
1．0444342414424432342224121=+++=+++A A A A A a A a A a A a 。
2．将左边行列式按最后一行展开得：10011010001y x yx z y x z +-= 110101x xy x y z x z ++ =1222+---x y z 则 0222=++z y x 所以 0===z y x 。
3．行列式的第1+i 列乘以)1(1≥-i a i 加到第1列上去，得 原式=n ni inni ia a a a a a a a a a21102110)1(00000001111∑∑==-=-。
4．2≠λ且5-≠λ。
四．综合题。
1．由行列式性质易证。
2．设)1,,2,1(+==n i a x i 时，0)(=x f 。
则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++++.0,0,0111022101110n n n n nn n n a c a c c a c a c c a c a c c把上述方程看成以n c c c ,,,10 为未知数的齐次线性方程组，其系数行列式恰为范德蒙德行列式，因)1,,2,1(+=n i a i 各不相同，故0≠D ，方程组仅有零解010====n c c c ，即0)(≡x f 。
3．原式=⋅00100100121na a a =00000011121nb b b⎩⎨⎧--,0),)((1212b b a a 22〉=n n 。
[自测题Ⅱ]一．填空题。
1．32x -； 2。
-3； 3。
6； 4。
-28； 5。
1≠λ。
二．选择题。
1．D ； 2。
C ； 3。
C ； 4。
B ； 5。
A 。
三．计算题。
1．（1）当0=f 时，显然)4,3,2,1(01==i A i ，所以041312111=+++A A A A 。
（2）当0≠f 时，第4列元素与第1列对应元素的代数余子式乘积之和等于零，有041312111=+++fA fA fA fA ，即0)(41312111=+++A A A A f ，所以041312111=+++A A A A 。
2．将此行列式的第1行加到第2行，再将第2行加到第3行，然后将第3行加到第4行得11000100010001321=b b b 3．按任一行（列）展开，值为2001！。
4．1-=λ或5。
四．综合题。
1．展开行列式))()()((111333γβαβγαγαβγβαγβα++---=， 因γβα,,互不相等，故βγαγαβ---,,不为零，从而行列式为零的充要条件是0=++γβα。
2．参见第三部分典型例题中的例4。
3．由第三部分典型例题中的例10，方程组的系数行列式的值0)(22≠-nb a ，所以方程组有唯一解。
由第1个方程和第n 2个方程有⎩⎨⎧=+=+112121n n ax bx bx ax 解得⎪⎩⎪⎨⎧+=+=b a x b a x n 1121，同理由第2个方程和第12-n 个方程，由第3个方程和第22-n 个方程，如此类推到由第n 个方程和第1+n 个方程可解得b a x x b a x x n n n +==+==+-1,,11122 。
所以该方程组有唯一解)2,,1,,,2,1(1n n n i ba x i +=+=。