微积分常用公式及运算法则(下)

[abc ] = [bca] = [cab]
三向量a, b, c共面的充要条件是 ay by cy az bz = 0 cz
a × b = −b × a 0× a = a ×0 = 0 a×a = 0 ( a + b) × c = a × c + b × c (λ a ) × ( µ b) = λµ (a × b)
即:Prja b = a ⋅b = ea ⋅ b |a|
λ ( µ a) = (λµ )a
(λ + µ ) a = λ a + µ a
a ⋅ b = (ax , a y , az ) ⋅ (bx , by , bz ) = ax bx + a y by + az bz a ⋅ a =| a |2 a ⋅b = b⋅ a a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c (λ a ) ⋅ ( µ b) = λµ (a ⋅ b)
a b
∫a
x
dx=
a + C (a > 0, a ≠ 1) ln a
x
β
∫ sinh x d x = cosh x + C ∫ cosh x d x = sinh x + C
不定积分线性运算法则 ∫ [α u ( x) + β v( x)]d x = α ∫ u ( x) d x + β ∫ v( x) d x
π
2 2 + a2 其中 | a |= ax y + az .
0
xf (sin x) d x = π ∫ 2 f (sin x) d x
0
π
2 0
sin x d x = ∫ 2 cos n x d x
n 0
π源自文库
方向余弦满足:cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1 ea = (cos α , cos β , cos γ )
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微 积 分 公 式
等价无穷小： 当x → 0时, 不定积分的换元法
x
x ∼ sin x ∼ tan x ∼ arcsin x ∼ arctan x ∼ ln(1 + x) ∼ e − 1; x2 1 − cos x ∼ ; 2 a (1 + x) − 1 ∼ ax(a ≠ 0); a x − 1 ∼ x ln a (a > 0, a ≠ 1).
向量的混合积
平面的夹角
cos θ =
n1 ⋅ n2 = | n1 || n2 |
| A1 A2 + B1B2 + C1C2 |
2 A12 + B12 + C12 A22 + B2 + C22
3
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平面Π1和Π 2 相互垂直的充要条件是: A1 A2 + B1 B2 + C1C2 = 0 相互平行的充要条件是: A1 B1 C1 = = A2 B2 C2
直线L1和L2 相互垂直的充要条件是: m1m2 + n1n2 + p1 p2 = 0 相互平行的充要条件是: m1 n1 p1 = = m2 n2 p2
的距离为:d =
| Ax0 + By0 + Cz0 + D | A2 + B 2 + C 2
直线的方程
1． 参数方程
直线与平面的夹角 直线L与平面Π法线的方向向量分别是
或 ∫ u d v = uv − ∫ v d u
∫ sec x tan x d x = sec x + C ∫ csc x cot x d x = − csc x + C ∫e d x = e +C
x x
定积分的换元法 设函数f ∈ C[a, b].如果函数x = ϕ ( x)满足：
(1)ϕ (α ) = a, ϕ ( β ) = b, 且ϕ ([α , β ]) ⊆ [a, b] 或ϕ ([ β ,α ]) ⊆ [a, b]; (2)ϕ ′ ∈ C[α , β ](或ϕ ′ ∈ C[ β ,α ]) 那么： ∫ f ( x) d x = ∫ f [ϕ (t )]ϕ ′(t ) d t
(
)
∫ cos x d x = sin x + C ∫ sin x d x = − cos x + C
1 2 ∫ cos2 x d x = ∫ sec x d x = tan x + C 1 2 ∫ sin 2 x d x = ∫ csc x d x = − cot x + C
2
不定积分的分部积分法 ∫ uv′ d x = uv − ∫ u′v d x
向量的投影
定积分的分部积分法
b a b
′ uv′ d x = [uv]b a − ∫ vu d x
a
b
向量a在b上的投影, 记为 Prjb | a | cos(a ^ b )
向量的模 向量a = (ax , a y , az )的模为
a
u d v = [uv] − ∫ v d u
b a a
b
m = 1, 2, 3,⋯
1
α
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若f ∈ C[− a, a ], 并且为偶函数，则
以点M 1 ( x1 , y1 , z1 )为起点, M 2 ( x2 , y2 , z2 )为终点 的坐标
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
a
−a
f ( x) d x = 2∫ f ( x) d x;
0
a
若f ∈ C[− a, a ], 并且为奇函数，则
2．一般方程
三元一次方程 Ax + By + Cz + D = 0
( A, B, C不同时为零)的图形是平面, 其中 x, y, z的系数A, B, C是平面的法向量的坐标,
即n = ( A, B, C )是平面的法向量. 特殊的平面：
A = 0, 平行于x轴的平面； B = 0, 平行于y轴的平面； C = 0, 平行于z轴的平面； D = 0, 过原点的平面； A = B = 0, 垂直于z轴的平面； B = C = 0, 垂直于x轴的平面； C = A = 0, 垂直于y轴的平面.
