初中竞赛数学绝对值与二次根式

第二讲 绝对值与二次根式【基础知识】 一、绝对值1、绝对值代数定义：(0)||0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩一个正数的绝对值是它本身； 一个负数的绝对值是它的相反数； 0的绝对值是0。

有时也可以记为：(0)(___0)||(0)(___0)a a a a a a a a a ≥⎧⎧=⎨⎨-<-⎩⎩或者 2、绝对值几何定义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离，记作|a|.如：|-2|表示-2的点到原点的距离；|x|则是在数轴上表示x 的点到原点的距离。

那么|x-1|表示在数轴上(x-1)的点到原点的距离.显然绝对值是非负数，即||0a ≥ 3、绝对值的基本性质：(1)任何一个数的绝对值一定是非负数，即 |a|≥0；(2)若干个非负数的和为零，则每个非负数为零；|a|+|b|+|c|=0，则a=0且b=0且c=0 (3)互为相反数的绝对值相等，即|a|=|-a|(4)任何一个数的绝对值都大于或等于它本身，即|a|≥ a ；|x||-2||x-1|1O-1-2x-1x(5)任何一个数都有唯一的绝对值； (6)绝对值最小的数是零；(7)两个互为相反数的数的绝对值相等，即 |a|=|-a|；(8)绝对值为某一正数的数有两个，它们互为相反数。

绝对值为零的数只有一个零；(9)若两个数的绝对值相等，则这两个数相等或互为相反数.即||||0a b a b a b =⇒=+=或二、二次根式1、二次根式的定义：式子(0)a a ≥叫做二次根式。

