四色定理证明(王)
四色定理数学证明过程
四色定理数学证明过程“四色定理”是指，由Kempe于1879年提出，即任意一个地图只需要四种颜色来涂色，就可以保证相邻区域颜色不同。
在过去的几十年中，数学家一直在努力寻找证明“四色定理”的正确方法。
在1976年，法国数学家A. Appel和W. Haken终于证明了“四色定理”的正确性。
本文将分享一下“四色定理数学证明”的过程。
证明“四色定理”的方法是“规约法”。
即将“涂色问题”转化为一些计算机可以处理的图论问题，然后通过算法求解。
步骤一：将“涂色问题”转化为图论问题首先要把“涂色问题”转化为一些计算机可以处理的图论问题。
通过数学家Halstead的研究，人们发现只需要涂四种颜色的是那些“好”的地图，将其进行编码，最终将地图还原成图。
这里的“好”的地图指的是那些没有的海岸线被其它地图穿过的地图。
步骤二：将“图论问题”转化为无矛盾的有限数学问题其次，将图论问题转化为有限的概率问题。
通过构建一个叫做“网格图”的数据结构，将图论问题通过计算概率，可以变成一个有限的数学问题。
然后通过数学的力量，我们可以证明这个数学问题是有解的。
这个证明过程中涉及到多项式定理、双射、图的对称性等。
步骤三：验证证明的正确性最后，通过计算机程序验证证明的正确性，确保其结果无误。
这个过程还涉及到超过1200页的论文撰写和审核，以及超过100万行的计算机程序代码，所有的证明过程都由计算机来完成。
总结作为一个数学难题，“四色定理”的证明让人们深入感受到数学的魅力。
它不仅仅让我们了解到了数学的应用价值，而且让人们更好地理解了数学这个学科本身的精或。
通过“规约法”，我们成功将这个看似无从下手的问题转化为计算机可处理的图论问题，最终证明了“四色定理”的正确性，为人类解决了一个具有重要实际意义的问题。
四色定理的初等证明
探索四色定理的数学证法一四色定理每幅㊣ (正规地图。
公认的定义见附图注)至多需要四种色能使相邻国着不同色。
它从1852年问世至今尚未获得数学证明。
二定理定义引理肯普定理：每幅㊣至少有一国有两、三、四或五个邻国，无每一国都大于五个邻国的情形。
按此，㊣可分为二构形、…、☆(五构形)四种情形。
定义：1-对各种构形，称邻国数最少的国家为构形国。
2-（可）约定㊣所有国家连成一片内部无空区域，则称内部和外部的界线（简单闭曲线）为㊣边界。
3-国B一段边界或一点在㊣边界上，则称B为边沿国。
4-一些国家包围了其它国家，则称这些国家形成的环为圈。
引理1：☆的国家数的集W＝｛12,14,15，…,n,…｝。
证：构造无穷多“四圈”☆。
类似图1的☆，内外圈各一国，中间两圈上取数列6，7，…，m，…（m≥6）⑴中的同一项，得国家数由大于12的偶数组成数列14，…,2（m+1）,…⑵；虚线将P分成两国，得国家数由大于13的奇数组成数列15，…，2m+3,…⑶。
合并数列⑵⑶及12得到所有☆的国家数的集W=｛12,14,15，…,n,…｝。
易验证1—13中仅12有☆。
除12外W中每个n所对应☆不同结构的个数复杂程度无论如何，皆视为由“四圈”☆演变而成。
引理2：任意☆中存在构形国不是边沿国。
证：假设命题不成立，则有一个☆G，使得构形国都是边沿国。
因平面地图与球面地图等价，故可使G的以边沿国形成的圈T在球面上并把球面分成对称的两部分。
令每部分被T包围的国家S对称地布满，示意如图2。
由此知T上每一国的邻国数（原来不一定都是五）都大于七，其余国家的邻国数都大于五，就得到一幅（STS）每一国的邻国数都大于五的㊣。
与肯普定理矛盾，故G不存在。
即任意☆中存在构形国不是边沿国。
引理3：在n≥15的☆中，若包围构形国Q的每个邻国与Q只有一条共同边界，Q 的邻国两两相邻的组数是五，这五个邻国中存在邻国数大于五的国家，则□（四色定理成立）。
证：若☆每一国的邻国数都是五，由欧拉公式知n=12。
四色定理的证明范文
四色定理的证明范文一、四色问题的简介根据网络上的一些内容，可知：四色猜想是说，任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。
也就是说，在不引起混淆的情况下，一张地图只需四种颜色来标记就行。
用数学语言来说就是，将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用1234这四个数字之一来标记而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。
简单来说也就是，给平面或球面上的任意一张地图上色，使得相邻国家异色，那么至少需要预备几种颜料几种颜色？是否可以只预备四种颜色？在长期的论证过程中，人们发现，大量的试涂表明，四种颜色够用。
人们证明，三种颜色是不够用的，五种颜色肯定够用，四种颜色也够用（计算机证明）。
人们还证明，二维平面内无法构造五个或五个以上两两相邻区域。
在四色问题中假设相邻关系是指两个国家有一段或多段共同边界，是指有邻边，不是指有邻点。
假设没有公地，所有国家都直接接壤（分别相邻），或者间接接壤（分别相连）。
假设没有飞地，国土连通。
飞地相当于任意指定一些他国属于国，则四色肯定不够用了。
假设国家的面积都足够大，不是一丁点、一个点。
假设国家的数量有限，不是无限多。
假设国家的形状任意。
这可以是五花八门，变化莫测，花样繁多，譬如像麋鹿的剪影：在四色问题中需要考虑任意地带的上下方面的相邻情况，左右方面的相邻情况，内外方面的相邻情况，首尾衔接（例如圆周中）的相邻情况，跨越跳跃（例如国形状像拱桥、麋鹿、藤蔓、交际花，与诸多位置的国家们接壤）着的相邻情况，等等。
需要考虑各国的排序，需要考虑上色的顺序。
因为许多国家相邻相连，交织交错，来来往往，层层叠叠，那么从多个方向来上色的话，齐头并进来上色的话，就会互相遭遇、碰头，在交汇点上可能发生冲突，难以协调、确定国的颜色，使得问题复杂，影响证明的进行。
二、四色定理的证明一个平面或球面上的点是无限小、无限多，或者是足够小、非常多。
令这些点各自随机选择红黄蓝三色的一种，再做布朗运动。
四色定理的简短证明
四色定理的简短证明四色定理的简短证明虽然我们用计算机证明了四色定理，但正如汤米·R·延森和比雅尼·托夫特在《图染色问题》一书中问的：“是否存在四色定理的一个简短证明，……使得一个合格的数学家能在（比如说）两个星期里验证其正确性呢？”四色定理是一个著名的数学定理：如果在平面上划出一些邻接的有限区域，那么可以用四种颜色来给这些区域染色，使得每两个邻接区域染的颜色都不一样；另一个通俗的说法是：每个地图都可以用不多于四种颜色来染色，而且没有两个邻接的区域颜色相同。
进入20世纪以来，科学家们对四色猜想的证明基本上是按照肯普的想法在进行。
