概率论与数理统计(第二版-刘建亚)习题解答——第3章
概率论与数理统计第二版课后答案
概率论与数理统计第二版课后答案第一章：概率论的基本概念与性质1.1 概率的定义及其性质1.概率的定义：概率是对随机事件发生的可能性大小的度量。
在概率论中，我们将事件A的概率记为P(A)，其中P(A)的值介于0和1之间。
2.概率的基本性质：–非负性：对于任何事件A，其概率满足P(A) ≥ 0。
–规范性：对于样本空间Ω中的全部事件，其概率之和为1，即P(Ω) = 1。
–可列可加性：对于互不相容的事件序列{Ai}（即Ai∩Aj = ∅，i ≠ j），有P(A1∪A2∪…) = P(A1) + P(A2) + …。
1.2 随机事件与随机变量1.随机事件：随机事件是指在一次试验中所发生的某种结果。
–基本事件：对于只包含一个样本点的事件，称为基本事件。
–复合事件：由一个或多个基本事件组成的事件称为复合事件。
2.随机变量：随机变量是将样本空间Ω上的每个样本点赋予一个实数的函数。
随机变量可以分为两种类型：–离散型随机变量：其取值只可能是有限个或可列无穷个实数。
–连续型随机变量：其取值在某个区间内的任意一个值。
1.3 事件的关系与运算1.事件的关系：事件A包含于事件B（记作A ⊆ B）指的是事件B发生时，事件A一定发生。
如果A ⊆ B且B ⊆ A，则A与B相等（记作A = B）。
–互不相容事件：指的是两个事件不能同时发生，即A∩B = ∅。
2.事件的运算：对于两个事件A和B，有以下几种运算：–并：事件A和事件B至少有一个发生，记作A∪B。
–交：事件A和事件B同时发生，记作A∩B。
–差：事件A发生而事件B不发生，记作A-B。
第二章：条件概率与独立性2.1 条件概率与乘法定理1.条件概率：在事件B发生的条件下，事件A发生的概率称为事件A在事件B发生的条件下的条件概率，记作P(A|B)。
–条件概率的计算公式：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。
2.乘法定理：对于任意两个事件A和B，有P(A∩B) = P(A|B) * P(B) =P(B|A) * P(A)。
概率论与数理统计第二版参考答案
习题2参考答案2.1 X 23456789101112P1/36 1/18 1/12 1/95/36 1/6 5/36 1/91/12 1/18 1/362.2解：根据1)(0==∑∞=k k X P ，得10=∑∞=-k kae，即1111=---eae。
故 1-=e a2.3解：用X 表示甲在两次投篮中所投中的次数，X~B(2,0.7) 用Y 表示乙在两次投篮中所投中的次数, Y~B(2,0.4) (1) 两人投中的次数相同P{X=Y}= P{X=0,Y=0}+ P{X=1,Y=1} +P{X=2,Y=2}=11220202111120202222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.3124CC C C C C ⨯+⨯+⨯=(2)甲比乙投中的次数多P{X >Y}= P{X=1,Y=0}+ P{X=2,Y=0} +P{X=2,Y=1}=12211102200220112222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.5628CC C C C C ⨯+⨯+⨯=2.4解:（1）P{1≤X ≤3}= P{X=1}+ P{X=2}+ P{X=3}=12321515155++=(2) P{0.5<X<2.5}=P{X=1}+ P{X=2}=12115155+=2.5解：（1）P{X=2,4,6,…}=246211112222k +++ =11[1()]1441314kk lim →∞-=-（2）P{X ≥3}=1―P{X <3}=1―P{X=1}- P{X=2}=1111244--=2.6解：设i A 表示第i 次取出的是次品，X 的所有可能取值为0，1，212341213124123{0}{}()(|)(|)(|)P X P A A A A P A P A A P A A A P A A A A ====18171615122019181719⨯⨯⨯=1123412342341234{1}{}{}{}{}2181716182171618182161817162322019181720191817201918172019181795P X P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ==+++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=12323{2}1{0}{1}1199595P X P X P X ==-=-==--=2.7解：(1)设X 表示4次独立试验中A 发生的次数，则X~B(4,0.4)34314044(3)(3)(4)0.40.60.40.60.1792P X P X P X CC ≥==+==+= (2)设Y 表示5次独立试验中A 发生的次数，则Y~B(5,0.4)345324150555(3)(3)(4)(5)0.40.60.40.60.40.60.31744P X P X P X P X CC C ≥==+=+==++=2.8 （1）X ～P(λ)=P(0.5×3)= P(1.5) 01.51.5{0}0!P X e-=== 1.5e -（2）X ～P(λ)=P(0.5×4)= P(2)122222{2}1{0}{1}1130!1!P X P X P X e ee---≥=-=-==--=-2.9解：设应配备m 名设备维修人员。
概率论与数理统计第二版课后答案1-3章（龙永红著）高等教育出版社
第一章 练 习 一、填空题：（1）设A 、B 为随机事件，P （A ）＝0.7，P （A －B ）＝0.3，则P （A B ）＝ 0.6 。
P （A —B ）=P （A ）—P （AB ）⇒P （AB ）=0.4P （A +B ）=1—P （AB ）=0.6（2）设A 、B 为随机事件，P （A ）＝0.92，P （B ）＝0.93，P （B/A ）＝0.85，则P （A/B ）=_ 0.829___，P （A B ）=_ 0.988____。
见课本习题—20题（3）设事件A 、B 相互独立，已知P （A ）＝0.5，P （A B ）＝0.8，则P(A B )= 0.2 , P （A B ）＝ 0.7 。
P （A+B ）=P （A ）+P （B ）—P （AB ）=0.8⇒P （B ）=0.6，P （B ）=0.4 P （AB ）=P （A ）—P （A B ）=0.5—0.2=0.3 P （A B ）=P （A ）P （B ）=0.5⨯0.4=0.2（4）袋中有50个乒乓球，其中20个黄球，30个白球，今两人依次随机地从中各取一球，则第二个人取得黄球的概率是 0.4 。
5020⨯4919+5030⨯4920=0.4（5）设两个独立事件A 、B 都不发生的概率为1/9，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等，则P （A ）＝ 2/3 。
P （A B ）=9191=⇒（）（B P A P P （A B ）=P （A B ））（）（）（）（B P A P B P A P =⇒ ）（（）（）（）（）（A P B P B A P A P B A P B P =⇒-=-（6）一射手对同一目标独立地进行4次射击，若至少命中一次的概率是80/81，则该射手的命中率为 2/3 。
P ：不中的概率1—P =48180⇒P 4=811⇒P=31⇒1—P=32(7) 袋中有5个黑球，3个白球，大小相同，一次随机地取出4球，其中“恰好2个黑球，2个白球”的概率为： 3/7 、(8) 事件A、B、C 中至少有两个不发生，可用运算符号表示为：A C CB B A ++ ；而运算符号C B A -+)(则表示事件 A或B至少一个发生而C不发生 。
刘建亚概率论与数理统计课后习题第2,3章答案
解: 知识点： P43均匀分布函数及其概率密度函数。 由题意知, X ∼ U (2, 5), 从而， X 的概率密度函数为 { 1 , x ∈ (2, 5); 3 f (x) = 0, 其他.
