角平分线的性质定理和判定经典
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
角平分线的性质定理和判定
令狐采学
第一部分:知识点回顾
1、角平分线:把一个角平均分为两个相同的角的射线叫该角的平分线;
2、角平分线的性质定理:角平分线上的点到角的两边的距离相等:
①平分线上的点;②点到边的距离;
3、角平分线的判定定理:到角的两边的距离相等的点在角平分线上
第二部分:例题剖析
例1. 已知:在等腰Rt△ABC中,AC=BC,∠C=90°,AD平
分∠BAC,DE⊥AB于点E,AB=15cm,
(1)求证:BD+DE=AC.
(2)求△DBE的周长.
例2. 如图,∠B=∠C=90°,M是BC中点,DM平分∠ADC,求证:AM平分∠DAB.
例3.如图,已知△ABC的周长是22,OB、OC辨别平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC于D,且OD=3,△ABC的面积是几多?
第三部分:典典范题
例1、已知:如图所示,CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点
E,BE、CD交于点O,且AO平分∠BAC,求证:OB=OC.
【变式练习】如图,已知∠1=∠2,P为BN上的一点,
PF⊥BC于F,PA=PC,求证:∠PCB+∠BAP=180º
例2、已知:如图,∠B=∠C=90°,M是BC的中点,DM平分∠ADC.(1)若连接AM,则AM是否平分∠BAD?请你证明你的结论;(2)线段DM与AM有怎样的位置关系?请说明理由.
(3)CD、AB、AD间?直接写出结果
【变式练习】如图,△ABC中,P是角平分线AD,BE的交点.求
证:点P在∠C的平分线上.
例3.如图,在△ABC中,BD为∠ABC的平分线,DE⊥AB于点E,且
DE=2cm,AB=9cm,BC=6cm,求△ABC的面积.
【变式练习】如图,D、E、F辨别是△ABC的三条边上的点,CE=BF,△DCE和△DBF的面积相等.
求证:AD平分∠BA C.
第四部分:思维误区
一、忽视“垂直”条件
例1.已知,如图,CE⊥AB,BD⊥AC,∠B=∠C,BF=CF。求证:AF为∠BAC的平分线。
第五部分:方律例律
(1)有角平分线,通常向角两边引垂线。
(2)证明点在角的平分线上,关键是要证明这个点到角两边的距离相等,即证明线段相等。经常使用办法有:使用全等三角形,角平分线的性质和利用面积相等,但特别要注意点到角两边的距离。(3)注意:许多同学对证明两个三角形全等的问题已经很熟悉了,所以证题时,不习惯直接应用角平分线性质定理和判定定理,仍然
去找全等三角形,结果相当于重新证明了一次这两个结论.所以特别提醒年夜家,能用简双办法的,就不要绕远路.
第七部分:巩固练习
A 组
一、耐心选一选,你会开心(每题6分,共30分)
1.三角形中到三边距离相等的点是( )
A 、三条边的垂直平分线的交点
B 、三条高的交点
C 、三条中线的交点
D 、三条角平分线的交点
2.如图,△ABC 中,∠C=90°,AC =BC ,AD 是∠BAC 的平分线,DE⊥AB,垂足为E ,若AB =12cm ,则△DBE 的周长为()
A 、12cm
B 、10cm
C 、14cm
D 、
11cm D
C
A E B
3.如图2所示,已知PA 、PC 辨别是△ABC 的外角∠DAC、∠ECA 的平分线,PM⊥BD,PN⊥BE,垂足辨别为M 、N ,那么PM 与PN 的关系是()
A.PM >PN
B.PM =PN
C.PM <PN
D.无法确定 4.如图3所示,△ABC 中,AB=AC ,AD
DF⊥AC,垂足辨别是E 、F 论有( ) D M A
C N P E
图2
①AD 平分∠EDF; ②AE=AF; ③AD 上的点到B 、C 两点的距离相等
④到AE 、AF 距离相等的点,到DE 、DF 的距离也相等
A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、4个
5.如图,已知点D 是∠ABC的平分线上一点,点P
在BD 上,PA⊥AB,PC⊥BC,垂足辨别为A ,C .下
列结论毛病的是( ).
A .AD=CP
B .△ABP≌△CBP
C .△ABD≌△CB
D D.∠ADB=∠CDB.
二、解答题
6.已知:AD 是△ABC 角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足辨别是E 、F ,BD =CD ,证:∠B=∠C. 7.如图,已知在△ABC 中,90C ∠=,点D
相交于点C .
求证:点C 在∠AOB 的平分线上.
第八部分:中考体验
一.选择题(共3小题)
A B C D
P
1.(•衢州)如图,OP平分∠MON,PA⊥ON于点A,点Q是射线OM 上的一个动点,若PA=2,则PQ的最小值为()
A.1B.2C.3D.4 2.(•恩施州)如图,AD是△ABC的角平分线,DF⊥AB,垂足为F,DE=DG,△ADG和△AED的面积辨别为50和39,则△EDF的面积为()
A.11 B.5.5 C.7D.3.5 3.(•鄂州)如图,AD是△ABC中∠BAC的平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥AC交AC于点F.S△ABC=7,DE=2,AB=4,则AC长是()A.4B.3C.6D.5 4.(•岳阳)如图,AD∥BC,∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P,作PE⊥AB于点E.若PE=2,则两平行线AD 与BC间的距离为_________ .
5.(•桂林)求证:角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
已知:
求证:
证明: