第4章 天线综合
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12
sinc基函数（i = -13）
由乌特沃特法综合得到的64 个点源阵列的脉冲形方向图
13
• 泰勒综合法
对于大型阵列，Dolph-Chebyshev 综合方法得出的是单调 的口径分布，因此该方法会导致口径tapered efficiency降低.
泰勒指出，由于Chebyshev方向图的所有副瓣电平均相等， 因此导致tapered效率的损失。对于大型阵列，这就意味 14 着更多的能量将集中于副瓣内。
10
第i个波束由如下的相位步进 激励：
i an e jkd xui n
其中n取值与i相同，方向图函数如下：
1 fi ( ) N
( N 1) / 2 n ( N 1) / 2
e
jknd x ( u ui )
sin[( d x / )(u u0 )] N sin[( d x / )(u u0 )]
阵因子可以写为关于复变量z的多项式形式，其中
ze
jkud x
F (u ) an z
n 0
N 1
n
以上为(N-1)阶多项式，它有(N-1)个零点，因此
F (u ) aN 1 ( z z1 )( z z2 )( z z3 ) ( z z N 1 )
F (u ) aN 1 z z1 z z2 z z N 1
Chapter 4
Dolph-Chebyshev综合 泰勒综合法 乌特沃特综合法 Fourier 级数法
阵列综合
Schelkunov方法
1
非均匀幅度分布的直线阵
ne为偶数时，根据直线阵场强相加可以得到：
ne 1 3 En 2 A0 cos( ) 2 A1 cos( ) ...... 2 Ak cos( ) 2 2 2
1. Steyskal, and J. S. Herd, “Mutual coupling compensation in small array antennas,” IEEE Trans. Antennas Propagat., vol. 38, no. 12, pp. 1971-1975, Dec. 1990.
2 2
1 2
z uL /
副瓣比 r 即是F0 在z = 0的值：
r cosh( A)
A
1
cosh 1 r
以上的理想方向图对应于另 一类Chebyshev方向图，其零点 位置在：
zn [ A (n 2) ] 2
2 1 2
1
n 1, 2,3,...,
16
为了匹配两类零点，泰勒引入尺度因子 σ ，通过调整零点 的位置zn 来拉伸空间因子，以使其中一个零点对应于 n 。 新的方向图函数变为：
SLdB 20 log10 r 0
5
将阵列多项式与Chebyshev多项式进行匹配，使阵列的 副瓣占据 z 1 的区域，阵列的主瓣位于z0 >1的区域，有
TM ( z0 ) r
当NT 为偶数、阵元间距dx/0.5时，所需激励如下:
NT / 2 1 r 2 TM z0 cos( s / NT ) cos[(2m 1)s / NT ) s 1 m 0,1, 2,..., ( NT / 2 1)
Tm ( x0 ) R
解出x0 . 引入新的总量w，使得
x w x0
1 w 1 。以w取代 Tn 1 ( x) 中的变量x，令 w cos( ) 2 故波瓣图多项式 Ene 和 Eno 便可表示为w的多项式。
此时
8
3. 使切比雪夫多项式和阵列多项式相等，即
Tn-1 ( x) En
对于均匀照射的阵列有：
z N 1 F (u ) z 1
24
• 基于优化方法的方向图综合
GA; (R.L. Haupt, Y. Rahmat-Samii, D.H. Werner,… ) SA; (F. Ares, … ) ANN; (F. Ares, …) TACO; (N. Karaboga, …). PSO; (Y. Rahmat-Samii, D.H. Werner,… ). DE. (S. Yang, A. Rydberg, …) …
给定的方向图函数E(u)可以由在ui上的N个取样近似：
E (u ) Ai f i (u )
i
Ai E (ui )
在每个阵元上的总电流即是形成所有波束的电流之和。 对于第n个单元有：
an A a Ai e
i i n i i
jkd x ui n
11
平顶方向图的综合
正交波束
2 sin z n 1 1 z 2 zn F ( z , A, n ) z n 1 1 z 2 n 2
zn [ A (n 2 ) ] 2
2 1 2
