2020-2021年高一数学解三角形的进一步讨论 新课标 人教版
人教版高中必修5探究与发现解三角形的进一步讨论课程设计
人教版高中必修5探究与发现解三角形的进一步讨论课程设计一、课程目标•理解余弦定理、正弦定理的原理和应用；•掌握利用余弦定理、正弦定理求解三角形的面积和角度的方法；•能够综合运用知识解决实际问题；•培养学生自主思考、团队协作、解决问题的能力。
二、教学内容1.余弦定理和正弦定理的原理和应用；2.利用余弦定理、正弦定理求解三角形的面积和角度的方法；3.实际问题的应用。
三、教学方法1.活动导入：通过探究一道三角形问题的方法引出余弦定理、正弦定理；2.课堂授课：讲解余弦定理、正弦定理的原理和应用，并引导学生掌握求解三角形面积和角度的方法；3.小组讨论：分组讨论三角形实际问题，并给出解决方案；4.展示讨论结果：每个小组选出代表展示讨论结果，其他小组给予点评；5.教师点评：对学生讨论结果进行点评并给予指导；6.作业布置：巩固本课内容，并涉及到课前所学知识。
四、教学重点1.掌握余弦定理、正弦定理的应用；2.利用余弦定理、正弦定理求解三角形的面积和角度。
五、教学难点1.实际问题的应用；2.解决问题的方法。
六、课时安排本课程计划为4学时，具体安排如下：时间教学内容第1学时活动导入、授课第2学时小组讨论、展示第3学时教师点评、作业布置第4学时作业讲解、扩展课程七、教学资源1.电子白板；2.课件PPT；3.教学实例。
八、预期效果1.学生理解余弦定理、正弦定理的原理和应用；2.学生掌握利用余弦定理、正弦定理求解三角形的面积和角度的方法；3.学生能够综合运用知识解决实际问题；4.学生具备自主思考、团队协作、解决问题的能力。
高中数学 (1.1.3 解三角形的进一步讨论)示范教案 新人教A版必修5
1.1.3 解三角形的进一步讨论从容说课本节课中，应先通过分析典型例题，帮助学生理解并掌握正弦定理和余弦定理；应指出正弦定理和余弦定理是相通的，凡是能用正弦定理解的三角形，用余弦定理也可以解，反之亦然．但解题的时候，应有最佳选择．教学过程中，我们应指导学生对利用正弦定理和余弦主要途径有两条：（1）化边为角，然后通过三角变换找出角与角之间的关系，进而解决问题；（2）化角为边，将三角问题转化为代数问题加以解决．一般地，当已知三角形三边或三边数量关系时，常用余弦定理；若既有角的条件，又有边的条件，通常利用正弦定理或余弦定理，将边化为角的关系，利用三角函数公式求解较为简便．总之，关键在于灵活运用定理及公式．教学重点1.在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；2.三角形各种形状的判定方法；3.三角形面积定理的应用．教学难点1.利用正、余弦定理进行边角互换时的转化方向;2.三角恒等式证明中结论与条件之间的内在联系的寻求；3.正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用．教具准备 投影仪、幻灯片第一张:课题引入图片(记作1．1．3A)正弦定理:R Cc B b A a 2sin sin sin ===； 余弦定理:a 2=b 2+c 2-2bcco s A ,b 2=c 2+a 2-2caco s B ,c 2=a 2+b 2-2abco s C ，bc a c b A 2cos 222-+=,ca b a c B 2cos 222-+= ,abc b a C 2cos 222-+=.第二张:例3、例4(记作1．1．3 B )[例3]已知△ABC , BD 为角B 的平分线,求证: AB ∶BC ＝AD ∶DC .[例4]在△ABC 中,求证:a 2sin2B +b 2sin2A =2ab sin C .第三张:例5(记作1．1．3C)[例5]在△ABC 中,bco s A =aco s B ,试判断三角形的形状.三维目标一、知识与技能1.掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；2.三角形各种形状的判定方法；3.三角形面积定理的应用．二、过程与方法通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题．三、情感态度与价值观通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系．教学过程导入新课师 前面两节课,我们一起学习了正弦定理、余弦定理的内容,并且接触了利用正、余弦定理解三角形的有关题型.下面,我们先来回顾一下正、余弦定理的内容 (给出幻灯片 1.1.3A ).从幻灯片大体可以看出,正弦定理、余弦定理实质上反映了三角形内的边角关系,运用定理可以进行边与角之间的转换,这一节,我们将通过例题分析来学习正、余弦定理的边角转换功能在判断三角形形状和证明三角恒等式时的应用.推进新课思考：在△ABC 中，已知A =22c m ，B =25c m,A =133°，解三角形．（由学生阅读课本第9页解答过程）从此题的分析我们发现，在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条件下会出现无解的情形．下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题．【例1】在△ABC 中，已知A ,B ,A ，讨论三角形解的情况.师 分析：先由a A b B sin sin =可进一步求出B ；则C =180°-(A +B ),从而A C a c sin sin =. 一般地，已知两边和其中一边的对角解三角形，有两解、一解、无解三种情况．1.当A 为钝角或直角时，必须a ＞b 才能有且只有一解；否则无解．2.当A 为锐角时，如果a ≥b ，那么只有一解；如果a ＜b ，那么可以分下面三种情况来讨论：（1）若a ＞b sin A ，则有两解；（2）若a =b sin A ，则只有一解；（3）若a＜b sin A，则无解．（以上解答过程详见课本第9到第10页）师注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A为锐角且b sin A＜a＜b时，有两解；其他情况时则只有一解或无解．（1）A为直角或钝角（2）A为锐角【例2】在△ABC中，已知a =7,b=5,c =3，判断△ABC的类型．分析：由余弦定理可知a2=b2+c2⇔A是直角⇔△ABC是直角三角形，a2＞b2+c2⇔A是钝角⇔△ABC是钝角三角形，a2＜b2+c⇔A是锐角/△ABC是锐角三角形。
