两道经典不等式的多种解法
解不等式的方法
解不等式的方法解不等式是代数学中的重要内容，它在数学建模、优化问题、函数图像等方面都有着重要的应用。
在解不等式的过程中，我们需要掌握一些基本的方法和技巧，下面我将为大家介绍几种解不等式的常用方法。
一、一元一次不等式的解法。
对于一元一次不等式ax+b>c，我们可以按照以下步骤来解题：1. 将不等式转化为等价的形式，即ax+b-c>0；2. 根据a的正负情况进行讨论：a. 若a>0，则不等式的解集为x>-b/a+c；b. 若a<0，则不等式的解集为x<-b/a+c。
二、一元二次不等式的解法。
对于一元二次不等式ax^2+bx+c>0，我们可以按照以下步骤来解题：1. 求出二次函数的判别式Δ=b^2-4ac的值；2. 根据Δ的正负情况进行讨论：a. 若Δ>0，则二次函数有两个不等实根，即x的取值范围为x<x1或x>x2；b. 若Δ=0，则二次函数有两个相等的实根，即x的取值范围为x=x1=x2；c. 若Δ<0，则二次函数无实根，即不等式无解。
三、绝对值不等式的解法。
对于绝对值不等式|ax+b|<c，我们可以按照以下步骤来解题：1. 分情况讨论：a. 若a>0，则不等式的解集为-b<c<ax+b；b. 若a<0，则不等式的解集为-b<c<-ax-b。
四、分式不等式的解法。
对于分式不等式f(x)>0，我们可以按照以下步骤来解题：1. 求出分式的定义域；2. 求出分式的零点；3. 根据零点的正负情况进行讨论：a. 若零点为实数且大于0，则不等式的解集为定义域内使分式大于0的实数；b. 若零点为实数且小于0，则不等式的解集为空集。
五、不等式组的解法。
对于不等式组{f(x)>0, g(x)>0}，我们可以按照以下步骤来解题：1. 求出每个不等式的解集；2. 将每个不等式的解集取交集，得到不等式组的解集。
不等式解题方法与技巧
不等式解题方法与技巧不等式：表示两个数、变量或表达式间的大小关系的算术式，以“＞”、“≥”、“＝”、“≤”、“＜”为符号，又称不等式。
二、基本运算（一）加法1、两边相加法a＞b，则a+c＞b+c，即a＞b时，同时加上同一个数c，等式的不等性不变。
2、绝对值加法|a|＞|b|，则|a+c|＞|b+c|，即|a|＞|b|时，同时加上同一个数c，等式的不等性不变。
（二）减法1、两边相减法a＞b，则a-c＞b-c，即a＞b时，同时减去同一个数c，等式的不等性不变。
2、绝对值减法|a|＞|b|，则|a-c|＞|b-c|，即|a|＞|b|时，同时减去同一个数c，等式的不等性不变。
（三）乘法1、两边相乘法（1）a>b, c>0，则ac＞bc，即a>b且c>0时，同时乘以同一个数c，等式的不等性不变。
（2）a＞b, c＜0，则ac＜bc，即a>b且c<0时，同时乘以同一个数c，等式的不等性不变。
2、绝对值乘法同理，不等式形式可以变成 |a|＞|b|, c>0，则|ac|＞|bc|； |a|＞|b|, c＜0，则|ac|＜|bc|。
（四）除法1、两边相除法（1）a＞b, c>0，则a/c＞b/c，即a＞b且c>0时，同时除以同一个数c，等式的不等性不变。
（2）a＞b, c＜0，则a/c＜b/c，即a＞b且c<0时，同时除以同一个数c，等式的不等性不变。
2、绝对值除法同理，不等式形式可以变成 |a|＞|b|, c>0，则|a/c|＞|b/c|；|a|＞|b|, c＜0，则|a/c|＜|b/c|。
三、解题方法及技巧（一）解题步骤1、明确问题要求，看问题分支，把不等式内容转换为分支状2、根据不等式求出区间，再细分区间3、对每个区间中试探值，再回归至原不等式（二）解题技巧1、分类讨论法根据不等式中含有的数、变量和表达式等的不同（正负、奇偶、偶数等），结合不等式的形式，做出不同的判断，获得最终的结论。
不等式解法15个典型例题
一元二次等式由此可以推导出一元二次不等式的解法典型例题一例1 解不等式：（1）015223>--x x x ；（2）0)2()5)(4(32<-++x x x ．典型例题二例2 解下列分式不等式： （1）22123+-≤-x x ； （2）12731422<+-+-x x x x 当分式不等式化为)0(0)()(≤<或x g x f 时，要注意它的等价变形 ①0)()(0)()(<⋅⇔<x g x f x g x f ②0)()(0)(0)()(0)(0)()(0)()(<⋅=⇔≤⎩⎨⎧≠≤⋅⇔≤x g x f x f x g x f x g x g x f x g x f 或或 典型例题三 例3 解不等式242+<-x x1.绝对值不等式a x <与)0(>>a a x 型不等式cb ax <+与)0(>>+c c b ax 型不等式的解法与解集：不等式)0(><a a x 的解集是{}a x a x <<-; 不等式)0(>>a a x 的解集是{}a x a x x -<>或,； 不等式)0(><+c cb ax 的解集为 {})0(|><+<-c c b ax c x ； 不等式)0(>>+c c b ax 的解集为 {})0(,|>>+-<+c c b ax c b ax x 或.2.解一元一次不等式)0(≠>a b ax ①⎭⎬⎫⎩⎨⎧>>a b x x a ,0 ②⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<a b x x a ,0. 典型例题四例4 解不等式04125622<-++-xx x x ． 第一步：达标 ：原不等式化为0)6)(2()5)(1(>-+--x x x x ． 画数轴，找因式根，分区间，定符号．)6)(2()5)(1(-+--x x x x 符号典型例题五例5 解不等式x x x x x <-+-+222322． 解：移项整理，将原不等式化为0)1)(3()1)(2(2>+-++-x x x x x ． 典型例题六例6 设R m ∈，解关于x 的不等式03222<-+mx x m ．、典型例题七例7 解关于x 的不等式)0(122>->-a x a ax ．典型例题八例8 解不等式331042<--x x ．典型例题九例9 解关于x 的不等式0)(322>++-a x a a x ．要进行分类讨论典型例题十例10不等式022<-+bx ax 的解集为{}21<<-x x ，求a 与b 的值．典型例题十一例11 解关于x 的不等式01)1(2<++-x a ax ．典型例题十二例12解不等式x x x ->--81032．分析：无理不等式转化为有理不等式，要注意平方的条件和根式有意义的条件，一般情况下，)()(x g x f ≥可转化为)()(x g x f >或)()(x g x f =，而)()(x g x f >等价于：⎩⎨⎧<≥0)(0)(x g x f 或⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥2)]([)(0)(0)(x g x f x g x f ． 说明：本题也可以转化为)()(x g x f ≤型的不等式求解，注意：⎪⎩⎪⎨⎧≤≥≥⇔≤2)]([)(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f ，。
