勾股定理逆定理八种证明方法
初二勾股定理逆定理证明方法
初二勾股定理逆定理证明方法
初二勾股定理逆定理是指在已知三角形三边长度的情况下，判断该三角形是否为直角三角形。
其逆定理为：若三边的长度满足勾股定理条件，即a+b=c，则该三角形为直角三角形。
为了证明初二勾股定理逆定理，我们可以采用以下方法：
方法一：通过计算
1. 已知三角形的三边边长为a、b、c，且满足a+b=c。
2. 计算a、b和c的值。
3. 判断a+b是否等于c。
- 若等于，说明三角形满足勾股定理，是直角三角形。
- 若不等于，说明三角形不满足勾股定理，不是直角三角形。
方法二：利用勾股定理的性质
1. 已知三角形的三边边长为a、b、c，且满足a+b=c。
2. 假设三角形不是直角三角形。
3. 根据假设，评估三角形的类型：锐角三角形或钝角三角形。
4. 假设三角形是锐角三角形，根据锐角三角形的特点，有a+b>c。
5. 假设三角形是钝角三角形，根据钝角三角形的特点，有a+b<c。
6. 可以看到，无论假设三角形是锐角三角形还是钝角三角形，都与已知条件（a+b=c）相矛盾。
7. 因此，根据反证法，假设不成立，说明三角形必定是直角三角形。
以上是初二勾股定理逆定理的证明方法。
通过计算三边长度或利用勾股定理的性质，我们可以判断一个三角形是否为直角三角形。
这个逆定理的应用可以帮助我们在解决实际问题时，更准确地判断三角形的类型。
勾股定理的逆定理的证明方法
勾股定理的逆定理的证明方法勾股定理的逆定理是指：若在一个三角形中，边长满足a^2 + b^2 = c^2，则此三角形为直角三角形，其中c为斜边，a、b为两条其他边的长度。
这个定理的证明方法主要有几种，下面将分别进行介绍。
证明方法一：利用相似三角形的性质假设一个三角形ABC，其中∠C为直角，边长满足a^2 + b^2 = c^2。
我们需要证明∠A和∠B都为直角。
我们通过观察可以发现，三角形ABC和三角形ACB的三个角分别相等，即∠A = ∠ACB，∠B = ∠ABC。
由于∠C为直角，则∠A和∠B 的和必须为180°。
因此，若∠A或∠B不为直角，则另一个角必然为直角。
假设∠A不为直角，则∠B为直角。
根据正弦定理，我们可以得到以下等式：a/sinA = c/sinCb/sinB = c/sinC将等式两边进行平方，可以得到：(a/sinA)^2 = (c/sinC)^2(b/sinB)^2 = (c/sinC)^2由于a^2 + b^2 = c^2，我们可以将等式进行代入，得到：(sinB)^2 + (sinA)^2 = 1根据三角恒等式sin^2A + cos^2A = 1，我们可以得到：(sinB)^2 + (sinA)^2 = (cosA)^2 + (sinA)^2 = 1由此可见，当∠A不为直角时，∠B必然为直角。
同理，当∠B不为直角时，∠A必然为直角。
因此，根据勾股定理的逆定理，我们可以得出结论：若在一个三角形中，边长满足a^2 + b^2 = c^2，则此三角形为直角三角形。
证明方法二：利用三角函数的性质假设一个三角形ABC，其中∠C为直角，边长满足a^2 + b^2 = c^2。
我们需要证明∠A和∠B都为直角。
根据正弦定理，我们可以得到以下等式：a/sinA = c/sinCb/sinB = c/sinC将等式两边进行平方，可以得到：(a/sinA)^2 = (c/sinC)^2(b/sinB)^2 = (c/sinC)^2由于a^2 + b^2 = c^2，我们可以将等式进行代入，得到：(sinB)^2 + (sinA)^2 = 1根据三角恒等式sin^2A + cos^2A = 1，我们可以得到：(sinB)^2 + (sinA)^2 = (cosA)^2 + (sinA)^2 = 1由此可见，当∠A不为直角时，∠B必然为直角。
勾股定理逆定理的证明
技法点拨摘要：勾股定理的逆定理的证明在教材中很少提及，文章给出了一种勾股定理逆定理的证明方法，通过该方法可以开拓学生证明定理的思路。
关键词：勾股定理；三角形全等；直角三角形勾股定理是初中数学的重要内容，教材上给出了很多证明和验证的方法。
勾股定理逆定理也非常重要，它是判定一个三角形是否是直角三角形的重要判定方法。
可是，教科书中对勾股定理逆定理的证明却没有提及，这使学生的知识构建并不完整。
其实勾股定理逆定理的证明方法非常简单，而且该方法对于学生掌握定理的一般证明非常有帮助，现给出证明如下。
一、定理内容如果一个三角形的两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
二、文字语言图形化如图1，在∆ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别是a ，b ，c 。
若a 2+b 2=c 2，则∆ABC 是直角三角形。
三、分析证明方法证明一个命题，一般有两种思路，一种是直接证明，另一种是间接证明。
直接证明该三角形内存在直角是不容易的，所以这里采用间接证明的方法。
怎样证明呢？我们可以再找一个和他全等的三角形，而那个三角形是直角三角形，从而证明该三角形是直角三角形。
四、证明过程证明：如图2，作Rt∆A ′B ′C ′，使A ′C ′=b ，B ′C ′=a ，∠C ′=90°.由勾股定理可得：A ′B ′2=a 2+b 2由定理的已知条件a 2+b 2=c 2所以A ′C ′=c在∆ABC ′与∆A ′B ′C 中A ′C ′=AC =bB ′C ′=BC =a A ′B ′=AB =c所以，∆A ′B ′C ′≅∆ABC （边边边）所以，在∆ABC 中，∠C =∠C ′=90°因此，∆ABC 是直角三角形，且∠C 是直角。
五、方法总结几何定理的证明在初中是重点，也是难点，而且可以由学生练习的定理也很少。