解三角形课标解读
人教A版模块5第一章《解三角形》课标解读正弦定理和余弦定理揭示了关于一般三角形中的重要边角关系，它们是解三角形的两个重要定理。
本章中，学生通过对具体问题的探究，认识学习解三角形知识的必要性，并能运用这两个定理解三角形以及解决实际测量中的一些问题。
一、课程内容与学习目标本章中，学生应该在已有知识的基础上，通过对任意三角形边角关系的探究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量关系，并认识到运用它们可以解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。
1、通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。
2、能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的生活实际问题。
二、课程的特色1、突出基础性，强化数学思想解三角形是测量的基础，对中学生来说，学习三角形的应用不仅完善了知识结构，而且通过对三角形边角之间的数量关系的探究，有利于让学生感受数学与日常生活的其他学科的联系，发展数学应用意识，提高实践能力，特别是培养抽象数学模型的能力。
将三角形作为几何度量问题来处理，突出几何背景，为学生理解数学中的量化思想，进一步学习数学奠定基础。
而在具体解三角形时，教材突出了函数与方程的思想，将正弦定理、余弦定理视作方程或方程组，处理已知量与未知量之间的关系。
从分析特殊三角形的边角关系到一般的边角关系，猜想这种关系也适用于一般三角形，从而发现了正弦定理，又体现了特殊到一般的归纳思想。
2、突出问题意识、应用意识与探究意识“正弦定理、余弦定理”是从提出问题入手，展示了发现正弦、余弦定理的过程。
还设计了不少供学生思考的问题，让学生主动构建知识。
解三角形的内容具有丰富的现实背景，来源于测量等实践活动，教材选择了大量鲜活的现实情境，将知识返璞归真，体现了强烈的数学应用意识。
围绕正弦定理设计了几个问题供学生自主探究、学习，还专门设计了一节“实习作业”的探究活动，让学生初步尝试数学研究的过程，体验创造的激情，也有助于培养学生发现、提出、解决数学问题的能力。
人教版高一数学教案-解三角形的进一步讨论
1.1.3 解三角形的進一步討論從容說課本節課中，應先通過分析典型例題，幫助學生理解並掌握正弦定理和余弦定理；應指出正弦定理和余弦定理是相通的，凡是能用正弦定理解的三角形，用余弦定理也可以解，反之亦然．但解題的時候，應有最佳選擇．教學過程中，我們應指導學生對利用正弦定理和余弦定理解斜三角形的問題進行歸類，列表如下： 解斜三角形時可用的定理和公式 適用類型 備註 余弦定理 a 2=b 2+c 2-2bcco s Ab 2=a 2+c 2-2acco s Bc 2=b 2+a 2-2baco s C（1）已知三邊 （2）已知兩邊及其夾角 類型（1）（2）有解時只有一解 正弦定理 R Cc B b A a 2sin sin sin === （3）已知兩角和一邊（4）已知兩邊及其中一邊的對角 類型（3）在有解時只有一解，類型（4）可有兩解、一解或無解 三角形面積公式 ==A bc S sin 21 =B ac sin 21 C ab sin 21 （5）已知兩邊及其夾角同時應指出，在解斜三角形問題時，經常要利用正弦、余弦定理實施邊角轉換，轉化的主要途徑有兩條：（1）化邊為角，然後通過三角變換找出角與角之間的關係，進而解決問題；（2）化角為邊，將三角問題轉化為代數問題加以解決．一般地，當已知三角形三邊或三邊數量關係時，常用余弦定理；若既有角的條件，又有邊的條件，通常利用正弦定理或余弦定理，將邊化為角的關係，利用三角函數公式求解較為簡便．總之，關鍵在於靈活運用定理及公式．教學重點1.在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，有兩解或一解或無解等情形；2.三角形各種形狀的判定方法；3.三角形面積定理的應用．教學難點1.利用正、余弦定理進行邊角互換時的轉化方向;2.三角恒等式證明中結論與條件之間的內在聯繫的尋求；3.正、余弦定理與三角形的有關性質的綜合運用．教具準備 投影儀、幻燈片第一張:課題引入圖片(記作1．1．3A)正弦定理:R Cc B b A a 2sin sin sin ===； 余弦定理:a 2=b 2+c 2-2bcco s A ,b 2=c 2+a 2-2caco s B ,c 2=a 2+b 2-2abco s C ，bc a c b A 2cos 222-+=,ca b a c B 2cos 222-+= ,abc b a C 2cos 222-+=.第二張:例3、例4(記作1．1．3B )[例3]已知△ABC , BD 為角B 的平分線,求證: AB ∶BC ＝AD ∶DC .[例4]在△ABC 中,求證:a 2sin2B +b 2sin2A =2ab sin C .第三張:例5(記作1．1．3C)[例5]在△ABC 中,bco s A =aco s B ,試判斷三角形的形狀.三維目標 一、知識與技能1.掌握在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，有兩解或一解或無解等情形；2.三角形各種形狀的判定方法；3.