自从引入“构形”，“可约”概念后，逐步发展了检查构形以决定是否可约的一些标准方法，能够寻求可约构形的不可避免组，是证明“四色问题”的重要依据20世纪80-90年代中国曾邦哲从系统论观点（结构论）将其命题转换为“四色定理”等价于“互邻面最大的多面体是四面体”的问题，也就是点之间相互的联线超过3的是立体，而每增加一个点或表面时必然分割一条线或一个面，也就使分割开的不互邻面或联线可以重复使用一种颜色；因此，增加一个面同时也增加一次可重复使用同一种颜色。
拓扑学的概念来定义拓扑学拓扑学如果在平面上划出一些邻接的有限区域，那么可以用四种颜色来给这些区域染色，使得每两个邻接区域染的颜色都不一样；：每个地图都可以用不多于四种颜色来染色，而且没有两个邻接的区域颜色相同。
;x大于1为偶数的时候，y=2.四色定理成立的公式为，y定，表示所需的颜色总数，y表示任何一个国家与之接壤的国家个数x与需要颜色y的关系，y定=y+1.y最大值为3，所以y定最大值是4.以上如果正确，或许对于数学的进步也是一种阻碍。
以上的论证，我自己都感到过于简单，并且没有用到拓扑学，对于是否能够证明四色定理，欢迎大家的参与。
2013年12月31日16:59:41吴兴广参考文献:[1]四色定理百度百科【2】《数学公式1+1=1/2的成立》小马吃鱼。
四色定理的理论证明
个顶点看作一个顶点，得到与<b-ii>中讨论相
同的情形，因而这种情况下 G 是 4－可着色的。
因此我们剩下的问题是着相同颜色的二顶点
不挨着的情况。
不妨假设，按逆时针方向绕着 v 的顶点是
(图二)
v1 v2 v3 v4 v5，其中 v1 v3 着相同颜色 c1 ，v2 着 色 c2， v4 着色 c3，v5 着色 c4。（图二）
(3) 由图<4>知：v 1∈extC2，v 4∈intC2，圈 C2 由颜色 c2 c4 着其顶点（v 无 色除外）。因为 v1 v4 着色 c1 c 3，用 c1 c 3 着色的顶点产生子图 H9，所以 v1 v4 必然属于 H9 的不同分支。同样，v3∈intC2，v1 v3 属于 H9 的不同分支。 在 v1 所在的分支上交换颜色 c1 c3，而不影响 G－v 的正常着色。使 v1 着 色 c3。同样，v3∈extC1，v5∈intC1。用 c1 c4 着色的顶点产生子图 H10，H10 包含 v3 v5，因为圈 C1 由色 c2 c3 着其顶点（v 无色除外），所以 v3 v5 属于 H10 的不同分支，在 v3 所在的分支上交换色 c1 c4，而不影响 G－v 的正常 着色，使 v3 着色 c4。这样，我们使 v1 v4 着色 c3，v2 着色 c2，v3 v5 着色 c4， 余下的色 c1 给 v 着色。这样，对于情形<4>我们再次得到 G 的一个 4－着 色法。
着色，我们来证明存在 4－着色法，使得 G 可 4-着色。
a). 如果和 v 邻接的顶点上所使用的颜色少于 4 种，那么只要用余下的任一
种颜色给 v 着色，便可以得到 G 的一个 4-可着色法。
b). 与 v 邻接的顶点着满 4 种颜色，因为有 deg(v) ≤5，所以存在与 v 邻接
四色定理的简单证明
四色定理的简单证明虽然现在已经有不少人用不同方法证明出了四色定理，但我认为四色定理的证明还是有点复杂,所以给出以下证明。
（注：图形与图形的位置关系可分为相离、包含、内向接、内向切、外向接、外向切，在此文中由于题意关系不妨重新分为以下关系：1 把包含、内向接、内向切，统一划分为包含关系。
2 把外向接单独划分为相接关系。
3把相离、外相切统一划分为相离关系。
）此证明过程中把图的组合形式按照其位置关系而抽离出了以下四种基本有效模式：1 若要存在只需用一种颜色便能彼此区分开来的地图，则该图中所有图形必定满足彼此相离。
如下图：图（1）分析：这是最简单的一种图形关系模式暂且称为模式a。
2 若要存在只需用两种颜色便能彼此区分开来的地图，则该图中的所有图形必定满足最多只存在两个图形的两两相交的图形。
各种有效图形关系如下图：图（2）分析：两个图形的两两相交的所有图形关系均可变形而得出等价的以上两种图形关系模式之一。
由于图（1）存在包含关系，被包含的图形是对外部无影响的，所以图（1）仍属于模式a。
所以两个图形的两两相交只有图（2）的相交关系模式的图形有效的，我们暂且称之为模式b。
3 若要存在只需用三种颜色便能彼此区分开来的地图，则给图中所有图形必定满足最多只存在三个图形的两两相交图形。
各种有效图形关系如下图：图（3）分析：三个图形的两两相交的所有图形关系均可变形而得出等价的以上两种图形关系模式之一。
由于图（2）属于存在包含关系，同理整体回归于模式a。
所以三个图形的两两相交只有图（1）的相接关系模式的图形是有效图形模式，我们暂且称之为模式c。
4 若要存在只需用四种颜色便能彼此区分开来的地图，则给图中所有图形必定满足最多只存在四个图形的两两相交图形。
各种有效图形关系如下图：图（4）分析：四个图形的两两相交的所有图形关系均可变形而得出等价的以上两种图形关系。
由于图（2）属于存在包含关系，同理可得出整体也就回归于图形模式a。
四色猜想的证明
四色猜想的证明四色猜想的内容是：如果把地图上有共同边界的国家涂成不同颜色，那么只需要4种颜色就足够了。
要证明四色猜想，首先需要定义一些新的概念：1、国家的表示法——点由于该猜想的内容中不涉及与国家形状有关的问题，而只涉及国与国之间的相邻关系，因此任何一个国家都用点来表示。
2、相邻与不相邻在叙述时，用符号“=”表示相邻，用“#”表示不相邻，如果用图示法表示相邻与不相邻则要复杂一些，先看下图：(a)(b) (c)图1在图1（a）与（b）中，分别用了直线和曲线连接两个国家A和B，表示国家A与B相邻，为了简便起见，这里只用直线表示相邻，图1（c）中是已知A与B相邻，叫你判断C 与D能否相邻，连接CD、CD与AB相交，相交是否就是不相邻呢？我们先看一组图:图2图2是把图进行等分后的结果，从三等分开始，如果每一份代表一个国家，这表示等分后的所有国家相聚于一点，从四等分后的国家A 、B、C、D可知，如果国家之间点的接触算是相邻，则A与B，C与D都为相邻，显然这时的A与B，C与D是交叉相邻，与图1（c）中的情况相同,此时A与B，C与D的交点表示接触点。
若点的接触不算相邻，那么连接A与B的直线可以看作一道墙，在这中间不能有任何直线通过。
因此，由于C与D的连线与AB相交，据此判断出C与D不能相邻。
但是当相邻用曲线进行表示，C与D却能够相邻，这是否说明用直线表示相邻有问题呢？当然不是，仔细分析就可以发现，用曲线表示相邻同样不能有相交的情况出现，因此，用直线表示相邻时，适当移动C或D的位置就可以使C与D相邻。
3、完全相邻这是一个关键问题，可以这么说，没有这一概念的证明都是伪证明，现在给出完全相邻的定义：在一个面上（可以是平面也可以是曲面）给定N个国家，如果这N个国家两相邻，那么我们就称这N个国家完全相邻。
由于1个国家没有相邻关系，因此上面的N要求要大于1。