2 X 落在(3, 5]之间的概率为 3 ，
f (x) dx √ c dx 1 − x2
X 落在(2, 3]之间为 1 3 从而， 至少有两次观测值大于3的概率为 P = = = 19. 题目见课本P57. 解: 知识点： P24伯努利概型、 P37二项分布概念、 P45指数 分布及其概率密度函数。 X 表示顾客在某银行窗口等待服务的时间。 Y 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数。 由于他一个月去银行5次 1 2 2 3 2 · ( )3 C3 · ( )2 · + C3 3 3 3 4 8 + 8 27 20 27
3 从5只球中取出3只， 取出的总数为C5 。
= 1，
从而得到， a = 1。 (2)由离散概率分布的性质可知 ∑∞ a k=1 2k = 1， 因此有 a·
1− 1 2
1 2
由题知，X 表示所取出3只球中的最大号码，所以X 的可 能取值为分别为3, 4, 5。 当X = 3时， 其它两个球只能是1, 2, 故 P (X = 3) =
由于某人的成绩为78分因此高于78分人数的概率为px781???781?700276?789992002909令p1为某单位的录取率又由于某单位招聘155人有526人报名因此52602947进一步由于px7802909p102947录取率为p1155故此人能够被录取
概率论与数理统计课后习题
第 2 章
=
3 10
当X = 4时， 其它两个球只能是从1, 2, 3, 4中任取2个， 故 C2 6 P (X = 5) = 4 = 3 C5 10 因此， X 的分布列为 X P 3. 题目见课本P56。 解: 知识点：P7古典概率定义、 P35超几何分布概念。 X 表示取出四只中所含次品的只数。 由于有3件次品， 则X 可能取值为 0, 1, 2, 3， 进而由古典概 率定义和超几何分布， 得 P (X = k ) =
概率论与数理统计第二版-课后答案-科学出版社-参考答案-最新
概率论与数理统计第二版-课后答案-科学出版社-参考答案-最新习题2参考答案2.12.3解：用X表示甲在两次投篮中所投中的次数，X~B(2,0.7)用丫表示乙在两次投篮中所投中的次数，Y~B(2,0.4)(1)两人投中的次数相同P{X=Y}= P{X=0,Y=0}+ P{X=1,Y=1} +P{X=2,Y=2}=C：0.7°0.32C：°.400.62C20.710.3； C；%。
.©C20.720.30C20.420.60 0.3124 (2)甲比乙投中的次数多P{X>Y}= P{X=1,Y=0}+ P{X=2,Y=0} +P{X=2,Y=1}=1 1 1 0 02 2 2 0 0 0 2 2 2 0 IllC20.710.31C 20.400.62C20.720.30C2°.400.62C2°.720.300.562812 3 22.4解:(1) P{1 < X< 3}= P{X=1}+ P{X=2}+ P{X=3}=(2) P{0.5<X<2.5}=P{X=1}+ P{X=2}=15 15 15 52.5 解:1 1(D P{X=2,4,6,…}=* 2 22k=lim1[i (泸(2) P{X>3} =1 -P{X<3} =1 -P{X=l}- P{X=2} = l-i-i = -2 4 4 2.6解：设心表示第i 次取出的是次品，X 的所有可能取值为0, 1, 2P{X = 0} = P{A, A 2 A 3A 4} = P(A i )P(A 2\ 4叫 14 A 2)P (4 14心尸18 17 16 15 12—X — X — X —=—20 19 18 17 19P{X = 1J = P{4瓦瓦石} + P {瓦4,入石} + P{N 忑4石} + P{瓦石入儿}2 18 17 1618 2 17 1618 18 2 16 18 17 162 =——X — X — X ------- 1 ---- X — X — X ------ 1 ---- X — X — X — + ——X — X — X —=20 19 18 17 20 19 18 17 20 19 18 17 20 19 18 1712 323 P{X = 2} = \-P{X = 0}-P{X = \} = } - - =—19 95 952. 7解：(1)设X 表示4次独立试验中A 发生的次数，则X~B(4,0.4)P(X >3) = P(X = 3)4-P(X = 4) = C ：0.4'0.6i + C ：0.4°0.6° =0.1792(2)设Y 表示5次独立试验中A 发生的次数，则Y~B(5, 0. 4)P(X^3) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(% = 5) = (7J 0.430.62 + C"0.440.6' + C ；0.羊0.6。
概率论与数理统计第二版_课后答案_科学出版社
习题22.1 X 23456789101112P1/36 1/18 1/12 1/9 5/36 1/65/36 1/9 1/12 1/18 1/36解：根据1)(0==∑∞=k k X P ，得10=∑∞=-k kae，即1111=---eae 。
故 1-=e a2.3解：用X 表示甲在两次投篮中所投中的次数，X~B(2,0.7) 用Y 表示乙在两次投篮中所投中的次数, Y~B(2,0.4) (1) 两人投中的次数相同P{X=Y}= P{X=0,Y=0}+ P{X=1,Y=1} +P{X=2,Y=2}=1122020*********2222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.3124C C C C C C ⨯+⨯+⨯=(2)甲比乙投中的次数多P{X >Y}= P{X=1,Y=0}+ P{X=2,Y=0} +P{X=2,Y=1}=12211102200220112222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.5628C C C C C C ⨯+⨯+⨯=2.4解:〔1〕P{1≤X ≤3}= P{X=1}+ P{X=2}+ P{X=3}=12321515155++= (2) P{0.5<X<2.5}=P{X=1}+ P{X=2}=12115155+= 2.5解：〔1〕P{X=2,4,6,…}=246211112222k +++=11[1()]1441314k k lim→∞-=-〔2〕P{X ≥3}=1―P{X <3}=1―P{X=1}- P{X=2}=1111244--=2.6解：设i A 表示第i 次取出的是次品，X 的所有可能取值为0，1，212341213124123{0}{}()(|)(|)(|)P X P A A A A P A P A A P A A A P A A A A ====18171615122019181719⨯⨯⨯= 1123412342341234{1}{}{}{}{}2181716182171618182161817162322019181720191817201918172019181795P X P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ==+++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= 12323{2}1{0}{1}1199595P X P X P X ==-=-==--=2.7解：(1)设X 表示4次独立试验中A 发生的次数，那么X~B(4,0.4)34314044(3)(3)(4)0.40.60.40.60.1792P X P X P X C C ≥==+==+= (2)设Y 表示5次独立试验中A 发生的次数，那么Y~B(5,0.4)345324150555(3)(3)(4)(5)0.40.60.40.60.40.60.31744P X P X P X P X C C C ≥==+=+==++=2.8 〔1〕X ～P(λ)=P(0.5×3)= P(1.5)0 1.51.5{0}0!P X e -=== 1.5e - 〔2〕X ～P(λ)=P(0.5×4)= P(2)0122222{2}1{0}{1}1130!1!P X P X P X e e e ---≥=-=-==--=-解：设应配备m 名设备维修人员。
概率论与数理统计第三章课后习题及参考答案
概率论与数理统计第三章课后习题及参考答案1．设二维随机变量),(Y X 只能取下列数组中的值：)0,0(，)1,1(-，31,1(-及)0,2(，且取这几组值的概率依次为61，31，121和125，求二维随机变量),(Y X 的联合分布律．解：由二维离散型随机变量分布律的定义知，),(Y X 的联合分布律为2．某高校学生会有8名委员，其中来自理科的2名，来自工科和文科的各3名．现从8名委员中随机地指定3名担任学生会主席．设X ，Y 分别为主席来自理科、工科的人数，求：(1)),(Y X 的联合分布律；(2)X 和Y 的边缘分布律．解：(1)由题意，X 的可能取值为0，1，2，Y 的可能取值为0，1，2，3，则561)0,0(3833====C C Y X P ，569)1,0(381323====C C C Y X P ，569)2,0(382313====C C C Y X P ，561)3,0(3833====C C Y X P ，283)0,1(382312====C C C Y X P ，289)1,1(38131312====C C C C Y X P ，283)2,1(382312====C C C Y X P ，0)3,1(===Y X P ，563)0,2(381322====C C C Y X P ，563)1,2(381322====C C C Y X P ，0)2,2(===Y X P ，0)3,2(===Y X P ．),(Y X 的联合分布律为：(2)X 的边缘分布律为X 012P1452815283Y 的边缘分布律为Y 0123P285281528155613．设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<<<--=其他．,0,42,20),6(),(y x y x k y x f 求：(1)常数k ；(2))3,1(<<Y X P ；(3))5.1(<Y P ；(4))4(≤+Y X P ．解：方法1：(1)⎰⎰⎰⎰--==+∞∞-+∞∞-422d d )6(d d ),(1yx y x k y x y x f ⎰--=42202d |)216(y yx x x k k y y k 8d )210(42=-=⎰，∴81=k ．(2)⎰⎰∞-∞-=<<31d d ),()3,1(y x y x f Y X P ⎰⎰--=32102d d )216(yx yx x x ⎰--=32102d |)216(81y yx x x 83|)21211(81322=-=y y ．(3)),5.1()5.1(+∞<<=<Y X P X P ⎰⎰+∞∞-∞---=5.1d d )6(81yx y x ⎰⎰--=425.10d d )6(81y x y x y yx x x d )216(81422⎰--=3227|)43863(81422=-=y y ．(4)⎰⎰≤+=≤+4d d ),()4(y x y x y x f Y X P ⎰⎰---=2042d )6(d 81x y y x x ⎰+-⋅=202d )812(2181x x x 32|)31412(1612032=+-=x x x ．方法2：(1)同方法1．(2)20<<x ，42<<y 时，⎰⎰∞-∞-=yxv u v u f y x F d d ),(),(⎰⎰--=y xv u v u 20d d )6(81⎰--=y xv uv u u 202d |)216(81⎰--=y v xv x x 22d )216(81y xv v x xv 222|)21216(81--=)1021216(81222x xy y x xy +---=，其他，0),,(=y x F ，∴⎪⎩⎪⎨⎧<<<<+---=其他．