三角形面積定理的應用． 二、過程與方法通過引導學生分析，解答三個典型例子，使學生學會綜合運用正、余弦定理，三角函數公式及三角形有關性質求解三角形問題． 三、情感態度與價值觀通過正、余弦定理，在解三角形問題時溝通了三角形的有關性質和三角函數的關係，反映了事物之間的必然聯繫及一定條件下相互轉化的可能，從而從本質上反映了事物之間的內在聯繫．教學過程 導入新課師 前面兩節課,我們一起學習了正弦定理、余弦定理的內容,並且接觸了利用正、余弦定理解三角形的有關題型.下面,我們先來回顧一下正、余弦定理的內容 (給出幻燈片 1.1.3A ).從幻燈片大體可以看出,正弦定理、余弦定理實質上反映了三角形內的邊角關係,運用定理可以進行邊與角之間的轉換,這一節,我們將通過例題分析來學習正、余弦定理的邊角轉換功能在判斷三角形形狀和證明三角恒等式時的應用.推進新課思考：在△ABC 中，已知A =22c m ，B =25c m,A =133°，解三角形．（由學生閱讀課本第9頁解答過程）從此題的分析我們發現，在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，在某些條件下會出現無解的情形．下面進一步來研究這種情形下解三角形的問題．【例1】在△ABC 中，已知A ,B ,A ，討論三角形解的情況.師 分析：先由a A b B sin sin =可進一步求出B ；則C =180°-(A +B ),從而A C a c sin sin =. 一般地，已知兩邊和其中一邊的對角解三角形，有兩解、一解、無解三種情況． 1.當A 為鈍角或直角時，必須a ＞b 才能有且只有一解；否則無解．2.當A 為銳角時，如果a ≥b ，那麼只有一解； 如果a ＜b ，那麼可以分下面三種情況來討論：（1）若a ＞b sin A ，則有兩解；（2）若a =b sin A ，則只有一解；（3）若a＜b sin A，則無解．（以上解答過程詳見課本第9到第10頁）師注意在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，只有當A為銳角且b sin A＜a＜b時，有兩解；其他情況時則只有一解或無解．（1）A為直角或鈍角（2）A為銳角【例2】在△ABC中，已知a =7,b=5,c =3，判斷△ABC的類型．分析：由余弦定理可知a2=b2+c2⇔A是直角⇔△ABC是直角三角形，a2＞b2+c2⇔A是鈍角⇔△ABC是鈍角三角形，a2＜b2+c⇔A是銳角/△ABC是銳角三角形。
人教A版高中数学必修5《一章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理 解三角形的进一步讨论》优质课教案_17
课题: §1．1．3解三角形的进一步讨论教材分析：本课是人教A 版数学必修5第一章解三角形中学习了正弦定理、余弦定理的公式及基本应用的延续。
对于解三角形问题中已知两边和其中一边的对角(SSA)的情况,解的个数往往是不确定的。
在人教版的第一章"解三角形"的探究与发现"解三角形的进一步讨论"一文中,编者通过正弦定理讨论解的情况,但是在教学中学生用此法来判断三角形解的个数,感觉很抽象很难入手。
本人在教学过程不断实践和反馈中,总结了比较直观易懂的讨论三角形解的情况的方法:利用尺规作图,观察交点情况;利用SSA 解个数总结口诀解题;利用大边对大角，大角对大边辅助判断。
学情分析 ：学生已经学习了正弦定理和余弦定理,在知识上具备研究问题的基础。
对于本节课内容很多学生对教材的解法感到生疏，觉得很抽象。
本节课利用几何画板探讨解决问题的学习过程,通过数与形的结合，让学生对三角形解的个数问题进一步掌握，在知识的学习过程中,由数到形,再由形到数的学习过程,也实践了由具体到抽象,由特殊到一般的研究问题的方法,对数形结合思想和由具体到抽象的研究方法有一定的认识和体会。
教学目标:知识与技能：掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形。
过程与方法：通过引导学生分析，解答典型例子，使学生学会数形结合求解三角形问题。
情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，同时培养学生应用数形结合思想解决数学问题的能力 重点：掌握判断解三角形问题解的个数的方法,能够熟练运用此方法判断解三角形的个数问题。
难点：利用画图来表示三角形解的个数。
教学过程：一、复习准备：正弦定理：R C c B b A a 2sin sin sin ===公式特征：对边对角（解决对边对角问题）SinA=20015030==⇒A A 或 SinA=220013545==⇒A A 或 SinA=230012060==⇒A A 或 二、讲授新课：[创设情景]思考：在∆ABC 中，已知22a cm =，25b cm =，0133A =，解三角形。
人教版高中数学必修五第一章《解三角形的进一步讨论-解三角形中的一类倍角问题》教学设计
人教版高中数学必修五第一章《解三角形的进一步讨论-解三角形中的一类倍角问题》教学设计解三角形的进一步讨论——解三角形中的一类倍角问题1．教学内容解析“正弦定理和余弦定理”是高中数学必修5中“解三角形”的一节内容．本节教学内容与前后知识联系紧密，涉及多种数学思想方法，主要工具是正弦定理、余弦定理、三角形面积公式和三角形内角和定理，通过对任意三角形边角关系的探究，发现并掌握三角形中边角之间的数量关系．有些问题的求解还会用到三角函数中的和、差角公式和二倍角公式．根据问题的不同类型和不同形式，广泛联想、合理选择、灵活运用公式是求解问题的关键．2．教学目标设置教学目标：(1)掌握并熟练运用正弦、余弦定理转化三角形中的边角关系；(2)理解三角形中有关边角关系的几何意义，如cos a B 、sin b A 、22a b bc -=、2A B =，并对以此为背景的试题进行深入的探究，理解其数学本质；(3)通过对问题背景与变式探究学习，激发学生参与数学活动的兴趣与热情．