第三章二维和三维空间中的运动插叙矢量(vector)
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2018-9-20
第三章 二维和三维空间中的运动
Motion in two and three dimensions
插叙：矢量（vector）
• 三要素：
– 大小 – 方向 – 加法符合平行四边形法则
注：有些书中将矢量称为向量
• 本课程用斜体字母且上方加箭头表 示矢量，如
• 像长度、质量、时间等等没有方向 的物理量称为标量
• 图示：平行四边形法则
• 标量与矢量的乘积
– 大小改变
– 方向不变（或反向）
同向 反向
• 单位矢量：大小为1的矢量 • 笛卡尔坐标的基矢（量）:{ , , }
1
• 矢量分量表示
在坐标轴上投影
• 矢量加法分量表示
2018-9-20
内容提要
• 1.位移、速度与加速度 • 2.抛体运动 • 3.圆周运动 • 4.自然坐标与平面极坐标 • 5.相对运动
10
周期与角速度
• 周期：运动一周所用的时间 • 角速度（大小）：
变速圆周运动
• 运动特征
– 轨道为圆周 – 速度大小变化 – 速度方向改变
• 加速度
7
通过图示法证明如下
2018-9-20
§4. 自然坐标与平面极坐标
自然坐标
• 依据运动轨道的特征来描述运动
弧长参数：s
切矢量：
密切圆及曲率半径
s
法矢量：
b B
O P
8
平面极坐标
• 位置矢量、速度的表达式
位置矢量： （无限小）位移：
速度：
2018-9-20
• 基矢量（单位向量）的导数
1
• 加速度表达式
径向加速度
横向加速度
§5. 相对运动
Relative Motion
例题：已知运动方程， 求轨迹、速度、加速度
解：消掉时间，得轨迹
(阿基米德螺线)
运动的描述与参考系有关
§1. 位移、速度与加速度
位置矢量(position vector)
P
运动学方程:
轨迹(trajectory)
P
质点运动在空间中经历的曲线 可由运动学方程消去时间得到
2
2018-9-20
路程
• (质点)从一点到另一点经历的轨迹长度
北京
南京 武汉 路径依赖 不具可加性
位移(displacement)
速度分量
加速度(acceleration)
P
指向轨迹弯曲的一侧
例题：兔子逃跑
t以秒为单位
求速度和加速度
加速度分量 已知加速度求速度和位置
4
2018-9-20
§2.抛体运动
Projectile motion
人体炮弹（Zacchini首创）
特征：二维运动
数学描述
• 运动微分方程
y
[Halliday et al, Fundamentals of Physics]
O
x
• 图像：水平（匀速运动）+竖直（匀加速运动）
水平方向：匀速直线运动
5
竖直方向：匀加速直线运动
2018-9-20
轨迹：抛物线
射高与射程
• 运动方程
矢量描述
Q：不同轨迹的最高点构成什么图形？
• 运动合成（另一种图像）
6
习题
• 一跳高运动员,身高约为2m，起跳时竖直方 向速度为约为5m/s，估算其用背跃式跳过 的最大高度。
• 不同参考系中的观察者测量到给定粒子的 位移、速度、加速度通常不相同
[Halliday et al, Fundamentals of Physics]
9
2018-9-20
伽利略变换
• 参考系 相对与参考系S以恒定速度运动
速度的变换关系
• 绝对速度、相对速度与牵连速度
绝对速度：在 S系测量粒子速度
相对速度：在 系测量粒子速度
牵连速度：粒子瞬时固连于 系，由 系的 运动诱导粒子相对于S的速度
• 绝对速度=牵连速度+相对速度
[Halliday et al, Fundamentals of Physics]
伽利略变换下加速度不变
常量
习题
• 已知河流宽度为3km，水流速度为5km/h， 小船相对于水流速度为10km/h。如果要使 小船恰好横跨河流，船头应该指向何方位？ 渡河需要多长时间？
• 从一点到另一点的矢量
不依赖于路径 具有可加性
位移的矢量定义
时刻位置矢量：
P
时刻位置矢量：
时间段内位移：
位移与路程关系
• 区别
P
– 位移是矢量
– 路程是标量
• 联系
位移的分量表示
速度(velocity)
• 平均速度
• （瞬时）速度
3
速度是矢量
• 大小:速率（speed）
• 方向:轨迹切向
P
2018-9-20
• 炮弹从1m高度发射，要命中100m处高度为 3m的岗哨，试求炮弹的最小发射速率。
2018-9-20
§3. 圆周运动
Circular Motion
匀速圆周运动特征
• 轨道为圆周 • 速度大小不变 • 速度方向改变
Leabharlann Baidu加速度
• 大小 • 方向
– 向心 – 与速度正交
证明：通过图示法用三角形相似证明； 或者在直角坐标表示下证明
0
例题：求斜抛运动中轨迹各点曲率 基本思路：
(下略)
• 速度与加速度
速度： 加速度：
s
0 注：如果用直角坐标求出了速度和加速度， 可以用上式反过来求轨迹的曲率半径
习题
一半径为b的圆轴上固定一半 径为 B 的同心圆盘（B>b）， 现圆轴在水平轨道上以角速 度 作匀速无滑动滚动。相对 于地面参考系 Oxy，求:（1） 圆盘边缘上一质点P的运动方 程（不妨设 t=0 时，P在 O 的 正 下 方，如 图 所示）；（2） P 点的速度和加速度；（3） P 点轨迹的曲率半径。
第三章 二维和三维空间中的运动