1
for 1 n n for n n
n n 2 1 1 )2 ] 2 [ A (n 2
由此可解出阵列多项式的系数，然后得到阵列的口径电平分布。
详见J. D. Kraus《天线》 Dolph-Chebyshev分布的八源阵举例
阵列综合的实质是以Chebyshev多项式表示阵列多项式。
9
• 乌特沃特综合法
一个均匀照射的阵列方向图有着如下的形式：
F ( )
sin
N d x (u u0 )
F ( z ) TM ( z ) cos( M cos 1 z ) cos( M cosh 1 z )
其中M=NT -1,
for z 1 for z 1
z z0 cos[( d x / ) sin ]
z0 cosh[1/ M cosh 1 r ]
由于主瓣与副瓣之比r>1，因此
泰勒建议，可以设计这样的方向图函数，使得靠近主瓣 的方向图零点类似于Chebyshev 方向图，但远离主瓣的 零点位置对应于均匀分布的情况。
由泰勒综合法得到的 64个点源阵列的方向图
15
F0 ( z , A) cos[ ( z A ) 2 ]
2 2
1
for z2 A2
2 2
cosh[ ( A z ) ] for z A
Corresponding to an incident signal An at the nth element , the radiation
g n (u ) e0 (u ) Cnm e jkmdu
m 1
N
Where e0(u) is the isolated element pattern and Cmn is an unknown coupling coefficient. The radiated signal from the whole array is
1.
Y. Rahmat-Samii and E. Michielssen, ElectromagneticБайду номын сангаасOptimization by Genetic Algorithms. New York: Wiley, 1999.
25
• Pattern Synthesis Using Measured Element Patterns
18
• Bayliss Line Source Difference Patterns 该方法通常用于脉冲系统. 参数A 和 n 通常用于控制副 瓣及其下降的情况.
F ( z ) z cos( z )
此处
{1 [ z /(n 1/ 2)]2 }
n 0
n 1 n 1
{1 [ z / zn ]2 }
21
• Fourier 级数法
F (u ) an e jkund x
=0; 1; 2; 3; ;
( N 1) / 2 n ( N 1) / 2
for N odd
n 1/ 2; 3 / 2; 5 / 2; ; for N even
以上求和的结果即是有限项傅里叶级数，它在u空间是周 期性的。对于一个期望的F(u)，所需激励条件可由正交性质 得到：
N sin
d x (u u0 )
0 0
均匀照射的阵列方向图是一组正交波束的叠加，因此可以用 来综合所需要的方向图。 一个长度为 L=Ndx的阵列，在u空间中将有N个波束覆盖 大小为 (N-1)/L的扇区，
ui ( L)i ( Nd x ) i
i 1/ 2; 3 / 2; 5 / 2; ( N 1) / 2; for N even =0; 1; 2; 3; ( N 1) / 2; for N odd
an
dx
/(2 d x )
/(2 d x )
F (u )e j (2 / ) und x du
该方法常用于赋形波束的综合.
22
由Fourier级数法综合得到的64个点源阵列方向图。脉 冲形方向图（ −0.4 ≤ u ≤ 0.4 ，F(u)=1，其他F(u)=0）
23
• Schelkunov方法
所需要的口径分布可以展开为有限项的傅里叶级数，且该 口径分布函数在阵列的边缘处导数为零。
17
口径分布函数可以表示为
2m x g ( x ) F (0, A, n ) 2 F (m , A, n ) cos( ) L m 1 for -L 2 x L 2
n 1
n 1 [(n 1)!]2 2 F (m, A, n ) [1 m 2 zn ] (n 1 m)!(n 1 m)! n 1
m=0,1,2,...,n-1
在此阵列中，方向图的零点位于：
n=0 0 zn n n=1,2,3,4 ( A2 n 2 )1/ 2 n=5,6,...