教学重难点：(1)能够熟练运用正弦、余弦定理转化三角形中的边角关系；(2)理解三角形中有关边角关系的几何意义，如cos a B 、sin b A 、22a b bc -=、2A B =，探究其数学本质．（2）问题探究揭示本质【探究一】一般地，在ABC∆中，由等式2B A=可以得到什么结论?它具有什么代数特征呢？【设计意图】通过发散性探究，学生能够体会正、余弦定理在转化三角形边角关系中的作用，以及在解三角形的过程中三角恒等变换的作用．在问题的解决过程中，引导学生发现等式2B A=的代数特征．【提问】反之是否成立呢？【探究二】一般地，在ABC∆中，若22b a ac=+，则2B A=．【设计意图】通过探究，进一步体会正、余弦定理在转化三角形边角关系中的作用．同时，通过两次探究，我们得到了一个重要的推论：一般地，在ABC∆中，222a b bc A B-=⇔=．并能利用正弦定理和余弦定理证明该推论，感受正弦定理和余弦定理的内在联系．【提问】在ABC∆中，222a b bc A B-=⇔=，这个代数恒等式具有怎么样的几何意义呢？【设计意图】引导学生发现其几何背景，从几何角度看清问题本质，感受在三角形中的数与形的统一性，培养数学抽象与数形结合的能力，了解此类问题的命题策略，（3）应用探【练习】在ABC∆中，,,a b c分别为角,,A B C所对的边，已知B C A>>，且2,4,8B A c a b==+=，求,a b的值．【设计意图】通过微调题目条件，增加了思维容量，培养学生综合运用正弦定理和余弦定理的能力，并在问题的解决过程中，引导究尝试解决学生体会等式2B A=的代数特征．【高考链接】（2019年高考北京卷（理））在ABC∆中，,,a b c分别为角,,A B C所对的边，若3,26,2a b B A==∠=∠．(I)求cos A的值；(II)求c的值．【高考链接】（2019年浙江高考）在ABC∆中，内角,,A B C所对的边分别为,,a b c．已知2cosb c a B+=．（I）证明：2A B=；（II）若ABC∆的面积2=4aS，求角A的大小．【设计意图】进一步熟悉正弦、余弦定理，注重推论的应用性，引导学生落实核心知识，培养实践能力．（4）直通自招探究不止（2019上海交大自招）是否存在三边长为连续自然数的三角形，使得(1)最大角是最小角的两倍；(2)最大角是最小角的三倍．若存在，求出该三角形；若不存在，请说明理由．【探究三】一般地，在ABC∆中，由等式3B A=可以得到什么结论?它具有什么代数特征和几何意义呢？【设计意图】体会推论应用的广泛性，培养学生数学抽象，逻辑推理，数学运算等能力，树立用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界的数学核心素养．（【学生命题】5）自主命题总结反思以三角形中有关边角关系的几何意义为背景，如cosa B、sinb A、22a b bc-=、2A B=（或者其它自选），命制一道解答题．【学生归纳】1．正弦定理、余弦定理体现了三角形中边与角存在的一种内在联系，其主要作用是将已知的边、角互化或统一；2．理解三角形中有关边角关系的几何意义，如cosa B、sinb A、22a b bc-=、2A B=，掌握此类问题的“源”与“流”；【设计意图】学生通过归纳，回顾自己在本节课所学得知识要点与思想方法，并与同学，老师交流，完善知识结构与思维方式；通过自主命题，旨在引导学生与命题者对话，加深对问题本质的理解，拓展探究学习的维度．（6）作业布置1．书本P25 B组练习3；2．小组合作完成探究三；3．以三角形中有关边角关系的几何意义为背景命制一道解答题．。
人教A版高中数学必修5《一章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理 解三角形的进一步讨论》优质课教案_22
专题 三角恒等变换与解三角形教学目标：能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与三角形有关的问题教学重点：正弦定理、余弦定理的简单运用教学难点：正弦定理、余弦定理的综合运用教学用具：多媒体、投影教学方法：讲练结合1.以1～2个小题或一道大题形式考查三角函数的基本公式和正、余弦定理，包括化简、求值、求三角形面积、判断三角形的形状等．2．将解三角形或三角函数的图象与性质与三角恒等变换、平面向量知识揉合在一起，有时也与不等式、函数最值结合，考查应用所学知识分析解决问题能力和应用意识，难度为中等或容易题.教学过程：一、选择题1．(2016·河南中原名校3月联考)函数f (x )＝12sin 2x ＋12tan π3cos 2x 的最小正周期为( )A.π2B ．πC ．2πD ．4π 解析：∵f (x )＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， ∴函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. 答案：B2．(2016·全国Ⅱ卷)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，则sin 2α＝( ) A.725 B.15 C ．－15 D ．－725解析：∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，∴sin 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝ 2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－1＝2×925－1＝－725. 答案：D3．(2016·山东卷)△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )，则A ＝( )A.3π4B.