有理数及其运算全章拔高训练题(含答案)
有理数章节压轴题专项训练(解析版)(人教版)-2023-2024学年七年级数学上学期期中真题分类汇编
专题04有理数章节压轴题专项训练【分析】根据所给的操作方式，求出前面的数，再分析存在的规律，从而可求解．P ，则原点是（A ．M 或NB ．N 或P 【答案】B 【分析】利用数轴特点确定a 、b 的关系，然后根据绝对值的性质解答即可得出答案．【详解】因为1MN NP PR ===，所以1MN NP PR ===，(1)直接写出：线段MN的长度是，线段MN的中点表示的数为x．(1)3-和5关于2的“美好关联数”为______；(2)若x 和2关于3的“美好关联数”为4，求x 的值；(3)若0x 和1x 关于1的“美好关联数”为1，1x 和2x 关于2的“美好关联数”为1，2x 和3x 关于3的“美好关联数”为1，…，40x 和41x 的“美好关联数”为1，…．①01x x +的最小值为______；②12340x x x x +++⋅⋅⋅+的值为______．【答案】(1)8(2)6x =或0x =；(3)①1；②840【分析】（1）认真读懂题意，利用新定义计算即可；（2）利用新定义计算求未知数x ；（3）①读懂题意寻找规律，利用规律计算；②由①得到的规律写出含有绝对值的等式，一一分析到2、4、6、8、．．．40的距离和为1的时候两点表示的数的和的最小值，最后得出最小值．【详解】（1）解：|32||52|8--+-=，故答案为：8；（2）解：∵x 和2关于3的“美好关联数”为4，∴|3||23|4x -+-=，∴|3|3x -=，解得6x =或0x =；（3）解：①∵0x 和1x 关于1的“美好关联数”为1，∴01|1||1|1x x -+-=，∴在数轴上可以看作数0x 到1的距离与数1x 到1的距离和为1，∴只有当0101x x ==，时，01x x +有最小值1，故答案为：1；②由题意可知：-【答案】x y +的最大值为5,最小值为3-【分析】分4种情况讨论：(1)<2x -,3y <；(2)<2x -,3y ≥；(3)2x ≥-,3y ≥；(4)2x ≥-,3y <.分别求出每种情况x y +的最大值与最小值，最后再综合起来找出x y +的最大值与最小值即可.【详解】(1)当<2x -,3y <时,有243x y --=+-∴3x y +=-；(2)当<2x -,3y ≥时,有243x y --=-+∴9x y =-或=9y x +；∴293x y y +=--≥或295x y x +=+<(3)当2x ≥-,3y ≥时,有243x y +=-+，∴5x y +=；(4)当2x ≥-,3y <时,有243x y +=+-，∴1x y =-或1y x =+∴215x y y +=-<或233x y x +=+-≥综上,可得:x y +的最大值为5,最小值为3-.【点睛】本题主要考查了绝对值的性质，绝对值中含有未知数时要进行分类讨论，这是解题的关键.18．阅读：如图，已知数轴上有A 、B 、C 三个点，它们表示的数分别是18-，8-，8．A 到C 的距离可以用AC 表示，计算方法：C 表示的数8，A 表示的数18-，8大于18-，用()818--．用式子表示为：()81826AC =--=．根据阅读完成下列问题：(1)填空：AB =______，BC =______．(2)若点A 以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B 和点C 分别以每秒4个单位长度和9个单位长度的速度向右运动，试探索：BC AB -的值是否随着时间t 的变化而改变？请说明理由．(3)现有动点P 、Q 都从A 点出发，点P 以每秒1个单位长度的速度向右移动，当点P 移动6秒时，点Q 才从A 点出发，并以每秒2个单位长度的速度向右移动．设点P 移动的时间为t 秒()019t ≤≤，写出P 、Q 两点间的距离（用含t 的代数式表示）．【答案】(1)10，16(2)不会改变，见解析(3)t 或12t -+或12t -【分析】（1）根据数轴上两点间距离公式计算即可；（2）根据题意求出点A ，B ，C 向右移动后表示的数，然后根据数轴上两点间距离公式出表示AB ，BC 的值，最后再进行计算即可；（3）分三种情况讨论，点Q 在点A 处，点P 在点Q 的右边，点Q 在点P 的右边．【详解】（1）解：()81810AB =---=，()8816BC =--=，（2）解：不变，因为：经过t 秒后，A ，B ，C 三点所对应的数分别是18t --，84t -+，89t +，所以：()8984165BC t t t =+--+=+，()8418105AB t t t =-+---=+，所以：()1651056BC AB t t -=+-+=，所以BC AB -的值不会随着时间t 的变化而改变；（3）解：经过t 秒后，P ，Q 两点所对应的数分别是18t -+，()1826t -+-，当点Q 追上点P 时，()1818260[]t t -+--+-=，解得：12t =，①当06t <≤时，点Q 在还点A 处，所以：PQ t =，②当612t <≤时，点P 在点Q 的右边，所以：()18182612PQ t t t =-+--+-=-+⎡⎤⎣⎦，③当1219t <≤时，点Q 在点P 的右边，所以：()()18261812PQ t t t =-+---+=-，综上所述，P 、Q 两点间的距离为t 或12t -+或12t -．【点睛】本题考查了列代数式，数轴，熟练掌握用数轴上两点间距离表示线段长是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想．。
有理数及其运算测试题(拔高)精编版
一、选择题（每题4分共28分）1、下表是我国几个城市某年一月份的平均气温，其中气温最低的城市是（）A．哈尔滨 B．广州 C．武汉 D．北京2、下列各数中互为相反数的是（）A．12与0.2 B．13与－0.33 C．－2.25与124D．5与－(－5)3、如果一个数大于另一个数，则这个数的相反数（）A．小于另一个数的相反数 B．大于另一个数的相反数 C．等于另一个数的相反数 D．大小不定4、已知a、b、c在数轴上位置如图：则代数式| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（）A．-3a B． 2c－a C．2a－2b D． b5、下面说法中正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则6、数轴上有一点到原点的距离是5，则（）A．这一点表示的数的相反数是5 B．这一点表示的数的绝对值是5C．这一点表示的数是5 D．这一点表示的数是－57、一个有理数的绝对值等于其本身，这个数是（）A、正数B、非负数C、零D、负数二、填空题（每题4分共28分）1、一个数的相反数是8，则这个数的绝对值是_________；2、绝对值最小的有理数是________；3、用“＜”“＝”或“＞”号填空：－2_____0 98- _____109- 4、a b c abc x a b c abc=+++，且a 、b 、c 都不等于0，求x= 5、当13x <<时，求13x x -+-= .6、若|5||2|7x x ++-=，x 的取值范围为 .7、若 则12345x x x x x x +-+-+-+-+-= 。
三、解答题（共44分）18（11分）、已知|a b －2|与|a －1|互为相反数，试求下式的值：()()()()()()1111112220072007ab a b a b a b ++++++++++19、（11分）．已知两数a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值是2，求220062()()()x a b c d x a b c d -+++++-的值。
《有理数及其运算》全章复习与巩固(提高)巩固练习
【巩固练习】 一、选择题 1．（2015•咸宁）如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从轻重的角度看，最接近标准的是（ ）A ．B ．C ．D ． 2． a b -与a 比较大小，必定为（ ）．A ．a b a -<B ．a b a ->C ．a b a -≤D ．这要取决于b 3．下列语句中，正确的个数是（ ）．①一个数与它的相反数的商为-1；②两个有理数之和大于其中任意一个加数；③若两数之和为正数，则这两个数一定都是正数；④若0m n <<，则mn n m <-． A ．0 B ．1 C ．2 D ．34．已知||5m =，||2n =，||m n n m -=-，则m n +的值是（ ）．A ．-7B ．-3C ．-7或-3D ．±7或±3 5．将一刻度尺如图所示放在数轴上（数轴的单位长度是1cm ），刻度尺上的“0cm”、“15cm”分别对应数轴上的 3.6x -和，则（ ）．A ．910x <<B ．1011x <<C ．1112x <<D ．1213x << 6． 如图：数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A 、B 、C 、 D 对应的数分别是整数a,b,c,d ，且b-2a=9，那么数轴的原点对应点是 （ ）．A ．A 点B ．B 点C ．C 点D ．D 点7．有理数a,b,c 的大小关系如图：则下列式子中一定成立的是（ ）．A ．0a b c ++>B ．a b c +<C ．a c a c -=+D ．b c c a ->- 8．记12n n S a a a =+++…，令12nn S S S T n+++=…，称n T 为1a ，2a ，…，n a 这列数的“理想数”．已知1a ，2a ，…，500a 的“理想数”为2004，那么8，1a ，2a ，…，500a 的“理想数”为( )．A ．2004B ．2006C ．2008D ．2010 二、填空题9．已知a 是有理数，有下列判断：①a 是正数；②-a 是负数；③a 与-a 必有一个是负数；④a 与-a 互为相反数，其中正确的有________个．10.（2015春•万州区期末）绝对值小于4，而不小于2的所有整数有 ．11．一种零件的尺寸在图纸上是0.050.027+-（单位：mm ），表示这种零件加工要求最大不超过________，最小不小于________． 12．（2016•巴中）|﹣0.3|的相反数等于 ．13．如图，有理数,a b 对应数轴上两点A ，B ，判断下列各式的符号：a b +________0；a b -________0；()()________a b a b +-0； 2(1)ab ab +________0．14．已知,,a b c 满足()()()0,0a b b c c a abc +++=<，则代数式a b ca b c++的值是 15．某地探空气球的气象观测资料表明，高度每增加1千米，气温大约降低6℃．若该地地面温度为21℃，高空某处温度为-39℃，则此处的高度是 千米．16．观察下列算式：23451=+⨯ ，24462=+⨯，25473=+⨯，24846⨯+=，请你在观察规律之后并用你得到的规律填空：250___________=+⨯． 三、 解答题 17．（2016春•新泰市校级月考）计算： （1）24+（﹣22）﹣（+10）+（﹣13） （2）（﹣1.5）+4+2.75+（﹣5）（3）（﹣8）+（﹣7.5）+（﹣21）+（+3） （4）（﹣24）×（﹣++）18.（2015•燕山区一模）为了节能减排，近期纯电动出租车正式上路运行．某地纯电动出租车的运价为3公里以内10元；超出3公里后每公里2元；单程超过15公里，超过部分每公里3元．小周要到离家10公里的博物馆参观，若他往返都乘坐纯电动出租车，共需付车费多少元？19．已知三个互不相等的有理数，即可以表示为1，a+b ，a 的形式，又可表示为0，b a，b 的形式，且x 的绝对值为2，求200820092()()()a b ab a b ab x ++-+-+的值．20．一粒米微不足道，平时总会在饭桌上毫不经意地掉下几粒，甚至有些挑食的同学会把整碗米饭倒掉．针对这种浪费粮食现象，老师组织同学们进行了实际测算，称得500粒大米约重10克．现在请你来计算 （1）一粒大米重约多少克？（2）按我国现有人口13亿，每年365天，每人每天三餐计算，若每人每餐节约一粒大米，一年大约能节约大米多少千克？（用科学记数法表示）（3）假若我们把一年节约的大米卖成钱，按2元∕千克计算，可卖得人民币多少元？（用科学记数法表示）（4）对于因贫困而失学的儿童，学费按每人每年500元计算，卖得的钱可供多少名失学儿童上一年学？（5）经过以上计算，你有何感想和建议？ 【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】C.【解析】∵|﹣0.6|＜|+0.7|＜|+2.5|＜|﹣3.5|，∴﹣0.6最接近标准，故选：C ． 2．【答案】 D 【解析】当b 为0时，a b a -=；当b 为正数时，a b a -<；当b 为负数时，a b a -> 3．【答案】 B【解析】只有④正确，其他均错． 4．【答案】C【解析】n m ≥，2,5n m =±=-，所以7m n +=-或3- 5．【答案】C【解析】( 3.6)15,11.4x x --==6．【答案】C【解析】由图可知：4b a -=，又29b a -=，所以5a =- 7．【答案】C【解析】由图可知：0a b c <<<，且c a c a -=-表示数轴上数a 对应点与数c 对应点之间的距离，此距离恰好等于数a 对应点到原点的距离与数c 对应点到远点的距离之和，所以选项C 正确．8．【答案】C 【解析】∵ 1a ，2a ，…，500a 的“理想数”为2004，∴125002004500S S S +++=，∴ 125002004500S S S +++=⨯．8，1a ，2a ，…，500a 中，18S '=；218S S '=+；328S S '=+；…，5005008S S '=+ ∴ 8，1a ，2a ，…，500a 的理想数为：12350012500501888888501501501S S S S S S S T +++++++++⨯++++==850120045002008501⨯+⨯== 二、填空题9．【答案】1【解析】不论a 是正数、0、负数，a 与-a 都互为相反数，∴④正确. 10.【答案】±3，±2．【解析】结合数轴和绝对值的意义，得绝对值小于4而不小于2的所有整数±3，±2. 11．【答案】 7.05mm, 6.98mm【解析】7+0.05=7.05mm, 7-0.02=6.98mm. 12．【答案】-0.3【解析】解：∵|﹣0.3|=0.3，0.3的相反数是﹣0.3，∴|﹣0.3|的相反数等于﹣0.3． 故答案为：﹣0.3．13．【答案】>， >， >， < 【解析】由图可得：1,10a b >-<<,特殊值法或直接推理可得：0,0,ab a b <+>20,10a b ab ->+>．14．【答案】1【解析】()()()0,a b b c c a +++=又0abc <可得：三数必一负两正，不防设：0,0,0a b a c >=-<>，代入原式计算即可．15．【答案】 10【解析】21-（-39）÷6×1=10（千米）. 16．【答案】 24852450⨯+=【解析】观察可得规律为：2(4)4(2)n n n ⨯++=+. 三、解答题 17．【解析】 解：（1）24+（﹣22）﹣（+10）+（﹣13）=24﹣22﹣10﹣13 =2﹣23 =﹣21； （2）（﹣1.5）+4+2.75+（﹣5）=﹣1.5﹣5.5+4.25+2.75=﹣7+7 =0；（3）（﹣8）+（﹣7.5）+（﹣21）+（+3）=﹣8﹣21﹣7.5+3.5 =﹣30﹣4=﹣34；（4）（﹣24）×（﹣++）=﹣24×（﹣）﹣24×﹣24×=16﹣18﹣2 =﹣4． 18.【解析】解：由3＜10＜15，得到车费为2[10+2（10﹣3）]=48（元），则共付车费48元． 19．【解析】解：由1，a+b ，a 与0，ba，b 相同， 由ba得：分母有0a ≠，所以0a b += 又由三数互不相等，所以1b =，ba a=化简得：1a =-，1b =，0a b +=，1ab =-∴ 200820092()()()01142a b ab a b ab x ++-+-+=--+=．20．【解析】 解：（1）10÷500≈0.02（克）答：一粒大米重约0.02克．（2）0.02×1×3×365×1300000000÷1000=2.847×107（千克）答：一年大约能节约大米2.847×107千克．（3）2×2.847×107=5.694×107（元）答：可卖得人民币5.694×107元．（4）5.694×107÷500=1.1388×105答：可供11388名失学儿童上一年学．（5）一粒米虽然微不足道，但是我们一年节约下来的钱数大的惊人．所以提倡节约，杜绝浪费，我们要行动起来．。
第二章《有理数及其运算》专项练习共7个专题(含答案)
第二章《有理数及其运算》专项练习专题一：正数和负数1、下列各数中，大于－21小于21的负数是（ ） A.－32B.－31C.31D.02、负数是指（ ）A.把某个数的前边加上“－”号B.不大于0的数C.除去正数的其他数D.小于0的数 3、关于零的叙述错误的是（ ）A.零大于所有的负数B.零小于所有的正数C.零是整数D.零既是正数，也是负数 4、非负数是（ ）A.正数B.零C.正数和零D.自然数5、文具店、书店和玩具店依次座落在一条东西走向的大街上，文具店在书店西边20米处，玩具店位于书店东边100米处，小明从书店沿街向东走了40米，接着又向东走了－60米，此时小明的位置在（ ）A.文具店B.玩具店C.文具店西40米处D.玩具店西60米处 6、大于－5.1的所有负整数为_____.7、珠穆朗玛峰高出海平面8848米，表示为+8848米.吐鲁番盆地低于海平面155米,表示为____. 8、请写出3个大于－1的负分数_____.9、某旅游景点一天门票收入5000元，记作+5000元，则同一天支出水、电、维修等各种费用600元，应记作_____.10、某同学语、数、外三科的成绩，高出平均分部分记作正数，低出部分记作负数，如表所示请回答，该生成绩最好和最差的科目分别是什么？专题二：数轴与相反数1、下面正确的是（ ）A.数轴是一条规定了原点，正方向和长度单位的射线B.离原点近的点所对应的有理数较小C.数轴可以表示任意有理数D.原点在数轴的正中间 2、关于相反数的叙述错误的是（ ）A.两数之和为0，则这两个数为相反数B.如果两数所对应的点到原点的距离相等，这两个数互为相反数C.符号相反的两个数，一定互为相反数D.零的相反数为零3、若数轴上A 、B 两点所对应的有理数分别为a 、b ，且B 在A 的右边，则a －b 一定（ ）A.大于零B.小于零C.等于零D.无法确定 4、在数轴上A 点表示－31，B 点表示21，则离原点较近的点是_____. 5、两个负数较大的数所对应的点离原点较_____.6、在数轴上距离原点为2的点所对应的数为_____，它们互为_____.7、数轴上A 、B 、C 三点所对应的实数为－32，－43，54，则此三点距原点由近及远的顺序为_____. 8、数轴上－1所对应的点为A ，将A 点右移4个单位再向左平移6个单位，则此时A 点距原点的距离为_____. 9、在等式3215⨯-⨯=的两个方格内分别填入一个数，使这两个数是互为相反数且等式成立。
七年级数学有理数运算技巧提升(有理数及其运算)拔高练习(含答案)
七年级数学有理数运算技巧提升（有理数及其运算）拔高练习试卷简介:全卷共两个大题，第一题是单选题，8小题，每题10分；第二题是解答题，5小题，每题8分；满分120分，测试时间100分钟。
本套试卷立足有理数的运算法则的基础知识，考察了学生用有理数运算法则、顺序和技巧等的应用，侧重于考察学生对运算法则的理解，对有理数混合运算的综合运用能力。
题目设计高于课本中的基础知识，但是又来源于课本，学生在做题过程中可以回顾所学知识点，认清自己对知识的掌握及灵活运用程度。
学习建议:本讲主要内容是有理数混合运算专题突破之应用，是中考的常考题型，大家需要在熟练掌握这些知识的基础上，学会灵活运用。
题目设置灵活多变，但万变不离其宗，只要掌握了最基本的知识点，再多加练习，就能轻松掌握，灵活运用。