,0,42,20),1021216(81),(222y x x x xy y x xy y x F 83)3,1()3,1(==<<F Y X P ．(3))42,5.1(),5.1()5.1(<<<=+∞<<=<Y X P Y X P X P )2,5.1()4,5.1(<<-<<=Y X P Y X P 3227)2,5.1()4,5.1(=-=F F ．(4)同方法1．4．设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧>>=--其他．,0,0,0,e ),(2y x A y x f y x 求：(1)常数A ；(2)),(Y X 的联合分布函数．解：(1)⎰⎰⎰⎰+∞+∞--+∞∞-+∞∞-==02d d e d d ),(1yx A y x y x f y x ⎰⎰+∞+∞--=002d e d e y x A y x2|)e 21(|)e (020A A y x =-⋅-=∞+-∞+-，∴2=A ．(2)0>x ，0>y 时，⎰⎰∞-∞-=y xv u v u f y x F d d ),(),(⎰⎰--=yxv u vu 02d d e 2yv x u 020|)e 21(|)e (2---⋅-=)e 1)(e 1(2y x ----=，其他，0),(=y x F ，∴⎩⎨⎧>>--=--其他．,0,0,0),e 1)(e 1(),(2y x y x F y x ．5．设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤≤=其他．,0,10,10,),(y x Axy y x f 求：(1)常数A ；(2)),(Y X 的联合分布函数．解：(1)2121d d d d ),(11010⋅⋅===⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-A y y x x A y x y x f ，∴4=A ．(2)10≤≤x ，10≤≤y 时，⎰⎰∞-∞-=y xv u v u f y x F d d ),(),(⎰⎰=yxv u uv 0d d 4220202||y x v u yx =⋅=，10≤≤x ，1>y 时，⎰⎰∞-∞-=yx v u v u f y x F d d ),(),(⎰⎰=100d d 4xv u uv 210202||x v u x =⋅=，10≤≤y ，1>x 时，⎰⎰∞-∞-=yx v u v u f y x F d d ),(),(⎰⎰=100d d 4yu v uv 202102||y v u y =⋅=，1>x ，1>y 时，⎰⎰∞-∞-=yx v u v u f y x F d d ),(),(⎰⎰=101d d 4v u uv 1||102102=⋅=v u，其他，0),(=y x F ，∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>>≤≤>>≤≤≤≤≤≤=其他．,0,1,1,1,10,1,,1,10,,10,10,),(2222y x y x y y x x y x y x y x F ．6．把一枚均匀硬币掷3次，设X 为3次抛掷中正面出现的次数，Y 表示3次抛掷中正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值，求：(1)),(Y X 的联合分布律；(2)X 和Y 的边缘分布律．解：由题意知，X 的可能取值为0，1，2，3；Y 的可能取值为1，3．易知0)1,0(===Y X P ，81)3,0(===Y X P ，83)1,1(===Y X P ，0)3,1(===Y X P 83)1,2(===Y X P ，0)3,2(===Y X P ，0)1,3(===Y X P ，81)3,3(===Y X P 故),(Y X 得联合分布律和边缘分布律为：7．在汽车厂，一辆汽车有两道工序是由机器人完成的：一是紧固3只螺栓；二是焊接2处焊点，以X 表示由机器人紧固的螺栓紧固得不牢的数目，以Y 表示由机器人焊接的不良焊点的数目，且),(Y X 具有联合分布律如下表：求：(1)在1=Y 的条件下，X 的条件分布律；(2)在2=X 的条件下，Y 的条件分布律．解：(1)因为)3,3()1,2()1,1()1,0()1(==+==+==+====Y X P Y X P Y X P Y X P Y P 08.0002.0008.001.006.0=+++=，所以43)1()1,0()1|0(=======Y P Y X P Y X P ，81)1()1,1()1|1(=======Y P Y X P Y X P ，101)1()1,2()1|2(=======Y P Y X P Y X P ，401)1()1,3()1|3(=======Y P Y X P Y X P ，故在1=Y 的条件下，X 的条件分布律为X 0123P4381101401(2)因为)2,2()1,2()0,2()2(==+==+====Y X P Y X P Y X P X P 032.0004.0008.002.0=++=，所以85)2()0,2()2,0(=======X P Y X P X Y P ，4)2()1,2()2,1(=======X P Y X P X Y P ，81)2()2,2()2,2(=======X P Y X P X Y P ，故在2=X 的条件下，Y 的分布律为：Y 012P8541818．设二维随机变量),(Y X 的概率密度函数为⎩⎨⎧>>=+-其他．,0,0,0,e ),()2(y x c y x f y x 求：(1)常数c ；(2)X 的边缘概率密度函数；(3))2(<+Y X P ；(4)条件概率密度函数)|(|y x f Y X ，)|(|x y f X Y ．解：(1)⎰⎰⎰⎰+∞+∞+-+∞∞-+∞∞-==0)2(d d e d d ),(1yx c y x y x f y x⎰⎰+∞+∞--=002d e d ey x c y x2|)e (|)e 21(002c c y x =-⋅-=∞+-∞+-，∴2=c ．(2)0>x 时，⎰+∞∞-=y y x f x f X d ),()(⎰+∞+-=0)2(d e 2y y x x y x 202e 2|)e (e 2-+∞--=-=，0≤x 时，0)(=x f X ，∴⎩⎨⎧≤>=-．0,0,0,e 2)(2x x x f x X ，同理⎩⎨⎧≤>=-．0,0,0,e )(y y y f y Y ．(3)⎰⎰<+=<+2d d ),()2(y x y x y x f Y X P ⎰⎰---=2202d d e 2xy x yx 422202e e 21d e d e 2-----+-==⎰⎰xy x y x ．(4)由条件概率密度公式，得，当0>y 时，有⎩⎨⎧>=⎪⎩⎪⎨⎧>==----其他．其他．,0,0,e 2,0,0,e e 2)(),()|(22|x x y f y x f y x f xy y x Y Y X ，0≤y 时，0)|(|=y x f Y X ，所以⎩⎨⎧>>=-其他．,0,0,0,e 2)|(2|y x y x f x Y X ；同理，当0>x 时，有⎩⎨⎧>=⎪⎩⎪⎨⎧>==----其他．其他．,0,0,e ,0,0,2e e 2)(),()|(22|y y x f y x f x y f yx y x X X Y 0≤x 时，0)|(|=x y f X Y ，所以⎩⎨⎧>>=-其他．,0,0,0,e )|(|y x x y f y X Y ．9．设二维随机变量),(Y X 的概率密度函数为⎩⎨⎧<<<<=其他．,0,0,10,3),(x y x x y x f求：(1)关于X 、Y 的边缘概率密度函数；(2)条件概率密度函数)|(|y x f Y X ，)|(|x y f X Y ．解：(1)10<<x 时，⎰+∞∞-=y y x f x f X d ),()(203d 3x y x x==⎰，其他，0)(=x f X ，∴⎩⎨⎧<<=其他．,0,10,3)(2x x x f X ，密度函数的非零区域为}1,10|),{(}0,10|),{(<<<<=<<<<x y y y x x y x y x ，∴10<<y 时，⎰+∞∞-=x y x f y f Y d ),()()1(23d 321y x x y-==⎰，其他，0)(=y f Y ，∴⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他．,0,10),1(23)(2y y y f Y ．(2)当10<<y 时，有⎪⎩⎪⎨⎧<<-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-==其他．其他．,0,1,12,0,1,)1(233)(),()|(22|x y y x x y y xy f y x f y x f Y Y X ，其他，0)|(|=y x f Y X ，故⎪⎩⎪⎨⎧<<<<-=其他．,0,10,1,12)|(2|y x y y xy x f Y X ．当10<<x 时，有⎪⎩⎪⎨⎧<<=⎪⎩⎪⎨⎧<<==其他．其他．,0,0,1,0,0,33)(),()|(2|x y x x y x x x f y x f x y f X X Y ，其他，0)|(|=x y f X Y ，故⎪⎩⎪⎨⎧<<<<=其他．,0,10,0,1)|(|x x y x x y f X Y ．10．设条件密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<<=其他．,0,10,3)|(32|y x yx y x f Y X Y 的概率密度函数为⎩⎨⎧<<=其他．,0,10,5)(4y y y f Y 求21(>X P ．解：⎩⎨⎧<<<==其他．,0,10,15)|()(),(2|y x y x y x f y f y x f Y X Y ，则6447d )(215d d 15d d ),(21(121421211221=-===>⎰⎰⎰⎰⎰>x x x x y y x y x y x f X P xx ．11．设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<<<+=其他．,0,20,10,3),(2y x xyx y x f 求：(1)),(Y X 的边缘概率密度；(2)X 与Y 是否独立；(3))),((D Y X P ∈，其中D 为曲线22x y =与x y 2=所围区域．解：(1)10<<x 时，x x y xy x y y x f x f X 322d )3(d ),()(222+=+==⎰⎰+∞∞-，其他，0)(=x f X ，∴⎪⎩⎪⎨⎧<<+=其他．,0,10,322)(2x x x x f X ，20<<y 时，⎰+∞∞-=x y x f y f Y d ),()(316)d 3(12+=+=⎰y x xy x ，其他，0)(=y f Y ，∴⎪⎩⎪⎨⎧<<+=其他．,0,20,316)(y y y f Y ．(2)),()()(y x f y f x f Y X ≠，∴X 与Y 不独立．(3)}22,10|),{(2x y x x y x D ≤≤<<=，∴⎰⎰+=∈102222d d )3()),((x xx y xy x D Y X P 457d )32238(10543=--=⎰x x x x ．12．设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>>+=-其他．,0,0,0,e )1(),(2y x y x y x f x试讨论X ，Y 的独立性．解：当0>x 时，xx x X x yx y y x y y x f x f -∞+-∞+-∞+∞-=+-=+==⎰⎰e |11e d )1(e d ),()(002，当0≤x 时，0)(=x f X ，故⎩⎨⎧≤>=-．