该定理的证明过程不同于学生熟悉的常用方法，需要重新构造图形，对于开拓学生的思维很有帮助。
勾股定理(毕达哥拉斯定理)及各种证明方法
勾股定理（毕达哥拉斯定理） 是一个，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。
是的一个特例。
约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的之一。
“”是勾股定理最基本的公式。
勾股数组方程a 2+b 2=c 2的正整数组(a ,b ,c )。
(3,4,5)就是。
也就是说，设直角三角形两直角边为a 和b ，斜边为c ，那么a 2+b 2=c 2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理命题1如果的两条直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么。
勾股定理的逆定理命题2如果的三边长a ，b ，c 满足，那么这个三角形是直角三角形。
【证法1】（赵爽证明）以a 、b 为直角边（b>a ），以c 为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于21ab.把这四个直角三角形拼成如图所示形状. ∵RtΔDAH≌RtΔABE,∴∠HDA=∠EAB.∵∠HAD+∠HAD=90o，∴∠EAB+∠HAD=90o，∴ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c2.∵EF=FG=GH=HE=b―a,∠HEF=90o.∴EFGH 是一个边长为b―a 的正方形，它的面积等于.∴∴.【证法2】（课本的证明） 做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a+b ，所以面积相等.即，整理得.【证法3】（1876年美国总统Garfield 证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于.把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上. ∵RtΔEAD≌RtΔCBE,∴∠ADE=∠BEC.∵∠AED+∠ADE=90o,∴∠AED+∠BEC=90o.∴∠DEC=180o―90o=90o.∴ΔDEC 是一个等腰直角三角形，它的面积等于.又∵∠DAE=90o,∠EBC=90o,∴AD∥BC.∴ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于 ∴.∴.【趣闻】：在1876年一个周末的傍晚，在美国华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。
勾股逆定理的证明方法
勾股逆定理的证明方法一、引言勾股定理是初中数学中最基础的定理之一，指的是直角三角形斜边的平方等于两个直角边平方和。
而勾股逆定理则是指，如果一个三元组(a,b,c)满足a²+b²=c²，那么这个三元组就可以构成一个直角三角形。
本文将介绍证明勾股逆定理的几种方法。
二、几何证明法1. 图形法：画出一个以a,b,c为边长的三角形，在c边上作高h，则有：a²=h²+(c-b)²b²=h²+(c-a)²将两式相加得：a²+b²=2h²+2c²-2ac-2bc+2ab又因为a²+b²=c²，所以有：c²=2h²+2c²-2ac-2bc+2ab化简可得：h=(a+b-c)/2即可证明(a,b,c)可以构成一个直角三角形。
2. 面积法：假设以a,b,c为边长的三角形面积为S，则有：S=1/2 * a * h = 1/2 * b * h = 1/2 * c * h其中h为以c为底边的高。
将上式代入可得：S=1/4 * sqrt[(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)]又因为S=1/2 * ab/2 = 1/4 * c * sqrt(a²+b²)，所以有：c²=a²+b²即可证明(a,b,c)可以构成一个直角三角形。
三、代数证明法1. 平方差分法：将c²-a²-b²代入(a,b,c)的条件，得：c²-a²-b²+2ab-2ab=0移项整理可得：(c+a-b)(c-a+b)=2ab因为a,b,c都是正整数，所以(c+a-b)和(c-a+b)都是正整数。
而且它们的积等于2ab，因此它们中必有一个是偶数。
不妨设(c+a-b)为偶数，则有：c+a-b=2mc-a+b=2n其中m,n均为正整数，且mn=ab。
反勾股定理的证明
反勾股定理的证明反勾股定理是初中数学中一个重要的定理，它是勾股定理的逆定理。
勾股定理告诉我们，当直角三角形中一直角边为a，另一直角边为b，斜边为c时，有a²+b²=c²。
而反勾股定理则告诉我们，当三角形中三边构成的长度关系满足a²+b²=c²时，这个三角形一定是直角三角形。
反勾股定理的证明可以采用数学归纳法、初中数学知识等多种方法，这里我们采用了初中数学知识方便理解。
首先，我们需要明确一个概念——海伦公式。
也就是说，如果一个三角形的三条边分别为a、b、c，它的半周长(p)为(a+b+c)/2，那么这个三角形的面积S就可以用海伦公式表示为：S=√(p×(p-a)×(p-b)×(p-c))接下来进入证明主题，我们假设某一三角形ABC的三边分别为a、b、c，其中a²+b²=c²成立。
我们需要证明它是一个直角三角形。
首先，我们把海伦公式代入S的计算式中：S=√(p×(p-a)×(p-b)×(p-c))=[(a+b+c)/2×(a+b+c)/2-a×b/4-c×(a+b+c)/4+b×(a+b+c)/4]½=[a×(a+b+c)×c×(a+b+c)]½/4=[(a²+c²+2ac)(c²+b²+2cb)]½/4=(a²c²+2a²cb+b²c²+2abc²)½/4然后，我们再观察一下勾股定理——a²+b²=c²。