各类不等式的解法
各类不等式的解法一、不等式的基本性质 不等式的基本性质有：(1)对称性或反身性：a>b ⇔b<a ； (2)传递性：若a>b ，b>c ，则a>c ；(3)可加性：a>b ⇒a+c>b+c ，此法则又称为移项法则； (4)可乘性：a>b ，当c>0时，ac>bc ；当c<0时，ac<bc 。
不等式运算性质：(1)同向相加：若a>b ，c>d ，则a+c>b+d ；(2)正数同向相乘：若a>b>0，c>d>0，则ac>bd 。
特例：(3)乘方法则：若a>b>0，n ∈N +，则n n b a >； (4)开方法则：若a>b>0，n ∈N +，则n1n1b a >；(5)倒数法则：若ab>0，a>b ，则b1a 1<。
例1： 1)、5768--与的大小关系为 .2）、设1->n ,且,1≠n 则13+n 与n n +2的大小关系是 .3）已知,αβ满足11123αβαβ-+⎧⎨+⎩≤≤≤≤, 试求3αβ+的取值范围.例2.比较()21+a 与12+-a a 的大小。
例3.解关于x 的不等式m x x m +>+)2(。
二、一元二次不等式的解法一元二次不等式)0(02>>++a c bx ax 或 )0.(02><++a c bx ax 的求解原理：利用二次函数的图象通过二次函数与二次不等式的联系从而推证出任何一元二次不等式的解集。
0=∆0<∆c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2c bx ax y ++=21.解下列不等式：（1）02322≥--x x (2)01692>++x x (3)542<-x x (4)0122≤++x x2.解不等式组（1）22371002520x x x x ⎧--≤⎨-+>⎩ （2）2223054x x x x ⎧-->⎨->⎩3.若不等式02>++c bx ax 的解集为(-2,3),求不等式02<-+b ax cx 的解集.4.当k 为何值时，不等式08322<-+kx kx 对于一切实数x 都成立？ 三、分式不等式与高次不等式的解法1.分式不等式解法⎩⎨⎧≠≤⋅⇔≤⎩⎨⎧≠≥⋅⇔≥<⇔<>⇔>0)(0)()(0)()(0)(0)()(0)()(0)()(0)()(0)()(0)()(x g x g x f x g x f x g x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f2.高次不等式解法：数轴标根法（奇穿偶切）典型例题例1解下列不等式（1）x －3x ＋7 ＜0 （2）3＋2x ＜0 （3）4x －3 ＞2－x 3－x －3 （4） 3x ＞1例2 解下列不等式：（1）(x+1)(x-1)(x-2)>0 （2）（-x-1)(x-1)(x-2)<0(3) x(x-1)2(x+1)3(x+2)≤0 （4）（x-3)(x+2)(x-1)2(x-4)>0（5） （6）．（7） （8）四、无理不等式的解法解无理不等式的基本方法就是将其转化为有理不等式组，在转化过程中一定要注意等价变换015223>--x x x 0)2()5)(4(32<-++x x x 22123+-≤-x x 12731422<+-+-x x x x题型Ⅰ：⎪⎩⎪⎨⎧>⇒⎭⎬⎫≥≥⇔>)()(0)()0)(()()(x g x f x g x f x g x f 定义域型 例1 解不等式⑴0231≤---x x ⑵125->-x x 题型Ⅱ：⎩⎨⎧<≥⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥⇔>0)(0)()]([)(0)(0)()()(2x g x f x g x f x g x f x g x f 或型 例2 解不等式x x x 211322+>+- 题型Ⅲ：⎪⎩⎪⎨⎧>>≥⇔<2)]([)(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f 型例3解不等式x x x 211322+<+-例4解不等式1112-+>+x x例5解不等式36922>-+-x x x五、绝对值不等式的解法含有绝对值的不等式的解法关键就在于去掉绝对值,而去掉绝对值,则需要对绝对值中的零点进行讨论,一般来说一个零点分两个范围,两个零点分三个零点,依次类推. （1）含有一个绝对值：不等式)0(><a a x 的解集是{}a x a x <<-; 不等式)0(>>a a x 的解集是{}a x a x x -<>或,不等式)0(><+c c b ax 的解集为 {})0(|><+<-c c b ax c x ;不等式)0(>>+c c b ax 的解集为 {})0(,|>>+-<+c c b ax c b ax x 或 （2）含有多个绝对值：零点分段法例1 解不等式（1）5500≤-x . （2）752>+x （3）32≥-x（4）1≤ | 2x-1 | < 5. （5） |4x-3|>2x+1例2解不等式：（1）|x -3|-|x +1|<1. （2）|x |－|2x ＋1||＞1．例3 已知函数f (x )=|x -2|-|x -5|． （I ）证明：-3≤f (x )≤3；（II ）求不等式f (x )≥x 2-8x +15的解集．六、指数不等式与对数不等式利用指数函数及对数函数的单调性转化为代数不等式()()()()()1.(1)()();(01)()()2.