一、单选题(共8道，每道10分)1.下列哪一步计算错误解：原式=①= ②= ③=④A.①B.①②C.①②③D.②③答案：B解题思路：除以一个数等于乘以这个数的倒数，所以第一步应该是，故①错误；一个负数的奇次方应为负数，故②错误.易错点：有理数除法法则；乘方；运算跨步大试题难度：四颗星知识点：有理数的加减混合运算2.计算：-1+3-5+7-9+11-…-1997+1999=( )A.10B.100C.1000D.10000答案：C解题思路：解：原式=（-1+3）+（-5+7）+.........+（-1997+1999）=2+2+...........+（+2）因为（-1，3，-5，..........1999）共1000个数，所以共有500组，每组的结果为2，所以原式=500×2=1000易错点：找不出规律，对于如何组合数字没有概念，计算组数时出错试题难度：三颗星知识点：有理数的加减混合运算3.计算：4726342+4726352-472633×472635-472634×472636，下列计算结果正确的是（）A.+1B.-1C.+2D.-2答案：C解题思路：解：4726342+4726352-472633×472635-472634×472636 =4726342+4726352-（472634-1）×（472634+1）-（472635-1）×（472635+1）=4726342+4726352-（4726342-1）-（4726352-1）=4726342+4726352-4726342+1-4726352+1 =2易错点：不能熟练运用括号进行简便计算的方法，对乘法公式没有熟练掌握，灵活运用试题难度：三颗星知识点：有理数的混合运算4.计算1+5+52+53+…+599+5100的值中下列那一步是错误的（）解：S=1+5+52+53+…+599+5100 ① 5S=5+52+53+…+599+5101 ② 5S-S=1-5101③ S=1-5101④A.①，②B.②，③C.①，②，③D.③，④答案：D解题思路：S=1+5+52+53+…+599+51005S=5+52+53+…+599+51015S-S=5101-14S=5101-1易错点：想不到错位相减法，再减的过程中方程左右两边符号写反.试题难度：三颗星知识点：有理数的混合运算5.计算：37.9×0.0038+1.21×0.379+6.21×0.159的结果正确的是（）A.3.79B.1.21C.1.59D.6.21答案：C解题思路：解：原式=37.9×0.0038+0.0121×37.9+6.21×0.159 =37.9×（0.0038+0.0121）+6.21×0.159 =37.9×0.0159+6.21×0.159 =0.159×（3.79+6.21）=0.159×10 =1.59易错点：能够仔细观察该题的特征，学会灵活运用乘法的结合律和分配律试题难度：三颗星知识点：有理数的加减混合运算6.=①=②=③=④ 下列步骤错误的是（）A.①B.②C.③D.④答案：D解题思路：采用裂项相消的办法，先把每一项都分项，然后利用乘法分配率的逆运算计算出结果，注意计算的正确性易错点：看不出来使用裂项相消法，同时计算不小心又出现计算的错误试题难度：四颗星知识点：有理数的加法7.计算213-212-211-210-29-28-27的值中哪些步骤是正确的（）解：S=213-212-211-210-29-28-27① 2S=214-213-212-211-210-29-28② 2S-S=214-28③ S=214-28④A.①，③B.①，②C.②，④D.③，④答案：B解题思路：解：S=213-212-211-210-29-28-27 S=214-213-212-211-210-29-28 2S-S=214-213-213+27 S=214-2×213+27 =214-2×213+27 =214-2×213+27 =128易错点：想不到错位相减法，两式相减的过程出错试题难度：四颗星知识点：有理数的混合运算8.=①=②=③ 下列步骤错误的是（）A.①B.②C.③D.①、③答案：A解题思路：观察特征，可以发现是裂项相消，利用裂项相消办法可以进行计算易错点：观察不出裂项相消的特征，进而不能进行计算试题难度：三颗星知识点：有理数的混合运算二、计算题(共5道，每道8分)1.计算：答案：解：原式=====解题思路：观察最后一项，用同样的方法得到倒数第二项为，从中得到规律，每一项都为（每一项的项数-1）÷2，最后得到，求值得885.易错点：找不到题型特征试题难度：四颗星知识点：有理数的乘法2.答案：解：原式====解题思路：利用求和公式算出每项的通式，然后根据裂项相消的办法进行裂项，然后提取公因式，最后计算出答案易错点：不知道求和公式的通式进而看不出裂项的特征，不能进行正确的裂项试题难度：五颗星知识点：有理数的混合运算3. 计算：答案：===解题思路：按照有理数混合运算的顺序一步一步进行计算，熟练使用有理数运算法则易错点：不能熟练进行有理数混合运算，对有理数运算法则没有熟练掌握试题难度：三颗星知识点：有理数的混合运算4.计算:答案：解：原式解题思路：观察发现每一项都可以用1减去一个分子为1的数得到，进而通过计算知道每一项分母都是相隔两个奇数的乘积，通过进一步的错位相减即可得到.易错点：观察出各项的特征和各项之间的联系试题难度：五颗星知识点：有理数的乘法5.答案：解：令==-==解题思路：先设出原式的值，再把等式的两边都乘以，即可通过列项相消法求得.易错点：不会用列项相消法.试题难度：三颗星知识点：有理数的混合运算。
鲁教版2020六年级数学第二章有理数及其运算能力提升测试题1(含答案)
鲁教版2020六年级数学第二章有理数及其运算能力提升测试题1（含答案）1．若a与b互为倒数，则a2018•（﹣b）2017的值是（）A．a B．﹣a C．b D．﹣b2．如果a与2互为相反数,则下列结论正确的为()A．a=12B．a=-2 C．a=12D．a=23．请你观察、思考下列计算过程：因为112=121，所以=11：，因为1112=12321所以=111…，由此猜想=（）A．111111 B．1111111 C．11111111 D．111111111 4．7的相反数是( )A．7 B．－7 C．＋7或-7 D．0和75．下列各式中，计算正确的是（）．A．-8-2×6=（-8-2）×6 B．2÷×=2÷（×）C．（-1）2006+（-1）2007=-1 D．-（-3）2=-96．下列各数中最小的数是（）A．﹣5 B．﹣1 C．0 D．37．从2，－3，4，－5四个数中任意选出两个数相乘，得到的最大乘积是() A．－6 B．－12 C．－20 D．158．将0.000 102用科学记数法表示为（）A．1.02×10﹣4B．1.02×I0﹣5C．1.02×10﹣6D．102×10﹣39．已知，那么一定( )A．大于零B．小于零C．等于零D．小于或等于零10．如果零上3℃记作+3℃，那么零下6℃记作（）A．6℃B．﹣6℃C．6 D．﹣6第II卷（非选择题)请点击修改第II卷的文字说明二、填空题11．________．12．在，，，，这五个数中，一共有________个正数．13．______的倒数是－14．用四舍五入法将3.1416精确到0.01后，得到的近似数是____________15．在数1，2，3，4，5，6，7，8前添加“+”或“﹣”并依次计算，所得结果可能的最小非负数是_____．16．计算:+|-4|+(-1)0-=_____.17．、在数轴上得位置如图所示，化简：________．18．某天早晨的气温是5℃，中午上升了11℃，半夜又下降了14℃，则半夜的气温是__________℃．三、解答题19．已知a，b 互为相反数，c，d 互为倒数，x 的绝对值为1，求a+b﹣cdx 的值．20．把一张纸对折1次后，就得到2层；对折2次后，就得到4层；对折3次后，就得到8层；……，按照这样对折下去.（1）求将一张纸对折6次后，层数是多少？（2）求将一张纸对折n次后，层数是多少（用含n的式子表示）？（3）若一张纸的厚度均为0.5mm,求将该纸张对折2018次后的总的厚度是多少mm? 21．把如图的直线补充成一条数轴，并表示下列各数：，，，，，，并用“”号连接．22．在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉．例如：|6＋7|＝6＋7；|6－7|＝7－6；|7－6|＝7－6；|－6－7|＝6＋7；根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式：(1)|7－21|＝_________；(2)|-+0.8|＝____________；(3)||＝__________；(4)用合理的方法计算：||＋||-|－|－×|-|＋.23．23．已知实数a、b、C满足|a﹣1|+（3a﹣2b﹣7）2+|3b+5c﹣4|=0，求：（﹣3ab）（﹣a2c）（6ab2）24．一种游戏规则如下：①每人每次取张卡片，如果抽到的卡片形如，那么加上卡片上的数字；如果抽到的卡片形如，那么减去卡片上的数字；②若规定从开始，比较两人所抽张卡片的计算结果，结果大的为胜者．小明抽到如图①所示的张卡片，小丽抽到如图②所示的张卡片，请你通过计算（要求有具体的计算过程），指出本次游戏的获胜者．25．阅读下面的解题过程并回答问题.解方程:.解:①当时，原方程可化为，解得.经检验，符合题意；②当时，原方程可化为，解得.经检验，x的值不合题意，舍去;③当时，原方程可化为，解得音.经检验，符合题意.所以原方程的解是或.(1)根据上面的解题过程，求方程的解;(2)根据上面的解题过程，求方程的解;(3)方程解.(填“有”或“无”)26．把下列各数表示的点画在数轴上，并用“＜”把这些数连接起来．－5，|－1.5|，，0，（－2）2．用“＜”把这些数连接起来：______________________________________.参考答案1．B【解析】【分析】由a与b互为倒数，即可得ab=1，又由即可求得答案．【详解】∵a与b互为倒数，∴ab=1，∴故选：B.【点睛】考查同底数幂的乘法，倒数，幂的乘方与积的乘方，对所求式子进行变形是解题的关键. 2．B【解析】试题解析：因为a与2互为相反数,所以a=-2.故选B.3．D【解析】分析：被开方数是从1到n再到1（n≥1的连续自然数），算术平方根就等于几个1．详解：∵=11，=111…，…，∴═111 111 111．故选D．点睛：本题主要考查的是算术平方根的性质，熟练掌握算术平方根的性质是解题的关键．4．B【解析】根据相反数的定义可知7的相反数是-7故选B.5．D【解析】【分析】原式各项计算得到结果，即可作出判断．【详解】A．原式=﹣8﹣12=﹣20，错误；B．原式=2××=，错误；C．原式=1﹣1=0，错误；D．原式=－9，正确．故选D．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．6．A【解析】【分析】先比较各个数的大小,再求出各数中最小的数即可.【详解】解：-5<-1<0<3,最小的数是-5.所以A选项是正确的.【点睛】本题主要考查正负数大小的比较.7．D【解析】分析：根据正数大于负数，两个有理数相乘，同号得正，异号得负，只要计算出积为正数的结果，再比较大小，选出最大的乘积．详解：∵2×4=8，（-3）×（-5）=15，∴最大乘积是15.故选D.点睛：本题考查了有理数的乘法和有理数大小的比较．两个有理数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．8．A【解析】解：0.000 102=1.02×10﹣4．故选A．9．D【解析】【分析】一个数的绝对值等于它的相反数，则这个数一定小于或等于0．【详解】因为|x|=−x，所以x一定小于或等于0.故选:D.【点睛】考查绝对值的意义，一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.10．B【解析】∵“零上”和“零下”的意义相反。
第二章 有理数及其运算(A卷提升卷 单元重点综合测试)(教师版)24-25学年七年级数学上册成都专用
第二章有理数及其运算（A卷·提升卷）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）A卷（共100分）第Ⅰ卷（选择题，共32分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．以下各数中，比1-小的数是（ ）A．2B．0C．12-D．2-2．6月6日是全国“放鱼日”．为促进渔业绿色发展，今年“放鱼日”当天，全国同步举办增殖放流200余场，放流各类水生生物苗种近30亿尾．数30亿用科学记数法表示为（）A．0.3×109B．3×108C．3×109D．30×108【答案】C【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．【详解】解：30亿=3000000000=3×109，故选：C ．【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．3．在数轴上，与表示5-的点距离等于3的点所表示的数是（ ）A ．2B ．2-C ．8-或2D ．8-或2-【答案】D【分析】根据数轴上两点之间的距离=右边的数-左边的数，当这个数在5-右边或5-左边时，分别求解即可．【详解】解：设这个数为a ，当a 在5-右边时，()53a --=，2a \=-，当a 在5-左边时，53a --=，\8a =-，\在数轴上，与表示5-的点距离等于3的点所表示的数是8-或2-，故选：D ．【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离，解题的关键是掌握数轴上两点之间的距离=右边的数-左边的数．4．已知,a b 两个有理数，那么a +b 与a ，必定是（ ）A ．a b a+>B ．a b a +<C ．a b a +<-D ．以上都不对【答案】D【分析】根据有理数加减法即可判断每个选项是否正确．【详解】解：当0b <时，a b a +<，故A 选项错误；当0b >时，a b a +>，故B 选项错误；当a >0，0b >时，00a b a +>-<，，此时a b a +>-，故C 选项错误，故选：D ．【点睛】本题考查有理数的加减运算和大小比较，注意：和可能会比加数小．5．计算：133=，239=，3327=，4381=，53243=，…归纳计算结果中的个位数字的规律，猜测202232+的个位数字是（ ）A ．5B ．1C ．7D ．3【答案】B【分析】通过前面几项结果中的个位数字的特点，归纳出变化规律：3，9，7，1依次循环；据此可以得出答案．【详解】解：Q 133=，239=，3327=，4381=，53243=，63729=，…\计算结果中的个位数字依次是：3,9,7,1,3,9，…\个位数的规律为：3，9，7，1依次循环；220224505¸=L Q ，\20223的个位数字是9，\202232+的个位数字是1；故选：B ．【点睛】此题考查了有理数的乘方中的数字变化规律，熟练掌握有理数的乘方运算、找出个位数字的变化规律是解答此题的关键．6．有理数a b 、在数轴上的位置如图所示，那么下列式子中成立的是（ ）A ．a b<B ．0a b +<C ．0ab >D ．0a b>7．已知有理数a ，b ，c 满足0abc ¹，则||||||a b c a b c ++的值不可能为（ ）A ．3B ．3-C ．1D ．28．a ，b 是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把a ，a -，b ，b -按照从小到大的顺序排列，正确的是（ ）A ．b a a b-<-<<B ．a b a b -<-<<C ．b a a b-<<-<D ．b b a a-<<-<第Ⅱ卷（非选择题，共68分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）9．若120a b -++=，则2a b -的值为．10．已知a 、b 在数轴上的对应点如图所示，化简：b a b --= ．【答案】a-【分析】首先根据a 、b 在数轴上的对应点得：0a b <<，进而得0b a ->，然后再根据绝对值的意义进行计算即可得出答案．【详解】解：0a b <<Q ，0b a \->，||b a b a \-=-，||b b =，||||b b b a b a a \--=--=-．故答案为：a -．【点睛】此题主要考查了绝对值与数轴，理解绝对值的意义，根据a 、b 在数轴上的对应点判断0a b <<，0b a ->是解答此题的关键．11．计算：131486412æö-+-´=ç÷ ．12．已知数轴上两点A 和B ，点A 表示数是1，点B 与A 相距3个单位长度，则点B 表示的数是 ．【答案】2-或4【分析】本题考查了数轴上两点之间的距，一元一次方程的应用；设点B 表示的数是x ，根据点B 的位置进行分类：①当点B 在点A 的左侧时，②当点B 在点A 的右侧时，列方程求解即可；掌握“数轴上的两点之间的距离为右边点表示的数减去左边点表示的数．”是解题的关键．【详解】解：设点B 表示的数是x ，①当点B 在点A 的左侧时，13x -=，解得：2x =-，所以此时点B 表示的数是2-；②当点B 在点A 的右侧时，13x -=，解得：4x =，所以此时点B 表示的数是4；故答案：2-或4．13．已知m ，n 互为相反数且不为0，x 是最小的自然数，24z =，n x z m -+= ．三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上）14．计算下列各题：(1)(3)(4)(11)(19)-+--+--；(2)451361963æö-´-+ç÷èø；(3)2411( 2.5)8393æöæö´-´-¸-ç÷ç÷èøèø；(4)4211(10.5)2(3)7éù---´´--ëû．15．若有理数x 、y 满足5x =，2y =．(1)求x 与y 的值；(2)若x y x y -=-，求x y +的值，16．为切实做好杭州亚运会安全保卫工作，一天下午杭州市某街道张警官开车从警务所出发对所辖街道重点单位的门卫值勤岗进行一次巡查。
第二章有理数及其运算练习题及答案全套
1.数怎么不够用了题精选一、选择题1．下面说法中正确的是（）．A．一个数前面加上“－”号，这个数就是负数B．0既不是正数，也不是负数C．有理数是由负数和0组成 D．正数和负数统称为有理数2．如果海平面以上200米记作＋200米，则海平面以上50米应记作（）．A．－50米 B．＋50米C．可能是＋50米，也可能是－50米 D．以上都不对3．下面的说法错误的是（）．A．0是最小的整数 B．1是最小的正整数C．0是最小的自然数D．自然数就是非负整数二、填空题1．如果后退10米记作－10米，则前进10米应记作________；2．如果一袋水泥的标准重量是50千克，如果比标准重量少2千克记作－2千克，则比标准重量多1千克应记为________；3．车轮如果逆时针旋转一周记为＋1，则顺时针旋转两周应记为______.三、判断题１．0是有理数．（）２．有理数可以分为正有理数和负有理数两类．（）３．一个有理数前面加上“＋”就是正数．（）４．0是最小的有理数．（）四、解答题1．写出5个数（不许重复），同时满足下面三个条件．（1）其中三个数是非正数；（2）其中三个数是非负数；（3）5个数都是有理数．2．如果我们把海平面以上记为正，用有理数表示下面问题．一架飞机飞行高于海平面9630米；（2）潜艇在水下60米深．3．如果每年的12月海南岛的气温可以用正数去表示，则这时哈尔滨的气温应该用什么数来表示？4．某种上市股票第一天跌0.71％，第二天涨1.25％，各应怎样表示？5．如果海平面以上我们规定为正，地面的高度是否都可以用正数为表示？6．一学生参加一次智力竞赛，其中考五个题，记分标准是这样定的，如果答对一题得1分，答错或不答都扣1分，该生得了3分，问其答对了几个题？参考答案：一、1． B 2． B 3． A二、1．＋10米 2．＋1千克 3．－2周三、1．√ 2．× 3．× 4．×四、1．2，1，0，－1，－2．（提示：0是非负数和非正数的公用数）2．（1）＋9630米（2）－60米3．（1）应该是负数来表示．（提示：12月份哈尔滨已进入严冬，其温度在零下，而此时海南岛温度还在零上）4．答：一般按习惯我们都把股票上涨记为“＋”，所以第一天应表示为－0.71％，第二天应表示为＋1.25％．（提示：正、负虽是人规定的，但在实际应用中我们应尊重多年形成的习惯）5．不能．（提示：我们有很多地面高度在海平面以下）6．该生答对了4个题（提示：如果不考虑扣分，则答对了3个题就可以得3分，而其中另外两题的分数和是零，所以另外两题还得有一题答对，故共答对4个题）2.数轴习题精选一、选择题1．一个数的相反数是它本身，则这个数是（）A．正数 B．负数 C．0 D．没有这样的数2．数轴上有两点E和F，且E在F的左侧，则E点表示的数的相反数应在F点表示的数的相反数的（）A．左侧 B．右侧 C．左侧或者右侧 D．以上都不对3．如果一个数大于另一个数，则这个数的相反数（）A．小于另一个数的相反数 B．大于另一个数的相反数C．等于另一个数的相反数 D．大小不定二、填空题1．如果数轴上表示某数的点在原点的左侧，则表示该数相反数的点一定在原点的________侧；2．任何有理数都可以用数轴上的________表示；3．与原点的距离是5个单位长度的点有_________个，它们分别表示的有理数是_______和_______；4．在数轴上表示的两个数左边的数总比右边的数___________．三、判断题1．在数轴离原点4个单位长度的数是4．（）2．在数轴上离原点越远的数越大．（）3．数轴就是规定了原点和正方向的直线．（）4．表示互为相反数的两个点到原点的距离相等．（）四、解答题1．写出符合下列条件的数（1）大于而小于1的整数；（2）大于－4的负整数；（3）大于－0.5的非正整数．2．在数轴上表示下列各数，并把各数用“＜”连结起来．（1）7，－3.5，0，－4.5，5，－2，3.5；（2）－500，－250，0，300，450；（3）0.1，，0.9，，1，0．3．找出下列各数的相反数（1）－0.05 （2）（3）（4）－10004．如图，说出数轴上A、B、C、D四点分别表示的数的相反数，并把它们分别用标在数轴上．5．在数轴上，点A表示的数是－1，若点B也是数轴上的点，且AB的长是4个单位长度，则点B表示的数是多少？参考答案：一、1．C 2． B（提示：画出数轴，分两点在原点的同侧和两点在原点的两侧进行讨论） 3．A二、1．右 2．点 3．两，5、－5 4．小三、1．× 2．× 3．× 4．√四、1．（1）－2，0，－1 （2）－3，－2，－1 （3）02．（1）如图（2）如图（3）如图（提示：数轴上单位所表示的数可根据实际而定；在用“＜”连结数之前最好把这些数表示在数轴上，就一目了解了＝3．（1）0.05 （2）（3）（4）10004．表示数的相反数是：－2，5，，－4.5．如图．5．答：点B表示的数是3或－5．（提示：在数轴上到一点相等距离的点有两个）3.绝对值题精选一、选择题1．如果，则（）A． B． C． D．2．下面说法中正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则3．下面说法中正确的是（）A．若和都是负数，且有，则B．若和都是负数，且有，则C．若，且，则D．若都是正数，且且，则4．数轴上有一点到原点的距离是5，则（）A．这一点表示的数的相反数是5B．这一点表示的数的绝对值是5C．这一点表示的数是5D．这一点表示的数是－5二、填空题1．已知某数的绝对值是，则是______或_______；2．绝对值最小的有理数是________；3．一个数的相反数是8，则这个数的绝对值是_________；4．已知数轴上有一点到原点的距离是3，则这点所表示的数的绝对值是________，这点所表示的数是________．三、判断题1．有理数的绝对值总是正数．（）2．有理数的绝对值就等于这个有理数的相反数．（）3．两个有理数，绝对值大的数反而小．（）4．两个正有理数，绝对值大的数较小．（）5．（）四、解答题1．求下列各数的绝对值，并把它们用“＜”连起来－2.37，0，，－385.7．2．把下列一组数用“＞”连起来－999，，，0.01，．3．计算下列各式的值（1）；（2）；（3）；（4）4．如图，比较和的绝对值的大小．5．计算下面各式的值（1）－（－2）；（2）－（＋2）．参考答案：一、1． D 2．C 3． A 4． B二、1．正数，0 2．0 3．8 4．3、3或－3三、1．× 2．× 3．× 4．√ 5．√四、1．；．2．3．（1）（2）4 （3）2.5 （4）0.24．5．（1）2 （2）－24.有理数的加法习题精选一、选择题1．两个有理数的和（）A．一定大于其中的一个加数 B．一定小于其中的一个加数C．和的大小由两个加数的符号而定 D．和的大小由两个加数的绝对值而定2．下面计算错误的是（）A． B．（－2）＋（＋2）＝4C． D．（－71）＋0＝－713．如图，下列结论中错误的是（）A． B． C． D．二、填空题1．两个负数相加其和为___________数．2．互为相反数的两个数的和是___________．3．绝对值不等的异号两个数相加，其和的符号与绝对值__________的加数的符号相同．