0,0,0,e )(x x x x f x X ，同理，可得⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=．0,0,0,)1(1)(2y y y y f Y ，因为)()(),(y f x f y x f Y X =，所以X 与Y 相互独立．13．设随机变量),(Y X 在区域}|),{(a y x y x g ≤+=上服从均匀分布，求X 与Y 的边缘概率密度，并判断X 与Y 是否相互独立．解：由题可知),(Y X 的联合概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤+=其他．,0,,21),(2a y x a y x f ，当0<<-x a 时，有)(1d 21d ),()(2)(2x a ay a y y x f x f xa x a X +===⎰⎰++-+∞∞-，当a x <≤0时，有)(1d 21d ),()(2)(2x a a y a y y x f x f x a x a X -===⎰⎰---+∞∞-，当a x ≥时，0d ),()(==⎰+∞∞-y y x f x f X ，故⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=．a x a x x a a x f X ,0,),(1)(2，同理，由轮换对称性，可得⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=．a y a y y a a y f Y ,0,),(1)(2，显然)()(),(y f x f y x f Y X ≠，所以X 与Y 不相互独立．14．设X 和Y 时两个相互独立的随机变量，X 在)1,0(上服从均匀分布，Y 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-．0,0,0,e 21)(2y y y f yY (1)求X 和Y 的联合概率密度；(2)设含有a 的二次方程为022=++Y aX a ，试求a 有实根的概率．解：(1)由题可知X 的概率密度函数为⎩⎨⎧<<=其他．,0,10,1)(x x f X ，因为X 与Y 相互独立，所以),(Y X 的联合概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧><<==-其他．,0,0,10,e 21)()(),(2y x y f x f y x f yY X ，(2)题设方程有实根等价于}|),{(2X Y Y X ≤，记为D ，即}|),{(2X Y Y X D ≤=，设=A {a 有实根}，则⎰⎰=∈=Dy x y x f D Y X P A P d d ),()),(()(⎰⎰⎰---==1021002d )e 1(d d e 2122xx y x x y⎰--=102d e12x x ⎰--=12e 21212x x ππππ23413.01)]0()1([21-=Φ-Φ-=．15．设i X ～)4.0,1(b ，4,3,2,1=i ，且1X ，2X ，3X ，4X 相互独立，求行列式4321X X X X X =的分布律．解：由i X ～)4.0,1(b ，4,3,2,1=i ，且1X ，2X ，3X ，4X 相互独立，易知41X X ～)84.0,16.0(b ，32X X ～)84.0,16.0(b ．因为1X ，2X ，3X ，4X 相互独立，所以41X X 与32X X 也相互独立，又32414321X X X X X X X X X -==，则X 的所有可能取值为1-，0，1，有)1()0()1,0()1(32413241======-=X X P X X P X X X X P X P 1344.016.084.0=⨯=，)1,1()0,0()0(32413241==+====X X X X P X X X X P X P )1()1()0()0(32413241==+===X X P X X P X X P X X P 7312.016.016.084.084.0=⨯+⨯=，)0()1()0,1()1(32413241=======X X P X X P X X X X P X P 1344.084.016.0=⨯=，故X 的分布律为X 1-01P1344.07312.01344.016．设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧>>=+-其他．,0,0,0,e 2),()2(y x y x f y x 求Y X Z 2+=的分布函数及概率密度函数．解：0≤z 时，若0≤x ，则0),(=y x f ；若0>x ，则0<-=x z y ，也有0),(=y x f ，即0≤z 时，0),(=y x f ，此时，0d d ),()2()()(2==≤+=≤=⎰⎰≤+zy x Z y x y x f z Y X P z Z P z F ．0>z 时，若0≤x ，则0),(=y x f ；只有当z x ≤<0且02>-=xz y 时，0),(≠y x f ，此时，⎰⎰≤+=≤+=≤=zy x Z yx y x f z Y X P z Z P z F 2d d ),()2()()(⎰⎰-+-=zx z y x y x 020)2(d e 2d z z z ----=e e 1．综上⎩⎨⎧≤>--=--．0,0,0,e e 1)(z z z z F z z Z ，所以⎩⎨⎧≤<='=-．0,0,0,e )()(z z z z F z f z Z Z ．17．设X ，Y 是相互独立的随机变量，其概率密度分别为⎩⎨⎧≤≤=其他．,0,10,1)(x x f X ，⎩⎨⎧≤>=-．0,0,0,e )(y y y f y Y 求Y X Z +=的概率密度．解：0<z 时，若0<x ，则0)(=x f X ；若0≥x ，则0<-=x z y ，0)(=-x z f Y ，即0<z 时，0)()(=-x z f x f Y X ，此时，0d )()()(=-=⎰+∞∞-x x z f x f z f Y X Z ．10≤≤z 时，若0<x ，则0)(=x f X ；只有当z x ≤≤0且0>-=x z y 时0)()(≠-x z f x f Y X ，此时，z zx z Y X Z x x x z f x f z f ---+∞∞--==-=⎰⎰e 1d e d )()()(0)(．1>z 时，若0<x ，0)(=x f X ；若1>x ，0)(=x f X ；若10≤≤x ，则0>-=x z y ，此时，0)()(≠-x z f x f Y X ，z x z Y X Z x x x z f x f z f ---+∞∞--==-=⎰⎰e )1e (d e d )()()(1)(．综上，⎪⎩⎪⎨⎧<>-≤≤-=--．0,0,1,e )1e (,10,e 1)(z z z z f z z Z ．18．设随机变量),(Y X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>>+=+-其他．,0,0,0,e)(21),()(y x y x y x f y x (1)X 和Y 是否相互独立？(2)求Y X Z +=的概率密度．解：(1)),()()(y x f y f x f Y X ≠，∴X 与Y 不独立．(2)0≤z 时，若0≤x ，则0)(=x f X ；若0>x ，则0<-=x z y ，0),(=y x f ，此时，0d ),()(=-=⎰+∞∞-x x z x f z f Z ．0≥z 时，若0≤x ，则0)(=x f X ；只有当z x <<0且0>-=x z y 时0),(≠y x f ，此时，⎰+∞∞--=x x z x f z f Z d ),()(⎰+-+=zy x x y x 0)(d e )(21⎰-=z z x z 0d e 21z z -=e 212，所以⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-．0,0,0,e 21)(2z z z z f zZ ．19．设X 和Y 时相互独立的随机变量，它们都服从正态分布),0(2σN ．证明：随机变量22Y X Z +=具有概率密度函数⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-．0,0,0,e )(2222z z z z f z Z σσ．解：因为X 与Y 相互独立，均服从正态分布),0(2σN ，所以其联合密度函数为2222)(2e 121),(σσπy x y xf +-⋅=，(+∞<<∞-y x ,)当0≥z 时，有⎰⎰≤+=≤+=≤=zy x Z yx y x f z Y X P z Z P z F 22d d ),()()()(22⎰⎰≤++-⋅=zy x y x y x 22222d e 1212)(2σσπ⎰⎰-⋅=πσθσπ2022d ed 12122zr r r ⎰-=zr r r 022d e122σσ，此时，2222e)(σσz Z z z f -=；当0<z 时，=≤+}{22z Y X ∅，所以0)()()(22=≤+=≤=z Y X P z Z P z F Z ，此时，0)(=z f Z ，综上，⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-．0,0,0,e )(2222z z z z f z Z σσ．20．设),(Y X 在矩形区域}10,10|),{(≤≤≤≤=y x Y X G 上服从均匀分布，求},min{Y X Z =的概率密度．解：由题可知),(Y X 的联合概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤=其他．,0,20,10,21),(y x y x f ，易证，X ～]1,0[U ，Y ～]2,0[U ，且X 与Y 相互独立，⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=．1,1,10,,0,0)(x x x x x F X ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<=．2,1,20,2,0,0)(y y yy y F Y ，可得)](1)][(1[1)(z F z F z F Y X Z ---=)()()()(z F z F z F z F Y X Y X -+=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤-<=．1,1,10,223,0,02z z z z z ，求导，得⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他．,0,10,23)(z z z f Z ．21．设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧+∞<<<<=+-其他．,0,0,10,e ),()(y x b y x f y x (1)试确定常数b ；(2)求边缘概率密度)(x f X 及)(y f Y ；(3)求函数},max{Y X U =的分布函数．解：(1)⎰⎰⎰⎰+∞+-+∞∞-+∞∞-==01)(d d e d d ),(1yx b y x y x f y x ⎰⎰+∞--=10d e d e y x b y x)e 1(|)e(|)e (10102-+∞---=-⋅=b b y x ，∴1e11--=b ．(2)10<<x 时，1)(1e1e d e e 11d ),()(--∞++--∞+∞--=-==⎰⎰x y x X y y y x f x f ，其他，0)(=x f X ，∴⎪⎩⎪⎨⎧<<-=--其他．,0,10,e 1e )(1x x f xX ，0>y 时，⎰+∞∞-=x y x f y f Y d ),()(yy x x -+--=-=⎰e d e e 1110)(1，0≤y 时，0)(=y f Y ，∴⎩⎨⎧≤>=-．0,0,0,e )(y y y f y Y ．(3)0≤x 时，0)(=x F X ，10<<x 时，101e1e 1d e 1e d )()(----∞---=-==⎰⎰xxt xX X t t t f x F ，1≥x 时，1)(=x F X ，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<--≤=--．1,1,10,e 1e1,0,0)(1x x x x F x X ；0≤y 时，0)(=y F Y ，0>y 时，y yv y Y Y v v v f y F --∞--===⎰⎰e 1d e d )()(0，∴⎩⎨⎧≤>-=-．0,0,0,e 1)(y y y F y Y ，故有)()()(y F x F u F Y X U =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<≤--<=---．1,e 1,10,e 1e1,0,01u u u uu ．。