如果是3个国家完全相邻，它们的相邻关系为：（这三个国家分别设为1、2、3）1=2，1=3，2=3有了以上这些概念之后，就有了证明四色猜想的基础。
四色定理证明
四色定理证明
四色定理的内容是:在平面内任意分割区块，只用四种颜色就能保证所有相邻的区块不同色。
证明：
设有五种不同的颜色，把它们看作5个点，连实线代表两颜色相邻，连虚线代表两颜色不相邻，所以不可能有两个实线交叉。
如果这五个点两两连实线并且无交叉（总假设），则四色定理不成立。
下面来证明这种情况不可能发生：
方法/步骤
1
我们先看三个点的情况：
2
此时，添加第四个点D有两个情况：三角里面或三角外面。
观察发现，两个图的本质是一样的。
3
再添加第五个点E，也是大三角形内外两种情况，但发现无论如何会有一条虚线，
所以，总假设不成立，即四色定理成立。
数学中的四色定理证明
数学中的四色定理证明在数学中，有一项非常著名的命题被称为四色定理。
这项命题的内容是：对于任何一个平面图，只要它的区域数（包括无限远处的区域）不超过四个，那么就可以用四种不同的颜色给每一个区域都染色，使得相邻的区域颜色不同。
这个定理虽然看起来很简单，但是却极其难以证明。
在 1852 年，英国的一位数学家 Francis Guthrie 发现了这个定理，并向他的教授请教。
几十年过去，当 Guthrie 的教授告诉他已经找到了一个反例时，这个猜想被否定了。
但是至今为止，对于四色定理到底成不成立，数学家们仍然没有得到完全的证明。
在 1976 年，Kempe 发表了一篇文章，声称他已经证明了四色定理。
但随后，一位来自伯明翰大学的数学家 A.K. 阿普尔比汀对他的证明中的一个错误进行了纠正。
这个错误的发现一方面表明了四色定理确实非常难以证明，另一方面也启发了其他数学家，让他们继续尝试寻找证明的方法。
经过长达100 多年的探求，直到1976 年才被证明成立。
当时，国际上的四名著名数学家通过使用现代计算机技术，给出了一个完美的证明。
这个证明是非常复杂和深奥的，令人不得不惊叹于人类智慧的力量。
笔者在此不打算深入讨论这个证明的细节，而是从另一个角度出发，来理解四色定理的意义。
首先，四色定理告诉我们，即使是看似很简单的问题，也可能存在着极其复杂的答案。
如果我们不去深入研究、探求，很容易会得出错误的结论。
这也是为什么很多人随便就能口胡一些东西，却很难真正去理解和掌握某一项学问的基本原理。
其次，通过四色定理的证明，我们也可以看到人类智慧和科技的力量。
在过去，证明这个定理是极其困难的，但现在，我们可以依靠计算机技术，借助各种数学方法，从最细微的角度去找到证明。
最后，四色定理的证明也告诉我们一个很重要的思想：无论遇到多么困难和棘手的问题，我们都应该尝试着去解决它。
这需要勇气、毅力和耐心，同时也需要一些创新和发明。
正是因为几名著名数学家的努力，四色定理的证明才能变成现实。
4色定理的证明
4色定理的证明：对（连通的简单）平面图（记为G）的结点数n进行归纳。
当n=1时，结论当然成立。
假设当n=k(k是自然数)时结论成立，当n=k+1时：根据（连通的简单）平面图的性质，必存在一个结点，设为v，其度（记为d(v)）<=5。
1、当d(v)<4时，图G除去结点v得到的子图，记为G-{v}，根据归纳法假定，结论成立。
而结点v可以用4种颜色中的某一种进行着色，故结论成立。
2、当d(v)=4时，图G除去结点v得到的子图，记为G-{v}，根据归纳法假定，结论成立。
设与结点v相联的结点依此为v1,v2,v3,v4，其着色各不相同，依此为c1,c2,c3,c4（着色若有相同，则结点v就可以用4种颜色中的某一种进行着色），如图1所示。
现在来证明结点v可以用4种颜色中的某一种进行着色。
从结点v1出发，构造可达结点集，其结点的着色只有2种，c1和c3交替出现，依此为c1,c3,c1,c3,c1,c3,c1,c3，……。
若该结点集不包含结点v3，则结点v3就可以用c1进行着色，而不影响其他结点的着色，那么，结点v就可以用c3进行着色。
若该结点集包含结点v3，则从结点v2出发，构造可达结点集，其结点的着色只有2种，c2和c4交替出现，依此为c2,c4,c2,c4,c2,c4,c2,c4，……。
则该结点集不可能包含结点v4（否则，就不是平面图了），那么，结点v4就可以用c2进行着色，那么，结点v就可以用c4进行着色。
3、当d(v)=5时，图G除去结点v得到的子图，记为G-{v}，根据归纳法假定，结论成立。
设与结点v相联的结点依此为v1,v2,v3,v4,v5，且只有2个结点的着色相同（若有2个以上结点的着色相同，则结点v就可以用4种颜色中的某一种进行着色），着色相同的结点对的物理位置有相邻和相隔2种情况：（1）相邻。
与结点v相联的结点的着色依此为c1,c1,c2,c3,c4，如图2所示。
现在来证明结点v可以用4种颜色中的某一种进行着色。
四色问题的证明
四色问题的简单证明一共识1证明任意地图能不能只用四种颜色就可以填满整个地图，我们可以转换为另一个同等的命题：就是地图上不存在有五个区域相互接触，最多可能有四块区域相互接触。
2地图分为有空白地图和无空白地图。
有空白地图意思是地图的一些区域不需要填色，而无空白地图就是指地图的每一个区域都要求上色。
二先证明以下三点命题1一区域要与另一区域接触，那么这一区域的周边要留下空白。
（定理一）证：如下若A要与另一个区域接触的话，那么A的周边必须留有空白。
若A周边没有空白，而又能与另一块区域接触，这是不可能的。
2一张无空白地图存在M块区域，对于原有n块无间隙区域，必然有在原有区域的基础上有n+1块区域（n-1<=M）它们之间无间隙。
（定理二）证；地图上有k块区域无间隙，那么必然有k+1块区域无间隙。
若有k块区域无间隙，不存在k+1块区域无间隙，除了原来的k块区域外，每一个区域都与这k块区域所组成的图形有间隙。
就是说每一块图形与k块图形有间隙，那么k块区域的周边必然存在间隙，就是地图有间隙（有空白区域）。
矛盾。
所以命题成立。
3若无空白的地图的四色问题成立，那么有空白的地图的四色问题也成立。
（定理三）证：对于任意的有空白的地图，我们可以对应地建立无空白的地图，然后把无空白的地图填满颜色，再根据原地图除去相应区域的颜色即可。
三主体证明。
（1）首先我们在无空白地图上选取一个区域为研究对象。
如下图（2）由定理二得一定存在一个B 与A 无间隙接触，并为了A B 都能与另一区域接触依据定理一AB 周边要留有空白，所以有：这是两区域依照定理一二得到AB的唯一的关系即至少需要两种颜色（3）依据定理二我们在AB 的基础上处在C 使得ABC 之间无间隙， 又因为定理一要ABC 周边留下空白。
舍去c 只与A 或B 接触的即得这是在定理一二下的ABC 互相接触的唯一一种关系（4）在（3）的基础上研究由定理二我们是知道必然存在D 与ABC 无间隙的接触因为要得到四色，那么必须D 与ABC 同时接触，不然没有意义。
四色定理
结论：
