2021届新高考版高考数学专项突破训练(4个专项)
2021年高考数学复习之专题突破训1
2021年高考数学复习之专题突破训练《专题一：集合与常用逻辑用语》 一、选择题（共39小题）1．（2019秋•东丽区校级月考）下面给出的四类对象中，构成集合的是( ) A ．某班个子较高的同学B ．大于2的整数C D ．长寿的人2．（2019秋•思南县校级期中）设集合6{|}2B x Z N x =∈∈+，则集合B 的子集个数为( )A ．3B ．4C ．8D ．163．（2018•芜湖模拟）已知集合2{|230}A x N x x =∈+-，则集合A 的真子集个数为( ) A ．31 B ．32 C ．3 D ．44．（2018•西城区二模）若集合{|01}A x x =<<，2{|20}B x x x =-<，则下列结论中正确的是( ) A ．AB =∅B ．A B R=C ．A B ⊆D ．B A ⊆5．（2018春•东安区校级月考）设集合{1A =，a ，}b ，{B a =，2a ，}ab ，若A B =，则20182018a b +的值为( )A ．2-B ．1-C ．1D ．26．（2018秋•乃东区校级期末）设集合2{|650}M x x x =-+=，2{|50}N x x x =-=，则M N等于( )A ．{0}B ．{0，5}C ．{0，1，5}D ．{0，1-，5}-7．（2018•丰台区二模）已知{|1}A x x =>，2{|230}B x x x =--<，则(AB = )A ．{|1x x <-或1}xB ．{|13}x x <<C ．{|3}x x >D ．{|1}x x >-8．（2018•兴庆区校级三模）已知集合2{|160}A x x =-<，{5B =-，0，1}，则( )A ．A B =∅B ．B A ⊆C ．{0A B =，1} D ．A B ⊆9．（2021•无锡模拟）设函数y =A ，函数(1)y ln x =-的定义域为B ，则(AB = )A ．(1,2)B ．(1，2]C ．(2,1)-D ．[2-，1)10．（2020秋•松山区校级期末）设集合{(,)|1}A x y y x ==+，2{(,)|1}B x y y x ==-，则(A B = )A ．∅B ．{1，2}C ．{(1,0)-，(2,0)}D ．{(1,0)-，(2,3)}11．（2020秋•泰州期末）若集合A ＝{x|x2﹣4＜0}，B ＝{x|lgx ＜0}，则A ∩B ＝（ ）A ．（﹣2，1）B ．（﹣2，2）C ．（0，1）D ．（0，2） 12．（2020秋•徐州期末）已知全集U R =，集合{1A =，2，3}，{|2}B x x =，则(A B =)A ．{1，2，3}B ．{2}C ．{1，3}D ．{2，3}13．（2021•西安一模）已知集合A ＝{x|x2﹣4x ﹣5＜0}，B ＝{﹣1，0，1，2，3，5}，则A ∩B ＝（ ）A ．{﹣1，0}B ．{﹣1，0，1}C ．{0，1，2}D ．{0，1，2，3}14．（2020秋•汕头期末）若集合{|A x y ==，{|(35)(27)0}B x x x =+-，则(A B =)A ．5[3，2] B ．(-∞，5]3-C ．[2，7]2 D ．5[3-，2]15．（2021•江西模拟）已知集合{|1}A x Z x =∈>-，集合2{|log 2}B x x =<，则(AB = )A ．{|14}x x -<<B ．{|04}x x <<C ．{0，1，2，3}D ．{1，2，3}16．（2018秋•市中区校级月考）已知集合{{}|,|0A x y B x x ===<，则(A B = )A ．{0，4}B ．(0，4]C ．[0，4]D ．(0,4)17．（2020•七星区校级模拟）已知全集2{|980}U x N x x =∈-+<，集合{3A =，4，5，6}，则(UA = )A ．{2，7}B ．{1，2，7}C ．{2，7，8}D ．{1，2，7，8}18．（2021•南昌模拟）若全集{1U =，2，3，4，5，6}，{1M =，3，4}，{2N =，3，4}，则集合()()(U U M N =⋃ ) A ．{5，6} B ．{1，5，6} C ．{2，5，6}D ．{1，2，5，6}19．（2021•宝鸡模拟）已知集合A ＝{x|x2≤1}，B ＝{x|3x ＜1}，则A ∪（∁RB ）＝（ ） A ．{x|x ＜0} B ．{x|0≤x ≤1} C ．{x|﹣1≤x ＜0} D ．{x|x ≥﹣1}20．（2020秋•江阴市校级月考）已知集合2{|340}A x x x =+->，{||1|2}B x x =-<，则()(R A B = )A ．{|11}x x -<B ．{|13}x x -<<C ．{|13}x x <<D ．{|11}x x -<<21．（2018•马鞍山三模）命题p ：若a b >，则11a b ->-，则命题p 的否命题为( ) A ．若a b >，则11a b -- B ．若a b ，则11a b -<- C ．若a b ，则11a b -- D ．若a b <，则11a b -<-22．（2020秋•桂林期末）命题“若1x =，则22x <”的否命题是( )A ．“若22x <，则1x =” B ．“若21x ，则1x ≠”C ．“若1x =，则22x >” D ．“若1x ≠，则22x”23．（2018秋•王益区期末）命题“若1x >，则2220x x -+>”的逆否命题是( )A ．若1x ，则2220x x -+ B ．若2220x x -+>，则1x >C ．若1x <，则2220x x -+> D ．若2220x x -+，则1x24．（2018秋•石家庄期末）下列说法中正确的是( ) A ．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真B ．“a b >”是“a c b c +>+”的充分不必要条件C ．“若220a b +=，则a ，b 全为0．”的逆否命题是“若a ，b 全不为0，则220a b +≠D ．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真25．（2019•北京）设函数()cos sin (f x x b x b =+为常数），则“0b =”是“()f x 为偶函数”的()A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件26．（2020秋•绍兴期末）“1x =”是“21x =”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件27．（2020秋•扬中市校级期末）110a +>是1a <-成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件28．（2020秋•大通县期末）“3x ”是“27120x x -+”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件29．（2020秋•杨浦区期末）“{1m ∈，2}”是“1lnm <”成立的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件30．（2020秋•张家界期末）设x R ∈，则“1x >”是“11x <”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件31．（2020秋•通化县期末）“3a =”是“直线220ax y a ++=和直线3(1)70x a y a +--+=平行”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件32．（2019•绵阳模拟）已知命题0:p x R ∃∈，使得0cos 0lg x >；命题:0q x ∀<，30x>，则下列命题为真命题的是( ) A ．p q ∧B ．()p q ∨⌝C ．()()p q ⌝∧⌝D ．p q ∨33．（2019春•沙坪坝区校级期末）命题p ：“关于x 的方程220x ax ++=的一个根大于1，另一个根小于1” 命题q ：“函数1()1x x h x e +=-的定义域内为减函数”．若p q ∨为真命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．(3,)-+∞ B ．(,3)-∞- C ．(-∞，3] D ．R34．（2018秋•通化期末）已知命题:p y R ∀∈，使得2451y y -+，命题0:q x R ∃∈，使得200220x x ++=，则下列命题是真命题的是( )A ．p ⌝B ．p q ⌝∨C ．p q ∧D ．p q ∨35．（2018•渭南二模）函数2(),(),xx a k a x a f x e x a a x ⎧----⎪=⎨>⎪-⎩，若0(x ∃∈-∞，]a ，使得1(,)x a ∀∈+∞都有10()()f x f x ，则实数k 的取值范围是( ) A ．(,1)-∞B ．[1，)+∞C ．(-∞，2]D ．[2，)+∞36．（2020秋•青岛期末）命题“对x R ∀∈，都有sin 1x ”的否定为( ) A ．对x R ∀∈，都有sin 1x >B ．对x R ∀∈，都有sin 1x -C ．0x R ∃∈，使得0sin 1x >D ．0x R ∃∈，使得sin 1x37．（2018春•大武口区校级期末）命题“0x R ∃∈，000cos 1x x x e +->”的否定是( ) A ．0x R ∃∈，000cos 1x x x e +-< B ．0x R ∃∈，00cos 1x x x e +- C ．x R ∀∈，cos 1x x x e +- D ．x R ∀∈，cos 1xx x e +- 38．（2020秋•新乡期末）命题“0x ∀>，2log 0x >”的否定是( )A ．0x ∀>，2log 0xB ．0x ∀，2log 0xC ．0x ∃>，2log 0xD ．0x ∃，2log 0x 39．（2021春•安徽月考）命题“1x ∀，210x ->”的否定是( ) A ．1x ∀，210x - B ．01x ∃，0210x - C ．01x ∃<，0210x -> D ．01x ∃<，0210x -二、填空题（共26小题）40．（2018•江苏二模）在平面直角坐标系xOy 中，设点的集合{(A x =，222)|(1)(1)}y x y a -+-=，3(,)4020x B x y x y x y a ⎧⎫⎧⎪⎪⎪=+-⎨⎨⎬⎪⎪⎪-+⎩⎩⎭，且A B ⊆，则实数a 的取值范围是 ．41．（2019秋•和平区校级月考）设m ，n R ∈，集合{1，m ，}{0m n +=，n ，}n m ，则m n -= ．42．（2018秋•吉林期中）设全集{1U =，3，5，7，9}，{1A =，|5|a -，9}，{5UA =，7}，则a 的值为 ．43．（2020•江苏一模）已知集合{|02}A x x =<<，{|11}B x x =-<<，则A B =．44．（2020•鼓楼区校级一模）集合{0A =，}x e ，{1B =-，0，1}，若A B B=，则x = ． 45．（2020秋•松江区期末）已知集合{|10}A x x =-，{0B =，1，2}，则A B =．46．（2018秋•南昌期中）已知全集{2U =，4，21}a a -+，{4A a =+，4}，{7}UA =，则a = ．47．（2020•江苏模拟）已知全集{1U =-，0，2}，集合{1A =-，0}，则UA = ．48．（2020•南通模拟）设全集{1U =，2，3，4}，集合{1A =，3}，{2B =，3}，则UB A =．49．（2019秋•滁州期末）已知全集U Z =，{1A =-，0，1，2}，2{|}B x x x ==，则()U AB =．50．（2020•临朐县模拟）已知集合{A a =，b ，2}，{2B =，2b ，2}a ，且A B A B=，则a = ．51．（2019•思明区校级模拟）设α，R β∈，命题“若sin sin αβ>，则αβ>”的逆否命题是 ．52．（2018秋•青浦区期末）写出命题“若22am bm <，则a b <”的否命题 ．53．（2018秋•东海县期中）命题：“若0a <，则20a >”的否命题是 ．54．（2018•曲靖一模）若“x a >”是“2560x x -+”成立的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是 ．55．（2020秋•南岗区校级期末）“1m >”是“2m >”的 条件．（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”之一）56．（2018秋•凉州区校级月考）已知命题0:p x R ∃∈，2020mx +，命题:q x R ∀∈，2210x mx -+>，若“p q ∨”为假命题，则实数m 的取值范围为 ．57．（2021•大连模拟）命题“(1,2)x ∀∈，21x >”的否定是 ．58．（2019秋•全国月考）若特称命题：“0x R ∃∈，使得2004430mx mx +-成立”是假命题，则实数m 的取值范围是 ．59．（2018秋•东海县期中）若命题“x R ∃∈，220x x m --”是假命题，则实数m 的取值范围是 ．60．（2018春•淮安期末）若“1[2x ∃∈，2]，使得2210x x λ-+<成立”是假命题，则实数λ的取值范围为 ．61．（2018•北京）能说明“若()(0)f x f >对任意的(0x ∈，2]都成立，则()f x 在[0，2]上是增函数”为假命题的一个函数是 ．62．（2018秋•明山区校级期末）命题:p x R ∀∈，22x x >的否定是 ．63．（2020秋•大通县期末）命题“[1x ∀∈-，3]，2320x x -+”的否定为 ．64．（2020秋•阜宁县期末）已知命题:0p x ∀>，xeex ，写出命题p 的否定： ．65．（2020秋•西青区期末）命题“x R ∀∈，*n N ∃∈，使得2n x ”的否定形式是 ．三、解答题（共15小题）66．（2020秋•赤峰期末）已知集合2{|340}A x R ax x =∈--=． （1）若A 中有两个元素，求实数a 的取值范围； （2）若A 中至多有一个元素，求实数a 的取值范围．67．（2020秋•城关区校级期末）已知集合{|123}}A x a x a =-+，{|14}B x x =-，全集U R =．（1）当1a =时，求()U A B；（2）若A B ⊆，求实数a 的取值范围．68．（2020秋•利通区校级期末）已知集合{|22}A x a x a =-+，2{|540}B x x x =-+． （1）当3a =时，求A B，()R AB ；（2）若AB =∅，求实数a 的取值范围．69．（2020秋•深圳期末）设全集为R ，{|37}A x x =<<，{|410}B x x =<<． （1）求()RA B 及()R A B；（2）{|44}C x a x a =-+，且AC A=，求a 的取值范围．70．（2020秋•中山市期末）已知集合{|22}A x a x a =-+，{|1B x x =或4}x ． （1）当3a =时，求AB，()R AB ；（2）若AB =∅，求实数a 的取值范围．71．（2020秋•松山区校级月考）已知全集为R ，函数()log (2)f x x π=-的定义域为集合A ，集合2{|60}B x x x =--．（1）求A B；（2）若{|1}C x m x m =-<，RC B ⊆，求实数m 的取值范围．72．（2019秋•南昌期末）已知集合{|25}A x x =-，{|432}B x m x m =-+． （1）若A B B =，求实数m 的取值范围； （2）求AB B=，求实数m 的取值范围．73．（2019秋•金台区期末）写出命题“若2320x x -+≠，则1x ≠且2x ≠”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．74．（2019秋•南关区校级月考）已知命题：若2m >，则方程2230x x m ++=无实根，写出该命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断真假．75．（2020秋•株洲期末）已知集合{|22}A x a x a =-+，{|1B x x =或4}x ． （1）当3a =时，求AB；（2）若0a >，且“x A ∈”是“R x B ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．76．（2020秋•城关区校级期末）已知命题p ：“11x ∀-，不等式20x x m --<成立”是真命题．（Ⅰ）求实数m 的取值范围；（Ⅱ）若:44q m a -<-<是p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．77．（2020春•南关区期末）已知:|25|3p x -，2:(2)20q x a x a -++． （1）若p 是真命题，求对应x 的取值范围；（2）若p 是q 的必要不充分条件，求a 的取值范围．78．（2020秋•东湖区校级期末）已知p ：函数2()240f x x mx =++在其定义域上恒成立，q ：对任意(1,)x ∈-+∞，241x x mx +++恒成立．（1）若p 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若“p 且q ”为假，“p 或q ”为真，求实数m 的取值范围．79．（2019秋•高安市校级期中）已知函数2213(),()2611x f x g x x mx x ==+++．（1）若()f x k <的解集为{|32}x x -<<-，求实数k 的值；（2）若1[2x ∀∈，4]，都2[2x ∃∈，4]，使12()()f x g x 成立，求实数m 的取值范围．80．（2019秋•上杭县校级月考）已知二次函数2()(f x ax bx a =+，b 为常数，且0)a ≠满足条件：(1)(3)f x f x -=-，且方程()2f x x =有两相等实根． （1）求()f x 的解析式； （2）设命题p ：“函数()2f x y t =-在(,2)-∞上有零点”，命题q ：“函数2()|2|g x x t x =+-在(0,)+∞上单调递增”；若命题“p q ∨”为真命题，求实数t 的取值范围．2021年高考数学复习之专题突破训练《专题一：集合与常用逻辑用语》参考答案与试题解析一、选择题（共39小题）1．（2019秋•东丽区校级月考）下面给出的四类对象中，构成集合的是()A．某班个子较高的同学B．大于2的整数C D．长寿的人【答案】B【考点】13：集合的确定性、互异性、无序性【专题】21：阅读型【分析】题目中给出了用自然语言描述的四类对象，要判断哪一个描述能够构成集合，就要紧扣集合中元素的确定性，描述的对象是确定的，可以构成集合，描述的对象不确定则不能构成集合．【解答】解：“某班个子较高的同学”不能构成集合．这种描述方法描述的对象不确定，因为没有规定身高多高为个子较高，所以构不成集合；“大于2的整数”能够构成集合．它是一个明确的数集，集合中的元素都是大于2的整数；因为没有给出精确程度，所以没法判定．根据确定性的需要，的近似值”这一说法是比较含糊的，所以不能构成集合；“长寿的人”不能构成集合．因为年龄多大归长寿没有标准，所以“长寿的人”所含的对象不确定，所以不能构成集合．所以，构成集合的是“大于2的整数”．故选：B．【点评】本题考查了集合中元素的确定性，集合中元素有三个特性，即确定性、互异性和无序性，确定性的考查主要体现在判断用自然语言描述的对象能否构成集合问题，解答时只要仔细斟酌应该不会出错，此题是基础题．2．（2019秋•思南县校级期中）设集合6{|}2B x Z Nx=∈∈+，则集合B的子集个数为()A．3 B．4 C．8 D．16【考点】16：子集与真子集【专题】34：方程思想；11：计算题；35：转化思想；5J：集合；65：数学运算【分析】根据题意，求出集合B，分析其元素的数目，进而分析可得答案．【解答】解：根据题意，集合6{|}{12B x Z Nx=∈∈=-+，0，1，4}，有4个元素，其子集有4216=个，故选：D ．【点评】本题考查集合的子集，关键是求出集合B ，属于基础题．3．（2018•芜湖模拟）已知集合2{|230}A x N x x =∈+-，则集合A 的真子集个数为( ) A ．31 B ．32 C ．3 D ．4【考点】16：子集与真子集【专题】11：计算题；37：集合思想；4O ：定义法；5J ：集合 【分析】求出集合{0A =，1}，由此能求出集合A 的真子集的个数．【解答】解：集合2{|230}{|31}{0A x N x x x N x =∈+-=∈-=，1}， ∴集合A 的真子集个数为2213-=．故选：C ．【点评】本题考查集合真子集的个数的求法，考查真子集等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．4．（2018•西城区二模）若集合{|01}A x x =<<，2{|20}B x x x =-<，则下列结论中正确的是( ) A ．AB =∅B ．A B R=C ．A B ⊆D ．B A ⊆【考点】18：集合的包含关系判断及应用【专题】11：计算题；33：函数思想；4O ：定义法；5J ：集合 【分析】先分别求出集合A 和B ，由此能求出结果． 【解答】解：集合{|01}A x x =<<，2{|20}{|02}B x x x x x =-<=<<，A B ∴⊆．故选：C ．【点评】本题考查命题真假的判断，考查集合的包含关系等基础知识，考查函数与方程思想，考查函数与方程思想，是基础题．5．（2018春•东安区校级月考）设集合{1A =，a ，}b ，{B a =，2a ，}ab ，若A B =，则20182018a b +的值为( )A ．2-B ．1-C ．1D ．2【考点】19：集合的相等【专题】11：计算题；37：集合思想；4O ：定义法；5J ：集合；65：数学运算 【分析】利用集合中元素的性质直接求解．【解答】解：集合{1A =，a ，}b ，{B a =，2a ，}ab ，A B =，∴2111a ab b b a ⎧=⎪=⎪⎨≠⎪⎪≠⎩，解得1a =-，0b =，201820181a b ∴+=．故选：C ．【点评】本题考查代数式求值，考查集体相等的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6．（2018秋•乃东区校级期末）设集合2{|650}M x x x =-+=，2{|50}N x x x =-=，则M N等于( )A ．{0}B ．{0，5}C ．{0，1，5}D ．{0，1-，5}-【答案】C【考点】1D ：并集及其运算 【专题】11：计算题；65：数学运算【分析】分别求出两集合中方程的解，确定出M 与N ，找出既属于M 又属于N 的元素，即可得出两集合的并集．【解答】解：由集合M 中的方程2650x x -+=，分解因式得：(1)(5)0x x --=，解得：1x =或5x =，即{1M =，5}；由集合N 中的方程250x x -=，分解因式得：(5)0x x -=，解得：0x =或5x =，即{0N =，5}， 则{0MN =，1，5}．故选：C ．【点评】此题属于以一元二次方程的解法为平台，考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．7．（2018•丰台区二模）已知{|1}A x x =>，2{|230}B x x x =--<，则(A B = )A ．{|1x x <-或1}xB ．{|13}x x <<C ．{|3}x x >D ．{|1}x x >- 【考点】1D ：并集及其运算【专题】37：集合思想；4O ：定义法；5J ：集合 【分析】解不等式得出集合B ，根据并集的定义写出AB．【解答】解：{|1}A x x =>，2{|230}{|13}B x x x x x =--<=-<<， 则{|1}AB x x =>-．故选：D ．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．8．（2018•兴庆区校级三模）已知集合2{|160}A x x =-<，{5B =-，0，1}，则( ) A ．A B =∅B ．B A ⊆C ．{0A B =，1} D ．A B ⊆【考点】1E ：交集及其运算 【专题】5J ：集合【分析】根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：2{|160}{|44}A x x x x =-<=-<<，{5B =-，0，1}，则{0A B =，1}，故选：C ．【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．9．（2021•无锡模拟）设函数y =A ，函数(1)y ln x =-的定义域为B ，则(AB = )A ．(1,2)B ．(1，2]C ．(2,1)-D ．[2-，1)【答案】B【考点】交集及其运算【专题】计算题；函数思想；定义法；函数的性质及应用 【分析】利用函数的定义域分别求出集合A ，B ，由此能求出AB．【解答】解：函数y =A ，函数(1)y ln x =-的定义域为B ，2{|40}{|22}A x x x x ∴=-=-， {|10}{|1}B x x x x =->=>． {|12}(1AB x x ∴=<=，2]．故选：B ．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义、函数性质的合理运用．10．（2020秋•松山区校级期末）设集合{(,)|1}A x y y x ==+，2{(,)|1}B x y y x ==-，则(A B = )A ．∅B ．{1，2}C ．{(1,0)-，(2,0)}D ．{(1,0)-，(2,3)}【答案】D【考点】交集及其运算【专题】计算题；集合思想；综合法；集合；数学运算 【分析】可解方程组211y x y x =+⎧⎨=-⎩即可得出A B的元素，从而得出AB．【解答】解：由211y x y x =+⎧⎨=-⎩得，10x y =-⎧⎨=⎩或23x y =⎧⎨=⎩， {(1,0)AB ∴=-，(2,3)}．故选：D ．【点评】本题考查了描述法和列举法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题． 11．（2020秋•泰州期末）若集合A ＝{x|x2﹣4＜0}，B ＝{x|lgx ＜0}，则A ∩B ＝（ ） A ．（﹣2，1） B ．（﹣2，2） C ．（0，1） D ．（0，2） 【考点】交集及其运算．菁优网版权所有【专题】计算题；集合思想；定义法；集合；数学运算． 【答案】C【分析】求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可． 【解答】解：∵A ＝{x|x2﹣4＜0}＝{x|﹣2＜x ＜2}， B ＝{x|lgx ＜0}＝{x|0＜x ＜1}， ∴A ∩B ＝（0，1）． 故选：C ．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，对数函数不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．12．（2020秋•徐州期末）已知全集U R =，集合{1A =，2，3}，{|2}B x x =，则(AB =)A ．{1，2，3}B ．{2}C ．{1，3}D ．{2，3}【考点】1E ：交集及其运算【专题】11：计算题；37：集合思想；49：综合法；5J ：集合；65：数学运算 【分析】进行交集的运算即可． 【解答】解：{1A =，2，3}，{|2}B x x =，{2AB ∴=，3}．故选：D ．【点评】本题考查了列举法、描述法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题． 13．（2021•西安一模）已知集合A ＝{x|x2﹣4x ﹣5＜0}，B ＝{﹣1，0，1，2，3，5}，则A ∩B ＝（ ）A ．{﹣1，0}B ．{﹣1，0，1}C ．{0，1，2}D ．{0，1，2，3} 【考点】交集及其运算．菁优网版权所有【专题】计算题；集合思想；综合法；集合；数学运算． 【答案】D【分析】可以求出集合A ，然后进行交集的运算即可．【解答】解：∵A ＝{x|﹣1＜x ＜5}，B ＝{﹣1，0，1，2，3，5}， ∴A ∩B ＝{0，1，2，3}． 故选：D ．【点评】本题考查了描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．14．（2020秋•汕头期末）若集合{|A x y ==，{|(35)(27)0}B x x x =+-，则(A B =)A ．5[3，2] B ．(-∞，5]3-C ．[2，7]2 D ．5[3-，2]【答案】D【考点】1E ：交集及其运算【专题】11：计算题；37：集合思想；49：综合法；5J ：集合；65：数学运算 【分析】可以求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可．【解答】解：{|840}{|2}A x x x x =-=，57{|}32B x x =-，5[,2]3AB =-．故选：D ．【点评】本题考查了描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．15．（2021•江西模拟）已知集合{|1}A x Z x =∈>-，集合2{|log 2}B x x =<，则(AB = )A ．{|14}x x -<<B ．{|04}x x <<C ．{0，1，2，3}D ．{1，2，3}【考点】1E ：交集及其运算【专题】11：计算题；37：集合思想；4O ：定义法；5J ：集合；65：数学运算 【分析】求出集合A ，集合B ，由此能求出AB．【解答】解：集合{|1}A x Z x =∈>-， 集合2{|log 2}{|04}B x x x x =<=<<， {1AB ∴=，2，3}，故选：D ．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16．（2018秋•市中区校级月考）已知集合{{}|,|0A x y B x x ===<，则(A B = )A ．{0，4}B ．(0，4]C ．[0，4]D ．(0,4) 【考点】1F ：补集及其运算【专题】11：计算题；49：综合法；65：数学运算；37：集合思想；5J ：集合 【分析】可以求出集合A ，然后进行补集的运算即可． 【解答】解：{|4}A x x =，{|0}B x x =< {|04}[0A B x x ∴==，4]．故选：C ．【点评】考查描述法、区间的定义，以及补集的运算．17．（2020•七星区校级模拟）已知全集2{|980}U x N x x =∈-+<，集合{3A =，4，5，6}，则(UA = )A ．{2，7}B ．{1，2，7}C ．{2，7，8}D ．{1，2，7，8}【考点】1F ：补集及其运算【专题】11：计算题；38：对应思想；4O ：定义法；5J ：集合；65：数学运算 【分析】可求出集合U ，然后进行补集的运算即可．【解答】解：全集2{|980}{|18}{2U x N x x x N x =∈-+<=∈<<=，3，4，5，6，7}，{3A =，4，5，6}； {2U A ∴=，7}．故选：A ．【点评】考查描述法、列举法的定义，以及补集的运算．18．（2021•南昌模拟）若全集{1U =，2，3，4，5，6}，{1M =，3，4}，{2N =，3，4}，则集合()()(U U M N =⋃ ) A ．{5，6} B ．{1，5，6} C ．{2，5，6}D ．{1，2，5，6}【考点】1H ：交、并、补集的混合运算【专题】11：计算题；37：集合思想；4O ：定义法；5J ：集合；65：数学运算 【分析】求出{2U C M =，5，6}，{1U C N =，5，6}，由此能求出集合UUMN．【解答】解：全集{1U =，2，3，4，5，6}，{1M =，3，4}，{2N =，3，4}， {2U C M ∴=，5，6}，{1U C N =，5，6}，∴集合{1UUMN =，2，5，6}．故选：D ．【点评】本题考查并集、补集的求法，考查并集、补集的运算等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 19．（2021•宝鸡模拟）已知集合A ＝{x|x2≤1}，B ＝{x|3x ＜1}，则A ∪（∁RB ）＝（ ） A ．{x|x ＜0} B ．{x|0≤x ≤1} C ．{x|﹣1≤x ＜0} D ．{x|x ≥﹣1} 【考点】交、并、补集的混合运算．菁优网版权所有 【专题】计算题；集合思想；定义法；集合；数学运算． 【答案】D【分析】求出集合A ，B ，得到∁RB ，由此能求出A ∪（∁RB ）． 【解答】解：∵集合A ＝{x|x2≤1}＝{x|﹣1≤x ≤1}， B ＝{x|3x ＜1}＝{x|x ＜0}， ∴∁RB ＝{x|x ≥0}，∴A ∪（∁RB ）＝{x|x ≥﹣1}． 故选：D ． 【点评】本题考查补集、并集的求法，考查补集、并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．20．（2020秋•江阴市校级月考）已知集合2{|340}A x x x =+->，{||1|2}B x x =-<，则()(R A B = )A ．{|11}x x -<B ．{|13}x x -<<C ．{|13}x x <<D ．{|11}x x -<< 【答案】A【考点】交、并、补集的混合运算【专题】计算题；集合思想；综合法；集合；数学运算【分析】可求出集合A ，B ，然后进行交集和补集的运算即可． 【解答】解：{|4A x x =<-或1}x >，{|13}B x x =-<<，{|41}R A x x ∴=-，(){|11}R A B x x =-<．故选：A ．【点评】本题考查了描述法的定义，绝对值不等式和一元二次不等式的解法，交集和补集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．21．（2018•马鞍山三模）命题p ：若a b >，则11a b ->-，则命题p 的否命题为( ) A ．若a b >，则11a b -- B ．若a b ，则11a b -<- C ．若a b ，则11a b -- D ．若a b <，则11a b -<- 【答案】C【考点】四种命题【专题】阅读型；逻辑推理【分析】本题考查的知识点是四种命题，根据若原命题为：若p ，则q ．否命题为：若p ，则q ．我们易得答案．【解答】解：根据否命题的定义：若原命题为：若p ，则q ．否命题为：若p ，则q ． 原命题为“若a b >，则11a b ->-”∴否命题为：若a b ，则11a b --故选：C ．【点评】此题是基础题．若原命题为：若p ，则q ．逆命题为：若q ，则p ．否命题为：若p ，则q ．逆否命题为：若q ，则p ．22．（2020秋•桂林期末）命题“若1x =，则22x <”的否命题是( )A ．“若22x <，则1x =” B ．“若21x ，则1x ≠”C ．“若1x =，则22x >” D ．“若1x ≠，则22x”【考点】25：四种命题间的逆否关系【专题】11：计算题；38：对应思想；4O ：定义法；5L ：简易逻辑；62：逻辑推理 【分析】由四种命题的写法知，“若p ，则q ”的否命题为“若p ⌝，则q ⌝”，写出即可．【解答】解：命题“若1x =，则22x <”的否命题是“若1x ≠，则22x”．故选：D ．【点评】本题考查了四种命题中否命题的写法，注意与命题的否定的区别，属于基础题．23．（2018秋•王益区期末）命题“若1x >，则2220x x -+>”的逆否命题是( )A ．若1x ，则2220x x -+ B ．若2220x x -+>，则1x >C ．若1x <，则2220x x -+> D ．若2220x x -+，则1x【考点】25：四种命题间的逆否关系【专题】11：计算题；38：对应思想；4O ：定义法；5L ：简易逻辑【分析】根据命题“若p ，则q ”的逆否命题是“若q ⌝，则p ⌝”，写出它的逆否命题即可． 【解答】解：根据命题与逆否命题之间的关系，得；命题“若1x >，则2220x x -+>”的逆否命题是“若2220x x -+，则1x ”．故选：D ．【点评】本题考查了四种命题之间的关系应用问题，是基础题目． 24．（2018秋•石家庄期末）下列说法中正确的是( ) A ．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真B ．“a b >”是“a c b c +>+”的充分不必要条件C ．“若220a b +=，则a ，b 全为0．”的逆否命题是“若a ，b 全不为0，则220a b +≠D ．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真 【考点】26：四种命题的真假关系【专题】4O ：定义法；5L ：简易逻辑；38：对应思想【分析】根据一个命题的否命题与它的逆命题互为逆否命题，真假性相同，判断A 正确； 根据题意判断充分性与必要性是否成立，得出B 错误； 根据“若p ，则q ”的逆否命题是“若q ⌝，则p ⌝”，判断C 错误； 根据一个命题的逆命题与它的逆否命题真假性不同，判断D 错误．【解答】解：对于A ，一个命题的否命题与它的逆命题互为逆否命题，它们的真假性相同，A ∴正确；对于B ，“a b >”时“a c b c +>+”成立，“a c b c +>+”时“a b >”也成立，是充要条件，B ∴错误；对于C ，“若220a b +=，则a ，b 全为0”的逆否命题是“若a ，b 不全为0，则220a b +≠”， C ∴错误；对于D ，一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题不一定为真，D ∴错误． 故选：A ．【点评】本题考查了四种命题之间的关系应用问题，是基础题．25．（2019•北京）设函数()cos sin (f x x b x b =+为常数），则“0b =”是“()f x 为偶函数”的()A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【考点】3K ：函数奇偶性的性质与判断；29：充分条件、必要条件、充要条件 【专题】11：计算题；33：函数思想；4O ：定义法；5L ：简易逻辑；65：数学运算 【分析】“0b =” ⇒ “()f x 为偶函数”，“ ()f x 为偶函数” ⇒ “0b =”，由此能求出结果． 