3灰色模型GM(1,N)及其应用

2§ 3 灰色模型GM(1,N)及其应用

客观系统无论本征非灰，还是本征灰，一般都存在能量吸收、储存、释放等过程，加之生成数列一般都有较强的指数变化趋势，所以灰色系统理论指出用离散的随机数，经过生成变为随机性被显著削减的较有规律的生成数，这样便可以对变化过程做较长时间的描述，进而建立微分方程形式的模型。建模的实质是建立微分方程的系数。

设有N个数列

X i(0)(X i(0)(1),X(0)(2), ,X i(0)(n)) i 1,2, ,N

对X i(0)做累加生成，得到生成数列

2 n

X i(1)(X i(0)(1), X i(0)(m), , X(0)(m))

m 1 m 1

(X i⑴(1), X i⑴(1) X i(0)(2), ,X i(1)(n 1) X i(0)(n)) i 1,2, ,N

我们将数列X i⑴的时刻k 1,2,小看作连续的变量t，而将数列X i(1)转而看成时间t的函

数X i(1)X i(1)(t)。如果数列X21),X31), ,X N1)对X1(1)的变化率产生影响，则可建立白化式微分

方程

⑴

dX

1 (1) (1) (1) (1)

aX 1 b1 X 2 b2 X 3 b N 1X N( 1)

dt

这个微分方程模型记为GM( 1,N )。

方程(1)的参数列记为(a,b1,b2, b N 1)T，再设Y N(X1(0)(2),X1(0)(3), ,X；0)(n))T，将方程(1)按差分法离散，可得到线性方程组，形如

Y N B ?

按照最小二乘法，有

求出？后，微分方程(1)便确定了。

若n 1 N，则方程组(2)的方程个数少于未知数的个数，此时，B T B是奇异矩阵，我们(2)

(3)

? (B T B) 1B T Y N

其中，利用两点滑动平均的思想，最终可得矩阵

1 (1)

-(X1( )(1) 2X1(1)(2))(1)

X 2(2)X N1)(2)

1 (1)

B 2(X；)⑵X1(1)(3))⑴

X

2

(3)X N1)(3)

T(X1(1)( n 1)X1(1)( n))(1)

X

2(n)X

N1)( n)

的元素实际上是各子因素无法利用(3)式得到？，我们称这时的信息为贫信息。考虑到向量

对母因素影响大小的反映，因此，引入矩阵M对T做加权极小化。对未来发展趋势减弱的子

因素加以较大的权，对有发展潜力的子因素加以较小的权，这样做可把未来的可能情形也考虑进来，使之更好地反映未来的实际情况。具体地，令

M diag( 1, 2, , N)

其中，若X i对X i的影响有减弱的趋势，贝y i相应较大；反之，若X i对X i的影响有增加的趋势,

则i相应较小。此时，计算向量

? M 1B T(BM 1B T)1Y N

年度19811982198319841985

工业总产值X 13101333656373905153165231

发电量X 21712817735172271863220343

未来受教育职工X 31074812213138531519617979

物耗X 41786519549215842934936117

技术水平X 50.9680.9850.945 1.091 1.183

滞销积累量X62086522834264402857333588

待业人数X 71514916247202263145934603

由于本问题的未知数有7个，而i 1,2,3,4,5,故不能按式(3)建立GM (1,7)模型，而必须按贫信息方法(4)式估计？。按这种方法最终得到GM (1,7)模型(过程略)为

(1)

—10.66XJ 246X)1)0.91X3°2.5XJ 3.6 10 5x5°2.08X『8.5 1O2x7°

dt

从上式易知，X2、X4前的系数大，表明发电量和物耗对系统影响大；X3、X6是阻碍系统发

展的因素；X5、X 7无论是阻碍还是促进系统的发展，其作用皆不明显。