将平面图的不相连点使其相连（这样 增加着色难度），形成有许多三角形相连 的平面图，根据三角形的稳定性，利用数 学归纳法，平面图进行着色最多需４种颜 色。
在平面图中，不在同一直线上的三点决定一个平面， 那么三点构成的三角形是平面图中最基本、最简单、最 稳定、密闭的图形。 由于在对地图着色过程中不考虑图的具体形状只考 虑点是否相邻，将平面图的不相连点使其相连（这样增 加着色难度），形成有许多三角形相连的平面图（三点 以下肯定成立）。如图1：添加辅助线（不相邻的点使 其相邻，这样就增加了着色的色数，有利于证明），将 图1分解为４个△ABC。
四色定理
许多同学都知到排列组合把， 也应该应该都做过这个着色问题 吧： 用4种不同的顏色去涂右边这 个脸谱，每区域一色，同一种顏 色可重复使用，但相邻区域不可 同色，则有多少种涂法4× 3× 2× 1× 1× 3× 3
四色問題
任何一张平面地图， 如果相邻的两个国家， 必须涂上不同的顏色以 便划清边界，则至多只 要四种顏色就搞定了， 不管这张地图有多麼奇 特复杂。
公开徵答
1878年，英国数学家 将上述问题曝光取名為「四色猜想」， 公开徵求解答。 问题一传出后，马上就有了回应。1879年和1880年， 和 分 别发表论文证明了四色问题。轰动一时的热度终於平息。不料事 隔11年后，一个名叫 的年轻人指出了 证明中的错误，并利用 的 方法证明出若用5 种顏色就保证一定能区分出地图上相邻的区域。 虽然四色问题未被破解，但是至此算是迈出了一大步。而另一方 面， 的论文亦被陆陆续续发现多处错误，甚至最后一个错误是 一直到1946年才被发现的。从这裡我们可看出这些人的研究精 神是多麼可敬，被发现错误的东西并未被弃之如敝屣般丢在一旁， 仍旧不断有人去研究它，甚至是在事隔半个多世纪之后。 尽管如此，这篇论文仍然起着巨大的作用。
关于“四色问题”的证明
关于“四色问题”的证明“四色问题”是世界数学史上一个非常著名的证明难题，它要求证明在平面地图上只要用四种颜色就能使任何复杂形状的各块相邻区域之间颜色不会重复，也就是说相互之间都有交界的区域最多只能有四块。
一百五十多年来有许多数学家用了很长时间，化了很多精力才能证明这个问题。
前些日子报刊上曾有报道说：有好几位大学生用好几台电子计算机联合起来化了十几个小时才证明了这个问题。
本人在二十多年前就知道有这么一个“四色问题”，可一直找不到证明它的方法。
现在我刚接触到“拓扑学”，其实用“拓扑学”原理一分析，“四色问题”就象当年欧拉把“七桥问题”看成是经过四个点不重复的七条线段的“一笔画”一样简单，连一般的小学生都能证明它。
根据“拓扑学”原理，任何复杂形状的每一块区域都可看成是一个点，两块区域之间相互有交界的可看成这两点之间有连线，只要证明在一个平面内，相互之间都有连线的点不会超过四个，也就证明了“四色问题”。
平面内的任意一个点A可与许许多多的点B、C、D……X、Y、Z有连线（如图1所示），同样B点也可与其它点有连线，C、D……X、Y、Z各点也可与其它点有连线。
但有一个原则：各连线之间不能相互交叉，因为一旦交叉就会产生一条连线隔断另一条连线（如图2所示），BC的连线就隔断了AD的连线。
但有人会说：两点间的连线可有许多条，AD连线可绕到B点或C点以外（图2中虚线所示）不就没有交叉了吗？可是这样一绕就产生一个结果：原来在一个封闭图形外的点变成了封闭图形内的点。
下面就通过对封闭图形的分析来证明相互之间都有连线的点不超过四个。
一个点本身或两个点之间的连线都可形成一个或多个封闭图形（如图3所示）。
三个相互之间都有连线的点从A点连到B点再到C点又回到A点（如图4所示），必定会造成图形的封闭。
王为民证明的四色定理
四色定理的证明
王为民（四川南充龙门中学）
四色定理：每个平面地图都可以只用四种颜色来染色，而且没有两个邻接的区域颜色相同。
证明：
公理：平面地图上，只有一点相邻的区域不增加颜色的种类，至少有一边相邻才增加颜色的种类。
可以假设平面地图上的区域原来只有一个，后来分出了无数的区域，但是，证明只需要四种颜色就可以把它们区分出来就可以了。
1、地图上的一个连续区域。
2、在这个连续区域内部增加一条线将其一分为二，就增加一个区域，变成两个相邻区域，也就增加一种颜色。
3、在它们的相邻边上增加一个区域，变成三个相邻的区域，又增加一种颜色。
4、选择在三个区域相邻的点再增加一个区域，变成四个相邻的区域，又增加一种颜色，共有四种颜色。
5、在这样的情况下，无论在什么位置选择新增加一个新的的区域，都不能做到五个区域相邻。
也就不能增加区分区域颜色的种类。
6、我们无论怎样重复2、3、4、5这些步骤，把平面上的一个区域分成无论怎样的形状，得到任意形状的地图，我们都无法作出五个有相邻边的区域。
所以，每个平面地图都可以只用四种颜色来染色，而且没有两个邻接的区域颜色相同。
证毕。
四色定理的简便证明
同地 区 ） 可 以 需 要 使 用 ｎ ｂ两 种 不 同 的 颜 色 即 可 区 别 开 ， ，
来 ， 图 ５所 示 ． 如
Ａ
口 Ｄ Ｂ （ （ ａ ） ｂ ）
从 上 面 的分 析 来 看 ： 个 点 只 使 用 一 种 颜 色 ； 条 线 段 一 一 有 两 个 端 点 ， 端 点 需要 使用 两 种 不 同 的颜 色 ； 个 三 角 形 该 一
有 三个 顶 点 ， 顶 点 需 要 使 用 三种 不 同 的颜 色． 该 设 存 在 有 三 个 不 同 的 地 区 两 两 彼 此 有 公 共 边 界 ， 存 即 在 不 共 线 的 三个 点 Ａ， ， Ｂ ｃ连 接 成 一 个 三 角 形 ， 图 ６所 示 ， 如 在 这个 平 面上 增 加 一 个 点 Ｄ， 如 下情 况 ： 有
数 学 学 习与 研 究
２ １ ． ０２７
专 题 研 究
鳓 嗨
。１ ； ２ 。 ’７
Ｉ ・
●
三 、 三 角 形 的 基础 上 ， 加 一 个 点 所 构 成 的 图 形 在 增
线段 Ｄ Ｂ与 线 段 Ａ Ｃ有 可 能 “ 交 ” 则 所 有 顶 点 （ 端 点 ） 相 ， 或 所
来 ， 图 ４所 示． 如
Ａ∽
曰
条 边 界 线 （ 用 连 接 点 除 外 ） 也 就 是 说 ， 点 之 间 用 且 只 共 ， 两
用 一 条 线 段 来 连 接．
规 定 ２： 接 的 所 有 线 段 除 端 点 外 ， 不 能 重 合 ， 不 能 连 既 也
相 交．
四色定理的终极证明-证明篇
如图3所示，由于上与下区域不接 壤可用同一种颜色、左与右区域也 不接壤也可用同一种颜色，所以中 间区域只要用第三种颜色就行了。 由于中间区域只与周围四个区域有 接壤，不与外界其它区域有接壤， 所以它的存在与否，只要外围四区 域着色不变也不会影响其它区域的 着色。就是说：在整个最大平面图 中可把图3中左边的情况看成与右 边的一样（图中是中间用了绿色使 左右区域相连，也可以用红色使上 下区域相连），下方的关系图就是 去掉中心O点，把C点合并到B点， 只剩下三个点二条线。