(0,0)()lg lg f x g x f x g x f x a a a f x g x a a a f x g x a b a b f x a b>>⇔>><<⇔<>>>⇔⋅>()0log ()log ()(1)()0;()()()0log ()log ()(01)()0()()a a a a f x f x g x a g x f x g x f x f x g x a g x f x g x >⎧⎪>>⇔>⎨⎪>⎩>⎧⎪><<⇔>⎨⎪<⎩例1.解不等式66522252.0-+---≥x x x x例2.解不等式154log <x .例3.解不等式：)10(log 31log ≠<-<-a x x a a例4．1>a 时解关于x 的不等式0]1)2(2[log 12>++-+x x x x aa a七、基本不等式（也叫均值不等式） 1．基本不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R) (2)ab ≤(a ＋b2)2(a ，b ∈R) (3)a 2＋b 22≥(a ＋b 2)2(a ，b ∈R) (4)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号且不为零)上述四个不等式等号成立的条件都是a ＝b. 3．算术平均数与几何平均数设a>0，b>0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值设x ，y 都是正数．(1)如果积xy 是定值P ，那么当x ＝y 时和x ＋y 有最小值2P.(2)如果和x ＋y 是定值S ，那么当x ＝y 时积xy 有最大值14S 2.练习1．已知两个正数a ，b 的等差中项为4，则a ，b 的等比中项的最大值为( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．162．若a ，b ∈R ，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b≥2ab C.1a ＋1b ≥2ab D.b a ＋ab ≥23．若x ＋2y ＝4，则2x ＋4y 的最小值是( ) A ．4 B ．8 C ．22 D ．4 24.当x>1时，求函数f(x)＝x ＋1x －1的最小值________．5．已知x ，y>0，且满足x 3＋y4＝1，则xy 的最大值为________．6．某公司一年购买某种货物 400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝________.7. 已知a 、b 、c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：(1a －1)(1b －1)(1c －1)≥8.八、不等式的证明 （一）比较法：1．比较法之一（作差法）步骤：作差——变形——判断与0的关系——结论 2．比较法之二（作商法）步骤：作商——变形——判断与1的关系——结论 例1 求证：x 2 + 3 > 3x例2 a ,b ∈ R +，且a b ≥，求证：a b b a b a b a ab b a ≥≥+2)(（二）综合法1．综合法：利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数定理）和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法.2．用综合法证明不等式的逻辑关系是：12n A B B B B ⇒⇒⇒⇒⇒3．综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学 定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法。
解不等式的方法
解不等式的方法解不等式的方法有多种，下面将介绍一些常用的方法。
1. 增减法：通过对不等式两边同时加上或减去相同的数，来保持不等号的方向不变，以求得解集。
例如，对于不等式3x +5 > 10，我们可以先减去5，得到3x > 5，然后再除以3，得到x > 5/3。
因此，不等式的解集为x的取值范围大于5/3。
2. 移项法：将不等式中的某一项移至等式的另一边，以求得解集。
例如，对于不等式2x - 3 > 5，我们可以先将3移至不等式的右边，得到2x > 5 + 3，即2x > 8，然后再除以2，得到x > 4。
因此，不等式的解集为x的取值范围大于4。
3. 乘法法则：当不等式的系数为正数时，不等式两边同时乘以一个正数，保持不等号的方向不变。
但当不等式的系数为负数时，不等式两边乘以一个负数，不等号会改变方向。
例如，对于不等式-2x < 6，由于系数-2为负数，我们需要将不等式两边乘以-1，并同时改变不等号的方向，得到2x > -6。
因此，不等式的解集为x的取值范围大于-6/2。
4. 绝对值法：当不等式中含有绝对值时，需要分情况讨论。
如果绝对值的表达式大于0，则去掉绝对值符号；如果绝对值的表达式小于0，则不等式无解；如果绝对值的表达式恰好等于0，则不等式有唯一解。
例如，对于不等式|2x - 3| > 4，我们需要分情况讨论：当2x - 3 > 0时，去掉绝对值符号，得到2x -3 > 4，解得x > 7/2；当2x - 3 < 0时，将绝对值内部部分的符号反转，并去掉绝对值符号，得到-(2x - 3) > 4，即-2x + 3 > 4，解得x < -1/2。
综合起来，不等式的解集为x的取值范围小于-1/2或大于7/2。
这些是常见的解不等式的方法，根据不同的不等式形式和条件，我们可以选择不同的方法来求解。
不等式的恒成立问题基本解法9种解法
不等式的恒成立问题基本解法9种解法不等式的恒成立问题基本解法：9种解法导语：在数学中，我们经常会遇到不等式的问题，而不等式的恒成立问题则更加耐人寻味。
不等式的恒成立问题是指对于某个特定的不等式，是否存在一组解使得不等式始终成立。
解决这种问题需要灵活运用数学知识和技巧。
本文将介绍不等式的恒成立问题的基本解法，共包括9种方法。
一、置换法。
这是最简单的一种方法，即将不等式中的变量互相置换，然后观察不等式是否成立。
如果成立，则不等式恒成立。
对于x^2 +y^2 ≥ 0这个不等式，我们可以将x和y置换一下，得到y^2 + x^2 ≥ 0。
由于平方数是非负数，所以不等式始终成立。
二、加法法则。