概率论与数理统计(刘建亚)习题解答——第三章
概率论与数理统计（刘建亚）习题解答——第三章3－1 解：1283)3,1()3,2()5,1()5,2()53,21(=+--=≤<≤<F F F F Y X P3－2 解：3－3 解：3－4 解：X 的取值：3，4； Y 的取值：1，2。
所以)2,1(),4(45243===-=-j C C C j Y j X P jj3－5 解： （1） 由归一性112),(04030)43(====⎰⎰⎰⎰⎰⎰+∞-+∞-+∞+∞+-+∞∞-+∞∞-Ady e dx eA dy dx Aedy dx y x f y xy x ∴ A ＝1（2） 当 0,0>>y x 时 )1)(1(12),(),(430)43(y x xyv u xye e dv du e dv du v uf y x F --+-∞-∞---===⎰⎰⎰⎰当 y x ,为其它时，0),(=y x F∴ ⎩⎨⎧>>--=--其它0,0)1)(1(),(43y x e e y x F y x（3） )1)(1(12)20,10(831020)43(--+---==≤<≤<⎰⎰e e dy dx e Y X P y x3－6解：由分布函数的性质)2)(2arctan ()3arctan )(2arctan (lim ),(0)3arctan )(2()3arctan )(2arctan (lim ),(1)2)(2()3arctan )(2arctan (lim ),(=++=++=∞-=+-=++=-∞=++=++=∞++∞-∞→-∞→+∞→+∞→ππππC x B A y C x B A x F yC B A y C x B A y F C B A y C x B A F y x y x三式联立解得 2,2,12πππ===C B A)9)(4(61)3(131)2(1211),(),(2222222y x y x y x y x F y x f ++⋅=+⋅+⋅=∂∂∂=ππ3－7 解：（1） 当 10<<x 时x x dy xy x dy y x f x f X 322)3(),()(222+=+==⎰⎰+∞∞- 当 10≥≤x x 或时，∵0),(=y x f ∴0)(=x f X⎪⎩⎪⎨⎧<<+=其它10322)(2x xx x f X（2） 当20<<y 时，3161)3(),()(12+=+==⎰⎰+∞∞-y dx xy x dx y x f y f Y 当y 为其它时，∵0),(=y x f ∴0)(=y f Y⎪⎩⎪⎨⎧<<+=其它0203161)(y y y f Y3－8 解：所包含的面积为 61)(112102=-=⎰⎰⎰dy x x dy dx S xxD ∴ ⎩⎨⎧∈=其它),(6),(D y x y x f（1）当10≤≤x 时，)(66),()(22x x dy dy y x f x f xxX -===⎰⎰+∞∞-当 x 为其它时，0)(=x f X∴⎩⎨⎧≤≤-=其它10)(6)(2x x x x f X（2）当10≤≤y 时，)(66),()(y y dx dx y x f y f yyY -===⎰⎰+∞∞-当y 为其它值时，0)(=y f Y∴⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其它10)(6)(y y y y f Y3－9 解：（1） 当10<<x 时，x dy dy y x f x f xxX 21),()(===⎰⎰-+∞∞-当 x 为其它时，0)(=x f X∴⎩⎨⎧<<=其它102)(x xx f X（2） 当1<<x y 时，y dx dx y x f y f yY -===⎰⎰+∞∞-11),()(1当y 为其它值时，0)(=y f Y∴⎩⎨⎧<<-=其它11)(x y yy f Y（3） ⎪⎩⎪⎨⎧<<-==其它111)(),()|(|x y y y f y x f y x f Y Y X⎪⎩⎪⎨⎧<<==其它01021)(),()|(|x xx f y x f x y f X X Y3－10 解：由归一性616),(1012=∴===⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-A Ady dx Axy dy dx y x f 当10<<x 时，x dy xy dy y x f x f X 26),()(102===⎰⎰+∞∞-当 x 为其它时，0)(=x f X∴⎩⎨⎧<<=其它102)(x xx f X同理，⎩⎨⎧<<=其它0103)(2y y y f Y⎩⎨⎧<<=⋅其它1,06)()(2y x xy y f x f Y X即 ),()()(y x f y f x f Y X =⋅，∴ X ，Y 相互独立。
概率论与数理统计(第二版-刘建亚)习题解答
习题解答——第一章1－1解：（1）C AB ；（2）ABC ；（3）C B A ；（4）C AB C B A BC A ； （5）C B A ；（6）C B A C B A C B A C B A 。
1－2解：（C )。
1－31－4（1）31333131211132()1313169A A n P A n 创====；（2）37()1()169P A P A =-=。
1－5 解：（1）()()()()()0.450.100.080.030.30P ABC P A P AB P AC P ABC =--+=--+= （2）()()()0.100.030.07P ABC P AB P ABC =-=-=（4）∵,,ABC ABC ABC 为互不相容事件，参照（2）有 （5）（6）()1()10.900.10P A B C P A B C =-=-=。
1－6解：设321,,A A A 为（1）、（2）、（3）的事件，由题意知（1）25131()C P A ==；（2）24231()C P A ==；（3）1145331()C C P A ´== 1－7（（（5)(A P =（5)(A P =1－8解：这是一个几何概率问题，设折断点为 所包含的区域如图，故28()142A P A m L ===。
1－9解：设{},{},{}A AA B Aa C aa ===。
1－10解：设A ＝{活到20岁}；B ＝{活到25岁}，()0.8,()0.4P A P B ==显然,A B ABA B B ?=，由题意得()()(|)0.5()()P AB P B P B A P A P A === 1－11解：设i A ＝{第i 次取到次品}，1,2,3i =。
由题意得 1－12解：设i A ＝{第i 人译出密码}，1,2,3i =。
由题意得 1－131－0,1,,)n ，由题意1－1个1－1－A 0，A 1，A 23由全概率公式 由贝叶斯公式 1－18解：设21,A A 分别表示甲、乙击中目标，由题意知12,A A 相互独立。
概率论与数理统计(第二版.刘建亚)习题解答——第四章
概率论与数理统计（第二版.刘建亚）习题解答——第四章4－1 解：()10.2520.430.240.150.05 2.3E X4－2 解： 由22()()[()]D X E X E X 得∵ D(X 1)<D(X2)，用甲法测定的精度高。
4－3 解：E(X)=0.3003，E(X 2)=0.4086，D(X)=0.3184，[D(X)]1/2=0.5643。
4－4 解：*()[()][()()]0()()()E X E E X E X E X E X D X D X D X2*222211()()[()]()[()]()1()()()D X E X E X E X EE X E X D X D X D X D X4－5 解：121221122221220022()()01()()11sin 1112sin (1cos )21()()[()]2E X xf x dx dx x E X x f x dx dxdxxx xt tdxt dxD XE X E X4－6 解：2220201()()021()[()](0)22222x x x x x x x E X xf x dx xe dx D X E X E X x e dx x e dx x exe dxxee dx ； 4－7 解：令 1a p a，则 111p a，1p ap；11111()()(1)(1)11(1)()(1)(1)111(1)1(1)11kk kk k k k k kk k aE X kP X k k k p p p p kp a a dd d p p p p p p p p p dpdp dp p d d p p p p dp p dp p21(1)(1)1p p p ap p22210121112112122221()()(1)[(1)]11(1)(1)(1)()(1)kk k k k k k k kk k k k kk aE X k P X k kp p kk k p a a dp pk k p kpp p pp kp dpd p p p a dp 22222223(1)12(1)22(1)1d p a p p dp pp p p aaa a p p22222()()[()]2D X E X E X a aa a a4－8 证明：设X 为连续型随机变量，其概率密度函数为)(x f 。
概率论与数理统计第二版_课后答案_科学出版社_参考答案_最新
习题2参考答案2.1 X 23456789101112P1/36 1/18 1/12 1/95/36 1/65/36 1/9 1/12 1/18 1/362.2解：根据1)(0==∑∞=k k X P ，得10=∑∞=-k kae，即1111=---eae 。