公共边现象
•
在去掉中间点的过程中，很 容易出现连成一串的四边形 （如图8中的B和C都是四边形 的中心点），可先去掉B点把 C与A合并，也可先去掉C点把 D与B合并。从A点到D点实际 上是两个多边形的公共边， 在去掉这些四边形中心点的 过程中，因为有着依次去掉 一个合并一个的规律，可一 次性把这些点去掉，A到D的 总点数是单数，合并后只剩 下A点；A到D的总点数是双数， 合并后只剩下A和D两点。
二个区域包围一个区域的情况
•如图1所示，中间的区域只要 用不同于外面二区域的任何颜 色就可以了，而它的存在与否， 也根本不会影响外围二区域与 其它区域的着色。就是说：在 整个最大平面图中可把图1中 左边的情况看成与右边的一样， 下方的关系图就是去掉了中心 O点，把二边形左右两条边AB 合并为一条。
2n边形与（2n 样图5就需要三种颜色，图6就需要四 种颜色。因为中间的黄色是被包围在 公路当中不与外界接触，它的存在与 否不会影响公路与外面地域的着色情 况，所以可以把黄色部分去掉，去掉 中间部分后左右车道就合二为一（如 图中右边所示），图5和图6中右边与 外界的着色关系同左边时仍旧一样。 下方的关系图就是去掉中心点，通过 合并，2n边形只剩下n+1个点n条线 （图5），2n-1边形只剩下n+1个点 n+1条线（图6）。带下划线的这两个 规律其实也适合上面所述的二边形、 三边形、四边形、五边形„„。它们 只是多边形的几个特例。
四色定理简便证明论文
四色定理的简便证明在每一张地图上，不论行政区域多么复杂，最多使用四种颜色，就能够给所有有公共边界的不同地区着有不同的颜色加以区别开来，这就是著名的四色定理.下面，我们给出四色定理的一种简便证法.一、没有公共边界的不同地区没有公共边界的不同地区，只需要使用同一种颜色就可以区别开来.例如，山东省与黑龙江省没有公共边界，这两个省可以使用同一种颜色；再如，海南省、台湾省以及海域中的诸岛等也可以使用同一种颜色.二、含有公共边界的不同地区含有公共边界的不同地区，着有颜色的种数多少与不同地区两两彼此有公共边界的多少有关，两两彼此有公共边界的不同地区越多，着有颜色的种数就越多.两两彼此有公共边界的含义是指每两个地区都含有公共边界.例如，甲、乙、丙三个不同的地区两两彼此有公共边界，就是说，甲地与乙地有公共边界，甲地与丙地有公共边界，乙地与丙地有公共边界；甲、乙、丙、丁四个不同的地区两两彼此有公共边界，就是说，甲地与乙地有公共边界，甲地与丙地有公共边界，甲地与丁地有公共边界，乙地与丙地有公共边界，乙地与丁地有公共边界，丙地与丁地有公共边界.地图上的不同地区，我们可以分别用点a，b，c，d，e…来表示；不同地区所着用的不同的颜色分别用a，b，c，d…来表示；相邻不同地区的公共边界，用连接两点（表示该相邻的地区）之间的一条线段来表示，并且每条线段的两个端点所表示不同的地区所使用的颜色是不同的，这样，不同地区的着色问题可以看做是不同点的着色问题.规定1：每两个有公共边界的不同地区，有且只有一条公共边界线，即不存在有三个或三个以上的不同地区共有一条边界线（共用连接点除外），也就是说，两点之间用且只用一条线段来连接.规定2：连接的所有线段除端点外，既不能重合，也不能相交.这样我们将上述四色问题可以转化为：在同一个平面上有m个不同的点，从中任取一个点pi（i=1，2，…，m）与其余（m-1）个点连接，并且连接任意两点之间的线段除端点外，既不能重合，也不能相交，则在这m个不同的点中，能够两两彼此相连接的点最多有4个.下面我们给出证明.证明：一个点或多个孤立（互不相连接）的点均可以使用同一种颜色；一条线段有两个端点，这两个端点表示不同的两个地区，该线段表示有公共边界，这样的两个地区，只需要两种不同的颜色即可区别开来.现在，我们来研究由线段组成的图形.1n（n为正整数）条线段组成的一条或多条没有封闭的图形我们知道，每一个端点（或拐点）表示不同的地区，两个相邻的不同地区的公共边界用一条线段来表示，由n（n为正整数）条线段组成的一条或多条没有封闭的图形，其所有端点（所表示的不同地区），可以需要使用a和b两种不同的颜色即可区别开来.如图1和图2所示.需要特别指出的是在同一条线段（或直线）上的点，如图3所示，当a，b，c三点在同一条线段上时，线段ac与线段ab，bc重合，这意味着它们有两条公共边界线，这与“不同地区有且只有一条公共边界线”矛盾，因此，我们说“连接ab，bc”，此时不能说“连接ac”.不能说“连接ac”的意思是说地区a和c没有公共边界，它们可以取同一种颜色.2.由n（n≥3）条线段组成的一条封闭的图形（1）当n为奇数时，该图形中的所有顶点（所表示的不同地区），可以需要使用a，b，c三种不同的颜色即可区别开来，如图4所示.图4（2）当n为偶数时，该图形中的所有顶点（所表示的不同地区），可以需要使用a，b两种不同的颜色即可区别开来，如图5所示.图5三、在三角形的基础上，增加一个点所构成的图形从上面的分析来看：一个点只使用一种颜色；一条线段有两个端点，该端点需要使用两种不同的颜色；一个三角形有三个顶点，该顶点需要使用三种不同的颜色.设存在有三个不同的地区两两彼此有公共边界，即存在不共线的三个点a，b，c连接成一个三角形，如图6所示，在这个平面上增加一个点d，有如下情况：图6图7由于不同的点表示不同的地区，所以点d与三角形的顶点不能重合，即点d不能在三角形的顶点处；当点d在△abc的任一条边上时，不妨假设点d在边ac上，如图7所示，由于线段ac与线段ad，cd重合，这与规定“所有线段不能重合”矛盾，所以点d不能在△abc的任一条边上.显然，如果有4个不同的点，其中有三个点a，b，d两两彼此相连接（即a，b，d三点所表示的地区两两彼此有公共边界），也就是说点b与a连接、点b与d连接、点d与a连接；第4个点c 与点b连接，与点d连接，而点c与a不连接（此时，点a，c所表示的两个不同地区没有公共边界线），且a，d，c三点共线，此时，点a与c可以取同一种颜色（我们可以看做点c在△abd的外部如图7所示），那么这样的4个点所表示的不同地区，可以使用a，b，c三种不同的颜色就可以区别开来.这样，我们只研究点在三角形的内部和外部两种情况就可以了.1.当点d在△abc内部时，如果第4个点d与三角形的三个顶点a，b，c两两彼此相连接，如图8所示，那么所有顶点所表示的不同地区，需要使用a，b，c，d四种不同的颜色就可以区别开来.图8图92.当点d在△abc外部时，（1）不妨假设点d在线段ac所在的直线上，即点d，a，c三点共线，如果能够连接db，da，那么所有顶点或端点所表示的不同地区，需要使用a，b，c三种不同的颜色就可以区别开来，如图9所示.