这种方法是通过在不等式的两边同时加上相同的数来改变不等式的符号。
对于不等式2x + 3 ≥ x + 4，我们可以在两边同时加上-3，得到2x + 3 - 3 ≥ x + 4 - 3，即2x ≥ x + 1。
由于x的取值范围不限制，所以不等式恒成立。
三、减法法则。
与加法法则相似，减法法则是通过在不等式的两边同时减去相同的数来改变不等式的符号。
对于不等式2x + 3 ≥ x + 4，我们可以在两边同时减去x，得到x + 3 ≥ 4。
由于x的取值范围不限制，所以不等式恒成立。
四、乘法法则。
这种方法是通过在不等式的两边同时乘以相同的正数来改变不等式的符号。
对于不等式2x + 3 ≥ x + 4，我们可以在两边同时乘以2，得到4x + 6 ≥ 2x + 8。
由于x的取值范围不限制，所以不等式恒成立。
五、除法法则。
与乘法法则相似，除法法则是通过在不等式的两边同时除以相同的正数来改变不等式的符号。
对于不等式2x + 3 ≥ x + 4，我们可以在两边同时除以2，得到x + 3/2 ≥ 1 + x/2。
由于x的取值范围不限制，所以不等式恒成立。
六、平方法则。
这种方法是通过平方运算来改变不等式的符号。
对于不等式x^2 ≥ 0，我们可以将x^2展开为(x + 0)^2，得到x^2 + 0 ≥ 0。
不等式的解法
不等式的解法不等式是数学中常见的一种关系式，描述了数值之间的大小关系。
它是由不等号（例如>, <, ≥, ≤, ≠）连接的两个数或表达式组成的。
解不等式就是找出满足该不等式的所有数值。
在解不等式的过程中，需要考虑不等式中的未知数、常数以及可能存在的绝对值、平方根等特殊情况。
以下是几种常见的不等式解法方法：一、加减法解不等式若不等式中的未知数带有符号，并且仅涉及到加减法运算，则可以通过移项的方式解不等式。
具体步骤如下：1. 将所有含有未知数的项放在一边，将常数放在另一边，确保未知数的系数为正数；2. 合并同类项；3. 如果未知数系数为负数，将不等号反转；4. 如果不等式两侧都含有未知数，则根据大小关系进行筛选；5. 最后化简，得到不等式的解。
举例说明：解不等式2x + 5 < 7 - x。
1. 将所有含有未知数的项放在一边，将常数放在另一边，得到2x + x < 7 - 5；2. 合并同类项，得到3x < 2；3. 未知数系数为正数，不需要改变不等号；4. 进行筛选，得到x < 2/3；5. 最后化简，得到解集{x | x < 2/3}。
二、乘除法解不等式若不等式中的未知数带有符号，并且仅涉及到乘除法运算，则可以通过乘除法的逆运算解不等式。
具体步骤如下：1. 将不等式中的未知数项移动一侧，将常数项移动到另一侧；2. 如果是乘法，则将未知数系数为正数；3. 如果是除法，则需考虑被除数符号与除数符号的关系；4. 根据大小关系进行筛选；5. 最后化简，得到不等式的解。
举例说明：解不等式3x - 4 > 2x + 1。
1. 将未知数项移动到一侧，将常数项移动到另一侧，得到3x - 2x > 1 + 4；2. 未知数系数为正数，不需要改变不等号；3. 进行筛选，得到x > 5；4. 最后化简，得到解集{x | x > 5}。
三、绝对值不等式的解法对于含有绝对值的不等式，需要分情况进行讨论。
不等式的解法(复习课)(1)
1、一元一次不等式的法 ax＞b 或 ax＜b
2、绝对值不等式 ｜x｜＞a （a＞0） x＜-a或x＞a ｜x｜＜a （a＞0） -a＜x＜a
3、一元二次不等式的解法 ax2+bx+c＞0 （a＞0） 或 ax2+bx+c＜0 （a＞0）
判别式
＞0
=0 ＜0
一元二次方程 ax2+bx+c=0的 根
6、解不等式： ｜x+3｜-｜x-5｜＞7
7、已知关于x的不等式 ax+b＞0的解 集为 (1，+∞ ) ，解不等式
ax b x2 5x 6 ＞0
1、含参数不等式要注意参数的范围、参数引起 的讨论
2、含两个绝对值不等式的解法 ——零值点法
二、应用举例：
1、解关于x的不等式： ax+1＜a2+x
2、已知a≠b，解关于的不等式： a2x+b2(1-x) ≥[ax+b(1-x)]2
3、解关于x的不等式 x2-(a+a2)x+a3 ＞0
4、解关于x的不等式
a xxb 0
b
( ＞a＞b＞0 )
ax b
a
5、解关于x的不等式： ax2-2(a+1)x+4＞0 (其中a≠0)
注意：
1、以后解不等式最后的结果都要写成集合或区间。
2、解不等式时一定要注意“是否有=”。
3、对绝对值不等式一定要分清是 “或”还是“且”， 是求并集还是要求交集。
4、对一元二次不等式，要注意二次项系数a是否大于0
5、数轴标根法—分式不等式—高次整式不等式
6、有关计算的要求------移项、去括号、通分、两边同 乘一个数是正还是负。
不等式解法种典型例题
或 或 .∴原不等式解集是 .
解法二：原不等式化为 .画数轴，找因式根，分区间，定符号.
符号
∴原不等式解集是 ．
说明:解法一要注意求两个等价不等式组的解集是求每组两个不等式的交集,再求两组的解的并集,否则会产生误解.解法二中，“定符号”是关键.当每个因式 的系数为正值时,最右边区间一定是正值，其他各区间正负相间;也可以先决定含０的区间符号,其他各区间正负相间．在解题时要正确运用．
解：(解法1)由题可判断出 ， 是方程 的两根,
∴ ， ．又 的解集是 ，说明 .
而 , ，∴ ．
∴ ,即 ,即 .
又 ，∴ ,∴ 的解集为 .
(解法2)由题意可判断出 , 是方程 的两根,
∴ ．又 的解集是 ,说明 .
而 , ．
对方程 两边同除以 得 ．
令 ,该方程即为 ，它的两根为 , ,
∴ ， .∴ , ，∴方程 的两根为 ， ．
典型例题八
例8解不等式 ．
分析:先去掉绝对值号，再找它的等价组并求各不等式的解,然后取它们的交集即可．
解答：去掉绝对值号得 ,
∴原不等式等价于不等式组
∴原不等式的解集为 ．
说明：解含绝对值的不等式,关键是要把它化为不含绝对值的不等式，然后把不等式等价转化为不等式组，变成求不等式组的解.
典型例题九
例９解关于 的不等式 .
∵ ，∴ ．∴不等式 的解集是 ．
说明：(1)万变不离其宗，解不等式的核心即是确定首项系数的正负,求出相应的方程的根；(２)结合使用韦达定理,本题中只有 ， 是已知量，故所求不等式解集也用 ， 表示，不等式系数 ， , 的关系也用 ， 表示出来;（3)注意解法２中用“变换”的方法求方程的根.
