矩阵分析考试试卷(7份)

1 1 0 七． （24 分） 设 A 0 1 0 。 （1）求 E A 的 Smith 标准 2 2 1
形； （2） 写出 A 的最小多项式， A 的初等因子和 Jordan 标准形； （ 3 ）求相似变换矩阵 P 使得 P 1 AP J ； （ 4 ）求 P 1 矩阵函数
北 京 交 通 大 学
2004-2005 学年第一学期硕士研究生矩阵分析考试试卷(A)
专业
题号 得分
一． （12 分） R[ x]3 表示由次数小于 3 的多项式组成的线性空间。在
班级
一 二 三 四
学号
五 六
姓名
七 总分
R[ x]3 中 取 两 个 基 ： 1 1, 2 x 1, 3 ( x 1) 2 ；
V1 Span 1 , 2 , 3 , 4 ， V2 Span 5 , 6 ，
（1）求矩阵 A 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 的满秩分解； （2）求 V1 V2 的维数及基; （3）求 V1 V2 的维数及基.
2 0 二.（14 分）求矩阵 A 2 0 0 0 0 2 的正交三角分解. 4 4 0 2
1 3i 0 i 2 4 三.（14 分）设 A C ，计算 A 1 , A 2 , A , A F . 2 i 1 i
四．证明题（共 24 分，每小题各 8 分） ：
2 2 2 3 2 2 和 2 3 相似. 1．证明：两矩阵 2 2
（1）求 E A 的 Smith 标准形（写出主要步骤） ； （2）写出 A 的最小多项式， A 的初等因子和 Jordan 标准 J ； （3）求相似变换矩阵 P 使得 P 1 AP J ； （4）求 P 1 及函数 f ( A) ，并计算 e tA .
北 京 交 通 大 学
2005-2006 学年第一学期硕士研究生矩阵分析考试试卷(A)
（1） 求 T 在基 II 下的矩阵表示； （2） 求 T 1 在基 I 下的坐标。
5
二． （14 分） 设 R[ x]4 是由次数小于等于 3 的所有实系数多项式组成的线 性空间， R[ x]4 中的线性映射 T 满足：对任意
f ( x) a0 a1 x a2 x 2 a3 x 3 R[ x]4 ， Tf ( x) (a0 a1 ) (a1 a2 ) x (a2 a3 ) x 2 (a3 a0 ) x3 ，
4
2．设 A 是正定 Hermite 矩阵， B 是反 Hermite 矩阵，证明 A B 是可逆 矩阵. 3. 设 x C n ，证明向量的无穷范数公式为： x

max x j .
1 j n
2 0 0 五． （24 分） 设 A 1 0 1 ， 5 1 2
是酉矩阵， R 是正线上三角矩阵。
六． （16 分，1、2 小题各 5 分， 3 小题 6 分）证明题： 1． 设 A 是 n 阶正规矩阵， 且满足 A2 2 E 0 。 证明 A 是反 Hermite 矩阵，并写出 A 的 Jordan 标准形的形式。 2．证明正定与半正定矩阵之和是正定矩阵。 3．证明：若 A 是反对称矩阵，则 e A 是正交矩阵。
求 T 的核 N (T ) 及值域 R(T ) 的基和维数。
i 2 3 三． （12 分）设 A 。计算 A 1 , A 2 , A , A F 。 1 0 i
0 1 1 1 1 四． （10 分）求矩阵 A 0 2 2 2 6 的满秩分解。 0 1 1 2 3 0 0 2 五． （12 分）求矩阵 A 3 4 1 的三角正交分解 A RU ，其 1 2 2
北 京 交 通 大 学
2004-2005 学年第一学期硕士研究生矩阵分析考试试卷(B)
专业
题号 得分
一． （12 分）设 R 3 两个： 1 (1, 0,1)T , 2 (1, 0, 0)T , 3 (0,1,1)T ；
班级
一 二 三 四
学号
五 六
姓名
七 总分
1 (0, 1,1)T , 2 (1, 1, 0)T , 3 (1, 0,1)T 。 （ 1 ） 求 1 , 2, 3到
计算 Ax 1 , Ax , A 1 , A 。
1 1 2 1 0 1 四． （10 分）求矩阵 A 3 2 1 0 1 1 3 0 的满秩分解。 6 3
1
0 1 1 五． （12 分）求矩阵 A 1 1 0 的正交三角分解 A UR ，其中 U 1 0 1
T 3
)4
求的核 N (T ) 及值域 R(T ) 的基和维数。
2 1 0 三． （12 分）设 A 0 2 3 。计算 A 1 , A 2 , A 。 1 2 0 1 3 2 1 4 四． （10 分）求矩阵 A 2 6 1 0 7 的满秩分解。 3 9 3 1 11 1 0 2 五． （12 分）求矩阵 A 1 1 0 的正交三角分解 A UR ，其中 U 1 2 3
专业
题号 得分
一． （ 12 分 ） 设 三 维 线 性 空 间 V 的 两 个 基 为 I : 1 ,2 ,3和
班级
一 二 三 四
学号
五 六