（2）不妨假设点d不在线段ac所在的直线上，且点d与b在线段ac所在直线的两侧，如果能够连接da，db，dc，且线段db与线段ac不相交，那么所有顶点（或端点）所表示的不同地区，需要使用a，b，c，d四种不同的颜色即可区别开来，如图10所示；若能够连接da，dc，当连接db时，线段db与线段ac有可能“相交”，则所有顶点（或端点）所表示的不同地区，需要使用a，b，c 三种不同的颜色即可区别开来，如图11所示.图10图11（3）不妨假设点d不在线段ac所在的直线上，且点d与b在线段ac所在直线的同侧，如图12和图13所示，此时，结果与②类似，不必赘述.图12图13由上述所知，如果每4个点满足两两彼此相连接，且连接的所有线段除端点外，既不能重合，也不能相交，那么这样的4个点所表示的不同地区，只需要使用a，b，c，d四种不同的颜色即可区别开来.四、在如图8所示的基础上，增加一个点所构成的图形我们从上面的分析可以得到一般结论：在同一个平面上，存在3个点，如果满足两两彼此相连接，且连接的所有线段除端点外，既不能重合，也不能相交，那么这样的3个点所表示的不同地区，需要使用三种不同的颜色；在同一个平面上，存在4个点，如果满足两两彼此相连接，且连接的所有线段除端点外，既不能重合，也不能相交，那么这样的4个点所表示的不同地区，需要使用四种不同的颜色.我们自然要问：在同一个平面上，存在5个点或5个以上的点，如果满足两两彼此相连接，且连接的所有线段除端点外，既不能重合，也不能相交，那么这样的5个点或5个以上的点所表示的不同地区，就需要使用五种或更多种不同的颜色吗？回答是不可能的.这是因为，在同一个平面上，有5个点或5个以上的不同点是不可能存在两两彼此相连接，且连接的所有线段除端点外，既不能重合，也不能相交的，从而说明，在同一个平面上，不存在超过四种不同的颜色.我们给出如下推理：在如图8所示的基础上，再增加一个点e，共计5个点，有如下几种情况：（1）如果第5个点e落在△abc的外部，那么点e与△abc内部的点d不能够连接.假设点e与d能够连接，由于△abc是一个封闭的图形，一个点e在△abc的外部，一个点d在△abc的内部，当连接ed时，必然与△abc中的某一条边相交，这与规定（所有的线段不相交）矛盾，所以说尽管点e能够与点a，b，c两两彼此相连接，但点e与点d不能够连接，因此，5个不同的点两两彼此不能够相连接.此时，点e和点d可以使用同一种颜色着色，这样的5个不同点所表示的不同地区，可以需要使用a，b，c，d四种不同的颜色就可以区别开来，如图14所示.图14图15（2）如果第5个点e落在△abc的内部，那么点e必然会落在△abc内部中△abd，△bcd和△acd三个三角形中的某一个三角形的内部.不妨假设点e落在△abd的内部，如图15所示，此时，点c在△abd的外部，由（1）知点e与c不能够连接，因此，5个不同的点两两彼此不能够连接.此时，点e与c可以使用同一种颜色着色，这样的5个不同的点所表示的不同地区，可以需要使用a，b，c，d四种不同的颜色就可以区别开来.由上述所知，5个不同的点两两彼此不能够连接，这就是说，在同一个平面上，尽管由原来不同的4个点增加到5个点，多了一个点，但颜色的种数并没有增加，这是因为有一对点不能连接，该两点所表示的不同地区可以取同一种颜色，即存在有1对点着色相同，此时，仍然需要使用a，b，c，d四种不同的颜色就可以区别开来.五、在如图15所示的基础上，增加一个点所构成的图形在如图15所示的基础上，再增加一个点f，共计6个点.1.如果第6个点f在△abc的外部，那么点f与△abc内部的点e或d不能够连接，也就是说，6个不同的点两两彼此不能够连接，如图16所示.新增加的点f的着色可以取与点d的颜色相同（新增加一对着色点），点e的着色可以取与点c的颜色相同（原有的一对着色点），这样共有2对相同的着色点，这说明颜色的种数并没有增加，仍然需要使用a，b，c，d四种不同的颜色就可以区别开来.图16图172.如果第6个点f在△abc的内部，那么点f必然会落在△abe，△bed，△aed，△bcd，△acd这5个三角形中的某一个三角形的内部.不妨假设点f落在△bdc的内部，如图17所示.显然，新增加的点f与a不能够连接，它们可以取相同的颜色（新增加一对着色点）；点e与c不能够连接，它们可以取相同的颜色（原有的一对着色点），这样存在2对相同的着色点，因此，6个不同的点两两彼此不能够连接.也就是说，尽管由5个不同的点增加到6个不同的点，又多了一个点，但颜色的种数并没有增加，这是因为有2对点着色相同，此时，仍然需要使用a，b，c，d四种不同的颜色就可以区别开来.类似地，第k（5≤k≤m）个点落在如图8所示的图形中，（1）如果第k个点落在△abc的外部，那么第k个点与△abc的内部的某一点不能够连接，因此，有k个点两两彼此不能够连接，同时可以看出，第k个点可以取与△abc的内部的某一对应点（不能连接）的着色的颜色相同，这样颜色的种数没有增加，第k个点的情形与第（k-1）个点的情形的着色相同；（2）如果第k个点落在△abc的内部，那么必然会落在且只能落在△abc被分割成（2k-5）个不重叠三角形中的某一个三角形的内部，此时，该点与该三角形的外部的点不能够连接，且有（k-4）对点（不能连接的）着有对应相同的颜色，这说明颜色的种数并没有增加.综上所述，在同一个平面上，超过4个不同的点，两两彼此不能够连接，这就是说能够两两彼此连接的点最多有4个，所以，在一张地图上的所有有公共边界的不同地区，最多使用四种不同的颜色就可以加以区别开来，四色定理成立.证毕.我们根据上述判定方法来诠释中国政区地图，为何最多使用四种不同的颜色.在《中华人民共和国地图》（人民交通出版社，2003年8月第3版）上，因为最多有4个不同地区两两彼此有公共边界，这4个省两两彼此有公共边界的地区分别是宁夏回族自治区、内蒙古自治区、甘肃省和陕西省，即甘肃省与内蒙古自治区有公共边界，甘肃省与陕西省有公共边界，甘肃省与宁夏回族自治区有公共边界；内蒙古自治区与陕西省有公共边界，内蒙古自治区与宁夏回族自治区有公共边界；陕西省与宁夏回族自治区有公共边界.换句话说，如果把这4个不同地区分别看成a，b，c，d四个不同的点，由于它们两两彼此有公共边界，也就是说这4个不同点能够两两彼此相连接.如图8所示，甘肃省相当于点b，内蒙古自治区相当于点a，陕西省相当于点c，该三点a，b，c能连接成一个三角形，宁夏回族自治区相当于△abc的内部的一个点d，根据上面得到的结论，可以判断这张《中华人民共和国地图》的着色，最多使用a，b，c，d 四种不同的颜色就可以绘制而成.见附件一：《中国政区四色地图》着色分布图.再如，在《世界地图》（人民交通出版社，2003年8月第3版）上，我们看到有公共边界的国家，最多有巴拉圭、巴西、玻利维亚及阿根廷这4个国家两两彼此有公共边界（还有坦桑尼亚、莫桑比克、赞比亚和马拉维4个国家两两彼此有公共边界），它们分别用4个不同的点来表示，则这4个点之间两两彼此相连接，根据上面得到的结论，可以判断这张《世界地图》也需要使用a，b，c，d四种不同的颜色，就能够保证相邻国家着有不同的颜色加以区别开来（图形略）.附件一：方案不唯一，仅供参考.我们如果用a，b，c，d分别表示四种不同的颜色，那么不同地区的着色可以分别记成：着有a色的地区有新疆、陕西、安徽、湖南、云南以及海洋；着有b色的地区有黑龙江、辽宁、山东、山西、浙江、广东、贵州、甘肃、西藏；着有c色的地区有宁夏、吉林、河北、福建、江苏、湖北、四川、广西；着有d色的地区有内蒙古、青海、重庆、河南、江西；没有公共边界的海南和台湾及其海洋中的诸岛均可取同一种颜色（可以取不同于a色绘制），如选d色；上海市可以取d色；北京市可以取a色；天津市可以取d色；香港或澳门可以取d或c色.。
