回归分析的初步应用教案示例

选修1-2。

第一章、统计案例
1、1回归分析的基本思想及其初步应用（第1课时）
一、教学内容分析
高中新课程中增加了有关统计学初步的内容，先后出现在必修3和选修1-2（文科）、选修2-3（理科）。

《数学3》中的“统计”一章，给出了运用统计的方法解决问题的思路。

在这一章中，学习了如何画散点图、利用最小二乘法的思想,利用计算器求回归直线方程、利用回归直线方程进行预报等内容。

本节课内容回归分析的基本思想及其初步应用, 是一种分析整理数据的方法，是在学习了必修三统计的基础上，通过实例的解决让学生进一步让学生经历数据处理的过程，体会统计方法的特点，认识统计方法的应用。

同时让学生了解在大量的实际问题中，两个变量不一定都呈线性相关关系，他们可能呈指数关系或对数关系等非线性关系，本课时就是学习如何建立线性回归模型，在此的基础上，探索如何建立非线性关系的回归模型。

二、目标及目标分析
知识与技能
1．通过对典型案例的探究，进一步了解回归的基本思想，方法及初步应用．
2.能根据散点分布特点，建立不同的回归模型。

3.知道有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型。

过程与方法
1. 让学生经历数据处理的过程，体会统计方法的特点，认识统计方法的应用。

2．通过将非线性模型转化为线性回归模型，使学生体会“转化”的思想。

3．培养学生的应用意识和解决实际问题的能力。

情感、态度与价值观
1.通过寻求有效的数据处理方法，开阔学生的思路，培养学生的探索精神和转化能力。

2.通过案例的分析，使学生了解回归分析在生活实际中的应用，增强数学“取之生活，用于生活”的意识，提高学习兴趣。

三、教学重点、难点
重点：线性回归模型的建立和线性回归系数的最佳估计值的探求方法．通过探
究使学生体会有些非线性模型运用等量变换、对数变换可以转化为线性回归模型。

难点：相关性检验及回归分析基本思想的理解与应用，“对变量作适当的变换（等量变换、对数变换）”，变非线性为线性，建立线性回归模型。

四、教学方法：问题探究，动手操作 五、教学过程设计 环节一：创设情境
问题1：你能回忆一下建立回归模型的基本步骤吗？
回归分析的基本步骤：
(1) 画出两个变量的散点图。

(2) 求回归直线方程。

实例1.课本第3页习题1.1第一题
据统计1993年到2002年中国的国内生产总值（GDP ）的数据如下（参看课本） 探究1：请结合以上数据，猜想他们的关系是什么？
探究2：你选择了什么样的回归模型？根据自己得到的模型，预报2003年的（GDP ）？
环节二．学生活动 由学生思考，讨论交流。

（1）选择变量，画散点图。

（2）通过计算器求得线性回归方程。

（3）给出于2003年的预报值，．
问题2：预报设值一定是实际值吗？误差是多少？
问题3：你认为你得到的模型能较好的刻画GDP 和年份的关系吗？
环节三．建构数学模型
1．由学生解决的过程提出的问题，引入线性回归模型：
我们将Y=bx+a+e 称为线性回归模型．解释变量x ，预报变量y ，e 称为随机
ˆˆˆ
y bx a =+()()n i i x X y Y --∑
误差。

其中a+bx 是确定性函数， ε 是随机误差 注：ε 产生的主要原因：
(1)所用确定性函数不恰当； (2)忽略了某些因素的影响； (3)观测误差。

2．线性回归模型应考虑的问题：
模型是否合理； 在合理的情况下，如何求a,b 3．线性回归方程： （1） 相关系数r
：()()
n
n
i
i
i i
x x y y x y nx y
r ---=
=
∑∑
相关系数的性质： r ≤１,r>0 正相关，r<0 负相关； r 越接近１，x,y 的线性相关程度越强；r 越接近于０，x,y 的线性相关程度越弱．
()()
()()()()()()()
()2
2
2
1
2
1
2ˆˆˆ5ˆ17i n
i i n i
y y
y y
y y ---=-
-∑∑∑∑n
i 1
i i i n
i 12总偏差平方和 : y
3残差 e
=y -y 4残差平方和 y 回归平方和 = 总偏差平方和 - 残差平方和6回归效果的相关指数R 残差分析通过残差判断模型拟合效果判断原始数据是否存在可疑数据
环节四：深入探究
问题4：结合以上公式探究，进一步阐述问题3的解决。