π3C.π4D.π6解析：由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝2b 2－2b 2cos A ，∴2b 2(1－sinA )＝2b 2(1－cos A )，∴sin A ＝cos A ，即tan A ＝1，又0<A <π，∴A ＝π4. 答案：C4．(2014·全国Ⅱ卷)钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( )A ．5 B. 5 C ．2 D ．1解析：S △ABC ＝12AB ·BC sin B ＝12×1×2sin B ＝12，∴sin B ＝22，若B ＝45°，则由余弦定理得AC ＝1，∴△ABC 为直角三角形，不符合题意，因此B ＝135°，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝1＋2－2×1×2×⎝⎛⎭⎪⎫－22＝5，∴AC ＝ 5. 答案：B二、填空题5．(2016·浙江卷)已知2cos 2x ＋sin 2x ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0)，则A ＝________，b ＝________．解析：∵2cos 2x ＋sin 2x ＝1＋cos 2x ＋sin 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1＝A sin(ωx ＋φ)＋b ，∴A ＝2，b ＝1.答案：2 16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2a sin A＝(2sin B ＋sin C)b＋(2c＋b)·sin C，则A＝________．解析：根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A，故cos A＝－12，又A为三角形的内角，故A ＝120°.答案：120°三、解答题7．(2015·全国Ⅰ卷)已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，sin2B ＝2sin A sin C.(1)若a＝b，求cos B；(2)设B＝90°，且a＝2，求△ABC的面积．解：(1)由题设及正弦定理可得b2＝2ac.又a＝b，可得b＝2c，a＝2c.由余弦定理可得cos B＝a2＋c2－b22ac＝14.(2)由(1)知b2＝2ac.∵B＝90°，由勾股定理得a2＋c2＝b2，故a2＋c2＝2ac，得c＝a＝ 2.∴△ABC的面积为12×2×2＝1.8．(2016·广州综合测试(二))在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，2b sin B＝(2a＋c)sin A＋(2c＋a)sin C.(1)求B的大小；(2)若b＝3，A＝π4，求△ABC的面积．解：(1)∵2b sin B＝(2a＋c)sin A＋(2c＋a)sin C，由正弦定理得2b2＝(2a＋c)a＋(2c＋a)c，化简得a2＋c2－b2＋ac＝0，∴cos B＝a2＋c2－b22ac＝－ac2ac＝－12.∵0<B <π，∴B ＝2π3. (2)∵A ＝π4， ∴C ＝π－π4－2π3＝π3－π4. ∴sin C ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π4＝sin π3cos π4－cos π3sin π4＝6－24. 由正弦定理得c sin C ＝b sin B， ∵b ＝3，B ＝2π3， ∴c ＝b sin C sin B ＝6－22. ∴△ABC 的面积S ＝12bcsin A ＝12×3×6－22×sin π4＝3－34.。
新课标必修数学5“解三角形”内容分析及教学建议
新课标必修数学5“解三角形"内容分析及教学建议江苏省锡山高级中学杨志文新课程必修数学5的内容主要包括解三角形、数列、不等式。
这些内容都是高中数学中的传统内容。
其中“解三角形”既是高中数学的基本内容，又有较强的应用性。
在历次教材改革中都作为中学数学中的重点内容,一直被保留下来。
在这次新课程改革中，新普通高中《数学课程标准》(以下简称《标准》）与原全日制普通高级中学《数学教学大纲》(以下简称《大纲》）相比，“解三角形”这块内容在安排顺序上进行了新的整合。
本文就《标准》必修模块数学5第一部分“解三角形”的课程内容、教学目标要求、课程关注点、内容处理上等方面的变化进行简要的分析，并对教学中应注意的几个问题谈谈自己的一些设想和教学建议,供大家参考。
一、《标准》必修模块数学5中“解三角形”与原课程中“解斜三角形”的比较1．课程内容安排上的变化“解三角形”在原课程中为“解斜三角形"，安排在“平面向量”一章中，作为平面向量的一个单元。
而在新课程《标准》中重新进行了整合，将其安排在必修模块数学5中,独立成为一章，与必修模块数学4中的“平面向量”分别安排在不同的模块中。
2．教学要求的变化原大纲对“解斜三角形”的教学要求是：（1）掌握正弦定理、余弦定理,并能运用它们解斜三角形，能利用计算器解决解斜三角形的计算问题.(2）通过解三角形的应用的教学，提高运用所学知识解决实际问题的能力.（3）实习作业以测量为内容，培养学生应用数学知识解决实际问题的能力和实际操作的能力。
《标准》对“解三角形"的教学要求是:（1)通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。
（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.由此可以看出，《标准》在计算方面降低了要求，取消了“利用计算器解决解斜三角形的计算问题"的要求,而在探索推理方面提高了要求，要求“通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理”。