四色定理证明
四色定理的证明一、四色定理的介绍地图四色定理最先是由一位叫古德里的英国大学生提出来的。
四色问题的内容是：“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。
”用数学语言表示，即“将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4这四个数字之一来标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。
”这里所指的相邻区域，是指有一整段边界是公共的。
如果两个区域只相遇于一点或有限多点，就不叫相邻的。
因为用相同的颜色给它们着色不会引起混淆。
1976年美国数学家阿佩尔与哈肯宣告借助电子计算机获得了四色定理的证明，又为用计算机证明数学定理开拓了前景。
二、四色定理的证明通过四色定理的介绍，我们可以知道如果两个图形相邻，则需要用不同的颜色将它们区分。
反之，若两个图形不相邻则可以用一种颜色。
由此得出，如果一张地图不能用四种颜色将它们分开，则必然存在五个两两相邻的图形。
所以，只需证明是否存在五个两两相邻的图形即可。
1.把一个图形X 分成2个小图形的情况共有两种。
分别如下：图 2说明：a.图形X 的选取是任意的(在这里举的是一个圆）。
b.将图1的分法叫线切法，点M,N 为交点，其特点是两个图形都只共用自己的一部分边界。
将图2的分法叫内取法，其特点是其中一个图形所有边界与另一个图形共用。
内取法的性质是里面的图形B 只能与图形A 相邻，称图形B 为内取图形。
2.将一个图形X 分成3个小图形的情况共有6种，方法是先把一个图形分成两个，再把其中一个分成两个。
对图1因其分成的两个图形是等价的所以共有2种（如图3和图4），对图2的继续分共有4种（如图5到图8）。
分别如下：图5图6 图8从中我们可以看出，只有图3、图5和图7是满足两两相邻的。
3.将一个图形X 分成4个小图形两两相邻的情况。
方法是先把图形X 分成2个小图形A 和B ，再把B 分成3个小图形B1、B2和B3。
又因为分成3个图形满足两两相邻的只有图3、图5和图7三种分法，图5和图7有内取图形无法与图形A 相邻，故要想满足4个图形两两相邻只能采取图3这种分法。
四色猜想的证明
四色猜想的证明把每个区域看成一个点，相邻的区域（点）用线连起来，则不可能存在连线交叉穿过的情况。
现存在一张地图（a ）需用上4种颜色才可区分相邻区域（点）。
下面证明是否存在必须用上第5种颜色的地图：假设存在这样的地图，则在必须染上第5种颜色的点的周围一定存在染有其它4种颜色的点与之相连（如图b ）。
由于E 是必须用上第5种颜色的点，所以无论从哪点开始按何种顺序染色最终都得使ABCDE5点两两异色。
而且在染色时颜色的选取只受之前染过颜色的点的限制，无需考虑其它未染色的点的颜色。
记5种颜色分别为“1”“2”“3”“4”“5”，则这5种颜色地位是平等的。
下面从上面那5点染起：不妨先将E 染为“1”，再染B 时要使它不能选E 的颜色，则BE 必相邻，不妨染为“2”，再染C 时要使它不能选ＥＢ的颜色则ＥＣ，ＢＣ必相连，不妨染为“３”，再染Ｄ时要使它不能选ＥＢＣ的颜色则ED，BD,CD必相连，不妨染为“4”，再染A时要使它不能选EBCD的颜色则EA，BA，ＣＡ，ＤＡ必相连，但Ａ与Ｃ由于ＢＤ相连而无法相连，这样Ａ的颜色只需选Ｃ的颜色而无需用上第５种颜色。
因此不存在必须用上第５种颜色才可区分相邻区域的地图。
综上所述：无论多么复杂的地图，只需４种颜色就可以将所有相邻区域分开，即四色定理得证。
关于四色定理证明过程中的详细说明一：对“不可能存在连线交叉穿过的情况”的证明：先谈区域间的交界线的定义问题：当区域间仅交于一点时，若把它看作交界线，则当有n个区域交于一点时，这n个点两两相邻，需用n种颜色才可区分，这样讨论“只需用几种颜色就可以将相邻区域分开”就毫无意义了，故点不能看作时交界线，交界线应该具有一定线度。
所以当区域M和N相邻后其它区域不可能通过MN的交界线而相邻。
二：对“染A时A无法与C相连”的证明：在E周围的四点定具有如图（c1）的相对位置关系，由于ＢＣＤＡ４点的地位是平等的，不妨将其按如图（c2）位置关系排列（即将它们的位置关系固定）。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
王若仲 （王洪）
贵州省务川自治县实验学校 贵州 564300
摘要：1852 年，毕业于伦敦大学的格斯里（FrancisGuthrie）来到一家科研单位搞地 图着色工作时，发现每幅地图都可以只用四种颜色着色。这个现象能不能从数学上加以严格 证明呢？1872 年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于 是四色猜想成了世界数学界关注的问题，世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的 大会战。电子计算机问世以后，由于演算速度迅速提高，加之人机对话的出现，大大加快了 对四色猜想证明的进程。1976 年 6 月，由美国数学家阿佩尔（Kenneth Apprl）和哈肯 （Wolfgang Haken）在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了 1200 个小时， 作了 100 亿次判断，结果没有一张地图是需要五色的，最终证明了四色定理。我发现“四色 定理”还有一种简捷的证明方法，就是利用球面几何的知识来证明“四色定理”。也就是要 证明在球面上不能设计出这样的组合图形：五个独立封闭图形 A、B、C、D、E，任意两两独 立封闭图形均有公共边界，并且组合图形中不会出现有独立封闭图形与独立封闭图形重合或 者出现独立封闭图形与独立封闭图形部分重叠的情形。证明的方法就是把球面上的点看作是 独立封闭图形，球面上点与点之间的连线段看作是独立封闭图形与独立封闭图形的公共边 界。什么是独立封闭图形？就是指平面上或球面上一个封闭图形，如果这个封闭图形内没有 其它的封闭图形，我们则称这个封闭图形为独立封闭图形。什么是直接连接？就是指平面上 或球面上点与点之间的连线段，除了连线段的两边端点外,中间不经过其它的已知点，中间 不与其它的连线段相交。