故 1-=e a2.3解：用X 表示甲在两次投篮中所投中的次数，X~B(2,0.7) 用Y 表示乙在两次投篮中所投中的次数, Y~B(2,0.4) (1) 两人投中的次数相同P{X=Y}= P{X=0,Y=0}+ P{X=1,Y=1} +P{X=2,Y=2}=11220202111120202222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.3124C C C C C C ⨯+⨯+⨯=(2)甲比乙投中的次数多P{X >Y}= P{X=1,Y=0}+ P{X=2,Y=0} +P{X=2,Y=1}=12211102200220112222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.5628C C C C C C ⨯+⨯+⨯=2.4解:（1）P{1≤X ≤3}= P{X=1}+ P{X=2}+ P{X=3}=12321515155++= (2) P{0.5<X<2.5}=P{X=1}+ P{X=2}=12115155+= 2.5解：（1）P{X=2,4,6,…}=246211112222k +++ =11[1()]1441314k k lim →∞-=-（2）P{X ≥3}=1―P{X <3}=1―P{X=1}- P{X=2}=1111244--=2.6解：设i A 表示第i 次取出的是次品，X 的所有可能取值为0，1，212341213124123{0}{}()(|)(|)(|)P X P A A A A P A P A A P A A A P A A A A ====18171615122019181719⨯⨯⨯= 1123412342341234{1}{}{}{}{}2181716182171618182161817162322019181720191817201918172019181795P X P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ==+++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= 12323{2}1{0}{1}1199595P X P X P X ==-=-==--=2.7解：(1)设X 表示4次独立试验中A 发生的次数，则X~B(4,0.4)34314044(3)(3)(4)0.40.60.40.60.1792P X P X P X C C ≥==+==+=(2)设Y 表示5次独立试验中A 发生的次数，则Y~B(5,0.4)345324150555(3)(3)(4)(5)0.40.60.40.60.40.60.31744P X P X P X P X C C C ≥==+=+==++=2.8 （1）X ～P(λ)=P(0.5×3)= P(1.5)0 1.51.5{0}0!P X e -=== 1.5e - （2）X ～P(λ)=P(0.5×4)= P(2)0122222{2}1{0}{1}1130!1!P X P X P X e e e ---≥=-=-==--=-2.9解：设应配备m 名设备维修人员。
概率论与数理统计第二版课后答案
第1章 随机变量及其概率1，写出下列试验的样本空间：（1） 连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果出现两次，记录投掷的次数。
（2） 连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果接连出现两次，记录投掷的次数。
（3） 连续投掷一枚硬币直至正面出现，观察正反面出现的情况。
（4） 抛一枚硬币，若出现H 则再抛一次；若出现T ，则再抛一颗骰子，观察出现的各种结果。
解：（1）}7,6,5,4,3,2{=S ；（2）},4,3,2{ =S ；（3）},,,,{ TTTH TTH TH H S =；（4）}6,5,4,3,2,1,,{T T T T T T HT HH S =。
2，设B A ,是两个事件，已知,125.0)(,5.0)(,25.0)(===AB P B P A P ，求)])([(),(),(),(______AB B A P AB P B A P B A P ⋃⋃。
解：625.0)()()()(=-+=⋃AB P B P A P B A P ，375.0)()(])[()(=-=-=AB P B P B A S P B A P ，875.0)(1)(___--=AB P AB P ，5.0)(625.0)])([()()])([()])([(___=-=⋃-⋃=-⋃=⋃AB P AB B A P B A P AB S B A P AB B A P3，在100，101，…，999这900个3位数中，任取一个3位数，求不包含数字1个概率。
解：在100，101，…，999这900个3位数中不包含数字1的3位数的个数为648998=⨯⨯，所以所求得概率为72.0900648=4，在仅由数字0，1，2，3，4，5组成且每个数字之多出现一次的全体三位数中，任取一个三位数。
（1）求该数是奇数的概率；（2）求该数大于330的概率。
解：仅由数字0，1，2，3，4，5组成且每个数字之多出现一次的全体三位数的个数有100455=⨯⨯个。
概率论与数理统计(第二版)课后答案
各章大体题详解习题一一、选择题1. （A ）A B A B B ⊂−−→=;（B ）B A A B A B B ⊂−−→⊂−−→=; （C ）AB A B A B B φ=−−→⊂−−→=;（D ）AB B A φ=−−→⊂ 不必然能推出A B B =（除非A B =）所以 选（D ）2. ()()()()()()()P A B P AB P AB P A P B P A P B -==--++ ()()()P A P B P AB =+-所以 选（C ）3. )()()()()()()()|(A P B P A P B P A P B P AB P B A P B A ≥−→−==−→−⊂所以 选（B ）4. 1)(0)()()()()(==−→−==B P A P B P A P AB P A P 或 所以 选（B ）5. （A ）若B A =，则φ=AB ，且φ==A A B A ，即B A ,不相容（B ）若φ≠⊃B A ，且Ω≠A ，则φ≠AB ，且φ≠=A B A ，即B A ,相容 （C ）若φφ≠=B A ,，则φ=AB ，且φ≠=B B A ，即B A ,相容 （D ）若φ≠AB ，不必然能推出φ=B A 所以 选（D ）6. （A ）若φ≠AB ，不必然能推出)()()(B P A P AB P =（B ）若1)(=A P ，且φ≠⊃B A ，则)()()()(B P A P B P AB P ==，即A,B 独立（C ）若φ=AB ，1)(0<<A P ,1)(0<<B P ，则)()()(B P A P AB P ≠ （D ）若1)(=A P ，则A 与任何事件都彼此独立 所以 选（B ）7. 射击n 次才命中k 次，即前1-n 次射击恰好命中1-k 次，且第n 次射击时命中目标，所以 选（C ）二、填空题8. C A C A C A A C A C A C A C A )())((= C C C C A A C C A C A C ==== ))(()()( 所以 C B =9. 共有44⨯种大体事件，向后两个邮筒投信有22⨯种大体事件，故所求概率为414422=⨯⨯ 10. 设事件A 表示两数之和大于21，则 样本空间}10,10|),{(<<<<=Ωy x y x ，}10,10,21|),{(<<<<>+=y x y x y x A 872121211=⋅⋅-==ΩS S P A 11. 由1.0)(,8.0)(=-=B A P A P ，得7.0)(=AB P ，故3.0)(=AB P 12. 由4.0)(,3.0)(,2.0)(===B A P B P A P ，得1.0)(=AB P ，故2.0)()()(=-=AB P B P A B P 13. 2.0)|()()(==A B P A P AB P ，故8.0)|()()(==B A P AB P B P14. )()()()()()()()(ABC P CA P BC P AB P C P B P A P C B A P +---++=)()()()()()()()()()()()(C P B P A P A P C P C P B P B P A P C P B P A P +---++=2719=15. 由于A,B 彼此独立，可得91)()()(==B P A P B A P ，)()(B A P B A P =，于是31)()(==B P A P ，故32)(=B P 三、计算题16.（1）)},,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,{(T T T H T T T H T H H T T T H H T H T H H H H H =Ω；（2）}3,2,1,0{=Ω；（3）}1|),{(22≤+=Ωy x y x ；（4）}5:0,5:1,5:2,5:3,5:4,4:5,3:5,2:5,1:5,0:5{=Ω 17.（1）C B A ； （2）)(C B A ； （3）C B A C B A C B A ； （4）AC BC AB ； （5）C B A ； （6）C B A ； （7）ABC18. 法一，由古典概率可知，所求概率为：2016420109⋅C ；法二，由伯努利定理可知，所求概率为：1644209.01.0⋅⋅C19. 只有唯一的一个六位数号码开能打开锁。
概率论第二版第3章习题答案讲解重点讲义资料
习题3.11.在10件产品中有2件一等品，7件二等品和1件次品.从这10件产品中任意抽取3件，用X表示其中的一等品数，Y表示其中的二等品数，求(X,Y) 的分布列.解X的可能取值为0，1, 2; Y的可能取值为0, 1, 2, 3,因此(X,Y)的可能取值为｛(i, j)：i =O,1,2; j =O,1,2,3｝，且有C； C121 C? 35P(X=0,Y=2) 一 , P(X=O,Y=3) -312Oc；P(X JY =1)=C i0C2C1C1l 匕,P(X=1,Y = 2)12OC oP(X =2,Y =0)=3C10 12OC2C2 42一C o -12O，c； c；7C o - 12O .1丄CCF云，pa2—P(X Y w 1)= ex y<1O ::x ::y1xdy d o2-y5. 设(X,Y)的密度函数为f(x，y) = {A o Xy O w x w4,O w y w■.x ；其它•，求：(1)常数A; (2) P{X < 1,Y < 1}.(1)由联合密度函数的性质__ __f(x, y)dxdy=1，有4 - x /口 3odxo AxgyN，得 A =323 3 1 v x 1 P(X w 1,Y w 1)xydxdy xdx ydy 二 x <；,y<132 32 ‘0 640W xW 4,0W yW . -x10. 袋中有2只白球和3只黑球，从中连取两次，每次取一只. 列随机变量:分别就有放回抽取和无放回抽取两种情形，求：（1） （X,Y ）的联合分布列；（2）两次摸到同样颜色球的概率.（1）有放回抽样：由事件的独立性条件得（X,Y ）的联合分布列为如下表两次摸到同样颜色球的概率为9413P （X =0,Y =0） P （X =1,Y =1）=25 25 25（2）无放回抽样：由乘法定理得（X,Y ）的联合分布列为64定义下X =0,第一次取到白球； 第一次取到丫 =八 0,第二次取到白球；第二次取到黑球.3 3 9P(X =0,Y =0)=5 5 252 36P(X =1,Y =0)=3 2 6 P(X =0,Y =1)= 5 5 25 2 2 4P(X =1,Y =1)=3 26P(X =0,Y =0)：5 420 2 36P(X = 1,Y = 0)：3 2 6 P(X =0,Y =1)二 54 202 1 2P(X =1,Y =1)=如下表两次摸到同样颜色球的概率为P(X =0,Y =0) P(X =1,Y =1^0.3 0.1 =0.4 .习题3.22.已知(X,Y)的联合分布函数为求: (1)边缘分布函数；(2)联合密度函数及边缘密度函数；(3)判断X 与Y 的 独立性.解 (1) F x (x)二 lim F(X , y) =1 -e 」,(x ■ 0)y —/hee'x y)dy =e 」 e_y dyf Y (y)二...f(x, y)dx 二 e'x y)dx =e* e 」dx = e~y ,(y 0)(3) 由于 f (x,y)二 f x (x)f Y (y)，所以 X,Y 相互独立.3. 一个盒子中有三只乒乓球，一只白色，两只黄色，现从袋中 有放回的任 取两次，每次取一只，以X ，Y 分别表示第一次、第二次取到球的颜色.求：(1) X 和Y 的联合分布列；(2) X 和Y 的边缘分布列；(3)判断X 和Y 的独立性.