高数C期中试卷答案

2010-2011高等数学C （二）期中考试试卷（答案）

姓名 学号 班级 成绩

注：该试卷中含有微分方程的题目，不属于本次期中考试内容。

一、选择填空题（每空3分，共36分）

1、300ln(1)lim sin x x t dt t x x

→+-⎰= 2 ； 解：上式=22/lim cos 1)1ln(lim 22

030==-+→→x x x

x x x x 等价无穷小代换 2、曲线1y x =与直线,2y x y ==所围的平面图形的面积为2ln 2

3- 解：积分区域⎪⎩

⎪⎨⎧≤≤≤≤y x y y D 121:，所以所求面积=-=⎰dy y y S )1(212ln 23- 3、1

21sin x xdx -⎰= 0 ；

解：奇函数在对称区间上的定积分为零 4、已知函数()f x 可导，(1)2f =，

10()5f x dx =⎰，则10()xf x dx '⎰=3- 解：根据分部积分：1

0()xf x dx '⎰352)()()(1

01010-=-=-==⎰⎰dx x f x xf x xdf 5、已知22123,,x x x x x x x y xe e y xe e y xe e e --=+=+=+-是某二阶线性非齐次微分方程的

三个解，则该方程的通解为 ， 该微分方程对应的二阶线性齐次微分方程为 。

6、方程2

2

14y x +=所表示的曲面类型是 椭圆柱面 ； 7、设22(,)f u v u v v u +-=-，则(,)f x y =xy -

8、二重极限22(,)(0,0)lim

x y xy x y →+ 不存在 ；

解：由于222200

1lim k

k x k x kx x kx y x +=+⨯→=→，与k 有关，所以极限不存在 9、函数(,)z f x y =在点(,)P x y 偏导数存在是函数在该点连续的 D ；

A 充分非必要条件

B 必要非充分条件

C 充要条件

D 无关条件

10、二元函数sin ,0,R (,)20,

0R xy x y f x y x x y ⎧≠∈⎪=⎨⎪=∈⎩，，则(0,3)x f = 不存在

解：(0,3)x f =∞=∆-∆∆=∆-∆→∆→∆x

x x x f x f x x 023sin lim )3,0()3,(lim 00 11、设函数2x z y =，则全微分dz =dy xy ydx y

x x 1222ln 2-+ 解：dy xy ydx y dz x x 1222ln 2-+=

二、计算题（共52分）

1、(6分)

计算0

-⎰ 解：被积函数在积分区域上连续

所以0

-⎰2ln 32332124-=-=⎰=+dt t t t x 2、(6分)计算222||2x x dx x -++⎰

解：利用定积分的奇偶性

2

22||2x x dx x -++⎰3ln )2ln(222202202222=+=+=+=⎰⎰-x dx x x dx x x 3、(6分)计算401x dx x

+∞

+⎰ 解：

401x dx x +∞+⎰4arctan 2

1)(121020222π==+=∞

+∞+⎰x x dx 4、(6分)计算

1sin(ln )e x dx ⎰ 解：1sin(ln )e

x dx ⎰⎰⎰-===1

01010ln cos )sin (sin tdt e t e de t t t t t x ⎰⎰--=-=1

01010sin cos 1sin cos 1sin tdt e t e e tde e t t t

所以

1sin(ln )e x dx ⎰)11cos 1sin (2

1+-=e e 5、(6分)求微分方程12sin ,()xy y x y ππ'+==

的特解

6、(6分)求微分方程ln 0dy x y y dx

-=的通解。 7、(8分)设(ln ,),z f x xy =其中(,)f u v 具有两阶连续偏导数，求2z x y

∂∂∂ 解：y f x f z x ⨯'+⨯

'=211 )0()0(1222121211x f f y f x f f x

z xy ⨯''+⨯''+'+⨯''+⨯''= 22212

f yx f f ''+'+''= 8、(8分)设三元方程z x xyz e +=确定两元隐函数(,)z z x y =，求,z z x y

∂∂∂∂ 解：令x z e

xyz z y x F +-=),,(， x z z y x z x e xy F xz F e yz F ++-==-=,,

所以：x z y x z x z z x x e

xy xz z e xy e yz F F z +++-=---=-=, 三、（共8分）当a 取何值时，曲线2y x =与直线,1x a x a ==+及x 轴所围平面图形面积最小；并求上述面积最小的平面图形绕y 轴旋转所得旋转体体积。 解：])1[(3

1)(331

2a a dx x a S a a -+==⎰+ 2

10])1[()(22-=⇒=-+='a a a a S 方法一：32

)(41)21(24/102πππ=-⨯=⎰dy y V 方法二：3222

/102ππ=⨯=⎰dx x x V

四、设()f x 可导，且20()2x

x t f x f dt e ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭

⎰，求()f x 。（4分） 解：等式两边对x 求导：x e x f x f +=')(2)(，再解此微分方程