三、解答题1．如图，请用表示与的和．2．计算（1）；（2）（－0.19）＋（－3.12）；（3）；（4）；（5）．3．计算（1）（－12.56）＋（－7.25）＋3.01＋（－10.01）＋7.25；（2）0.47＋（－0.09）＋0.39＋（－0.3）＋1.53；（3）；（4）23＋（－72）＋（－22）＋57＋（－16）；（5）；（6）（7）4．一名外地民工10天的收支情况如下（收入为正）：30元，－17元，21元，－5元，－3元，18元，－21元，45元，－10元，28元．这10天内这名外地民工净收入多少钱？5．一小商店一周的盈亏情况如下（亏为负）：单位：元（1）计算出小商店一周的盈亏情况；（2）指出盈利最多一天的盈利额．6．在－49，－48，－47，…，2018这一串数中（1）前99个连续整数的和是多少？（2）前100个连续整数的和是多少？参考答案：一、1． C 2． B 3．C二、1．负 2． 0 3．较大三、1．（1）（2）（3）（4）2．（1）（2）－3.31 （3）（4）（5）03．（1）－19.56 （2）2 （3）（4）－30 （5）0 （6）－2 （7）04．86元5．（1）242.2元（2）128.3元6．（1）0（提示：前99个数是－49…0…49）（2）505.有理数的减法习题精选一、选择题1．下面说法中正确的是（）A．在有理数的减法中，被减数一定要大于减数 B．两个负数的差一定是负数C．正数减去负数差是正数 D．两个正数的差一定是正数2．下面说法中错误的是（）A．减去一个数等于加上这个数的相反数 B．减去一个数等于减去这个数的相反数C．零减去一个数就等于这个数的相反数 D．一个数减去零仍得这个数3．甲数减乙数差大于零，则（）A．甲数大于乙数 B．甲数大于零，乙数也大于零C．甲数小于零，乙数也小于零 D．以上都不对二、填空题1．比－3比2的数是__________，比－3少2的数是__________；2．；3．．三、判断题1．若，则；（）2．若成立，则；（）3．若，则（）四、解答题1．请举例说明两个数的差不一定小于被减数．2．如图，根据图中与的位置确定下面计算结果的正负．（1）；（2）；（3）；（4）3．计算（1）2.7－（－3.1）；（2）0.15－0.26；（3）（－5）－（－3.5）；（4）；（5）；（6）4．1998年4月2日，长春等5个城市的最高气温与最低气温记录如下表，哪个城市的温差最大？哪个城市的温差最小？5．求数轴上表示两个数的两点间的距离．（1）表示的点与表示的点．（2）当时，表示数的点与表示的点．参考答案：一、1． C 2． B 3． A二、1．－1，－5 2．3．三、1．√ 2．× 3．×四、1．举例：2－（－2）＝4，而2．（1）（2）（3）（4）3．（1）5.8 （2）－0.11 （3）－1.5 （4）（5）－15 （6）4．哈尔滨温差最大，北京、大连温差最小．（提示：分别算出各地温差，进行比较）5．（1）（2）6.有理数的加减混合运算习题精选一、选择题1．在1.17－32－23中把省略的“＋”号填上应得到（）A．1.17＋32＋23 B．－1.17＋（－32）＋（－23）C．1.17＋（－32）＋（－23） D．1.17－（＋32）－（＋23）2．下面说法中正确的是（）A．－2－1－3可以说是－2，－1，－3的和B．－2－1－3可以说是2，－1，－3的和C．－2－1－3是连减运算不能说成和D．－2－1－3＝－2＋3－13．下面说法中错误的是（）A．有理数的加减混合运算都可以写成有理数的加法运算B．－5－（－6）－7不能应用加法的结合律和交换律C．如果和都是的相反数，则D．有理数的加减混合运算都可以写成有理数的减法运算二、填空题1．把下列式子变成只含有加法运算的式子．（1）－9－（－2）＋（－3）－4＝___________；（2）．2．把下列各式写成省略加号的形式．（1）－7－（－15）＋（－3）－（－4）＝____________；（2）3．计算：（1）－5＋7－15－4＋2＝_______________；（2）－0.5＋4.3－9.6－1.8＝_____________；（3）三、解答题1．计算（1）；（2）；（3）；（4）2．计算（1）；（2）；（3）；（4）3．计算（1）；（2）－1999＋2000－2001＋2002-2019．4．存折中有2676元，取出1082元，又存入600元，在不考虑利息的情况下，你能算出存折中还有多少元钱吗？参考答案：一、1． C 2． A 3．B二、1．（1）－9＋2＋（－3）＋（－4），（2）；2．（1）－7＋15－3＋4，（2）；3．（1）－15，（2）－7.6，（3）．三、1．（1）（2）（3）－17 （4）2．（1）（2）（3）（4）3．（1）－15.2 （2）－20014．2194元习题精选1．小胖去年年末称体重是75千克，今年一月份小胖开始减肥，下面是小胖今年上半年体重的变化情况：负数表示比上月减少，正数表示比上月增加（1）小胖1～6月中哪个月的体重最重，是多少？（2）小胖1～6月中哪个月的体重最轻，是多少？（3）小胖6月份的体重较比去年年末是增加了还是减少了，是多少？2．某校初一抽出5名同学测量体重，小明体重是55千克，其他4名同学的体重和小明体重的差数如下表：比小明重记为正，比小明轻记为负（1）哪几名同学的体重比小明重，重多少？（2）哪几名同学的体重比小明轻，轻多少？（3）写出最重和最轻的两个同学的体重，并说明这两名同学之间的体重相差多少？3．某百货商场的某种商品预计在今年平均每月售出500千克，一月份比预计平均月售出额多10千克记为＋10千克，以后每月销售量和其前一个月销售量比较，其变化如下表（前11个月）：（1）每月的销售量是多少？（2）前11个月的平均销售是多少？（3）要达到预计的月平均销售量，12月份还需销售多少千克？参考答案1．（1）2月最重是74.5千克（2）6月最轻是67.5千克（3）是减少，减少了7.5干克（提示：把小胖每个月的体重算出来）2．（1）小光、小刚比小明重，分别重5千克和3千克；（2）小月、小华比小明轻，分别轻4千克和1千克；（3）最重的是小光，其体重是60千克；最轻的是小月，其体重是51千克，小光和小月之间相差9千克．3．（1）每月的销售量分别是510千克、515千克、517千克、517千克、514千克、510千克、500千克、488于克、493干克、497干克、502.8千克（2）平均销量505.8千克（3）436.2千克．（提示：注意表格给出的变化是较比其上个月的增减情况）8.有理数的乘法题精选一、选择题1．下面说法中正确的是（）A．因为同号相乘得正，所以（－2）×（－3）×（－1）＝6B．任何数和0相乘都等于0C．若，则D．以上说法都不正确2．已知，其中有三个负数，则（）A．大于0 B．小于0 C．大于或等于0 D．小于或等于03．若，其a、b、c（）A．都大于0 B．都小于0 C．至少有一个大于0 D．至少有一个小于0二、填空题1．两个数相乘，同号得___________，异号得_________，并把_________相乘；2．一个数和任何数相乘都得0，则这个数是_________；3．若干个有理数相乘，其积是负数，则积中负因数的个数是_________数．4．先填空，然后补写一个有同样特点的式子．（1）1×（－7）－1＝_________，（2） 9×（－9）＋1＝___________，12×（－7）－2＝_________， 98×（－9）＋2＝_________，123×（－7）－3＝_________． 987×（－9）＋3＝_________．__________________________． __________________________．参考答案：一、1． B 2． D 3． C二、1．正、负、绝对值2．03．奇4．（1）－8，－86，－864，1234×（－7）－4＝－8642（2）－80，－880，－8880，9876×（－9）＋4＝－888809.有理数的除法习题精选一、填空题1．0.25的倒数是___________-，－0.125的倒数是________，_________的倒数是；2．倒数与本身相等的数有____________．3．4．5．6．二、解答题1．计算：（1）（2）2．计算：3．在下面不正确的算式中添加负号与括号，使等式成立．（1）8×3＋12÷4＝－30 （2）8×3＋12÷4＝－94．计算（1）；（2）（－12）÷（－4）÷（－3）÷（－3）；（3）；（4）参考答案：一、1．4，－8，；2．1和－1；3．；4．＜5．＞6．＝二、1．（1）原式（2）原式2．原式3．答案不确定．如（1）8×〔－3＋（－12）〕÷4＝－30 （2）〔（－8）×3＋（－12）〕÷4＝－94．（1）1 （2）（3）（4）10.有理数的乘方习题精选一、填空题1．把（－5）×（－5）×（－5）写成幂的形式是_________，底数是__________，指数是__________；2．平方等于它本身的数是_________；3．4．________的立方等于64，_________的平方等于64；5．一个数的平方等于它的绝对值，这个数是_________；6．二、判断题1．因为，所以（）2．3．因为，所以有任何有理数的平方都是正数．（）4．（n是正整数）（）三、解答题1．计算题（1）（2）（3）2．任何整数的平方的个位数都不可能是哪些数字？3．若a是正数，请设计一个问题，使计算的结果是．4．计算1＋3，1＋3＋5，1＋3＋5＋7，…并找出规律，利用这个规律求1＋3＋5＋…＋19的值．5．把一个木棍第一次折成两节，第二次同时折这两节就得到四节，……，依次这样进行下去，当折十次时，将得到多少节木棍？参考答案：一、1．（－5）3，－5，3 2． 0和1 3．－1，－1，－724．（1）4，8和－8 5．－1，0或1 6． 950（原式＝1－8＋81－1024）二、1．× 2．× 3．× 4．×三、1．（1）原式（2）解法不惟一，如原式＝4×4×4×2.5×2.5＝（4×2.5）×（4×2.5）×4＝10×10×4＝400（3）原式＝－4－4＝－82．不可能是2、3、7、8提示：可利用一些连续的整数进行实验。
专题2.12 有理数及其运算章末拔尖卷(北师大版)(解析版)
第2章有理数及其运算章末拔尖卷【北师大版】参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（2023春·广西柳州·七年级统考期末）巴黎与北京的时差为−7时，如果北京时间是10月26日5：00，那么巴黎时间是（ ）A．10月26日12:00B．10月26日2：00C．10月25日22:00D．10月25日12:00【答案】C【分析】用5加上时差，再根据有理数的加法运算求解，然后解答即可．【详解】解：∵5+(−7)=−2，∴如果北京时间是10月26日5：00，那么巴黎时间是10月25日22:00故选：C．【点睛】本题考查了有理数的加法，理解时差的正、负的意义是解题的关键．2．（3分）（2023春·湖南岳阳·七年级统考期末）计算−×1.52020×(−1)2022的结果是（）A．23B．32C．−23D．−32【答案】D【分析】根据乘方的意义进行简便运算，再根据有理数乘法计算即可．【详解】解：−×1.52020×(−1)2022，=×1.52020×1=−23×⋅⋅⋅×23⏟2019个×1.5×⋅⋅⋅×1.5⏟2020个，=−23×1.5⋅⋅⋅×23×1.5⏟2019个×1.5，=−32，故选：D．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题关键是熟练依据乘方的意义进行简便运算，准确进行计算．3．（3分）（2023春·山西晋中·七年级统考期末）献礼新中国成立70周年的影片《我和我的祖国》，不仅彰显了中华民族的文化自信，也激发了观众强烈的爱国情怀与观影热情．据某网站统计，国庆期间，此部电影票房收入约22亿元，平均每张票约40元，估计观影人次约为（用科学记数法表示）（）A．0.55×108B．5.5×107C．5.5×106D．5.5×105【答案】B【分析】把一个数表示成a×10n的形式，其中1≤∣a∣<10，n是整数，这种记数方法叫做科学记数法，根据科学记数法的要求即可解答.【详解】∵22亿元= 2.2×109，∴2.2×109÷40=5.5×107，故选：B.【点睛】此题考查科学记数法，注意n的值的确定方法，当原数大于10时，n等于原数的整数数位减1，此题正确列式计算是难点.4．（3分）（2023春·山东泰安·六年级统考期末）在算式5□(−1)的“□”内有可能是加号、减号、乘号、除号四种运算符号中的一种，要使运算结果最大，“□”内的运算符号应该是（）A．加号B．减号C．乘号D．除号【答案】B【分析】将运算符号填入算式中，计算即可得到结果．【详解】解：“□”内填入加号时，5+(−1)=5−1=4，“□”内填入减号时，5−(−1)=5+1=6，“□”内填入乘号时，5×(−1)=−5，“□”内填入除号时，5÷(−1)=−5，∵6>4>−5，∴这个运算符号应该是减号，故选：B．【点睛】此题考查了有理数的四则运算，以及有理数比较大小，熟练掌握运算法则是解本题的关键．5．（3分）（2023春·江苏扬州·七年级统考期中）水文观测中，常遇到水位上升或下降的问题．我们规定：水位上升为正，水位下降为负；几天后为正，几天前为负．如果水位每天上升3cm，今天的水位为0cm，那么2天前的水位用算式表示正确的是（ ）A．（+3）×（+2）B．（+3）×（﹣2）C．（﹣3）×（+2）D．（﹣3）×（﹣2）【答案】B【详解】分析: 2天前的水位=每天的水位变化量×变化天数，.由题意知，每天的水位变化为上升3cm,记为+3cm，2天前记为-2，即可得到2天前的水位变化的正确表示算式.详解：∵上升为正，几天前为负，所以上升3cm记作+3cm，2天前记作-2，∴2天前的水位变化是(+3)×(-2).故答案选B.点睛：本题考查对相反意义量的认识：在一对具有相反意义的量中，先规定一个为正数，则另一个就要用负数表示，再结合有理数乘法的意义，进行列式，即可得到2天前的水位变化的正确表示算式.6．（3分）（2023春·贵州遵义·七年级统考期中）若a是最小的正整数，b是绝对值最小的数，c是相反数等于它本身的数，d是到原点的距离等于2的负数，e是最大的负整数，则a+b+c+d+e的值为（）A．1B．2C．－1D．－2【答案】D【分析】根据题意求出a、b、c、d、e的值，再代入代数式求值即可.【详解】a是最小的正整数，a=1；b是绝对值最小的数，b=0；c是相反数等于它本身的数，c=0；d是到原点的距离等于2的负数，d=-2；e是最大的负整数，e=-1；a+b+c+d+e=1+0+0+（-2）+（-1）=-2故选D【点睛】本题考查了有理数中一些特殊的数，熟练掌握这是特殊的数是解题的关键.7．（3分）（2023春·内蒙古呼和浩特·七年级校考期中）一根1米长的绳子，第一次剪去它的三分之一，如此剪下去，第五次后剩下的绳子的长度为（ ）A米B米C米D米【答案】B【分析】将每次剩下的长度依次表示出来得到规律，即可得到此题答案.【详解】第一次剪后剩下的绳子的长度为（2）m，3第二次剪后剩下的绳子的长度为（2）2m，3第三次剪后剩下的绳子的长度为（2）3m，3第四次剪后剩下的绳子的长度为（23）4m，第五次剪后剩下的绳子的长度为（23）5m．故选：B．【点睛】此题考查有理数的乘方，正确理解题意将每次剩下的长度依次表示出来是解题的关键，由此发现规律得到第五次后剩下的绳子的长度.8．（3分）（2023春·河北沧州·七年级统考期末）如图，M、N、P、R分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且MN=NP=PR=1．数a对应的点在M与N之间，数b对应的点在P与R之间，若|a|+|b|=3，则原点是（）A．N或P B．M或R C．M或N D．P或R【答案】B【分析】根据题意得MR=3，然后分两种情况讨论，即可求解．【详解】解：∵MN=NP=PR=1，∴MR=3．①当原点在N或P点时，∵数a对应的点在M与N之间，数b对应的点在P与R之间，∴|a|+|b|<3，∵|a|+|b|=3，∴原点不可能在N点或P；②当原点在点M、R时，且数a对应的点到M与数b对应的点到R的距离相等时，|a|+|b|=3，综上所述，原点可能是点M或R．故选：B．【点睛】本题主要考查了数轴上两点间距离，利用数形结合思想是解题的关键．9．（3分）（2023春·上海宝山·六年级统考期末）如果M=12×34×56⋯×9798×99100，N=|−110|，那么M与N的大小关系是（）A．M<N B．M=N C．M>N D．M2=N2【答案】A【分析】相乘的这些分数的特点是分母都是偶数，分子都是奇数；再写出一道分数相乘，使它们分子都是偶数，分母都是奇数(1−101)，把这两道算式相乘，得出积为1101，由此进一步再做比较即可得解．【详解】解：设A=23×45⋯×9697×9899×100101，∵1 2<23，34<45，⋯，99100<100101，M=12×34×56⋯×9798×99100，∴A>M，∴AM=23×45⋯×9697×9899×100101×12×34×56⋯×9798×99100=1101<1100，∴M×M<110×110，∵N=|−110|=110，∴M<110，即M<N，故选A．【点睛】本题考查了比较有理数的大小，采用适当的方式将有理数放大后比较是解题的关键．10．（3分）（2023春·全国·七年级期中）若a<b<0<c<d，则以下四个结论中，正确的是（）A．a+b+c+d一定是正数B．d+c−a−b可能是负数C．d−c−b−a一定是正数D．c−d−b−a一定是正数【答案】C【分析】本题应用特值排除法，对于A，如果设a=-2，b-1，c=1，d=2，则a+b+c+d=0是非正数；对于B，d+c>0，-a>-b>0，所以d+c-a-b一定大于0；对于D，设a=-2，b=-1，c=1，d=5，则c-d-b-a=-1，不是正数.【详解】A.根据已知条件a<b<0<c<d，可设a=-2，b-1，c=1，d=2，则a+b+c+d=0是非正数，故错误；B. 根据已知条件a<b<0<c<d可知d+c>0，-a>-b>0，所以d+c-a-b>0，故错误；C. 根据已知条件a<b<0<c<d可知d-c>0，-a-b>0，所以d−c−b−a一定是正数，故正确；D，根据已知条件a<b<0<c<d可设a=-2，b=-1，c=1，d=5，则c-d-b-a=-1，是负数，故错误；故选C【点睛】本题考查正数和负数，难度大，熟练掌握相关知识点是解题关键.二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）（2023春·山西晋中·七年级统考期末）若a、b互为相反数，则1−3(a+b)=．【答案】1【分析】根据a、b互为相反数，得到a+b=0，代入计算即可．【详解】∵a、b互为相反数，∴a+b=0，∴1−3(a+b)=1−3×0=1，故答案为：1．【点睛】本题考查了相反数的性质，有理数的乘法，熟练掌握互为相反数的两个数的和为零，零乘以任何数得零是解题的关键．12．（3分）（2023春·河南郑州·七年级郑州外国语中学校联考期末）如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，对应的数分别为−3，b，6，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度1.8cm，点C对齐刻度5.4cm．则数轴上点B所对应的数b为．【答案】0【分析】数轴上A、C两点间的单位长度是9，点C对齐刻度5.4cm，所以数轴的单位长度是0.6cm，AB的长度是1.8cm，除以0.6得AB在数轴上的单位长度．【详解】∵5.4÷[6−(−3)]=0.6(cm)，∴数轴的单位长度是0.6cm，∵1.8÷0.6=3，∴在数轴上A，B的距离是3个单位长度，∴点B所对应的数b为−3+3=0．故答案为：0．【点睛】本题考查的是数轴的概念，解题的关键是确定数轴上的单位长度等于多少厘米．13．（3分）（2023春·广东中山·七年级中山纪念中学校考期中）已知a、b、c均为非零有理数，且满足|abc|=−abc，则|a|a +|b|b+|c|c=．【答案】−1或−3【分析】先根据绝对值的性质可得形如|m|m的值为±1，再根据|abc|=−abc得出：a、b、c中有一个负数或三个均为负数两种情况，分别进行解答即可．【详解】解：∵|abc|=−abc，且a、b、c均为非零有理数∴abc<0，则a、b、c中有一个负数或三个均为负数．①当a、b、c中有一个负数时，不妨设a>0，b>0，c<0，则：|a|a +|b|b+|c|c=1+1−1=−1．②当三个均为负数时，|a| a +|b|b+|c|c=−1−1−1=−3．综上所述，代数式|a|a +|b|b+|c|c的值为−1或−3．故答案为：−1或−3．【点睛】本题考查的是绝对值的性质以及有理数的加法运算，解答此题的关键是利用分类讨论的思想解答．14．（3分）（2023春·江苏淮安·七年级校考期末）新亚商场在2023年“元旦”期间举行促销活动，根据顾客按商品标价的一次性购物总额，规定相应的优惠方法如下：①如果不超过600元，则不予优惠；②如果超过600元，但不超过900元，则按购物总额给予8折优惠；③如果超过900元，则其中900元给予8折优惠，超过900元的部分给予6折优惠，促销期间，小王和妈妈分别看中一件商品，若各自单独付款，则应分别付款560元和640元；若合并付款，则她们总共只需付款元．【答案】996或1080【分析】根据题意可知付款560元时，其实际标价为为560或700元，付款640元，实际标价为800元，分两种情况分别计算求出一次购买标价1360元或1500元的商品应付款即可．【详解】解：由题意知付款560元，实际标价为560或560×108=700（元），付款640元，实际标价为640×108=800（元），如果一次购买标价560+800=1360（元）的商品应付款：900×0.8+(1360−900)×0.6=996（元）；如果一次购买标价700+800=1500（元）的商品应付款：900×0.8+(1500−900)×0.6=1080（元）．故答案是：996或1080．【点睛】本题主要考查了有理数混合运算的应用，注意顾客付款560元时，要分两种情况考虑：有可能原价就是560元，也有可能符合优惠②，此时的结论也会有差别，另外注意计算的准确性．15．（3分）（2023春·浙江杭州·七年级校考期中）A 、B 、C 、D 、E 是数轴上的五个点，点A 、B 、C 所表示的数分别为−12、2、154，点C 到点E 和点B 的距离相等，将数轴沿着点D 折叠后，点A 与点E 重合，那么点D 所表示的数是 ．【答案】52【分析】设出点D 所表示的数，表示出AD ，进而表示点E 所表示的数，根据折叠后点C 到点E 和点B 的距离相等，列方程求出答案．