解定义下列随机变量：[1,第一次取到白球； 「1,第二次取到白球；XY =2,第一次取到黄球•2 ,第二次取到黄球•(1)在有放回取球条件下1 1 11 2 2P(X =1,Y =1)， P(X =1,Y =2)=3 3 9 3 3 9 2 1 22 2 4P(X =2,Y =1)， P(X =2,Y =2)=_(X -y )X ■ 0, y •0；即有(2) F Y W)巳i m ： F X (X )=FF(x,y) =1 -ej(y 0) ：：2F(X ,Y )f (x" “F Y (y)-；e*), XA O, y>0;0,其它•f x (x)二 f(x, y)dy --cO-bo-e —y y 0;y W 0.二 e 」,(x 0)F(x,y)e 03 3 9 3 3 9X 1 2 Y P1/32/3P(2)边缘分布列1/32/3(3)由于 P{X =i,丫二 j}二 P{X =i} P{Y 二 j}, i =1,2; j =1,2 ,所以 X,Y 相互 独立.5.随机变量(X,Y)在区域｛(x, y) | a ：： x ： b,c ： y ： d ｝上服从均匀分布，求(X,Y)的联合密度函数与边缘密度函数，判断随机变量X,Y 是否独立.解区域{匕，y )桃& b,c y 的|面积为S D =( b — a ( d — C 所以(X,Y)的联合密度函数f (x, y) W (b _a)(d _c)'丨0,a ：： x :: b, c ：： y ：： d;其它.X 和Y 的边缘密度函数■beddy ,(a ■■ xb) cb _a1 b 1f Y (y)r f(x,y)dx =(b_a)(d_c)a dx =?1；,(c V d)1 ,故 f X (x)=右 a *bC f Y (y)=岚,c y d•；[0, 其它•[ 0, 其它•由于 f(x,y)二 f x (x) f Y (y)，所以 X,Y 独立.8.甲、乙两人各自独立进行两次射击，命中率分别为 0.2, 0.5,求甲、乙命中次数X 与Y 的联合概率分布.解 依题意，X ~ b(2, 0. 2Y), b~ (2 据公式 P(X=R=C kp(1— P 可 算得X 和Y 的概率分布分别为(01 2)( 01 2、X ~, Y~.064 0.32 0.04,025 0.5 0.25,由X 和Y 的独立性可得X 和Y 的联合概率分布为习题3.31-丫 -2).(修改后的题)解 P(X -丫 乞丄)= f(x,y)dxdy2 LL 11 911=23xdx 0dy +丄3xdxx」dyr +荷晶m =mi n(X,Y)123P 0.44 0.34 0.14 0.08 ；M + m0 1 2 3 45 67P 0.044 0.1 0.175 0.29 0.227 0.11 0.046 0.008 (2)1. 5. 设随机变量(X,Y )的密度函数为 f(x,y) 3x , 0 ：： x ：1,0 ：： y x ;其它.(1)6. 设随机变量X 与Y 独立，它们的概率密度分别为0 _x “ 2y ， 0乞 y 「1其它.Y(y)= 0， 其它.(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)，且由题意，有I2x ，f x (x八 0,求 P (X Y <1).（修改后的题）解 因为X 与Y 独立，所以（X,Y ）的密度函数为工 4xy ， f (x,y)二 f x (x)f Y (y)二 0S°，0 _ x _1,0 _ y _1; 11- xP(X YEir .. f(x,y)dxdy = .0dx.0 4xydy 「°2x(1 - x)x4yg习题3.4e’x^y ）x > 0 y > 0， 2.设X 与丫的联合密度为f （x,y ）»e， 0,7u‘，求P （X<Y ）及10,其它•E （XY ）."boP(X :：Y) = e" y )dxdy = o e 」dx x 「e —y dyr 1 e dx e 2J0x(2) E(XY)二U U xyf (xy)dxdy 「° 一 o xye" y)dxdy 7 x ::xe dx_yye dy =1 . 4.设Y~E ⑴且Y w kY > k. （kT ，2），求：（1）X1与X o 的联合概率分布；(2) E(X 1 X o ).解(1) Y~ f (y)二y 0y 0.X 1Y;1，T0,鳥（X 1,X o ）有四个可能取值:P(X1 =0,X2 =0) = P(丫w 1,Y w 2) = P(Y w 1)= J；ebdy = 1—e_，P(X i =0,X 2 =1) = P(Y W 1,Y 2)=0,P(X “ =1,X 2 =0) = P (丫 1,Y W 2) = P(1：：Y W 2)= :e 」dy 二 -e ，, P(X i =1,X 2 =1) = P(Y>1,Y >2) = P(Y A 2)= .X i 与X 2的联合概率分布为故 E(X 1 X 2)=0 (1-e 」)1 (e —Le —f 2 e_ 2 e_ 牯一.解方法12 3 2 说说2 1 2 11E(X ) = . ：： ：.x f (x,y)dxdy = .02x dx ^dy 匕, 1 2 从而 D(X)二E(X 2)-[E(X)]2.同理，E(Y) ,D(Y)18 3 1 1 5 1E(XY) = ,02xdx 1^ydy , Cov(X ,Y) = E(XY) - E(X )E(Y)「忑， 12 36D(X Y) =D(X) D(Y) 2Cov(X,Y)二 118方法2114E(X Y) = ：： ：：(x y)f (xy)dxdy = ：0 dx z2(x y)dy =3 ,-be 2 1 1 211 E[(X +Y) ] = J J (x + y) f(xy)dxdy = [dx] 2(x + y)dy 0 1 -x1 D(X Y)二 E[(XY)2]-[E(X Y)]2(2) X 1 X 2的概率分布为(X 1 X 2)~1 -e —1J _2_2e5.设随机变量X 和Y 的联合分布在以点(0,1)、(1,0)、 (1,1)为顶点的三角 形区域D 上服从均匀分布，求随机变量U 二XY 的方差.I 2X 和Y的联合密度函数为f(x，yi 。
概率论与数理统计学1至7章课后答案
概率论与数理统计学1至7章课后答案(总14页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第二章作业题解:掷一颗匀称的骰子两次, 以X 表示前后两次出现的点数之和, 求X 的概率分布, 并验证其满足 式.解：由表格知并且，361)12()2(====X P X P ；362)11()3(====X P X P ；363)10()4(====X P X P ；364)9()5(====X P X P ；365)8()6(====X P X P ；366)7(==X P 。
即 36|7|6)(k k X P --== (k =2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12)设离散型随机变量的概率分布为,2,1,}{ ===-k ae k X P k 试确定常数a . 解：根据1)(0==∑∞=k k X P ，得10=∑∞=-k kae，即1111=---e ae 。
故 1-=e a甲、乙两人投篮时, 命中率分别为 和 , 今甲、乙各投篮两次, 求下列事件的概率：(1) 两人投中的次数相同; (2) 甲比乙投中的次数多. 解：分别用)2,1(,=i B A i i 表示甲乙第一、二次投中，则12121212()()0.7,()()0.3,()()0.4,()()0.6,P A P A P A P A P B P B P B P B ======== 两人两次都未投中的概率为：0324.06.06.03.03.0)(2121=⨯⨯⨯=B B A A P ， 两人各投中一次的概率为：2016.06.04.03.07.04)()()()(1221211212212121=⨯⨯⨯⨯=+++B B A A P B B A A P B B A A P B B A A P 两人各投中两次的概率为：0784.0)(2121=B B A A P 。
所以： （1）两人投中次数相同的概率为3124.00784.02016.00324.0=++ (2) 甲比乙投中的次数多的概率为：12121221121212121212()()()()()20.490.40.60.490.3620.210.360.5628P A A B B P A A B B P A A B B P A A B B P A A B B ++++=⨯⨯⨯+⨯+⨯⨯= 设离散型随机变量X 的概率分布为5,4,3,2,1,15}{===k kk X P ，求)31()1(≤≤X P )5.25.0()2(<<X P 解：(1)52153152151)31(=++=≤≤X P (2) )2()1()5.25.0(=+==<<X P X P X P 51152151=+= 设离散型随机变量X 的概率分布为,,3,2,1,21}{ ===k k X P k ，求 };6,4,2{)1( =X P }3{)2(≥X P解：31)21211(21212121}6,4,2{)1(422642=++⨯=++== X P41}2{}1{1}3{)2(==-=-=≥X P X P X P设事件A 在每次试验中发生的概率均为 , 当A 发生3 次或3 次以上时, 指示灯发出信号, 求下列事件的概率：(1) 进行4 次独立试验, 指示灯发出信号; (2) 进行5 次独立试验, 指示灯发出信号.解：(1))4()3()3(=+==≥X P X P X P1792.04.06.04.04334=+⨯=C(2) )5()4()3()3(=+=+==≥X P X P X P X P31744.04.06.04.06.04.054452335=+⨯+⨯=C C .某城市在长度为t (单位：小时) 的时间间隔内发生火灾的次数X 服从参数为 的泊松分布, 且与时间间隔的起点无关, 求下列事件的概率： (1) 某天中午12 时至下午15 时未发生火灾;(2) 某天中午12 时至下午16 时至少发生两次火灾. 解：(1) ()!kP X k e k λλ-==，由题意，0.53 1.5,0k λ=⨯==，所求事件的概率为1.5e -.(2) 0(2)110!1!P X e e e e λλλλλλλ----≥=--=--, 由题意，0.54 1.5λ=⨯=，所求事件的概率为213e --.为保证设备的正常运行, 必须配备一定数量的设备维修人员. 现有同类设备180 台, 且各台设备工作相互独立, 任一时刻发生故障的概率都是，假设一台设备的故障由一人进行修理,问至少应配备多少名修理人员, 才能保证设备发生故障后能得到及时修理的概率不小于解：设应配备m 名设备维修人员。
概率论与数理统计(第二版-刘建亚)习题解答——第2章
概率论与数理统计（刘建亚）习题解答——第二章2－1 解： 不能。
因为 12(1)(1)0.50;(2)()0.850i P X P X x =-=-<== å。
2－2 解：X 3 4 5 P1/103/106/102－3 解： 取法：45n C =，X 的取值：0，1，2，3。
所以4312415()(0,1,2,3)kkC C P X k k C -×===，分布列为X 0 1 2 3 P33/9144/9166/4554/4552－4 解：由概率的规范性性质 ()1P X k ==å，得：1111(1)()1;1(2)()1;12NNk k kk k a P X k a a N aP X k a a ==ゥ======\=====\=邋邋2－5 解：1212121131()(1,2,)4431(2)(1,2,)44131314()(2)4445114k n n k k P X k kP X n n P X P X n ---ゥ==骣÷ç==?÷ç÷ç桫骣÷ç==?÷ç÷ç桫骣÷ç=====?÷ç÷ç桫骣÷ç-÷ç÷ç桫邋 偶数2－6 解：X 23456789101112P 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/3611(4)(710)62P X P X ?＃=。