【解答】解：设函数()cos sin (f x x b x b =+为常数）， 则“0b =” ⇒ “()f x 为偶函数”， “()f x 为偶函数” ⇒ “0b =”，∴函数()cos sin (f x x b x b =+为常数），则“0b =”是“()f x 为偶函数”的充分必要条件． 故选：C ．【点评】本题考查命题真假的判断，考查函数的奇偶性等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．26．（2020秋•绍兴期末）“1x =”是“21x =”的( )C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【考点】充分条件、必要条件、充要条件 【专题】规律型【分析】先判断由1x =能否推出“21x =”，再判断由“21x =”成立能否推出“1x = “成立，利用充要条件的定义判断出结论．【解答】解：当1x =成立则“21x =”一定成立反之，当“21x =”成立则1x =±即1x =不一定成立∴ “1x =”是“21x =”的充分不必要条件故选：A ．【点评】判断一个条件是另一个条件的什么条件，首先弄清哪一个是条件；再判断前者是否推出后者，后者成立是否推出前者成立，利用充要条件的定义加以判断． 27．（2020秋•扬中市校级期末）110a +>是1a <-成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【考点】充分条件、必要条件、充要条件 【专题】转化法；简易逻辑；对应思想【分析】解不等式11a >-，根据集合的包含关系判断即可． 【解答】解：由11a >-，得：10a a +>，解得：0a >或1a <-，故11a >-是1a <-成立的必要不充分条件，故选：B ．【点评】本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系，是一道基础题．28．（2020秋•大通县期末）“3x ”是“27120x x -+”的( )C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【考点】充分条件、必要条件、充要条件【专题】计算题；对应思想；定义法；简易逻辑；逻辑推理 【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：“27120x x -+，解得3x 或4x ，则“3x ”是“27120x x -+”的充分不必要条件，故选：A ．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础． 29．（2020秋•杨浦区期末）“{1m ∈，2}”是“1lnm <”成立的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件【专题】36：整体思想；49：综合法；5L ：简易逻辑；65：数学运算 【分析】先求出命题所对应的集合，讨论集合之间的包含关系，得出结论． 【解答】解：10lnm m e <⇔<<， {1，2}(0,)e ，∴ “{1m ∈，2}”是“1lnm <”成立的充分非必要条件，故选：A ．【点评】本题考查解不等式，简易逻辑，属于基础题．30．（2020秋•张家界期末）设x R ∈，则“1x >”是“11x <”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【考点】充分条件、必要条件、充要条件【专题】计算题；对应思想；定义法；简易逻辑 【分析】利用充要条件的判断方法判断选项即可． 【解答】解：“11x <”解得0x <或1x >，故“1x >”是“11x <”的充分不必要条件，故选：A ．【点评】本题考查充要条件的判断，基本知识的考查．31．（2020秋•通化县期末）“3a =”是“直线220ax y a ++=和直线3(1)70x a y a +--+=平行”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件 【答案】A【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件 【专题】5L ：简易逻辑【分析】若“3a =”成立，判断出两直线平行；反之，当“两直线平行”成立时，得到3a =或2a =-；利用充要条件的有关定义得到结论．【解答】解：若“3a =”成立，则两直线的方程分别是3260x y ++=与3240x y ++=，两直线平行；反之，当“直线220ax y a ++=与直线3(1)70x a y a +--+=平行”成立时，有231a a =-，且27a a ≠-+，所以3a =或2a =-；所以“3a =”是“直线210ax y --=与直线640x y c -+=平行”的充分不必要条件， 故选：A ．【点评】题考查两直线平行的条件和性质，充分条件、必要条件的定义和判断方法．32．（2019•绵阳模拟）已知命题0:p x R ∃∈，使得0cos 0lg x >；命题:0q x ∀<，30x>，则下列命题为真命题的是( ) A ．p q ∧B ．()p q ∨⌝C ．()()p q ⌝∧⌝D ．p q ∨【考点】2A ：逻辑联结词“或”、“且”、“非”【专题】11：计算题；62：逻辑推理；5L ：简易逻辑；38：对应思想；4R ：转化法【分析】先判断p ，q 的真假，再利用复合命题真假性的判定方法得出选项． 【解答】解：命题0:p x R ∃∈，使得0cos 0lg x >，1cos 1x -，cos 0lg x ∴，∴命题p 为假命题，命题:0q x ∀<，30x>，是真命题，p q ∴∧为假命题，()p q ∨⌝为假命题，()()p q ⌝∧⌝为假命题，p q ∨真命题，故选：D ．【点评】本题考查符合命题真假性的判断．一般化为组成符合命题的基本命题真假性．考查逻辑推理，运算求解能力．33．（2019春•沙坪坝区校级期末）命题p ：“关于x 的方程220x ax ++=的一个根大于1，另一个根小于1” 命题q ：“函数1()1x x h x e +=-的定义域内为减函数”．若p q ∨为真命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．(3,)-+∞ B ．(,3)-∞- C ．(-∞，3] D ．R 【考点】2E ：复合命题及其真假【专题】49：综合法；53：导数的综合应用；33：函数思想；5L ：简易逻辑【分析】求出命题p 为真命题的a 的范围，再由导数研究函数()h x 的单调性，可得命题q 为假命题，由p q ∨为真命题，得p 为真命题，由此可得a 的范围．【解答】解：由关于x 的方程220x ax ++=的一个根大于1，另一个根小于1，得2120a ++<，则3a <-，即:3p a <-；由1()1x x h x e +=-，得2211()(0)(1)(1)x x x x x x e xe e xe h x x e e ---+'==-≠--．当0x >时，()0h x '<，当0x <时，令()1x g x xe =--，()(1)xg x e x '=-+， 若1x <-时，()0g x '>，若10x -<<时，()0g x '<， ()g x ∴在(,1)-∞-上单调递增，在(1,0)-上单调递减． ∴1()(1)10max g x g e =-=-<，即()0h x '<．()h x ∴在(,0)-∞上为单调减函数，在(0,)+∞上为单调减函数．∴命题q 为假命题．要使p q ∨为真命题，则命题p 为真命题，即3a <-．∴实数a 的取值范围是(,3)-∞-．故选：B ．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查复合命题的真假判断，考查计算能力，属中档题．34．（2018秋•通化期末）已知命题:p y R ∀∈，使得2451y y -+，命题0:q x R ∃∈，使得200220x x ++=，则下列命题是真命题的是( ) A ．p ⌝ B ．p q ⌝∨C ．p q ∧D ．p q ∨【考点】2E ：复合命题及其真假 【专题】11：计算题；5L ：简易逻辑【分析】由配方法得：2245(2)11y y y -+=-+，即命题p 为真命题，2222(1)11x x x ++=++，即命题q 为假命题，得解【解答】解：由2244(2)0y y y -+=-，2245(2)11y y y -+=-+，即命题p 为真命题， 由2222(1)11x x x ++=++，。
2021年新高考新题型之高考数学多项选择题专项训练
目录专题01 集合与常用逻辑用语（解析版）专题02 函数（1）（解析版）专题03 函数（2）（解析版）专题04 函数（3）（解析版）专题05 导数及其应用（解析版）专题06 不等式（解析版）专题07 数列（1）（解析版）专题08 数列（2）（解析版）专题09 平面向量（解析版）专题10 复数、推理与证明（解析版）专题11 排列组合和概率统计（解析版）专题12 三角函数（1）（解析版）专题13 三角函数（2）（解析版）专题14 三角函数（3）（解析版）专题15 平面解析几何（1）（解析版）专题16 平面解析几何（2）（解析版）专题17 平面解析几何（3）（解析版）专题18 立体几何（1）（解析版）专题19 立体几何（2）（解析版）专题20 立体几何（3）（解析版）专题01 集合与常用逻辑用语多项选择题1．（2019秋•启东市期末）已知全集U R =，集合A ，B 满足A B Ü，则下列选项正确的有()A ．AB B= B ．A B B= C ．()U A B =∅ ðD ．()U A B =∅ ð【分析】利用A B Ü的关系即可判断．【解答】解：A B Ü，A B A ∴= ，A B B = ，()U C A B =≠∅ ，()U A C B =∅ ， 故选：BD ．2．（2019秋•宿迁期末）已知集合[2A =，5)，(,)B a =+∞．若A B ⊆，则实数a 的值可能是( ) A ．3−B ．1C ．2D ．5【分析】利用A B ⊆，求出a 的范围，即可判断． 【解答】解：A B ⊆ ， 2a ∴<，故选：AB ．3．（2019秋•临高县校级期末）已知{A =第一象限角}，{B =锐角}，{C =小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是( )A ．B AC = B ．B C C = C ．B A B =D ．A B C ==【分析】可看出，“小于90°的角“和”第一象限的角“都包含”锐角“，从而可判断出选项B ，C 都正确；而小于90°的角里边有小于0°的角，而小于0°的角里边有第一象限角，从而可判断选项A 错误，而选项D 显然错误，从而可得出正确的选项．【解答】解： “小于90°的角”和“第一象限角”都包含“锐角”，B C ∴⊆，B A ⊆B C C ∴= ，B A B = ；“小于90°的角“里边有”第一象限角”，从而B A C ≠ ． 故选：BC ．4．（2019秋•聊城期末）若“2340x x +−<”是“22(23)30x k x k k −+++>”的充分不必要条件，则实数k 可以是( ) A ．8−B ．5−C ．1D ．4【分析】分别解出” 2340x x +−<”，“ 22(23)30x k x k k −+++>”，根据2340x x +−<”是“22(23)30x k x k k −+++>”的充分不必要条件，即可得出． 【解答】解：“2340x x +−<” 43x ⇔−<<． “22(23)30x k x k k −+++>” x k ⇔<，或3x k >+．“2340x x +−<”是“22(23)30x k x k k −+++>”的充分不必要条件，3k ∴…，或43k −+…，解得：3k …，或7k −…， 则实数k 可以是AD ． 故选：AD ．5．（2019秋•临沂期末）对于①sin 0θ>，②sin 0θ<，③cos 0θ>，④cos 0θ<，⑤tan 0θ>，⑥tan 0θ<，则θ为第二象限角的充要条件为( ) A ．①③B ．①④C ．④⑥D ．②⑤【分析】根据三角函数角的符号和象限之间的关系分别进行判断即可． 【解答】解：假设θ为象限角则①sin 0θ>，则θ为第一象限角或θ为第二象限角， ②sin 0θ<，则θ为第三象限角或θ为第四象限角 ③cos 0θ>，则θ为第一象限角或θ为第四象限角 ④cos 0θ<，则θ为第二象限角或θ为第三象限角 ⑤tan 0θ>，则θ为第一象限角或θ为第三象限角 ⑥tan 0θ<，则θ为第二象限角或θ为第四象限角， 若θ为第二象限角，则①④可以④⑥可以， 故选：BC ．6．（2019秋•泰安期末）下列选项中，p 是q 的必要不充分条件的是( )A ．:37p m <<；q ：方程22173x y m m +=−−的曲线是椭圆B ．:8p a …；q ：对[1x ∀∈，3]不等式20x a −…恒成立C ．设{}n a 是首项为正数的等比数列，p ：公比小于0；q ：对任意的正整数n ，2120n n a a −+<D ．已知空间向量(0a = ，1，1)−，(b x = ，0，1)−，:1p x =；q ：向量a与b 的夹角是3π【分析】A ，根据椭圆的方程以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可；B ，求出，[1x ∀∈，3]不等式20x a −…恒成立等价于2a x …恒成立，即等价于9a …，即可判断；C ，根据等比数列的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可；D ，根据空间两向量的夹角大小求出x 的值，再根据充分必要条件的定义即可判断；【解答】解：A ，若方程22173x y m m +=−−的曲线是椭圆， 则703073m m m m −>−> −≠−，即37m <<且5m ≠， 即“37m <<”是“方程22173x y m m +=−−的曲线是椭圆”的必要不充分条件； B ，[1x ∀∈，3]不等式20x a −…恒成立等价于2a x …恒成立，等价于9a …； ∴ “8a …”是“对[1x ∀∈，3]不等式20x a −…恒成立”必要不充分条件； :{}n C a 是首项为正数的等比数列，公比为q ，∴当11a =，12q =−时，满足0q <，但此时12111022a a +=−=>，则2120n n a a −+<不成立，即充分性不成立，反之若2120n n a a −+<，则2221110n n a q a q −−+< 10a > ，22(1)0n q q −∴+<，即10q +<，则1q <−，即0q <成立，即必要性成立，则“0q <”是“对任意的正整数n ，2120n n a a −+<”的必要不充分条件．D ：空间向量(0a =，1，1)−，(b x = ，0，1)−，则001a b =++ ， cos a ∴<，1cos 32||||a bb a b π>===×，解得1x =±，故“1x =”是“向量a与b 的夹角是3π”的充分不必要条件．故选：ABC ．7．（2019秋•青岛期末）已知集合{(M x =，)|()}y y f x =，若对于1(x ∀，1)y M ∈，2(x ∃，2)y M ∈，使得12120x x y y +=成立，则称集合M 是“互垂点集”．给出下列四个集合：21{(,)|1}M x y y x ==+；{2(,)|M x y y ==；3{(,)|}x M x y y e =；4{(,)|sin 1}M x y y x ==+．其中是“互垂点集”集合的为( )A ．1MB ．2MC ．3MD ．4M【分析】根据题意即对于任意点1(P x ∀，1)y ，在M 中存在另一个点P ′，使得OP OP ⊥′．，结合函数图象进行判断．【解答】解：由题意，对于1(x ∀，1)y M ∈，2(x ∃，2)y M ∈，使得12120x x y y +=成立即对于任意点1(P x ∀，1)y ，在M 中存在另一个点P ′，使得OP OP ⊥′．21y x =+中，当P 点坐标为(0,1)时，不存在对应的点P ′．所以所以1M 不是“互垂点集”集合，y=所以在2M 中的任意点1(P x ∀，1)y ，在2M 中存在另一个点P ′，使得OP OP ⊥′ ． 所以2M 是“互垂点集”集合，x y e =中，当P 点坐标为(0,1)时，不存在对应的点P ′．所以3M 不是“互垂点集”集合，sin 1y x =+的图象中，将两坐标轴进行任意旋转，均与函数图象有交点， 所以所以4M 是“互垂点集”集合， 故选：BD ．8．（2019秋•淮安期末）已知函数2()43f x x x =−+，则()0f x …的充分不必要条件是( ) A ．[1，3]B ．{1，3}C ．(−∞，1][3 ，)+∞D ．(3,4)【分析】由()0f x …，得2430x x −+…，解得3x …或1x …．由此能求出()0f x …的充分不必要条件． 【解答】解：函数2()43f x x x =−+，由()0f x …，得2430x x −+…， 解得3x …或1x …．()0f x ∴…的充分不必要条件是{1，3}和(3,4)， 故选：BD ．9．（2019秋•镇江期末）使不等式110x+>成立的一个充分不必要条件是( ) A ．2x > B ．0x …C ．1x <−或1x >D ．10x −<<【分析】不等式110x+>，即10x x +>，(1)0x x +>，解得x 范围，即可判断出结论． 【解答】解：不等式110x +>，即10x x+>，(1)0x x ∴+>，解得0x >，或1x <−． 使不等式110x+>成立的一个充分不必要条件是：2x >．及1x <−，或1x >． 故选：AC ．10．（2019秋•连云港期末）已知p ，q 都是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，则( ) A ．p 是q 的既不充分也不必要条件 B ．p 是s 的充分条件 C ．r 是q 的必要不充分条件 D ．s 是q 的充要条件【分析】由已知可得p r s q ⇒⇒⇒；q r s ⇒⇒，然后逐一分析四个选项得答案． 【解答】解：由已知得：p r s q ⇒⇒⇒；q r s ⇒⇒．p ∴是q 的充分条件；p 是s 的充分条件；r 是q 的充要条件；s 是q 的充要条件．∴正确的是B 、D ．故选：BD ．11．（2019秋•苏州期末）已知集合{|2}A x ax =…，{2B =，若B A ⊆，则实数a 的值可能是( ) A ．1−B ．1C ．2−D ．2【分析】通过集合的包含关系，判断元素的关系，通过选项的代入判断是否成立．【解答】解：因为集合{|2}A x ax =…，{2B =，B A ⊆， 若1a =−，[2A −，)+∞，符合题意，A 对； 若1a =，(A −∞，2]，符合题意，B 对； 若2a =−，[1A −，)+∞，符合题意，C 对；若1a =，(A −∞，1]，不符合题意，D 错； 故选：ABC ．12．（2019秋•济宁期末）下列命题中的真命题是( ) A ．x R ∀∈，120x −> B ．*x N ∀∈，2(1)0x −> C ．x R ∃∈，1lgx <D ．x R ∃∈，tan 2x =【分析】根据指数函数的值域，得到A 项正确；根据一个自然数的平方大于或等于0，得到B 项不正确；根据对数的定义与运算，得到C 项正确；根据正弦函数tan y x =的值域，得D 项正确．由此可得本题的答案．【解答】解： 指数函数2t y =的值域为(0,)+∞∴任意x R ∈，均可得到120x −>成立，故A 项正确；当*x N ∈时，1x N −∈，可得2(1)0x −…，当且仅当1x =时等号 ∴存在*x N ∈，使2(1)0x −>不成立，故B 项不正确；当1x =时，01lgx =<∴存在x R ∈，使得1lgx <成立，故C 项正确；正切函数tan y x =的值域为R∴存在锐角x ，使得tan 2x =成立，故D 项正确 故选：ACD ．13．（2019秋•薛城区校级月考）已知集合{|1}A x ax ==，{0B =，1，2}，若A B ⊆，则实数a 可以为( ) A ．12B ．1C ．0D ．以上选项都不对【分析】由子集定义得A =∅或{1}A =或{2}A =，从而1a 不存在，11a=，12a =，由此能求出实数a ．【解答】解： 集合{|1}A x ax ==，{0B =，1，2}，A B ⊆， A ∴=∅或{1}A =或{2}A =，∴1a 不存在，11a=，12a =，解得1a =，或1a =，或12a =． 故选：ABC ．14．（2019秋•桥西区校级月考）设集合2{|0}A x x x =+=，则下列表述不正确的是( ) A ．{0}A ∈B ．1A ∉C ．{1}A −∈D ．0A ∈【分析】求出集合2{|0}{0A x x x =+==，1}−，利用元素与集合的关系能判断正确结果． 【解答】解：集合2{|0}{0A x x x =+==，1}−， 0A ∴∈，1A −∈，{0}A ⊂，{1}A −⊂，1A ∉． AC ∴选项均不正确，BD 选项正确．故选：AC ．15．（2019秋•葫芦岛月考）已知集合2{|20}Ax x x =−=，则有( ) A ．A ∅⊆B ．2A −∈C ．{0，2}A ⊆D ．{|3}A y y ⊆<【分析】可以求出集合A ，根据子集的定义及元素与集合的关系即可判断每个选项的正误． 【解答】解：{0A = ，2}，A ∴∅⊆，2A −∉，{0，2}A ⊆，{|3}A y y ⊆<．故选：ACD ．16．（2019秋•临淄区校级月考）设全集U ，则下面四个命题中是“A B ⊆”的充要条件的命题是( ) A ．A B A =B ．U UA B ⊇痧C ．U B A =∅ ðD ．U A B =∅ ð【分析】根据集合的补集，两个集合的交集、并集的定义，再由充要条件的定义判断哪些选项符合条件． 【解答】解：对于选项A ，由A B A = ，可得A B ⊆．由A B ⊆ 可得A B A = ，故选项A ，A B A = 是命题A B ⊆的充要条件，故A 满足条件． 对于选项B ，由S SA B ⊇痧 可得A B ⊆，由A B ⊆ 可得S SA B ⊇痧，故S SA B ⊇痧 是命题A B ⊆的充要条件，故B 满足条件．对于选项C ，由S B A φ= ð，可得A B ⊆，由A B ⊆ 可得S B A φ= ð，故S B A φ= ð 是命题A B ⊆的充要条件，故C 满足条件．对于选项D ，由S A B φ= ð，可得B A ⊆，不能退出A B ⊆，故选项D ，S A B φ= ð不是命题A B ⊆的充要条件，故D 不满足条件． 故选：ABC ．17．（2019秋•葫芦岛月考）已知集合{||4}A x Z x =∈<，B N ⊆，则( )A ．集合B N N =B ．集合A B 可能是{1，2，3}C ．集合A B 可能是{1−，1}D ．0可能属于B【分析】根据Z ，N 的定义，及集合元素的特点进行逐一判断即可． 【解答】解：因为B N ⊆，所以B N N = ，故A 正确．集合A 中一定包含元素1，2，3，集合B N ⊆，1，2，3都属于集合N ，所以集合A B 可能是{1，2，3}正确．1−不是自然数，故C 错误．0是最小的自然数，故D 正确． 故选：ABD ．18．（2019秋•市中区校级月考）给出下列关系，其中正确的选项是( ) A ．{{}}∅∈∅B ．{{}}∅∉∅C ．{}∅∈∅D ．{}∅⊆∅【分析】根据元素与集合的关系，集合并集的运算，空集是任何集合的子集即可判断每个选项的正误． 【解答】解：显然∅不是集合{{}}∅的元素，A ∴错误；∅不是集合{{}}∅的元素，∅是{}∅的元素，∅是任何集合的子集，从而得出选项B ，C ，D 都正确．故选：BCD ．19．（2019秋•罗庄区期中）给出下列四个条件：①22xt yt >；②xt yt >；③22x y >；④110x y<<．其中能成为x y >的充分条件的是( ) A ．①B ．②C ．③D ．④【分析】首先分清条件与结论，条件是所选答案，结论是x y >，充分性即为所选答案推出x y >． 【解答】解：①．由22xt yt >可知，20t >，故x y >．故①是．②．由xt yt >可知，0t ≠，当0t <时，有x y <；当0t >时，有x y >．故②不是． ③由22x y >，则||||x y >，推不出x y >，故③不是； ④．由110x y <<．由函数1y x=在区间(0,)+∞上单调递减，可得0x y >>，故④是． 故选：AD ．20．（2019秋•宁阳县校级期中）若220x x −−<是2x a −<<的充分不必要条件，则实数a 的值可以是( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】求解一元二次不等式，把若220x x −−<是2x a −<<的充分不必要条件转化为(1−，2)(2−Ü，)a ，由此得到a 的范围，则答案可求．【解答】解：由220x x −−<，解得12x −<<． 又220x x −−<是2x a −<<的充分不必要条件，(1∴−，2)(2−Ü，)a ，则2a …． ∴实数a 的值可以是2，3，4． 故选：BCD ．21．（2019秋•薛城区校级期中）若集合M N ⊆，则下列结论正确的是( ) A ．M N M =B ．M N N =C ．M M N ⊆D ．M N N ⊆【分析】利用子集、并集、交集的定义直接求解． 【解答】解： 集合M N ⊆， ∴在A 中，M N M = ，故A 正确；在B 中，M N N = ，故B 正确； 在C 中，M M N ⊆ ，故C 正确； 在D 中，M N N ⊆ ，故D 正确． 故选：ABCD ．22．（2019秋•凤城市校级月考）下列命题正确的有( ) A ．A ∅=∅ B ．()U UU A B A B = 痧?C ．A B B A =D ．()U U A A =痧【分析】利用集合的交、并、补运算法则直接求解． 【解答】解：在A 中，A A ∅= ，故A 错误； 在B 中，()()()U U U A B A B = 痧?，故B 错误； 在C 中，A B B A = 同，故C 正确； 在D 中，()U U A A =痧，故D 正确． 故选：CD ．23．（2019秋•北镇市校级月考）已知集合{2M −，2334x x +−，24}x x +−，若2M ∈，则满足条件的实数x 可能为( ) A ．2B ．2−C ．3−D ．1【分析】根据集合元素的互异性2M ∈必有22334x x =+−或224x x =+−，解出后根据元素的互异性进行验证即可．【解答】解：由题意得，22334x x =+−或224x x =+−， 若22334x x =+−，即220x x +−=， 2x ∴=−或1x =，检验：当2x =−时，242x x +−=−，与元素互异性矛盾，舍去； 当1x =时，242x x +−=−，与元素互异性矛盾，舍去． 若224x x =+−，即260x x +−=， 2x ∴=或3x =−， 经验证2x =或3x =−为满足条件的实数x ． 故选：AC ．24．已知集合{|32A x x a b ==+，a ，}b Z ∈，{|23B x x a b ==−，a ，}b Z ∈，则( ) A ．A B ⊆B ．B A ⊆C ．A B =D ．A B =∅【分析】利用集合的基本关系可判断集合的关系．【解答】解：已知集合{|32A x x a b ==+，a ，}b Z ∈，{|23B x x a b ==−，a ，}b Z ∈， 若x 属于B ，则：233*(2)2*(2)x a b a b a =−=−+−； 2a b −、2a −均为整数，x 也属于A ，所以B 是A 的子集；若x 属于A ，则：322*(3)3*x a b a b =+=+−（a ）； 3a b +、a 均为整数，x 也属于B ，所以A 是B 的子集；所以：A B =， 故选：ABC ．25．已知集合2{|10}A x x =−=，则下列式子表示正确的有( ) A ．{1}A ∈B ．1A −⊆C ．A ∅⊆D ．{1，1}A −⊆【分析】利用集合与集合基本运算求出A 集合，再由集合与集合的关系，元素与集合的关系判断可得答案， 【解答】解：已知集合2{|10}{1A x x =−==−，1}，由集合与集合的关系，元素与集合的关系判断可得：以上式子表示正确的有：A ∅⊆，{1，1}A −⊆． 故选：CD ．26．已知集合{|13}A x x =−<…，集合{|||2}B x x =…，则下列关系式正确的是( ) A ．A B =∅B ．{|23}A B x x =− 剟C ．{|1R A B x x =− …ð或2}x >D ．{|23}R A B x x =< …ð【分析】求解绝对值不等式化简集合B ，再利用交、并、补集的运算性质逐一分析四个选项得答案． 【解答】解：{|13}A x x =−< …，{|||2}{|22}B x x x x ==−剟?， {|13}{|22}{|12}A B x x x x x x ∴=−<−=−< 剟剟，故A 不正确； {|13}{|22}{|23}A B x x x x x x =−<−=− 剟剟?，故B 正确； {|2R Bx x =<− ð或2}x >， {|13}{|2R A B x x x x ∴=−<<− …ð或2}{|2x x x >=<−或1}x >−，故C 不正确； {|13}{|2R A B x x x x =−<<− …ð或2}{|23}x x x >=<…，故D 正确．∴正确的是B ，D ．故选：BD ．27．下列命题正确的是( )A ．“26x <<”是“24120x x −−<”的必要不充分条件B ．函数()tan 2f x x =的对称中心是(2k π，0)()k Z ∈ C ．“x R ∀∈，3210x x −+…”的否定是“x R ∃∈，3210x x −+>”D ．设常数a 使方程sin x x a +=在闭区间[0，2]π上恰有三个解1x ，2x ，3x 则12373x x x π++=【分析】A 由24120x x −−<，解得26x −<<，可得“26x <<”是“24120x x −−<”的充分不必要条件； B 由tan 20x =，解得2x k π=，即2k x π=，()k Z ∈，即可得出函数()tan 2f x x =的对称中心； C 取1x =−，则32110x x −+=−<，即可判断出；:sin D x x a +=化为sin()32ax π+=，由于常数a 使方程sin x x a +=在闭区间[0，2]π上恰有三个解1x ，2x ，3x ，则2a =，解得即可． 【解答】解：由24120x x −−<，解得26x −<<，因此“26x <<”是“24120x x −−<”的充分不必要条件，A不正确；由tan 20x =，解得2x k π=，即2k x π=，()k Z ∈因此函数()tan 2f x x =的对称中心是(2k π，0)()k Z ∈，B 正确；取1x =−，则32110x x −+=−<，因此“x R ∀∈，3210x x −+>” C 不正确；sin x x a =化为sin()32ax π+=，由于常数a 使方程sin x x a +=在闭区间[0，2]π上恰有三个解1x ，2x ，3x ，则2a=，解得33x ππ+=，3ππ−，23ππ+，12373x x x π∴++=，D 正确． 故选：BD ．28．有限集合S 中元素的个数记做()card S ，设A ，B 都为有限集合，下列命题中真命题是( ) A ．A B =∅ 的充要条件是()card A B card = （A ）card +（B ）B ．A B ⊆的必要条件是card （A ）card …（B ）C ．A B à的充要条件是card （A ）card …（B ）D ．A B =的充要条件是card （A ）card =（B ）【分析】分清集合之间的关系与各集合元素个数之间的关系，注意本题对充要条件的考查．集合的元素个数，体现两个集合的关系，但仅凭借元素个数不能判断集合间的关系，比如第四个句子元素个数相等，元素不一定相同．【解答】解：?A B =∅ 集合A 与集合B 没有公共元素，A 正确A B ⊆集合A 中的元素都是集合B 中的元素，B 正确A B à集合A 中至少有一个元素不是集合B 中的元素，因此A 中元素的个数有可能多于B 中元素的个数，C错误A B =集合A 中的元素与集合B 中的元素完全相同，两个集合的元素个数相同，并不意味着它们的元素相同，D 错误故选：AB ．29．使“a b <”成立的必要不充分条件是“( )”A ．0x ∀>，a b x +…B ．0x ∃…，a x b +<C ．0x ∀…，a b x <+D ．0x ∃>，a x b +… 【分析】根据不等式的关系结合必要不充分条件分别进行判断即可．【解答】解：若a b <，0x ∀>，则a x b x +<+，a a x <+ ，a a xb x ∴<+<+，即a b x <+，则a b x +…不一定成立；故A 错误，若a b <，当2a =，4b =，10x ∃=…，有a x b +<成立，反之不一定成立；故B 满足条件．0x ∀…，由a b <得a x b x +<+， 0x …，a x a ∴+…，即a a x b x +<+…则a b x <+成立，故C 满足条件，若a b <，当2a =，3b =，10x ∃=>，有a x b +…成立，反之不一定成立；故D 满足条件． 故选：BCD ．30．在下列结论中正确的是( )A ．“p q ∧”为真是“p q ∨”为真的充分不必要条件B ．“p q ∧”为假是“p q ∨”为真的充分不必要条件C ．“p q ∧”为真是“p ¬”为假的充分不必要条件D ．“p ¬”为真是“p q ∧”为假的充分不必要条件 【分析】利用复合命题真假的判定方法即可判断出结论．【解答】解：“p q ∧”为真是“p q ∨”为真的充分不必要条件，A 正确； “p q ∧”为假是“p q ∨”为真的充分不必要条件，B 不正确； “p q ∧”为真是“p ¬”为假的充分不必要条件，C 正确；“p ¬”为真，p 为假⇒ “p q ∧”为假，反之不成立，可能q 为假，p 为真，因此“p ¬”为真是“p q ∧”为假的充分不必要条件，D 正确． 故选：ACD ．专题02 函数（1）多项选择题1．（2019秋•清江浦区校级期末）已知函数()f x 是偶函数，且(5)(5)f x f x −=+，若()()sin g x f x x π=，()()cos h x f x x π=，则下列说法正确的是( ) A ．函数()y g x =是偶函数 B ．10是函数()f x 的一个周期C ．对任意的x R ∈，都有(5)(5)g x g x +=−D ．函数()y h x =的图象关于直线5x =对称【分析】根据题意，依次分析选项，综合即可得答案． 【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，()()sin g x f x x π=，()()sin ()()sin g x f x x f x x ππ−=−−=−−，又由函数()f x 是偶函数，则()()sin g x f x x π−=−， 即函数()g x 为奇函数，A 错误对于B ，由于()f x 是偶函数，且(5)(5)f x f x −=+，得(5)(5)(5)f x f x f x −=+=−，即(10)()f x f x +=， 则()f x 是周期为10的周期函数，所以(10)(10)cos(10)()cos ()h x f x x f x x h x πππ+=++==， 则()y h x =是的最小正周期为10，故B 正确；对于C ，(5)(5)sin((5))(5)sin(5)(5)(sin )(5)(sin )(5)sin (5)g x f x x f x x f x x f x x f x x g x ππππππ+=++=−+=−−=−−−=−=−，故C 正确；对于D ，(5)(5)cos(55)(5)cos(55)(5)cos(5510)(5)cos(55)(5)h x f x x f x x f x x f x x h x πππππ−=−−=+−=+−+=++=+， 所以函数()y h x =的图象关于直线5x =对称，D 正确； 故选：BCD ．2．（2019秋•胶州市期末）下列函数是偶函数的是( ) A ．()tan f x x =B ．()sin f x x =C ．()cos f x x =D ．()||f x lg x =【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性，综合即可得答案． 【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，()tan f x x =，是正切函数，是奇函数，不符合题意； 对于B ，()sin f x x =，是正弦函数，是奇函数，不符合题意； 对于C ，()cos f x x =，是余弦函数，是偶函数，符合题意；对于D ，()||f x lg x =，其定义域为{|0}x x ≠有()||||()f x lg x lg x f x −=−==，是偶函数，符合题意； 故选：CD ．3．（2019秋•菏泽期末）对数函数log (0a y x a >且1)a ≠与二次函数2(1)y a x x =−−在同一坐标系内的图象不可能是( )A ．B ．C ．D ．【分析】对a 分类讨论，利用对数函数的单调性、二次函数的性质即可判断出结论．【解答】解：若1a >，则对数函数log a y x =在(0,)+∞上单调递增，二次函数2(1)y a x x =−−开口向上，对称轴102(1)xa >−，经过原点，可能为A ，不可能为B ．若01a <<，则对数函数log a y x =在(0,)+∞上单调递减，二次函数2(1)y a x x =−−开口向下，对称轴102(1)xa <−，经过原点，可能为C ，不可能为D ．故选：BD ．4．（2019秋•龙岩期末）函数()f x 的定义域为R ，且(1)f x −与(2)f x −都为偶函数，则( ) A ．()f x 为偶函数 B ．(1)f x +为偶函数C ．(2)f x +为奇函数D ．()f x 为同期函数【分析】根据题意，由(1)f x −为偶函数，可得函数()f x 的图象关于直线1x =−对称，则有()(2)f x f x −−，由(2)f x −都为偶函数，可得函数()f x 的图象关于直线2x =−对称，则有()(4)f x f x −−，联立分析可得(2)()f x f x +=，即函数()f x 是周期为2的周期函数，据此分析可得()f x 和(1)f x +为偶函数，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，若(1)f x −为偶函数，即函数()f x 的图象关于直线1x =−对称，则有()(2)f x f x −−， 若(2)f x −都为偶函数，即函数()f x 的图象关于直线2x =−对称，则有()(4)f x f x −−，则有(2)(4)f x f x −−−−，变形可得(2)()f x f x +=，即函数()f x 是周期为2的周期函数，则D 正确； 又由函数()f x 的图象关于直线2x =−对称且()f x 的周期为2，则()f x 的图象也关于y 轴对称，即()f x 为偶函数，A 正确；又由函数()f x 的图象关于直线1x =−对称且()f x 的周期为2，则()f x 的图象也关于直线1x =对称，即(1)f x +为偶函数，B 正确； 同理：(2)f x +为偶函数，C 错误； 故选：ABD ．