概率论与数理统计(第二版-刘建亚)习题解答——第3章

概率论与数理统计（第二版.刘建亚）习题解答——第三章

3－1 解： 3

(12,35)(2,5)

(1,5)(2,3)(1,3)

128

P X Y F

F F F

--+=

3－2 解：

3－3 解：

3－4 解：

X 的取值：3，4； Y 的取值：1，2。所以

4324

5(4,)(1,2)j j

C C P X j Y j j C -=-==

=

3－5 解： （1） 由归一性

(34

)

3

4

(,)112

x y x y A

f x y dxdy Ae

dxdy A e

dx

e dy +?

?

?

?

?

-+---?

=

==

=蝌

蝌

蝌 ∴ A ＝12

（2） 当 0,0x y >>时 (34)3

4

(,)(,)12(1)(1)x y x y u v x y

F x y f u v dudv e dudv e e -+--

-?

=

==--蝌

蝌

当 y x ,为其它时，(,)0F x y =

∴ 34(1)(1)0,0(,)0

x y e e x y F x y --ìï-->>ï=í

ïïî其它

（3） 1

2(34)380

0(01,02)

12(1)(1)x y P X Y e dxdy e e -+--

3－6

解：由分布函数的性质

(,)

l i m (

a r c t a n )(

a r c t a n )()()12

322

(,)l i m (

a r c t a n )(a r c t a n )()(a r c t a n

)02323

(,)l i m (a r c t a n )(a r c t a n )(a r c t a n )(

)

2322

x y x y x y F A B C A B C x y y

F y A B C A B C x y x F x A B C A B C p p p p

? ?

? ? +??

++=++=-?++=-+=-?++=++= 三式联立解得 21,,22

A B C p p

p ===

2

222

2

2211

(,)11632(,)(4)(9)1()1()23

F x y f x y x y x y x y p p ¶==鬃= 抖++++ 3－7 解：

1

12

11

2

1

(1)(,)12x

y x

x y P X Y f

x y dxdy e dxdy e e --

--+ +?=

=+-

蝌蝌

3－8 解：

（1） 当 01x <<时 2220

2()(,)()233

X xy f x f x y dy x dy x x +

-

=

=

+

=+蝌

当 01x x

３或时，∵(,)0f x y =∴()0X f x =

22201()30

X x x

x f x ìïï+<<ï=í

ïïïî其它

（2） 当02y <<时，120

11

()(,)()363

Y xy f y f x y dx x dx y +

-

=

=

+

=+蝌

当y 为其它时，∵(,)0f x y =∴()0Y f y =

1102()6

30Y y y f y ìïï+

<<ï=íïïïî其它

3－9 解：所包含的面积为 2

1

1

20

1

1()6

x D x

S dxdy x x dy =

-=蝌

∴ 6

(,)(,)0x y D

f x y ìÎïï=í

ïïî其它

（1）当01x

＃时，2

2

()(,)66()x

X x

f x f x y dy dy x x +

-

=

=

=-蝌

当 x 为其它时，()0X f x =

∴26()01()0

X x x x f x ìï-＃ï=í

ïïî其它

（2）当01y

＃时，()(,))Y y

f y f x y dx dx y +

-

=

==蝌

当y 为其它值时，()0Y f y =

∴)

01

()0

Y y y f y ìï＃ï=í

ïïî其它

3－10 解：

（1） 当01x <<时，()(,)12x X x

f x f x y dy dy x +

-?

=

=

=蝌