【详解】解：设点D 所表示的数为x ，则AD ＝x ＋12，折叠后点A 与点E 重合，则AD ＝DE ，此时点E 所表示的数为2x ＋12，由折叠后点C 到点E 和点B 的距离相等得，①当点E 在点C 的右侧时，即CB ＝CE ，154−2＝2x ＋12−154，解得，x ＝52，②当点E 在点C 的左侧时，CB ＝CE ，即点E 与点B 重合，不合题意，所以点D 所表示的数为52，故答案为52．【点睛】本题考查数轴表示数的意义和方法，掌握数轴上两点之间距离的计算方法是正确解答的前提．16．（3分）（2023春·广东茂名·七年级茂名市第一中学校考期中）如图，在数轴上点A 表示1，现将点 A 沿x 轴做如下移动：第一次点A 向左移动3个单位长度到达点A 1，第二次将点 A 1向右移动6个单位长度到达点A 2，第三次将点A 2向左移动9个单位长度到达点A 3，按照这种移动规律移动下去，则线段A 13A 14的长度是 ．【答案】42．【分析】根据题意分别找出序号为奇数和偶数的点所表示的数的规律，从而得出A13和A14所表示的数，从而求出其长度．【详解】根据观察可知，奇数点在A 点的左侧，且根据A 1=-2=1+(-3)，A 3=-5=1+(-3)×2，故A13=1+(-3)×7=-20；偶数点在A 点的右侧，且根据A2=4=1+3，A4= -5+12=7=1+3×2，故A14=1+7×3=22；故A13和A14的长度为|22-（-20）|=42．【点睛】本题考查数轴、绝对值和有理数的加减法，本题解题的关键在于①分奇数、偶数点得出各点之间数的规律（奇数点：n 12⋅(−3)+1，偶数点：n2⋅3+1）；②在数轴上两点之间的距离等于它们所表示数的差的绝对值．三．解答题（共7小题，满分52分）17．（6分）（2023春·云南昆明·七年级昆明市第三中学校考期末）计算：(1)(−18)×59(−2)2+|−7|(2)|−33|+9×−−【答案】(1)1(2)24【分析】（1）先利用乘法分配律计算乘法、计算乘方、化简绝对值，再计算加减法即可得；（2）先计算乘方、乘法、去括号，再化简绝对值，然后计算加减法即可得．【详解】（1）解：原式=(−18)×16−(−18)×59+(−18)×12−4+7=−3+10−9+3=1．（2）解：原式=|−27|−92+32==27−3=24．【点睛】本题考查了含乘方的有理数混合运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题关键．18．（6分）（2023春·河南南阳·七年级统考期中）今年“八一”建军节期间，某飞行队进行特技表演，其中一架飞机从地面起飞0.5千米后的高度变化情况如表所示，按要求解答下列问题：高度变化记作上升4.5千米+4.5km下降3.2千米−3.2km上升1.1千米+1.1km下降1.4千米(1)补充完整表格：(2)该飞机完成上述四个表演动作后，飞机离地面的高度是多少千米？(3)如果飞机平均每上升1千米需消耗6升燃油，平均每下降1千米需消耗2升燃油，那么这架飞机在这4个动作表演过程中，一共消耗了多少升燃油？【答案】(1)见解析(2)1.5千米(3)42.8升【分析】（1）根据正负数的定义即可求解；（2）用0.5与表格中4个数相加即可；（3）分别求得上升和下降消耗燃油升数，再相加即可求解．【详解】（1）解：填表如下：高度变化记作上升4.5千米+4.5km下降3.2千米−3.2km上升1.1千米+1.1km下降1.4千米−1.4km（2）0.5+4.5−3.2+1.1−1.4=1.5．故飞机离地面的高度是1.5千米；（3）(4.5+1.1)×6+(3.2+1.4)×2=5.6×6+4.6×2=33.6+9.2=42.8（升）．答：一共消耗了42.8升燃油．【点睛】本题考查了正数和负数，有理数的混合运算．此题的关键是注意符号，然后按题中的要求进行加减乘除运算即可．19．（8分）（2023春·浙江丽水·七年级期中）如图，点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB=|a−b|，解答下列问题：(1)数轴上表示3和7的两点之间的距离是______，数轴上表示2和−5的两点之间的距离是______．(2)数轴上表示x和−1的两点之间的距离是______．（用含x的式子表示）(3)若x表示一个实数，则当x在什么范围内时，|x−1|+|x+3|有最小值？请写出x的范围及|x−1|+|x+3|的最小值．(4)当x为何值时，|x−1|+|x+3|+|x+5|有最小值？并求出该最小值【答案】(1)4，7(2)|x+1|(3)当−3≤x≤1时，|x−1|+|x+3|有最小值，且最小值为4．(4)当x=−3时，|x−1|+|x+3|+|x+5|有最小值，且最小值为6．【分析】（1）根据A、B两点之间的距离AB=|a−b|，进行计算可得答案；（2）根据A、B两点之间的距离AB=|a−b|，进行计算可得答案；（3）|x−1|+|x+3|=|x−1|+|x−(−3)|，该式子表示实数x到1和−3的距离之和，当−3≤x≤1时，|x−1|+|x+3|有最小值，且最小值为1和−3之间的距离4；（4）|x−1|+ |x+3|+|x+5|=|x−1|+|x−(−3)|+|x−(−5)|，该式子表示实数x到1、−3、−5的距离之和，当x=−3时，|x−1|+|x+3|+|x+5|有最小值，且最小值为1和−5之间的距离6．【详解】（1）解：∵|7−3|=4，∴数轴上表示3和7的两点之间的距离是4．∵|2−(−5)|=7，∴数轴上表示2和−5的两点之间的距离是7．故答案为：4，7（2）解：数轴上表示x和−1的两点之间的距离是|x−(−1)|=|x+1|，故答案为：|x +1|（3）解：∵|x−1|+|x +3|=|x−1|+|x−(−3)|，∴当实数x 满足−3≤x ≤1时，实数x 到1与−3的距离和有最小值，最小值为1与−3之间的距离，即|1−(−3)|=4，故当−3≤x ≤1时，|x−1|+|x +3|有最小值，且最小值为4．（4）解：∵|x−1|+|x +3|+|x +5|=|x−1|+|x−(−3)|+|x−(−5)|，∴当x =−3时，|x−1|+|x +3|+|x +5|有最小值，且最小值为−5与1之间的距离，即最小值为|1−(−5)|=6．故当x =−3时，|x−1|+|x +3|+|x +5|有最小值，且最小值为6．【点睛】本题主要考查了绝对值的几何意义，充分理解绝对值的几何意义，运用数形结合的思想进行分析是解题的关键．20．（8分）（2023春·四川达州·七年级四川省达川第四中学校联考期中）观察下列等式11×2＝1﹣12，12×3＝12﹣13，13×4＝13﹣14，将以上三个等式两边分别相加得11×2+12×3+13×4＝1﹣12+12﹣13+13﹣14＝1﹣14＝34．（1）猜想并写出1n(n1)= ；（2）11×2+12×3+13×4+…+12016×2017＝ ；（3）探究并计算：12×4+14×6+16×8+⋯+12016×2018；（4）计算：14+112+124+140+160+184+1112+1144+1180．【答案】（1）1n −1n 1；（2）20162017；（3）2521009；（4）920．【分析】（1）观察已知等式，进行归纳类推即可得；（2）根据（1）中的猜想进行计算即可得；（3）先根据乘法分配律提取14，再参照（2）进行计算即可得；（4）先根据乘法分配律提取12，再参照（2）进行计算即可得．【详解】（1）11×2=1−12，12×3=12−13，13×4=13−14，归纳类推得：1n(n1)=1n −1n 1，故答案为：1n −1n 1；（2）11×2+12×3+13×4+⋯+12016×2017，=1−12+12−13+13−14+⋯+12016−12017，=1−12017，=20162017，故答案为：20162017；（3）12×4+14×6+16×8+⋯+12016×2018，=14×+12×3+13×4+…=14×1−12+12−13+13−14+⋯+11008=14×1−=14×10081009，=2521009；（4）14+112+124+140+160+184+1112+1144+1180，=12×16+112+120+130+142+156+172+=12×+12×3+13×4+⋯+=12×1−12+12−13+13−14+⋯+19=12×1−=12×910，=920．【点睛】本题考查了有理数乘法与加减法的规律性问题，依据题意，正确归纳类推出一般规律是解题关键．21．（8分）（2023春·贵州遵义·七年级统考期末）电子加工厂加工零件，加工零件数规定了一个标准，完成情况是：超出标准记为正数，低于标准记为负数．工资按个数计算，每天计发，达到标准可得标准工资300元/天．下表是小明暑假里一周连续五天的加工零件数记录表，请根据表中信息解决下列问题．星期一二三四五完成情况+2−3a+4+5实际加工数62575864b注：1．达到标准的，工资除按实际加工数计发以外，还另加奖金20元/天；2．未达到标准的，工资也按实际加工数计算，但要扣除10元/天后再发放．(1)该工厂每天的加工零件数标准是______个，每生产一个零件可得工资______元，a=______，b=______．(2)小明这五天中工资最多的一天领到工资多少元？(3)小明这五天中工资最多的一天比工资最少的一天多领多少元？【答案】(1)60；5；2；65(2)345(3)70【分析】（1）根据表格中的数据得出每天加工零件数标准是60个，从而求出a、b的值，根据每天达到标准可得标准工资300元/天，求出每生产一个零件可得工资数；（2）根据加工零件最多的一天为得到工资最多的一天，得出结果即可；（3）用小明这五天中工资最多的一天减去工资最少的一天，求出结果即可．【详解】（1）解：该工厂每天的加工零件数标准是62−2=60（个），每生产一个零件可得工资：300÷60=5（元），a=60−58=2，b=60+5=65，故答案为：60；5；2；65．（2）解：∵65>64>62>58>57，∴小明星期五生产零件最多，∴小明这五天中工资最多的一天领到工资为：5×65+20=345（元），答：小明这五天中工资最多的一天领到工资为345元．（3）解：小明这五天中工资最少的一天领到的工资为：5×57−10=275（元），345−275=70（元），答：小明这五天中工资最多的一天比工资最少的一天多领70元．【点睛】本题主要考查了有理数混合运算的应用，解题的关键是理解题意，求出每加工一个零件可以得到5元．22．（8分）（2023春·北京朝阳·七年级校考期中）阅读下列材料：若数轴上点A、点B表示的数分别为a，b，则线段AB的中点表示的数为a b．基于此，我们给出如下定义：数轴上给定两点A，B以及一条线段PQ，2若线段AB的中点R在线段PQ上（点R能与点P或Q重合），则称点A与点B关于线段PQ径向对称．例：＝4，所以点如图所示，点A，P，Q，B所表示的数为1，2，5，7，那么线段AB的中点R所表示的数为172R在线段PQ上，则点A与点B关于线段PQ径向对称．解答下列问题：如图1，在数轴上，点O为原点，点A表示的数为−1，点M表示的数为2．(1)点B，C分别表示的数为−3，4，在B，C两点中，点______与点A关于线段OM径向对称；(2)点N是数轴上一个动点，点F表示的数为6，点A与点F关于线段ON径向对称，求线段ON长度的最小值，并写出求解过程；(3)在数轴上，动点K从表示−4的点出发，以每秒3个单位长度的速度向右移动，动点L从表示−2的点出发，以每秒2个单位长度的速度向右移动．点K和L同时出发，设移动的时间为t秒（t＞0），若线段KL 上至少存在一点与点A关于线段OM径向对称，则直接写出t能取到的最小值为______，能取到的最大值为______．【答案】(1)C(2)线段ON长度的最小值为5；2(3)3，32【分析】（1）根据径向对称的定义直接求解即可；，若ON最小，则点A和点F的中点与点N （2）设点N所对应的数为m，点A和点F的中点所对应的数为52；重合，此时ON=52≤2，求出x的范围是1≤x≤5，当L点（3）设线段KL上有一点T，T点表示的数是x，由题意可得0≤x−12运动到表示1的数时，t的值最小，当K点运动到表示5的数时，t的值最大．【详解】（1）解：∵点A表示的数为−1，点B，C表示的数分别为−3，4，=−2，点A与点C的中点表示的数为1.5，∴点A和点B的中点表示的数为−1−32∵点O为原点，点M表示的数为2，∴点C与点A关于线段OM径向对称；故答案为：C；（2）解：设点N所对应的数为m，∵点A表示的数为−1，点F表示的数为6，，∴点A和点F的中点所对应的数为52；若ON最小，则点A和点F的中点与点N重合，此时ON=52∴线段ON长度的最小值为5；2（3）解：K点运动后表示的数是−4+3t，L点运动后表示的数是−2+2t，设线段KL上有一点T，T点表示的数是x，，∴TA的中点x−12∵T点与A点关于线段OM径向对称，在线段OM上，∴x−12≤2，∴0≤x−12∴1≤x≤5，当L点运动到表示1的数时，−2+2t=1，解得t=3，2当K 点运动到表示5的数时，−4+3t =5，解得t =3，∴t 的最小值为32，最大值为3，故答案为：32，3．【点睛】本题考查有理数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，弄清定义是解题的关键．23．（8分）（2023春·浙江宁波·七年级校考期中）数轴上点A 表示−8，点B 表示6，点C 表示12，点D 表示18．如图，将数轴在原点O 和点B 、C 处各折一下，得到一条“折线数轴”．在“折线数轴”上，把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的和谐距离．例如，点A 和点D 在折线数轴上的和谐距离为|−8−18|=26个单位长度．动点M 从点A 出发，以4个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点O 运动到点C 期间速度变为原来的一半，过点C 后继续以原来的速度向终点D 运动；点M 从点A 出发的同时，点N 从点D 出发，一直以3个单位/秒的速度沿着“折线数轴”负方向向终点A 运动，其中一点到达终点时，两点都停止运动．设运动的时间为t 秒．(1)当t =2秒时，M 、N 两点在折线数轴上的和谐距离|MN |为__________；(2)当点M 、N 都运动到折线段O−B−C 上时，O 、M 两点间的和谐距离|OM |=__________（用含有t 的代数式表示）；C 、N 两点间的和谐距离|CN |=__________（用含有t 的代数式表示）；t =__________时，M 、N 两点相遇；(3)当t =__________时，M 、N 两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度；当t =__________时，M 、O 两点在折线数轴上的和谐距离与N 、B 两点在折线数轴上的和谐距离相等．【答案】(1)12(2)2t−4，3t−6，225(3)265或185；8或165【分析】（1）当t =2秒时，M 表示的数是−8+2×4=0，N 表示的数是18−3×2=12，即的M 、N 两点在折线数轴上的和谐距离|MN |为|12−0|=12；（2）当点M 、N 都运动到折线段O−B−C 上，即t ≥2时，M 表示的数是42×(t−2)=2t−4，N 表示的数是12−3(t−2)=18−3t ，而M 、N 两点相遇时，M 、N 表示的数相同，即得2t−4=18−3t ，可解得答案；（3）根据M 、N 两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度，得|2t−4−(18−3t)|=4，可解得t =265或t =185，由t =2时，M 运动到O ，同时N 运动到C ，可知t <2时，不存在M 、O 两点在折线数轴上的和谐距离与N 、B 两点在折线数轴上的和谐距离相等，当2≤t ≤8，即M 在从点O 运动到点C 时，有2t−4=|6−(18−3t)|，可解得t =8或t =165，当8<t ≤263时，M 在从C 运动到D ，速度变为4个单位/秒，不存在M 、O 两点在折线数轴上的和谐距离与N 、B 两点在折线数轴上的和谐距离相等，即可得答案．【详解】（1）当t =2秒时，M 表示的数是−8+2×4=0，N 表示的数是18−3×2=12，∴M 、N 两点在折线数轴上的和谐距离|MN |为|12−0|=12，故答案为：12；（2）由（1）知，2秒时M 运动到O ，N 运动到C ，∴当点M 、N 都运动到折线段O−B−C 上，即t ≥2时，M 表示的数是42×(t−2)=2t−4，N 表示的数是12−3(t−2)=18−3t ，∴O 、M 两点间的和谐距离|OM|=|2t−4−0|=2t−4，C 、N 两点间的和谐距离|CN|=|12−(18−3t)|=3t−6，∵M 、N 两点相遇时，M 、N 表示的数相同，∴2t−4=18−3t ，解得t =225，故答案为：2t−4，3t−6，225；（3）∵M 、N 两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度，∴|2t−4−(18−3t)|=4，即|5t−22|=4，∴5t−22=4或5t−22=−4，解得t =265或t =185，由（1）知，t =2时，M 运动到O ，同时N 运动到C ，∴t <2时，不存在M 、O 两点在折线数轴上的和谐距离与N 、B 两点在折线数轴上的和谐距离相等，当2≤t ≤8，即M 在从点O 运动到点C 时，2t−4=|6−(18−3t)|，即|3t−12|=2t−4，∴3t−12=2t−4或3t−12=4−2t ，解得t =8或t =165，当8<t ≤263时，M 在从C 运动到D ，速度变为4个单位/秒，不存在M 、O 两点在折线数轴上的和谐距离与N 、B 两点在折线数轴上的和谐距离相等，故答案为：265或185；8或165．【点睛】本题考查一次方程的应用，解题的关键是用含t 的代数式表示点运动后表示的数及分类讨论．。
北师大版初中数学七年级上册知识讲解,巩固练习：第8讲第2章《有理数及其运算》全章复习和巩固(含答案)
《有理数及其运算》全章复习与巩固【学习目标】1．理解有理数及其运算的意义，提高运算能力．2．能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小；借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数与绝对值．3．体会转化、归纳等思想；掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及混合运算并能解决简单的实际问题．4．会用科学记数法表示数．【知识网络】【要点梳理】要点一、有理数的相关概念1．有理数的分类：（1）按定义分类：（2）按性质分类：要点诠释：（1）用正数、负数表示相反意义的量；（2）有理数“0”的作用：2．数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线．要点诠释：（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如．（2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大．3．相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0．要点诠释：（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的．（2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可．（3）多重符号的化简：数字前面“”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负．4．绝对值：（1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 数a 的绝对值记作．（2)几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离．π--a要点二、有理数的运算1 ．法则：（1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③一个数同0相加，仍得这个数．（2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即a-b=a+(-b) ．（3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同0相乘，都得0．（4）除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即a ÷b=a ·(b ≠0) ． （5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂都是正数，0的任何非零次幂都是0．(6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行； ③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．要点诠释：“奇负偶正”口诀的应用：（1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：－[－（－3）]=－3，－[+（－3）]=3．（2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36．（3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如： ， ． 2．运算律：（1）交换律: ① 加法交换律:a+b=b+a ； ②乘法交换律:ab=ba ；（2）结合律: ①加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c)； ②乘法结合律：（ab ）c=a(bc)（3）分配律：a(b+c)=ab+ac要点三、有理数的大小比较比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，1b2(3)9-=3(3)27-=-正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒数比较法．要点四、科学记数法把一个大于10的数表示成的形式（其中1≤，是正整数），此种记法叫做科学记数法．例如：200 000=．【典型例题】 类型一、有理数相关概念1．若一个有理数的：(1)相反数；（2）倒数；(3)绝对值；(4)平方；(5)立方，等于它本身．