5．（2019秋•启东市期末）下列函数中，既是偶函数，又在区间(,0)−∞上单调递减的函数是( ) A．y =B ．||1()2x y =C ．121log ||y x = D ．sin y x =【分析】结合奇偶性及单调性的定义，再结合指数与对数函数，幂函数及余弦函数的性质即可判断．【解答】解；结合幂函数的性质可知y =(,0)−∞上单调递减，符合题意； 结合指数函数的性质可知，||1()2x y =在(,0)−∞上单调递增，不符合题意；结合对数函数的性质可知，121log (,0)||y x −∞上单调递减且为偶函数，符合题意；结合正弦函数的性质可知sin y x =为奇函数，不符合题意． 故选：AC ．6．（2019秋•淮安期末）下列函数中定义域是R 的有( ) A ．2x y =B ．y lgx =C ．3y x =D ．tan y x =【分析】根据常见的基本初等函数的定义域，判断是否满足题意即可． 【解答】解：对于A ，函数2x y =，定义域为R ，满足题意； 对于B ，函数y lgx =，定义域为(0,)+∞，不满足题意； 对于C ，函数3y x =，定义域为R ，满足题意； 对于D ，函数tan y x =，定义域为(2k ππ−+，)2k ππ+，k Z ∈，不满足题意．故选：AC ．7．（2019秋•泰州期末）德国数学家狄里克雷(Dirichlet ，PeterGustavLejeune ，1805~1859)在1837年时提出：“如果对于x 的每一个值，y 总有一个完全确定的值与之对应，那么y 是x 的函数．”这个定义较清楚地说明了函数的内涵．只要有一个法则，使得取值范围中的每一个x ，有一个确定的y 和它对应就行了，不管这个法则是用公式还是用图象、表格等形式表示，例如狄里克雷函数()D x ，即：当自变量取有理数时，函数值为1；当自变量取无理数时，函数值为0．下列关于狄里克雷函数()D x 的性质表述正确的是( )A ．()0D π=B ．()D x 的值域为{0，1}C ．()D x 的图象关于直线1x =对称D ．()D x 的图象关于直线2x =对称【分析】结合已知定义可写出函数解析式，然后结合函数的性质即可判断． 【解答】解：由题意可得()0,1,x D x x Q =∈为无理数， 由于π为无理数，则()0D π=，故A 正确；结合函数的定义及分段函数的性质可知，函数的值域{0，1}，故B 正确；结合函数可知，当x Q ∈时，()1D x =关于1x =，2x =都对称，当x 为无理数时，()0D x =关于1x =，2x =都对称． 故选：ABCD ．8．（2019秋•连云港期末）下列函数中，既是奇函数，又在区间[1−，1]上单调递增的是( ) A ．()2f x x =B ．()2x f x =C ．()tan f x x =D ．()cos f x x =【分析】结合基本初等函数的奇偶性及单调性的定义及性质对各选项进行判断． 【解答】解：结合指数函数的性质可知，2x y =为非奇非偶函数，A 不符合题意； cos y x =为偶函数，不符合题；2y x =为奇函数且在[1−，1]上单调递增，符合题意；结合正切函数的性质可知，tan y x =为奇函数且在[1−，1]上单调递增． 故选：AC ．9．（2019秋•三明期末）下列各选项给出的两个函数中，表示相同函数的有( )A ．()f x x =与()g x =B ．()|1|f t t =−与()|1|g x x =−C ．()f x x =与2()log 2xg x =D ．21()1x f x x −=+与()1g x x =−【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断是相同函数．【解答】解：对于A ，函数()f x x =与()||g x x =的解析式不同，表示相同函数；对于B ，函数()|1|f t t =−的定义域为R ，()|1|g x x =−的定义域为R ，定义域相同，对应关系也相同，是相同函数；对于C ，函数()f x x =的定义域为R ，2()log 2g x =x x =的定义域为R ，定义域相同，对应关系也相同，是相同函数；对于D ，函数21()11x f x x x −==−+的定义域为(−∞，1)(1−−∪，)+∞，()1g x x =−的定义域为R ，定义域不同，不是相同函数． 故选：BC ．10．（2019秋•宿迁期末）已知2(21)4f x x −=，则下列结论正确的是( ) A ．f （3）9=B ．(3)4f −=C ．2()f x x =D ．2()(1)f x x =+【分析】利用配凑法求出函数解析式，进而得解．【解答】解：2(21)(21)2(21)1f x x x −=−+−+，故2()21f x x x =++，故选项C 错误，选项D 正确；f （3）16=，(3)4f −=，故选项A 错误，选项B 正确． 故选：BD ．11．（2019秋•泉州期末）已知1(A x ，)m 和2(B x ，)m 为函数()2sin3xf x =的图象上两点，若21||x x k π−=，{1k ∈，2，3，4，5}，则m 的值可能为( )A ．0B ．1CD 【分析】由已知可得()f x 的周期为6π，再分k 的不同取值即可求出结论． 【解答】解：由已知可得()f x 的周期为6π， 当3k =时，如下图所示，此时0m =当2k =或4k =时，如下图所示，结合对称性，此时1m =±当1k =或5k =时，如下图所示，结合对称性，此时m =综上，本题答案为ABD 故选：ABD ．12．（2019秋•清远期末）已知定义在R 上的函数()f x 满足：()()0f x f x +−=，且当0x …时，()1x f x e x =+−．若(sin )((2sin ))f x f k x +…在x R ∈上恒成立，则k 的可能取值为( )A ．1B ．0C ．1−D ．2−【分析】先判断函数的奇偶性和单调性，得到sin (2sin )x k x +…，再根据题意，利用检验法判断即可． 【解答】解：定义在R 上的函数()f x 满足：()()0f x f x +−=，()f x 为奇函数， 当0x …时，()1x f x e x =+−，显然()f x 在(0,)+∞递增，所以()f x 在R 上递增，(sin )((2sin ))f x f k x +…在x R ∈上恒成立， 可得sin (2sin )x k x +…，(1)sin 2k x k −…，当1k =时，02…，不成立，故A 错误；当0k =时，sin 0x …成立，不恒成立，故B 错误；当1k =−时，2sin 2x −…，即sin 1x −…，恒成立，故C 正确； 当2k =−时，3sin 4x −…，即4sin 3x −…恒成立，故D 正确； 故选：CD ．13．（2019秋•海南期末）已知函数2()361f x x x =−−，则( ) A ．函数()f x 有两个不同的零点 B ．函数()f x 在(1,)−+∞上单调递增C ．当1a >时，若()x f a 在[1x ∈−，1]上的最大值为8，则3a =D ．当01a <<时，若()x f a 在[1x ∈−，1]上的最大值为8，则13a =【分析】结合二次函数的零点及单调性及复合函数的单调性与最值的关系分别检验各选项即可判断． 【解答】解：因为二次函数对应的一元二次方程的判别式△2(6)43(1)480=−−××−=>， 所以函数()f x 有两个不同的零点，A 正确；因为二次函数()f x 图象的对称轴为1x =，且图象开口向上， 所以()f x 在(1,)+∞上单调递增，B 不正确； 令x t a =，则22()()3613(1)4x f a g t t t t ==−−=−−． 当1a >时，1t a a 剟，故()g t 在1[,]a a 上先减后增，又112a a +>，故最大值为g （a ）23618a a =−−=，解得3a =（负值舍去）． 同理当01a <<时，1a t a 剟，()g t 在1[,]a a 上的最大值为2136()18g a a a=−−=， 解得13a =（负值舍去）．故选：ACD ．14．（2019秋•滨州期末）已知函数2()23f x x x =−−，则下列结论正确的是( ) A ．函数()f x 的最小值为4− B ．函数()f x 在(0,)+∞上单调递增C ．函数(||)f x 为偶函数D ．若方程(|1|)f x a −=在R 上有4个不等实根1x ，2x ，3x ，4x ，则12344x x x x +++=【分析】由二次函数的性质，可判断选项A ，B 真假，根据奇偶性定义，可判断选项C 真假，作出()y h x =的图象，结合对称性，可判断选项D 真假．【解答】解：二次函数()f x 在对称轴1x =处取得最小值，且最小值f （1）4=−，故选项A 正确；二次函数()f x 的对称轴为1x =，其在(0,)+∞上有增有减，故选项B 错误；由()f x 得，2(||)||2||3f x x x =−−，显然(||)f x 为偶函数，故选项C 正确； 令2()(|1|)|1|2|1|3h x f x x x =−=−−−−，方程(|1|)f x a −=的零点转化为()y h x =与y a = 的交点， 作出()h x 图象如右图所示：图象关于1x = 对称，当()y h x = 与y a = 有四个交点时， 两两分别关于1x =对称，所以12344x x x x +++=， 故选项D 正确． 故选：ACD ．15．（2019秋•费县期末）已知函数()x x f x e e −=−，()x x g x e e −=+，则以下结论错误的是( ) A ．任意的1x ，2x R ∈且12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x −<−B ．任意的1x ，2x R ∈且12x x ≠，都有1212()()0g x g x x x −<−C ．()f x 有最小值，无最大值D ．()g x 有最小值，无最大值【分析】由函数()f x 及函数()g x 的性质直接判断即可． 【解答】解：1()x xf x e e =−在R 上单调递增，无最值，故选项AC 错误； 1()x xg x e e =+为偶函数，易知其在(,0)−∞为减函数，在(0,)+∞为增函数，且在1x =处取得最小值，无最大值，故选项B 错误； 故选：ABC ．16．（2019秋•枣庄期末）具有性质：1()()f f x x=−的函数，我们称为满足“倒负”变换的T函数．下列函数中T 函数有( )A ．1y x x=−B ．1y x x=+C ．,010,11,1x x y x x x<<== −> D ．1(0)1xy lnx x−≠+ 【分析】根据题意，逐项判断即可．【解答】解：由1()()f f x x=−可知，若函数()f x 在1x =处有意义，则f （1）0=，故排除B ；对于A ，11()()f x f x x x=−=−，符合题意，故A 正确；对于C ，当01x <<时，11x>，则1()()f x f x x =−=−，符合题意； 当1x >时，101x <<，则11()()f f x x x==−，符合题意； 当1x =时，f （1）0=符合题意，故C 正确；对于D ，函数的定义域为(1−，0)(0∪，1)，1111()()111x x f ln ln f x x x x −−==≠−++，故D 错误． 故选：AC ．17．（2019秋•泰安期末）已知集合{(M x =，)|()}y y f x =，若对于任意实数对1(x ，1)y M ∈，存在2(x ，2)y M ∈，使12120x x y y +=成立，则称集合M 是“垂直对点集”；下列四个集合中，是“垂直对点集”的是( ) A ．21(,)|M x y y x==B ．{(,)|sin 1}M x y y x ==+C ．{(,)|22}x M x y y ==− D ．2{(,)|log }M x y y x ==【分析】由题意可得：集合M 是“垂直对点集”，即满足：曲线()y f x =上过任意一点1(A x ，1)y 与原点的直线，曲线()y f x =上都存在过点2(B x ，2)y 与原点的直线与之垂直，根据题意，对四个选项逐一分析即可得到答案．【解答】解：由题意可得：集合M 是“垂直对点集”，即满足：曲线()y f x =上过任意一点与原点的直线，都存在过另一点与原点的直线与之垂直． 对于A ，21{(,)|}M x y yx ==，其图象向左向右和x 轴无限接近，向上和y 轴无限接近，如图，在图象上任取一点1(A x ，1)y ，连OA ，过原点作OA 的垂线OB 必与21y x =的图象相交， 即一定存在点2(B x ，2)y ，使得OB OA ⊥成立， 故21{(,)|}M x y yx ==是“垂直对点集”，故A 正确． 对于B ，{(,)|sin 1}M x y y x ==+，在图象上任取一点A ，连OA ，过原点作直线OA 的垂线OB ，因为sin 1y x =+的图象沿x 轴向左向右无限延展，且与x 轴相切， 因此直线OB 总会与sin 1y x =+的图象相交．所以{(,)|sin 1}M x y y x ==+是“垂直对点集”，故B 正确； 对于C ，{(,)|22}x Mx y y ==−，其图象过点(0,1)−，且向右向上无限延展，向左向下无限延展， 据指数函数的图象和性质可知，在图象上任取一点A ，连OA ，过原点作OA 的垂线OB 必与22x y =−的图象相交， 即一定存在点B ，使得OB OA ⊥成立，故{(,)|22}x M x y y ==−是“垂直对点集”，故C 正确． 对于D ，2{(,)|log }M x y y x ==，(0)x >，取(1,0)，则不存在点2(x ，222log )(0)x x >，满足2100x ×+=， 因此集合M 不是“垂直对点集”，故D 不正确； 故选：ABC ．18．（2019秋•菏泽期末）下列函数中是偶函数，且在(0,)+∞上为增函数的有( ) A ．cos y x =B ．2y x =C ．3y x =D ．2log ||y x =【分析】根据函数的图象和性质判断即可．【解答】解：其中A ，B ，D 函数是偶函数，排除C ，B ，D 且在(0,)+∞上为增函数，对于D 根据翻折变换图象如下：故选：BD ．19．（2019秋•葫芦岛期末）已知函数3()2bx f x ax +=+在区间(2,)−∞上单调递增，则a ，b 的取值可以是（ ） A ．1a =，32b >B ．01a <…，2b =C ．1a =−，2b =D ．12a =，1b = 【分析】根据题意，将函数的解析式变形可得23()2bb a f x ax a−=++，结合反比例函数的性质以及函数图象平移的规律可得22a −− (230)a−<，分析可得a 、b 的关系，据此分析选项可得答案．【解答】解：根据题意，函数22(2)333()222b b bax bx b a a a f x ax ax ax a ++−−+===++++，其定义域为2{|}x x a≠−， 若函数3()2bx f x ax +=+在区间(2,)−∞上单调递增， 必有22a −−…且230b a−<，即01a <…且23ba<， 据此分析选项：A 、B 、D 符合； 故选：ABD ．。
2021年高考数学一轮复习 专题突破训练 函数
2021年高考数学一轮复习专题突破训练函数一、填空题1、（xx年江苏高考）已知函数，，则方程实根的个数为。
2、（xx年江苏高考）已知函数，若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是▲ ．3、（xx年江苏高考）已知是定义在上且周期为3的函数，当时，在区间上有10个零点（互不相同），则实数的取值范围是▲ ．4、（xx年江苏高考）已知是定义在上的奇函数。
当时，，则不等式的解集用区间表示为。
5、（xx届南京、盐城市高三二模）已知函数，当时，关于的方程的所有解的和为。
6、（南通、扬州、连云港xx届高三第二次调研（淮安三模））设()是上的单调增函数，则的值为▲．7、（苏锡常镇四市xx届高三教学情况调研（二））已知函数恰有2个零点，则实数的取值范围为▲8、（泰州市xx届高三第二次模拟考试）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是▲ ．9、（盐城市xx届高三第三次模拟考试）若函数有两个极值点，其中，且，则方程的实根个数为▲10、（南通市xx届高三期末）已知函数是定义在上的函数，且则函数在区间上的零点个数为11、（苏州市xx届高三上期末）已知函数若函数恰有三个不同的零点，则实数的取值范围是12、（苏州市xx届高三上期末）已知函数的定义域是，则实数的值为13、（泰州市xx届高三上期末）函数的定义域为▲14、（无锡市xx届高三上期末）已知函数是定义域为的偶函数，当时，21-,02 4, 13,2 24xx xf xx若关于的方程有且仅有个不同实数根，则实数的取值范围是15、（扬州市xx届高三上期末）设函数，若f（x）的值域为R，是实数a的取值范围是＿＿＿16、（苏锡常镇四市xx届高三教学情况调研（一））函数的定义域为17、（南京、盐城市xx届高三第二次模拟（淮安三模））已知f(x)是定义在R上的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝x2，当x＞0时，f(x＋1)＝f(x)＋f(1)．若直线y＝kx与函数y＝f(x)的图象恰有5个不同的公共点，则实数k的值为▲18、（xx江苏百校联考一）函数的所有零点之和为．19、（南京、盐城市xx高三第一次模拟）若函数是定义在上的偶函数，且在区间上是单调增函数.如果实数满足时，那么的取值范围是20、（苏锡常镇四市xx届高三3月调研（一））已知函数，若函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围为▲二、解答题1、（盐城市xx届高三上学期期中考试）设函数的定义域为，函数的值域为.（1）当时，求；（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围.2、（泰兴市第三高级中学xx高三上第一次质检）已知函数f(x)＝x2＋mx＋n的图象过点(1，3)，且f(－1＋x)＝f(－1－x)对任意实数都成立，函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于原点对称．(1) 求f(x)与g(x)的解析式；(2) 若F(x)＝g(x)－λf(x)在(－1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围．3、（泰兴市第三高级中学xx高三上第一次质检）已知函数f(x)＝lg(1－x)＋lg(1＋x)＋x4－2x2.(1) 求函数f(x)的定义域；(2) 判断函数f(x)的奇偶性；(3) 求函数f(x)的值域．4、（苏州市xx届高三上学期期中考试）已知函数，，．(1) ，，求值域；(2) ，解关于的不等式．5、（常州市xx届高三）某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900m2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留 1m 宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留 3m 宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为（m），三块种植植物的矩形区域2）．的总面积．．．为（m（1）求关于的函数关系式；（2）求的最大值．6、（南通、扬州、连云港xx届高三第二次调研（淮安三模））设，函数．（1）若为奇函数，求的值；（2）若对任意的，恒成立，求的取值范围；（3）当时，求函数零点的个数．7、已知函数，其中常数a > 0．(1) 当a = 4时，证明函数f(x)在上是减函数；(2) 求函数f(x)的最小值．8、已知函数，.（1）当时，求的定义域；（2）若恒成立，求的取值范围．参考答案 一、选择题 1、4解析：由220,01ln ,01(),()2,12ln ,16,2x x x f x g x x x x x x x <≤⎧-<≤⎧⎪==-<≤⎨⎨>⎩⎪->⎩得到： ，由于： 时，单调递减，且取值范围在，故在该区域有1根； 时，单调递减，且取值范围在，故该区域有1根； 时，单调递增，且取值范围在，故该区域有2根。
2021高考数学(新高考版)一轮复习考点考法精练：专项突破四 提能力·数学探究 Word版含解析
姓名，年级：时间：专项突破四 提能力·数学探究1。
[数列与全(特)称命题交汇]已知数列{a n }满足：a 1=a ,a n +1=a n 2+1a n(n ∈N *）,则下列判断正确的是（ )A 。
∀a 〉0，∃n ≥2，使得a n <√2B .∃a 〉0,∃n ≥2，使得a n <a n +1C 。
∀a >0，∃m ∈N *，总有a m 〈a nD 。
∃a 〉0,∃m ∈N ＊，总有a m +n =a n2。
[三角函数与二次函数交汇］如图4 — 1所示,函数f (x )=sin(ωx +φ)（ω>0，|φ｜〈π2)的图象与二次函数y = - 32x 2+12x +1的图象交于点A (x 1,0)和B (x 2，1）,则f （x )的解析式为 （ )图4 — 1A 。
f （x )=sin(16x +π3）B .f (x ）=sin(12x +π3）C 。
f （x ）=sin （π2x +π3) D .f （x ）=sin(π2x +π6） 3。
［导数与三角函数交汇］已知函数f (x )的定义域为R ，f （12）= - 12，对任意的x ∈R，满足f ’ （x ）〉4x 。
当α∈[0，2π］时，不等式f (sin α）+cos 2α>0的解集为（ ）A 。
(7π6,11π6)B .（4π3,5π3)C .（π3，2π3）D 。
（π6，5π6) 4。
[函数、极值与数列交汇］定义在[0，+∞）上的函数f （x ）满足：当0≤x 〈2时,f （x ）=2x - x 2；当x ≥2时，f (x ）=3f （x — 2）.若函数f (x )的极大值点从小到大依次记为a 1,a 2，…，a n ，…,并记相应的极大值为b 1,b 2，…,b n ,…，则a 1b 1+a 2b 2+…+a 20b 20的值为 （ )A.19×320+1B.19×319+1C.20×319+1 D。
2021届高考数学专题突破直线、平面垂直的判定和性质(解析版)
2021届高考数学立体几何突破性讲练 05直线、平面垂直的判定和性质一、考点传真：1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题. 二、知识点梳理：1．直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义：直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l 与平面α互相垂直.(2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都，则该直线与垂直于同一个平面的 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤❶如果一条直线与平面内再多（即无数条）的直线垂直，但这些直线不相交就不能说明这条直线与此平面垂直. 2．平面与平面垂直的判定定理与性质定理一个平面过另一个平，则这两两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面[❷要求一平面只需过另一平面的垂线．]二、常用结论汇总直线与平面垂直的五个结论(1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线． (2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． (3)垂直于同一条直线的两个平面平行．(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直． (5)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面． 三、例题：例1. （2019全国II 文17）如图，长方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA 1上，BE ⊥EC 1.（1）证明：BE ⊥平面EB 1C 1；（2）若AE =A 1E ，AB =3，求四棱锥11E BB C C -的体积． 【解析】（1）由已知得B 1C 1⊥平面ABB 1A 1，BE ⊂平面ABB 1A 1， 故11B C BE ⊥.又1BE EC ⊥，所以BE ⊥平面11EB C .（2）由（1）知∠BEB 1=90°.由题设知Rt △ABE ≌Rt △A 1B 1E ，所以1145AEB A EB ︒∠=∠=，故AE =AB =3，126AA AE ==.作1EF BB ⊥，垂足为F ，则EF ⊥平面11BB C C ，且3EF AB ==. 所以，四棱锥11E BB C C -的体积1363183V =⨯⨯⨯=.例2. (2019全国III 文19）图1是由矩形ADEB 、Rt △ABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中AB =1，BE =BF =2，∠FBC =60°.将其沿AB ，BC 折起使得BE 与BF 重合，连结DG ，如图2.（1）证明图2中的A ，C ，G ，D 四点共面，且平面ABC ⊥平面BCGE ； （2）求图2中的四边形ACGD 的面积.【解析】（1）由已知得AD BE ，CG BE ，所以AD CG ，故AD ，CG 确定一个平面，从而A ，C ，G ，D 四点共面．由已知得AB ⊥BE ，AB ⊥BC ，故AB ⊥平面BCGE ． 又因为AB ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面BCGE ． （2）取CG 的中点M ，联结EM ，DM .因为AB DE ∥，AB ⊥平面BCGE ，所以DE ⊥平面BCGE ，故DE ⊥CG . 由已知，四边形BCGE 是菱形，且60EBC ∠=︒得EM ⊥CG ，故CG ⊥平面DEM . 因此DM ⊥CG .在Rt △DEM 中，1DE =，EM =，故2DM =.所以四边形ACGD 的面积为4.-中，PA⊥平面ABCD，底部ABCD为例3. （2019北京文18）如图，在四棱锥P ABCD菱形，E为CD的中点．（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若∠ABC=60°，求证：平面PAB⊥平面PAE；（Ⅲ）棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由．【解析】（Ⅰ）因为PA⊥平面ABCD，且BD⊂平面ABCD，⊥．所以PA BD⊥．又因为底面ABCD为菱形，所以BD AC=，又PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，PA AC A所以BD⊥平面PAC．（Ⅱ）因为PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，所以PA⊥AE．因为底面ABCD 为菱形，∠ABC =60°，且E 为CD 的中点， 所以AE ⊥CD ．又//AB CD ，所以AB ⊥AE ．又PA ⊂平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，PAAB A =，所以AE ⊥平面PAB ．又AE ⊂平面PAE ，所以平面PAB ⊥平面PAE ．（Ⅲ）棱PB 上存在点F ，且F 为PB 的中点，使得CF ∥平面PAE ． 取F 为PB 的中点，取G 为PA 的中点，连结CF ，FG ，EG ． 因为G ，F 分别为PA ，PB 的中点，则FG ∥AB ，且FG =12AB ． 因为底面ABCD 为菱形，且E 为CD 的中点， 所以CE ∥AB ，且CE =12AB ． 所以FG ∥CE ，且FG =CE ． 所以四边形CEGF 为平行四边形， 所以CF ∥EG ．因为CF ⊄平面PAE ，EG ⊂平面PAE ， 所以CF ∥平面PAE ．例4. （2019天津文17）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，，（Ⅰ）设分别为的中点，求证：平面； （Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值. 【解析】 （Ⅰ）连接，易知，.又由，故，又因为平面，平面，所以平面.（Ⅱ）取棱的中点，连接.依题意，得，又因为平面平面，P ABCD -ABCDPCD PAC ⊥PCD PA CD ⊥2CD =3AD =G H ，PB AC ，GH ∥PAD PA ⊥PCD AD PAC BD ACBD H =BH DH =BG PG =GH PD ∥GH ⊄PAD PD ⊂PAD GH ∥PAD PC N DN DN PC ⊥PAC ⊥PCD平面平面，所以平面，又平面，故.又已知，，所以平面.（Ⅲ）连接，由（Ⅱ）中平面，可知为直线与平面所成的角，因为PCD △为等边三角形，且为的中点，所以又， 故在Rt AND △中，. 所以，直线与平面所成角的正弦值为. 例5. （2018全国卷Ⅱ）如图，在三棱锥-P ABC 中，==AB BC4====PA PB PC AC ，O 为AC 的中点．(1)证明：PO ⊥平面ABC ；(2)若点M 在棱BC 上，且2=MC MB ，求点C 到平面POM 的距离．【解析】(1)因为4===AP CP AC ，O 为AC 的中点，所以OP ⊥AC ，且=OP 连结OB ．因为2==AB BC AC ，所以∆ABC 为等腰直角三角形， 且OB ⊥AC ，122==OB AC ． 由222OP OB PB +=知，OP ⊥OB ．由OP ⊥OB ，OP ⊥AC 知PO ⊥平面ABC ．PACPCD PC =DN ⊥PAC PA ⊂PAC DN PA ⊥PA CD ⊥CD DN D =PA ⊥PCD AN DN ⊥PAC DAN ∠AD PAC 2CD =N PC DN =DN AN ⊥sin 3DN DAN AD ∠==AD PAC 3O MPCBA(2)作CH⊥OM，垂足为H．又由(1)可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM．故CH的长为点C到平面POM的距离．由题设可知122==OC AC，23==CM BC，45∠=ACB．所以=OM，sin5⋅⋅∠==OC MC ACBCHOM．例6. （2018全国卷Ⅲ）如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD 上异于C，D的点．(1)证明：平面AMD⊥平面BMC；(2)在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由．【解析】(1)由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD．因为BC⊥CD，BC平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM．因为M为CD上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM．又BC CM=C，所以DM⊥平面BMC．而DM平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC．(2)当P为AM的中点时，MC∥平面PBD．HOMPCBAA BCDM⊂⊂证明如下：连结AC交BD于O．因为ABCD为矩形，所以O为AC中点．连结OP，因为P为AM中点，所以MC∥OP．MC⊄平面PBD，OP⊂平面PBD，所以MC∥平面PBD．四、巩固练习：1．若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】∵m⊥α，若l∥α，则必有l⊥m，即l∥α⇒l⊥m.但l⊥m⇒/ l∥α，∵l⊥m时，l可能在α内．故“l⊥m”是“l∥α”的必要不充分条件．2．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能得出a⊥b的是() A．a⊥α，b∥β，α⊥βB．a⊥α，b⊥β，α∥βC．a⊂α，b⊥β，α∥βD．a⊂α，b∥β，α⊥β【答案】C【解析】对于C项，由α∥β，a⊂α可得a∥β，又b⊥β，得a⊥b，故选C.3．设m，n表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，下列命题为真命题的是() A．若m⊥α，α⊥β，则m∥βB．若m∥α，m⊥β，则α⊥βC．若m⊥n，m⊥α，则n∥αD．若m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n【答案】B【解析】对于A，m可以在β内，故A错；对于C，n可以在α内，故C错误；对于D，m与n可以平行，故D错．4．已知P A垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B两点的任一点，则下列关系不正确的是()A．P A⊥BC B．BC⊥平面P ACC．AC⊥PB D．PC⊥BC【答案】C【解析】由P A⊥平面ACB⇒P A⊥BC，故A不符合题意；由BC⊥P A，BC⊥AC，P A∩AC ＝A，可得BC⊥平面P AC，所以BC⊥PC，故B、D不符合题意；AC⊥PB显然不成立，故C符合题意．5.已知P为△ABC所在平面外一点，且P A，PB，PC两两垂直，有下列结论：①P A⊥BC；②PB⊥AC；③PC⊥AB；④AB⊥BC.其中正确的是()A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④【答案】A【解析】如图，因为P A⊥PB，P A⊥PC，PB∩PC＝P，且PB⊂平面PBC，PC⊂平面PBC，所以P A⊥平面PBC.又BC⊂平面PBC，所以P A⊥BC，同理可得PB⊥AC，PC⊥AB，故①②③正确.6.如图，在四面体ABCD中，已知AB⊥AC，BD⊥AC，那么点D在平面ABC内的射影H必在()A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部【答案】A【解析】因为AB⊥AC，BD⊥AC，AB∩BD＝B，所以AC⊥平央ABD，又AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面ABD，所以点D在平面ABC内的射影H必在直线AB上．7.如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，且BC1⊥AC，过C1作C1H⊥底面ABC，垂足为H，则点H在()A.直线AC上B.直线AB上C.直线BC上D.△ABC内部【答案】 B【解析】连接AC1，如图.∵∠BAC ＝90°，∴AC ⊥AB ， ∵BC 1⊥AC ，BC 1∩AB ＝B ， ∴AC ⊥平面ABC 1.又AC 在平面ABC 内，∴根据面面垂直的判定定理，知平面ABC ⊥平面ABC 1，则根据面面垂直的性质定理知，在平面ABC 1内一点C 1向平面ABC 作垂线，垂足必落在交线AB 上.故选B.8.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点M 、N 分别是直线CD 、AB 上的动点，点P 是△A 1C 1D 内的动点(不包括边界)，记直线D 1P 与MN 所成角为θ，若θ的最小值为π3，则点P 的轨迹是( )A ．圆的一部分B ．椭圆的一部分C ．抛物线的一部分D ．双曲线的一部分【答案】B【解析】 把MN 平移到平面A 1B 1C 1D 1中，直线D 1P 与MN 所成角为θ，直线D 1P 与MN 所成角的最小值是直线D 1P 与平面A 1B 1C 1D 1所成角，即原问题转化为：直线D 1P 与平面A 1B 1C 1D 1所成角为π3，点P 在平面A 1B 1C 1D 1的投影为圆的一部分，因为点P 是△A 1C 1D 内的动点(不包括边界)，所以点P 的轨迹是椭圆的一部分．故选B.9.如图，在正四面体P -ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，则下面四个结论不成立的是( )A ．BC ∥平面PDFB ．DF ⊥平面P AEC ．平面PDF ⊥平面P AED ．平面PDE ⊥平面ABC【答案】D【解析】因为BC ∥DF ，DF ⊂平面PDF ，BC ⊄平面PDF ，所以BC ∥平面PDF ，故选项A 正确．在正四面体中，AE ⊥BC ，PE ⊥BC ，AE ∩PE ＝E ，所以BC ⊥平面P AE ，又DF ∥BC ，则DF ⊥平面P AE ，从而平面PDF ⊥平面P AE .因此选项B 、C 均正确．10.如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，G 是EF 的中点，现在沿AE ，AF 及EF 把这个正方形折成一个空间图形，使B ，C ，D 三点重合，重合后的点记为H ，那么在这个空间图形中必有( )A.AG ⊥平面EFHB.AH ⊥平面EFHC.HF ⊥平面AEFD.HG ⊥平面AEF 【答案】 B【解析】 根据折叠前、后AH ⊥HE ，AH ⊥HF 不变，又HE ∩HF ＝H ，∴AH ⊥平面EFH ，B 正确.∵过A 只有一条直线与平面EFH 垂直，∴A 不正确.∵AG ⊥EF ，EF ⊥GH ，AG ∩GH ＝G ，∴EF ⊥平面HAG ，又EF ⊂平面AEF ，∴平面HAG ⊥平面AEF ，过H 作直线垂直于平面AEF ，一定在平面HAG 内，∴C 不正确.由条件证不出HG ⊥平面AEF ，∴D 不正确.11.如图，在下列四个正方体1111ABCD A B C D 中，E ，F ，G 均为所在棱的中点，过E ，F ，G 作正方体的截面，则在各个正方体中，直线1BD 与平面EFG 不垂直的是（ ）【答案】D【解析】对于选项D 中图形，由于E ，F ，为AB ，11A B 的中点，所以1//EF BB ，故11B BD ∠为异面直线所成的角且11TAN B BD ∠=11B BD ∠不为直角，故1BD 与平面EFG 不可能垂直，故选D.12.