实例2：课本第9页例2. 背景介绍：
红铃虫喜高温高湿，适宜各虫态发育的温度为 25一32C ，相对湿度为80％一100％，低于 20C 和高于35C 卵不能孵化，相对湿度60％ 以下成虫不产卵。

冬季月平均气温低于一4．8 ℃时，红铃虫就不能越冬而被冻死。

(1)试建立y与x之间的回归方程；并预测温度为28o C时产卵数目。

(2)你所建立的模型中温度在多大程度上解释了产卵数的变化？
探究：给出数据，让学生分析两个变量的关系。

类比前面所学过的建立线性回归模型的步骤，动手实施
方案1：（1）选择变量，画散点图。

（2）通过计算器求得线性回归方程:=19.87x-463.73
（3）进行回归分析和预测：R2=r2≈0.8642=0.7464
预测当气温为28 时，产卵数为92个。

这个线性回归模型中温度解释了74.64%产卵数的变化。

思考1：随着自变量的增加，因变量也随之增加，气温为28 时，估计产卵数应该低于66个，但是从推算的结果来看92个比66个却多了26个，是什么原因造成的呢？
引导学生分析结果，发现问题。

让学生检查结果，联系实际发现问题。

通过比较，发现接近于指数关系，也像二次函数关系。

通过计算机拟合，直观判断所选模型。

鼓励学生继续探索。

方案2：（1）找到变量t=x 2，将y=bx2+a转化成y=bt+a；
（2）利用计算器计算出y和t的线性回归方程：y=0.367t-202.54
（3）转换回y和x的模型：
y=0.367x2 -202.54
（4）计算相关指数R2≈0.802这个回归模型中温度解释了80.2%产卵数的变化。

预测：当气温为28 时，产卵数为85个。

思考2：比66还多19个，是否还有更适合的模型呢？
思考3：如果选用指数模型，是否也能转换成线性模型，如何转化？
（1）利用对数降幂法（教师可启发学生思考“幂指数中的自变量如何转化为自变量的一次幂？”可引导学生回忆对数的运算性质以及指对数关系。

）。

（2）在计算中发现只有以10或e 为底，才能直接运用计算器。

方案3：（1）作变换z=lgy ，将
转化成z=c2x+lgc1（线性模型）。

（2）利用计算器计算出z 和x 的线性回归方程： z=0.118x-1.672 （3）转换回y 和x 的模型：
（4）计算相关指数R2≈0.985这个回归模型中温度解释了98.5%产卵数
的变化。

预测：当气温为28 时，产卵数为4 2个。

问题5：比较例2的三个模型，哪个能更好的刻画红铃虫的产卵数y 和温度x 的关系？
可引导学生从散点图、相关指数两种方法进行比较。

进行比较后获得指数模型更好。

练习：选修1-2：P13 3 环节五：归纳小结
1. 建立回归模型的基本步骤：1、2、3、4、5、（课本第9页） 2．当选用非线性回归模型时，如何建立模型？ 3.如何比较不同模型的拟合效果？ 环节六：课后作业
1. 查阅有关资料了解我国2008，2009年的国内生产值，分析由回归方程计算结果产生误差的原因，预测2010年国内生产值。

2. 就自己感兴趣的问题，利用学过的有关统计知识，写一篇关于预测、决策的文章。

（如股市、房价、大学生就业等等社会热点问题）
974.0)()ˆ(12
1
22
=---
=∑∑=y y
y
y
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ˆˆ-=。