Motion in two and three dimensions
插叙：矢量（vector）
• 三要素：
– 大小 – 方向 – 加法符合平行四边形法则
注：有些书中将矢量称为向量
• 本课程用斜体字母且上方加箭头表 示矢量，如
• 像长度、质量、时间等等没有方向 的物理量称为标量
• 图示：平行四边形法则
• 标量与矢量的乘积
– 大小改变
– 方向不变（或反向）
同向 反向
• 单位矢量：大小为1的矢量 • 笛卡尔坐标的基矢（量）:{ , , }
1
• 矢量分量表示
在坐标轴上投影
• 矢量加法分量表示
2018-9-20
内容提要
• 1.位移、速度与加速度 • 2.抛体运动 • 3.圆周运动 • 4.自然坐标与平面极坐标 • 5.相对运动
10
周期与角速度
• 周期：运动一周所用的时间 • 角速度（大小）：
变速圆周运动
• 运动特征
– 轨道为圆周 – 速度大小变化 – 速度方向改变
• 加速度
7
通过图示法证明如下
2018-9-20
§4. 自然坐标与平面极坐标
自然坐标
• 依据运动轨道的特征来描述运动
弧长参数：s
切矢量：
密切圆及曲率半径
s
法矢量：
b B
O P
8
平面极坐标
• 位置矢量、速度的表达式
位置矢量： （无限小）位移：
速度：
2018-9-20
• 基矢量（单位向量）的导数
1
• 加速度表达式
径向加速度
横向加速度
§5. 相对运动
Relative Motion
例题：已知运动方程， 求轨迹、速度、加速度
解：消掉时间，得轨迹
(阿基米德螺线)
运动的描述与参考系有关
§1. 位移、速度与加速度
位置矢量(position vector)
P
运动学方程:
轨迹(trajectory)
P
质点运动在空间中经历的曲线 可由运动学方程消去时间得到
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路程
• (质点)从一点到另一点经历的轨迹长度
北京
南京 武汉 路径依赖 不具可加性
位移(displacement)
速度分量
加速度(acceleration)
P
指向轨迹弯曲的一侧
例题：兔子逃跑
t以秒为单位
求速度和加速度
加速度分量 已知加速度求速度和位置
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2018-9-20
§2.抛体运动
Projectile motion
人体炮弹（Zacchini首创）
特征：二维运动
数学描述
• 运动微分方程
y
[Halliday et al, Fundamentals of Physics]
O
x
• 图像：水平（匀速运动）+竖直（匀加速运动）
水平方向：匀速直线运动
5
竖直方向：匀加速直线运动
2018-9-20
轨迹：抛物线
射高与射程
• 运动方程
矢量描述
Q：不同轨迹的最高点构成什么图形？
• 运动合成（另一种图像）
6
习题
• 一跳高运动员,身高约为2m，起跳时竖直方 向速度为约为5m/s，估算其用背跃式跳过 的最大高度。
• 不同参考系中的观察者测量到给定粒子的 位移、速度、加速度通常不相同
[Halliday et al, Fundamentals of Physics]
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伽利略变换
• 参考系 相对与参考系S以恒定速度运动
速度的变换关系
• 绝对速度、相对速度与牵连速度
绝对速度：在 S系测量粒子速度
相对速度：在 系测量粒子速度
牵连速度：粒子瞬时固连于 系，由 系的 运动诱导粒子相对于S的速度
• 绝对速度=牵连速度+相对速度
[Halliday et al, Fundamentals of Physics]
伽利略变换下加速度不变
常量
习题
• 已知河流宽度为3km，水流速度为5km/h， 小船相对于水流速度为10km/h。如果要使 小船恰好横跨河流，船头应该指向何方位？ 渡河需要多长时间？
• 从一点到另一点的矢量
不依赖于路径 具有可加性
位移的矢量定义
时刻位置矢量：
P
时刻位置矢量：
时间段内位移：
位移与路程关系
• 区别
P
– 位移是矢量
– 路程是标量
• 联系
位移的分量表示
速度(velocity)
• 平均速度
• （瞬时）速度
3
速度是矢量
• 大小:速率（speed）
• 方向:轨迹切向
P
2018-9-20
• 炮弹从1m高度发射，要命中100m处高度为 3m的岗哨，试求炮弹的最小发射速率。
2018-9-20
§3. 圆周运动
Circular Motion
匀速圆周运动特征
• 轨道为圆周 • 速度大小不变 • 速度方向改变
Leabharlann Baidu加速度
• 大小 • 方向
– 向心 – 与速度正交
证明：通过图示法用三角形相似证明； 或者在直角坐标表示下证明
0
例题：求斜抛运动中轨迹各点曲率 基本思路：
(下略)
• 速度与加速度
速度： 加速度：
s
0 注：如果用直角坐标求出了速度和加速度， 可以用上式反过来求轨迹的曲率半径
习题
一半径为b的圆轴上固定一半 径为 B 的同心圆盘（B>b）， 现圆轴在水平轨道上以角速 度 作匀速无滑动滚动。相对 于地面参考系 Oxy，求:（1） 圆盘边缘上一质点P的运动方 程（不妨设 t=0 时，P在 O 的 正 下 方，如 图 所示）；（2） P 点的速度和加速度；（3） P 点轨迹的曲率半径。