2－7 解：n 重贝努利试验，~(20,0.1)X B解法一： （1）331720(3)(1)0.1901P X C p p ==-=；（2）(3)1(2)1(0)(1)(2)0.3231P XP X P X P X P X ?-?-=-=-==；（3）最可能值：[(1)0.1]2kn =+?；(2)0.2852P X ==。
概率论与数理统计(第二版-刘建亚)习题解答——第1章
概率论与数理统计(第二版-刘建亚)习题解答——第1章概率论与数理统计（第二版.刘建亚）习题解答——第一章1－1解：（1）C AB ；（2）ABC ；（3）C B A ；（4）C AB C B A BC A ；（5）C B A ；（6）C B A C B A C B A C B A 。
1－2解：（1）A B Ì；（2）A B É；（3）A BC Ì；（4）A B C É()。
1－3解：1＋1＝2点，…，6＋6＝12点，共11种；样本空间的样本点数：n ＝6×6＝12， 和为2，{}1,1A =，1A n =，1()36A n P A n ==， ……和为6，{}1,5;2,4;3,3;4,2;5,1A =，5A n =，5()36A n P A n ==， 和为(2＋12)/2=7，{}1,6;2,5;3,4;4,3;5,2;6,1A =，6A n =，61()366A n P A n ===, 和为8，{}2,6;3,5;4,4;5,3;6,2A =，5A n =，5()36A n P A n ==， ……和为12，{}6,6A =，1A n =，1()36A n P A n ==， ∴ 出现7点的概率最大。
1－4解：只有n ＝133种取法，设事件A 为取到3张不同的牌，则313A n A ，（1）31333131211132()1313169A A n P A n 创====；（2）37()1()169P A P A =-=。
1－5解：（1）()()()()()0.450.100.080.030.30P ABC P A P AB P AC P ABC =--+=--+= （2）()()()0.100.030.07P ABC P AB P ABC =-=-= （3）∵ ,,ABC ABC ABC 为互不相容事件，参照（1）有()()()()()()()()()()()()()()()()()()()2[()()()]3()0.450.350.302(0.100.080.05)0.090.73P ABCABCABC P ABC P ABC P ABC P A P AB P AC P ABC P B P AB P BC P ABC P C P AC P BC P ABC P A P B P C P AB P BC P AC P ABC =++=--++--++--+=++-+++=++-+++= （4）∵ ,,ABC ABC ABC 为互不相容事件，参照（2）有()()()()()()()3()0.100.080.0530.030.14P ABC ABC ABC P ABC P ABC P ABC P AB P AC P BC P ABC =++=++-=++-?=（5）()()()()()()()3()0.450.350.300.100.080.0530.030.90P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =++---+=++---+?（6）()1()10.900.10P A B C P A B C =-=-=。
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概率论与数理统计（第二版.刘建亚）习题解答——第三章3－1 解： 3(12,35)(2,5)(1,5)(2,3)(1,3)128P X Y FF F F <??--+=3－2 解：3－3 解：3－4 解：X 的取值：3，4； Y 的取值：1，2。
所以43245(4,)(1,2)j jC C P X j Y j j C -=-===3－5 解： （1） 由归一性(34)34(,)112x y x y Af x y dxdy Aedxdy A edxe dy +?????-+---?====蝌蝌蝌 ∴ A ＝12（2） 当 0,0x y >>时 (34)34(,)(,)12(1)(1)x y x y u v x yF x y f u v dudv e dudv e e -+---?===--蝌蝌当 y x ,为其它时，(,)0F x y =∴ 34(1)(1)0,0(,)0x y e e x y F x y --ìï-->>ï=íïïî其它（3） 12(34)3800(01,02)12(1)(1)x y P X Y e dxdy e e -+--<??=--蝌3－6解：由分布函数的性质(,)l i m (a r c t a n )(a r c t a n )()()12322(,)l i m (a r c t a n )(a r c t a n )()(a r c t a n)02323(,)l i m (a r c t a n )(a r c t a n )(a r c t a n )()2322x y x y x y F A B C A B C x y yF y A B C A B C x y x F x A B C A B C p p p p? ?? ? +??++=++=-?++=-+=-?++=++= 三式联立解得 21,,22A B C p pp ===222222211(,)11632(,)(4)(9)1()1()23F x y f x y x y x y x y p p ¶==鬃= 抖++++ 3－7 解：1121121(1)(,)12xy xx y P X Y fx y dxdy e dxdy e e ----+ +?==+-蝌蝌3－8 解：（1） 当 01x <<时 22202()(,)()233X xy f x f x y dy x dy x x +-==+=+蝌当 01x x３或时，∵(,)0f x y =∴()0X f x =22201()30X x xx f x ìïï+<<ï=íïïïî其它（2） 当02y <<时，12011()(,)()363Y xy f y f x y dx x dx y +-==+=+蝌当y 为其它时，∵(,)0f x y =∴()0Y f y =1102()630Y y y f y ìïï+<<ï=íïïïî其它3－9 解：所包含的面积为 2112011()6x D xS dxdy x x dy =-=蝌∴ 6(,)(,)0x y Df x y ìÎïï=íïïî其它（1）当01x＃时，22()(,)66()xX xf x f x y dy dy x x +-===-蝌当 x 为其它时，()0X f x =∴26()01()0X x x x f x ìï-＃ï=íïïî其它（2）当01y＃时，()(,))Y yf y f x y dx dx y +-===蝌当y 为其它值时，()0Y f y =∴)01()0Y y y f y ìï＃ï=íïïî其它3－10 解：（1） 当01x <<时，()(,)12x X xf x f x y dy dy x +-?===蝌当 x 为其它时，()0X f x =∴201()0X x x f x ì<<ïï=íïïî其它（2） 当1y x <<时，1()(,)11Y yf y f x y dx dx y +-===-蝌当y 为其它值时，()0Y f y =∴11()0Y yy x f y ì-<<ïï=íïïî其它（3） |11(,)1(|)()0X Y Y y x f x y y f x y f y ìïï<<ï-==íïïïïî其它|101(,)(|)2()0Y X X x f x y f y x x f x ìïï<<ï==íïïïî其它3－11 略。
3－12 略。
3－13 解：由归一性1120(,)166Af x y dxdy Axy dxdy A +?-?===\=蝌蝌当01x <<时，120()(,)62X f x f x y dy xy dy x +-===蝌当 x 为其它时，()0X f x =∴201()0X xx f x ì<<ïï=íïïî其它同理，2301()0Y y y f y ìï<<ï=íïïî其它260,1()()X Y xy x y f x f y ìï<<ï?íïïî其它即 ()()(,)X Y f x f y f x y ?，∴ X ，Y 相互独立。
3－14解：X ，Y 的边缘分布分别为若X ，Y 相互独立，则P(X ＝i ，Y ＝j)＝P(X ＝i) P(Y ＝j)P(X ＝1，Y ＝2)＝P(X ＝1) P(Y ＝2) ⇒ 1/9=1/3(1/9+1/a) ⇒ a=9/2； P(X ＝1，Y ＝3)＝P(X ＝1) P(Y ＝3) ⇒ 1/18=1/3(1/18+1/b) ⇒ b=9。
X ，Y 的边缘分布分别为：因X ，Y 相互独立，则P(X ＝i|Y ＝1)＝P(X ＝i)所以 P(X ＝1|Y ＝1)＝P(X ＝1)＝1/3；P(X ＝2|Y ＝1)＝P(X ＝2)＝2/3。
3－15 解：（1）∵X ，Y 相互独立，∴()0,0(,)()()0x y X Y e x y f x y f x f y -+ìï>>ï=?íïïî其它；（2）∵X ，Y 相互独立，∴1110(1|0)(1)()1x X P X YP X f x dx e dx e ---?=?==-蝌3－17 略。
3－18 解：∵X ，Y 相互独立，∴()()()Z X Y f z f x f z x dx +-=-ò当0z ³时，3362011()(1)23z xz z x zZ f z e e dxe e -----=?-ò当0z <时，()0)Z f z =∴ 36(1)0()0z z Z e e z f z z --ìïïï- =íïï<ïî3－19 解： ()()()Z X Y f z f z y f y d y+-=-ò由已知条件 当 01zy ? 时，即1z yz -＃时，()0X f z y - ；当 0y >时，()0Y F y ¹ （1）当0z <时，由01zy ? 得0y z?∴ ()0Z f z =（2）当01z?时，由01z y ? 及0y >得0y z <∴ 0()1zy z Z f z e dy e --==-ò（3）当1z ³时，由01z y ? 得1z y z -<∴ (1)1()zy z z Z z f z e dy e e -----==-ò综上得(1)00()1011zZ z z z f z ez e e z ----ì<ïïïï=-?íïïï- ïî3－20 解：略。
当0x <时，()0X F x =； 当0x ³时，0()()1xx t x X XF x ft dt e dt e a a a ---===-蝌∴ 10()0x X e x F x x a -ìï- ï=íï<ïî同理，10()0y Y ey F y y b -ìï- ï=íï<ïî（1） 串联，寿命取决于最短的，min(,)Z X Y =当0z <时，min ()0F z =当0z ³时，[][]()min ()11()1()1z X Y F z F z F z e a b -+=---=-()min 10()0z e z F z z a b -+ìï- ï=íï<ïî()'min min()0()()0z e z f z F z z a b a b -+ìï+ ï==íï<ïî（2） 并联，寿命取决于最长的，max(,)Z X Y =，同理得max (1)(1)0()00z z e e z F z z a b --ìï-- ï=íï<ïî()'max max()0()()0z z z e e ez f z F z z a b a b a b a b ---+ìï+-+ ï==íï<ïî。