人教版高中必修5探究与发现解三角形的进一步讨论课程设计 (2)
课程设计：人教版高中必修5探究与发现解三角形的进一步讨论一、教学目标1. 知识目标•了解解三角形的概念和方法•掌握利用正弦定理、余弦定理、正切定理及海伦公式等解决三角形相关问题的方法•根据实际问题，运用相关知识解决三角形的相关问题2. 能力目标•培养学生观察、归纳和总结的能力•培养学生沟通、合作和创新思维的能力•提高学生运用数学知识解决实际问题的能力3. 情感目标•激发学生学习数学的兴趣和热情•培养学生积极参与课堂讨论，自主学习的意识•培养学生正义、和谐、团结的价值观二、教学内容1. 概念介绍•解三角形的概念及相关术语说明2. 解三角形的方法•正弦定理的应用•余弦定理的应用•正切定理的应用•海伦公式的应用3. 相关问题探究•从实际问题出发，引导学生自主观察、归纳、总结•运用所学方法解决相关问题三、教学过程1. 课前预习•学生预习课本内容及课件•学生思考和准备提出解三角形有哪些方法2. 自主学习•小组合作，每个小组选择一个问题，研究并解决问题•学生自主寻找相关材料，进行学习和总结3. 讲授并讨论•介绍解三角形的概念及相关术语•分别讲解正弦定理、余弦定理、正切定理和海伦公式的应用•在每个方法讲解后，由学生提出实际问题并进行讨论解决4. 实践演练•学生分组，在白板上模拟相关问题，运用所学方法解决•学生自主寻找相关实际问题，进行解决练习5. 总结归纳•教师与学生共同总结本次课程所学内容，提出不足和进一步改进措施•学生进行总结自我反思，思考如何将所学知识应用到实际生活中四、作业•学生回去后继续以小组形式进行学习和讨论•选取1-2个相关问题，并利用所学方法进行解决，准备进行讲解展示•学生通过个人笔记记录所学重点及解决问题的过程五、教学评估•通过学生的课前预习讨论，了解学生的掌握程度及问题•在课堂讲授、讨论、实践过程中及时反馈和引导，检查学生的掌握情况•通过学生的课后作业和自我反思，了解学生的学习效果六、教学反思•通过本次课程的设计和实施，掌握了针对解三角形相关内容的教学思路和方法•鉴于学生学习数学实践应用的能力较为薄弱，课程设计应注重实践环节的拓展•下一步的工作将持续探索和实践，倡导学生以积极探究的心态参与数学学习，提升学生数学思维的发展。
人教A版高中数学必修5《一章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理 解三角形的进一步讨论》优质课教案_21
突破点2 解三角形三维目标知识与技能：(1)能熟练利用正弦定理和余弦定理来解三角形(2)掌握两定理的应用过程与方法: 通过对所学的知识的回顾梳理，进而加强对两定理的理解.情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力.学习目标：复习解三角形的基础知识，掌握解三角形基本题型学习重点：利用正弦定理和余弦定理解决三角形有关问题学习难点：正弦定理和余弦定理的运用一、知识必备：设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c其面积为S.1、三角形内角和：A＋B＋C＝π2、正弦定理:asin A＝bsin B＝csin C＝2R公式变形：余弦定理:公式变形：常见解三角形的题型及解法(1)已知两角及一边，利用正弦定理求解．(2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一．(3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解．(4)已知三边，利用余弦定理求解.3、三角形的面积公式:(1)S＝12ah a＝12bh b＝12ch c(h a，h b，h c分别表示a，b，c边上的高)．(2)S＝12ab sin C＝12bc sin A＝12ca sinB．二、课前热身2222cos,a b c bc A=+-2222cos,b ac ac B=+-2222cosc a b ab C=+-1．(2016·全国甲卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝________.2．(2016·天津改编)在△ABC 中，若AB ＝13，BC ＝3，∠C ＝120°，则sinB 等于________．3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( ) A ．3 B ．932 C.332 D ．33 三、典例解析热点题型1 正、余弦定理的应用例1.(甘肃省张掖市2016届高三第一次诊断考试)如图，在ABC ∆中，BC 边上的中线AD 长为3，且cos B =，1cos 4ADC ∠=-． （1）求sin BAD ∠的值； （2）求AC 边的长．小结：变式：(2016·四川高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos A a ＋cos B b ＝sin C c. 证明：sin A sin B ＝sin C ； (2)若b 2＋c 2－a 2＝65bc ，求tanB ．小结：热点题型2 三角形面积的求解问题例2.(2015·陕西)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .向量m ＝(a ，3b )与n ＝(cos A ，sin B )平行．(1)求A ； (2)若a ＝7，b ＝2，求△ABC 的面积．小结：变式：(2016·福州模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足(2b －c )cos A ＝a cos C .(1)求角A 的大小；(2)若a ＝3，求△ABC 周长的最大值及面积最大值．