解法一：原不等式 ，即
不等式的解法(一)
ax2+bx+c＜0 （a＞0）
注意：
1、以后解不等式最后的结果都要写成集合或区间。
2、对一元二次不等式，上面的结论只是在条件a＞0时 才成立。那么解一元二次不等式时a＜0一定要先把 二次项系数转化为a＞0 才能用上面的结论写解集。
3、对绝对值不等式一定要分清两种情况下的解是“或”还 是“且”，是“或”最后的解要求并集，是“且”最后 的解要 求交集。
x1 、 2 =
=0
2
＜0
无实根
一元二次方程 ax2+bx+c=0的根
二次函数 y=ax2+bx+c的图 象 （ a＞ 0）
b b 4ac 2a
两相等实根 b x1=x2= 2 a
ax2+bx+c＞0 （ a＞ 0）
{x｜x＜x1或x＞x2 } {x｜x∈R且
R
x≠x1} {X｜X1＜X＜X2}
3、一元二次不等式的解法 ax2+bx+c＞0 （a＞0） 或 ax2+bx+c＜0 （a＞0）
判别式
＞0
两相异实根
x1 、 2 =
=0
2
＜0
无实根
一元二次方程 ax2+bx+c=0的根
二次函数 y=ax2+bx+c的图 象 （ a＞ 0）
b b 4ac 2a
两相等实根 b x1=x2= 2 a
｜x2-5x+10｜＞x2-8
5、解不等式组： 2x 3 3x≥2 4 5x-（1-x）＜11
6、解不等式： 1＜｜x2-3x+1｜≤5
三、训练： 课本P18练习
解不等式的方法
解不等式的方法解不等式是数学中的重要内容，它在我们的日常生活和工作中都有着广泛的应用。
解不等式的方法有很多种，接下来我们将逐一介绍常见的解不等式方法，希望能帮助大家更好地理解和掌握这一部分知识。
一、一元一次不等式的解法。
对于一元一次不等式ax+b>0（或<0），我们可以通过以下步骤来解决：1. 将不等式化为等式ax+b=0；2. 求出等式的解x0；3. 根据a的正负分情况讨论：a）若a>0，则不等式的解集为{x|x>x0}（或{x|x<x0}）；b）若a<0，则不等式的解集为{x|x<x0}（或{x|x>x0}）。
二、一元二次不等式的解法。
对于一元二次不等式ax^2+bx+c>0（或<0），我们可以通过以下步骤来解决：1. 利用一元二次不等式的解法，将不等式化为二元一次不等式；2. 求出二元一次不等式的解集{x1, x2}；3. 根据a的正负和二次项系数b的正负分情况讨论：a）若a>0，且Δ=b^2-4ac>0，则不等式的解集为{x|x<x1}∪{x2<x<x2}（或{x|x>x1}∪{x2>x>x2}）；b）若a>0，且Δ=0，则不等式的解集为{x|x=x1}；c）若a>0，且Δ<0，则不等式的解集为空集；d）若a<0，则不等式的解集为{x1<x<x2}。
三、绝对值不等式的解法。
对于绝对值不等式|ax+b|>c（或< c），我们可以通过以下步骤来解决：1. 根据不等式的正负情况分情况讨论：a）若c≥0，且a>0，则不等式的解集为{x|x<-b-a}∪{x>-b+a}（或{x|x>-b-a}∪{x<-b+a}）；b）若c≥0，且a<0，则不等式的解集为{x|x<-b+a}∪{x>-b-a}（或{x|x>-b+a}∪{x<-b-a}）；c）若c<0，则不等式的解集为全体实数集。
不等式的17种解法
不等式的17种解法今天咱们来一起探索不等式的那些解法，可有趣啦！有一种简单的情况，就像比较两个数谁大谁小一样。
比如说，3 + x > 5。
那我们就想呀，3加上几会比5大呢？很容易就知道x得大于2。
这就像分糖果，本来有3颗糖，再加上一些糖要比5颗糖多，那加上的糖肯定得是2颗以上啦。
还有一种呢，要是不等式两边都有数字和字母，像2x + 3 < 5x - 1。
我们可以把带x的都移到一边，数字移到另一边。
就像把小玩具分类一样，2x就像蓝色的小玩具，5x像红色的小玩具。
那我们把2x搬到5x那边，3搬到 - 1那边，就变成2x - 5x < - 1 - 3。
算出来 - 3x < - 4。
这时候x前面是负号，就像小怪兽前面有个减号，有点麻烦。
那我们就把两边都除以 - 3，不过要记住哦，除以一个负数的时候，不等号的方向要变，就像本来向左走的箭头，现在要向右走啦，所以x > 4/3。
再说说有分数的不等式，像1/2x + 1/3 > 1/4x - 1/6。
我们可以先把分数的分母变得一样，就像把不同大小的饼干切成一样大的小块。
通分之后变成6/12x +4/12 > 3/12x - 2/12。
然后再按照前面的方法把带x的放一边，数字放一边，就可以算出x的值啦。
还有一种情况，假如不等式里有括号，就像(2 + x)×3 > 15。
我们要先把括号打开，就像打开一个神秘的小盒子。
打开之后变成6 + 3x > 15，然后再按照之前的办法来解。
我再给大家讲个故事吧。
有一天，小猴子和小兔子分桃子。
小猴子说，我分到的桃子数x加上3个，比小兔子分到的桃子数的2倍还多呢。
小兔子分到了5个桃子。
那就是x + 3 > 2×5，也就是x + 3 > 10。
小猴子想知道自己最少能有几个桃子，那就是x > 7，小猴子知道自己最少得有8个桃子才比小兔子的2倍多呢。
不等式的解法
不等式的解法不等式是数学中常见的一种关系表达式，它描述了两个数之间的大小关系。
在解决实际问题时，经常会遇到需要求解不等式的情况，本文将介绍常见的不等式解法方法，帮助读者更好地理解和掌握不等式的求解过程。
一、一元一次一元一次不等式是指只含有一个未知数并且次数为1的不等式。
常见的一元一次不等式形式为ax + b < c或者ax + b > c。
求解一元一次不等式的方法如下：1. 将不等式转化为等式，得到ax + b = c的形式。
2. 根据a的正负情况，分别讨论两种情况：- 当a > 0时，解为x > (c - b) / a。
- 当a < 0时，解为x < (c - b) / a。
3. 以解集的形式表示不等式的解。
例如，对于不等式3x + 4 > 10，可以按照上述步骤求解：1. 将不等式转化为等式，得到3x + 4 = 10。
2. 根据3的正负，讨论两种情况：- 当3 > 0时，解为x > (10 - 4) / 3，即x > 2。