则这个数分别为(1)________；(2)________；(3)________；(4)________；（5）________．【答案】（1）0； (2)1和-1；(3)正数和0；(4)1和0；(5)-1、0和1【解析】根据定义，把符合条件的有理数写全．【总结升华】要全面正确地理解倒数，绝对值，相反数等概念．举一反三：【变式】(1)的倒数是 ；的相反数是 ；的绝对值是 ． -（-8）的相反数是 ；的相反数的倒数是_____. (2)某种食用油的价格随着市场经济的变化涨落，规定上涨记为正，则-5．8元的意义是 _ ；如果这种油的原价是76元，那么现在的卖价是 ．(3) 上海浦东磁悬浮铁路全长30km ，单程运行时间约为8min,那么磁悬浮列车的平均速度用科学记数法表示约为 m ／min ．(4) 若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，则____ ． 【答案】（1）； ； ；-8；2 （2）降价5．8元，70．2 元；（3）；（4）3； 10na ⨯10a <n 5210⨯321-321-321-21-=++)(323b a cd 35-21321333.7510⨯2．（2018•杭州模拟）已知|x|=|﹣3|，则x 的值为 ． 【思路点拨】根据题意可知|x|=3，由绝对值的性质，即可推出x=±3． 【答案】±3．【解析】解：∵|﹣3|=3，∴|x|=3，∵|±3|=3，∴x=±3．【总结升华】本题主要考查绝对值的性质，关键在于求出3和﹣3的绝对值都为3． 3．在下列两数之间填上适当的不等号：________． 【思路点拨】根据“a-b ＞0，a-b ＝0，a-b ＜0分别得到a ＞b ，a ＝b ，a ＜b ”来比较两数的大小．【答案】 ＜【解析】解法一：作差法由于，所以 解法二：倒数比较法：因为所以 【总结升华】比较大小常用的有五种方法，要根据数的特征选择使用．200520062006200720052006200520072006200610200620072006200720062007⨯-⨯-==-<⨯⨯2005200620062007<2006112007112005200520062006=+>+=2005200620062007<举一反三：【变式】（2018•宁德）有理数a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，下列各式正确的是（ ）A ．a+b ＜0B ． a ﹣b ＜0C ． a•b＞0D ． ＞0【答案】B ． 类型二、有理数的运算4．（2019•厦门）计算：．【思路点拨】原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可得到结果．【答案与解析】解：原式=10+8×﹣2×5=10+2﹣10=2．【总结升华】有理数的混合运算首先弄清运算顺序，先乘方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里边的，同级运算从左到右依次进行计算，然后利用各种运算法则计算，有时可以利用运算律来简化运算．举一反三：【变式】计算：（1） （2）【答案】解：（1） （2）11(2)(2)22-⨯÷⨯-()20064261031-+--⨯-111(2)(2)(1)(2)(1)2(2)4222-⨯÷⨯-=-÷⨯-=-⨯⨯-=()20064261031-+--⨯-=-16+4-3×1=-15类型三、数学思想在本章中的应用5．（1）数形结合思想：有理数a 在数轴上对应的点如图所示，则a ，-a ，1的大小关系．A ．-a ＜a ＜1B ．1＜-a ＜aC ．1＜-a ＜aD ．a ＜1＜-a（2）分类讨论思想：已知|x|＝5，|y|＝3．求x-y 的值．（3）转化思想：计算： 【答案与解析】解：（1）将-a 在数轴上标出，如图所示，得到a ＜1＜-a ，所以大小关系为：a ＜1＜-a ． 所以正确选项为：D ．（2）因为| x|＝5，所以x 为-5或5因为|y|＝3，所以y 为3或-3．当x ＝5，y ＝3时，x-y ＝5-3＝2当x ＝5，y ＝-3时，x-y ＝5-(-3)＝8当x ＝-5，y ＝3时，x-y ＝-5-3＝-8当x ＝-5，y ＝-3时，x-y ＝-5-(-3)＝-23135()147⎛⎫-÷- ⎪⎝⎭故（x-y ）的值为±2或±8（3）原式= 【总结升华】在解题中合理利用数学思想，是解决问题的有效手段．数形结合——“以形助数”或“以数解形”使问题简单化，具体化；分类讨论中注意分类的两条原则：分类标准要统一，而且分类要做到不重不漏；转化思想就是把“新知识”转化为“旧知识”，将“未知”转化为“已知”．举一反三：【变式】若a 是有理数，|a|-a 能不能是负数?为什么?【答案】解： 当a ＞0时，|a|-a ＝a-a ＝0；当a ＝0时，|a|-a ＝0-0＝0；当a ＜0时，|a|-a ＝-a-a ＝-2a ＞0．所以，对于任何有理数a ，|a|-a 都不会是负数．类型四、规律探索6．将1，，，，，，…，按一定规律排列如下：请你写出第20行从左至右第10个数是________．【思路点拨】通过观察题目所给的图形、表格或一段语言叙述，然后归纳总结，寻找规律．【答案】 33135(7)357724614142⎛⎫--⨯-=⨯+⨯= ⎪⎝⎭12-1314-1516-1200-【解析】 认真观察可知，第1行有1个数，第2行有2个数，第3行有3个数，……，所以第20行有20个数，从第1行到第20行共有1+2+3+…+20＝210个数，所以第20行最后一个数的绝对值应是；又由表中可知，凡是分母是偶数的分数是负数，故第20行最后一个数是，以此类推向前10个，则得到第20行第10个数是． 【总结升华】特例助思，探究规律，这类题主要是通过观察分析，从特殊到一般来总结发现规律，并将规律表示出来．【巩固练习】一、选择题1．（2019•益阳）的相反数是（ ）A ．2019B ．﹣2019C ．D ．2.（2018•菏泽）如图，四个有理数在数轴上的对应点M ，P ，N ，Q ，若点M ，N 表示的有理数互为相反数，则图中表示绝对值最小的数的点是（ ）A ．点MB ． 点NC ． 点PD ． 点Q3． 在-(-2)，-|-7|，-|+1|，|-)511(-|32+，中，负数的个数是 ( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个４．据有关资料显示，2011年遵义市全年财政总收入202亿元，将202亿用科学记数法可表示（ ）A ．2.02×210人B ．202×810人C ．2.02×910人D ．2.02×1010人5．若-1<a<0,则a ，2a ,a1从小到大排列正确的是（ ） A ．a 2<a<a 1 B ．a <a 1< a 2 C ．a 1<a< a 2 D ．a < a 2 <a1 12101210-1200-6．在数轴上距2.5有3.5个单位长度的点所表示的数是( )A ．6B ．-6C ．-1D ．-1或67．a,b 两数在数轴上的位置如图，则下列正确的是（ ）A ． a+b>0B ． ab>0C ．ba >0 D ．a-b>0 8．已知有理数a ，b 在数轴上对应的两点分别是A ，B ．请你将具体数值代入a ，b ，充分实验验证：对于任意有理数a ，b ，计算A ， B 两点之间的距离正确的公式一定是（ ）A ．a b -B ．||||a b +C ．||||a b -D ．||a b -二、 填空题9.（2018•湖州）计算：23×（）2= ．10.水池中的水位在某天八个不同时刻测得记录为：(规定向上为正，向下为负，单位：厘米)+3，0，-1，+5，-4，+2，-3，-2，那么这里0的含义是___________.11．德国科学家贝塞尔推算出天鹅座第61颗暗星距离地球102 000 000 000 000千米，用科学记数法表示出暗星到地球的距离为___ _____千米．12．7=x ，则______=x ； 7=-x ，则______=x . 13．已知实数a , 在数轴上如下图所示，则|1|-a = .14．若|a-2|+|b+3|=0，则3a+2b= ．15．()221---＝ ．16．（2019春•江苏校级期末）观察下列各式：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187…你从中发现底数为3的幂的个位数有什么规律吗？根据你发现的规律回答：32019的个位数字是 ．三、 解答题17．计算：（1）222172(3)(6)3⎛⎫-+⨯-+-÷- ⎪⎝⎭ （2）4211(10.5)[2(3)]3---⨯⨯--（3）21-49.5+10.2-2-3.5+19 （4）323233351914321251943252⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯--⨯⨯-+⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭18．已知a 、b 互为倒数，c 、d 互为相反数，且x 的绝对值为3，求2x 2-(ab-c-d)+|ab+3|的值．19.（2018•顺义区一模）居民用电计费实行“一户一表”政策，以年为周期执行阶梯电价，即：一户居民全年不超过2880度的电量，执行第一档电价标准为0.48元/度；全年用电量在2880度到4800度之间（含4800），超过2880度的部分，执行第二档电价标准为0.53元/度；全年用电量超过4800度，超过4800度的部分，执行第三档电价标准为0.78元/度．小敏家2018年用电量为3000度，则2018年小敏家电费为多少元？20．先观察下列各式： 11111434⎛⎫=- ⎪⨯⎝⎭；111147347⎛⎫=- ⎪⨯⎝⎭；11117103710⎛⎫=- ⎪⨯⎝⎭；...；1111(3)33n n n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，根据以上观察，计算：1111447710+++⨯⨯⨯ (120052008)+⨯的值． 【答案与解析】一、选择题1．【答案】C【解析】解：∵﹣与只有符号不同，∴﹣的相反数是．故选：C ．【解析】∵点M ，N 表示的有理数互为相反数. ∴原点的位置大约在O 点，∴绝对值最小的数的点是P 点，故选C ．3．【答案】 C【解析】负数有三个，分别是：-|-7|，-|+1|，)511(-+4．【答案】D5．【答案】C 【解析】由-1<a<0可知2a 为正数，而其它两数均为负数，且| a |＜a 1，所以a ＞a1，所以a1<a< a 2． 6．【答案】D【解析】2.5+3.5=6, 2.5-3.5=-17．【答案】D【解析】由图可知，a 、b 异号，且b 的绝对值较大．8.【答案】D【解析】按正负对a ，b 分类讨论．二、填空题9.【答案】2.【解析】23×（）2=8×=2.10．【答案】水位无变化11．【答案】1.02×101412．【答案】7,7±±【解析】由图可知：a-1＜0，所以│a-1│=-（a-1）=1- a14．【答案】0【解析】∵|a-2|+|b+3|=0，∴a-2=0，b+3=0，即a=2，b=-3．∴3a+2b=6-6=0；15．【答案】-5【解析】()221415---=--=-16．【答案】1【解析】解：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187，……，∵2019÷4=504，∴32019的个位数字与第4个数的个数数相同，是1．故答案为：1．三、解答题17．【解析】解： (1) 原式1 4929(6)9 =-+⨯+-÷4918(6)949185485 =-++-⨯=-+-=-(2) 原式1111115 11[2(9)]11112 232366⎛⎫=---⨯⨯--=--⨯⨯=--=- ⎪⎝⎭（3）原式＝[(21+19)+10.2]+[(-49.5-3.5)-2]＝50.2-55＝-4.8(4) 原式＝322 33519422519435⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯--⨯+⎢⎥⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦2794319162700 8251943258⎛⎫=-⨯-⨯+=-⨯=⎪⎝⎭18．【解析】解：将ab＝1，c+d＝0，|x|＝3代入所给式子中得： 2×32-1+|1+3|＝21．所以2x2-(ab-c-d)+|ab+3|=2119.【解析】解：根据题意得：2880×0.48+（3000﹣2880）×0.53=1446（元），则2018年小敏家电费为1446元．20．【解析】解：原式11111111111 1343473710320052008⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭…111111111344771020052008⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+-⎪⎝⎭1113200812007320086692008⎛⎫=-⎪⎝⎭=⨯=。
有理数及其运算单元测试题(含答案)
有理数及其运算单元测试题姓名一、判断题：1．若a 、b 互为倒数，则02121=+-ab （ ） 2．x+5一定比x －5大。
（ ）3．31)21()21(31÷-=-÷ （ ） 4．+（—3）既是正数，又是负数． （ ）5．数轴上原点两旁的数是相反数． （ ）6．任意两个有理数都可以相减． （ ）7．有绝对值最小的数，没有绝对值最大的数． （ ）8．a 是有理数，—a 一定是负数． （ ）9．任何正数都大于它的倒数． （ ）10．大于0的数一定是正数，a 2一定是大于0的数． （ ）二、填空题：1． 、 统称有理数．2．白天的温度是零上10°C 记作 ，午夜的温度比白天低15°，那么午夜的温度记作 °C ．3．平方得9的有理数是 ，立方得271-的有理数是 ． 4．比23-的倒数小2的数是 ． 5．5与—12的和的绝对值是 ，它们绝对值的差是 ．6．倒数与它本身相等的数是 ．7．若1=a a，则a 0；若1-=a a，则a 0．8．在数轴上，从1．5的点向左移动2个单位得到点A ，再从A 点向右平移4个单位得到点B ，则点A 表示的数为 ，点B 表示的数为 ．9．大于－5的负整数是 ，绝对值小于5而大于2的非负整数是 ．10．43-的相反数的倒数是 ，－（－5）的倒数的绝对值是 ． 11．如果x ＜0，那么－|x |＝ ，如果|－x |＝|－3|，那么x= ．12．如果a 2＋|b －1|＝0，则3a －4b ＝ ．13．若=->a b b a 2,2则 ．14．112(2-+）a 的最小值是 ．15．已知a ＜2，则|a －2|＝4，则a 的值是 ．三、选择题：1．下列说法错误的是（ ）（A ） 整数的相反数一定是整数 （B ） 所有的整数都有倒数（C ） 相反数与本身相等的数只有0 （D ） 绝对值大于1而不大于2 的整数有±22．如图所示，数轴上两点分别表示数m 、n ，则|m －n|为（ ）（A ）m －n （B ）n －m （C ）±（m －n ） （D ） m ＋n3．计算（－3）2－（－2）3－22＋（－2）2，其结果是（ ）（A ）17 （B ）－18 （C ）－36 （D ）184．若两个有理数的和为负，那么这两个有理数（ ）（A ）都为负 （B ）一个为零，另一个为负 （C ）至少有一个为负 （D ） 异号5．.若22b a =，则（ ）（A ）b a = （B ）33b a = . （C ）0==b a （D ）b a -= . 6．计算34()43(43-⨯-÷-，其结果是（ ） （A ）43- （B ）43 （C ）34- （D ）34 7．下列结论正确的是（ ）（A ）一个有理数的平方不可能为负数 （B ） 一个有理数的平方必为正数（C ） 一个数的平方与它的绝对值相等 （D ） 一个数的平方一定大于这个数8．若ａ为有理数，则下列各式的值一定为正数的是（ ）（Ａ）ａ３＋１ （Ｂ）ａ３ （Ｃ）ａ２＋１ （Ｄ）（ａ＋１）２9．计算（－2）2004＋（－2）2005所得的结果是（ ）（A ）22004 （B ）－22004 （C ）（－2）2004 （D ）－210．如果0＜x ＜1，那么下列各式正确的是（ ）（A ）21x x x >> （B ）x x x 12>> （C ）x x x >>12 （D ）21x xx >> 四、把下列各数填入它相应所属的集合内：－1， （－2）2，0，－[＋（－3．4）]，－32， ∙-3.0，0．1010010001…，－（－5），—32，－（－2）3正整数集合｛ …｝； 分数集合 ｛ …｝负数集合 ｛ …｝；有理数集合｛ …｝ 五、把下列各数在数轴上表示出来，并用“＜”号将各数从小到大排列起来：.4，—1+，0，—（—3．5），—211-．六、计算：1． )6.2(2.4)5.3()3(0-----+- 2．32432131+--3． )6(363528-⨯ 4．)2(8325.0-÷÷-5．911)325.0(321÷-⨯- 6．])2()6.0511(41[222-÷⨯-+---7．8)211(125.0)412(2311)32(3)211(4222⨯-⨯-⨯-÷-⨯+-⨯-七、求值：.1． 已知x ＝－2，y ＝1，z ＝－3，求x 4－（x 2y 2－y 2）－z 3－7的值．2． 已知|a |＝3，|b|＝5，|a －b|＝b －a ，且ab ＜0，求a ＋b 与a －b 的值．3． 已知a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值是2 ．试求代数式x 2－（a ＋b ＋cd ）x ＋（a ＋b ）2004＋（－cd ）2003的值．4． 已知a ＝222)31()6()3(27-÷-+-⨯+-；221223163-÷⨯-=b ； c ＝2)5.0()751()72(436818-+-÷--⨯；d ＝342)21(41])1()32(3[211-÷+---⨯-， 试确定ab —cd 的符号．5※．三个有理数0,0,,,>++<c b a abc c b a ．当c cb ba ax ++=时，求x 19－92x ＋2的值．答案一． 判断题：1． [ √ ] 2． [ √ ] 3． [ × ] 4． [ × ] 5． [ × ] 6． [ √ ] 7． [ √ ]8． [× ] 9． [ × ] 10． [ × ]二、填空题1．[整数、分数] 2． [+10°C] 3． [±3，31-] 4． [322-] 5． [7，-7] 6． [±1] 7． [＞，＜＝] 8． [-0.5，3.5] 9．[-4、-3、-2、-1，3、4] 10．[51,34] 11．[x ，±3] 12． [-4] 13． [a-2a] 14． [-1] 15． [-2]三、选择题：1．[B] 2．[B] 3．[A] 4．[C] 5．[A] 6．[C] 7．[A] 8．[C] 9．[B] 10．[A] 四、把下列各数填入它相应所属的集合内：[（－2）2、，－（－5），－（－2）3]，[－[＋（－3．4）]，－32，∙-3.0]，[－1，－32，—32，]，[－1， （－2）2，0，－[＋（－3．4）]，－32， ∙-3.0，0．1010010001…，－（－5），—32，－（－2）3 ]五、把下列各数在数轴上表示出来，并用“＜”号将各数从小到大排列起来：. [4)5.3(01211<--<<+-<--] 六、计算： 1． [-1.1] 2． []41- 3．[65173-] 4．[31] 5．[41] 6．[100397-] 7．[-914] 七、求值：. 5． [33]6． [2，-8]7． [当x=2时，原式=1；当x=-2时，原式=5]8． [a=-85，b=4，c=43，d=67-，原式=-81339] 5． [a 、b 、c 三数只能是二正一负，所以x=1，原式=-89]。
有理数及其运算(含答案)
有理数及其运算试卷简介:数轴、相反数、绝对值，有理数的运算法则，有理数混合运算顺序。