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝1，将△ACD 沿AC 折起，使得D 折起后的位置为D 1，且D 1在平面ABC 上的射影恰好落在AB 上，在四面体D 1ABC 的四个面中，有n 对平面相互垂直，则n 等于( )A.2B.3C.4D.5【答案】 B【解析】 设D 1在平面ABC 上的射影为E ，连接D 1E ，则D 1E ⊥平面ABC .∵D 1E ⊂平面ABD 1，∴平面ABD 1⊥平面ABC .∵D 1E ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴D 1E ⊥BC ，又AB ⊥BC ，D 1E ∩AB ＝E ，∴BC ⊥平面ABD 1.又BC ⊂平面BCD 1，∴平面BCD 1⊥平面ABD 1.∵BC ⊥平面ABD 1，AD 1⊂平面ABD 1，∴BC ⊥AD 1，又CD 1⊥AD 1，BC ∩CD 1＝C ，∴AD 1⊥平面BCD 1，又AD 1⊂平面ACD 1，∴平面ACD 1⊥平面BCD 1.∴共有3对平面相互垂直.故选B.13.已知PD 垂直于正方形ABCD 所在的平面，连接PB ，PC ，P A ，AC ，BD ，则一定互相垂直的平面有________对．【答案】7【解析】由于PD ⊥平面ABCD ，故平面P AD ⊥平面ABCD ，平面PDB ⊥平面ABCD ，平面PDC ⊥平面ABCD ，平面PDA ⊥平面PDC ，平面P AC ⊥平面PDB ，平面P AB ⊥平面P AD, 平面PBC ⊥平面PDC ，共7对．14.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则AC 1与平面A 1B 1C 1D 1所成角的正弦值为________.【答案】 13【解析】 连接A 1C 1，则∠AC 1A 1为AC 1与平面A 1B 1C 1D 1所成的角.因为AB ＝BC ＝2，所以A 1C 1＝AC ＝22，又AA 1＝1，所以AC 1＝3， 所以sin ∠AC 1A 1＝AA 1AC 1＝13. 15．在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，平面α与棱AB ，AC ，A 1C 1，A 1B 1分别交于点E ，F ，G ，H ，且直线AA 1∥平面α.有下列三个命题：①四边形EFGH 是平行四边形；②平面α∥平面BCC 1B 1；③平面α⊥平面BCFE .其中正确命题的序号是________．【答案】①③【解析】如图所示，因为AA 1∥平面α，平面α∩平面AA 1B 1B ＝EH ，所以AA 1∥EH .同理AA 1∥GF ，所以EH ∥GF ，又ABC -A 1B 1C 1是直三棱柱，易知EH ＝GF ＝AA 1，所以四边形EFGH 是平行四边形，故①正确；若平面α∥平面BB 1C 1C ，由平面α∩平面A 1B 1C 1＝GH ，平面BCC 1B 1∩平面A 1B 1C 1＝B 1C 1，知GH ∥B 1C 1，而GH ∥B 1C 1不一定成立，故②错误；由AA 1⊥平面BCFE ，结合AA 1∥EH 知EH ⊥平面BCFE ，又EH ⊂平面α，所以平面α⊥平面BCFE ，故③正确．16.如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱长为2，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，D 是A 1B 1的中点，F 是BB 1上的动点，AB 1，DF 交于点E ，要使AB 1⊥平面C 1DF ，则线段B 1F 的长为________.【答案】 12【解析】 设B 1F ＝x ，因为AB 1⊥平面C 1DF ，DF ⊂平面C 1DF ，所以AB 1⊥DF ，由已知可得A 1B 1＝2，设Rt △AA 1B 1斜边AB 1上的高为h ，则DE ＝12h . 又12×2×2＝12×h 22＋（2）2，所以h ＝233，DE ＝33.在Rt △DB 1E 中，B 1E ＝⎝⎛⎭⎫222－⎝⎛⎭⎫332＝66.由面积相等得12×66×x 2＋⎝⎛⎭⎫222＝12×22x ，得x ＝12.17.如图，在四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，BC ＝PD ＝2，E 为PC 的中点，CB ＝3CG .(1)求证：PC ⊥BC ；(2)AD 边上是否存在一点M ，使得P A ∥平面MEG ？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由．【解析】(1)证明：因为PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥BC .因为四边形ABCD 是正方形，所以BC ⊥CD .又PD ∩CD ＝D ，PD ⊂平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，所以BC ⊥平面PCD .因为PC ⊂平面PCD ，所以PC ⊥BC .(2)连接AC ，BD 交于点O ，连接EO ，GO ，延长GO 交AD 于点M ，连接EM ，则P A ∥平面MEG .证明如下：因为E 为PC 的中点，O 是AC 的中点，所以EO ∥P A .因为EO ⊂平面MEG ，P A ⊄平面MEG ，所以P A ∥平面MEG . 因为△OCG ≌△OAM ，所以AM ＝CG ＝23， 所以AM 的长为23. 18.如图，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是圆内接四边形(记此圆为W )，且P A ⊥平面ABCD .(1)当BD 是圆W 的直径时，P A ＝BD ＝2，AD ＝CD ＝3，求四棱锥P -ABCD 的体积．(2)在(1)的条件下，判断在棱P A 上是否存在一点Q ，使得B Q ∥平面PCD ？若存在，求出A Q 的长；若不存在，请说明理由．【解析】(1)因为BD 是圆W 的直径，所以BA ⊥AD ，因为BD ＝2，AD ＝3，所以AB ＝1.同理BC ＝1，所以S 四边形ABCD ＝AB ·AD ＝ 3.因为P A ⊥平面ABCD ，P A ＝2，所以四棱锥P -ABCD 的体积V ＝13S 四边形ABCD ·P A ＝233. (2)存在，A Q ＝23.理由如下． 延长AB ，DC 交于点E ，连接PE ，则平面P AB 与平面PCD 的交线是PE .假设在棱P A 上存在一点Q ，使得B Q ∥平面PCD ，则B Q ∥PE ，所以A Q P A ＝AB AE. 经计算可得BE ＝2，所以AE ＝AB ＋BE ＝3，所以A Q ＝23. 故存在这样的点Q ，使B Q ∥平面PCD ，且A Q ＝23.19.如图1，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2，E 是CD 的中点，将△ADE 沿AE 折起，得到如图2所示的四棱锥D 1-ABCE ，其中平面D 1AE ⊥平面ABCE .(1)证明：BE ⊥平面D 1AE ；(2)设F 为CD 1的中点，在线段AB 上是否存在一点M ，使得MF ∥平面D 1AE ，若存在，求出AM AB的值；若不存在，请说明理由． 【解析】(1)证明：∵四边形ABCD 为矩形且AD ＝DE ＝EC ＝BC ＝2，∴∠AEB ＝90°，即BE ⊥AE ，又平面D 1AE ⊥平面ABCE ，平面D 1AE ∩平面ABCE ＝AE ，∴BE ⊥平面D 1AE .(2)当AM AB ＝14时，MF ∥平面D 1AE ，理由如下： 取D 1E 的中点L ，连接FL ，AL ，∴FL ∥EC ，又EC ∥AB ，∴FL ∥AB ，且FL ＝14AB ， ∴M ，F ，L ，A 四点共面，又MF ∥平面AD 1E ，∴MF ∥AL .∴四边形AMFL 为平行四边形， ∴AM ＝FL ＝14AB ，AM AB ＝14. 20.如图所示的五面体ABEDFC 中，四边形ACFD 是等腰梯形，AD ∥FC ，∠DAC ＝60°，BC ⊥平面ACFD ，CA ＝CB ＝CF ＝1，AD ＝2CF ，点G 为AC 的中点．(1)在AD 上是否存在一点H ，使GH ∥平面BCD ？若存在，指出点H 的位置并给出证明；若不存在，说明理由；(2)求三棱锥G -ECD 的体积．【解析】(1)存在点H 使GH ∥平面BCD ，此时H 为AD 的中点．证明如下．取点H 为AD 的中点，连接GH ，因为点G 为AC 的中点，所以在△ACD 中，由三角形中位线定理可知GH ∥CD ，又GH ⊄平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，所以GH ∥平面BCD .(2)因为AD ∥CF ，AD ⊂平面ADEB ，CF ⊄平面ADEB ，所以CF ∥平面ADEB ，因为CF ⊂平面CFEB ，平面CFEB ∩平面ADEB ＝BE ，所以CF ∥BE ，又CF ⊂平面ACFD ，BE ⊄平面ACFD ，所以BE ∥平面ACFD ，所以V G -ECD ＝V E -GCD ＝V B -GCD .因为四边形ACFD 是等腰梯形，∠DAC ＝60°，AD ＝2CF ＝2AC ，所以∠ACD ＝90°， 又CA ＝CB ＝CF ＝1，所以CD ＝3，CG ＝12， 又BC ⊥平面ACFD ， 所以V B -GCD ＝13×12CG ×CD ×BC ＝13×12×12×3×1＝312. 所以三棱锥G -ECD 的体积为312.。
2021新高考新题型——数学多选题专项练习(1)(含答案解析)
2021新高考新题型——数学多选题专项练习(1)(含答案解析)2021新高考新题型——数学多选题专项练（1）一、多选题1.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是线段AB，CC1的中点，△MB1P的顶点P在棱CC1与棱C1D1上运动，有以下四个命题，其中正确的命题是() A。
平面MB1P⊥ND1B。
平面MB1P⊥平面ND1A1C。
△MB1P在底面ABCD上的射影图形的面积为定值D。
△MB1P在侧面DD1C1C上的射影图形是三角形2.下列说法正确的是()A。
“若a>1，则a^2>1”的否命题是“若a>1，则a<=1”B。
“若a<b，则am^2<bm^2”的逆命题为真命题C。
“若sinα≠1/π，则α≠π/2”是真命题D。
在命题“若p，则q”的否命题、逆命题、逆否命题中真命题的个数最多是3个3.设抛物线y^2=2px(p>0)的焦点为F。
点M在y轴上，若线段FM的中点B在抛物线上，且点B到抛物线准线的距离为32，则点M的坐标为()A。
(0,-4)B。
(0,-2)C。
(0,2)D。
(0,4)4.抛物线E:x^2=4y与圆M:x^2+(y-1)^2=16交于A、B两点，圆心M(0,1)，点P为劣弧AB上不同于A、B的一个动点，平行于y轴的直线PN交抛物线于点N，则△PMN的周长的可能取值是()A。
8B。
8.5C。
9D。
105.下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB//平面MNP的图形是()A。
B。
C。
D。
6.在空间中，给出下面四个命题，则其中不正确的命题为()A。
过平面α外的两点，有且只有一个平面与平面α垂直B。
若平面β内有不共线三点到平面α的距离都相等，则α//βC。
若直线1与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥αD。
两条异面直线在同一平面内的射影可以是两条平行线7.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，下面结论正确的是()A。
2021新高考新题型——数学多选题专项练习(4)(含答案解析)
2021新高考新题型——数学多选题专项练习（4）一、多选题1． 我们将横、纵坐标均为整数的点称为整点，则直线:(l y kx b =+ ) A ．存在k ，b R ∈使得直线l 上无整点B ．存在k ，b R ∈使得直线l 上恰有一个整点C ．存在k ，b R ∈使得直线l 上恰有两个整点D ．存在k ，b R ∈使得直线l 上有无数个整点2． 已知实数a ，b 满足0a >，0b >，1a ≠，1b ≠，且lgb x a =，lga y b =，lga z a =，lgb w b =，则( )A ．存在实数a ，b ，使得x y z w >>>B ．存在a b ≠，使得x y z w ===C ．任意符合条件的实数a ，b 都有x y =D ．x ，y ，z ，w 中至少有两个大于13． 已知函数()[]f x x x =-，其中[]x 表示不大于x 的最大整数，下列关于函数()f x 的性质，描述正确的是( ) A ．()f x 是增函数 B ．()f x 是周期函数 C ．()f x 的值域为[0，1)D ．()f x 是偶函数 4． 正方体截面的形状有可能为( ) A ．正三角形B ．正方形C ．正五边形D ．正六边形5． 已知集合{|32A x x a b ==+，a ，}b Z ∈，{|23B x x a b ==-，a ，}b Z ∈，则( ) A ．A B ⊆B ．B A ⊆C ．A B =D ．AB =∅6． 设全集{0U =，1，2，3，4}，集合{0A =，1，4}，{0B =，1，3}，则( ) A ．{0A B =，1} B ．{4}UB =C ．{0AB =，1，3，4}D ．集合A 的真子集个数为87． 定义“正对数”： 0011x ln x lnx x +<<⎧=⎨⎩若0a >，0b >，则下列结论中正确的是( )A ．()b ln a bln a ++=B ．()ln ab ln a ln b +++=+C ．()aln ln a ln b b+++-D ．()ln a b ln a ln b +++++E ．()2ln a b ln a ln b ln ++++++8． 如图，PA 垂直于以AB 为直径的圆所在的平面，点C 是圆周上异于A ，B 的任一点，则下列结论中正确的是( )A ．PB AC ⊥ B ．PC BC ⊥C ．AC ⊥平面PBCD ．平面PAB ⊥平面PBCE ．平面PAC ⊥平面PBC 9． 下面说法中错误的是( )A ．经过定点0(P x ，0)y 的直线都可以用方程00()y y k x x -=-表示B ．经过定点0(P x ，0)y 的直线都可以用方程00()x x m y y -=-表示C ．经过定点(0,)A b 的直线都可以用方程y kx b =+表示D ．不经过原点的直线都可以用方程1x ya b+=表示 E ．经过任意两个不同的点11(P x ，1)y ，22(P x ，2)y 的直线都可以用方程121121()()()()y y x x x x y y --=--表示10． 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>23，右顶点为A ，以A 为圆心，b为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点，则有( ) A ．渐近线方程为3y x = B ．渐近线方程为3y x = C ．60MAN ∠=︒D ．120MAN ∠=︒11． 设有一组圆224:(1)()(*)C x y k k k N -+-=∈，下列四个命题正确的是( )A ．存在k ，使圆与x 轴相切B ．存在一条直线与所有的圆均相交C ．存在一条直线与所有的圆均不相交D ．所有的圆均不经过原点12． 一几何体的平面展开图如图所示，其中四边形ABCD 为正方形，E 、F 分别为PB 、PC 的中点，在此几何体中，给出的下面结论中正确的有( )A ．直线AE 与直线BF 异面B ．直线AE 与直线DF 异面C ．直线//EF 平面PADD ．直线DF ⊥平面PBC13． 已知函数()2sin(2)13f x x π=-+，则下列说法正确的是( )A ．()2()6f x f x π-=-B ．()6f x π-的图象关于4x π=对称C ．若1202x x π<<<，则12()()f x f x <D ．若123,,[,]32x x x ππ∈，则123()()()f x f x f x +>14． 已知函数()2x x e e f x --=，()2x xe e g x -+=，则()f x 、()g x 满足( )A ．()()f x f x -=-，()()g x g x -=B ．(2)f f -<（3），(2)g g -<（3）C ．(2)2()()f x f x g x =D ．22[()][()]1f x g x -=15． 现有一段长度为n 的木棍，希望将其锯成尽可能多的小段，要求每一小段的长度都是整数，并且任何一个时刻，当前最长的一段都严格小于当前最短的一段长度的2倍，记对n 符合条件时的最多小段数为()f n ，则( ) A ．f （7）3=B ．f （7）4=C ．(30)6f =D ．(30)7f =16． 已知O ，A ，B ，C 为平面上两两不重合的四点，且(0)xOA yOB zOC O xyz ++=≠，则( )A ．当且仅当0xyz <时，O 在ABC ∆的外部B ．当且仅当::3:4:5x y z =时，4ABC OBC S S ∆∆= C ．当且仅当x y z ==时，O 为ABC ∆的重心D ．当且仅当0x y z ++=时，A ，B ，C 三点共线 17． 下列说法，正确的有( )A ．函数()36f x lnx x =+-的零点只有1个且属于区间(1,2)B ．若关于x 的不等式2210ax ax ++>恒成立，则(0,1)a ∈C ．函数y x =的图象与函数sin y x =的图象有3个不同的交点D ．函数sin cos sin cos ,[0,]4y x x x x x π=++∈的最小值是118． 已知x ，y ，z R ∈，且x y z π++=，则cos cos cos f x y z =++的最值情况为( ) A ．最大值为3B ．最小值为3-C ．最大值为32D ．最小值为32-19． 在数列{}n a 中，*n N ∈，若211(n n n na a k k a a +++-=-为常数），则称{}n a 为“等差比数列”，下列对“等差比数列”的判断正确的为( ) A ．k 不可能为0B ．等差数列一定是“等差比数列”C ．等比数列一定是“等差比数列”D ．“等差比数列”中可以有无数项为02021新高考新题型——数学多选题专项练习（4）答案解析一、多选题1． 我们将横、纵坐标均为整数的点称为整点，则直线:(l y kx b =+ ) A ．存在k ，b R ∈使得直线l 上无整点B ．存在k ，b R ∈使得直线l 上恰有一个整点C ．存在k ，b R ∈使得直线l 上恰有两个整点D ．存在k ，b R ∈使得直线l 上有无数个整点 【解析】解：根据题意，依次分析选项： 对于A ，当1k =，13b =时，直线l 的方程为13y x =+，直线l 上无整点，A 正确；对于B ，当k 0b =时，直线l 的方程为y =，直线l 上恰有一个整点(0,0)，B 正确；对于C ，假设直线l 上恰有两个整点为1(m ，1)n 和2(m ，2)n ，则有0k ≠， 此时直线l 存在第三个整点：21(2m m -，212)n n -，C 错误；对于D ，当0k =，1b =时，直线l 的方程为1y =，直线l 上有无数个整点； 则ABD 正确； 故选：ABD ．2． 已知实数a ，b 满足0a >，0b >，1a ≠，1b ≠，且lgb x a =，lga y b =，lga z a =，lgb w b =，则( )A ．存在实数a ，b ，使得x y z w >>>B ．存在a b ≠，使得x y z w ===C ．任意符合条件的实数a ，b 都有x y =D ．x ，y ，z ，w 中至少有两个大于1【解析】解：设lga p =，lgb q =．则有10p a =，10q b =，则(10)10lgb p q pq x a ===，(10)10q p pq y ==，2(10)10p p p z ==，2(10)10q q q w ==． 所以任意符合条件的a ，b 都有x y =．C 正解，A 错误． 若a b ≠，则p q ≠，则x z ≠，B 错误．因为1a ≠，1b ≠，所以0p ≠，0q ≠，所以20p >，20q >，故1z >，且1w >，D 正确． 故选：CD ．3． 已知函数()[]f x x x =-，其中[]x 表示不大于x 的最大整数，下列关于函数()f x 的性质，描述正确的是( ) A ．()f x 是增函数 B ．()f x 是周期函数 C ．()f x 的值域为[0，1)D ．()f x 是偶函数【解析】解：当21x -<-时，[]2x =-，此时()[]2f x x x x =-=+． 当10x -<时，[]1x =-，此时()[]1f x x x x =-=+． 当01x <时，[]0x =，此时()[]f x x x x =-=． 当12x <时，[]1x =，此时()[]1f x x x x =-=-． 当23x <时，[]2x =，此时()[]2f x x x x =-=-． 当34x <时，[]3x =，此时()[]3f x x x x =-=-．⋯由此可得函数[][0y x x =-∈，1)，故C 正确； 函数[]y x x =-为非奇非偶函数，故A ，D 错误； 函数[]y x x =-是周期为1的周期函数，故B 正确；函数[]y x x =-在区间[0，1)上为增函数，但整个定义域为不具备单调性，故A 错； 故选：BC ．4． 正方体截面的形状有可能为( ) A ．正三角形B ．正方形C ．正五边形D ．正六边形【解析】解：画出截面图形如图：可以画出正三角形但不是直角三角形（如图1)； 可以画出正方形（如图2)经过正方体的一个顶点去切就可得到五边形．但此时不可能是正五边形（如图3)；正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，且可以画出正六边形（如图4)； 故选：ABD ．5． 已知集合{|32A x x a b ==+，a ，}b Z ∈，{|23B x x a b ==-，a ，}b Z ∈，则( ) A ．A B ⊆B ．B A ⊆C ．A B =D ．AB =∅【解析】解：已知集合{|32A x x a b ==+，a ，}b Z ∈，{|23B x x a b ==-，a ，}b Z ∈， 若x 属于B ，则：233*(2)2*(2)x a b a b a =-=-+-； 2a b -、2a -均为整数，x 也属于A ，所以B 是A 的子集；若x 属于A ，则：322*(3)3*x a b a b =+=+-（a ）； 3a b +、a 均为整数，x 也属于B ，所以A 是B 的子集；所以：A B =， 故选：ABC ．6． 设全集{0U =，1，2，3，4}，集合{0A =，1，4}，{0B =，1，3}，则( ) A ．{0A B =，1} B ．{4}UB =C ．{0AB =，1，3，4}D ．集合A 的真子集个数为8【解析】解：全集{0U =，1，2，3，4}，集合{0A =，1，4}，{0B =，1，3}， {0AB ∴=，1}，故A 正确，{2UB =，4}，故B 错误， {0AB =，1，3，4}，故C 正确，集合A 的真子集个数为3217-=，故D 错误 故选：AC ．7． 定义“正对数”： 0011x ln x lnx x +<<⎧=⎨⎩若0a >，0b >，则下列结论中正确的是( )A ．()b ln a bln a ++=B ．()ln ab ln a ln b +++=+C ．()aln ln a ln b b+++-D ．()ln a b ln a ln b +++++E ．()2ln a b ln a ln b ln ++++++【解析】解：对于A ，由定义，当1a 时，1b a ，故()()b b ln a ln a blna +==，又bln a blna +=， 故有()b ln a bln a ++=；当01a <<时，1b a <，故()0b ln a +=，又1a <时0bln a +=，所以此时亦有()b ln a bln a ++=． 由上判断知A 正确；对于B ，此命题不成立，可令2a =，13b =，则23ab =，由定义()0ln ab +=，2ln a ln b ln +++=， 所以()ln ab ln a ln b +++≠+；由此知B 错误； 对于C ，当0a b >时，1a b ，此时()aln ln b+= ()0a b ，当1a b 时，()aln a ln b lna lnb ln b++-=-=，此时命题成立；当1a b >>时，ln a ln b lna ++-=，此时aa b>，故命题成立； 同理可验证当10a b >>时，()aln ln a ln b b++-+成立；当1ab<时，同理可验证是正确的，故C 正确； 对于D ，若01a b <+<，0b >时，左0=，右端0，显然成立； 若1a b +>，则()22a bln a b ln a ln b ln ln ln a ln b ++++++++++⇔+，成立，故D 错误，E 正确．故选：ACE ．8． 如图，PA 垂直于以AB 为直径的圆所在的平面，点C 是圆周上异于A ，B 的任一点，则下列结论中正确的是( )A ．PB AC ⊥ B ．PC BC ⊥C ．AC ⊥平面PBCD ．平面PAB ⊥平面PBCE ．平面PAC ⊥平面PBC【解析】解：由题意，BC AC ⊥，若PB AC ⊥，则AC ⊥平面PBC ，可得AC PC ⊥，与AC PA ⊥矛盾，故A 、C 错误；BC AC ⊥，又PA ⊥底面ABC ，PA BC ∴⊥，则BC ⊥平面PAC ，则BC PC ⊥，故B 、E 正确；平面PAC ⊥平面PBC ，若平面PAB ⊥平面PBC ，而平面PAB ⋂平面PAC PA =，则PA ⊥平面PBC ，可得PA PC ⊥，与AC PA ⊥矛盾，故D 错误． 故选：BE ．9． 下面说法中错误的是( )A ．经过定点0(P x ，0)y 的直线都可以用方程00()y y k x x -=-表示B ．经过定点0(P x ，0)y 的直线都可以用方程00()x x m y y -=-表示C ．经过定点(0,)A b 的直线都可以用方程y kx b =+表示D ．不经过原点的直线都可以用方程1x ya b+=表示 E ．经过任意两个不同的点11(P x ，1)y ，22(P x ，2)y 的直线都可以用方程121121()()()()y y x x x x y y --=--表示【解析】解：当直线的斜率不存在时，经过定点0(P x ，0)y 的直线方程为0x x =，不能写成00()y y k x x -=-的形式，故A 错误．当直线的斜率等于零时，经过定点0(P x ，0)y 的直线方程为0y y =，不能写成00()x x m y y -=- 的形式，故B 错误．当直线的斜率不存在时，经过定点(0,)A b 的直线都方程为0x =，不能用方程y kx b =+表示，故C 错误．不经过原点的直线，当斜率不存在时，方程为(0)x a a =≠的形式，故D 错误．经过任意两个不同的点11(P x ，1)y ，22(P x ，2)y 的直线，当斜率等于零时，12y y =，12x x ≠，方程为1y y =，能用方程121121()()()()y y x x x x y y --=--表示；当直线的斜率不存在时，12y y ≠，12x x =，方程为1x x =，能用方程121121()()()()y y x x x x y y --=--表示，故E 正确，故选：ABCD ．10． 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，右顶点为A ，以A 为圆心，b为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点，则有( ) A．渐近线方程为y = B．渐近线方程为y x = C ．60MAN ∠=︒ D ．120MAN ∠=︒【解析】解：由题意可得c e a =2c t =，a ，0t >，则b t =，A ，0)， 圆A的圆心为，0)，半径r 为t ，双曲线的渐近线方程为by x a=±，即y =，圆心A到渐近线的距离为3|3t d ==， 弦长||MN t b ===，可得三角形MNA 为等边三角形， 即有60MAN ∠=︒． 故选：BC ．11． 设有一组圆224:(1)()(*)C x y k k k N -+-=∈，下列四个命题正确的是( ) A ．存在k ，使圆与x 轴相切 B ．存在一条直线与所有的圆均相交 C ．存在一条直线与所有的圆均不相交 D ．所有的圆均不经过原点【解析】解：对于A ：存在k ，使圆与x 轴相切2*()k k k N ⇔=∈有正整数解0k ⇔=或1k =，故A 正确；对于B ：因为圆心(1,)k 恒在直线1x =上，故B 正确；对于C ：当k 取无穷大的正数时，半径2k 也无穷大，因此所有直线与圆都相交，故C 不正确；对于D ：将(0,0)代入得241k k +=，即221(1)k k =-，因为右边是两个相邻整数相乘为偶数，而左边为奇数，故方程恒不成立，故D 正确． 故选：ABD ．12． 一几何体的平面展开图如图所示，其中四边形ABCD 为正方形，E 、F 分别为PB 、PC 的中点，在此几何体中，给出的下面结论中正确的有( )A ．直线AE 与直线BF 异面B ．直线AE 与直线DF 异面C ．直线//EF 平面PADD ．直线DF ⊥平面PBC【解析】解：如图，把几何体恢复原状，显然AE ，BF 异面，可知A 正确； //EF BC ，//BC AD ， //EF AD ∴，//EF ∴平面PAD ，可知C 正确；易知AEFD 为等腰梯形，可知B ，D 错误． 故选：AC ．13． 已知函数()2sin(2)13f x x π=-+，则下列说法正确的是( )A ．()2()6f x f x π-=-B ．()6f x π-的图象关于4x π=对称C ．若1202x x π<<<，则12()()f x f x <D ．若123,,[,]32x x x ππ∈，则123()()()f x f x f x +>【解析】解：()2sin(2)13f x x π=-+，对:()2sin[2()]12sin 212()663A f x x x f x πππ∴-=--+=-+≠-，故A 错误；对B ：当4x π=时，()2sin 1162f x ππ-=-+=-，故()6f x π-关于4x π=对称，故B 正确； 对:()C f x 在(0,)2π上不单调，∴1202x x π<<<，不一定12()()f x f x <，故C 错误；对:()D f x 在5(,)312ππ上单调递增，在5(,)122ππ上单调递减，∴当123,,[,]32x x x ππ∈，由()f x 的图象知123()()()f x f x f x +>，故D 正确． 故选：BD ．14． 已知函数()2x x e e f x --=，()2x xe e g x -+=，则()f x 、()g x 满足( )A ．()()f x f x -=-，()()g x g x -=B ．(2)f f -<（3），(2)g g -<（3）C ．(2)2()()f x f x g x =D ．22[()][()]1f x g x -=【解析】解：()()22x x x x e e e e f x f x -----==-=-，()()2x xe e g x g x -+-==．故A 正确，()f x 为增函数，则(2)f f -<（3），成立，22(2)2e e g -+-=，g （3）33(2)2e e g -+=>-，故B 正确，222()()222(2)222x x x x x xe e e e e ef xg x f x ----+-=⨯=⨯=，故C 正确，22[()][()][()()]f x g x f x g x -=+．[()()]()1x x f x g x e e --=-=-，故D 错误， 故选：ABC ．15． 现有一段长度为n 的木棍，希望将其锯成尽可能多的小段，要求每一小段的长度都是整数，并且任何一个时刻，当前最长的一段都严格小于当前最短的一段长度的2倍，记对n 符合条件时的最多小段数为()f n ，则( ) A ．f （7）3=B ．f （7）4=C ．(30)6f =D ．(30)7f =【解析】解：当7n =时，最多可锯成3段：734322=+=++，f ∴（7）3=，故A 正确，B 不正确；当30n =时，最多能锯6段，具体如下：301218121086610866558665544=+=++=+++=++++=+++++．下证大于6段是不可能成立的：若可锯成7段，设为1x ，2x ，⋯，7x （其中127)x x x ⋯，显然14x >，若14x ，则74x ，而4673130⨯+=>，矛盾，因此15x =或16x =， 当16x =时，只能是6444444++++++，退一步必出现6410+=，或448+=， 8与4共同出现在等式中，由题意知这是不可能的，矛盾同理，当15x =时，∴情况为5544444++++++，或5554443++++++，或5555433++++++，针对以上情形采取还原的方法都可得出矛盾，综上，30n =时最多能锯成6段，即(30)6f =，故C 正确，D 不正确． 故选：AC ．16． 已知O ，A ，B ，C 为平面上两两不重合的四点，且(0)xOA yOB zOC O xyz ++=≠，则( )A ．当且仅当0xyz <时，O 在ABC ∆的外部B ．当且仅当::3:4:5x y z =时，4ABC OBC S S ∆∆= C ．当且仅当x y z ==时，O 为ABC ∆的重心D ．当且仅当0x y z ++=时，A ，B ，C 三点共线【解析】解：对于A ，如图1，若x ，y ，z 只有一个为负时，不妨设0y <，0x >，0z >， 则有xOA yOC +与OB 同向．则O 在ABC ∆的外部， 若x ，y ，z 均为负时，不妨取1x y z ===-，可得0OA OB OC ++=，显然O 为ABC ∆的重心，则O 在ABC ∆的内部， 综上，A 错．对于B ．::3:4:5x y z =时，不妨取3x =，4y =，5z =．分别作3OD OA =，4OE OB =，5OF OC =．则点O 为DEF ∆的重心．11112020360OBC OEF DEF DEF S S S S ∆∆∆∆==⨯=， 111545OAC ODF DEF S S S ∆∆∆==， 111236OAB ODE DEF S S S ∆∆∆==， 1111()60453615ABC DEF DEF S S S ∆∆∆∴=++= 113204155OEF OBC OBC S S S ∆∆∆=⨯=⨯=，正确． 对于C ．当且仅当x y z ==时，且(0)xOA yOB zOC O xyz ++=≠，⇔0OA OB OC ++=O ⇔为ABC ∆的重心，正确．对于D ．0x y z ++=时，且(0)xOA yOB zOC O xyz ++=≠，()0xOA yOB x y OC ⇔+-+=，化为：xCA yBC =，可得A ，B ，C 三点共线． 综上可得：BCD 都正确． 故选：BCD ．17． 下列说法，正确的有( )A ．函数()36f x lnx x =+-的零点只有1个且属于区间(1,2)B ．若关于x 的不等式2210ax ax ++>恒成立，则(0,1)a ∈C ．函数y x =的图象与函数sin y x =的图象有3个不同的交点D ．函数sin cos sin cos ,[0,]4y x x x x x π=++∈的最小值是1【解析】解：①对于选项A ，由函数()36f x lnx x =+-在(0,)+∞为增函数，又f （1）f （2）0<，即函数()36f x lnx x =+-的零点只有1个且属于区间(1,2)，即A 正确，②对于选项B ，关于x 的不等式2210ax ax ++>恒成立，则10a ︒=时，满足题意，202440a a a >⎧︒⎨-<⎩，解得：01a <<，综上可得：[0a ∈，1)，即B 错误，③对于选项C ，设()sin g x x x =-，则()1cos 0g x x '=-，即()y g x =在R 上为增函数，又(0)0g =，即()g x 只有一个零点，即函数y x =的图象与函数sin y x =的图象有1个不同的交点，即C 错误，④对于选项D ，设sin cos )4t x x x π=+=+，因为[0x ∈，]4π，所以[1t ∈，所以211()22h t t t =+-，[1t ∈，，所以()min h t h =（1）1=，即D 正确，综合①②③④得： 正确的有A ，D ， 故选：AD ．18． 已知x ，y ，z R ∈，且x y z π++=，则cos cos cos f x y z =++的最值情况为( ) A ．最大值为3B ．最小值为3-C ．最大值为32D ．最小值为32-【解析】解：x ，y ，z R ∈，且x y z π++=，可得x y π==，z π=-时，oosx ，cos y ，cos z 取得最小值1-，即f 取得最小值3-； 当cos x ，cos y ，cos 0z >，可得f 取得最大值， 由cos y x =，02x π<，sin y x '=-，cos 0y x ''=-<，即有函数cos y x =在[0，)2π为凸函数，由()y f x =为区间I 上的凸函数，可得 1212()()()()n nf x f x f x x x x f n n++⋯+++⋯+，可得3cos cos cos 3cos 3cos 332x y z f x y z π++=++==， 即有f 的最大值为32． 故选：BC ．19． 在数列{}n a 中，*n N ∈，若211(n n n na a k k a a +++-=-为常数），则称{}n a 为“等差比数列”，下列对“等差比数列”的判断正确的为( ) A ．k 不可能为0B ．等差数列一定是“等差比数列”C ．等比数列一定是“等差比数列”D ．“等差比数列”中可以有无数项为0 【解析】解：对于A ，k 不可能为0正确；对于B ，1n a =时，{}n a 为等差数列，但不是等差比数列； 对于C ，若等比数列11n n a a q -=，则2110n n n na a k q a a +++-==≠-，所以{}n a 为等差比数列；对于D ，数列0，1，0，1，0，1，⋯，0，1．是等差比数列，且有无数项为0， 故选：ACD ．。
2021年高考数学二轮复习专题提分教程中难提分突破特训四42