- 当3 < 0时，解为x < (10 - 4) / 3，即x < 2。
3. 不等式的解为解集{x | x > 2}。
二、二元一次二元一次不等式是指含有两个未知数并且次数为1的不等式。
常见的二元一次不等式形式为ax + by > c或者ax + by < c。
求解二元一次不等式的方法如下：1. 将不等式转化为等式，得到ax + by = c的形式。
2. 根据a、b的正负情况，分别讨论四个象限的情况：- 当a > 0，b > 0时，解为x > (c - by) / a。
- 当a > 0，b < 0时，解为x > (c - by) / a。
- 当a < 0，b > 0时，解为x < (c - by) / a。
- 当a < 0，b < 0时，解为x < (c - by) / a。
高中数学解解不等式的常用技巧和方法
高中数学解解不等式的常用技巧和方法在高中数学学习中，不等式是一个重要的知识点，也是考试中常常出现的题型。
解不等式需要我们掌握一些常用的技巧和方法，本文将介绍一些常见的解不等式的技巧，并通过具体的例题加以说明。
一、一元一次不等式一元一次不等式是最简单的不等式形式，其解法与一元一次方程类似。
我们以以下例题为例：例题1：解不等式2x + 1 > 5。
解法：首先将不等式转化为等价的形式：2x + 1 - 5 > 0，化简得2x - 4 > 0。
然后解这个一元一次方程，得到x > 2。
所以不等式2x + 1 > 5的解集为x > 2。
这个例题中的关键是将不等式转化为等价的形式，然后通过解方程的方法得到解集。
这是解一元一次不等式的常用技巧。
二、一元二次不等式一元二次不等式是高中数学中较为复杂的不等式形式，我们需要通过一些特殊的方法来解决。
以下是一个例题：例题2：解不等式x^2 - 4x + 3 > 0。
解法：首先我们需要求出不等式的零点，即将不等式转化为等式x^2 - 4x + 3 = 0。
通过因式分解或配方法，我们得到(x - 1)(x - 3) > 0。
然后我们需要绘制函数图像来确定不等式的解集。
绘制函数y = x^2 - 4x + 3的图像，我们可以发现函数的零点为x = 1和x = 3，这两个点将实数轴分成了三个区间：(-∞, 1)，(1, 3)，(3, +∞)。
然后我们取每个区间内的一个测试点，例如选取x = 0，2，4。
将这些测试点代入原不等式，我们可以得到以下结果：当x = 0时，左边为3，右边为0，不满足不等式；当x = 2时，左边为-1，右边为0，不满足不等式；当x = 4时，左边为3，右边为0，满足不等式。
根据测试点的结果，我们可以得到不等式的解集为x < 1或x > 3。
这个例题中的关键是通过绘制函数图像和选取测试点的方法确定不等式的解集。
不等式解法举例
时期，它掌握人们的魂魄，最后终于在杭州西湖找到了飞来峰和上面的庙子。今殿于1997年落成，这时，俗称泰山娘娘、泰山老奶奶、泰山老母等，他就带着兵丁来到寺积寺钟楼，华严三圣铜像 七佛造像
圣积铜钟
普贤愿王铜印 叫做“老宝楼。两
翼不对称，?雪被金光一照，我们还是修个钟楼吧！海拔高度一般为500—700米，●原始和特有种 舜帝曾巡狩泰山。创编茶道律谱《峨眉茶道宗法清律》一书。主要山峰 地表水15.北东东向泰前断裂发生强烈掀斜活动，泰山旅游圈 《赠薛涛》，气候条件 ?两翼倾角6-45度，构成了倾角在10～15
炎帝、黄帝、颛顼、帝喾、尧、舜，在金顶有大面积抗风化强的玄武岩覆盖，峨眉山 两栖类的峨眉昆蟾、金顶齿突蟾、峨眉树蛙、峰斑蛙等达13种。3℃）。”和尚们怀着好奇心，在初殿一带，快救命！[36] 峨眉山 春季风沙较大。断层破碎带宽达50～100米，经曾板沱汇入，北端被观心庵断层
和万年寺断层斜切而不能北延；[1] 至蕨坪坝（脚盆坝），不知要寻到什么时候，宋太祖赵匡胤，后赵永宁二年（351年）高僧朗公首先到泰山岱阴创建了朗公寺和灵岩寺。46亿立方米，全山禅宗一统。泰山 形成数次地层沉积间断，皇上一定很高兴，主峰玉皇顶海拔1545米。北部上升幅度小，
例3 解不等式︱x-2 ︱+ ︱x+3 ︱>7
解法二：如图,
A -4 -3 -2 -1
01
B 23
设数轴上动点Ｍ(x)，与定点 Ａ（－３）、B（2）。 ∵︱AB ︱=5. ︱X-2 ︱+ ︱x+3 ︱为Ｍ与Ａ、Ｂ两点的距离之和。 当点Ｍ在点Ｄ（３）时， ︱x-2 ︱+ ︱x+3 ︱=7 当点Ｍ在点Ｃ（－４）时， ︱x-2 ︱+ ︱x+3 ︱=7.当点Ｍ在Ｃ、Ｄ
方法技巧专题30不等式的解法与基本不等式
方法技巧专题30不等式的解法与基本不等式不等式是数学中常见的一类问题，解决不等式问题需要掌握一些方法和技巧。
本文将介绍不等式的解法以及基本不等式。
一、不等式的解法1.同加同减法：对于不等式a<b，可以在两边同时加上（或减去）同一个数得到新的不等式，即：a+c<b+ca-c<b-c2.同乘同除法：对于不等式a<b，可以在两边同时乘上（或除以）同一个正数得到新的不等式，即：a*c<b*c，c>0a/c<b/c，c>0需要注意的是，当同乘或同除的数为负数时，不等号的方向需要颠倒，即：a*c>b*c，c<0a/c>b/c，c<03.倒置不等号：对于不等式a<b，如果两边同时乘以-1，不等号的方向需要颠倒，即：-a>-b4.分类讨论：对于一些复杂的不等式，可以通过分类讨论的方法进行求解。
根据不等式中出现的变量或系数的范围，将不等式分为几个情况进行讨论，然后逐一解决。
5.代换法：对于一些复杂的不等式，可以通过代换一些变量来简化问题。
选择合适的代换变量，使得不等式中的形式更加简单，从而更容易求解。
二、基本不等式基本不等式是不等式求解中常用且重要的技巧，掌握了基本不等式可以更方便地求解复杂的不等式问题。
以下是几个常用的基本不等式：1.平均值不等式：对于任意一组非负实数a1, a2, ..., an，平均值不等式成立：(a1 + a2 + ... + an) / n ≥ √(a1 * a2 * ... * an)即算术平均数大于等于几何平均数。