我们可以把它改写成a²=c²-b²。
把改写后的公式代入式子中，我们可以得到：S=(a²c²+2a²cb+b²c²+2abc²)½/4=[((c²-b²)c²+2(c²-b²)cb+b²c²+2acb²)]/4=(c²-b²)×c×b/2接下来我们就能得到(a×b)/2= (c²-b²)×c×b/2，即a×b=c²×b-b³。
勾股定理逆定理的证明方法
勾股定理逆定理的证明方法证明勾股定理逆定理勾股定理逆定理是指：给定任意正整数a，b，c，如果a^2+b^2=c^2，则a，b，c三者互为正整数的勾股数。
证明勾股定理逆定理，可以采用反证法。
假设a，b，c三者不是正整数，即a，b，c至少有一个不是正整数。
首先，假设a不是正整数，则a可能是负数或者零。
如果a是负数，则a^2是负数，而b^2和c^2都是正数，因此a^2+b^2不可能等于c^2，这与勾股定理逆定理的要求相矛盾，因此a不可能是负数。
如果a是零，则a^2也是零，而b^2和c^2都是正数，因此a^2+b^2不可能等于c^2，这也与勾股定理逆定理的要求相矛盾，因此a也不可能是零。
其次，假设b不是正整数，则b可能是负数或者零。
如果b是负数，则b^2是负数，而a^2和c^2都是正数，因此a^2+b^2不可能等于c^2，这与勾股定理逆定理的要求相矛盾，因此b不可能是负数。
如果b是零，则b^2也是零，而a^2和c^2都是正数，因此a^2+b^2不可能等于c^2，这也与勾股定理逆定理的要求相矛盾，因此b也不可能是零。
最后，假设c不是正整数，则c可能是负数或者零。
如果c是负数，则c^2是负数，而a^2和b^2都是正数，因此a^2+b^2不可能等于c^2，这与勾股定理逆定理的要求相矛盾，因此c不可能是负数。
如果c是零，则c^2也是零，而a^2和b^2都是正数，因此a^2+b^2不可能等于c^2，这也与勾股定理逆定理的要求相矛盾，因此c也不可能是零。
由以上分析可知，a，b，c三者不可能同时不是正整数，因此a，b，c三者必须同时是正整数，这就是勾股定理逆定理的证明。
综上所述，可以得出结论：给定任意正整数a，b，c，如果a^2+b^2=c^2，则a，b，c三者互为正整数的勾股数。
勾股定理(毕达哥拉斯定理)及各种证明方法
勾股定理（毕达哥拉斯定理） 是一个，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。
是的一个特例。
约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的之一。
“”是勾股定理最基本的公式。
勾股数组方程a ² + b ²= c ²的正整数组(a ,b ,c )。
(3,4,5)就是。
也就是说，设直角三角形两直角边为a 和b ，斜边为c ，那么a ²+b ²=c ² ，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理命题1 如果的两条直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么。
勾股定理的逆定理命题2 如果的三边长a ，b ，c 满足，那么这个三角形是直角三角形。
【证法1】（赵爽证明）以a 、b 为直角边（b>a ）， 以c 为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于21ab. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状. ∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE,∴ ∠HDA = ∠EAB.∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º，∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º，∴ ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c2.∵ EF = FG =GH =HE = b―a ,∠HEF = 90º.∴ EFGH 是一个边长为b―a 的正方形，它的面积等于.∴∴ .【证法2】（课本的证明） 做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等.即， 整理得 .【证法3】（1876年美国总统Garfield 证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE,∴ ∠ADE = ∠BEC.∵ ∠AED + ∠ADE = 90º,∴ ∠AED + ∠BEC = 90º.∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º.∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形，它的面积等于.又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º,∴AD∥BC.∴ABCD是一个直角梯形，它的面积等于∴ .∴.【趣闻】：在1876年一个周末的傍晚，在美国华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。
勾股逆定理的证明方法
勾股定理是数学中一个经典且重要的定理，它被广泛应用于几何学和物理学等领域。
而勾股定理的逆定理，即勾股逆定理，同样具有重要的意义和应用。
本文将从数学推导和几何解释两个方面，探讨勾股逆定理的证明方法。