一、单选题(共9道，每道5分)1.我们身处在自然环境中,一年接收的宇宙射线及其它天然辐射照射量约为3100微西弗(1西弗等于1000毫西弗,1毫西弗等于1000微西弗),用科学记数法可表示为( )A.3.1×106西弗B.3.1×103西弗C.3.1×10-6西弗D.3.1×10-3西弗答案：D解题思路：∵1西弗=103毫西弗，1毫西弗=103微西弗，∴1西弗=106微西弗，∴3100微西弗=3.1×103微西弗=3.1×10-3西弗试题难度：三颗星知识点：科学记数法2.下列说法正确的是( )A.正数和负数统称有理数B.正整数和负整数统称为整数C.小数3.14不是分数D.整数和分数统称为有理数答案：D解题思路：整数和分数统称为有理数，故D选项正确，A选项错误，有限小数和无限循环小数都可以写成分数，所以C选项错误，0也是整数，所以B选项错误．试题难度：三颗星知识点：有理数及其分类3.文具店、书店和玩具店依次坐落在一条东西走向的大街上,文具店在书店西边30米处,玩具店位于书店东边50米处,小王从书店沿街向东走了80米,接着又向东走了-70米,此时小王的位置在( )A.玩具店B.文具店C.文具店西边20米D.书店东边10米答案：D解题思路：小王两次向东走80+（-70）=10米，所以小王的位置在书店东边10米，故正确选项是D.试题难度：三颗星知识点：数轴的作用4.下列说法正确的是( )A.绝对值等于它本身的数是正数B.相反数等于它本身的数是负数C.相反数等于它本身的数是0D.倒数等于它本身的数是1答案：C解题思路：绝对值等于它本身的数是非负数；相反数等于它本身的数是0；倒数等于它本身的数是±1，故正确选项是C.试题难度：三颗星知识点：倒数5.下面说法正确的是( )A.两数之和不可能小于其中的一个加数B.两数相加就是它们的绝对值相加C.两个负数相加,和取负号,绝对值相减D.不是互为相反数的两个数,相加不能为零答案：D解题思路：-1+2=1＜2，故A选项错误；同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加，故B和C选项错误，正确答案是D.试题难度：三颗星知识点：有理数的加法6.下列各组数中,值相等的是( )A.与B.与C.与D.与答案：C解题思路：=9，=8，故≠，A选项错误；=-4，=4，故≠，B选项错误；=18，=36，故D选项错误；==9，故C选项正确.试题难度：三颗星知识点：有理数的乘方7.计算使用什么运算律可使计算简便( )A.加法交换律B.乘法交换律C.乘法结合律D.乘法分配律答案：D解题思路：括号内的分母2、9、6、12都是36的因数，所以用（-36）乘以括号内的每一项，然后把结果相加，这是利用有理数分配率可以把分母约分掉，故D选项正确.试题难度：三颗星知识点：有理数乘法分配率8.下列结论正确的是( )A.若|x|=|y|,则x=-yB.若x=-y,则|x|=|y|C.若|a|<|b|,则a<bD.若a<b,则|a|<|b|答案：B解题思路：若|x|=|y|，则x=-y或者x=y，故A选项错误；若取a=-2,b=-3，则|-2|<|-3|，但是-2＞-3，故C选项错误；若取x=-3,y=-2,则-3<-2，但是|-3|>|-2|，故D选项错误；互为相反数的两个数到原点的距离相等，故它们的绝对值相等，故B选项正确.试题难度：三颗星知识点：绝对值及其法则9.若a+b>0,ab<0且|a|<|b|,则( )A.a>0,b<0B.a>0,b>0C.a<0,b>0D.a<0,b<0答案：C解题思路：由于a+b>0，ab<0，根据异号两数相加，取绝对值较大的符号，又因为|a|<|b|，所以b的符号为正，a符号为负，即a<0，b>0，所以C选项正确.试题难度：三颗星知识点：有理数的加法二、填空题(共11道，每道5分)10.已知数轴上点A与原点的距离为1，点B与点A之间的距离为4，则点B对应的有理数是____．答案：±3，±5解题思路：与原点的距离为1的点有±1，到1的距离为4的点有5和-3，到-1的距离为4的点有-5和3.故正确答案为±3与±5.试题难度：一颗星知识点：用数轴表示点到原点的距离11.如果a<0，b>0，b>|-a|，则a，b，-a，-b这4个数从大到小的顺序是____．答案：b＞-a＞a＞-b解题思路：试题难度：一颗星知识点：用数轴比较大小12.若|x-4|与(y-2)2互为相反数，则(-x)y+1=____．答案：-64解题思路：∵|x-4|与(y-2)2互为相反数∴|x-4|+(y-2)2=0∵|x-4|≧0，(y-2)2≧0∴|x-4|=0，(y-2)2=0∴x=4，y=2∴(-x)y+1=（-4）2+1=（-4）3=-64试题难度：一颗星知识点：绝对值的非负性13.设有理数a，b在数轴上的对应点如图所示，则化简|a|-|1-b|-|a+1|-|-b|的结果为____．答案：-2a-2b解题思路：根据图可得：a＜0，1-b＜0，a+1>0，-b＜0∴原式=-a-(-1+b)-(a+1)-b=-a+1-b-a-1-b=-2a-2b试题难度：一颗星知识点：利用数轴去绝对值14.若|a|=2，|b+1|=3，且|a-b|=b-a，那么a+b的值是____．答案：4,0解题思路：∵|a|=2，|b+1|=3∴a=±2，b=2或-4∵|a-b|=b-a∴，∴a+b=4或0试题难度：一颗星知识点：绝对值的分类讨论15.我们常用的数是十进制的数，而计算机程序处理中使用的只有数码0和1的二进制数．这两者可以相互换算，如将二进制1101换算成十进制数应为1×23+1×22+0×21+1×20=13，按此方式，则将十进制25换算成二进制数应为____．答案：11001解题思路：25=16+8+1=24+23+1=1×24+1×23+0×22+0×21+1×20，取2的次方前的数字依次为11001，故正确答案为11001.试题难度：一颗星知识点：定义新运算16.计算211×(-45)+365×45-211×55+55×365=____．答案：15400解题思路：解：原式=211×(-45-55)+365×(45+55)=-211×100+365×100=（-211+365）×100=15400试题难度：一颗星知识点：有理数乘法分配率17.计算____．答案：12解题思路：解：原式===12试题难度：一颗星知识点：有理数的混合运算18.计算____．答案：2解题思路：解：原式====2试题难度：一颗星知识点：有理数的混合运算19.计算____答案：-3解题思路：解:原式=====-3试题难度：一颗星知识点：有理数的混合运算20.计算____答案：35解题思路：解：原式===36+1-2=35试题难度：一颗星知识点：有理数的混合运算。
第二章-有理数及其运算典型题(带答案)
第二章 有理数及其运算典型题1. 若A 、①②③B 、①②④C 、④D 、①②2. a 是任意有理数，下列说法正确的是：（ ）A ．2)1(+a 的值总为正 B ．12+a 的值总为正C ．2)1(+-a 的值总为负D ．12+a 的值有最大值3. 使等式|－5－x|=|－5|+|x|成立的x 的值是 （ ）A ．任意一个数B ．任意一个非正数C ．任意一个负数D ．任意一个非负数4. 用四舍五入法得到数a 的近似数3.80，则原数a 的范围是（ ）A. 85.375.3<<aB. 85.375.3<≤aC. 855.3795.3<<aD. 805.3795.3<≤a5.如果0,0,0<>>+ab a b a 那么 （ ）A. b a .异号，而||||b a >B. b a .同号，而b a >C. b a .异号，而||||b a <D. b a .异号，而b a <6．如果|a|=7，|b|=5，试求a-b 的值为（ D ）A ．2 B.12 C. 2和12 D. 2；12；-12；-2 a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，m 的绝对值为2，那么 a +b +m 2－cd 的值为（ A ）A.3B.±3 ±21 ±21 8. 若0<a<1,则a ，) (,12从小到大排列正确的是a a A 2<a<a 1 B.a < a 1< a2 C.a 1<a< a 2 D.a < a 2 <a1 9.某城市按以下规定收取每月煤气费，用煤气不超过60立方米，按每立方米元收费；如果超过60立方米， 超过部分按每立方米元收费.已知甲用户某月份用煤气80每立方米，那么这个月甲用户应交煤气费( C )元 元 元元10.小华和小丽最近测了自己的身高，小华量得自己约m ，小丽测得自己的身高约为m ，下列关于她俩身高的说法正确的是( D )A.小华和小丽一样高B.小华比小丽高C.小华比小丽低D.无法确定谁高11.（2013·山东烟台中考）“厉行勤俭节约，反对铺张浪费”势在必行.最新统计数据显示，中国每年浪费食物总量折合为粮食大约是210 000 000人一年的口粮，将210 000 000用科学记数法表示为（ ） A.2.1×109 B.0.21×109C.2.1×108D.21×107 12．一口深井，井底有一只青蛙，这只青蛙白天沿着井壁向上爬3米，夜间又落下2米，到了第十天的下午，这只青蛙恰好爬到井口，则这口井的深度是 12 米。
七年级数学上第2章有理数及其运算全章练习含答案
七年级数学上册 第2章 有理数及其运算 同步练习题一、选择题1．陆地上最高处是珠穆朗玛峰顶，高出海平面8844 m ，记为＋8844 m ；陆地上最低处是地处亚洲西部的死海，低于海平面约415 m ，记为( )A ．＋415 mB ．－415 mC ．±415 mD ．－8848 m 2．在－4，0，－1，3这四个数中，最大的数是( ) A ．－4 B ．0 C ．－1 D ．33．如图，已知数轴上的点A ，B ，C ，D 分别表示数－2，1，2，3，则表示数3－2.5的点P 应落在( )A ．AO 之间B ．OB 之间C ．BC 之间D ．CD 之间 4. －12的绝对值是( )A.12 B ．－12 C ．2 D ．－2 5．－12的倒数的相反数等于( )A ．－2 B.12 C ．－12D ．26．判断下列各式的值，何者最大？( )A ．25×132－152B ．16×172－182C ．9×212－132D ．4×312－1227. 下列运算结果，错误的是( )A ．－(－12)＝12B ．(－1)4＝1 C ．(－1)＋(－3)＝4 D ．(－2)×(－3)＝68．下列运算结果正确的是( )A ．－87×(－83)＝7221B ．－2.68－7.42＝－10C ．3.44－7.11＝－4.66 D.－101102＜－1021039．今年中国高端装备制造业销售收入将超6万亿元，其中6万亿元用科学记数法可表示为( )A ．0.6×1013元B ．60×1011元C ．6×1012元D ．6×1013元10．有理数a ，b 在数轴上的位置如图所示，在－a ，b －a ，a ＋b ，0中，最大的是( )A ．－aB ．0C ．a ＋bD ．b －a11．用科学记数法表示的数1.20×108的原数是( )A ．120 000 000B ．1 200 000 000C ．12 000 000D ．12 000 000 000 二、填空题12．数轴上点A 表示的数为1，则与点A 相距3个单位长度的点B 表示的数是___________________．13．在3.5，－312，0，－8这四个数中，最小的数是____，最大的数是____，绝对值最大的数是____，互为相反数的两个数是____和____．14．如图，长方形ABCD 的顶点A ，B 在数轴上，CD ＝6，点A 对应的数为－1，则点B 所对应的数为____．15．冰冰家新安装了一台太阳能热水器，一天她测量发现18：00时，太阳能热水器水箱内水的温度是80 ℃，以后每小时下降4 ℃.第二天，冰冰早晨起来后测得水箱内水的温度为32 ℃，请你猜一猜她起床的时间是_________．三、解答题 16．计算：(1)－3－[－5－(1－0.2÷35)÷(－2)]；(2)(12－16＋19)÷(－136)＋36÷(12－16＋19)；(3)－32×(－13)2＋(34－16＋38)×(－24)．17．有20筐白菜，以每筐25 kg 为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记(2)与标准质量比较，20筐白菜总计超过或不足多少千克？(3)若白菜每千克售价2.6元，则出售这20筐白菜可卖多少元？(结果保留整数)18．有一张厚度为0.1毫米的纸片，对折1次后的厚度是2×0.1毫米． (1)对折2次的厚度是多少毫米？ (2)假设这张纸能无限地折叠下去，那么对折20次后相当于每层高度为3米的楼房多少层？ 19．某登山队5名队员以二号高地为基地开始向海拔距二号高地500米的顶峰冲击，设他们向上走为正，行程记录如下(单位：米)：＋150，－32，－43，＋205，－30，＋25，－20，－5，＋30，＋75，－25，＋90.(1)此时他们有没有登上顶峰？如果没有，那么他们离顶峰还差多少米？(2)登山时，5名队员在行进全程中都使用了氧气，且每人每米要消耗氧气0.04升，他们共使用了氧气多少升？20．(1)已知a 是非零有理数，试求a|a|的值；(2)已知a ，b 是非零有理数，试求a |a|＋b|b|的值；(3)已知a ，b ，c 是非零有理数，请直接写出a |a|＋b |b|＋c|c|的值．答案1---5 BDBAB 6---11 BCACDA 12. 4或－213. －8 3.5 －8 3.5 －31214. 5 15. 6:0016. (1) 解：原式＝－3－(－5＋13)＝123(2) 解：原式＝(12－16＋19)×(－36)＋36÷49＝65(3) 解：原式＝－9×19＋(－18)＋4＋(－9)＝－2417. 解：(1)2.5－(－3)＝5.5(千克) (2)1×(－3)＋4×(－2)＋2×(－1.5)＋3×0＋1×2＋8×2.5＝－3－8－3＋2＋20＝8(千克)，总计超过8千克 (3)2.6×(25×20＋8)＝1320.8≈1321元18. 解：(1)2×2×0.1＝0.4毫米 (2)对折20次的厚度为220×0.1＝104857.6毫米≈104.9 m ，104.9÷3≈35层19. 解：(1)150－32－43＋205－30＋25－20－5＋30＋75－25＋90＝420米，500－420＝80米，离顶峰还差80米 (2)150＋32＋43＋205＋30＋25＋20＋5＋30＋75＋25＋90＝730米，730×0.04×5＝146升，他们共使用氧气146升20. 解：(1)当a 为正数时，a |a|＝1；当a 为负数时，a|a|＝－1 (2)当a ，b 同为正数时，a |a|＋b |b|＝2；当a ，b 同为负数时，a |a|＋b |b|＝－2；当a ，b 异号时，a |a|＋b |b|＝0 (3)±1，±3。
有理数及其运算拔高题
3、若 2a+|4-5a|+|1-3a|的值是一个定值，求 a 的取值范围（取值范围：就是变 量 a 在数轴上的变化区间）。
4、已知������1，������2， … ，������20107都是不等于 0 的有理数，请探究以下问题； （1）若������1 = |������������11|，则������1=（ ）；
4
），请说明理由。{如：奇数，
偶数，5 的倍数，个位是 5 的倍数。}
（2）、已知整数 a，b，c，d 满足 abcd=25，且 a>b>c>d，则 a+b+c+d=（
），
请说明理由。
8、a 是不为 1 的有理数，我们把 1 称为 a 的差倒数。如：2 的差倒数是 1 =
1−������
1−2
−1，-1
3 12 3 4 20 4 5
234
100
求拆分的有（ ）个。
2、把几个数用大括号括起来，相邻两个数之间用逗号隔开，如：{1，2}，{1， 4，7}，…，我们称之为集合，其中的每一个数称为该集合的元素，如果一个所 有元素均为有理数的集合满足：当有理数 x 是集合的一个元素时，2016﹣x 也必 是这个集合的元素，这样的集合我们又称为黄金集合。例如{0，2016}就是一个 黄金集合， （1）集合{2016} （ ）黄金集合，集合{﹣1，2017}（ ）黄金集合；（两空 均填“是”或“不是”）； （2）若一个黄金集合中最大的一个元素为 4016，则该集合是否存在最小的元素？ 如果存在，请直接写出答案，否则说明理由； （3）若一个黄金集合所有元素之和为整数 M，且 24190＜M＜24200，则该集合共 有几个元素？说明你的理由。
2
有理数及运算练习题目及解答
有理数及运算练习题目及解答一、有理数的概念及性质1. 什么是有理数？有理数是可以用两个整数的比来表示的数，包括整数、正分数和负分数。
2. 有理数的分类有理数可以分为整数、正分数和负分数三类。
3. 有理数的性质有理数具有以下性质：- 有理数的和、差、积、商仍为有理数。
- 任何一个有理数都可以表示为分数的形式。
- 有理数可以按大小进行比较。
二、有理数的四则运算1. 有理数的加法和减法加法：有理数的加法满足交换律和结合律。
有理数的加法满足交换律和结合律。
例题：计算下列有理数的和1. 3/4 + 1/82. -1/3 + (-2/3)3. 5/6 + (-2/5)解答：1. 3/4 + 1/8 = 6/8 + 1/8 = 7/82. -1/3 + (-2/3) = -3/3 = -13. 5/6 + (-2/5) = 25/30 + (-12/30) = 13/30减法：有理数的减法可以转化为加法。
有理数的减法可以转化为加法。
例题：计算下列有理数的差1. 5/6 - 2/32. -4/5 - (-1/5)3. 3/4 - 1/3解答：1. 5/6 - 2/3 = 5/6 + (-2/3) = 5/6 + (-4/6) = 1/62. -4/5 - (-1/5) = -4/5 + 1/5 = -3/53. 3/4 - 1/3 = 3/4 + (-1/3) = 9/12 + (-4/12) = 5/122. 有理数的乘法和除法乘法：有理数的乘法满足交换律和结合律。
有理数的乘法满足交换律和结合律。
例题：计算下列有理数的积1. -2/3 * 5/62. -4/5 * (-3/4)3. -1/2 * 2解答：1. -2/3 * 5/6 = -10/18 = -5/92. -4/5 * (-3/4) = 12/20 = 3/53. -1/2 * 2 = -2/2 = -1除法：有理数的除法可以转化为乘法。
有理数的除法可以转化为乘法。
专题2.4 有理数及其运算(压轴题综合测试卷)(北师大版)(解析版)
专题2.4 有理数及其运算（满分120）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________题号一二三总分得分评卷人得分一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）1．（2022秋·全国·七年级期中）若a<b<0<c<d，则以下四个结论中，正确的是（）A．a+b+c+d一定是正数B．d+c−a−b可能是负数C．d−c−b−a一定是正数D．c−d−b−a一定是正数【思路点拨】本题应用特值排除法，对于A，如果设a=-2，b-1，c=1，d=2，则a+b+c+d=0是非正数；对于B，d+c>0，-a>-b>0，所以d+c-a-b一定大于0；对于D，设a=-2，b=-1，c=1，d=5，则c-d-b-a=-1，不是正数.【解题过程】解：A.根据已知条件a<b<0<c<d，可设a=-2，b-1，c=1，d=2，则a+b+c+d=0是非正数，故错误；B. 根据已知条件a<b<0<c<d可知d+c>0，-a>-b>0，所以d+c-a-b>0，故错误；C. 根据已知条件a<b<0<c<d可知d-c>0，-a-b>0，所以d−c−b−a一定是正数，故正确；D，根据已知条件a<b<0<c<d可设a=-2，b=-1，c=1，d=5，则c-d-b-a=-1，是负数，故错误；故选C2．（2022秋·北京朝阳·九年级校考阶段练习）一个动点P从数轴上的原点O出发开始移动，第1次向右移动1个单位长度到达点P1，第2次向右移动2个单位长度到达点P2，第3次向左移动3个单位长度到达点P3，第4次向左移动4个单位长度到达点P4，第5次向右移动5个单位长度到达点P5…，点P按此规律移动，则移动第158次后到达的点在数轴上表示的数为（）A．159B．-156C．158D．1【思路点拨】根据数轴，按题目叙述的移动方法即可得到点前五次移动后在数轴上表示的数；根据移动的规律即可得移动第158次后到达的点在数轴上表示的数．【解题过程】解：设向右为正，向左为负，则P1表示的数为+1，P2表示的数为+3P3表示的数为0P4表示的数为-4P5表示的数为+1……由以上规律可得，每移动四次相当于向左移动4个单位长度．所以当移动156次时，156=39×4相当于向左移动了39次四个单位长度．此时表示的数为39×(-4)=−156．则第157次向右移动157个单位长度，P157=1；第158次还是向右，移动了158个单位长度，所以P158=1+158=159．故P158在数轴上表示的数为159．故选A．3．（2022秋·广西防城港·七年级统考阶段练习）在数轴上和有理数a，b，c对应的点的位置如图所示，有下列四个结论：①a2﹣a﹣2<0；②|a−b|+|b−c|=|a−c|；③(a+b)(b+c)(c+a)>0；④||a|<1−bc．其中正确的结论有（ ）个A．4B．3C．2D．1【思路点拨】根据数轴上各数的位置得出a<−1<0<b<c<1，依此逐个判定即可得出结论．【解题过程】解：根据题意得：a<−1<0<b<c<1，则①a2−a−2=(a−2)(a+1)>0；故①错误；②∵|a−b|+|b−c|=−a+b−b+c=−a+c，|a−c|=−a+c，∴|a−b|+|b−c|=|a−c|；故②正确；③∵a+b<0，b+c>0，c+a<0，∴(a+b)(b+c)(c+a)>0；故③正确；④∵|a|>1，1−bc<1，∴|a|>1−bc；故④错误；故正确的结论有②③，一共2个．故选：C．4．（2023秋·全国·七年级专题练习）已知有理数a，c，若|a−2|=18，且3|a−c|=|c|，则所有满足条件的数c的和是（ ）A．﹣6B．2C．8D．9【思路点拨】根据绝对值的代数意义对|a−2|=18进行化简，a−2=18或a−2=−18，解得a=20或a=−16有两个解，分两种情况再对3|a−c|=|c|进行化简，继而有两个不同的绝对值等式，3|20−c|=|c|和3|−16−c|=|c|，每个等式同样利用绝对值的代数意义化简，分别得到c的值有两个，故c共有四个值，再进行相加，得到所有满足条件的数的和．【解题过程】解：∵|a−2|=18，∴a−2=18或a−2=−18，∴a=20或a=−16，当a=20时，3|a−c|=|c|等价于3|20−c|=|c|，即|60−3c|=|c|，∴60−3c=c或60−3c=−c，∴c=15或c=30；当a=−16时，3|a−c|=|c|等价于3|−16−c|=|c|，即|−48−3c|=|c|，∴−48−3c=c或−48−3c=−c，∴c=−12或c=−24，故c=15或c=30或c=−12或c=−24，∴所有满足条件的数c的和为：15+30+(−12)+(−24)=9．故答案为：D5．（2023秋·全国·七年级专题练习）观察下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，…，31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187，38=6561，…，根据上述算式中的规律，221+311的末位数字是（ ）A ．3B ．5C ．7D ．9【思路点拨】通过观察所给的式子，发现每4次运算尾数循环出现，由此求解即可．【解题过程】解：∵21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，…，∴其结果的末位数字每4次运算尾数循环出现，∵21÷4=5⋯⋯1，∴221的末尾数字与21=2的尾数相同为2，∵31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187，38=6561，…，∴其结果的末位数字每4次运算尾数循环出现，∵11÷4=2⋯⋯3∴311的末尾数字与33=27的尾数相同为7，∴221+311的末位数字是：2+7=9．故选：D ．6．（2022·全国·七年级假期作业）设有理数a 、b 、c 满足a >b >c(ac <0)，且|c |<|b |<|a|，则|x ﹣a b2|+|x ﹣b c2|+|x +a c2|的最小值是（ ）A ．a−c2B C D 【思路点拨】根据ac <0可知a ，c 异号，再根据a >b >c ，以及|c |<|b |<|a|，即可确定a ，−a ，b ，−b ，c ，−c 在数轴上的位置，而|x +|x +|x +a c 2|−a c 2三点的距离的和，根据数轴即可确定．【解题过程】解：∵ac <0，∴a ，c 异号，∵a >b >c ，∴a >0，c <0，又∵|c |<|b |<|a|，∴−a <−b <c <0<−c <b <a ，又∵|x +|x +|x +a c 2|−a c 2三点的距离的和，当x 在b c2时距离最小，即|x ﹣a b 2|+|x ﹣b c2|+|x +a c 2|最小，最小值是ab 2与−ac 2之间的距离，即2a b c2．故选：C ．7．（2023秋·江苏·七年级专题练习）小王在4张同样的纸片上各写了一个正整数，从中随机抽取2张，并将它们上面的数相加．重复这样做，每次所得的和都是5，6，7，8中的一个数，并且这4个数都能取到．