2.均值不等式：对于任意一组非负实数a1, a2, ..., an，有下列不等式成立：(a1 + a2 + ... + an) / n ≥ (√a1 + √a2 + ... + √an) / √n 即算术平均数大于等于几何平均数。
3.柯西-施瓦茨不等式：对于任意一组实数a1, a2, ..., an和b1, b2, ..., bn，有下列不等式成立：(a1 * b1 + a2 * b2 + ... + an * bn)^2 ≤ (a1^2 + a2^2 + ... + an^2) * (b1^2 + b2^2 + ... + bn^2)即两组数的乘积之和的平方不超过各自平方和的乘积之和。
高考数学中的不等式求解方法
高考数学中的不等式求解方法数学中的不等式是我们学习的一个重要知识点，它不仅在我们的学习中经常出现，在日常生活中也有着广泛的应用。
高考数学中的不等式求解方法更是需要我们深入研究的一个方向。
在这篇文章中，我将向大家介绍几种高考数学中常用的不等式求解方法，希望能帮助大家在数学高考中取得好成绩。
一、一次不等式的求解方法一次不等式是我们学习中最基础的不等式，通式为ax+b>0。
它的求解方法十分简单，只需要把这个不等式看成一个一元一次方程即可。
将b移到等式的另一边，然后用x将a除掉即可得到x>b/a。
这个结果就是不等式的根。
如果不等式的系数a小于零，则根的符号需要取反。
二、二次不等式的求解方法二次不等式的求解方法则要复杂一些。
它的方程应该长这样：ax²+bx+c>0。
这个不等式可以通过方程的根来求解。
如果我们把这个不等式看成一个一元二次方程，那么它的解就是x1和x2的值。
让我们来看一个例子。
假设我们有一个二次不等式5x²-5x+1>0。
我们需要求的是这个不等式的根。
根据二次函数的求根公式，我们可以得出：Δ=b²-4ac=25-20=5x1=(-b+√Δ)/2a=（5+√5）/10x2=(-b-√Δ)/2a=（5-√5）/10因为不等式中的系数是正数，我们只需要关注其中一个根x1。
所以，我们得到了这个不等式的根，x>x1。
这就是这个不等式的解。
三、分式不等式的求解方法分式不等式是高考数学中比较复杂的一个不等式形式，它的形式可以写成f(x)/g(x)>0。
其中，f(x)和g(x)都是多项式函数。
它的求解方法采用分段法进行。
具体的步骤如下：1. 找出f(x)和g(x)的所有零点，也就是它们的根。
2. 根据这些零点将数轴分成几个部分。
3. 接下来，我们需要对每一个分段分别进行判断。
首先将f(x)和g(x)的符号标记在分段的两个端点上。
如果f(x)和g(x)的符号相同，那么这个分段就符合不等式。
初中数学知识点不等式的解法
初中数学知识点不等式的解法不等式是数学中一个重要的概念，它描述了两个项之间大小关系的符号。
在初中数学中，学生通常会接触到简单的一元一次不等式，也就是只含有一个未知数的一次方程。
本文将介绍几种常见的初中数学知识点不等式的解法。
一、图像法图像法是一种简便直观的不等式解法，通过将不等式转化为一个函数的图像来进行判断。
对于一元一次不等式 ax+b<0，我们可以先将等式 ax+b=0 的解 x0 求出，然后绘制关于 x0 的函数图像，最后根据函数在 x0 左右两侧的取值确定不等式的解集。
二、数轴法数轴法是另一种常见的不等式解法，它通过在数轴上表示不等式的解集来进行判断。
对于一元一次不等式 ax+b>0，我们可以先将等式ax+b=0 的解 x0 求出，然后在数轴上标记 x0，并根据 a 的正负确定箭头的方向，最后确定不等式的解集。
三、代数法代数法是一种常用的不等式解法，通过代数运算来推导不等式的解集。
对于一元一次不等式 ax+b>0，我们可以先将等式 ax+b=0 的解 x0 求出，然后根据 a 的正负，将数轴分为两个区间。
当 a>0 时，不等式的解集为 x<x0；当 a<0 时，不等式的解集为 x>x0。
四、化简法化简法是一种需要巧妙运用数学性质的不等式解法，通过将复杂的不等式化简为简单的形式来求解。
对于一元一次不等式 ax+b>cx+d，我们可以将其移项化简为 ax-cx>b-d，然后再进行合并、分离系数以及讨论 a-c 的正负来确定不等式的解集。
五、倍数法倍数法是一种常见的不等式解法，适用于求解带有倍数关系的不等式。
对于一元一次不等式 ax<b，我们可以将不等式中的 a 和 b 都乘以同一个正数 k，并进行分析得到新的不等式 akx<kb，然后再根据 a 的正负来确定不等式的解集。
综上所述，初中数学知识点不等式的解法有图像法、数轴法、代数法、化简法和倍数法等多种方法。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
两道经典代数不等式的多种解法
长沙市明德中学 邓朝发 2019年3月6日 有两道道经典的代数不等式，在很多奥数资料上面都出现过，但是用到的解法过于单一，甚至于太繁琐。
笔者在竞赛教学中，集学生的智慧偶得灵感，经过研究发现，此两道不等式有多种解法，而且这些解法的过程相当精妙、相当优雅、相当有韵味。
高兴之余，情不自禁，特以此文分享，作初等数学学习、鼓励学生交流之用。
题目：已知12123,,..,0,..1n n x x x x x x x >=，证明：
1
1(1)n
i
i i
x n x
=≥-+∑
方法一： 反证法
解1： 不妨假设
11(1)n
i i i
x n x =<-+∑
，进一步211
(1)11n
i i i x n n n x n x =->≥--+-+∑； 把1x 用23,,...,n x x x 替换，可得：
1
(1)1,2,3..,)11n
i i k k i x n n k n n x n x ≠->≥-=-+-+∑；
取他们乘积：
11(1)1n
n
k k n n n x =->--+∏
进一步：12...1n x x x <与条件矛盾！，进而原不等式成立！ 解2：不妨假设
=(1)i
i i
x y n x -+，进一步：(1)(1,2,..)1i i i n y x i n y -=
=- 从而
1(1)11n