一、数学推导勾股逆定理是勾股定理的逆命题，即对于给定的三条边长a、b、c，若满足a² + b² = c²，则这三条边构成一个直角三角形。
下面将介绍两种常见的证明方法。
1.代入法通过代入法，可以证明勾股逆定理。
假设a、b、c分别是一个三角形的三条边长，若满足a² + b² = c²，则需要证明这三条边构成直角三角形。
令a、b、c满足a² + b² = c²，假设c为最长边。
若c² = a² + b²，则有c² =a² + b² ≥ 2ab（根据算术平均与几何平均不等式）。
根据三角形的性质得知，两边之和大于第三边，即a + b > c。
结合前面的不等式可得：c² ≥ 2ab > (a + b)²，展开计算可得：c² > a² + 2ab + b² = (a + b)²。
a +b > c，而c又是三角形的最长边，所以a、b、c构成一个直角三角形。
2.几何法勾股逆定理的证明还可以通过几何法来进行。
假设三边a、b、c可以构成一个直角三角形，那么需要证明它们满足a² + b² = c²。
假设a、b、c的平方分别代表了三个小正方形的面积，且这些小正方形分别位于三角形的三边上。
根据几何知识可得，通过将两个小正方形放置在直角边上，可以拼成一个较大的正方形，其面积等于斜边上的小正方形的面积。
根据上述推理，可以通过图形来证明。
假设我们有一个边长为c的正方形，将其四个顶点命名为A、B、C和D，如图所示：C ┌------┐ D| || || |A └------┘ B可以将这个正方形逆时针旋转90度，使得边AB与边AC重叠，如图所示：C ┌------┐| || |B ─-------A此时，可以发现A、B和C形成了一个直角三角形。
直角三角形勾股定理以及与它的逆定理的证明
利用相似三角形的性质证明
总结词
通过证明两个直角三角形相似，利用相似三角形的性质来证明勾股定理的逆定理。
详细描述
首先，根据勾股定理，直角三角形的两条直角边平方和等于斜边的平方。如果一个三角形的三边满足 这个条件，那么这个三角形必定是直角三角形。因此，如果一个三角形的一边满足勾股定理的条件， 那么这个三角形必定是直角三角形。
毕达哥拉斯证明法
毕达哥拉斯学派给出了勾股定理的一个证明方法，主要利用了三角形的面积和勾 股定理的关系。
毕达哥拉斯学派首先证明了直角三角形的面积等于两个直角边长的乘积的一半， 然后利用勾股定理证明了直角三角形的斜边长等于两个直角边长的平方和的平方 根。
勾股定理的代数证明法
代数证明法是利用代数方法来证明勾 股定理的一种方法。
物理学
在研究地球或其他天体的运动时，可以利用勾股 定理来计算距离和角度。
三角函数
在计算三角函数时，可以利用勾股定理来求解一 些未知数。
02
勾股定理的证明
欧几里得证明法
欧几里得在《几何原本》中给出了勾 股定理的证明，主要利用了相似三角 形的性质和等腰直角三角形的性质。
欧几里得首先构造了两个直角三角形 ，一个直角在直角顶点，另一个直角 在斜边的中点。然后利用相似三角形 的性质证明了勾股定理。
首先，代数证明法通过构造一个方程 来表达勾股定理，然后通过解方程来 证明勾股定理。这种方法比较抽象， 但是可以适用于任何形式的勾股定理， 包括非直角的三角形。
03定理逆定理定义
如果一个三角形的三边满足$a^2 + b^2 = c^2$，则这个三角形是直角三角形。
直角三角形勾股定理以及与 它的逆定理的证明
目 录
• 勾股定理的介绍 • 勾股定理的证明 • 勾股定理逆定理的介绍 • 勾股定理逆定理的证明 • 勾股定理与逆定理的扩展
反勾股定理的证明
反勾股定理的证明一、介绍反勾股定理是三角学中最重要的定理之一，也被称为勾股定理的逆定理。
定理表述如下：在一个直角三角形中，直角边的平方等于两个其他边平方的和。
在本文中，我们将使用几种不同的方法来证明反勾股定理。
以此展示数学证明的多样性和美妙之处。
二、几何证明在这种方法中，我们通过几何图形构建来证明反勾股定理。
2.1 构建1.绘制一个直角三角形，并标记直角顶点为C。
2.以直角边为底，绘制一个正方形ABCD。
这样，直角边就成为正方形两条对角线的一部分。
3.连接正方形ABCD的对角线AC和BC。
2.2 证明1.观察直角三角形中的两个小三角形ABC和ACD。
2.根据正方形的性质，我们知道AB = AC = CD。
3.根据小三角形ABC的相似关系，我们可以得出AB/BC = BC/AC。
4.通过交叉相乘得到AB^2 = BC^2。
5.同样地，根据小三角形ACD的相似关系，我们可以得出AC/BC = BC/CD。
6.通过交叉相乘得到AC^2 = BC^2。
7.综上所述，我们可以得出AB^2 + AC^2 = 2(BC^2)。
8.但是，由于AB = CD，所以AB^2 + AC^2 = BC^2 + BC^2 = 2(BC^2)。
9.因此，我们得出结论：在一个直角三角形中，直角边的平方等于两个其他边平方的和。
三、代数证明在这种方法中，我们使用代数运算和数学恒等式来证明反勾股定理。
假设直角三角形的两个边分别为a和b，斜边为c。
3.2 证明1.根据勾股定理，我们可以得到a^2 + b^2 = c^2。
2.运用代数运算，我们可以得到a^2 = c^2 - b^2。
3.经过调整和简化，我们得到a^2 = (c + b)(c - b)。
4.同样地，我们可以得到b^2 = (c + a)(c - a)。
5.对于直角三角形来说，a和b都大于零，因此我们可以得出结论：c + b >a，c - b > a，c + a > b，c - a > b。
勾股定理(毕达哥拉斯定理)及各种证明方法
勾股定理（毕达哥拉斯定理）勾股定理是一个初等几何定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。
勾股定理是余弦定理的一个特例。