（3）若△ABC 为锐角三角形，求cos sin B C 的取值范围.小结：四、能力提升1．(2016·合肥二模)如图2-3，△ABC 中，AB ＝4，BC ＝2，∠ABC ＝∠D ＝60°，若△ADC 是锐角三角形，则DA ＋DC 的取值范围是__________．小结：2．(2015·全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是________．小结：五、课堂检测1．在三角形ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且a ＞b ＞c ，a 2＜b 2＋c 2，则角A 的取值范围是________．2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边的长分别为a ，b ，c ，若a sin A ＋b sin B ＜c sin C ，则△ABC 的形状是__________三角形．3．在△ABC 中， AC →·AB →＝|AC →－AB →|＝3，则△ABC 的面积的最大值为________．4．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若A ＝π3，a ＝3，则b 2＋c 2的取值范围为________．5．为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10米到位置D ，测得∠BDC ＝45°，则塔AB 的高是________米． 6．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若三边的长为连续的三个正整数，且A >B >C,3b ＝20a cos A ，则sin A ∶sin B ∶sin C ＝( )A ．4∶3∶2B ．5∶6∶7C ．5∶4∶3D ．6∶5∶47．(名师押题)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＋1a＝4cos C ，b ＝1. (1)若sin C ＝217，求a ，c ； (2)若△ABC 是直角三角形，求△ABC 的面积．六、课堂小结：（1）合理选用正弦定理、余弦定理进行解三角形。
新课标解三角形题型变化
新课标解三角形题型变化1.解三角形在高考中的变化新课改前全国一卷中，数列与解三角形多数情况下在解答题中不同时进行考查.但不论以哪种题型出现，解三角形都是每年高考的必考题.其难度多以偏易或适中出现，在高考备考中占有举足轻重的地位.2021年全国卷新高考一卷在题型上与课改之前有较大变化，删去了选做题模块.同时也进一步提高了解三角形在高考中的地位.解三角形与数列问题可以同时出现在解答题中，这样解三角形就成了新高考解答题部分的必考题 .进一步提高本部分在高考中的地位.2.解三角形在新旧教材之间的不同在人教版2004 版教材中，必修5第一章，解三角形作为一个独立章节呈现，正弦定理在探究正弦定理新知时，运用几何法得出正弦定理∶在余弦定理的新知探究中，运用向量的数量积推导出余弦定理.向量工具的使用较少，在课本例题与练习中对于解三角形中使用向量工具的考查也没有加以延伸.在人教版 2019 版教材中，必修第二册第六章平面向量及其应用中.在 6.4平面向量的应用的6.4.3节中讲到余弦定理，正弦定理和余弦定理、正弦定理的应用.探究余弦定理的内容与旧教材内容基本一致都是应用向量的数量积运算加以推导.而正弦定理的探究中除了给出原有的几何方法的证明以外，还运用向量法推导给出了正弦定理.在余弦定理和正弦定理的新知探究中，向量工具使用的篇幅有明显的增加.3.解三角形在 2021年新课标全国卷中的实例在新高考全国1卷中，解三角形的解答题位置由以前的第17或18题的位置转变到第 19 题，题目的位置往后，难度也有一定的提高.题目的解法中几何法的解答较为常规.这里主要介绍第二问中的向量方法.以下是本题的解答过程∶例（2021年新高考全国1卷第19题）.记是内角的对边分别为.已知，点在边上， .（1）证明∶；（2）若，求 .解∶（1）由题设，，由正弦定理知∶,即又得： .（2）由题意知∶两边平方得∶（1）在中，由余弦定理得∶（2）联立（1）（2）得：又由于，解得或当时，不合题意;当时， ;综上，.图形中的"爪"字形结构明显，运用向量解法方便快捷，体现出向量方法在本题解答中的优越性.4.解三角形新高考题型分析以往全国卷高考中，解答题中解三角形问题的考查方式较为单一，多以正余弦定理为主线去直接解三角形，试题难度偏易，知识点的交叉考查较少.而2021年新高考全国卷中，不仅将题目位置往后移，试题的难度也有提高.在本题中，试题的难点在于（1）（2）式联立之后的方程的处理，难度较大.向量在解答中的部分相对难度较低，起到简化运算的作用，考生在复习备考中如果对"爪"形结构有一个深刻的认识，在解答的过程中也可以快速找到突破口.5.解三角形的考查方向从高考试题中解三角形位置的变化，以及难度的提升来看，解三角形内容考查将不再单一考查.今后的备考中要适当提高本部分复习试题的难度，并研究其与其他知识点的交叉点.从新教材的布局来看解三角形属于向量运用的一个分支，通过解三角形体现向量方法也将会是一个考查热点.。
人教版高中数学教案-解三角形的进一步讨论
1．1．3解三角形的進一步討論（一）教學目標1．知識與技能:掌握在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，有兩解或一解或無解等情形；三角形各種類型的判定方法；三角形面積定理的應用。
2. 過程與方法:通過引導學生分析，解答三個典型例子，使學生學會綜合運用正、余弦定理，三角函數公式及三角形有關性質求解三角形問題。
3.情態與價值：通過正、余弦定理，在解三角形問題時溝通了三角形的有關性質和三角函數的關係，反映了事物之間的必然聯繫及一定條件下相互轉化的可能，從而從本質上反映了事物之間的內在聯繫。