中难提分突破特训(四)1 •在△ ABC中，内角A, B, C的对边分别为a, b, c,其面积S= b2sin A(1)求c的值;⑵设内角A的平分线AD交BC于D, AD- #, a= 3，求b.1 2 c解(1)由S^ -bc sin A= b sin A,可知c = 2b,即卩=2.2 b⑵由角平分线定理可知，BD= 甘,C**3,4b2+ 3- b2在厶ABC中, cos B=--- —•2b • 24 44b + -- 亠亠 3 3在厶ABD中, cos B= -----------3 2・2b・丁2 4 44b + 一一4b2+ 3-b2T 3 3即= ，解得b= 1.•2b • 3 2 2•2b •2 •现代社会，“鼠标手”已成为常见病，一次实验中, 10名实验对象进行160分钟的连续鼠标点击游戏，每位实验对象完成的游戏关卡一样，鼠标点击频率平均为180次/分钟，实验研究人员测试了实验对象使用鼠标前后的握力变化，前臂表面肌电频率(sEMG)等指标.(1)10名实验对象实验前、后握力(单位：N)测试结果如下:实验前：346,357,358,360,362,362,364,372,373,376实验后：313,321,322,324,330,332,334,343,350,361完成下列茎叶图，并计算实验后握力平均值比实验前握力的平均值下降了多少N?323334353637(2)实验过程中测得时间t(分)与10名实验对象前臂表面肌电频率(sEMG)的中位数y(Hz) 的9 组对应数据(t , y)为(0,87) , (20,84) , (40,86) , (60,79) , (80,78) ,(100,78) , (120,76), (140,77) , (160,75).建立y关于时间t的线性回归方程;(3)若肌肉肌电水平显著下降，提示肌肉明显进入疲劳状态，根据(2)中9组数据分析,使用鼠标多少分钟就该进行休息了?9参考数据：耳=i ( t i— t )( y i— y ) =— 1800;A A A参考公式：回归方程y = bx + a 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:nA召 t i — t y i—y A — A_ b =——n , a = y — b t .2召(t i- t )解(1)根据题意得到茎叶图如下图所示，― 1由图中数据可得 x 1 = 10 X (346 + 357 + 358 + 360 + 362 + 362 + 364 + 372 + 373 + 376)=363,— 1X 2 = 10X (313 + 321 + 322 + 324 + 330 + 332 + 334 + 343+ 350 + 361) = 333, /• x 1 — X 2= 363 — 333 = 30(N), •••故实验前后握力的平均值下降了 30 N.1(2)由题意得 t = - X (0 + 20 + 40 + 60 + 80+ 100 + 120+ 140+ 160) = 80, —1y = -X (87 + 84 + 86 + 79+ 78 + 78 + 76 + 77 + 75) = 80,9 __ _ - 2 2 2 2 2 2 2召(t i — t ) = (0 — 80) + (20 — 80) + (40 — 80) + (60 — 80) + (80 — 80) + (100 —80) +(120 — 80) 2+ (140 — 80) 2+ (160 —80) 2= 24000,9____ 又葛(t i —T)( y i—y) =— 1800,9___A召 ti— tyi—y— 1800 _• b= — — = 2^000 =—0.075,=ti—tA A二 a = y —b t = 80 — ( — 0.075) X 80= 86, • y 关于时间t 的线性回归方程为y =— 0.075 t + 86.⑶9组数据中40分钟到60分钟y 的下降幅度最大，提示60分钟时肌肉已经进入疲劳状 态，故使用鼠标60分钟就该休息了.n 13.如图，四棱锥 P — ABCD 中, AB// DC / ，AB= AD= g C* 2, PD= PB=y/6, PD实脸后3124 0243丄BC(1) 求证：平面PBDL平面PBCn(2) 在线段PC上是否存在点M使得平面ABM与平面PBD所成锐二面角为—?若存在，求CM勺值；若不存在，说明理由.解(1)证明：因为四边形ABC西直角梯形，n且AB// DC AB= AD-2,Z ADC=—,所以BD- 2 2,又因为CD-4，/ BD(--.4根据余弦定理得BO 2 2,所以cD= B D + BC,故BCL BD又因为BCL PD PDA BD- D,且BD PD?平面PBD所以BCL平面PBD又因为BC?平面PBC所以平面PBC L平面PBD(2)由(1)得平面ABC丄平面PBD设E为BD的中点，连接PE因为PB= PD- 6 ,所以PE L BD PE= 2 ,又因为平面ABC丄平面PBD平面ABC A平面PB—BD所以PE!平面ABCD如图，以A为坐标原点，分别以AD AB, E~P的方向为x , y , z轴正方向，建立空间直角坐标系Axyz ,则 A (0,0,0) , B (0,2,0) , C (2,4,0) , D (2 , 0,0) , P (1,1,2), 假设存在Ma , b , c )满足要求， 设當入(o 三入三1)，即CM=入S P(a — 2, b — 4, c )=入(—1, — 3,2)，得 a = 2 —入，b = 4 — 3 入，c =2 入， 贝U M2 —入，4 -3入，2入),易得平面PBD 勺一个法向量为B C = (2,2,0). 设n = (x , y , z )为平面ABM 勺一个法向量，XB= (0,2,0) , AM= (2 -入，4 - 3入，2 入),n • AB= 0,2y = 0,由得n • AM= 0,2—入 x + 4 -3 入 y+ 2 入 z= 0,不妨取n = (2入，0,入一2).n因为平面PBD 与平面ABM 所成的锐二面角为 §，所以S|4入丨1|C0S 〈 B C, n〉1= 2 2= 2 , 2p 2X p 4 入 +(入—2)22解得入=3,入=-2(不符合题意，舍去).CM 2故存在点M 满足条件，且Cp= 3.x = 2t — 1, 4.在平面直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为＜ (t 为参数) |y =- 4t — 2原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为 p =—1 — (1) 求曲线C 的直角坐标方程；(2) 设M 是曲线C 上的点，M 是曲线Q 上的点，求|MM |的最小值. ” 2解⑴.=1,，以坐标2 __cos 厂•'•p — p cos 0 = 2，即卩 p = p cos 0 + 2.2 2 2x = p cos 0 , p = x + y ,• x 2+ y 2= (x + 2)2,化简得 y 2_ 4x - 4 = 0.•曲线C 2的直角坐标方程为 y 2— 4x -4= 0.x = 2t - 1,⑵•••• 2x + y + 4 = 0.|y = - 4t - 2,•曲线C 的普通方程为2x + y + 4= 0,表示直线2x + y + 4 = 0. •/ M 是曲线C 上的点，M 是曲线C 2上的点，• | MM |的最小值等于点 M 到直线2x + y + 4 = 0的距离的最小值.2不妨设M (r - 1,2 r )，点M 到直线2x + y + 4 = 0的距离为d ,当且仅当r = -*时取等号.3」5105 .已知函数 f (x ) = | x - 1|.(1) 求不等式f (2x ) -f (x + 1) >2的解集；(2) 若 a >0， b >0且 a + b = f (3)，求证：；a + 1 + .」b + 1W2「2. 解(1)因为 f (x ) = |x - 1|， 所以 f (2x ) -f (x + 1) = |2x - 1| - |x |.1 - x ，x W 0，11 - 3x ，0<x <2,A 1x - 1，x >-，2 *由 f (2x ) - f (x + 1) >2 得 r 1 1x < 0, 0<x <；,x >；,或2，或21-x >2J - 3x >2iX —解得x <- 1或x € ?或x >3,22| r + r +1|10，所以不等式的解集为(一8, —1] u [3 ,+^).⑵证明：a+ b= f(3) = 2,又a>0, b>0,所以要证-...£+ 1 + ：jb+ 1W2 J2成立，只需证(0+1 + b + l)2< (2 2)2成立，即证a+ b+2 + 2；£a+ 1 b+ 1 <8,只需证計:a+ 1 b+ 1 W2成立，因为a>0, b>0,所以根据基本不等式a+ 1 b+ 1 w a +1；b+1■ = 2成立，故命题得证.。
2021年新高考数学函数压轴小题专题突破 专题5 函数嵌套问题(解析版)
专题5 函数嵌套1．已知函数2()(1)x f x x x e =−−，设关于x 的方程25()()()f x mf x m R e−=∈有n 个不同的实数解，则n 的所有可能的值为( ) A ．3B ．1或3C ．4或6D ．3或4或6【解析】解：22()(21))(1)(2)x x x f x e x x x e e x x ′=−++−−=+−， ∴当2x <−或1x >时，()0f x ′>，当21x −<<时，()0f x ′<，()f x ∴在(,2)−∞−上单调递增，在(2,1)−上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， ()f x 的极大值为25(2)f e −=，()f x 的极小值为f （1）e =−． 作出()f x 的函数图象如图所示：25()()()f x mf x m R e−=∈，25()()0f x mf x e ∴−−=，△2200m e=+>， 令()f x t =则，则125t t e=−．不妨设120t t <<，（1）若1t e <−，则2250t e <<，此时1()f x t =无解，2()f x t =有三解； （2）若1t e =−，则225t e =，此时1()f x t =有一解，2()f x t =有两解； （3）若10e t −<<，则225t e >，此时1()f x t =有两解，2()f x t =有一解； 综上，25()()f x mf x e−=有三个不同的实数解．故选：A ．2．已知函数())f x x R =∈，若关于x 的方程2()()10f x mf x m −+−=恰好有4个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为( ) A．(1,1)2e+ B．(0 C ．1(1,1)e+ D．【解析】解：化简可得0()0x f x x =<…，当0x >时，()0f x …，()f x ′= 当102x <<时，()0f x ′>，当12x >时，()0f x ′<， 故当12x =时，函数()f x有极大值1()2f =； 当0x <时，()0f x ′=<，()f x 为减函数，作出函数()f x 对应的图象如图：∴函数()f x 在(0,)+∞上有一个最大值为1()2f =； 设()t f x =，当t >()t f x =有1个解，当t =()t f x =有2个解，当0t <<时，方程()t f x =有3个解， 当0t =时，方程()t f x =有1个解， 当0t <时，方程()m f x =有0个解，则方程2()()10f x mf x m −+−=等价为210t mt m −+−=，等价为方程21(1)[(1)]0t mt m t t m −+−=−−−=有两个不同的根1t =，或1t m =−， 当1t =时，方程()t f x =有1个解，要使关于x 的方程2()()10f x mf x m −+−=恰好有4个不相等的实数根，则1t m −∈，即01m <−<11m <<+， 则m的取值范围是1) 故选：A ．3．已知函数|1|2,0()21,0x e x f x x x x − >= −−+…，若方程2()()20f x bf x ++=有8个相异实根，则实数b 的取值范围()A ．(4,2)−− B．(4,−− C ．(3,2)−− D．(3,−−【解析】解：令()f x t =，则方程2()()20f x bf x ++=⇔方程220t bt ++=． 如图是函数|1|2,0()21,0x e x f x x x x − >= −−+ …，的图象，根据图象可得：方程2()()20f x bf x ++=有8个相异实根⇔方程220t bt ++=．有两个不等实数解1t ，2t 且1t ，2(1,2)t ∈．可得22280112032220122b b b b b =−> ++> ⇒−<<− ++><−< ． 故选：D ．4．已知函数22,0()(1),0x x x f x ln x x −+>= −+< ，关于x 的方程2()2()10()f x af x a a R −+−=∈有四个相异的实数根，则a 的取值范围是( )A ．(,0)−∞B ．[1，)+∞C ．(,0)[2−∞ ，)+∞D ．(−∞，0)(1∪，)+∞【解析】解：函数22,0()(1),0x x x f x ln x x −+>=−+< 的图象如图： 方程2()2()10()f x af x a a R −+−=∈有四个相异的实数根， 必须()f x 由两个解，一个()1f x >，一个()(0f x ∈，1)， 或者()(0f x ∈，1)，另一个()0f x …，2()2()10()f x af x a a R −+−=∈，可得()f x a =±，当1a >时，1a +>，(0,1)a −．满足题意．当1a =时，2a +=，0a −=，不满足题意． 考察选项可知，D 正确； 故选：D ．5．已知函数33,0()1,0xx x x f x x lnx x ex −= ++> …，若关于x 的方程2()()10f x mf x −−=恰好有6个不相等的实根，则实数m 的取值范围是( ) A ．(2−，11e + )B ．(2−，0 )(∪ 0，11e + )C ．2321(,)2e e e+−+D ．( 32−，0 )(∪ 0，221)e e e ++【解析】解：当0x …时，3()3f x x x =−，则2()333(1)(1)f x x x x ′=−=−+， 令()0f x ′=得：1x =−，∴当(,1)x ∈−∞−时，()0f x ′<，()f x 单调递减；当(1,0)x ∈−时，()0f x ′>，()f x 单调递增，且(1)2f −=−，(0)0f =，当0x >时，1()x x lnx f x e x +=+，则21()x x lnxf x e x−−′=+，显然f ′（1）0=，∴当(0,1)x ∈时，()0f x ′>，()f x 单调递增；当(1,)x ∈+∞时，()0f x ′<，()f x 单调递减，且f （1）11e=+， 故函数()f x 的大致图象如图所示：，令()t f x =，则关于x 的方程2()()10f x mf x −−=化为关于t 的方程210t mt −−=， △240m =+>，∴方程210t mt −−=有两个不相等的实根，设为1t ，2t ， 由韦达定理得：12t t m +=，1210t t =−<，不妨设10t >，20t <，关于x 的方程2()()10f x mf x −−=恰好有6个不相等的实根， ∴由函数()f x 的图象可知：1101t e<<+，220t −<<，设2()1g t t mt =−−，则(2)0(0)01(1)0g g g e−>< +>，解得：23212e m e e+−<<+， 故选：C ．6．已知函数|1|221,0()21,0x x f x x x x − −= ++< …，若关于x 的方程22()(1)()20f x m f x m −++=有五个不同实根，则m 的值是( ) A ．0或12B ．12C ．0D ．不存在【解析】解：画出函数()f x 的图象，如图所示：，当()1f x =时，有三个根，把()1f x =代入方程22()(1)()20f x m f x m −++=得，21(1)20m m −++=， 解得：0m =或12， 当0m =时，方程22()(1)()20f x m f x m −++=为2()()0f x f x −=，所以()0f x =或1，所以有五个根， 当12m =时，方程22()(1)()20f x m f x m −++=为231()()022f x f x −+=，所以()1f x =或12，所以有7个根，舍去，综上所求，0m =时，方程22()(1)()20f x m f x m −++=有五个不同实根， 故选：C ．7．已知函数2(2),0()|2|,0x x f x x x += −>…，方程2()()0f x af x −=（其中(0,2))a ∈的实根个数为p ，所有这些实根的和为q ，则p 、q 的值分别为( ) A ．6，4B ．4，6C ．4，0D ．6，0【解析】解：2()()0f x af x −= ， ()0f x ∴=或()f x a =．作出()f x 的函数图象如图所示：由图象可知()0f x =有两解，()f x a =有四解． 6p ∴=．由图象可知()0f x =的两解为2x =−，2x =，()f x a =的四个解中，较小的两个关于直线2x =−对称，较大的两个关于直线2x =对称， 0q ∴=．故选：D ．8．已知函数()(1)(1)g x a x ln x =++的图象在点2(1e −，2(1))g e −处的切线与直线610x y ++=垂直( 2.71828e =…是自然对数的底数），函数()f x 满足3()(1)0xf x g x x +−−=，若关于x 的方程2()()0(f x bf x c b −+=，c R ∈，且0)c <在区间1[,]e e上恰有3个不同的实数解，则实数b 的取值范围是()A ．21(1,2]e + B ．221[2,2]e e+−C ．2221[2,]e e e−+ D ．221(2,]e e+ 【解析】解：函数()(1)(1)g x a x ln x =++的导数为()(1)g x aln x a ′=++， 可得()g x 图象在点2(1e −，2(1))g e −处的切线斜率为3a ， 由切线与直线610x y ++=垂直，可得36a =， 解得2a =，()2(1)(1)g x x ln x =++，3()(1)0xf x g x x +−−=，可得2()2f x x lnx =−， 导数为222(1)(1)()2x x f x x x x −+′=−=， 当1x >时，()0f x ′>，()f x 递增；当01x <<时，()0f x ′<，()f x 递减． 即有1x =处()f x 取得最小值1． 则()f x 在1[e，]e 的图象如右：若关于x 的方程2()()0(f x bf x c b −+=，c R ∈，且0)c < 在区间1[,]e e上恰有3个不同的实数解，可令()t f x =，则20t bt c −+=，（1） 可得t 的范围是[1，22]e −，方程（1）判别式为240b c −>，必有两不同的实数解， 设为1t ，2t ，12t t b +=， 可得11t =，22112t e<+…， 即21112b e <−+…， 解得2123b e <+…，① 又212122t e e +<−…， 22112t e <+…， 则21222113t t b e e e+<+=+…，② 由①②求并可得2212b e e <+…， 故选：D ．9．已知函数()1xf x x =+，(1,)x ∈−+∞，若关于x 的方程2()|()|230f x m f x m +++=有三个不同的实数解，则m 的取值范围是( ) A ．3(2−，0)B ．3(2−，4)3−C ．3(2−，4]3−D ．4(3−，0)【解析】解：1()11f x x −=++，|()|y f x =，(1,)x ∈−+∞的图象如下：设|()|f x t =，则2|()||()|230f x m f x m +++=有三个不同的实数解，即为2230t mt m +++=有两个根， ①0t =时，代入2230t mt m +++=得32m =−，即2302t t −=，另一根为32只有一个交点，舍去②一个在(0,1)上，一个在[1，)+∞上时， 设2()23h t t mt m =+++(0)230(1)1230h m h m m =+>=+++ …，解得3423m −<−…． 故选：C ．10．已知函数2()x x f x e=，若关于x 的方程2[()]()10f x mf x m ++−=恰有3个不同的实数解，则实数m 的取值范围是( )A ．(0,2)B ．1(1,2)e −C ．24{1,1}e −D ．24(1,1)e − 【解析】解：函数2()x x f x e=的导数为22()x x x f x e −′=， 当02x <<时，()0f x ′>，()f x 递增；当2x >或0x <时，()0f x ′<，()f x 递减，可得()f x 在0x =处取得极小值0，在2x =处取得极大值241e <， 作出()y f x =的图象，设()t f x =，关于x 的方程2()()10f x mf x m ++−=，即为210t mt m ++−=，解得1t =−或1t m =−，当1t =−时，()1f x =−无实根； 由题意可得当241(0,)t m e =−∈， 解得241m e −=或1m =， 所以24(1m e ∈−，1) 故选：D ．11．已知函数()1x x f x e=−，若关于x 的方程2[()]()10f x mf x m ++−=恰有3个不同的实数解，则实数m 的取值集合是( )A ．(−∞，2)(2∪，)+∞B ．1(2,)e −+∞C ．1(2,2)e −D ．12e −【解析】解：由题意1()x x f x e −′=．令1()0xx f x e −′==，解得1x =； 且1x >时，()0f x ′<，1x <时，()0f x ′>，所以()f x 在(,1)−∞上单调递增，在(1,)+∞上单调递减， 在1x =处取极大值11e=−． ()f x 大致图象如下：令()t f x =，则2[()]()10f x mf x m ++−=可化为210t mt m ++−=． 假设2m =，则2210t t ++=．解得1t =−，即()1f x =−．根据()f x 图象，很明显此时只有一个解，故2m =不符合题意，由此排除B 选项；假设3m =，则2320t t ++=，解得12t =−，21t =−．即()2f x =−，或()1f x =−．根据()f x 图象，很明显此时方程只有两个解，故3m =不符合题意，由此排除A 选项． 假设12m e=−时，则211(2)10t t e e +−+−=，解得111t e =−，21t =−． 即()1f x =−或1()1f x e=−， 根据()f x 的图象，很明显此时方程只有两个根， 故12m e=−不符合题意，由此排除D 故选：C ．12．已知函数||||()1x x f x e =+，2(),0()2,0f x x g x x x a x = −+>…，且g （1）0=，则关于x 的方程(())10g g x t −−=实根个数的判断正确的是( )A ．当2t <−时，方程(())10g g x t −−=没有相异实根B ．当110t e−+<<或2t =−时，方程(())10g g x t −−=有1个相异实根 C ．当111t e <<+时，方程(())10g g x t −−=有2个相异实根 D ．当111t e−<<−+或01t <…或11t e =+时，方程(())10g g x t −−=有4个相异实根 【解析】解：当0x …时，||||()111x x x x x f x xe e e−−=+=+=−+， 因为g （1）0=，所以120a −+=，所以1a =，所以21,0()21,0x xe x g x x x x −+= −+> …， 图象如图所示：当0x …时，0x −…，0x e >， 则11x xe −+…，当且仅当0x =时等号成立，()g x 在(,1)−∞−上是增加的，在(1,0)−上是减少的；当0x >时，()f x 在(0,1)上是减少的，在(1,)+∞上是增加的，故()(1)0g x g −=…恒成立．故()g x 在(,1)−∞−上是增加的，在(1,1)−上是减少的，在(1,)+∞上是增加的． 令()m g x t =−，则()10g m −=，解得：0m =或2m =，当0m =即()0g x t −=时，()g x t =，当2t <−时，()2g x <−，无解，当2m =即()2g x t −=时，()2g x t =+，当2t <−时，()0g x <，无解，故方程(())10g g x t −−=没有相异实根，故A 正确；当2t =−时，由A 可知：()0g x =，解得1x =， 当110t e −+<<时，12(1,2)t e+∈+， 由上可知()f x 在1x =−时取得极大值为1(1)1g e−=+， 结合图象可知，此时2y t =+与()g x 有且仅有一个交点，故B 正确； 当111t e<<+时，()g x t =或()2g x t =+， 若()g x t =，结合图象可知()g x 与y t =有三个不同的交点，若()2g x t =+，12(3,3)t e+∈+， 此时()g x 与y t =有一个交点，故方程(())10g g x t −−=有4个相异实根，故C 错误； 当111t e −<<−+时，1()2(1,1)g x t e=+∈+， 由C 可知此时有三个不等实根，当01t <…时，()g x t =或()2g x t =+，当()g x t =时，由图可知有两个不等实根，当()2g x t =+时，由图可知有一个实根， 当11t e=+时，()g x t =或()2g x t =+， 当()g x t =时，由图可知有两个不等实根，当()2g x t =+时，由图可知有一个实根，故此时方程(())10g g x t −−=共有9个不等实根，故D 错误．故选：AB ．13．已知函数,1()1,12lnx x f x x x = −< …，则函数()(()1)g x f f x =+的零点是 1 ，若()(()1)h x f f x m =++有两个零点1x ，2x ，则12x x +的最小值是 ．【解析】解：()(()1)g x f f x =+，,1()1,12lnx x f x x x = −< …， 当1x …时，0lnx …，()11f x +…，则(()1)(1)f f x ln lnx +=+，当1x <时，1112x −+>，则(()1)(2)2x f f x ln +=−． (1),1()(()1)(2),12ln lnx x g x f f x x ln x + ∴=+= −< …， 令()0g x =，则1(1)0x ln lnx += …或1(2)02x x ln < −= ， 解得1x =．故函数()(()1)g x f f x =+的零点是1；由上可知，(()1)(()1)f f x ln f x +=+，()(()1)h x f f x m =++有两个零点1x ，2x ，即(()1)ln f x m +=−有两根，也就是()1m f x e −+=，()1m f x e −=−有两根1x ，2x ，不妨设12x x <， 当1x …时，21m lnx e −=−，当1x <时，1112m x e −−=−， 令112m t e −=−>，则 2lnx t =，2t x e =，112x t −=，122x t =−， ∴1222t x x e t +=+−，12t >， 设()22t t e t ϕ=+−，12t >， 则()2t t e ϕ′=−，可得当1(2t ∈，)lnt 时，()0t ϕ′<， 当(,)t lnt ∈+∞时，()0t ϕ′>，则()t ϕ的最小值为(2)422ln ln ϕ=−．12x x ∴+的最小值是422ln −．故答案为：1；422ln −．14．已知函数,1()1,12lnx x f x x x = −< …，若()(()1)F x f f x m =++有两个零点1x ，2x ，则12x x 的取值范围(−∞ ．【解析】解：当1x …时，()0f x lnx =…，则()11f x +…，(()1)(()1)f f x ln f x ∴+=+，当1x <时，1()122x f x =−>，则3()12f x +>， (()1)(()1)f f x ln f x ∴+=+，综上可知，()(()1)(()1)F x f f x m ln f x m =++=++，令()0F x =，得()1m f x e −+=，依题意，()1m f x e −=−有两个根1x ，2x ，不妨设12x x <， 当1x …时，21m lnx e −=−，当1x <时，1112m x e −−=−， 令112m t e −=−>，则1221,,1,222t x lnx t x e t x t ==−==−， ∴121(22),2t x x e t t =−>， 设1()(22),2t g t e t t =−>，则()20t g t te ′=−<，()g t ∴在1(,)2+∞上单调递减，∴1()()2g t g <， 12x x ∴的取值范围为(−∞．故答案为：(−∞．15．已知函数,2()48,25x ex x e f x x x x= − > …（其中e 为自然对数的底数），若关于x 的方程22()3|()|20f x a f x a −+=恰有5个相异的实根，则实数a 的取值范围为 1{}2 ． 【解析】解：当2x …时，令()0xe exf x e −′==，解得1x =， 所以当1x …时，()0f x ′>，则()f x 单调递增，当12x 剟时，()0f x ′<，则()f x 单调递减， 当2x >时，4848()555x f x x x −==−单调递增，且()[0f x ∈，4)5作出函数()f x 的图象如图：（1）当0a =时，方程整理得2()0f x =，只有2个根，不满足条件；（2）若0a >，则当()0f x <时，方程整理得22()3()2[()2][()]0f x af x a f x a f x a ++=++=，则()20f x a =−<，()0f x a =−<，此时各有1解，故当()0f x >时，方程整理得22()3()2[()2][()]0f x af x a f x a f x a −+=−−=，()2f x a =有1解同时()f x a =有2解，即需21a =，12a =，因为f （2）22212e e e ==>，故此时满足题意；或()2f x a =有2解同时()f x a =有1解，则需0a =，由（1）可知不成立； 或()2f x a =有3解同时()f x a =有0解，根据图象不存在此种情况，或()2f x a =有0解同时()f x a =有3解，则21245a a e> < …，解得245a e <…， 故2[a e ∈，4)5（3）若0a <，显然当()0f x >时，()2f x a =和()f x a =均无解，当()0f x <时，()2f x a =−和()f x a =−无解，不符合题意．综上：a 的范围是12{}[2e ，4)5故答案为12{}[2e ，4)516．已知函数231,0()26,0a x x f x x lnx x x ++< = −> ，若关于x 的方程()()0f x f x +−=恰有四个不同的解，则实数a 的取值范围是 (2,0)− ．【解析】解：已知定义在(−∞，0)(0∪，)+∞上的函数231,0()26,0a x x f x x lnx x x ++< = −> ， 若()()0f x f x +−=在定义域上有四个不同的解 等价于231a y x x =++关于原点对称的函数231a y x x=−+−与函数()26(0)f x lnx x x =−>的图象有两个交点， 联立可得226310a lnx x x x −+−+=有两个解， 即23263a xlnx x x x =−++，0x >，可设23()263g x xlnx x x x =−++，0x >，2()32129g x lnx x x ′=+−+，2()1812120g x x x ′′=+−−=…，可得()g x ′在(0,)+∞递增， 由g ′（1）0=，可得01x <<时，()0g x ′<，()g x 递减；1x >时，()0g x ′>，()g x 递增， 即()g x 在1x =处取得极小值且为2−，作出()y g x =的图象，可得20a −<<时，226310a lnx x x x−+−+=有两个解， 故答案为：(2,0)−．17．已知函数21,0()21,0x x f x x x x + = −+> …，若关于x 的方程2()()0f x af x −=恰有5个不同的实数解，则a 的取值范围是 (0,1) ．【解析】解：作()f x 的图象如下，，2()()()(())0f x af x f x f x a −=−=， ()0f x ∴=或()f x a =； ()0f x = 有两个不同的解， 故()f x a =有三个不同的解， 故(0,1)a ∈；故答案为：(0,1)．18．已知函数()|1|33f x x x x =−−+．（1）求函数()f x 的零点；（2）若关于x 的方程2()()0(f x mf x n m −+=、)n R ∈恰有5个不同的实数解，求实数m 的取值范围．【解析】解：（1）由题得2223,(1)()|1|3343,(1)x x x f x x x x x x x −−+<=−−+= −+…， ①当1x <时，令()0f x =，得3x =−或1x =（舍)；②当1x …时，令()0f x =，得1x =或3x =， ∴函数()f x 的零点是3−，1，3；（2）作出函数2223,(1)()|1|3343,(1)x x x f x x x x x x x −−+<=−−+= −+…的大致图象，如图：令()t f x =，若关于x 的方程2()()0f x mf x n −+=恰有5个不同的实数解， 解法一：则函数2()g t t mt n =−+的零点分布情况如下：①当11t =−，2(1,4)t ∈−时，则(1)0(4)0142g g b a −= > −<−< ，得101640142m n m n m ++= −+> −<< ，故(2,3)m ∈−； ②当14t =，2(1,4)t ∈−时，则(4)0(1)0142g g b a = −> −<−< ，得164010142m n m n m −+= ++> −<< ，故(3,8)m ∈．综上所述，实数m 的取值范围为(2m ∈−，3)(3∪，8)； 解法二：则方程20t mt n −+=的根的情况如下： ①当11t =−，2(1,4)t ∈−时，由11t =−得10m n ++=，则方程2(1)0t mt m −−+=，即(1)(1)0t t m +−−=，故21(1,4)t m =+∈−，所以(2,3)m ∈−； ②当14t =，2(1,4)t ∈−时，由14t =得1640m n −+=，则方程24(4)0t mt m −+−=，即(4)(4)0t t m −−+=，故24(1,4)t m =−∈−，所以(3,8)m ∈．综上所述，实数m 的取值范围为(2m ∈−，3)(3∪，8)．19．已知函数2()sin()2cos 1,468f x x x x R πππ=−−+∈． （1）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；（2）若关于x 的方程()()24410,43f x mf x x −+=∈在内有实数解，求实数m 的取值范围． 【解析】解：（1）23()sin()2cos 1sin cos cos sin cos cos sin()4684646442443f x x x x x x x x ππππππππππππ=−−+=−−=−=−… （3分） ∴函数()f x 的最小正周期为8．…（4分） 令222432k x k ππππππ−−+剟，k Z ∈，求得2108833k x k −+剟，k z ∈，故函数的单调递增区间为210[8,8]33k k −+，k Z ∈…（6分）（2）设()t f x =，4(3x ∈ ，4)，∴2(0,)433x πππ−∈，()(0f x ∴∈，∴方程2410t mt −+=在(0t ∈内有实数解，即当(0t ∈时方程有实数解．…（10分） 11442t t t += 当且仅当…时取等号，4m ∴…，…（8分） 故实数m 的取值范围是[4，)+∞．…（12分） 20．已知函数()g x 对一切实数x ，y R ∈都有()()(22)g x y g y x x y +−=+−成立，且g （1）0=，()(1)(h x g x bx c b =+++，)c R ∈，()()g x f x x=． （Ⅰ）求(0)g 的值和()g x 的解析式；（Ⅱ）记函数()h x 在[1−，1上的最大值为M ，最小值为m ．若4M m −…，当0b >时，求b 的最大值；（Ⅲ）若关于x 的方程2(|21|)30|21|x x k f k −+−=−有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围． 【解析】解：（Ⅰ）令1x =，0y =得g （1）(0)1g −=−，g （1）0=，(0)1g ∴=， 令0y =得()(0)(2)g x g x x −=−，即2()21g x x x =−+．（Ⅱ）2()(1)h x g x bx c x bx c =+++=++．①当12b −<−，即2b >时，M m h −=（1）(1)24h b −−>，与题设矛盾②当102b −−<…时，即02b <…时，M m h −=（1）2()(1)422b b h −−+…恒成立， 综上可知当02b <…时，b 的最大值为2．（3）当0x =时，210x −=则0x =不是方程的根， 方程2(|21|)30|21|x x k f k −+−=−可化为： 2|21|(23)|21|(12)0x x k k −−+−++=，|21|0x −≠， 令|21|x t −=，则方程化为2(23)(12)0t k t k −+++=，(0)t >， 方程2(|21|)310|21|x x k f k −+−−=−有三个不同的实数解， ∴由|21|x t =−的图象知， 2(23)(12)0t k t k −+++=，(0)t >，有两个根1t 、2t ， 且1201t t <<<或101t <<，21t =． 记2()(23)(12)h t t k t k =−+++，则(0)210(1)0h k h k =+> =−<，此时0k >， 或(0)210(1)032012h k h k k =+> =−= + << ，此时k 无解， 综上实数k 的取值范围是(0,)+∞．。
山东2021新高考数学二轮复习板块2高考专项突破解答题命题区间精讲精讲1三角函数和解三角形课件
(2)在△ADC中，AC＝7，AD＝5，DC＝3， ∴cos∠ADC＝AD2＋2ADDC·D2－C AC2＝522＋×352×－372＝－12，∴∠ADC＝
23π.