勾股定理约有 400 种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。
“ 勾三股四弦五”是勾股定理最基本的公式。
勾股数组方程a 2 +2=c2的正整数组 (,,c) 。
(3,4,5)b a b就是勾股数。
也就是说，设直角三角形两直角边为 a 和 b，斜边为 c，那么 a2+b2=c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理命题 1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a， b，斜边长为 c，那么。
勾股定理的逆定理命题 2 如果三角形的三边长 a，b，c 满足，那么这个三角形是直角三角形。
【证法 1】（赵爽证明）以 a、 b 为直角边（ b>a），以 c 为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于1ab. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状. 2∵ Rt DAH ≌ Rt ABE,∴ ∠HDA = ∠EAB.∵ ∠HAD + ∠HAD = 90o，∴∠EAB + ∠HAD = 90o，∴ ABCD 是一个边长为 c 的正方形，它的面积等于c2.∵EF = FG =GH =HE = b ―a , ∠HEF = 90o.∴ EFGH 是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于.∴∴【证法 2】（课本的证明）.做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为分别为 a、 b、 c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形方形的边长都是 a + b ，所以面积相等.a、 b，斜边长为c，再做三个边长. 从图上可以看到，这两个正即，整理得.【证法 3】（ 1876年美国总统 Garfield证明）以a、b 为直角边，以 c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于.把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使 A、E、 B 三点在一条直线上.∵ Rt EAD ≌ Rt CBE,∴ ∠ADE = ∠BEC.∵ ∠AED + ∠ADE = 90o, ∴ ∠AED + ∠BEC = 90o. ∴ ∠DEC = 180o―90o= 90o.∴DEC是一个等腰直角三角形，它的面积等于. 又∵∠DAE = 90o, ∠EBC = 90o, ∴AD∥BC.∴ABCD是一个直角梯形，它的面积等于∴. ∴.【趣闻】：在 1876年一个周末的傍晚，在美国华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。
勾股定理逆定理的内容及证明方法
勾股定理逆定理的内容及证明方法如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形。
最长边所对的角为直角。
本文整理了勾股定理逆定理的内容及其证明方法。
勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理是判断三角形是否为锐角、直角或钝角三角形的一个简单的方法。
若c为最长边，且a²+b²=c²，则△ABC是直角三角形。
如果a²+b²>c²，则△ABC是锐角三角形。
如果a²+b²<c²，则△ABC是钝角三角形。
勾股定理逆定理的证明方法如图，已知在△ABC中，设AB=c，AC=b，BC=a，且a²+b²=c²。
求证∠ACB=90°证明：在△ABC内部作一个∠HCB=∠A，使H在AB上。
∵∠B=∠B,∠A=∠HCB∴△ABC∽△CBH(有两个角对应相等的两个三角形相似)∴AB/BC=BC/BH，即BH=a²/c而AH=AB-BH=c-a²/c=(c²-a²)/c=b²/c∴AH/AC=(b²/c)/b=b/c=AC/AB∵∠A=∠A∴△ACH∽△ABC(两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似)∴△ACH∽△CBH(相似三角形的传递性)∴∠AHC=∠CHB∵∠AHC+∠CHB=∠AHB=180°∴∠AHC=∠CHB=90°∴∠ACB=∠AHC=90°勾股定理的证明方法做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像下图那样拼成两个正方形。
发现四个直角三角形和一个边长为a的正方形和一个边长为b的正方形，刚好可以组成边长为(a+b)的正方形;四个直角三角形和一个边长为c的正方形也刚好凑成边长为(a+b)的正方形。
所以可以看出以上两个大正方形面积相等。
勾股逆定理的证明方法
勾股逆定理的证明方法引言勾股逆定理，即毕达哥拉斯定理的逆定理，是几何学中的一个重要定理，它描述了直角三角形的特性。
在本篇文章中，我们将探讨勾股逆定理的证明方法，以揭示其中的数学原理和推导过程。
勾股逆定理概述勾股逆定理是毕达哥拉斯定理的逆命题，表达了以下内容：对于给定的三个正整数a、b、c，如果满足a^2 + b^2 = c^2，那么这三个数构成一个直角三角形。
直角三角形的性质直角三角形是一种特殊的三角形，其中包含一个90度的角，称为直角。
直角三角形具有以下重要性质： 1. 直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
2. 斜边是直角三角形中最长的一边。
3. 直角三角形的两个直角边互为对边。