则小王写下的四个整数的积可能是（ ）A ．80B ．90C ．100D ．120【思路点拨】分别列出两个正整数的和为5，6，7，8的所以可能的情况，然后求解即可．【解题过程】解：和为5的两个正整数可为：1，4或2，3；和为6的两个正整数可为：1，5或2，4或3，3；和为7的两个正整数可为：1，6或2，5或3，4；和为8的两个正整数可为：1，7或2，6或3，5或4，4；∵每次所得的和最小是5，∴最小的两个数字为2或3；∵每次所得的和最大是8，∴最大的两个数字为4或5；当最大数字为4时，四个整数分别为2，3，4，4；当最大数字为5时，四个整数分别为2，3，3，5；∴2×3×4×4=96，2×3×3×5=90，故选：B ．8．（2023春·广西南宁·七年级南宁二中校考开学考试）如图，在探究“幻方”、“幻圆”的活动课上，学生们感悟到我国传统数学文化的魅力．一个小组尝试将数字−5,−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4,5,6这12 个数填入“六角幻星”图中，使6条边上四个数之和都相等．部分数字已填入圆圈中，则a 的值为（ ）A ．−4B ．−3C ．3D ．4【思路点拨】共有12个数，每一条边上4个数的和都相等，共有六条边，所以每个数都加了两遍，这12个数共加了两遍后和为12，所以每条边的和为2，然后利用这个原理将剩余的数填入圆圈中，即可得到结果．【解题过程】解：因为共有12个数，每一条边上4个数的和都相等，共有六条边，所以每个数都加了两遍，这12个数共加了两遍后和为12，所以每条边的和为2，所以−5,−1,5这一行最后一个圆圈数字应填3，则a 所在的横着的一行最后一个圈为3，−2,−1,1这一行第二个圆圈数字应填4，目前数字就剩下−4,−3,0,6，1,5这一行剩下的两个圆圈数字和应为−4，则取−4,−3,0,6中的−4,0，−2,2这一行剩下的两个圆圈数字和应为2，则取−4,−3,0,6中的−4,6，这两行交汇处是最下面那个圆圈，应填−4，所以1,5这一行第三个圆圈数字应为0，则a 所在的横行，剩余3个圆圈里分别为2,0,3，要使和为2，则a 为−3故选：B9．（2023春·重庆沙坪坝·八年级重庆一中校考期中）有一列数{−1,−2,−3,−4}，将这列数中的每个数求其相反数得到{1,2,3,4}，再分别求与113,14{a 1,a 2,a 3,a 4}，称这为一次操作，第二次操作是将{a 1,a 2,a 3,a 4}再进行上述操作，得到{a 5,a 6,a 7,a 8}；第三次将{a 5,a 6,a 7,a 8}重复上述操作，得到{a 9,a 10,a 11,a 12}……以此类推，得出下列说法中，正确的有（ ）个①a 5=2，a 6=32，a 7=43，a 8=54 ②a 2015=3③a 1+a 2+a 3+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+a 49+a 50=−11310．A ．0B ．1C ．2D ．3【思路点拨】根据所给的操作方式，求出前面的数，再分析存在的规律，从而可求解．【解题过程】解：由题意得：a 1=12，a 2=13，a 3=14，a 4=15，a 5=112=2，a 6=113=32，a 7=1141=43，a 8=115=54，故①正确；∵2015÷4=503⋯⋯3，∴a 2015是由a 3经过503次操作所得，∵a 3=14，a 7=114=43，a 11=143=−3，a 15=131=14，∴a 3、a 7、a 11、……，三个为一组成一个循环，∵503÷3=167⋯⋯2，∴a 2015=a 11=−3，故②错误；依次计算：a 9=1−21=−1，a 10=132=−2，a 11=143=−3，a 12=154=−4，a 13=111=12，a 14=121=13，a 15=131=14，a 16=141=15，…，则每3次操作，相应的数会重复出现，∵a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+a 6+a 7+a 8+a 9+a 10+a 11+a 12=12+13+14+15+2+32+43+54−1−2−3−4=−7930，∵50÷12=4......2，∴a 1+a 2+a 3+a 4+…+a 48+a 49+a 50=−7930×4+12+13=−9710．故③错误；综上分析可知，正确的有2个，故选：B ．10．（2022秋·重庆·七年级重庆实验外国语学校校考期中）下列说法正确的有（ ）①已知a ，b ，c 是非零的有理数，且|abc|abc =−1时，则|a|a +|b|b+|c|c 的值为1或−3；②已知a ，b ，c 是有理数，且a +b +c =0，abc <0a c |b|−1或3；③已知x ≤4时，那么|x +3|−|x−4|的最大值为7，最小值为−7；④若|a |=|b |且|a−b|=23，则式子a b−abb 21的值为110；⑤如果定义{a,b }=a +b(a >b)0(a =b )b−a(a <b)，当ab <0，a +b <0，|a |>|b |时，{a ，b}的值为b−a ．A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【思路点拨】①由题意可得，abc <0，则a ，b ，c 中有一个或三个值为负数，讨论求解即可；②由abc <0可得a ，b ，c 中有一个值为负数，求解即可；③根据x ≤4化简绝对值，然后求解即可；④由题意可得a =b 或a =−b ，分别求解即可；⑤根据题意可得a ，b 异号，分两种情况求解即可．【解题过程】解：①由|abc|abc =−1可得abc <0，a ，b ，c 中有一个或三个值为负数，当a <0，b >0，c >0时，|a|a +|b|b +|c|c =−1+1+1=1当a <0，b <0，c <0时，|a|a +|b|b+|c|c=−1−1−1=−3故①正确；②由abc <0和a +b +c =0得a ，b ，c 中有一个值为负数，∴a +b =−c ，a +c =−b ，b +c =−a∴−a |a|+−b |b|+−c|c|=1−1−1=−1，故②错误；③当−3≤x ≤4时，x−4≤0，x +3≥0，则|x +3|−|x−4|=x +3+x−4=2x−1，此时最大值为7，最小值为−7当x <−3时，x−4≤0，x +3<0则|x +3|−|x−4|=−x−3+x−4=−7故③正确；④由|a |=|b |可得a =b 或a =−b当a =b 时，a−b =0与|a−b|=23矛盾，舍去；当a =−b 时，a−b =−2b ，a +b =0且|2b |=23解得a =13,b =−13或a =−13,b =13则ab =−19，b 2=19a +b−ab b 2+1=1919+1=110故④正确；⑤由题意可得a ，b 异号，当a <0，b >0时，|a |=−a ，|b |=b ，由|a |>|b |可得−a >b ，即a +b <0符合题意，此时a <0<b 则{a ，b}=b−a当a >0，b <0时，|a |=a ，|b |=−b由|a |>|b |可得a >−b ，即a +b >0，与a +b <0矛盾，舍去，综上{a ，b}=b−a 故⑤正确；正确的个数为4故选：C ．评卷人得 分二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）11．（2022秋·江苏泰州·七年级校考阶段练习）三个整数a ，b ，c 满足a <b <c ，且a +b +c =0．若|a |<10，则|a |+|b |+|c|的最大值为 ．【思路点拨】根据a +b +c =0，a <b <c ，可得a <0，c >0，a +b <0，则|a |>|b |，再由|a |<10，a ，b ，c 都是整数，得到|a |≤9则|b |≤8，根据|a +b |=−(b +a )=−b−a ，|b |≥−b ，|a |≥a 即可得到|c |=|−a−b |=|a +b |≤|a |+|b |≤17，由此求解即可．【解题过程】解：∵a+b+c=0，a<b<c，∴a<0，c>0，a+b<0，∴|a|>|b|，∵|a|<10，a，b，c都是整数，∴|a|≤9∴|b|≤8，∵|a+b|=−(b+a)=−b−a，|b|≥−b，|a|≥a∴|c|=|−a−b|=|a+b|≤|a|+|b|≤17，∴|a|+|b|+|c|的值最大为9+8+17=34，故答案为：34．12．（2022秋·湖南岳阳·七年级统考期末）如果有4个不同的正整数a，b，c，d满足（2021﹣a）（2021﹣b）（2021﹣c）（2021﹣d）＝8，那么a+b+c+d的值是．【思路点拨】根据a、b、c、d是四个不同的正整数，可知四个括号内是各不相同的整数，结合乘积为8分类讨论即可解答．【解题过程】解：∵a、b、c、d是四个不同的正整数，∴四个括号内是各不相同的整数，不妨设（2021﹣a）＜（2021﹣b）＜（2021﹣c）＜（2021﹣d），又∵（2021﹣a）（2021﹣b）（2021﹣c）（2021﹣d）＝8，∴这四个数从小到大可以取以下几种情况：①﹣4，﹣1，1，2；②﹣2，﹣1，1，4．∵（2021﹣a）+（2021﹣b）+（2021﹣c）+（2021﹣d）＝8084﹣（a+b+c+d），∴a+b+c+d＝8084﹣[（2021﹣a）+（2021﹣b）+（2021﹣c）+（2021﹣d）]，①当（2021﹣a）+（2021﹣b）+（2021﹣c）+（2021﹣d）＝﹣4﹣1+1+2＝﹣2时，a+b+c+d＝8084﹣（﹣2）＝8086；②当（2021﹣a）+（2021﹣b）+（2021﹣c）+（2021﹣d）＝﹣2﹣1+1+4＝2时，a+b+c+d＝8084﹣2＝8082．故答案为：8086或8082．13．（2022秋·江苏淮安·七年级校考阶段练习）在一次数学活动课上，某数学老师将1~10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下）．他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：11；乙：4；丙：16；丁：7；戊：17．根据以上信息，判断戊同学手里拿的两张卡片上的数字是．【思路点拨】根据两数之和结果确定，对两个加数的不同情况进行分类讨论，列举出所有可能的结果后，再逐一根据条件进行推理判断，最后确定出正确结果即可．【解题过程】解：由题意可知，一共十张卡片十个数，五个人每人两张卡片，∴每人手里的数字不重复．由甲：11，可知甲手中的数字可能是1和10，2和9，3和8，4和7，5和6；由乙：4，可知乙手中的数字只有1和3；由丙：16，可知丙手中的数字可能是6和10，7和9；由丁：7，可知丁手中的数字可能是1和6，2和5，3和4；由戊：17，可知戊手中的数字可能是7和10，8和9；∴丁只能是2和5，甲只能是4和7，丙只能是6和10，戊只能是8和9．故答案为：8和9．14．（2022秋·福建福州·七年级校考期末）已知a，b，c，d表示4个不同的正整数，满足a+b2+c3+d4＝90，其中d＞1，则a+2b+3c+4d的最大值是．【思路点拨】根据题意分别确定a，b，c，d的取值范围，得到4d≤12，3c≤12，2b≤18，a≤89，再分别确定a，b，c，d的值，即可得到a+2b+3c+4d的最大值．【解题过程】解：∵a，b，c，d表示4个不同的正整数，且a+b2+c3+d4＝90，其中d＞1，∴d4＜90，则d＝2或3，c3＜90，则c＝1，2，3或4，b2＜90，则b＝1，2，3，4，5，6，7，8，9，a＜90，则a＝1，2，3， (89)∴4d≤12，3c≤12，2b≤18，a≤89，∴要使得a+2b+3c+4d取得最大值，则a取最大值时，a＝90﹣（b2+c3+d4）取最大值，∴b，c，d要取最小值，则d取2，c取1，b取3，∴a的最大值为90﹣（32+13+24）＝64，∴a+2b+3c+4d的最大值是64+2×3+3×1+4×2＝81，故答案为：81．15．（2023秋·全国·七年级专题练习）已知点A在数轴上对应的数是a，点B在数轴上对应的数是b，将A、B之间的距离记作|AB|，定义|AB|=|a−b|，若|a+4|+(b−1)2=0，设点P在数轴上对应的数是x，当|PA|，|PB|相差2时，则x的值为．【思路点拨】先利用绝对值的非负性，求出点A、点B所对应的数分别为，a=−4，b=1，再根据数轴上的两点之间的距离的定义得到|x+4|−|x−1|=2或|x−1|−|x+4|=2，然后针对x的取值范围进行分类讨论即可．【解题过程】解：∵|a+4|+(b−1)2=0，∴a+4=0，b−1=0，即a=−4，b=1，∵|PA|，|PB|相差2，∴|x+4|−|x−1|=2或|x−1|−|x+4|=2，当|x+4|−|x−1|=2时，x≤−4时，−x−4+x−1=2，无解；－４＜x≤１时，x＋4+x−1=2，解得x＝−0.5，x＞1时，x+4−x+1=2，无解；当|x−1|−|x+4|=2时，x≤−4时，−x+1+x+4=2，无解，－４＜x≤１时，−x＋1−x−4=2，解得x=−2.5，x＞1时，x−1−x−4=2，无解；综上所述，x的值为：−0.5或−2.5，故答案为：−0.5或−2.5．评卷人得 分三、解答题（本大题共8小题，满分75分）16．（2022秋·湖北黄冈·七年级校考阶段练习）①−32×−+16×(−24)②(−2)3+(−3)×(−4)2+2−(−3)2÷(−2)③(−47.65)×2611+(−37.15)×+10.5×−7+5÷④−56+÷−×72+|−13|+(−1)2018【思路点拨】①先计算乘方，再计算括号内的，最后计算括号外的；②先计算乘方，再计算括号内的，最后计算括号外的；③先利用乘法分配律对原式进行整理，再根据有理数混合运算法则计算；④先计算乘方和绝对值，再计算括号内的，最后计算括号外的．【解题过程】解：①−32×−+16+×(−24)=−9×19+34×(−24)−16×(−24)+58×(−24)=−1−18+4−15=−30②(−2)3+(−3)×(−4)2+2−(−3)2÷(−2)=−8+(−3)×(16+2)−9÷(−2)=−8−54+92=−5712③(−47.65)×2611+(−37.15)×+10.5×−7+5÷=(−47.65)×2611+37.15×2611+10.5×+5÷56=(−47.65+37.15)×2611+10.5×−7+5×65=(−10.5)×2611+10.5×+6=10.5×−2+10.5×−7+6=10.5×−2611+6=10.5×(−10)+6=−105+6=−99④−56+÷−×72+|−13|+(−1)2018=−×−×72+13+1=1+13+1=73．17．（2022秋·福建宁德·七年级统考期中）在学习完《有理数》后，小奇对运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，规则如下：a ⊕b =a ×b +2×a ．（1）3⊕(−2)=___________；（2）求−5⊕−4（3）试探究这种新运算“⊕”是否满足交换律？举例说明【思路点拨】（1）将a =3，b =−2代入a ⊕b =a ×b +2×a 计算可得；（2）根据法则，先计算−4⊕12=−10，再计算−5⊕(−10)⊕(−10)可得；（3）计算3⊕(−2)和(−2)⊕3即可得出答案．【解题过程】（1）解：∵a ⊕b =a ×b +2×a ，∴3⊕(−2)=3×(−2)+2×3=0；（2）解：∵a ⊕b =a ×b +2×a ，∴−5⊕−4=−5⊕(−4)×12+2×(−4)=−5⊕(−10)=(−5)×(−10)+2×(−5)=40；（3）解：新运算“⊕”不满足交换律．例如：由（1）知3⊕(−2)=0又∵(−2)⊕3=(−2)×3+2×(−2)=−10∴3⊕(−2)≠(−2)⊕3，∴新运算“⊕”不满足交换律．18．（2022秋·河北邢台·七年级校考阶段练习）定义：对于确定位置的三个数：a，b，c，计算a−b，a−c2，b−c 3，将这三个数的最小值称为a，b，c的“分差”，例如，对于1，−2，3，因为1−(−2)=3，1−32=−1，−2−33=−53，所以1，−2，3的“分差”为−53．（1）−2，−4，1的“分差”为______；（2）调整“−2，−4，1”这三个数的位置，得到不同的“分差”，求这些不同“分差”中的最大值．【思路点拨】（1）根据题中意思分别求出三个数，然后比较大小即可得出答案；（2）先给这三个数进行排序，分别求出其中的分差，然后比大小即可得出答案．【解题过程】（1）解：根据题意可得：−2−(−4)=2，−2−12=−32，−4−13=−53，∵−53<−32<2，∴−2，−4，1的“分差”为−53，故答案为：−53；（2）①这三个数的位置为：−2，−4，1时，根据（1）中所求“分差”为−53；②这三个数的位置为：−2，1，−4时，则−2−1=−3，−2−(−4)2=1，1−(−4)3=53，∵−3<1<53，∴−2，1，−4的“分差”为−3；③这三个数的位置为：1，−2，−4时，则1−(−2)=3，1−(−4)2=52，−2−(−4)3=23，∵23<52<3，∴1，−2，−4的“分差”为23；④这三个数的位置为：1，−4，−2时，则1−(−4)=5，1−(−2)2=32，−4−(−2)3=−23，∵−23<32<5，∴1，−4，−2的“分差”为−23；⑤这三个数的位置为：−4，1，−2时，则−4−1=−5，−4−(−2)2=−1，1−(−2)3=1，∵−5<−1<1，∴−4，1，−2的“分差”为−5；’⑥这三个数的位置为：−4，−2，1时，则−4−(−2)=−2，−4−12=−52，−2−13=−1，∵−52<−2<−1，∴−4，−2，1的“分差”为−52；∵23>−23>−53>−52>−3>−5，∴这些不同“分差”中的最大值为23．19．（2022秋·江西宜春·七年级江西省丰城中学校考期中）2020年的“新冠肺炎”疫情的蔓延，使得医用口罩销量大幅增加，某口罩加工厂每名工人计划每天生产300个医用口罩，一周生产2100个口罩．由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．如表是工人小王某周的生产情况（超产记为正，减产记为负）：（1）根据记录的数据可知，小王星期五生产口罩 个．（2）根据表格记录的数据，求出小王本周实际生产口罩数量．（3）若该厂实行每周计件工资制，每生产一个口罩可得0.6元，若超额完成周计划工作量，则超过部分每个另外奖励0.15元，若完不成每周的计划量．则少生产一个扣0.2元，求小王这一周的工资总额是多少元？（4）若该厂实行每日计件工资制，每生产一个口罩可得0.6元，若超额完成每日计划工作量．则超过部分每个另外奖励0.15元，若完不成每天的计划量，则少生产一个扣0.2元，请直接写出小王这一周的工资总额是多少元．星 期一二三四五六日增减产量/个+5﹣2﹣4+13﹣9+16﹣8【思路点拨】（1）根据题意和表格中的数据，可以得到小王星期五生产口罩的数量；（2）根据题意和表格中的数据，本周生产个数=2100+增减产量，即可求得；（3）根据题意和表格中的数据，本周收入=本周生产个数×0.6＋增产个数×0.15（或－减产个数×0.2），即可解得；（4）根据题意和表格中的数据，每天收入=生产个数×0.6＋增产个数×0.15（或－减产个数×0.2），然后累加即可解得．【解题过程】解：（1）小王星期五生产口罩数量为：300﹣9＝291（个），故答案为：291；（2）+5﹣2﹣4+13﹣9+16﹣8＝11（个），则本周实际生产的数量为：2100+11＝2111（个）答：小王本周实际生产口罩数量为2111个；（3）一周超额完成的数量为：+5﹣2﹣4+13﹣9+16﹣8＝11（个），所以，2100×0.6+11×（0.6+0.15）＝1260+11×0.75＝1260+8.25＝1268.25（元），答：小王这一周的工资总额是1268.25元；（4）第一天：300×0.6+5×（0.6+0.15）＝183.75（元）；第二天：（300﹣2）×0.6﹣2×0.2＝178.4（元）；第三天：（300﹣4）×0.6﹣4×0.2＝176.8（元）；第四天：300×0.6+13×（0.6+0.15）＝189.75（元）；第五天：（300﹣9）×0.6﹣9×0.2＝172.8（元）；第六天：300×0.6+16×（0.6+0.15）＝192（元）；第七天：（300﹣8）×0.6﹣8×0.2＝173.6（元）；共183.75+178.4+176.8+189.75+172.8+192+173.6＝1267.1（元）．答：小王这一周的工资总额是1267.1元．20．（2023秋·山西运城·七年级统考期末）【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等0）的除法运算叫做除方，如3÷3÷3，(−2)÷(−2)÷(−2)÷(−2)等．类比有理数的乘方，我们把3÷3÷3记作3③，读作“3的圈3次方”，(−2)÷(−2)÷(−2)÷(−2)记作(−2)④，读作“−2的圈4次方”．一般地，把a÷a÷a÷⋅⋅⋅÷a(a≠0)记作，读作“a的圈n次方”．n个【初步探究】（1）直接写出计算结果：4③=______，−=______．【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？（此处不用作答）（2）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方幂的形式(−3)④=______；5⑥=______=______．（3）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成乘方幂的形式等于______．（4）比较：(−9)⑤______(−3)⑦（填“>”“<”或“=”）【灵活应用】（5）算一算：−32÷−×−．【思路点拨】（1）根据题目给出的定义，进行计算即可；（2）将有理数除法转化为乘法，再写成幂的形式即可；（3）从（2）中总结归纳相关规律即可；（4）将两数变形，求出具体值，再比较大小即可；（5）先将除方转化为乘方，再运用有理数混合运算的方法进行计算即可．【解题过程】解：（1）4③=4÷4÷4=14，−=−÷−÷÷−=4，故答案为：14，4；（2）(−3)④=(−3)÷(−3)÷(−3)÷(−3)=−；5⑥=5÷5÷5÷5÷5÷5==12÷12÷12÷12÷12=23；故答案为：，23；（3）a的圈n次方为：a÷a÷a÷...÷an个a=；（4）(−9)⑤==−1729，(−3)⑦==−1243，∵729>243，∴−1729>−1243，∴(−9)⑤>(−3)⑦，故答案为：>；（5）−32÷−×−=−32÷(−33)×42=−9÷(−27)×16=163．21．（2022秋·全国·七年级专题练习）（1）数学小组遇到这样一个问题：若a，b均不为零，求x=|a|a +|b|b的值．