在△ABD中，AD＝5，B＝π4，∠ADB＝π3，由sin∠ABADB＝sAinDB，
得AB＝AD·ssiinn∠BADB＝5×sinsiπ4nπ3＝5×2223＝5
化为边a，b的等式. 第3步：化简 利用第1步、第2步的结论化简 得b＝c. 第4步：变角 利用三角形内角和定理求A． 第5步：计算 根据条件②及第4步的结论求 得结果.
4分
←于是3b22＋b32b－2 c2＝ 23，由此可得b＝c，
6分
←所以B＝C＝π6，A＝23π.
8分
←由因②此c，si选n A条＝件3，②所时以问c题＝中b＝的2三角3，形a存＝在6. ，
(2)由题意得g(x)的解析式为g(x)＝－2sin 4x＋1， 当1π2≤x≤π3时，π3≤4x≤43π，－ 23≤sin 4x≤1， ∴－1≤g(x)≤ 3＋1， ∴g(x)在1π2，π3上的值域为[－1， 3＋1]．
2．(2020·济宁模拟)在①函数 f (x)的图象中相邻的最高点与最低 点的距离为 5，②函数 f (x)的图象的一条对称轴方程为 x＝－1，③函 数 f (x)的一个对称中心的横坐标为12，这三个条件中任选一个，补充 在下面题目的横线处，并解决问题.
[解]
(1)由bcos
A＋
22a＝c，根据正弦定理得sin
BcosBiblioteka A＋2 2 sinA＝sin C，
sin
Bcos
A＋
2 2 sin
A＝sin(A＋B)，sin
Bcos
A＋
2021新高考数学精选考点专项突破：三角函数的图像与性质
三角函数的图像与性质一、单选题1．（2020届山东省潍坊市高三上期中）sin 225︒= （ ）A ．12-B ．2-C ．D ．1-【答案】B 【解析】因为2sin 225sin(18045)sin 452=+=-=-. 故选：B.2、（2020届北京市昌平区新学道临川学校高三上学期期中考试数学试题）sin 20cos10cos160sin10︒︒-︒︒=（ ）A ．BC ．12-D ．12【答案】D【解析】sin 20cos10cos160sin10︒︒-︒︒sin 20cos10cos20sin10=︒︒+︒︒ sin30=︒12=. 故选：D.3、（2020年全国1卷）设函数()cos π()6f x x ω=+在[π,π]-的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为（ ）A. 10π9 B.7π6 C. 4π3D. 3π2【答案】C【解析】由图可得：函数图象过点4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭，将它代入函数()f x 可得：4cos 096ππω⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭又4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 图象与x 轴负半轴的第一个交点， 所以4962πππω-⋅+=-，解得：32ω= 所以函数()f x 的最小正周期为224332T πππω===故选：C4、（2020·浙江温州中学高三3月月考）函数()sin 2sin3f x x x =+的最小正周期为（ ） A ．π B ．2πC ．3πD ．6π【答案】B 【解析】2y sin x =的最小正周期为：π；函数3y sin x =的最小正周期为：23π， π与23π的最小公倍数为：2π， 所以函数()23f x sin x sin x =+的最小正周期为：2π． 故选：B ．5、（2020年天津卷）已知函数()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．给出下列结论： ①()f x 的最小正周期为2π； ②2f π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的最大值； ③把函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度，可得到函数()y f x =的图象． 其中所有正确结论的序号是 A. ① B. ①③C. ②③D. ①②③【答案】B【解析】因为()sin()3f x x π=+，所以周期22T ππω==，故①正确；51()sin()sin 122362f ππππ=+==≠，故②不正确； 将函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度，得到sin()3y x π=+的图象，故③正确. 故选：B.6、（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知345sin πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos α=（ ）A B C D 【答案】A 【解析】0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,444πππα⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭4cos 45πα⎛⎫-== ⎪⎝⎭，cos cos cos cos sin sin 444444ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=--- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦4355=-=故选：A7、（2020届山东省济宁市高三上期末）函数22cos cos 1yx x ，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】∵22()2cos ()cos()12cos cos 1()f x x x x x f x -=--+-+=-++=， ∴函数()f x 为偶函数.故排除选项A ，D.2219()2cos cos 12(cos ),,4822f x x x x x ππ⎡⎤=-++=--+∈-⎢⎥⎣⎦，∵0cos 1x ≤≤， ∴当1cos 4x =时，()f x 取得最大值98；当cos 1x =时，()f x 取得最小值0.故排除C. 故选：B.8、（2020届山东师范大学附中高三月考）为了得函数23y sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需把函数2y sin x =的图象（ ） A ．向左平移6π个单位 B ．向左平移3π单位 C ．向右平移6π个单位 D ．向右平移3π个单位【答案】A【解析】不妨设函数2y sin x =的图象沿横轴所在直线平移ϕ个单位后得到函数23y sin x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象．于是，函数2y sin x =平移ϕ个单位后得到函数，sin 2()y x ϕ=+，即sin(22)y x ϕ=+， 所以有223k πϕπ=+，6k πϕπ=+，取0k =，6π=ϕ．答案为A ．9、（2020届山东实验中学高三上期中）已知函数()sin 2f x a x x =的图象关于直线12x π=-对称，若()()124f x f x ⋅=-，则12a x x -的最小值为（ ） A ．4πB ．2π C ．πD ．2π【答案】B 【解析】()f x 的图象关于直线12x π=-对称，(0)()6f f π∴=-，即-1a =，则()sin 222sin 26f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，12()()4f x f x =-，1()2f x ∴=，2()2f x =-或1()2f x =-，2()2f x =，即1()f x ，2()f x 一个为最大值，一个为最小值， 则12||x x -的最小值为2T，T π=， 12||x x ∴-的最小值为2π，即12a x x -的最小值为2π.故选：B ．10、（2020·武邑县教育局教研室高三上期末（理））已知()cos 2cos 2παπα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，且()1tan 3αβ+=，则tan β的值为（ ） A ．-7 B ．7C ．1D ．-1【答案】B 【解析】因为()cos 2cos 2παπα⎛⎫-=+⎪⎝⎭， 所以sin 2cos αα=-，即tan 2α，又()1tan 3αβ+=，则tan tan 11tan tan 3αβαβ+=-，解得tan β= 7， 故选B.11、（2020届山东省潍坊市高三上期中）已知函数()sin cos f x x x =+，则（ ） A ．()f x 的最小正周期为π B ．()y f x =图象的一条对称轴方程为4x π=C ．()f x 的最小值为2-D ．()f x 的0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数 【答案】B【解析】()sin cos )4f x x x x π=+=+，对A ，()f x ∴的最小正周期为2π，故A 错误；对B ，()42f ππ==()y f x ∴=图象的一条对称轴方程为4x π=，故B 正确；对C ，()f x 的最小值为，故C 错误； 对D ，由[0,]2x π∈，得3[,]444x πππ+∈，则()f x 在[0,]2π上先增后减，故D 错误． 故选：B ．12、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）若π1sin 34α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πcos 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）．A ．78-B ．14-C ．14 D ．78【答案】A 【解析】2π2π2πππcos 2cos π2cos 2cos 22sin 133333ααααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=--=--=--⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 1721168=⨯-=-． 故选A ．13、（2020届山东省临沂市高三上期末）已知函数2()2cos 12f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭(0)>ω的图象关于直线4x π=对称，则ω的最小值为（ ）A ．13B ．16C ．43D ．56【答案】A 【解析】2()2cos 12f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()1cos 26f x x πω⎛⎫∴=+- ⎪⎝⎭，又因为2()2cos 12f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象关于4x π=对称，所以2()46k k Z ππωπ⨯-=∈，即12()3k k Z ω=+∈， 因为0>ω，所以ω的最小值为13.故选：A.14、（2020年全国3卷）关于函数f （x ）=1sin sin x x+有如下四个命题： ①f （x ）的图像关于y 轴对称． ②f （x ）的图像关于原点对称． ③f （x ）的图像关于直线x =2π对称． ④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________． 【答案】②③【解析】对于命题①，152622f π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，152622f π⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭，则66f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，函数()f x 的图象不关于y 轴对称，命题①错误；对于命题②，函数()f x 的定义域为{},x x k k Z π≠∈，定义域关于原点对称，()()()()111sin sin sin sin sin sin f x x x x f x x x x ⎛⎫-=-+=--=-+=- ⎪-⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于原点对称，命题②正确；对于命题③，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫-=-+=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫+=++=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭，则22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，命题③正确；对于命题④，当0x π-<<时，sin 0x <，则()1sin 02sin f x x x=+<<， 命题④错误. 故答案为：②③.15、（2020届山东省滨州市高三上期末）已知函数()2sin(2)f x x ϕ=+的图象过点,26A π⎛⎫⎪⎝⎭，则（ ） A ．把()y f x =的图象向右平移6π个单位得到函数2sin 2y x =的图象 B ．函数()f x 在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减C ．函数()f x 在区间[]0,2π内有五个零点D ．函数()f x 在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1【答案】D【解析】因为函数()2sin(2)f x x ϕ=+的图象过点,26A π⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以2sin 23πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因此2,32k k Z ππϕπ+=+∈，所以2,6k k Z πϕπ=+∈，因此()2sin(2)2sin 222sin 266f x x x k x ππϕπ⎛⎫⎛⎫=+=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； A 选项，把()y f x =的图象向右平移6π个单位得到函数2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，故A 错； B 选项，由3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈得2,63k x k k Z ππππ+≤≤+∈，即函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递减区间是：2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，故B 错；C 选项，由()2sin 206f x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭得2,6x k k Z ππ+=∈，即,122k x k Z ππ=-+∈， 因此[]0,2x π∈，所以5111723,,,12121212x ππππ=，共四个零点，故C 错； D 选项，因为0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以52,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，因此1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以[]2sin 21,26x π⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，即()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小值为1，故D 正确；故选：D.二、多选题16、（2020年山东卷）下图是函数y = sin(ωx +φ)的部分图像，则sin(ωx +φ)= （ ）A. πsin(3x +）B. πsin(2)3x -C. πcos(26x +）D. 5πcos(2)6x -【答案】BC【解析】由函数图像可知：22362T πππ=-=，则222T ππωπ===，所以不选A, 当2536212x πππ+==时，1y =-∴()5322122k k Z ππϕπ⨯+=+∈， 解得：()223k k ϕππ=+∈Z ，即函数的解析式为：2sin 22sin 2cos 2sin 236263y x k x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.而5cos 2cos(2)66x x ππ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭ 故选：BC.17、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）设函数()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ） A ．π-是()f x 的一个周期 B ．()f x 的图像可由sin 2y x =的图像向右平移3π得到 C ．()f x π+的一个零点为6x π=D ．()y f x =的图像关于直线1712x π=对称 【答案】ACD【解析】()sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为π，故π-也是其周期，故A 正确； ()f x 的图像可由sin 2y x =的图像向右平移6π得到，故B 错误； ()77()()sin sin 066323f f ππππππ⎛⎫+==-== ⎪⎝⎭，故C 正确； sin sin 17175()1262sin 132f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=== ⎪ =⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故D 正确. 故选：ACD18、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移2π个单位长度得到()g x 图象，则下列判断正确的是（ ） A ．函数()g x 在区间,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 B ．函数()g x 图象关于直线712x π=对称 C ．函数()g x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 D ．函数()g x 图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称 【答案】ABD【解析】函数()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像向右平移2π个单位长度得到()ππsin 223g x x ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2πsin 23x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.由于7π7π2ππsin sin 112632g ⎛⎫⎛⎫=-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故7π12x =是()g x 的对称轴，B 选项正确. 由于π2π2πsin sin 00333g ⎛⎫⎛⎫=-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭是()g x 的对称中心，D 选项正确. 由π2ππ2232x -≤-≤，解得π7π1212x ≤≤，即()g x 在区间π7π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，故A 选项正确、C 选项错误. 故选：ABD.19、（2020届山东省济宁市高三上期末）将函数()sin 2f x x =的图象向右平移4π个单位后得到函数()g x 的图象,则函数()g x 具有性质( ) A ．在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,为偶函数 B ．最大值为1,图象关于直线32x π=-对称 C ．在3,88ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增,为奇函数 D ．周期为π,图象关于点3,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称 【答案】ABD 【解析】()sin 2sin 2cos 242x x x g x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭则20,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()cos2g x x =-单调递增，为偶函数，A 正确C 错误；最大值为1，当32x π=-时23x π=-，为对称轴，B 正确； 22T ππ==，取2,,242k x k x k Z ππππ=+∴=+∈，当1k =时满足，图像关于点3,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，D 正确； 故选：ABD20、（2020届山东省烟台市高三上期末）已知函数()()sin 322f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象关于直线4x π=对称，则（ ）A ．函数12f x π⎛⎫+⎪⎝⎭为奇函数 B ．函数()f x 在,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．若()()122f x f x -=，则12x x -的最小值为3πD ．函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度得到函数cos3y x =-的图象 【答案】AC【解析】因为直线4x π=是()()sin 322f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的对称轴,所以()342k k Z ππϕπ⨯+=+∈,则()4k k Z πϕπ=-+∈,当0k =时,4πϕ=-,则()sin 34f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭, 对于选项A,sin 3sin 312124f x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦,因为()sin 3sin3x x -=-,所以12f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数,故A 正确； 对于选项B,()232242k x k k Z πππππ-+<-<+∈,即()21212343k kx k Z ππππ-+<<+∈,当0k =时,()f x 在,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦当单调递增,故B 错误；对于选项C,若()()122f x f x -=,则12x x -最小为半个周期,即21323ππ⨯=,故C 正确； 对于选项D,函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度,即()sin 3sin 3sin 344x x x πππ⎡⎤⎛⎫--=-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,故D错误 故选：AC21、（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）已知函数()sin cos f x x x =-，()g x 是()f x 的导函数，则下列结论中正确的是（ ）A ．函数()f x 的值域与()g x 的值域不相同B ．把函数()f x 的图象向右平移2π个单位长度，就可以得到函数()g x 的图象 C ．函数()f x 和()g x 在区间,44ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上都是增函数 D ．若0x 是函数()f x 的极值点，则0x 是函数()g x 的零点 【答案】CD【解析】∵函数f （x ）＝sinx ﹣cosx =（x 4π-）∴g （x ）＝f '（x ）＝cosx +sinx =（x 4π+）， 故函数函数f （x ）的值域与g （x ）的值域相同， 且把函数f （x ）的图象向左平移2π个单位，就可以得到函数g （x ）的图象， 存在x 0=+,4k k Z ππ-∈，使得函数f （x ）在x 0处取得极值且0x 是函数()g x 的零点，函数f （x ）在,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上为增函数，g （x ）在,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上也为增函数，∴单调性一致， 故选：CD ．三、填空题22、（2020年江苏卷）将函数y =πsin(2)43x ﹢的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是____. 【答案】524x π=-【解析】3sin[2()]3sin(2)6412y x x πππ=-+=- 72()()122242k x k k Z x k Z πππππ-=+∈∴=+∈当1k =-时524x π=- 故答案为：524x π=- 23、（2020年全国1卷）.已知 π()0,α∈，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=______．【解析】3cos28cos 5αα-=，得26cos 8cos 80αα--=， 即23cos 4cos 40αα--=，解得2cos 3α=-或cos 2α=（舍去），又(0,),sin 3απα∈∴==24、（2020年浙江卷）已知tan 2θ=，则cos2θ=________；πtan()4θ-=______． 【答案】 (1).35 (2). 13【解析】2222222222cos sin 1tan 123cos 2cos sin cos sin 1tan 125θθθθθθθθθ---=-====-+++， tan 1211tan()41tan 123πθθθ---===++，故答案为：31,53-25、（2020年江苏卷）】已知2sin ()4πα+ =23，则sin 2α的值是____. 【答案】13【解析】221sin ()(cos )(1sin 2)4222παααα+=+=+121(1sin 2)sin 2233αα∴+=∴= 故答案为：1326、（2019年高考江苏卷）已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是 . 【答案】10【解析】由()tan 1tan tan tan 2tan 1πtan 13tan 1tan 4αααααααα-===-++⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，得23tan 5tan 20αα--=，解得tan 2α=，或1tan 3α=-. πππsin 2sin 2cos cos 2sin 444ααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭)22222sin cos cos sin sin 2cos 2=22sin cos αααααααα⎛⎫+-=+ ⎪+⎝⎭222tan 1tan tan 1ααα⎫+-⎪+⎝⎭， 当tan 2α=时，上式222212==22110⎛⎫⨯+- ⎪+⎝⎭ 当1tan 3α=-时，上式=22112()1()33[]=1210()13⨯-+---+综上，πsin 2410α⎛⎫+= ⎪⎝⎭四、解答题27、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知函数()sin()f x A x ωϕ=+，其中0A >，0>ω，(0,)ϕπ∈，x ∈R ，且()f x 的最小值为-2，()f x 的图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π，()f x 的图象过点,03π⎛-⎫⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的解析式和单调递增区间； （2）若[0,2]x π函数()f x 的最大值和最小值.【解析】（1）∵函数()sin()f x A x ωϕ=+的最小值是-2，∴2A =， ∵()f x 的图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π，∴24T ππω==，解得：12ω=又∵()f x 的图象过点,03π⎛-⎫⎪⎝⎭， ∴123k πϕπ⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭，k ∈Z ﹐解得：6k πϕπ=+，k ∈Z ，又∵(0,)ϕπ∈，解得：6π=ϕ. 可得：1()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭因为1222262k x k πππππ-+≤+≤+，k ∈Z∴424433k x k ππ-+π≤≤+π，k ∈Z 所以()f x 的递增区间为：424,433k k ππ⎡⎤-+π+π⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .（2）∵[0,2]x π ∴17,2666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， ∴11sin 1226x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭ ∴1()2f x -≤≤所以()f x 的最大值为2，最小值为-1.28、（2020届山东师范大学附中高三月考）设函数5()2cos()cos 2sin()cos 122f x x x x x ππ=++++. （1）设方程()10f x -=在(0,)π内有两个零点12,x x ，求12x x +的值； （2）若把函数()y f x =的图象向左平移6π个单位，再向下平移2个单位，得函数()g x 图象，求函数()g x 在[,]33ππ-上的最值.【解析】（1）由题设知()sin 21cos 21224f x x x x π⎛⎫=-+++=++ ⎪⎝⎭，()10,221,cos 2442f x x x ππ⎛⎫⎛⎫-=++=∴+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 32244x k πππ+=+或522,44x k k Z πππ+=+∈ 得4x k ππ=+或2x k ππ=+，12123(0,),,,424x x x x x ππππ∈∴==∴+=（2）=()y f x 图像向左平移6π个单位，得222222643412y x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦再向下平移2个单位得()212g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭当[,]33x ππ∈-时，73(2)[,]12124x πππ+∈-，sin(2)[1,1]12x π+∈- ()f x ∴在[,]33ππ-，最小值为.29、（2020届山东省济宁市高三上期末）已知()()2sin cos 2f x x x x ππ⎛⎫=-+-⎪⎝⎭. (1)若1210f α⎛⎫=⎪⎝⎭,求2cos 23πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值; (2)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对应的边分别,,a b c ,若有()2cos cos a c B b C -=,求角B 的大小以及()f A 的取值范围.【解析】 (1)()211cos cos 2cos 222f x x x x x x =-=--1sin 262x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 因为11sin 26210f απα⎛⎫⎛⎫=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以3sin 65πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭所以2223cos 2cos 22sin 1213365πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=--=⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭725=- (2)因为()2cos cos a c B b C -=,由正弦定理得:()2sin sin cos sin cos ,A C B B C -=所以2sin cos sin cos sin cos A B C B B C -=, 即()2sin cos sin sin A B B C A =+=,因为sin 0A >,1cos 23B B π=∴=，，所以22=033A C A ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，，,72,666A πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭,所以1sin 2,162A π⎛⎫⎛⎤-∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦,所以()f A 的取值范围是11,2⎛⎤- ⎥⎝⎦30、（2020届山东实验中学高三上期中）己知函数()cos sin 244f x x x x a ππ⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为1.（1）求实数a 的值；（2）若将()f x 的图象向左平移6π个单位，得到函数()g x 的图象，求函数()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【解析】（1）()cos sin 244f x x x x a ππ⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2sin 22sin 22f x x x a x x a π⎛⎫∴=+++=++ ⎪⎝⎭2sin 23x a π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭21a ∴+=，1a ∴=- （2）将()f x 的图象向左平移6π个单位，得到函数()g x 的图象， ()22sin 212sin 216633g x f x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+=++-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦2252,333x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦∴当22233x ππ+=时，2sin 232x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，()g x 1， 当23232x ππ+=时，2sin 213x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，()g x 取最小值3-.31、（2020·浙江温州中学3月高考模拟）已知()sin()f x A x ωφ=+（0,04,)2A πωφ><<<）过点1(0,)2，且当6x π=时，函数()f x 取得最大值1.（1）将函数()f x 的图象向右平移6π个单位得到函数()g x ，求函数()g x 的表达式； （2）在（1）的条件下，函数2()()()2cos 1h x f x g x x =++-，求()h x 在[0,]2π上的值域.【解析】 (1)由函数()f x 取得最大值1，可得1A =,函数过10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭得12sin φ=，,26ππφφ<= 12,6662f k k Z ππππωπ⎛⎫=⇒+=+∈ ⎪⎝⎭，∵04ω<<，∴2ω=()26f x sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()266g x f x sin x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(2) ()22226h x x cos x sin x π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭， 710,,2,21266626x x sin x πππππ⎡⎤⎛⎫∈≤+≤-≤+≤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，12226sin x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，值域为[]1,2-.。
山东专用2021新高考数学二轮复习板块2高考专项突破_解答题命题区间精讲精讲4概率与统计课件
所以
P(A)
＝
P(A1B1)
＋
P(A2B2)
＝
P(A1)P(B1|A1)
＋
P(A2)P(B2|A2)
＝
4 16
×116＋116×21＝634.
(2)X 可能的取值为 400，500，800，并且 P(X＝800)＝14，P(X＝
500)＝116，
P(X＝400)＝1－116－14＝1116，
所以 X 的分布列为
[高考题型全通关] 1．一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中 任取 4 件进行检验，这 4 件产品中优质品的件数记为 n.如果 n＝3， 再从这批产品中任取 4 件进行检验，若都为优质品，则这批产品通过 检验；如果 n＝4，再从这批产品中任取 1 件进行检验，若为优质品， 则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设 这批产品的优质品率为 50%，即取出的每件产品是优质品的概率都 为12，且各件产品是不是优质品相互独立．
结合题干信息 分析待求概率 的模型.
比2赛根四据场赛结制束，，至共少有需三要种进情行况四，场比赛，至多需要进行五场比赛， 甲连胜四场的概率为116； ←乙连胜四场比赛的概率为116；
第2步：辨析
丙上场后连胜三场的概率为18.
4分
辨析各事件间 所以需要进行五场比赛的概率为
的关系.
←P＝1－116－116－18＝34.
经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都 为12. (1)求甲连胜四场的概率； (2)求需要进行第五场比赛的概率； (3)求丙最终获胜的概率. 本题考查：相互独立事件、互斥事件的概率等知识，逻辑推理、数 学运算的核心素养.