勾股定理的证明方法勾股逆定理是由勾股定理推导而来的，因此我们首先需要了解并证明勾股定理。
以下是勾股定理的三种常见证明方法：证明方法一：基于几何构造1.假设存在一个直角三角形ABC，其中∠C为直角。
2.构造高CD，使得CD ⊥ AB，且D为AB上的点。
3.根据几何定理可知，AD = b - c，BD = a - c，CD = √(a^2 - 2ac + b^2)。
4.根据锐角三角形的勾股定理可得，AD^2 = CD · BD，即 (b - c)^2 =√(a^2 - 2ac + b^2) · (a - c)。
5.将上式展开并化简可得 a^2 + b^2 = c^2。
证明方法二：基于代数运算1.假设存在一个直角三角形ABC，其中∠C为直角。
2.根据三角恒等式sin^2(A) + cos^2(A) = 1可得，sin^2(C) + cos^2(C) =1。
3.根据正弦定理可得，sin(A) = a / c，sin(B) = b / c，因此sin^2(A) +sin^2(B) = (a^2 + b^2) / c^2。
4.将第3步的结果代入第2步的方程，得到 (a^2 + b^2) / c^2 + cos^2(C)= 1。
勾股定理(毕达哥拉斯定理)及各种证明方法
勾股定理（毕达哥拉斯定理）勾股定理是一个初等几何定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。
勾股定理是余弦定理的一个特例。
勾股定理约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。
“勾三股四弦五”是勾股定理最基本的公式。
勾股数组方程a ² + b ²= c ²的正整数组(a ,b ,c )。
(3,4,5)就是勾股数。
也就是说，设直角三角形两直角边为a 和b ，斜边为c ，那么a ²+b ²=c ² ，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么。
勾股定理的逆定理命题2 如果三角形的三边长a ，b ，c 满足，那么这个三角形是直角三角形。
【证法1】（赵爽证明）以a 、b 为直角边（b>a ）， 以c 为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于21ab. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状.∵ Rt ΔDAH ≌ Rt ΔABE,∴ ∠HDA = ∠EAB.∵ ∠HAD + ∠HAD = 90º，∴ ∠EAB + ∠HAD = 90º， ∴ ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c2. ∵ EF = FG =GH =HE = b―a ,∠HEF = 90º. ∴ EFGH 是一个边长为b―a 的正方形，它的面积等于.∴ ∴.【证法2】（课本的证明）做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等.即， 整理得 .【证法3】（1876年美国总统Garfield证明）以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE,∴ ∠ADE = ∠BEC.∵ ∠AED + ∠ADE = 90º,∴ ∠AED + ∠BEC = 90º.∴ ∠DEC = 180º―90º= 90º.∴ ΔDEC是一个等腰直角三角形，它的面积等于.又∵ ∠DAE = 90º, ∠EBC = 90º,∴ AD∥BC.∴ABCD是一个直角梯形，它的面积等于∴ .∴.【趣闻】：在1876年一个周末的傍晚，在美国华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。
勾股逆定理的证明方法
勾股逆定理的证明方法勾股定理是初中数学中非常重要的一条定理，它是指直角三角形中，直角边的平方等于斜边的平方和。
而勾股逆定理则是指，如果一个三角形的三条边满足a² + b² = c²，那么这个三角形一定是直角三角形。
接下来，我们将通过几种不同的方法来证明勾股逆定理。
首先，我们来看一种比较直观的证明方法——几何法。
假设我们有一个三角形ABC，其中∠C = 90°。
我们可以在AB和BC上分别作出正方形ADEH和BCFG，使得AE和CF分别与BC和AB重合。
那么根据正方形的性质，我们可以得出AD = DE = BC，以及BF = FG = AB。
接下来，我们连接DG，那么根据平行四边形的性质，我们可以得出DG = AF = c，同时根据正方形的性质，我们可以得出AG = AH = b，以及GC = CE = a。
这样一来，我们就得到了一个由三个正方形组成的大正方形，其边长分别为a+b，c，c。
根据这个大正方形的性质，我们可以得出(a+b)² = c²，即a² + b² =c²。
因此，我们通过几何法证明了勾股逆定理。
其次，我们来看一种代数法的证明方法。
假设我们有一个三角形ABC，其中∠C = 90°。
我们可以根据勾股定理得出a² + b² =c²。
接下来，我们可以假设a² + b² = c²成立，然后利用代数运算来推导出a² = c² b²或者b² = c² a²。
根据这两种情况，我们可以分别得到两个三角形，它们的两条边的平方之和等于第三条边的平方。
然后我们再分别证明这两个三角形都是直角三角形，这样就完成了勾股逆定理的证明。
最后，我们来看一种利用相似三角形的证明方法。
假设我们有一个三角形ABC，其中∠C = 90°。