2、二次根式的性质： (1)2(0)||(0)a a a a a a≥⎧==⎨-<⎩ (2)0a ≥(3)2()(0)a a a =≥ (4)(0,0)ab ab a b =≥≥；(0,0)a a a b b b=≥> (5)0a b a b >⇔>≥ 【典型例题】 一、化简求值例1计算下列各式的值:①|3|π-；②02(1sin 60)-；③2|1|x x -+;解: ①∵3<π,即3-π<0,∴|3|π-=π-3;②02(1sin 60)-=033|1sin 60||1|122-=-=-.③22131()44x x x x -+=-++213()024x =-+> 所以22|1|1x x x x -+=-+注: ①化简主要是去绝对值符号, 要去绝对值符号,就得讨论绝对值里面的数或式是正还是负.②对于含有字母的代数式不一定要分类讨论,二次三项式往往采用“配方法”来判断是不是一个非负数. “配方法”是一种重要的数学方法. 例2 化简2||2x x +-解:当x<0时, 2||2x x +-=22x x -- 当x>0时, 2||2x x +-=22x x +-所以2222(0)||22(0)x x x x x x x x ⎧--<+-=⎨+-≥⎩注:x 的符号可“+”可“-”，还可以为“0”，因此，应该对x 进行分类讨论；最后应该有小结，就是把两种结果写在一起，使书写规范.例3 化简222692144x x x x x x +++-++-+解:原式=222(3)(1)(2)x x x +++--|3||1||2|x x x =++-+-以下利用零点区间讨论法,显然零值点有-3，1，2三点. 当x ≤-3时,原式=(-x-3)+(1-x)+(2-x)=-3x 当-3<x ≤1时, 原式=(x+3)+(1-x)+(2-x)=-x+6当1<x ≤2时, 原式=(x+3)+(x-1)+(2-x)=x+4 当x>2时, 原式=(x+3)+(x-1)+(x-2)=3x综上所述，原式= 3(3)6(31)4(12)3(2)x x x x x x x x -≤-⎧⎪-+-<≤⎪⎨+<≤⎪⎪>⎩注: 零点区间讨论法是一种重要的数学方法.例4 化简 ||x-1|-2|+|x+1|解:先找零点：|1|01 |1|201|1|01x xx xx x-==⎧⎧⎪⎪--=⇒=-⎨⎨⎪⎪+==-⎩⎩或3所以零值点有－1，1，3三点，因此，我们应将数轴分成4部分．当x<-1时，原式=|-(x-1)-2|+[-(x+1)]=|-x-1|-x-1=-x-1-x-1=-2x-2当-1≤x≤1时,原式=|-(x-1)-2|+x+1=|-x-1|+x+1=x+1+x+1=2x+2 当1≤ｘ＜3时，原式=||x-1|-2|+x+1=|x-3|+ x+1=3-x+x+1=4当ｘ≥3时，原式=|x-1-2|+x+1=|x-3|+x+1=x-3+x+1=2x-2综上所述，原式＝22(1) 22(11) 4(13) 22(3)x xx xxx x--<-⎧⎪+-≤<⎪⎨≤<⎪⎪-≥⎩注: ①本题条件没有给出绝对值符号内的代数式的正负性，应采用零点区间讨论法．须注意的是本题含双重绝对值，应注意考虑||x-1|-2|的零点．②“分类讨论”是一种非常重要的数学思想, 绝对值问题经常采用这种数学思想.二、条件化简求值例5 化简2(3)|4|(34) x x x-+-<<解：因为3<x<4,所以x-3>0,x-4<0,所以原式= x-3+4-x=1.例6已知x＜-3，化简：|3+|2-|1+x|||．解 :原式=｜3+｜2+(1+x)|| (因为1+x＜0)=｜3+｜3+x||=｜3-(3+x)｜ (因为3+x＜0)=｜-x｜=-x．注: ①这是一个含有多层绝对值符号的问题，可从里往外一层一层地去绝对值符号；②充分利用已知条件,是解决例5例6的关键,正确运用绝对值的概念是解决例5例6根本.例7 已知有理数a ，b ，c 在数轴上的对应点如图1-1所示，化简｜b-a ｜+｜a+c ｜+｜c-b ｜.解：观察数轴得：a<0,b<0,c>0且|a|>|b|>|c|, 所以b-a>0,a+c<0,c-b>0 故｜b-a ｜+｜a+c ｜+｜c-b ｜ =(b-a)+(-a-c)+(c-b) =-2a注:解决本题充分利用了“数”与“形”的结合.“数形结合”又是数学中的重要数学思想. 例8 已知24|34|0:x x y x y -+-+=，求值.解:由非负数的意义得:2402:1:13402x x x y x y y -==⎧⎧⇒⇒=⎨⎨-+==⎩⎩.例9 已知212005|1|04x y x ++-+=，求2008200520052y x +⨯的值. 解: 212005|1|04x y x ++-+=20051()2005|1|02x y ⇒-++= 10210x y ⎧-=⎪⇒⎨⎪+=⎩ 121x y ⎧=⎪⇒⎨⎪=-⎩20082005200520082005200512(1)2()1122y x ⇒+⨯=-+⨯=+=注:非负数的和为0，那么每个非负数都应为0，你能证明吗？初中常见的非负数有哪些？例10 方程|||1|0xy x y +-+=的图象是（ ）（A ）三条直线：x=0，y=0，x-y+1=0 （B ）两条直线： x=0，x-y+1=0 （C ）一点和一条直线：(0,0)，x-y+1=0 （D ）两个点：(0,1)，(-1,0)Ob ac解:由已知，根据非负数的性质，得010xy x y =⎧⎨-+=⎩即010x x y =⎧⎨-+=⎩或010y x y =⎧⎨-+=⎩解之得：01x y =⎧⎨=⎩或10x y =-⎧⎨=⎩故原方程的图象为两个点：(0,1)，(-1,0).注:利用非负数的性质，可以将绝对值符号去掉，从而将问题转化为其它的问题来解决.例11 实数a 满足||01a a a +=≠-，， 那么||1|1|a a -=+ .解:由||01a a a +=≠-，， 可得 0a ≤且1a ≠- 当1a <- 时，||111|1|(1)a a a a ---==+-+；当10a -<≤ 时，||111|1|1a a a a ---==-++.所以1(1)||11(10)|1|a a a a <-⎧-=⎨--<≤+⎩ 注: ①有的题目中，含绝对值的代数式不能直接确定其符号，这就要求分情况对字母涉及的可能取值进行讨论.②若|a|=a ，则a 0；若|a|=-a,则a 0；如果2(2)2x x -=-，则x 0.③在解决有关数学问题时，经常采用“逆向思维”. 三、求最大（小）值例12 式子|1||2||3|x x x ++-+-的最小值是_________。