思维导图
答题模板
2021届高考数学专题突破利用空间向量求空间距离(解析版)
2021届高考数学立体几何突破性讲练09利用空间向量求空间距离一、考点传真：能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用． 二、知识点梳理：空间距离的几个结论(1)点到直线的距离：设过点P 的直线l 的方向向量为单位向量n ，A 为直线l 外一点，点A 到直线l 的距离d ＝|P A →|2－|P A →·n |2. (2)点到平面的距离：设P 为平面α内的一点，n 为平面α的法向量，A 为平面α外一点，点A 到平面α的距离d ＝|P A →·n ||n |.(3)线面距离、面面距离都可以转化为点到面的距离． 三、例题：例 1.(2018天津)如图，AD BC ∥且2AD BC =，AD CD ⊥，EG AD ∥且EG AD =，CD FG ∥且2CD FG =，DG ⊥平面ABCD ，2DA DC DG ===．(1)若M 为CF 的中点，N 为EG 的中点，求证：MN ∥平面CDE ； (2)求二面角E BC F --的正弦值；(3)若点P 在线段DG 上，且直线BP 与平面ADGE 所成的角为60，求线段DP 的长．【解析】依题意，可以建立以D 为原点，分别以DA ，DC ，DG 的方向为x 轴，y 轴，z轴的正方向的空间直角坐标系（如图），可得(0,0,0)D ，(2,0,0)A ，(1,2,0)B ，(0,2,0)C ，(2,0,2)E ，(0,1,2)F ，(0,0,2)G ，3(0,,1)2M ，(1,0,2)N ．N ABC D EF G M(1)证明：依题意(0,2,0)DC =，(2,0,2)DE =．设0(,,)x y z =n 为平面CDE 的法向量，则0000DC DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，n n 即20220y x z =⎧⎨+=⎩，，不妨令1z =-，可得0(1,0,1)=-n ． 又3(1,,1)2MN =-，可得00MN ⋅=n ，又因为直线MN ⊄平面CDE ，所以MN ∥平面CDE ．(2)依题意，可得(1,0,0)BC =-，(122)BE =-，，，(0,1,2)CF =-．设(,,)x y z =n 为平面BCE 的法向量，则00BC BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，n n 即0220x x y z -=⎧⎨-+=⎩，，不妨令1z =，可得(0,1,1)=n ．设(,,)x y z =m 为平面BCF 的法向量，则00BC BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，m m 即020x y z -=⎧⎨-+=⎩，， 不妨令1z =，可得(0,2,1)=m ．因此有cos ,||||10⋅<>==m n m n m n，于是sin ,<>=m n 所以，二面角E BC F --． (3)设线段DP 的长为h ([0.2]h ∈)，则点P 的坐标为(0,0,)h ，可得(12)BP h =--，，． 易知，(0,2,0)DC =为平面ADGE 的一个法向量，故cos BP DC BP DC BP DCh ⋅<⋅>==3sin602==，解得[0,2]3h=．所以线段DP例2. （2014新课标2）如图，四棱锥P ABCD-中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设二面角D AE C--为60°，AP=1，AD求三棱锥E ACD-的体积．【解析】（Ⅰ）连接BD交AC于点O，连结EO．因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点．又E为PD的中点，所以EO∥PB．EO⊂平面AEC,PB⊄平面AEC，所以PB∥平面AEC．（Ⅱ）因为PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直．如图，以A为坐标原点，AB的方向为x轴的正方向，AP为单位长，建立空间直角坐标系Axyz-，则D1(0,),22E1(0,)2AE=．设(,0,0)(0)B m m>，则(C m(AC m=．设1(,,)x y z=n为平面AEC的法向量，则110,0,AC AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即0,10,22mx y z ⎧+=+=⎪⎩，可取1=-n ． 又2(1,0,0)=n 为平面DAE 的法向量， 由题设121cos ,2=n n12=，解得32m =． 因为E 为PD 的中点，所以三棱锥E ACD -的高为12． 三棱锥E ACD -的体积113132228V =⨯⨯=． 例3.(2013天津) 如图， 四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1A A ⊥底面ABCD ，AB DC ∥，AB AD ⊥，1AD CD ==，12AA AB ==，E 为棱1AA 的中点．（Ⅰ）证明11B C CE ⊥；（Ⅱ）求二面角11B CE C --的正弦值；（Ⅲ）设点M 在线段1C E 上；且直线AM 与平面11ADD A， 求线段AM 的长．【解析】解法一 如图，以点A 为原点建立空间直角坐标系，1A 1依题意得A(0，0，0)，B(0，0，2)，C(1，0，1)，B 1(0，2，2)，C 1(1，2，1)，E(0，1，0)（Ⅰ）易得=（1，0，-1），=（-1，1，-1），于是，所以． （Ⅱ） =（1，-2，-1）．设平面1B CE 的法向量，则，即消去，得y+2z =0，不妨令z=1，可得一个法向量为=（-3，-2，1）．由（Ⅰ）知，，又，可得平面，故=（1，0，-1）为平面的一个法向量． 于是从而 所以二面角B 1－CE －C 1的正弦值为． （Ⅲ）=（0，1，0），=(1，l ，1)，设，，有．可取=（0，0，2）为平面的一个法向量，设为直线AM 与平面所成的角， 则，解得，所以11B C CE 110BC CE ⋅=11B C CE ⊥1B C (),,x y z =m 100B C CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 200x y z x y z --=⎧⎨-+-=⎩x m 11B C CE ⊥111CC B C ⊥11B C ⊥1CEC 11B C 1CEC 111111cos ,||||14B C B C B C ⋅<>===m m m 1121sin ,7B C <>=m 7AE 1EC ()1,,EM EC λλλλ==01λ≤≤(),1,AM AE EM λλλ=+=+AB 11ADD A θ11ADD A sin cos ,3AM AB AM AB AM ABθ⋅=<>==⋅6=13λ=AM =例4.（2012福建）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中11AA AD ==，E 为CD 中点.（Ⅰ）求证：11B E AD ⊥；（Ⅱ）在棱1AA 上是否存在一点P ,使得DP ∥平面1B AE ？若存在，求AP 的行；若存在，求AP 的长；若不存在，说明理由．（Ⅲ）若二面角11A B E A --的大小为30°，求AB 的长． 【解析】（Ⅰ）以A 为原点1,,AB AD AA 的方向分别为x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)．设AB a =,则(0,0,0)A ，(0,1,0)D ，1(0,1,1)D ，,1,02a E ⎛⎫⎪⎝⎭， 1(,0,1)B a 故1(0,1,1)AD =，1,1,12a B E ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，1(,0,1)AB a =，,1,02a AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭．∵11011(1)102aAD B E ⋅=-⨯+⨯+-⨯=， ∴11B E AD ⊥ （Ⅱ）假设在棱AA 1上存在一点0(0,0,)P z ， 使得DP ∥平面1B AE ．此时0(0,1,)DP z =-．又设平面1B AE 的法向量n =(x ,y ,z )．∵n ⊥平面1B AE ，∴1AB ⊥n ,AE ⊥n ，得002ax z ax y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩取1x =，得平面1B AE 的一个法向量1,,2a a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭n ． 要使DP ∥平面1B AE ，只要DP ⊥n ，有002a az -=，解得012z =． 又DP ⊄平面1B AE ，∴存在点P ，满足DP ∥平面1B AE ，此时AP =12．（Ⅲ）连接A 1D ,B 1C ,由长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1及AA 1=AD =1,得AD 1⊥A 1D ．∵B 1C ∥A 1D ,∴AD 1⊥B 1C ．又由（Ⅰ）知B 1E ⊥AD 1,且B 1C ∩B 1E =B 1,∴AD 1⊥平面DCB 1A 1．∴1AD 是平面A 1B 1E 的一个法向量,此时1AD =(0,1,1)． 设1AD 与n 所成的角为θ,则11cos a an AD n AD θ--⋅==⋅．∵二面角A -B 1E -A 1的大小为30°，∴cos cos30θ=3a=解得2a =，即AB 的长为2． 四、巩固练习：1.如图，已知圆柱OO 1底面半径为1，高为π，平面ABCD 是圆柱的一个轴截面，动点M 从点B 出发沿着圆柱的侧面到达点D ，其运动路程最短时在侧面留下曲线Γ.将轴截面ABCD 绕着轴OO 1逆时针旋转θ(0<θ<π)后得到平面A 1B 1C 1D 1，边B 1C 1与曲线Γ相交于点P .(1)求曲线Γ的长度；(2)当θ＝π2时，求点C 1到平面APB 的距离．【解析】 (1)将圆柱一半展开后底面的半个圆周变成长方形的边BA ，曲线Γ就是对角线BD .由于AB ＝πr ＝π，AD ＝π，∴BD ＝2π. 故曲线Γ的长度为2π.(2)当θ＝π2时，建立如图所示的空间直角坐标系，则O (0,0,0)，A (0，－1,0)，B (0,1,0)，P ⎝⎛⎭⎫－1，0，π2，C 1(－1，0，π)，则AB →＝(0,2,0)，AP →＝⎝⎛⎭⎫－1，1，π2，OC 1→＝(－1,0，π)， 设平面ABP 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧2y ＝0，－x ＋y ＋π2z ＝0， 取z ＝2得n ＝(π，0,2)，∴点C 1到平面P AB 的距离d ＝|OC 1→·n ||n |＝ππ2＋4.2.如图，在多面体ABCDE 中，平面ABD ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，AE ⊥BD ，DE ∥12AC ，AD ＝BD ＝1.(1)求AB 的长；(2)已知2≤AC ≤4，求点E 到平面BCD 的距离的最大值．【解析】 (1)∵平面ABD ⊥平面ABC ，且交线为AB ，而AC ⊥AB ，∴AC ⊥平面ABD . 又∵DE ∥AC ，∴DE ⊥平面ABD ，从而DE ⊥BD . 注意到BD ⊥AE ，且DE ∩AE ＝E ，∴BD ⊥平面ADE ， 于是，BD ⊥AD .而AD ＝BD ＝1，∴AB ＝ 2. (2)∵AD ＝BD ，取AB 的中点为O ，∴DO ⊥AB . 又∵平面ABD ⊥平面ABC ，∴DO ⊥平面ABC .过O 作直线OY ∥AC ，以点O 为坐标原点，直线OB ，OY ，OD 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系Oxyz ，如图所示．记AC ＝2a ，则1≤a ≤2， A ⎝⎛⎭⎫－22，0，0，B ⎝⎛⎭⎫22，0，0， C ⎝⎛⎭⎫－22，2a ，0，D ⎝⎛⎭⎫0，0，22，E ⎝⎛⎭⎫0，－a ，22，BC →＝(－2，2a,0)，BD →＝⎝⎛⎭⎫－22，0，22.设平面BCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )． 由⎩⎪⎨⎪⎧BC →·n ＝0，BD →·n ＝0得⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋2ay ＝0，－22x ＋22z ＝0. 令x ＝2，得n ＝⎝⎛⎭⎫2，1a ，2. 又∵DE →＝(0，－a,0)，∴点E 到平面BCD 的距离d ＝|DE →·n ||n |＝14＋1a2.∵1≤a ≤2，∴当a ＝2时，d 取得最大值， d max ＝14＋14＝21717.3.如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CC 1⊥平面ABC ，AC ＝BC ＝12AA 1，D 是棱AA 1的中点，DC 1⊥BD .(1)证明：DC 1⊥BC ；(2)设AA 1＝2，A 1B 1的中点为P ，求点P 到平面BDC 1的距离． 【解析】 (1)证明：由题设知，三棱柱的侧面为矩形． 由于D 为AA 1的中点，故DC ＝DC 1.又AC ＝12AA 1，可得DC 21＋DC 2＝CC 21，所以DC 1⊥DC .DC 1⊥BD ，DC ∩BD ＝D ，所以DC 1⊥平面BCD .又因为BC ⊂平面BCD ，所以DC 1⊥BC .(2)由(1)知BC ⊥DC 1，且BC ⊥CC 1，则BC ⊥平面ACC 1A 1，所以CA ，CB ，CC 1两两垂直．以C 为坐标原点，CA →的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz .由题意知B (0,1,0)，D (1,0,1)，C 1(0,0,2)，B 1(0，1,2)，P ⎝⎛⎭⎫12，12，2，则BD →＝(1，－1，1)，DC 1→＝(－1，0,1)，PC 1→＝⎝⎛⎭⎫－12，－12，0. 设m ＝(x ，y ，z )是平面BDC 1的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ·BD →＝0，m ·DC 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋z ＝0，－x ＋z ＝0，可取m ＝(1,2,1)． 设点P 到平面BDC 1的距离为d ，则d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪PC 1→·m |m |＝64. 4.如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，90CDA BAD ∠=∠=︒，2AB AD DC ===E ，F 分别为PD ，PB 的中点.（1）求证：//CF 平面PAD ；（2）若截面CEF 与底面ABCD 所成锐二面角为4π，求PA 的长度. 【解析】（1）证明：取PA 的中点Q ，连接QF ，QD ，F 是PB 的中点，//QF AB ∴且12QF AB =， 底面ABCD 为直角梯形，90CDA BAD ∠=∠=︒，2AB AD DC ===//CD AB ∴，12CD AB =， //QF CD ∴且QF CD =，∴四边形QFCD 是平行四边形，//FC QD ∴，又FC ⊄平面PAD ，QD ⊂平面PAD ，//FC ∴平面PAD .（2）如图，分别以AD ，AB ，AP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设PA a =。
2021高考数学(新高考版)一轮复习考点考法精练：专项突破一 新高考·新题型专练 Word版含解析
姓名，年级：时间：专项突破 高考学科素养专练专项突破一 新高考·新题型专练一、多项选择题:在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 1。
已知集合M =｛0,1，2｝，N ={x |｜x — 1|≤1}，则 ( ） A.M =N B 。
N ⊆M C 。
M ∩N =M D.(∁R M ）∪N =R 2.已知i 为虚数单位，则下列结论正确的是 ( ） A .复数z =1+2i1-i 的虚部为32B 。
复数z =2+5i -i的共轭复数z -= - 5 — 2i C 。
复数z =12 − 12i 在复平面内对应的点位于第二象限 D .若复数z 满足1z∈R，则z ∈R 3.采购经理指数（简称PMI)是国际上通行的宏观经济监测指标体系之一，对国家经济活动的监测和预测具有重要作用。
制造业PMI 在50％以上，通常反映制造业总体扩张，低于50％，通常反映制造业总体衰退。
如图1 — 1是2018年10月到2019年10月我国制造业PMI 的统计图,下列说法正确的是 （ )图1 - 1A.大部分月份制造业总体衰退B 。
2019年3月制造业总体扩张最大C.2018年11月到2019年10月中有3个月的PMI 比上月增长D.2019年10月的PMI 为49。
3%，比上月下降0。
5个百分点4。
已知函数f (x ）={x 2,x ≤0,-x 2,x >0,则下列结论中正确的是( )A 。
f ( - 2）=4B 。
若f (m ）=9，则m =±3 C.f （x )是偶函数D.f （x )在R 上单调递减5。
已知（ax 2+√x )n(a 〉0）的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，且展开式中各项系数之和为1 024，则下列说法正确的是( )A.展开式中奇数项的二项式系数之和为256B.展开式中第6项的系数最大C.展开式中存在常数项D 。
展开式中含x 15项的系数为45 6。
已知向量a =（1,2），b =(m ，1）(m <0），且满足b ·（a +b )=3,则 ( ） A 。
山东2021新高考数学二轮复习板块2高考专项突破解答题命题区间精讲精讲5解析几何课件
所以 y1＋y2＝4(k2＋k＋1)，y1y2＝4(k＋1)2， 所以|AF|·|BF|＝y1y2＋(y1＋y2)＋1＝8k2＋12k＋9＝8k＋342＋92， 所以当 k＝－34时，|AF|·|BF|取得最小值，且最小值为92.
第 2 步：设点、直 线
由题意可知－3＜n＜3， 由于直线PA的方程为y＝9t x＋3，
设出直线的方程 ←所以y1＝9t x1＋3，
3分
及相交两点的坐 标.
同理可得y2＝3t x2－3，
4分
于是有3y1x2－3＝y2x1＋3①.
5分
由于x922＋y22＝1，所以y22＝－x2＋39x2－3，
←
第 3 步：联立消
y＝kx－4， (1)法一：由y2＝8x
得 k2x2－8(k＋1)x＋16＝0，
由 k≠0 及 Δ＝64(k＋1)2－64k2＝0，得 k＝－12，
所以直线 l 的方程为 y＝－12x－4.
法二：由 y2＝8x 得 y＝± 8x，直线 l 恒过点(0，－4)，则 y＝－ 8x，
设切点为(x0，y0)(y0＜0)，由于 y＝－ 8x，
易证 y＝2t＋1t 在[1，＋∞)上单调递增，
∴2t＋1t ≥3，∴S△ABO≤236，
∴△ABO
面积的最大值为2 3
6 .
02 命题点2 范围问题
圆锥曲线中范围问题的常见解法 (1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义， 则考虑利用图形性质来解决； (2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系， 或不等关系，或已知参数与新参数之间的等量关系等，则可利用这些 关系去求参数的取值范围．
2021年高考新数学解答题挑战满分专项训练2.2 数列(理)(解析版)
专题2.2 数 列1．（1） 等差（比）数列问题解决的基本方法：用公式进行基本量代换； （2）数列求和的方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法．2．数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法．3．一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{b n }的公比，然后作差求解，这也是考查频率比较高的考查点．1．已知正项等差数列{}n a 的前n 项和为3,9n S S =，若1231,1,3a a a +++构成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式． （2）设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：13nT ≥ 【试题来源】二轮复习联考（一）2021届高三 【答案】（1）21n a n =-；（2）证明见解析．【分析】（1）由等差数列和等比数列的定义，即可求出通项公式．（2）利用裂项相消法即可求出数列的和，进而利用不等式放缩即可证明结果． 【解析】（1）由{}n a 为等差数列，39,S =得239a =，则23,a = 又1231,1,3a a a +++构成等比数列，所以()2132()(11)3a a a ++=+， 即()461,)6(d d -+=解得2d =或4d =-(舍)，所以21n a n =-；（2）因为()()1111121212)21211(n n a a n n n n +=--+-+=， 所以12231111n n n T a a a a a a +=+++…111111123352121n n ⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪-+⎝⎭11111213221n n n ==≥=+++.2．已知{}n a 为等差数列，{}n b 为公比大于0的等比数列，且11b =，236b b +=，33a =，4652a a b +=．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）记()121n n n c a b +=-⋅，数列{}n c 的前n 项和为n S ，求n S ． 【试题来源】天津市部分区2021届高三下学期质量调查（一）【答案】（1）n a n =，12n n b -=；（2）()16232n n S n +=+-⨯．【分析】（1）求出{}n a 的公差和{}n b 的公比后可得{}n a 和{}n b 的通项公式． （2）利用错位相减法可求n S ．【解析】（1）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ， 则26q q +=，解得2q或3q =-（舍），故12n n b -=．又()5233316d d b ++=+=，故1d =，故n a n =． （2）()()121212nn n n c a b n +⋅==--⋅，故()23123252212n n S n =⨯+⨯+⨯++-⨯，所以()23412123252212n+n S n =⨯+⨯+⨯++-⨯，所以()()23122222212n n n S n +-=++++--⨯()()()11141222212623212n n n n n -++-=+⨯--⨯=---⨯-，故()16232n n S n +=+-⨯．3．已知{a n }为等差数列，各项都为正数的等比数列{b n }的前n 项和为S n ，且13b =，339S =，127a b =-，4041a b =-．（1）求{}n a ､{}n b 的通项公式；（2）求和1231222n n a a a a a ++++⋯⋯++．【试题来源】陕西省西安市八校2020-2021学年高三上学期第一次联考 【答案】（1）a n =2n ；b n =3n ，n ∈N *；（2）2n 2+4n ．【分析】（1）根据等差等比数列的通项公式及求和公式列出方程组求解即可； （2）变形后根据等差数列的求和公式求和即可．【解析】（1）设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，q >0，由b 1=3，S 3=39，a 1=b 2﹣7，a 40=b 4﹣1，可得3+3q +3q 2=39，a 1=3q ﹣7，a 1+39d =3q 3﹣1， 解得q =3，d =2，a 1=2，则a n =2+2(n ﹣1)=2n ；b n =3•3n ﹣1=3n ，n ∈N *；（2）a 1+2a 2+2a 3+……+2a n +a n +1=2(a 1+a 2+a 3+……+a n +a n +1)﹣a 1﹣a n +1 =2•12(n +1)(2+2n +2)﹣2﹣2(n +1)=2n 2+4n ． 4．已知{}n a 是等差数列，11a =，410a =，且1a ，()k a k *∈N ，6a 是等比数列{}n b 的前3项．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）数列{}n c 是由数列{}n a 的项删去数列{}n b 的项后仍按照原来的顺序构成的新数列，求数列{}n c 的前20项的和．【试题来源】湘豫名校联考2021届高三（4月）【答案】（1）32n a n =-，14n n b -=；（2）767．【分析】（1）根据14,a a 以及等差数列的通项公式计算即可得到n a 结果，然后根据216k a a a =⋅可得k ，最后简单计算可得n b ．（2）根据（1）的条件可知求解的是()()2012241234S a a a b b b b =+++-+++，计算即可．【解析】（1）数列{}n a 是等差数列，设公差为d ，且11a =，410a =．则111310a a d =⎧⎨+=⎩，解得3d =，所以()13132n a n n =+-=-．因为1a ，k a ，6a 是等比数列{}n b 的前3项，则216k a a a =⋅，由于32k a k =-，代入上式解得2k =．于是11b =，24b =，316b =，因此等比数列{}n b 的公比4q =．故数列{}n b 的通项公式为14n n b -=．（2）设数列{}n c 的前20项的和为20S ．因为3422464b a ===，45864256b a ===，则()()2012241234S a a a b b b b =+++-+++()242324131416647672⨯=⨯+⨯-+++=． 5．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =-． （1）求数列{}n a 的通项公式（2）若数列{}n b 满足331n n a og n log b +=，求数列{}n b 的前n 项和． 【试题来源】百校大联考2021届高三第六次大联考【答案】（1）22n a n =-；（2）()181964nn n T +-⨯=．【分析】（1）利用1n n n a S S -=-求通项公式；（2）先根据331n n a og n log b +=求出19n n b n -=⨯，再用错位相减法求和．【解析】()21n S n n =-，∴当1n =时，2111,S =-即10a =；当2n ≥时，()211)1(n S n n -=---，()()()21211n n S S n n n n -⎡⎤∴-=-----⎣⎦．()222n n n a ∴=-≥，验证知，当1n =时，也成立．综上，22n a n =-．()2据()1求解知，22n a n =-．又33n n a log n log b +=，3322n n log n log b ∴-+=，19n n b n -∴=⨯，∴数列{}n b 的前n 项和01211929399n n T n -=⨯+⨯+⨯⋯+⨯，① 12391929399n n T n ∴=⨯+⨯+⨯+⋯+⨯，②①-②得01219191919199n nn n T T n --=⨯+⨯+⨯+⋯+⨯-⨯()1198919n n n T n ⨯-∴-=-⨯-，()181964nn n T +-⨯∴=【名师点睛】数列求和常用方法：（1）公式法； （2）倒序相加法；（3）裂项相消法； （4）错位相减法．6．已知公差0d ≠的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且25a =，1a ，4a ，13a 成等比数列 （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求证数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的n 项和34nT < 【试题来源】内蒙古赤峰市2021届高三下学期3月模拟考试 【答案】（1）21n a n =+；（2）证明见解析．【分析】（1）运用等差数列的通项公式和等比数列中项性质，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；（2）运用等差数列的求和公式，可得()2131222n S n n n n n =+-⋅=+，211111222n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，再由裂项相消求和，可得所求和． 【解析】（1）公差0d ≠的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，25a =，1a ，4a ，13a 成等比数列，则2411325a a a a ⎧=⎨=⎩，即()()121115312a d a d a a d +=⎧⎪⎨+=+⎪⎩解得132a d =⎧⎨=⎩ 则()32121na n n =+-=+；（2）由等差数列求和公式得()2131222n S n n n n n =+-⋅=+， 211111222n S n n n n ⎛⎫∴==- ⎪++⎝⎭， 故11111111111232435112n T n n n n ⎛⎫=-+-+-+⋯+-+- ⎪-++⎝⎭()()1111312331221242124n n n n n +⎛⎫=+--=-⋅< ⎪++++⎝⎭． 【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式和及裂项相消法求和，常见的裂项技巧：（1）()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；（2）1k=； （3）()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；（4）()()122121n n n +-- ()()()()1121212121n n n n ++---=-- 1112121n n +=---；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误，考查学生的运算能力，属于中档题．7．已知等差数列{}n a 的公差2d =，且126a a +=，数列{}n b 是各项均为正数的等比数列，且满足112b =，351256b b =． （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）设数列{}nc 满足12n n n c a b =，其前n 项和为n T ．求证：2n T <． 【试题来源】陕西省宝鸡市2021届高三下学期高考模拟检测（二）【答案】（1）2n a n =，12nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）证明见解析．【分析】（1）根据{}n a 为等差数列及题干条件，可求得1a ，代入等差数列的通项公式，即可求得答案，根据{}n b 为等比数列及题干条件，可求得q ，代入等比数列通项公式，即可求得答案．（2）由（1）可得12nn c n ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，利用错位相减求和法，即可求得前n 项和为nT 的表达式，即可得证．【解析】（1）解：由2d =，且126a a +=．所以1226a +=，解得12a =．故()2212n a n n =+-=． 因为{}n b 为等比数列，0n b >，设公比为q ，则0q >， 所以23541256b b b ⋅==，所以341116b b q ==，所以12q =，∴1111222n n n b -⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2n a n =，12nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭； （2）由（1）得1122nn n n c a b n ⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭， 所以()23111111123122222n nn T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭①，所以()2311111112122222nn n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++-⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭②，所以由①-②得所以231111111222222n n n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111122111(2)12212nn n n n ++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦=-⋅=-+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-， 所以()1222nn T n ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭，所以2n T <． 8．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且314a =，374S =．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若0n a >，求数列n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ． 【试题来源】华大新高考联盟2021届高三3月教学质量测评（全国卷）【答案】（1）112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，31143n n a -⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭；（2）()121nn T n =-⋅+．【分析】（1）根据等比数列的通项公式和前n 项和公式列出关于q 的方程，解出即可得出{}n a 的通项公式；（2）先确定12n nnn a-=⋅，利用错位相减法求和即可．【解析】（1）设数列{}n a 的公比为q ，则123211174444a a a q q ++=++=，即2610q q --=，解得12q =或13q =-； 若12q =，则3133111422n n n n a a q ---⎛⎫⎛⎫==⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，若13q =-，则3331143n n n a a q --⎛⎫==⋅- ⎪⎝⎭；（2）由（1）得，12n nnn a -=⋅， 故01211222322n n T n -=⋅+⋅+⋅++⋅，12321222322n n T n =⋅+⋅+⋅++⋅，两式相减可得012122222212n n n n n T n n --=++++-⋅=--⋅，故()121nn T n =-⋅+．9．已知等比数列{}n a 的各项均为整数，公比为q ，且1q >，数列{}n a 中有连续四项在集合{}96,24,36,48,192M =--中，（1）求q ，并写出数列{}n a 的一个通项公式；（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，证明：数列{}n S 中的任意连续三项按适当顺序排列后，可以成等差数列．【试题来源】江苏省苏锡常镇四市2021届高三下学期3月教学情况调研（一） 【答案】（1）2q =-，()132n n a -=⨯-；（2）证明见解析．【分析】（1）因为1q >，且各项均为整数，所以连续四项为24,48,96,192--，故2q =-，不妨取13a =，故()132n n a -=⨯-；（2）设等比数列{}n a 的首项为1a ，()1123nn a S ⎡⎤--⎣⎦=，再分n 为奇数时和n 为偶数时验证122n n n S S S +++=即可．【解析】（1）因为1q >，且各项均为整数，所以连续四项为24,48,96,192--， 所以公比2q =-，取()113,32n n a a -==⨯-．（2）由题意，()1123nna S ⎡⎤--⎣⎦=， 所以当n 为奇数时，()1123n na S +=，()()1211121212,33n n n n a a SS ++++-+==，所以()11122223n n n n a SS S +++++==，当n 为偶数时，()()11111212,33n n nn a a S S ++-+==()212123n n a S ++-=，所以()11122223n n n n a SS S +++-+==，所以对n S 中的任意连续三项，经顺序调整后可以构成等差数列．【名师点睛】本题考查等比数列的通项公式的求解，前n 项和公式，等差中项证明等差数列等，考查运算求解能力，分类讨论思想，是中档题．本题第二问解题的关键在于分n 为奇数和n 为偶数两种情况，并结合等差中项验证122n n n S S S +++=．10．已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，且4228S S =+． （1）求公差d 的值；（2）若11,n a T =是数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，求使不等式511n T ≥成立的n 的最小值．【试题来源】黑龙江省漠河市高级中学2020-2021学年高三上学期第三次摸底考试 【答案】（1）2d =；（2）5．【分析】（1）{}n a 是公差为d 的等差数列，所以4S =146a d +，2S =12a d +，代入4228S S =+整理即得解；（2）由1a 1,d 2，得21n a n =-，所以()()111111212122121n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， 裂项相消得出n T 11122121nn n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭，解不等式得5n ≥，得到结果． 【解析】（1）由4228S S =+，即11462(2)8a d a d +=++， 化简得48d =，解得2d =；（2）由1a 1,d 2，得21n a n =-，所以111111()(21)(21)22121n n a a n n n n +==--+-+， 所以12231111111111(1)23352121n n n T a a a a a a n n +=+++=-+-++--+ 11(1)22121n n n =-=++，由511n T ≥解得5n ≥，所以n 的最小值为5．【名师点睛】该题考查的是有关数列的问题，解题方法如下：（1）利用等差数列求和公式，根据题中所给的条件，列出等量关系式，求得结果； （2）根据首项和公差，写出数列的通项公式，将11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项求出，之后利用裂项相消法求和，解不等式，求得结果． 11．己知数列{}n a 满足()*1111,202n n n n a a a a a n N ++=-+=∈ （1）证明：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）设n S 为数列{}1n n a a +的前n 项和，证明14n S <【试题来源】山东省临沂市沂水一中2021届高三 二轮复习联考（一） 【答案】（1）证明见解析，12n a n=；（2）证明见解析． 【分析】（1）构造数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，根据1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，即可求得结果． （2）由裂项相消法即可求和，进而证明不等式．【解析】（1）由题对1120n n n n a a a a ++-+=两边同时除以1n n a a +得1112n na a +-= 又112a =，所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为2，公差为2的等差数列， 所以()12212n n n a =+-=，所以12n a n=；（2）由()()11111114141n n a a n n n n +⎛⎫=⨯=⨯- ⎪++⎝⎭所以()1111111111114223141441n S n n n n ⎛⎫⎛⎫=⨯-+-+⋅⋅⋅+-=⨯-=- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭ 因为*n N ∈所以()1114414n -<+，即14n S <.【名师点睛】 1120n n n n a a a a ++-+=，两边同时除以1n n a a +，构造等差数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是本题的关键．本题考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于一般题目．12．数列{}n a 是公差不为0的等差数列，满足11a =，1829a a a =，数列{}n b 满足2n an b =．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）令112233n n n T a b a b a b a b =+++⋅⋅⋅+，求n T 的值． 【试题来源】陕西省2021届高三下学期教学质量检测（三）【答案】（1）n a n =，2nn b =；（2） ()1122n n T n +=-⨯+．【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知条件列出关于d 的方程，解方程求出d ，进而求出数列{}n a 的通项公式，即可求出数列{}n b 的通项公式；（2）利用错位相减法即可求解．【解析】（1）设数列{}n a 的公差为d ．由题意得()()117118d d d +=++，解得1d =或0（舍），所以()111n a n n =+-⨯=，所以2nn b =．（2）由（1）知231122*********nn n n T a b a b a b a b n =+++⋅⋅⋅+=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯，所以()23412122232122nn n T n n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯，两式相减得()2311121212122122n n n n T n n ++-=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯-⨯=-⨯-，所以()1122n n T n +=-⨯+．13．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为324,7,16n S S a a ==．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设11b =，当2n ≥时，2211log log n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【试题来源】江西省八所重点中学2021届高三4月联考 【答案】（1）12n na ；（2）12n T n=-． 【分析】（1）由3247,16S a a ==解出基本量即可得到数列{}n a 的通项公式；（2）由（1）知，111n b n n=--，利用裂项相消法求和． 【解析】（1）因为数列n a 正项等比数列，设公比为q ，且22430,16q a a a >∴==，即2314a a q ==，又()()32123121171714a q q q S a q q qq -++==++=∴=-，，解得2q 或23-(舍) 又111,2n n a a -=∴=．（2）22111112,log log (1)1n n n n b a a n n n n+≥===---，所以1211111112231n n T b b b n n =+++=+-+-++--12n=-． 当1n =时也适合此式，所以12n T n=-． 【名师点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧： （1）()1111n n k k n n k ⎛⎫=-⎪++⎝⎭；（2） 1k=；（3）()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；（4）()()11122n n n =++()()()11112n n n n ⎡⎤-⎢⎥+++⎣⎦，此外需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误．