20
For A and n, Elliott presented a table of the coefficients themselves for SLLs from -15dB to 40dB in increments of 5dB.
3
非均匀幅度分布的直线阵
例如一9单元点源阵列，间距λ/2，等幅同相馈电。
2 A0 A1 ...... A4
1 E9 cos( ) cos(2 ) 2 cos(3 ) cos(4 )
4
• Dolph-Chebyshev综合（最优分布）
对于指定的旁瓣电平，其第一零点波束宽度为最窄；反之，对 于指定的波束宽度，其旁瓣电平最低。综合得到的方向图为(NT 为阵元数量)
n 1
z uL /
n 1
n 1/ 2 zn
zn ( A2 n 2 )1/ 2
阵列的激励由如下公式给出：
1 g ( x) Bn sin[(2 x / L)( n )] 2 n 0
19
由傅里叶级数可以算出各系数的值：
n 1 (m 1 )2 2 1 [ z ]2 n 1 (1) m ( m 1 ) 2 n 1 2 2 j n 1 (m 1 )2 Bm 2 1 [n 1 ]2 n0 2 nm 0 for m n
2 Im NT
6
设计步骤：
1. 选取与阵列如下多项式同幂次（m = n-1）的切比雪夫多项式
Tn 1 ( x)
对于偶数个阵元
2k 1 Ene 2 Ak cos( ) 2 k 0
N 1
对于奇数个阵元
Eno 2 Ak cos(2k
k 0
N
2
)
7
2. 选取主瓣与副瓣之比r，并从下式中
e
2k 1 Ene 2 Ak cos( ) 2 k 0
N 1
• 式中
ne N 2
2
ne 1 2k 1 2 2
d sin d r sin
2
非均匀幅度分布的直线阵
no为奇数时
no 1 Ene 2 A0 2 A1 cos( ) 2 A2 cos(2 ) ...... 2 Ak cos( ) 2 N Eno 2 Ak cos(2k ) ne 1 2 k 0 N • 式中 2 ne 1 2k 2 2
sinc基函数（i = -13）
由乌特沃特法综合得到的64 个点源阵列的脉冲形方向图
13
• 泰勒综合法
对于大型阵列，Dolph-Chebyshev 综合方法得出的是单调 的口径分布，因此该方法会导致口径tapered efficiency降低.
泰勒指出，由于Chebyshev方向图的所有副瓣电平均相等， 因此导致tapered效率的损失。对于大型阵列，这就意味 14 着更多的能量将集中于副瓣内。
10
第i个波束由如下的相位步进 激励：
i an e jkd xui n
其中n取值与i相同，方向图函数如下：
1 fi ( ) N
( N 1) / 2 n ( N 1) / 2
e
jknd x ( u ui )
sin[( d x / )(u u0 )] N sin[( d x / )(u u0 )]
阵因子可以写为关于复变量z的多项式形式，其中
ze
jkud x
F (u ) an z
n 0
N 1
n
以上为(N-1)阶多项式，它有(N-1)个零点，因此
F (u ) aN 1 ( z z1 )( z z2 )( z z3 ) ( z z N 1 )
F (u ) aN 1 z z1 z z2 z z N 1
Chapter 4
Dolph-Chebyshev综合 泰勒综合法 乌特沃特综合法 Fourier 级数法
阵列综合
Schelkunov方法
1
非均匀幅度分布的直线阵
ne为偶数时，根据直线阵场强相加可以得到：
ne 1 3 En 2 A0 cos( ) 2 A1 cos( ) ...... 2 Ak cos( ) 2 2 2
1. Steyskal, and J. S. Herd, “Mutual coupling compensation in small array antennas,” IEEE Trans. Antennas Propagat., vol. 38, no. 12, pp. 1971-1975, Dec. 1990.