姓名
七 总分
II : 1 , 2 , ， 已知由
1 0 1 I 到 II 的过度矩阵为 A 0 1 0 ， V 中的线性映射 T 满足 1 0 1 T (1 2 2 3 3 ) 1 2 1 2 2 3 ) 2 ， T ( 2 3 T ( 3ຫໍສະໝຸດ Baidu 4 ) 1 2 3 1 3
1 0 0 七． （24 分） 设 A 0 1 1 。 （1）求 E A 的 Smith 标准形； 1 0 1
（2） 写出 A 的最小多项式， A 的初等因子和 Jordan 标准形； （3） 求相似变换矩阵 P 使得 P 1 AP J ； （4）求 P 1 矩阵函数 f ( A) ， 并计算 e tA 。
1 2, 2 x 2, 3 ( x 2)2 。 （1） 求 1 , 2 , 3 到 1 , 2 , 3 的过度
矩阵， （2） 求 1 x x 2 在 1 , 2 , 3 下的坐标。 二． （14 分）设 T 是 Rn 的线性映射，对任意 x ( x1 , x2 ,
北 京 交 通 大 学
2005-2006 学年第一学期硕士研究生矩阵分析考试试卷(B)
专业
题号 得分
一． （ 12 分 ） 设
班级
一 二 三 四
学号
五 六
姓名
七 总分
R3
的
两
个
基
为 和
I : 1 (1,1,1)T , 2 (1,0,1)T , 3 (1,0,1)T II : 1 (1,2,1)T , 2 (2,3,4)T , 3 (3,4,5)T ，
中 U 是酉矩阵， R 是正线下三角矩阵。 六． （20 分）证明题： 1． 设 A 是 n 阶正规矩阵，证明 A 是反 Hermite 矩阵的充要条件是 A 的特征值为纯虚数。 2．设 A 是 Hermite 矩阵，证明： （1） e iA 是酉矩阵； （2） | e A | etrA 。
n 维欧氏空间 V 的线性变换 T 是反对称变换， 3． 证明： 即对任何 x, y V ，
, xn )T R n 满足
Tx (0, x1 ,
R(T ) 的
（1）证明 T n 0 ； （2）求 T 的核 N (T ) 及值域 , xn1 ) 。
基和维数。
1 i 1 0 2 2 三． （12 分）设 A 3 i 5 1 i 0 ， x ， i 1 。 0 2 i 2 4 i
3
f ( A) ，并计算 e tA 。
北 京 交 通 大 学 2005-2006 学年第二学期硕士研究生《矩阵分析》考试试卷(A) 任课教师： 老师 专业 题号 一 二 三 得分 一．（共 24 分，每小题 8 分）设 R 5 空间中的向量 学号 四 姓名 六 七
五
总分
1 0 1 1 1 2 0 1 3 2 3 2 1 2 ， 2 2 ， 3 0 ， 4 2 ， 5 0 ， 6 4 ， 1 1 2 3 1 4 2 1 2 3 3 5
（2） 求子空间 V ，其中 V 中的向量在两 1 , 2 , 3 的过度矩阵， 个基下的坐标相同。
2
二． （14 分）设线性映射 T : R 4 R 3 满足：对任意 ( x1 , x2 , x3 , x4 )T R 4 ，
T ( x1 ,x 2 x , 3x,
T 4
) x( 1x 2 x x , x 2 x 2x ,x x 3 x 4 1 4 1 x 23
是酉矩阵， R 是正线上三角矩阵。 六． （16 分，1、2 小题各 5 分， 3 小题 6 分）证明题： 1 ． 设 A 是 n 阶正规矩阵，且满足 A2 3 A 2 E 0 。证明 A 是 Hermite 矩阵，并写出 A 的 Jordan 标准形的形式。 2．设 A 是正定 Hermite 矩阵，且 A 是酉矩阵，证明 A E 。 3．证明：若 A 是 Hermite 矩阵，则 e iA 是酉矩阵。
（2） 求基 I 到基 II 的过度矩阵； （2） 求 (1,1,1)T 在基 I 下的 坐标。 二． （14 分）设线性影射 T : R 4 R 3 满足，对任意 ( x1 , x2 , x3 , x4 )T R 4 ，
T ( x1 , x2 , x3 , x4 )T ( x1 x2 x3 x4 , x1 2 x2 x4 , x1 x2 3x3 x4 )T ，
求 T 的核 N (T ) 及值域 R(T ) 的基和维数。
0 2 i 三． （12 分）设 A 5 i 0 ， （1）计算 A 1 和 A ； （2）如果 2 i 1
x (1,1,1)T ，
计算 Ax 1 和 Ax 。
1 1 0 1 0 四． （10 分）求矩阵 A 0 1 1 1 1 的满秩分解。 2 3 1 3 1
(T x, y ) ( x , T y)
的充要条件是 T 在标准正交基下的矩阵表示是反对称拒阵。
1 2 6 七． （20 分） 设 A 1 0 3 。 （1）求 E A 的 Smith 标准形； 1 1 4
6
（2） 写出 A 的最小多项式， A 的初等因子和 Jordan 标准形； （3） 求矩阵函数 f ( A) ，并计算 e tA 。