解：由x+1=0，x-2=0，x-3=0 可确定零点为 -1、2、3. 当x<-1 时，原式=-3x+4>-3×(-1)+4=8 ； 当-1≤x<2 时，原式=-6x>-2+7=4 ； 当2≤x<3 时，原式=x+2≥2+2=4 ；当x ≥3 时，原式=3x-4≥3×3-4=5综上所述，原式=348(1)64(12)24(23)345(3)x x x x x x x x -+><-⎧⎪->-≤<⎪⎨+≥≤<⎪⎪-≥≥⎩从而所求最小值为4。

注：运用此法解决含字母代数式绝对值化简方法是：（1）先求代数式零点，把数轴分为若干区间；（2）判定各区间内代数式的正负号；（3）依据绝对值的定义，去掉绝对值符号。

例13 在式子|1||2||3||4|x x x x +++++++ 中，由不同的x 值代入，得到对应的值。

在这些对应值中，最小的值是（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4解：问题可变化为：在数轴上有四点A 、B 、C 、D ，其对应的值分别是-1、-2，-3、-4，求一点P ，使PA+PB+PC+PD 最小（如图）。

-1-2-3-4DCBA由于PA+PD 是当P 点在线段AD 上取得最小值3，PB+PC 是当P 在线段BC 上取得最小值1，故PA+PB+PC+PD 的最小值是4。

选D 。

注：本题如果采用“零点区间讨论法”将非常麻烦。

由于借助图形，巧妙地把问题在图形中表示出来，形象直观，便于思考，从而达到快捷解题之目的.体现了利用“数形结合”思想能够使某些问题快捷顺利解决。

例14 已知|x|≤1，|y|≤1，且ｋ=|ｘ+ｙ|+|ｙ+1|+｜2ｙ-ｘ-4｜，求ｋ的最大值与最小值的和．：根据绝对值的几何意义，由已知|x|≤1，|y|≤1，得-1≤x ≤1，-1≤y ≤1， 故得到y+1≥0，|y+1|=y+1，-2≤2y ≤2，-3≤2y-x ≤3， 有2y-x-4<0，｜2y-x-4｜=4+x-2y ． x+y 的正负不明确，需讨论．当x+y ≤0时，k= -(x+y)+y+1+4+x-2y=5-2y ． ∵-1≤y ≤1，∴3≤k ≤7．当x+y ≥0时，k=（x+y ）+y+1+4+x-2y=2x+5．-1≤x ≤1，∴3≤k ≤7．即k 的最大值为7，最小值为3，它们的和为10．四、解方程（组）例15 解方程：||1|1|x x +=- 解: ||1|1|x x +=-0011111111x x x x x x x x x <≤≤>⎧⎧⎧⇔⎨⎨⎨-=--=+-=+⎩⎩⎩或或 001111011x x x x x x x x <≤≤>⎧⎧⎧⇔⎨⎨⎨-=-=-=+⎩⎩⎩或或 00x x ⇔<=或0x ⇔≤所以原方程的解为一切非正数.例16 解方程组|1||5|4(1)5|1|(2)x y y x -+-=⎧⎨=+-⎩ 解：由（2），|1|05|1|5x y x -≥=+-≥，即，∴|5|5y y -=-从而原方程组可变为: |1|90(3)|1|50(4)x y x y -+-=⎧⎨--+=⎩ (3)+(4)得|1|4x -= 解得1235x x =-=， 代入(2)得9y = ∴方程组的解为：39x y =-⎧⎨=⎩或59x y =⎧⎨=⎩注:利用|1|0x -≥得|5|5y y -=-是使本题简化的关键. 例17 若关于x 方程||200802008ax x --=只有负数解，则实数a 的取值范围是 解 :因为方程只有负数解，故x<0,即|x|=-x ，原方程可化为： 200802008ax x ---=，∴ (1)20082008ax +=-， 即102008a+>,所以2008a >- 例18 已知方程|x|＝ax+1有一负根而没有正根，求ａ的取值范围． 解:若x 为方程的负根，则 -x ＝ax+1，即(a+1)x=-1,显然ａ≠-1(否则方程无解)， 故101x a =-<+ 所以ａ>-1 ① 若x 为方程的正根，则 x=ax+1． 同理，有a<1．②要使原方程有一负根而没有正根，必须ａ满足①而不满足②，因此ａ≥1．注: “有一负根而没有正根”与“有一负根”是不同的.。