旋转曲面 若在曲线C的方程f ( y, z ) = 0中z保持不变而
过M 0 ( x0 , y0 , z0 )且以s = (m, n, p )为方向向量 的直线L的方程为 x − x0 y − y0 z − z0 = = . m n p
3． 一般方程
直线L可以看作两个平面 Π1 : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0与 Π 2 : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0的交线.空间一点 M ( x, y, z )在直线L上,当且仅当它的坐标x, y, z 同时满足Π1与Π 2的方程,的下面的直线方程: A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0, A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0. A B C 其中 1 = 1 = 1 不成立. A2 B2 C2
∫
dx
2
2
2
d x = arctan x + C d x = arcsin x + C
∫ sec x d x = ln | sec x + tan x | +C ∫ csc x d x = ln | csc x − cot x | +C ∫ ∫
dx x +a dx x −a
2 2 2
= ln x + x 2 + a 2 + C (a > 0) = ln | x + x 2 − a 2 | +C
若a = (ax , a y , az ), b = (bx , by , bz ), 则
( a × b) ⋅ c = ay by az bz ay by cy cx + az bz cz az bz ax bx cy + ax bx ay by cz
a ⊥ b的充要条件是ax bx + a y by + az bz = 0
两向量的向量积的几何意义 (i )a × b的模:
由于 | a × b |=| a || b | sin θ =| a | h(h =| b | sin θ ), 所以 | a × b | 表示以a和b为邻边的平行四边 形的面积. (ii )a × b的方向 : a × b与一切既平行于a又平行于b的平面垂直.
∫ k d x = kx + C (k = 1时, ∫ d x = x + C )
µ ∫x dx=
x µ +1 +C µ +1
∫ x d x = ln | x | +C ∫ 1+ x ∫
1 1 − x2 1
2
1
bx 1 = arcsin + C (a > 0, b > 0) b a a −b x dx 1 x−a ∫ x 2 − a 2 = 2a ln x + a + C
过M 0 ( x0 , y0 , z0 )且以s = (m, n, p )为方向向量 的直线L的方程为 x = x0 + tm y = y0 + tn . z = z + tp 0
2． 对称式方程（点向式方程）
s = (m, n, p ), n = ( A, B, C ), 则夹角公式为: | n⋅s | | Am + Bn + Cp | sin ϕ = = | n || s | A2 + B 2 + C 2 m 2 + n 2 + p 2 直线L和平面Π 相互垂直的充要条件是: A B C = = ; m n p 相互平行的充要条件是: Am + Bn + Cp = 0.
点到平面的距离 点P0 ( x0 , y0 , z0 )到平面Ax + By + Cz + D = 0
直线L1与L2的方向向量分别是 s1 = (m1 , n1 , p1 ), s2 = (m2 , n2 , p2 ), 则夹角公式为: cos ϕ = s1 ⋅ s2 | m1m2 + n1n2 + p1 p2 | = 2 2 2 | s1 || s2 | m12 + n12 + p12 m2 + n2 + p2
向量的向量积
设a和b是两个向量, 规定a与b的向量积是一 个向量,记作a × b, 它的模与方向分别是: (i ) | a × b |=| a | × | b | sin θ 其中θ = (a ^ b) 右手法则.
ax = bx cx
(
)
ax bx cx
(ii )a × b同时垂直于a和b, 并且a, b, a × b符合
a b的充要条件是a × b = 0
平面的方程
1．点法式方程
过点M 0 ( x0 , y0 , z0 )且以n = ( A, B, C )为法向量 的平面Π 的方程为 A( x − x0 ) + B( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0
a×b = (a y bz − az by )i + (az bx − ax bz ) j + (ax by − a y bx )k = ay by i = ax bx az bz j ay by i+ k az bz az bz ax bx j+ ax bx ay by k
a −a
M 1M 2 = ( x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 )
方向角与方向余弦
f ( x) d x = 0 f (sin x) d x = ∫ 2 f (cos x) d x
0
π
π
方向余弦 : cos α =
π
2 0
ay ax a , cos β = , cos γ = z |a| |a| |a|
向量a与b的夹角满足公式 cos θ = a ⋅b (其中0 ≤ θ ≤ π ) | a || b | ax bx + a y by + az bz
2 2 2 ax + ay + az2 ⋅ bx2 + by + bz2
λ ( a + b) = λ a + λ b
3．不等式
|| a | − | b ||≤| a ± b |≤| a | + | b |
4．单位向量
ea =
a |a|
空间两点间的距离公式
若a = (ax , a y , az ), b = (bx , by , bz ), 则 cos θ =
| PP ( x2 − x1 ) 2 + ( y2 − y1 ) 2 + ( z2 − z1 ) 2 1 2 |=
向量的坐标表示
2
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| a |= ax 2 + a y 2 + az 2
向量的数量积（点积、内积） a ⋅ b =| a || b | cos θ
第五章 向量代数与空间解析几何
向量的运算
1．向量的加法
a+b = b+a
( a + b) + c = a + (b + c )
2．向量与数的乘法（数乘）
a⋅0 = 0⋅a = 0 a ⋅ b =| a | Prja b =| b | Prjb a
基本积分表
∫ f [ϕ ( x)]ϕ ′( x) d x = ∫ f (u ) d u ∫ f ( x) d x = [ f [φ (t )]φ ′(t ) d t ] φ
t=
−1
u =ϕ ( x )
(x)
积分公式 x dx 1 ∫ a 2 + x 2 = a arctan a + C x dx ∫ a 2 − x 2 = arcsin a + C