2 2
1 2
z uL /
副瓣比 r 即是F0 在z = 0的值：
r cosh( A)
A
1
cosh 1 r
以上的理想方向图对应于另 一类Chebyshev方向图，其零点 位置在：
zn [ A (n 2) ] 2
2 1 2
1
n 1, 2,3,...,
16
为了匹配两类零点，泰勒引入尺度因子 σ ，通过调整零点 的位置zn 来拉伸空间因子，以使其中一个零点对应于 n 。 新的方向图函数变为：
SLdB 20 log10 r 0
5
将阵列多项式与Chebyshev多项式进行匹配，使阵列的 副瓣占据 z 1 的区域，阵列的主瓣位于z0 >1的区域，有
TM ( z0 ) r
当NT 为偶数、阵元间距dx/0.5时，所需激励如下:
NT / 2 1 r 2 TM z0 cos( s / NT ) cos[(2m 1)s / NT ) s 1 m 0,1, 2,..., ( NT / 2 1)
Tm ( x0 ) R
解出x0 . 引入新的总量w，使得
x w x0
1 w 1 。以w取代 Tn 1 ( x) 中的变量x，令 w cos( ) 2 故波瓣图多项式 Ene 和 Eno 便可表示为w的多项式。
此时
8
3. 使切比雪夫多项式和阵列多项式相等，即
Tn-1 ( x) En
对于均匀照射的阵列有：
z N 1 F (u ) z 1
24
• 基于优化方法的方向图综合
GA; (R.L. Haupt, Y. Rahmat-Samii, D.H. Werner,… ) SA; (F. Ares, … ) ANN; (F. Ares, …) TACO; (N. Karaboga, …). PSO; (Y. Rahmat-Samii, D.H. Werner,… ). DE. (S. Yang, A. Rydberg, …) …
给定的方向图函数E(u)可以由在ui上的N个取样近似：
E (u ) Ai f i (u )
i
Ai E (ui )
在每个阵元上的总电流即是形成所有波束的电流之和。 对于第n个单元有：
an A a Ai e
i i n i i
jkd x ui n
11
平顶方向图的综合
正交波束
2 sin z n 1 1 z 2 zn F ( z , A, n ) z n 1 1 z 2 n 2
zn [ A (n 2 ) ] 2
2 1 2
1
for 1 n n for n n
n n 2 1 1 )2 ] 2 [ A (n 2
由此可解出阵列多项式的系数，然后得到阵列的口径电平分布。
详见J. D. Kraus《天线》 Dolph-Chebyshev分布的八源阵举例
阵列综合的实质是以Chebyshev多项式表示阵列多项式。
9
• 乌特沃特综合法
一个均匀照射的阵列方向图有着如下的形式：
F ( )
sin
N d x (u u0 )
F ( z ) TM ( z ) cos( M cos 1 z ) cos( M cosh 1 z )
其中M=NT -1,
for z 1 for z 1
z z0 cos[( d x / ) sin ]
z0 cosh[1/ M cosh 1 r ]
由于主瓣与副瓣之比r>1，因此
泰勒建议，可以设计这样的方向图函数，使得靠近主瓣 的方向图零点类似于Chebyshev 方向图，但远离主瓣的 零点位置对应于均匀分布的情况。
由泰勒综合法得到的 64个点源阵列的方向图
15
F0 ( z , A) cos[ ( z A ) 2 ]
2 2
1
for z2 A2
2 2
cosh[ ( A z ) ] for z A
Corresponding to an incident signal An at the nth element , the radiation
g n (u ) e0 (u ) Cnm e jkmdu
m 1
N
Where e0(u) is the isolated element pattern and Cmn is an unknown coupling coefficient. The radiated signal from the whole array is
1.
Y. Rahmat-Samii and E. Michielssen, ElectromagneticБайду номын сангаасOptimization by Genetic Algorithms. New York: Wiley, 1999.
25
• Pattern Synthesis Using Measured Element Patterns
18
• Bayliss Line Source Difference Patterns 该方法通常用于脉冲系统. 参数A 和 n 通常用于控制副 瓣及其下降的情况.