请补充以下解答过程（直接填空）①当两个字母a，b中有2个正，0个负时，x= ；②当两个字母a，b中有1个正，1个负时，x= ；③当两个字母a，b中有0个正，2个负时，x= ；综上，当a，b均不为零，求x的值为．（2）请仿照解答过程完成下列问题：①若a，b，c均不为零，求x=|a|a +|b|b−|c|c的值．②若a，b，c均不为零，且a+b+c=0，直接写出代数式b c|a|+a c|b|+a b|c|的值．【思路点拨】（1）①根据a、b的符合化简绝对值即可得到答案；②设a是正数，b是负数，化简绝对值即可得到答案；③根据a、b的符合化简绝对值即可得到答案；综合上面三个的结果得到答案；（2）①分四种情况化简绝对值即可得到答案；②根据a、b、c均不为零，分两种情况求出答案即可.【解题过程】（1）①∵a、b都是正数，∴|a|=a，|b|=b，∴x=|a|a +|b|b=1+1=2，故答案为：2；②设a是负数，b是正数，∴|a|=-a，|b|=b，∴x=|a|a +|b|b=-1+1=0，故答案为：0；③∵a、b都是负数，∴|a|=-a，|b|=-b，∴x=|a|a +|b|b=-1-1=-2，故答案为：-2；综上，当a，b均不为零，求x的值为2或0或-2；（2）①由题意可得：a、b、c的符号分为四种情况：当a、b、c都是正数时，x=|a|a +|b|b−|c|c=1+1-1=1，当a、b、c为两正一负且a、b为正c为负时，x=|a|a +|b|b−|c|c=1+1+1=3，当a 、b 、c 为一正两负且a 、b 为负c 为正时，x =|a |a +|b |b −|c |c =-1-1-1=-3,当a 、b 、c 都是负数时，x =|a |a +|b |b −|c |c =-1-1+1=-1，综上，x =|a |a +|b |b −|c |c 的值为1或3或-3,或-1；②∵a ，b ，c 均不为零，且a+b+c=0，∴b c |a |a b |c |=−a |a |−b |b |−c |c |，∴当a 、b 、c 为两正一负时，b c |a |+a c|b |+a b |c |=-1-1+1=-1，当a 、b 、c +a c |b |，综上，b c |a |++a b|c |的值为-1或1.22．（2022秋·湖北黄冈·七年级校考期中）已知A ，B 两点在数轴上分别表示有理数a ，b ，A ，B 两点之间的距离表示为AB ，在数轴上A ，B 两点之间的距离AB =|a−b |．已知数轴上A ，B 两点对应的数分别为－1，3，P 为数轴上一动点．（1）若点P 到A ，B 两点之间的距离相等，则点P 对应的数为______．（2）若点P 到A ，B 两点的距离之和为6，则点P 对应的数为______．（3）现在点A 以2个单位长度/秒的速度运动，同时点B 以0.5个单位长度/秒的速度运动，A 和B 的运动方向不限，当点A 与点B 之间的距离为3个单位长度时，求点B 所对应的数是多少？【思路点拨】（1）根据数轴上两点间的距离计算方法进行计算即可得出答案；（2）设点P 对应的数为x ，根据题意可得|x +1|+|x−3|=6；分类讨论，当−1<x <3时，②当x >3时，③当x <−1时，计算即可得出答案；（3）设经过t 秒，分情况讨论①当点A 点B 相向而行时，经过t 秒，点A 表示的数为−1+2t ，点B 表示的数为3−0.5t ，即可得出|(−1+2t)−(3−0.5t)|=3，②当点A 点B 同向向右运动时，经过t 秒，点A 表示的数为−1+2t ，点B 表示的数为3+0.5t ，则|(−1+2t)−(3+0.5t)|=3，③当点A 点B 同向向左运动时，求出t 的值，即可算出点B 对应的数．【解题过程】（1）解：根据题意可得，AB =|−1−3|=4，因为点P 到A ，B 两点之间的距离相等，所以点P 到点−1和点3的距离为2，则点P 对应的数为：1；故答案为：1；（2）解：设点P 对应的数为x ，则|x +1|+|x−3|=6；①当−1<x <3时，最大值为4，不满足题意；②当x >3时，解得：x =4；③当x <−1时，解得：x =−2，点P 对应的数为4或−2；故答案为：4或−2；（3）解：设经过t 秒，①当点A 点B 相向而行时，经过t 秒，点A 表示的数为−1+2t ，点B 表示的数为3−0.5t ，则|(−1+2t)−(3−0.5t)|=3，解得t =145或t =25，点B 对应的数为3−12×143=23或3−12×25=145；②当点A 点B 同向向右运动时，经过t 秒，点A 表示的数为−1+2t ，点B 表示的数为3+0.5t ，则|(−1+2t)−(3+0.5t)|=3，解得：t =143或t =23，点B 表示的数为3+12×143=163或3+12×23=103；③当点A 点B 同向向左运动时，因为AB =4，点A 的运动速度大于点B 的运动速度，不能满足题意．综上：点B 表示的数为23或145或163或103．23．（2023·江苏·七年级假期作业）【定义新知】我们知道：式子|x−3|的几何意义是数轴上表示有理数x 的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点A 、B 在数轴上分别表示有理数a 、b ，则A 、B 两点之间的距离AB =|a−b |．请根据数轴解决以下问题：（1）式子|x+2|在数轴上的意义是；（2）|x+1|+|x−3|当取最小值时，x可以取整数；（3）|x+1|−|x−3|最大值为；（4）|x+1|+|x−2|+|x−6|的最小值为；【解决问题】（5）如图，一条笔直的公路边有四个居民区A、B、C、D和市民广场O，居民区A、B、C、D分别位于市民广场左侧5km，左侧1km，右侧1km，右侧3km．现需要在该公路边上建一个便民服务点P，那么这个便民服务点P建在何处，能使服务点P到四个居民区A、B、C、D总路程最短？最短路程是多少？试说明理由．【思路点拨】（1）根据题意即可得出结论；（2）|x+1|+|x−3|的最小值表示有理数x的点到−1的点的距离与表示x的点到3的点的距离之和，x应该在−1和3之间的线段上，即可求出结果；（3）根据|x+1|−|x−3|的几何意义是表示x的点到−1的距离减去x到3的距离，可得x≥3时取得最大值，即可求出结果；（4）|x+2|+|x+6|+|x−1|的几何意义是表示x的点到−2的点和到−6的点和到1的点的距离之和，由题意即可求出结果；（5）设便民服务点P在数轴上表示x的点处，由题意可得点P到各点的距离之和即|x+5|+|x+1|+|x−1| +|x−3|，求出最小值即可．【解题过程】（1）解：由题意可知，式子|x+2|在数轴上的意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数−2的点之间的距离；故答案为：数轴上表示有理数x的点与表示有理数−2的点之间的距离．（2）解：根据题意可得，|x+1|+|x−3|的几何意义是数轴上表示有理数x到−1的距离与x到3的距离之和，∴当−1≤x≤3时，|x+3|+|x−1|取最小值，即当x可以取整数−1，0，1，2，3；故答案为：−1，0，1，2，3．（3）解：∵|x+1|−|x−3|的几何意义是表示x的点到−1的点的距离减去表示x的点到表示3的点的距离，∴x≥3时取得最大值，∴|x+1|−|x−3|的最大值是：x+1−(x−3)=4．（4）解：根据题意可得，|x+2|+|x+6|+|x−1|的几何意义是数轴上表示x的点到表示−2的点和到表示−6的点和表示1的点的距离之和，当表示x的点在表示−6的点到表示1的点的线段上，|x+2|+|x+6|+|x−1|有最小值，即−6≤x≤1，当x=−2时，|x+2|+|x+6|+|x−1|的值最小，最小值为7；故答案为：7．（5）解：设便民服务点P在数轴上表示x的点处，根据题意可得，便民服务点到四点的距离为|x+5|+|x+1|+|x−1|+|x−3|，当表示x的点在表示−5的点到表示3的点的线段上，|x+5|+|x+1|+|x−1|+|x−3|有最小值，即−5≤x≤3，当x=±1时，|x+5|+|x+1|+|x−1|+|x−3|取得最小值，此时|x+5|+|x+1|+|x−1|+|x−3|=10，答：便民服务点P建在点B或点C处，能使服务点P到四个居民区A、B、C、D总路程最短，最短距离是10km．。
有理数及其运算全章拔高训练题(含标准答案)
有理数及其运算全章拔高训练题(100分钟100分)一、学科内综合题(每题4分，共40分)2 21.计算：一62X (1 — ) 2+ (- 3) 4- (- 1 — ) 23 32•如图所示，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度.从上图可以看出，终点表示的数是一2.请参照上图，完成填空：已知A、B是数轴上的点，(1)如果点A表示的数是一3, ?将A?向右平移7?个单位长度，那么终点表示的数是_______ ;(2)如果点B表示的数是3,将B向左移动7个单位长度，再向左移动5个单位长度，？那么终点表示的数是 ________ .3 .计算：1- 2+3 - 4+5 —6+ …+2001 —2002+2003 —2004 .4. 1月10日下午，出租车司机小王在东西走向的人民大道上运营. ？如果规定向东为正,向西为负，出租车的行车里程如下(单位：千米) ：+ 15 , —4, +13 , —10,—12, +3, —17.将最后一名乘客送到目的地时，小王距出车地点的距离是多少千米？5•已知：| a—1 | + (b+1) 2=0,那么(a+b) 2003+a2003+b2003的值是多少?10.若…計汁嵩的值二、学科间综合题(每题 10分，共20分)11.已知a , b 互为相反数，c , d 互为倒数，且x 的绝对值是5, 试求 x —( a+b — cd ) + |(a+b )— 4 | + | 3— cd | 的值.6•计算:1 r~2 111112"3 戸 T~5 r~6 1 T~87•计算 111111— +—+—+——+——+——.2 4 8 16 32 64&将—2,— 1 , 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6这9个数分别填入右图的9个空格中，使得横、竖、斜对角的3对数相加的和为6.9.计算：(—1)•(— 1)2•(— 1) 3•…(—1) 99(— 1)10012. 一口水井，水面比井口低 3米，一只蜗牛从水面沿着井壁往井口爬，第一次往上爬了 0.5米后又往下滑了 0.1米；第二次往上爬了 0.42米，却又下滑了 0.15米；第三次往上 爬了 0.7米，却下滑了 0.15米；第四次往上爬了 0.75米，却下滑了 0.1米；第五次往上 爬了 0.55米，没有下滑；第六次蜗牛又往上爬了 0.48米，问蜗牛有没有爬出井口？ 三、应用题(10分) 13•某自行车厂本周计划每日生产400辆自行车，由于人数和操作原因，每日实际生产量分别为405辆，393辆，397辆，410辆，391辆，385辆，405辆. (1)用正负数表示每日实际生产量与计划量的增减情况；(2 )该车厂本周实际生产多少辆自行车？平均每日实际生产多少辆自行车？四、创新题 14.已知: (每题 10分，共20 分)113=1= — X12X22； 41 13+23=9=- 4 X22X32； 13+23+33=36=1 X 32X 42； 4 (1)猜想填空： 13+23+33+…+ (n — 1) 3+n 3= ； ( n 为正整数)13+23+33+43=100= X 42 >52. 4 (2)计算：23+43+63+…+983+1003.15.已知m, n, p 满足 | 2m | +m=0 | n | =, p ・|p |,=1 化简 | n |— | m - p- 1 | + | p+n |— | 2n+1 |.五、中考题（每题5分,共10分）16.在等式3X□- 2□ =15的两个方格内分别填入一个数，？使这两个数是互为相反数，且等式成立,则第一个方格内的数是 _____________ .17 .计算—1+ | +3的结果是（）.A .- 1B . 1C . 2D . 3答案:211.—70252•分析：本题考查数轴上的点的表示，并不是很难，但须注意的是点移动到0点左侧时表示的是负数.解：(1) +4 (2)—9.3. 分析：本题是2004个数的加减混合运算，不可能从前至后逐一相加减，？应寻找一定的规律，合理运用结合律进行运算.解：1 —2+3 —4+5 —6+…+ ?2001 —?2002+?2003 —2004=(1 —2) + (3—4) + (5—6) + …+ ( 2003 —2004)=1丄九⑴显彳林翠為戶—1002.1002个(1)点拨：敏锐的观察力帮助我们寻找规律，分组求和，化繁为简.4. 分析：这是一道实际问题，在理解题意之后，？不难发现我们只需对所给的数据进行加法运算，所得的结果就是本题的结论.解：••• +15+ (—4) + (+13) + (—10) + (—12) +3+ (—17) =15 —4+13 —10—12+3 —17= —12 .•••小王距出车地点的距离是偏西12千米.点拨：明确正负表示相反意义的量，在实际生活中去发现问题, 去解决.5. 解：由题意易知a=1, b= —1,代入原式=02003+1 2003+ (—1) 2003=0.6. 解：原式=(1—1) + (1 - 1 ) +( 1 -丄)+ …+2 23 3 47 .分析：该式的特点是后一项为前一项的一半，因此如果我们把后一项加上它本身，就可以得到前一项的值. ?并应用数学知识(1-1) =77 8 8解：原式=^ +2 1111—+ — + — + ——+(―+ —)64 641641111 1 1、1111= —+—+ — + ——+ (——+ ——)———= — + —+— +丄丄)-丄16 16 6411、 1 1 63=(—+ — ) — ------- =1 — --- = ----- .2 2 64 64 64点拨：在运算过程中，巧用运算规律和其他运算方法和技巧，可以使运算简捷方便.&解：第一行：5 —2 3 第二行：0 2 4第三行：1 6 —19. 分析：由乘方的符号法则，易知对于一个有理数a,有(一a) 2n=a2n, (—a) 2n+1= —a2n+1解：原式=(—1) X1 x (—1) x-x(—1) r 4)4b2)4昭康)E50个点拨：注意(一1) 2n=1 , (- 1) 2n+1 = —1 (n 为整数).a b ab10. 解：分两种情况考虑：①a>0, b<0,原式= =1 —1 —仁—1.②a<0, b>0,a b aba b ab原式- =一?1 + 1 一仁一 1 .a b ab_ 、11 .解：当x=5 时，原式=5 —( 0—1) + | 0—4 | + | —1 | =12当x= — 5 时，原式=—5 — ( 0 —1) + | 0 — 4 | + | 3- 1 | =2.12•分析：把往上爬的距离记为牛”，下滑的距离记为—”，可表示出每次上爬和下滑的情况，转化为有理数的加法运算.解：+ (0.5) + (—0.1) + (+0.42) + (—0.15) + ( +0.7) + (—0.15) + ( +0.75) + (—0.1) + ( +?0.55) +0+ (+0.48) =2.9<3，所以蜗牛没有爬出井口.13•解：(1)把超过计划量的车辆数用正数表示，把低于计划量的车辆数用负数表示，可得下表(单位：辆)：(2 )本周总增减量为(+5) + (—7) + (—3) + (+ 10) + (—9) + (—15) + (+5) = —14.因此，本周实际总生产量为400X7+ (—14) =2786 (辆),平均每日实际生产2786-7=398 (辆).点拨：本题在计算本周总的产量时，也可将每日的产量直接相加，但由于这些数较大,所以较繁.四、114. 解：(1) 13+23+33+…+ (n—1) 3+n3= n2(n+1) 2.4(2) 23+43+63+…+983+1003= ( 1 X2) 3+ (2 X2) 3+ ( 2 X3) 3+…+ ( 2 >49) 3+ (2 >50) 3 1=23X ( 13+23+33 +…+493+503) =23> X502 X512=13 005 000 .4点拨：很多数学题的结论不直接给出，需要去寻找和发现合理运用猜想，就能较快地找到结论或结果.15. —2点拨：根据已知条件先分别求出m、n、p的值或其范围再化简.五、16. 3 17. C。
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有理数及其运算全章拔高训练题(含
答案)
有理数及其运算全章拔高训练题一、学科内综合题1．计算：－62×+4÷2．33 2．如图所示，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度．从上图可以看出，终点表示的数是－2．请参照上图，完成填空：已知A、B是数轴上的点，如果点A表示的数是－3，?将A?向右平移7?个单位长度，那么终点表示的数是______；如果点B表示的数是3，将B向左移动7个单位长度，再向左移动5个单位长度，?那么终点表示的数是________．3．计算：1－2+3－4+5－6+…+2001－2002+2003－2004．4．1月10日下午，出租车司机小王在东西走向的人民大道上运营．?如果规定向东为正，向西为负，
出租车的行车里程如下：+15，－4，+13，－10，－12，+3，－17．将最后一名乘客送到目的地时，小王距出车地点的距离是多少千米？5．已知：│a－1│+2=0，那么2003+a2003+b2003的值是多少？- 1 - 6．计算：7．计算1111111??????．1?22?33?44?55?66?77? 8111111+++++．248163264 8．将－2，－1，0，1，2，3，4，5，6这9个数分别填入右图的9个空格中，使得横、竖、斜对角的3对数相加的和为6．9．计算：·2·3·…·99·100．10．若ab abab++的值．|a||b||ab|二、学科间综合题11．已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，且x的绝对值是5，试求x－+│－4│+│3－cd│的值．- 2 - 12．一口水井，水面比井口低3米，一只蜗牛从水面沿着井壁往井口爬，第一次往上爬了米后又往下滑了米；第二次往上爬了米，却
又下滑了米；第三次往上爬了米，却下滑了米；第四次往上爬了米，却下滑了米；第五次往上爬了米，没有下滑；第六次蜗牛又往上爬了米，问蜗牛有没有爬出井口？三、应用题13．某自行车厂本周计划每日生产400辆自行车，于人数和操作原因，每日实际生产量分别为405辆，393辆，397辆，410辆，391辆，385辆，405辆．用正负数表示每日实际生产量与计划量的增减情况；该车厂本周实际生产多少辆自行车？平均每日实际生产多少辆自行车？四、创新题14．已知：13=1=13+23=9=122×1×2；4122×2×3；4122 13+23+33=36=×3×4；4122 13+23+33+43=100=×4×5．4猜想填空：13+23+33+…+3+n3=______；计算：23+43+63+…+983+1003．- 3 - 15．已知m，n，p满足│2m│+m=0，│n│=n，p·│p│=1，化简│n│－│m－p
－1│+?│p+n│－│2n+1│．五、中考题16．在等式3×□－2□=15的两个方格内分别填入一个数，等式成立，则第一个方格内的数是__________．17．计算－1+│+3│的结果是．A．－1B．1C．2 D．3- 4 - 使这两个数是互为相反数，且?答案: 一、1．－70 21 252．分析：本题考查数轴上的点的表示，并不是很难，但须注意的是点移动到0点左侧时表示的是负数．解：+4 －9．3．分析：本题是2004个数的加减混合运算，不可能从前至后逐一相加减，?应寻找一定的规律，合理运用结合律进行运算．解：1－2+3－4+5－6+…+?2001－?2002+?2003－2004 =+++…+ ???(?1)=－1002．=(?1)?(?1)?(?1)???????????????1 002个(?1)点拨：敏锐的观察力帮助我们寻找规律，分组求和，化繁为简．4．分析：这是一道实际问题，在理解题意之后，?不难发现我们只需对
所给的数据进行加法运算，所得的结果就是本题的结论．解：∵+15+++++3+=15－4+13－10－12+3－17=－12．∴小王距出车地点的距离是偏西12千米．点拨：明确正负表示相反意义的量，在实际生活中去发现问题，?并应用数学知识去解决．5．解：题意易知a=1，b=－1，代入原式=02003+12003+2003=0．6．解：原式=+++…+=．223347887．分析：该式的特点是后一项为前一项的一半，因此如果我们把后一项加上它本身，就可以得到前一项的值．解：原式= 11111111+++++－24816326464641111111111111=++++－=+++－24816161632326424864111163=－=1－=．22646464 点拨：在运算过程中，巧用运算规律和其他运算方法和技巧，可以使运算简捷方便．8．解：第一行：5 －2 3 第二行：0 2 4第三行：1 6 －1 9．分析：乘方的符号法则，易知对于一
个有理数a，有2n=a2n，2n+1=－a2n+1．???(?1)×1=1．解：原式=×1××…××1=(?1)?(?1)???????????50个- 5 - 点拨：注意2n=1，2n+1=－1．10．解：分两种情况考虑：①a>0，b原式=abab??=1－1－1=－1．②a0，a?b?ababab??=－?1+1－1=－1．?ab?ab二、11．解：当x=5时，原式=5－+│0－4│+│3－1│=12；当x=－5时，原式=－5－+│0－4│+│3－1│=2．12．分析：把往上爬的距离记为“＋”，下滑的距离记为“－”，可表示出每次上爬和下滑的情况，转化为有理数的加法运算．解：++++++++++0+=得下表：星期一二三四五六日增减+5 －7 －3 +10 －9 －15 +5 本周总增减量为++++++=－14．因此，本周实际总生产量为400×7+=2786，平均每日实际生产2786÷7=398．点拨：本题在计算本周总的产量时，也可将每日的产
量直接相加，但于这些数较大，所以较繁．四、14．解：13+23+33+…+3+n3=12 n2．41423+43+63+…+983+1003=3+3+ 3+…+3+3 =23×=23××502×512=13 005 000．点拨：很多数学题的结论不直接给出，需要去寻找和发现合理运用猜想，就能较快地找到结论或结果．15．－2 点拨：根据已知条件先分别求出m、n、p的值或其范围再化简．五、16．3 17．C - 6 -。