（二）教學重、難點重點：在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，有兩解或一解或無解等情形；三角形各種類型的判定方法；三角形面積定理的應用。
難點：正、余弦定理與三角形的有關性質的綜合運用。
（三）學法與教學用具學法：通過一些典型的實例來拓展關於解三角形的各種題型及其解決方法。
教學用具：教學多媒體設備（四）教學設想[創設情景]思考：在∆ABC 中，已知22a cm =，25b cm =，0133A =，解三角形。
（由學生閱讀課本第9頁解答過程）從此題的分析我們發現，在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，在某些條件下會出現無解的情形。
下面進一步來研究這種情形下解三角形的問題。
[探索研究]例1．在∆ABC 中，已知,,a b A ，討論三角形解的情況 分析：先由sin sin b A B a =可進一步求出B ； 則0180()C A B =-+ 從而sin a C c A= 1．當A 為鈍角或直角時，必須a b >才能有且只有一解；否則無解。
2．當A 為銳角時，如果a ≥b ，那麼只有一解；如果a b <，那麼可以分下面三種情況來討論：（1）若sin a b A >，則有兩解；（2）若sin a b A =，則只有一解；（3）若sin a b A <，則無解。
（以上解答過程詳見課本第910頁）評述：注意在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，只有當A 為銳角且 sin b A a b <<時，有兩解；其它情況時則只有一解或無解。
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2019-2020年高一数学解三角形的进一步讨论新课标人教版
●教学目标
知识与技能：掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。
过程与方法：通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。
情感态度与价值观：通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系。
●教学重点
在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；
三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。
●教学难点
正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。
●教学过程
Ⅰ.课题导入
[创设情景]
思考：在ABC中，已知，，，解三角形。
（由学生阅读课本第9页解答过程）
从此题的分析我们发现，在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条件下会出现无解的情形。
下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题。
Ⅱ.讲授新课
[探索研究]
例1．在ABC中，已知，讨论三角形解的情况
分析：先由可进一步求出B；
则
从而
1．当A为钝角或直角时，必须才能有且只有一解；否则无解。
2．当A为锐角时，
如果≥，那么只有一解；
如果，那么可以分下面三种情况来讨论：
（1）若，则有两解；
（2）若，则只有一解；
（3）若，则无解。
（以上解答过程详见课本第910页）
评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A为锐角且
时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。
[随堂练习1]
（1）在ABC中，已知，，，试判断此三角形的解的情况。
（2）在ABC中，若，，，则符合题意的b的值有_____个。
（3）在ABC中，，，，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x的取值范围。
（答案：（1）有两解；（2）0；（3））
例2．在ABC 中，已知，，，判断ABC 的类型。
分析：由余弦定理可知
222222222是直角ABC 是直角三角形是钝角ABC 是钝角三角形是锐角a b c A a b c A a b c A =+⇔⇔∆>+⇔⇔∆<+⇔⇔ABC 是锐角三角形
∆
（注意：是锐角A ⇔ABC 是锐角三角形∆）
解：，即，
∴。
[随堂练习2]
（1）在ABC 中，已知sin :sin :sin 1:2:3A B C =，判断ABC 的类型。
（2）已知ABC 满足条件，判断ABC 的类型。
（答案：（1）；（2）ABC 是等腰或直角三角形）
例3．在ABC 中，，，面积为，求的值
分析：可利用三角形面积定理111sin sin sin 222
S ab C ac B bc A ===以及正弦定理
解：由得，
则=3，即，
从而
Ⅲ.课堂练习
（1）在ABC 中，若，，且此三角形的面积，求角C
（2）在ABC 中，其三边分别为a 、b 、c ，且三角形的面积，求角C
（答案：（1）或；（2））
Ⅳ.课时小结
（1）在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；
（2）三角形各种类型的判定方法；
（3）三角形面积定理的应用。
Ⅴ.课后作业
（1）在ABC 中，已知，，，试判断此三角形的解的情况。
（2）设x 、x+1、x+2是钝角三角形的三边长，求实数x 的取值范围。
（3）在ABC 中，，，，判断ABC 的形状。
（4）三角形的两边分别为3cm ，5cm,它们所夹的角的余弦为方程的根，
求这个三角形的面积。
●板书设计
●授后记。