F ( z ) z cos( z )
此处
{1 [ z /(n 1/ 2)]2 }
n 0
n 1 n 1
{1 [ z / zn ]2 }
21
• Fourier 级数法
F (u ) an e jkund x
=0; 1; 2; 3; ;
( N 1) / 2 n ( N 1) / 2
for N odd
n 1/ 2; 3 / 2; 5 / 2; ; for N even
以上求和的结果即是有限项傅里叶级数，它在u空间是周 期性的。对于一个期望的F(u)，所需激励条件可由正交性质 得到：
N sin
d x (u u0 )
0 0
均匀照射的阵列方向图是一组正交波束的叠加，因此可以用 来综合所需要的方向图。 一个长度为 L=Ndx的阵列，在u空间中将有N个波束覆盖 大小为 (N-1)/L的扇区，
ui ( L)i ( Nd x ) i
i 1/ 2; 3 / 2; 5 / 2; ( N 1) / 2; for N even =0; 1; 2; 3; ( N 1) / 2; for N odd
an
dx
/(2 d x )
/(2 d x )
F (u )e j (2 / ) und x du
该方法常用于赋形波束的综合.
22
由Fourier级数法综合得到的64个点源阵列方向图。脉 冲形方向图（ −0.4 ≤ u ≤ 0.4 ，F(u)=1，其他F(u)=0）
23
• Schelkunov方法
所需要的口径分布可以展开为有限项的傅里叶级数，且该 口径分布函数在阵列的边缘处导数为零。
17
口径分布函数可以表示为
2m x g ( x ) F (0, A, n ) 2 F (m , A, n ) cos( ) L m 1 for -L 2 x L 2
n 1
n 1 [(n 1)!]2 2 F (m, A, n ) [1 m 2 zn ] (n 1 m)!(n 1 m)! n 1
m=0,1,2,...,n-1
在此阵列中，方向图的零点位于：
n=0 0 zn n n=1,2,3,4 ( A2 n 2 )1/ 2 n=5,6,...
20
For A and n, Elliott presented a table of the coefficients themselves for SLLs from -15dB to 40dB in increments of 5dB.
3
非均匀幅度分布的直线阵
例如一9单元点源阵列，间距λ/2，等幅同相馈电。
2 A0 A1 ...... A4
1 E9 cos( ) cos(2 ) 2 cos(3 ) cos(4 )
4
• Dolph-Chebyshev综合（最优分布）
对于指定的旁瓣电平，其第一零点波束宽度为最窄；反之，对 于指定的波束宽度，其旁瓣电平最低。综合得到的方向图为(NT 为阵元数量)
n 1
z uL /
n 1
n 1/ 2 zn
zn ( A2 n 2 )1/ 2
阵列的激励由如下公式给出：
1 g ( x) Bn sin[(2 x / L)( n )] 2 n 0
19
由傅里叶级数可以算出各系数的值：
n 1 (m 1 )2 2 1 [ z ]2 n 1 (1) m ( m 1 ) 2 n 1 2 2 j n 1 (m 1 )2 Bm 2 1 [n 1 ]2 n0 2 nm 0 for m n
2 Im NT
6
设计步骤：
1. 选取与阵列如下多项式同幂次（m = n-1）的切比雪夫多项式
Tn 1 ( x)
对于偶数个阵元
2k 1 Ene 2 Ak cos( ) 2 k 0
N 1
对于奇数个阵元
Eno 2 Ak cos(2k
k 0
N
2
)
7
2. 选取主瓣与副瓣之比r，并从下式中
e
2k 1 Ene 2 Ak cos( ) 2 k 0
N 1
• 式中
ne N 2
2
ne 1 2k 1 2 2
d sin d r sin
2
非均匀幅度分布的直线阵
no为奇数时
no 1 Ene 2 A0 2 A1 cos( ) 2 A2 cos(2 ) ...... 2 Ak cos( ) 2 N Eno 2 Ak cos(2k ) ne 1 2 k 0 N • 式中 2 ne 1 2k 2 2