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证法1作四个全等的直角三角形，把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上（设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c.）。
过点C作AC 的延长线交DF于点P.∵ D、E、F在一条直线上，且RtΔGEF ≌ RtΔEBD，∴∠EGF = ∠BED，∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，∴ ∠BEG =180°―90°= 90°又∵ AB = BE = EG = GA = c，∴ ABEG是一个边长为c的正方形。
∴ ∠ABC + ∠CBE = 90°∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD，∴ ∠ABC = ∠EBD.∴ ∠EBD + ∠CBE = 90° 即∠CBD= 90°又∵ ∠BDE = 90°，∠BCP = 90°，BC = BD = a.∴ BDPC是一个边长为a的正方形。
同理，HPFG是一个边长为b的正方形. 设多边形GHCBE的面积为S，则证法2作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），做一个边长为c的正方形。
斜边长为c. 再把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上. 过点Q作QP∥BC，交AC于点P. 过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点F作FN⊥PQ，垂足为N.∵ ∠BCA = 90°，QP∥BC，∴ ∠MPC = 90°，∵ BM⊥PQ，∴ ∠BMP = 90°，∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90°。
∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90°，∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°，∴ ∠，又∵ ∠BMP = 90°，∠BCA = 90°，BQ = BA = c，∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA. 同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.即证法3作两个全等的直角三角形，同证法2，再作一个边长为c的正方形。
把它们拼成如图所示的多边形. 分别以CF，AE为边长做正方形FCJI和AEIG，∵EF=DF-DE=b-a，EI=b，∴FI=a，∴G,I,J在同一直线上，∵CJ=CF=a，CB=CD=c，∠CJB = ∠CFD = 90°，∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ，同理，RtΔABG ≌ RtΔADE，∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ≌ RtΔABG ≌ RtΔADE∴∠ABG = ∠BCJ，∵∠BCJ +∠CBJ= 90°，∴∠ABG +∠CBJ= 90°，∵∠ABC= 90°，∴G,B,I,J在同一直线上，。
证法4作三个边长分别为a、b、c的三角形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结BF、CD. 过C作CL⊥DE，交AB于点M，交DE于点L.∵ AF = AC，AB = AD，∠FAB = ∠GAD，∴ ΔFAB ≌ ΔGAD，∵ ΔFAB的面积等于，ΔGAD的面积等于矩形ADLM 的面积的一半，∴ 矩形ADLM的面积 =. 同理可证，矩形MLEB的面积 =.∵ 正方形ADEB的面积= 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积∴ 即证法5《几何原本》中的证明在欧几里得的《几何原本》一书中提出勾股定理由以下证明后可成立。
设△ABC为一直角三角形，其中A为直角。
从A点划一直线至对边，使其垂直于对边上的正方形。
此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等。
在正式的证明中，我们需要四个辅助定理如下：如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等。
（SAS 定理）三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。
任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。
任意一个四方形的面积等于其二边长的乘积（据辅助定理3）。
证明的概念为：把上方的两个正方形转换成两个同等面积的平行四边形，再旋转并转换成下方的两个同等面积的长方形。
其证明如下：设△ABC 为一直角三角形，其直角为CAB。
其边为BC、AB、和CA，依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH。
画出过点A之BD、CE的平行线。
此线将分别与BC和DE直角相交于K、L。
分别连接CF、AD，形成两个三角形BCF、BDA。
∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A 和 G 都是线性对应的，同理可证B、A和H。
∠CBD和∠FBA皆为直角，所以∠ABD等于∠FBC。
因为 AB 和 BD 分别等于 FB 和 BC，所以△ABD 必须相等于△FBC。