14．已知{}n a 数列满足12a =，1122n n n a a ++-=．（1）证明：数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列． （2）求数列{}12n n a ++的前n 项和．【试题来源】湖南省衡阳市2021届高三下学期一模 【答案】（1）证明见解析；（2）()1122n n S n +=+⋅-．【分析】（1）将1122n n n a a ++-=两边同时除以12n +，即可证数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列； （2）利用（1）的结论可以求出数列{}n a 的通项公式，再利用乘公比错位相减求和．【解析】（1）依题，在1122n n n a a ++-=两边同时除以12n +，得11122n nn n a a ++-=，1112a =，故数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，1为公差的等差数列； （2）由（1）得()112n na n n =+-=，可得2nn a n =⋅， 所以()1222n n n a n ++=+⋅，则数列{}12n n a ++的前n 项和()12332425222n nSn =⋅+⋅+⋅+++⋅①，()()231232421222n n n S n n +=⋅+⋅+++⋅++⋅②，①-②得()()()231121262222242212n n n n n S n n ++--=++++-+⋅+-+⋅-=，所以()1122n n S n +=+⋅-．15．已知等比数列{}n a 的前n 项和2,nn S r =+其中r 为常数．（1）求r 的值；（2）设()221log n n b a =+，若数列{}n b 中去掉数列{}n a 的项后余下的项按原来的顺序组成数列{}n c ，求123100c c c c ++++的值．【试题来源】江苏省南京市、盐城市2021届高三下学期3月第二次模拟考试【答案】（1）1,r =-；（2）11302．【分析】（1）利用等比数列的定义先求数列的前几项，求出首项和公比，从而求出r 的值，但此方法需验证；也可利用1(2)n n n a S S n =≥－－求解；（2）找出数列{}n b 中数列{}n a 的项，再在求和中将其减掉即可．【解析】（1）方法1：因为2n n S r =+，所以当1n =时，112S a r ==+．当2n =时，2124S a a r +==+，故22a =． 当3n =时，31238S a a a r ++==+，故34a =． 因为{}n a 是等比数列，所以2213a a a ，化简得21r +=，解得1,r =-此时21nn S =-．当2n ≥时，11121212n n n n n n a S S ----==-+=－， 当1n =时，1111,2n n a S a -===，所以1,r =-满足题意． 方法2：因为2nn S r =+，所以当1n =时，112S a r ==+． 当2n ≥时，11121212n n n n n n a S S ----==-+=－．因为{}n a 是等比数列，所以21r +=，解得1,r =-． （2）因为12n na ，所以221log 2()n nb a n =+=．因为1213244586161,2,4,8,16,32a a b a b a b a b a b ===========，732864912864,128,256a b a b a b ======，所以123100c c c c ++++1231072345678()()b b b b a a a a a a a ++++-++++++＝107(2214)254113022⨯+=-=．【名师点睛】数列求和的方法技巧（1）倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． （2）错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． （3）分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()*2n n a S n n =+∈N ．（1）求证：数列{}1n a +是等比数列； （2）记()()2221log 1log 1n n n c a a +=+⋅+，求证：数列{}n c 的前n 项和34n T <．【试题来源】东北三省四城市联考暨沈阳市2021届高三质量监测（二） 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）由2n n a S n =+得()11212n n a S n n --=+-≥，作差得121n n a a -=+，进而得1121n n a a -+=+，故数列{}1n a +是等比数列；（2）由（1）得21n n a =-，故()()()22211111log 1log 1222n n n c a a n n n n +⎛⎫===- ⎪+⋅+++⎝⎭，再根据裂项求和证明即可．【解析】（1）因为2n n a S n =+①，所以()11212n n a S n n --=+-≥②， 由①-②得，121n n a a -=+．两边同时加1得()1112221n n n a a a --+=+=+， 所以1121n n a a -+=+，故数列{}1n a +是公比为2的等比数列．（2）令1n =，1121a S =+，则11a =． 由()11112n n a a -+=+⋅，得21nn a =-．因为()()()22211111log 1log 1222n n n c a a n n n n +⎛⎫===- ⎪+⋅+++⎝⎭，所以11111111121324112n T n n n n ⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-+- ⎪-++⎝⎭11113111221242224n n n n ⎛⎫⎛⎫=+--=-+ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭． 因为*11,02224n N n n ∈+>++，所以3113422244n n ⎛⎫-+< ⎪++⎝⎭所以1111311312212422244n n n n n T ⎛⎫⎛⎫=+--=-+< ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭． 【名师点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：（1）()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；（2）1k=； （3）()()1111212122121n n n n ⎛⎫=-⎪-+-+⎝⎭；（4）()()11122n n n =++()()()11112n n n n ⎡⎤-⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误．17．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：2(1)nn n S a =+-，1n ≥．（1）求数列{}n a 的前3项1a ，2a ，3a ；（2）求证：数列()213n na ⎧⎫+⋅-⎨⎬⎩⎭是等比数列： （3）求数列{}(63)n n a -⋅的前n 项和n T ． 【试题来源】天津市红桥区2021届高三下学期一模 【答案】（1）11a =，20a =，32a =；（2）证明见解析；（3）3(23)22,,3(23)22,.n n nn n n T n n n ⎧+-⋅-=⎨+-⋅+⎩为偶数为奇数． 【分析】（1）分别令1,2,3n =计算即可；（2）1n n n a S S -=-（2n ≥）转化为递推数列即可证明； （3）分n 的奇偶性计算即可．【解析】（1）当1n =时，有：()1111211S a a a ==+-=⇒； 当2n =时，有：()221222210S a a a a =+-⇒=+=； 当3n =时，有：()3312333212S a a a a a =++=+-=⇒；综上可知11a =，20a =，32a =；（2）由已知得2n ≥时，1112(1)2(1)n n n n n n n a S S a a ---=-=+---- 化简得1122(1)n n n a a --=+-上式可化为1122(1)2(1)33n n n n a a --⎡⎤+-=+-⎢⎥⎣⎦故数列2(1)3n n a ⎧+-⎫⎨⎬⎩⎭是以112(1)3a +-为首项，公比为2的等比数列． （3）由（2）知121(1)233n n n a -+-=所以1122(1)33n n n a -=⋅-- ()()()16321221nn n n a n -⎡⎤-⋅=---⎣⎦()1=2122(1)(21)n n n n --⋅-⋅-⋅-， 当n 为偶数时，011n 1232(21)22[135(23)(21)]n n n T n -⎡⎤=⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅--+-+⋅⋅⋅--+-⎣⎦ 令0111232(21)2n n A n -=⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅，2[135(23)(21)]n B n n =-+-+⋅⋅⋅--+-01221123252(23)2(21)2n n n A n n --=⋅+⋅+⋅+-⋅+-⋅⋅⋅⋅① 12121232(23)2(21)2n n n A n n -=⋅+⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-⋅+-⋅②则①-②得01212222222(21)2n nn A n --=+⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅--⋅()12112222(21)2n nn -=+++--⋅⋅⋅⋅()121212(21)212n nn --=+⋅--⋅-3(32)2n n =-+-⋅ 3(23)210n n A n ∴=+-⋅，2[135(23)(21)]n B n n =-+-+⋅⋅⋅--+-2222nn =⋅⋅= 所以3(23)22nn n n T A B n n =-=+-⋅-．当n 为奇数时，3(23)2nn A n =+-⋅，2[135(25)(23)(21)]n B n n n =-+-+⋅⋅⋅--+---122212n n -⎛⎫=⋅-+ ⎪⎝⎭2n =-所以3(23)22nn n n T A B n n =-=+-⋅+，综上，3(23)22,,3(23)22,.n n nn n n T n n n ⎧+-⋅-=⎨+-⋅+⎩为偶数为奇数 【名师点睛】本题的核心是考查错位相减求和．一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{b n }的公比，然后作差求解．18．ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若,,A B C 成等差数列，且2c a =． （1）求角A 的大小； （2）设数列{}n a 满足1cos (2)n a nC n n =+，其前n 项和为n S ，求2n S ．【试题来源】黑龙江省佳木斯市第一中学2021届高三第六次调研考试数学试卷【答案】（1）6π；（2）()41n n + 【分析】（1）根据2B A C =+及内角和，得到3B π=，再由2c a =，及余弦定理求解．（2）化简0,21,1,2(2)n n k a k N n k n n =+⎧⎪=∈⎨=⎪+⎩，再利用裂项相消法求2n S ． 【解析】（1）因为,,A B C 成等差数列，2B A C ∴=+， 又A B C π++=，3B π∴=，又2c a =， 由余弦定理得22222222cos4233b ac ac a a a a π=+-==+-即222+=a b c ，所以ABC 是直角三角形，故,26C A ππ==所以角A 的大小为6π． （2）因为0,2111cos cos ,1,2(2)(2)2(2)n n k n a nC k N n k n n n n n n π=+⎧⎪===∈⎨=++⎪+⎩，所以2123421110024462(22)n n S n n a a a a a +=+++++=+++⨯+⨯+11111124462(22)122314()1n n n n ++⨯⨯+⨯⨯+⎛⎫=++=++⎪⎝⎭1111111223411n n ⎛⎫=+-+⎪-++- ⎝⎭()1114141n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭. 19．已知数列{}n a 满足11a =，且点()1,2nn n a a +-在函数()3f x x =的图象上．（1）求证：12n na ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求{}n a 的通项公式： （2）若1n n n a b a +=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证：233n S n >+． 【试题来源】湖南省岳阳市2021届高三下学期高考一模【答案】（1）证明见解析；32n nn a =-；（2）证明见解析．【分析】（1）由题意得123nn n a a +=+，推得11311222n n n n a a ++⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，即可证明12n n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，然后结合等比数列的定义和通项公式即可求得结果；（2）推得1113323212233323331122nnn n n n n nn nn a b a +++⎛⎫⋅- ⎪-⎛⎫⎝⎭====+>+ ⎪-⎝⎭⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由不等式的性质和等比数列的求和公式、数列的单调性，即可求证． 【解析】（1）由点()1,2nn n a a +-在函数()3f x x =的图象上，可得123nn n a a +=+，所以13122n nn na a +=+，即11312222n n n n a a ++=⋅+， 也即11311222n n n n a a ++⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，由11a =，所以113122a +=，所以12n n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项和公比均为32的等比数列，则3122nn n a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以32n n n a =-；（2）1113323212233323331122nnn n n n n nn nn a b a +++⎛⎫⋅- ⎪-⎛⎫⎝⎭====+>+ ⎪-⎝⎭⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，2221332222333222333313nn n n S n n n n ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭>++++=+=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭- 4232333n n ≥+-=+． 【名师点睛】证明数列为等比数列的常用方法：（1）定义法；（2）等比中项法；（3）通项法；（4）前n 项和法．20．已知等差数列{}n a 的公差不为零，41a =，且457a a a ，，成等比数列，数列{}n b 的前n 项和为n S ，满足()24n n S b n N*=-∈．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c 满足：()111,2n n nn a c c c n N b *+=-=-∈，求使得216n n c -≥成立的所有n 值．【试题来源】浙江省绍兴市2021届高三下学期一模【答案】（1）3n a n =-，12n n b +=；（2）2，3，4．【分析】（1）由等差、等比数列的定义及递推关系求出2个数列的通项．（2）累加法求新数列的通项，错位相减法来求等差乘等比的前n 项和，即可得到数列通项，然后解不等式即可．【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为0d d ≠（），由题得2547a a a =， 即2113d d +=+（），整理得2d d =，解得1d =，所以()443n a a n d n =+-=-．因为1124b b =-，所以14b =，当2n ≥时，由1n n n b S S -=-得122n n n b b b -=-，即12n n b b -=，所以{}n b 是以4为首项，2为公比的等比数列，所以12n n b +=．（2）由1n n n n a c c b +=-得1132n n n n c c ++--=， 所以()()()112211n n n n n c c c c c c c c ---=-+-+⋯+-+2312142222n n ---⎛⎫=--++⋯+ ⎪⎝⎭设23214222n n n T ---=++⋯+，则34112142222n n n T +---=++⋯+， 作差得2341121114222222n n n n T +--=+++⋯+- 31111114122221224212n n n n n ++-⨯--=-+-=--- 所以1222n n n T -=--，所以1222n n n n c T -=--= 因为22216n n n n c --=≥，所以()()42210n n ---≥． 当1n =时，不满足题意；2n =时，满足题意； 当3n ≥时，4210n --≥，解得34n ≤≤． 所以，满足题意的所有n 值为2，3，4．。
2021新高考数学二轮复习：专题突破练16 专题四 数列过关检测
专题突破练16专题四数列过关检测一、单项选择题1.(2020东北三省四市教研体二模,理5)等比数列{a n}中,a5,a7是函数f(x)=x2-4x+3的两个零点,则a3·a9=()A.-3B.3C.-4D.42.(2020全国Ⅰ,文10)设{a n}是等比数列,且a1+a2+a3=1,a2+a3+a4=2,则a6+a7+a8=()A.12B.24C.30D.323.(2020河北沧州一模,理7)已知{a n}为等比数列,a5+a8=-3,a4a9=-18,则a2+a11=()A.9B.-9C.212D.-2144.(2020河南、广东等五岳4月联考,理10)元代数学家朱世杰在《算学启蒙》中提及如下问题:今有银一秤一斤十两(1秤=15斤,1斤=16两),令甲、乙、丙从上作折半差分之,问:各得几何?其意思是:“现有银一秤一斤十两,现将银分给甲、乙、丙三人,他们三人每一个人所得是前一个人所得的一半”.若银的数量不变,按此法将银依次分给7个人,则得银最少的一个人得银()A.9两B.266127两 C.26663两 D.250127两5.(2020山东烟台一模,4)数列{F n}:F1=F2=1,F n=F n-1+F n-2(n>2),最初记载于意大利数学家斐波那契在1202年所著的《算盘全书》.若将数列{F n}的每一项除以2所得的余数按原来项的顺序构成新的数列{a n},则数列{a n}的前50项和为()A.33B.34C.49D.506.(2020全国Ⅱ,理6)数列{a n}中,a1=2,a m+n=a m a n.若a k+1+a k+2+…+a k+10=215-25,则k=()A.2B.3C.4D.5二、多项选择题7.设等差数列{a n}的公差为d,前n项和为S n,若a3=12,S12>0,S13<0,则下列结论正确的是()A.数列{a n}是递增数列B.S5=60C.-247<d<-3D.S1,S2,…,S12中最大的是S68.设等比数列{a n}的公比为q,其前n项和为S n,前n项积为T n,并满足条件a1>1,a2 019a2020>1,a2019-1a2020-1<0,下列结论正确的是()A.S2 019<S2 020B.a2 019a2 021-1<0C.T2 020是数列{T n}中的最大值D.数列{T n}无最大值三、填空题9.(2020山东,14)将数列{2n-1}与{3n-2}的公共项从小到大排列得到数列{a n },则{a n }的前n 项和为 .10.(2020山东济宁5月模拟,15)已知首项与公比相等的等比数列{a n },若m ,n ∈N *,满足a m a n 2=a 42,则2m +1n的最小值为 .11.(2020广东广州一模,文16)记S n 为数列{a n }的前n 项和,若2S n -a n =12n -1,数列{a n+2-a n }的前n 项和T n = .四、解答题12.已知数列{log 2(a n -1)}(n ∈N *)为等差数列,且a 1=3,a 3=9. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)证明:1a 2-a 1+1a 3-a 2+…+1a n+1-a n<1.13.(2020湖南永州二模,理17)已知S n 是公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和,S 3=6,a 3是a 1与a 9的等比中项.(1)求数列{a n }的通项公式; (2)设数列b n =(-1)n 4a n4n 2-1(n ∈N *),数列{b n }的前2n 项和为P 2n ,若|P 2n +1|<12 020,求正整数n 的最小值.14.(2020山东泰安一模,17)在①A 5=B 3,②1a 1−1a 2=4B 2,③B 5=35这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解答.已知等差数列{a n }的公差为d (d>0),等差数列{b n }的公差为2d.设A n ,B n 分别是数列{a n },{b n }的前n 项和,且b 1=3,A 2=3, , (1)求数列{a n },{b n }的通项公式;(2)设c n =2a n +3n n+1,求数列{c n }的前n 项和S n .专题突破练16 专题四数列过关检测1.B 解析 由a 5,a 7是函数f (x )=x 2-4x+3的两个零点,即a 5,a 7是方程x 2-4x+3=0的两个实根.则a 5·a 7=3,又在等比数列{a n }中,a 3·a 9=a 5·a 7=3,故选B . 2.D 解析 设等比数列{a n }的公比为q ,因为a 1+a 2+a 3=1,a 2+a 3+a 4=2,所以q (a 1+a 2+a 3)=2,解得q=2.所以a 6+a 7+a 8=q 5(a 1+a 2+a 3)=25=32. 3.C 解析 ∵{a n }为等比数列,∴a 4a 9=a 5a 8=-18.又a 5+a 8=-3,可解得{a 5=-6,a 8=3或{a 5=3,a 8=-6.设等比数列{a n }的公比为q ,则当{a 5=-6,a 8=3时,q 3=a 8a 5=-12,∴a 2+a 11=a 5q 3+a 8q 3=-6-12+3×(-12)=212; 当{a 5=3,a 8=-6时,q 3=a 8a 5=-2,∴a 2+a 11=a 5q 3+a 8q 3=3-2+(-6)×(-2)=212.故选C. 4.B 解析 由题意一秤一斤十两共有银16×16+10=266两,设分银最少的为a 两,则7人的分银量构成以a 为首项,2为公比的等比数列,则a (1-27)1-2=266,解得a=266127,故选B .5.B 解析 由F 1=F 2=1,F n =F n-1+F n-2(n>2),得数列{F n }的各项分别为1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,…,将数列{F n }的每一项除以2所得的余数构成新的数列{a n }的各项分别为1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0,…,则数列{a n }的前50项和=(1+1+0)×16+1+1=34.故选B. 6.C 解析 ∵a m+n =a m ·a n ,令m=1,又a 1=2,∴a n+1=a 1·a n =2a n ,∴an+1a n=2,∴{a n }是以2为首项,2为公比的等比数列,∴a n =2n .∴a k+1+a k+2+…+a k+10=2k+1+2k+2+…+2k+10=2k+1·1-2101-2=2k+11-2k+1=215-25.∴{k +11=15,k +1=5,解得k=4.7.BCD 解析 依题意知,S 12=12a 1+12×112·d>0,S 13=13a 1+13×122·d<0,化简得2a 1+11d>0,a 1+6d<0,即a 6+a 7>0,a 7<0,∴a 6>0.由a 3=12,得a 1=12-2d ,联立解得-247<d<-3.等差数列{a n }是单调递减的. S 1,S 2,…,S 12中最大的是S 6. S 5=5(a 1+a 5)2=5a 3=60.故选BCD .8.AB 解析 当q<0时,a 2 019a 2 020=a 2 0192q<0,与已知a 1>1,a 2 019a 2 020>1矛盾,所以q>0.当q ≥1时,若a 2 019≥1,a 2 020>1,与已知a 2 019-1a 2 020-1<0矛盾,故0<q<1;由0<q<1及已知条件,得a 2 019>1,0<a 2 020<1,故S 2 020>S 2 019,A 正确;a 2 019a 2 021-1=a 2 0202-1<0,故B 正确;T 2 019是数列{T n }中的最大值,故CD 错误;故选AB .9.3n 2-2n 解析 数列{2n-1}的项均为奇数,数列{3n-2}的所有奇数项均为奇数,所有偶数项均为偶数.并且显然{3n-2}中的所有奇数均能在{2n-1}中找到,所以{2n-1}与{3n-2}的所有公共项就是{3n-2}的所有奇数项,这些项从小到大排列式的新数列{a n }为以1为首项,以6为公差的等差数列.所以{a n }的前n 项和为S n =n×1+n (n -1)2×6=3n 2-2n.10.1 解析 由题意设等比数列{a n }的首项与公比为q ,因为a m a n 2=a 42,所以q m+2n =q 8,则m+2n=8.2m +1n=2n+m mn =8mn =162nm ≥16(2n+m 2)2=1642=1.11.12−12n+1 解析 ∵2S n -a n =12n -1,∴2S n+1-a n+1=12n ,两式相减可得2a n+1-a n+1+a n =-12n ,即a n+1+a n =-12n ,所以a n+2+a n+1=-12n+1,两式相减可得a n+2-a n =-12n+1+12n=12n+1,∴{a n+2-a n }是以14为首项,12为公比的等比数列.∴T n =14(1-12n)1-12=12−12n+1.12.(1)解 设等差数列{log 2(a n -1)}的公差为d.由a 1=3,a 3=9,得log 22+2d=log 28,即d=1.∴log 2(a n -1)=1+(n-1)×1=n ,即a n =2n +1. (2)证明 ∵1n+1n=12n+1-2n =1n ,∴1a 2-a 1+1a 3-a 2+…+1a n+1-a n=121+122+123+…+12n=12-12n ×121-12=1-1n <1.13.解 (1)设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0),由题意可得,a 1·a 9=a 32,即a 1(a 1+8d )=(a 1+2d )2,解得a 1=d.又S 3=3a 1+3d=6,可得a 1=d=1,所以数列{a n }是以1为首项和公差的等差数列,所以a n =n ,n ∈N *.(2)由(1)可知b n =(-1)n 4n 4n 2-1=(-1)n (12n -1+12n+1),∴P 2n =-1-13+13+15−15−17+…-14n -3−14n -1+14n -1+14n+1=-1+14n+1. ∵|P 2n +1|=14n+1<12 020,∴n>2 0194,所以n 的最小值为505.14.解 (1)若选①,∵数列{a n },{b n }都是等差数列,且A 2=3,A 5=B 3,∴{2a 1+d =3,5a 1+10d =9+6d ,解得{a 1=1,d =1,∴a n =a 1+(n-1)d=n , b n =b 1+(n-1)2d=2n+1, 综上,a n =n ,b n =2n+1. 若选②,∵数列{a n },{b n }都是等差数列,且A 2=3,1a 1−1a 2=4B 2,∴{2a 1+d =3,4a 1(a 1+d )=d (6+2d ),解得{a 1=1,d =1,∴a n=a1+(n-1)d=n,b n=b1+(n-1)2d=2n+1.综上,a n=n,b n=2n+1.若选③,∵数列{a n},{b n}都是等差数列,且A2=3,B5=35,∴{2a1+d=3,3×5+5×42×2d=35,解得{a1=1,d=1,∴a n=a1+(n-1)d=n, b n=b1+(n-1)2d=2n+1.综上,a n=n,b n=2n+1.(2)由(1)得:c n=2n+3(2n+1)(2n+3)=2n+32(12n+1-12n+3),∴S n=(2+22+…+2n)+32(13-15)+(1 5-17)+…+(12n+1-12n+3)=2(1-2n)1-2+32(13-12n+3)=2n+1-3(n+2)2n+3.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2021届新高考版高考数学专项突破训练专项1 提素养·数学文化1.[干支纪年法]干支纪年法源于中国,中国自古便有十天干与十二地支.十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸;十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.干支纪年法是按顺序将一个天干和一个地支相配,排列起来,天干在前,地支在后,天干由“甲”起,地支由“子”起.例如,第一年为“甲子”,第二年为“乙丑”,第三年为“丙寅”,…,排列到“癸酉”后,天干回到“甲”重新开始,即“甲戌”,“乙亥”,然后地支回到“子”重新开始,即“丙子”,以此类推.已知1949年为“己丑”年,那么到中华人民共和国成立80周年时为()A.丙酉年B.戊申年C.己亥年D.己酉年2.[高斯算法]德国数学家高斯在年幼时进行的1+2+3+…+100的求和运算中体现了倒序相加法的原理,该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律而产生,此方法也称为高斯算法.现有函数f (x)=(m>0),则f (1)+f (2)+f (3)+…+f (m+2 018)等于()A.B.C.D.3.[2020贵阳四校联考]中国古代数学名著《算法统宗》中有一道题:“今有七人差等均钱,甲乙均七十七文,戊己庚均七十五文.”意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚七个人分钱,他们所分钱数构成等差数列,甲、乙两人共分77文,戊、己、庚三人共分75文.问:丙、丁两人各分多少文钱? () A.丙分34文,丁分31文 B.丙分37文,丁分40文C.丙分40文,丁分37文D.丙分31文,丁分34文4.[2020湖北八校第一次联考]鲁班锁是中国古代传统的土木建筑固定结合器,也是广泛流传于中国民间的智力玩具,它起源于中国古代建筑的榫卯结构.这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合,外观则是严丝合缝的十字几何体,十分巧妙.鲁班锁的种类各式各样,其中,六根和九根的鲁班锁最为著名.某种九根的鲁班锁由如图2 - 1所示的九根木榫拼成,每根木榫都是由一根正四棱柱状的木条挖出一些凹槽制成的.若九根正四棱柱的底面边长均为1,六根短条的高均为3,三根长条的高均为5,现将拼好的鲁班锁(如图2 - 2)放进一个圆柱形容器内,使其最高的一个正四棱柱形木榫的上、下底面分别在圆柱的两个底面内,则该圆柱形容器的体积(容器壁的厚度忽略不计)的最小值为()图2 - 1图2 - 2A.πB.πC.135πD.π5.[幻方]我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方(如图2 - 3(1)所示).将1,2,…,9填入3×3的方格内(如图2 - 3(2)所示),使三行、三列及两条对角线上的三个数字之和都等于15,这个方阵叫作3阶幻方.一般地,将连续的正整数1,2,3,…,n2填入n×n的方格中,使得每行、每列及两条对角线上的数字之和都相等,这个方阵叫作n(n≥3)阶幻方.记n阶幻方的对角线上的数的和为N n,如N3=15,那么N9=()(1)(2)图2 - 3A.41B.45C.369D.3216.[刍童]“刍童”是中国古代的一个数学名词,关于“刍童”体积计算的描述,《九章算术》注曰:“倍上袤,下袤从之.亦倍下袤,上袤从之.各以其广乘之,并,以高若深乘之,皆六而一.”其计算方法是:将上底面的长乘二,与下底面的长相加,再与上底面的宽相乘;将下底面的长乘二,与上底面的长相加,再与下底面的宽相乘;把这两个数值相加,与高相乘,再取其六分之一.已知一个“刍童”的下底面是周长为18的矩形,上底面矩形的长为3,宽为2,“刍童”的高为3,则该“刍童”的体积的最大值为()A. B. C.39 D.7.[割圆术]刘徽(约公元225年—295年)是魏晋期间伟大的数学家,是中国古典数学理论的奠基人之一.他提出的“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣”(即割圆术)蕴含了极限思想.割圆术的核心思想是将一个圆的内接正n边形等分成n个等腰三角形(图2 - 4为n=9时的情形),当n变得很大时,这n个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积.运用割圆术的思想,得到sin 2°的近似值为()图2 - 4A. B.C. D.答案解析1.D易知到2029年,中华人民共和国成立80周年.从1949年到2029年经过80年,且1949年为“己丑”年,80÷10=8,则2029年对应的天干为己;80÷12=6……8,则2029年对应的地支为酉.故选D.【试题评析】本题以我国独有的传统文化为背景命制,体现了周期在实际生活中的应用.2.A设x+y=m+2 019,则f (x)+f (y)=.所以f (1)+f (2)+f (3)+…+f (m+2 018)={[f (1)+f (m+2 018)]+[f (2)+f (m+2 017)]+…+[f (m+2 018)+f (1)]}=(m+2 018)=.故选A.【试题评析】本题以高斯算法为背景命制,传承了经典的数学文化.3.A解法一设甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分钱数依次是a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,公差为d,根据题意可得即解得所以丙所分钱数a3=a1+2d=34(文),丁所分钱数a4=a1+3d=31(文),故选A.解法二依题意,设甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分钱数分别为a - 3d,a - 2d,a - d,a,a+d,a+2d,a+3d,则解得所以丙所分钱数为a - d=34(文),丁所分钱数为a=31(文),故选A.4.B设圆柱的底面半径为r,用平行于圆柱底面的平面截圆柱和鲁班锁中间横向最长木条,截面如图D 2 - 1所示,图D 2 - 1记截面圆的圆心为O,连接OA,过点O作OC⊥AB于点C,则OA2=OC2+AC2,即r2=()2+()2=,所以该圆柱形容器的体积的最小值为πr2·5=π,故选B.5.C根据题意得,幻方对角线上的数成等差数列,则根据等差数列的性质可知对角线上的首尾两个数相加恰好等于1+n2.根据等差数列的求和公式得N n=,则N9==369.故选C.【试题评析】幻方又称为魔方,它最早起源于我国,宋代数学家杨辉称之为纵横图.本题借助幻方考查等差数列的性质及求和公式.6.B设下底面的长为x(≤x<9),则下底面的宽为=9 - x.由题可知上底面矩形的长为3,宽为2,“刍童”的高为3,所以其体积V=3×[(3×2+x)×2+(2x+3)(9 - x)]= - x2+,故当x=时,体积取得最大值,最大值为- ()2+.故选B.7.A将一个单位圆等分成180个扇形,则每个扇形的圆心角度数均为2°.因为这180个扇形对应的等腰三角形的面积之和近似等于单位圆的面积,所以1801×1×sin 2°=90sin 2°≈π,所以sin 2°≈,所以选A.专项2 析情境·数学应用1.[2019郑州国际马拉松赛]“郑州银行杯”2019郑州国际马拉松赛于10月13日上午鸣枪开赛.马拉松是一项历史悠久的长跑运动,全程约42千米.跑马拉松对运动员的身体素质和耐力是极大的考验,专业的马拉松运动员经过长期的训练,跑步时的步幅(一步的距离)一般略低于自身的身高,若某运动员跑完一次全程马拉松用了2.5时,则他平均每分的步数可能为()A.60B.120C.180D.2402.[中国高铁]2008年8月,我国第一条高速铁路——京津城际铁路开通运营.近年来,中国高铁成为中国铁路旅客运输的主渠道,中国高铁的安全可靠性和运输效率世界领先.图 3 - 1是2013—2018年全国高铁旅客运输量及增速的统计图.则下面结论中不正确的是()图3 - 1A.2016年旅客运输量增速超过14%B.旅客运输量增速最大的是2014年C.2016—2018年旅客运输量减少D.2016—2018年旅客运输量逐年增长3.[垃圾分类]垃圾分类,一般指按一定规定或标准将垃圾分类储存、分类投放和分类搬运,从而转变成公共资源的一系列活动的总称.分类的目的是提高垃圾的资源价值和经济价值,力争物尽其用.为响应国家号召,各地区采取多种措施推行此项活动.某商家设计了一种新式分类垃圾桶,它是长方体状,高为0.5米,长和宽之和为2.4米,现用铁皮制作该垃圾桶,要使得这个垃圾桶的容量最大(不考虑损耗),若不考虑桶盖,则需要耗费铁皮的面积为()A.2.4平方米B.3平方米C.3.84平方米D.5.28平方米4.[黄金三角形]17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过:“几何学里有两件宝,一件是勾股定理,另一件是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话,那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种,其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形,它是一个顶角为36°的等腰三角形(另一种是顶角为108°的等腰三角形).例如,如图3 - 2所示的五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成,图3 - 2在其中一个黄金三角形ABC中,.根据这些信息,可得sin 234°=()A. B. - C. - D. -5.2019年3月10日,长征三号乙运载火箭托举“中星6C”卫星成功发射升空.这一刻,中国长征系列运载火箭的发射次数刷新为“300”.长征系列运载火箭实现第一个“百发”用了37年,第二个“百发”用了不到8年,第三个“百发”用时仅4年多.已知在不考虑空气阻力的情况下,火箭的最大速度v(单位:米/秒)和燃料的质量M(单位:千克)、火箭(除燃料外)的质量m(单位:千克)的函数关系式是v=2 000·ln(1+).当燃料质量是火箭质量的倍时,火箭的最大速度可达12 000米/秒.6.[爱国主义教育活动]某学校开展爱国主义教育活动,要在6名男生和3名女生中选出5名学生参加关于庆祝新中国成立70周年阅兵式知识的初赛,要求每人回答一个问题,答对得2分,答错得0分.已知6名男生中有2人所有题目都不会答,只能得0分,其余4人可保证得2分;3名女生每人得2分的概率均为.现选择2名男生和3名女生,每人答一题,则所选队员得分之和为6分的概率为.7.[2020洛阳市第一次联考]水车在古代是进行灌溉引水的工具,是中国古代劳动人民的发明,也是人类利用自然和改造自然的象征,图3 - 3是一个半径为R的水车的示意图,一个水斗从点A(3, - 3)出发,沿圆周按逆时针方向匀速旋转,且旋转一周用时60秒,经过t秒后,水斗旋转到点P,设点P的坐标为(x,y),其纵坐标满足y=f (t)=R sin(ωt+φ)(t≥0,ω>0,|φ|<),则下列叙述正确的是.(填序号)图3 - 3①R=6,ω=,φ= - ;②当t∈[35,55]时,点P到x轴的距离的最大值为6;③当t∈[10,25]时,函数y=f (t)单调递减;④当t=20时,|PA|=6.答案解析1.C2.5时=150分,42千米=42 000米,故该运动员每分的路程为=280(米),由题意及选项知,若每分的步数为180,则其步幅为≈1.56(米),符合题意.若每分的步数为60,则其步幅为≈4.67(米),不合题意,同理,当每分的步数分别为120,240时,也不合题意.故选C.【素养落地】试题侧重考查数据处理、运算求解能力及应用意识,提升了考生的逻辑推理、数据分析、数学抽象及数学运算等核心素养.2.C根据题图中的曲线,通过计算可得A,B正确;题图中的柱状图表示全国高铁旅客运输量,根据数据得C错误,D正确.故选C.3.C设长和宽分别为x米,y米,则该垃圾桶的体积V=0.5xy米3,而0.5xy≤0.5×()2=0.72,当且仅当x=y=1.2时取等号,此时所需耗费铁皮的面积为1.2×1.2+0.5×1.2×4=3.84(米2),故选C. 【素养落地】试题以生活中的垃圾分类为背景,考查空间几何体的表面积,侧重考查运算求解能力、空间想象能力及应用意识,考查了考生的数学抽象、直观想象及数学运算等核心素养.4.C解法一由题可知∠ACB=72°,且cos 72°=,cos 144°=2cos272°- 1= - ,则sin 234°=sin(144°+90°)=cos 144°= - .故选C.解法二由正弦定理得,即,得cos 36°=,则sin 234°=sin(270° - 36°)= - cos 36°= - .故选C.解法三如图D 3 - 1,取BC的中点为D,连接AD,图D 3 - 1由题意知∠BAC=36°,AB=AC,∴∠BAD=∠CAD=18°,AD⊥BC,∵,∴sin∠CAD=,即sin 18°=,∴sin 234°=sin(270° - 36°)= - cos 36°= - (1 - 2sin218°)=2sin218° - 1=2×()2 - 1= - .故选C.【素养落地】试题考查三角函数求值,侧重考查推理论证能力、运算求解能力,考查了考生的逻辑推理、数学抽象等核心素养.5.e6 - 1∵v=2 000·ln(1+),又火箭的最大速度可达12 000米/秒,∴12 000=2 000·ln(1+),可得ln(1+)=6,1+=e6,解得=e6 - 1.【素养落地】试题考查函数的应用,侧重考查运算求解能力、数据处理能力及应用意识,考查了考生的数学抽象、数学运算等核心素养.6.由题意知,得分之和为6分有以下三种情况:“男生得0分,女生得6分”,设为事件A;“男生得2分,女生得4分”,设为事件B;“男生得4分,女生得2分”,设为事件C.P(A)=()3=;P(B)=()2×()1=;P(C)=()1×()2=.故所选队员得分之和为6分的概率P=P(A)+P(B)+P(C)=.7.①②④由题意可知函数f (t)的最小正周期T=60,所以=60,解得ω=,又从点A(3, - 3)出发,所以R=6,6sin φ= - 3,又|φ|<,所以φ= - ,故①正确;y=6sin(t- ),当t∈[35,55]时,t-∈[π,],则sin(t - )∈[ - 1,0],y∈[ - 6,0],点P到x轴的距离为|y|,所以点P到x轴的距离的最大值为6,故②正确;当t∈[10,25]时,t - ∈[,],所以函数y=6sin(t - )在[10,25]上不单调,故③不正确;当t=20时,t- ,则y=6sin=6,且x=6cos=0,所以P(0,6),则|PA|==6,故④正确.综上,正确的是①②④.专项3 重应用·数学建模1. [解三角形模型]如图5 - 1,图5 - 1为了测量A,B两点间的距离,观察者找到在同一直线上的三点C,D,E.从D点测得∠ADC=67.5°,从C点测得∠ACD=45°,∠BCE=75°,从E点测得∠BEC=60°.若测得DC=2km,CE=km,则A,B两点间的距离为()A.kmB.2kmC.3 kmD.2km2.[古典概型]古希腊数学家毕达哥拉斯在公元前六世纪发现了“完全数”(完全数,即它所有的真因子的和恰好等于它本身)6和28,后人进一步研究发现后续3个“完全数”分别为496,8 128,33 550 336.现将这5个“完全数”随机分为两组,一组2个,另一组3个,则6和28恰好在同一组的概率为()A.B.C.D.3.[构建长方体模型]已知m,n是两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,有下列四个命题:①若m⊥α,n⊥β,m⊥n,则α⊥β;②若m∥α,n∥β,m⊥n,则α∥β;③若m⊥α,n∥β,m⊥n,则α∥β;④若m⊥α,n∥β,α∥β,则m⊥n.其中正确的命题是()A.①④B.②④C.①③D.④4.[多选题]在正四面体ABCD中,已知E,F分别是AB,CD上的动点(不含端点),则下列说法不正确的是()。