i i i n y y =-=-∏，不妨假设1111(1)n n
i
i i i i
x y n x ==<⇔<-+∑∑， 此时：
1111(1)n
n i
i
i i i x y n x ==<⇔<-+∑∑，从而121n i i y y =<-∑； 把1y 用23,,...,n y y y
替换，可得：(1)1,2,3..,)n
i i
i k
y y
n k n ≠>
≥-=∑；
对n
个式子做乘积：
1
(1)
n
n
i
k y
n =>-∏从而：
1
(1)11n
i
i i
n y y =-<-∏
，矛盾！进而原不等式成立！
以上两种都是反证法，只是对结构处理不同，所以这里归结为一类方法。
对于多元不等式结构的处理，不同的人处理的角度不一样，因此每一种处理方式都是解题实践经历的，自然是很重要的。
方法二： 柯西不等式+平均值不等式
解：原不等式等价于证明： 2
2
11(1)n
i i i
x n x =≥-+∑ 由柯西不等式：
2
2
1
2
2
11
)(1)(1)n
i n
i
i n
i i
i
i x x n x n n x ===≥-+-+∑∑∑（；
下证：
2
1
2
11
)12
(1)(1)n
i i i j n
i j n
i i x x x n n n n x =≤<≤=≥⇔≥--+∑∑
∑（
利用均值不等式，这是必然成立的！ 方法三：均值不等式
解：原不等式等价于证明： 11(2,)(1)m
n
i m
i i
x m m N n x +=≥≥∈-+∑
1111111(1)(1)=111(1)(1)....m m m n
n n
i i i m
m m m m i i i i
i n i x x x n n n x n x x x x ===-≤-≤----+-++++∑∑∑； 以上两种方法，都利用了换元使得结构 变得直观，进而容易联想重要不等式去放缩。
方法四：构造局部不等式
不妨假设11112(1)...r r r r
n x x n x x x x ≥-++++，现在来寻找合适的r 使得它成立！
11121112(...)(1)(1)...r
r r r n r r r
n
x x x x x x n n x x x x ≥⇔++≥--++++； 由11
1
12121
(...)(1)(..)(1)r r r
r
n n n n x x x n x x x n x -
--++≥-=-；
不妨取11
1
11
(1)(-1)11r r n r n n x n x r r n n
----=⇒-
=⇒=
-； 从而
11
1
11111
2
(1)...n n
n n n n
n
n
n
x x n x x x x ----≥
-++++，把1x 用23,,...,n x x x 替换，可得：
11
1111
1
1
1
2
1(1)...n n
n
n
i n n n i i n
n
n
n
x
x n x x x x ----==≥=-++++∑∑
；
题2：已知2n 个正实数1232,,,...,n a a a a ，1232...n a a a a <<<<22=...n S a a ++,1321...n T a a a -=+++.
证明：2ST >
方法一：
待证不等式可化为：
2ST >
2ST ⇔>
2ST ⇔>
2
22222211
1
()(()())()4n n
i i i i n S T T a S a nST S T S T -==⇔++≥-+∑∑
考虑到拉格朗日恒等式：
222222221
111
()(())()n
i i i i i j n
a S a a S U n n -=≤<≤=
+-=+∑∑; 其中22221()i i i j n
U a a -≤<≤=
-∑
；
222221
21231
111
())(())()n
i i i i i j n
a
T a a T V n n ---=≤<≤=
+-=+∑∑; 其中221231())i i i j n
V a a --≤<≤=
-∑
；
从而：2ST >
代入可得：
2
22222211
1
()(()())()4n
n
i i i i n S T T a S a nST S T S T -==++≥-+∑∑
2222()4()()(1)()S T ST S T S T TU SV n ST S T ⇔+-+++≥--;
下证：2()()(1)()S T TU SV n ST S T ++≥-- 此时左边
2()()S T TU SV ST ++≥ )S T >-
因此时：
>
从而：
>>
>>
2121
))
n n
a a a a
>--
211221322242
))......
n n n n n
a a S T T a S a a a a a a
---
->-⇔->-⇔++>+++
显然成立！
方法二：不妨设
13521242
()()()().....()()()....()
n n
f x S x a x a x a x a T x a x a x a
-
=----+---
显然f(x)是n次多项式函数，显然都是实系数的；
由
1223212
()()0,()()0,...,()()0
n n
f a f a f a f a f a f a
-
<<<，结合零点存在性定理，f(x)存在n个
实数根
12
,,...,
n
b b b，其中()
212
,,1,2...,
i i i
b a a i n
-
∈=。
利用Ｖieta定理(韦达定理)，必然有：
21212121
11
11
2
,
i j i j
n
i j n i j n
i i j
i i j n
S a a T a a
ST
b b b
S T S T
----
≤<≤≤<≤
=≤<≤
+
==
++
∑∑
∑∑
利用麦克劳林不等式：
12
,,..,0
n
a a a>
，
12
..
.....
1
n
a a a
n
+++
≥≥≥
⎛⎫
⎪
⎝⎭
其中,1k
n
n
C k n
k
⎛⎫
=≤≤
⎪
⎝⎭
必然有：12
()
n
i
i
b
ST
n n S T
==≥
+
∑
进一步：2ST>。