因为 A 与 K 和 L是线性对应的，所以四方形 BDLK 必须二倍面积于△ABD。
因为C、A和G有共同线性，所以正方形BAGF必须二倍面积于△FBC。
因此四边形 BDLK 必须有相同的面积 BAGF = AB²；。
同理可证，四边形 CKLE 必须有相同的面积 ACIH = AC2；。
把这两个结果相加， AB2;+ AC2;; = BD×BK + KL×KC。
由于BD=KL，BD×BK + KL×KC = BD(BK + KC) = BD×BC 由于CBDE是个正方形，因此AB2;+ AC2;= BC2；。
此证明是于欧几里得《几何原本》一书第1.47节所提出的证法6（欧几里得（Euclid）射影定理证法）如图1，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高通过证明三角形相似则有射影定理如下：⑴（BD）2;=AD·DC，⑵（AB）2;=AD·AC ，⑶（BC）2;=CD·AC。
由公式⑵+⑶得：（AB）2;+（BC）2;=AD·AC+CD·AC =（AD+CD）·AC=（AC）2；，图1即（AB）2;+（BC）2;=（AC）2，这就是勾股定理的结论。
图1证法6在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到正方形ABDE是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。
每个直角三角形的面积为ab/2；中间懂得小正方形边长为b-a，则面积为（b-a）2。
于是便可得如下的式子：4×（ab/2）+（b-a）2;=c2；化简后便可得：a2;+b2;=c2; 亦即：c=(a2;+b2;)1/2 勾股定理的别名勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”，而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用。
正因为这样，世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究，因此有许多名称。
中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一。
中国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理。
在公元前1000多年，据记载，商高（约公元前1120年）答周公曰“故折矩，以为句广三，股修四，径隅五。
既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。
两矩共长二十有五，是谓积矩。
”因此，勾股定理在中国又称“商高定理”。
在公元前7至6世纪一中国学者陈子，曾经给出过任意直角三角形的三边关系即“以日下为勾，日高为股，勾、股各乘并开方除之得邪至日。
在法国和比利时，勾股定理又叫“驴桥定理”。
还有的国家称勾股定理为“平方定理”。
在陈子后一二百年，希腊的著名数学家毕达哥拉斯发现了这个定理，因此世界上许多国家都称勾股定理为“毕达哥拉斯”定理。
为了庆祝这一定理的发现，毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵，因此这个定理又有人叫做“百牛定理”．前任美国第二十届总统伽菲尔德证明了勾股定理（1876年4月1日）。
1 周髀算经，文物出版社，1980年3月，据宋代嘉定六年本影印，1-5页。
2. 陈良佐：周髀算经勾股定理的证明与出入相补原理的关系。
刊於《汉学研究》，1989年第7卷第1期，255-281页。
3. 李国伟：论「周髀算经」“商高曰数之法出于圆方”章。
刊於《第二届科学史研讨会汇刊》，台湾，1991年7月， 227-234页。
4. 李继闵：商高定理辨证。
刊於《自然科学史研究》，1993年第12卷第1期，29-41页。
5. 曲安京：商高、赵爽与刘徽关於勾股定理的证明。
刊於《数学传播》20卷，台湾，1996年9月第3期， 20-27页证法7达芬奇的证法三张纸片其实是同一张纸，把它撕开重新拼凑之后，中间那个“洞”的面积前后仍然是一样的，但是面积的表达式却不再相同，让这两个形式不同的表达式相等，就能得出一个新的关系式——勾股定理，所有勾股定理的证明方法都有这么个共同点。
观察纸片一，因为要证的是勾股定理，那么容易知道EB⊥CF，又因为纸片的两边是对称的，所以能够知道四边形ABOF和CDEO都是正方形。
然后需要知道的是角A'和角D'都是直角，原因嘛，可以看纸片一，连结AD，因为对称的缘故，所以∠BAD=∠FAD=∠CDA=∠EDA=45°，那么很明显，图三中角A'和角D'都是直角。
证明：第一张中多边形ABCDEF的面积S1=S正方形ABOF+S正方形CDEO+2S△BCO=OF2+OE2+OF·OE 第三张中多边形A'B'C'D'E'F'的面积S2=S正方形B'C'E'F'+2△C'D'E'=E'F'2+C'D'·D'E' 因为S1=S2所以OF2+OE2+OF·OE=E'F'2+C'D'·D'E'又因为C'D'=CD=OE,D'E'=AF=OF所以OF2+OE2=E'F'2因为E'F'=EF所以OF2+OE2=EF2 勾股定理得证。
证法8从这张图可以得到一个矩形和三个三角形，推导公式如下：b (a + b)= 1/2c2; + ab + 1/2(b + a)(b - a) 矩形面积 =（中间三角形）+（下方）2个直角三角形+（上方）1个直角三角形。
（简化） 2ab + 2b2;= c2; + b2;- a2;+ 2ab 2b2; - b2;+ a2;= c2; a2; + b2;= c2;注：根据加菲尔德图进一步得到的图形。