（二）我们按照一定的次序总可以在球面上先直接连接 EA，直接连接 EB， 直接连接 EC，直接连接 ED；接下来还可以直接连接 AB，直接连接 BC，直接连接 CD，直接连接 DA；再可以直接连接 AC；最后连接 B 点和 D 点的时候，我们还是 要求直接连接，但是从前面得到的球面组合图形中不难得出这样的结论：最后连 接 B 点和 D 点，要求中间不能经过其它已知点，那么连接 BD 使终要经过一个封 闭的图形，所以按照此要求不管怎样连接，必定会多出一个交点。所以按照要求 直接连接 EA，直接连接 EB，直接连接 EC，直接连接 ED，直接连接 AB，直接连 接 AC，直接连接 AD，直接连接 BC，直接连接 BD，直接连接 CD 是不可能实现的 情形。也就是说，对于球面上任意两两互不重合的 A、B、C、D、E 五点，任意两 点之间不可能均可作一条连线段直接连接。同时也说明对于球面上任意两两互不 重合的 A、B、C、D、E 五点，如果任意两点之间作一条连线段，并且要求任一条 连线段中间不能经过其它已知点，按照此要求不管怎样连接，最终得到的图形中 至少会多出一个交点不在 A、B、C、D、E 这五点上。
定理 3：球面上 A、B 两点不呈现为球体中心平面轴对称时，那么球面上连接 A、B 两点的所有弧线段中，有一条弧线段最短。
证明：因为球面上 A、B 两点不呈现为球体中心平面轴对称，假定球面上连 接 A，B 两点的所有弧线段中，没有一条弧线段最短；虽然 OA=OB，现在以 OA 或 OB 为半径，以点 O 为圆心，从 A 点到 B 点作弧；显然作的弧不是半圆，那么以 连接 A，B 两点的直线为轴，以作的弧，不可能完全绕球面旋转一周，这样就产 生矛盾；故定理 3 成立。
3
定理 5：球面上任意两两互不重合的 A、B、C、D、E 五点，如果任意两点之 间作一条连线段连接，其中任一连线段（除端点外）中间不能经过其它已知点， 那么球面上一定不会出现这样的图形：连线段的交点只是 A、B、C、D、E 五点。
证明：因为 A、B、C、D、E 为球面上任意两两互不重合的五点，任意两点之 间如果作一条连线段连接，那么在球面上进行设计，可以按照下列程序操作：
高速数字计算机的发明，促使更多数学家对“四色问题”的研究。电子计算 机问世以后，由于演算速度迅速提高，加之人机对话的出现，大大加快了对四色 猜想证明的进程。就在 1976 年 6 月，由美国数学家阿佩尔（Kenneth Apprl）和 哈肯（Wolfgang Haken）在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了
关键词：四色定理；球面几何；线段；相交 中图分类号：0156
引言
1852 年，毕业于伦敦大学的格斯里（FrancisGuthrie）来到一家科研单位搞 地图着色工作时，发现每幅地图都可以只用四种颜色着色。这个现象能不能从数 学上加以严格证明呢？他和他正在读大学的弟弟决心试一试，但是稿纸已经堆了 一大叠，研究工作却是没有任何进展。1872 年，英国当时最著名的数学家凯利 正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问 题。
2
定义 6：球面上一条连线段与另一条连线段有交点，则称这两条连线段相交； 球面上一条连线段与另一条连线段没有交点，则称这两条连线段不相交。
定义 7：如果整个球面上是由一些封闭图形组合而成的球面图形，我们则称 这个球面为球面组合图形。
定义 8：平面上或球面上一个封闭图形，如果这个封闭图形内没有其它的封 闭图形，我们则称这个封闭图形为独立的封闭图形。
1
1200 个小时，作了 100 亿次判断，结果没有一张地图是需要五色的，最终证明 了四色定理。
尽管随着计算机的普及，绝大多数数学家对四色定理的证明没有疑问，但某 些数学家对经由电脑辅助的证明方式仍旧不够满意，希望能找到一个完全“人 工”的证明。
“四色定理”证明 定义 1：平面上或球面上任意 A、B 两点之间有一条连线连接，我们则称这条 连线为 A、B 两点之间的连线段。 定义 2：球面上任意 A、B 两点之间有这样的一条线连接，即以球体中心点 O 为中心点，以 OA 或 OB 为半径，从 A 点到 B 点或从 B 点到 A 点作一扇形，这样球 面上就得到从 A 点到 B 点或从 B 点到 A 点的一条线连接，这样的一条线称为球面 上 A、B 两点之间的弧线段。或者存在一中心点 O′，使得 O′A=O′B，以 O′为 中心点，以 O′A 或 O′B 为半径，从 A 点到 B 点或从 B 点到 A 点作一扇形，这样 球面上就得到从 A 点到 B 点或从 B 点到 A 点的一条线连接，这样的一条连线也称 为球面上 A、B 两点之间的弧线段。 定理 1：球面上任意 A、B 两点之间可以作无数条弧线段连接。 证明：因为球体内存在无数个中心点 O1，O2，O3，…，On；使得 O1A=O1B，O2A=O2B， O3A=O3B，…，OnA=OnB。由定义 2 可知，定理 1 成立。 定义 3：平面上或球面上任意两点之间有一条连线段，那么连线段两边最边 端的点，称为平面上或球面上任意两点之间连线段的端点。例如：平面上或球面 上任意 A、B 两点之间有一条连线段，A 和 B 就是端点。 定义 4：平面上或球面上任意 A、B 两点之间作一条线连接，而连接 A、B 两 点的连线段（除 A、B 两个端点外）中间不经过其它的已知点以及连接 A、B 两点 的连线段（除 A、B 两个端点外）中间不与其它的连线段相交，则称 A、B 两点为 直接连接。 定义 5：平面上或球面上任意 A、B 两点之间作一条线连接，而连接 A、B 两 点的连线段（除 A、B 两个端点外）中间经过了其它的已知点或者连接 A、B 两点 的连线段（除 A、B 两个端点外）中间与其它的连线段相交，则称 A、B 两点为间 接连接。
4
综上所述，故定理 5 成立。 定理 6：球面上任意两两互不重合的 A、B、C、D、E 五点，如果任意两点之 间作一条连线段连接，其中任一连线段（除端点外）中间不能经过其它已知点， 那么球面上一定不会出现这样的组合图形：球面上的组合图形只由五个独立封闭 图形组成。 证明：由定理 5 可知，定理 6 成立。 定理 7：平面上能够设计出满足某一特征的组合图形，那么在球面上也能设 计出满足该特征的组合图形。 证明：在平面上和球面上设计均要满足某一特征的组合图形，因为在球面上 设计可以从三维空间考虑设计，而在平面上设计只能从二维空间考虑设计，显然 三维空间要好设计一些。故定理 7 成立。 定理 8：设有独立封闭图形 A、B、C、D，则平面上或球面上可以设计出独立 封闭图形 A、B、C、D 的如下组合图形：独立封闭图形 A、B、C、D 中任意两两独 立封闭图形均有公共边界；并且组合图形中不会出现有独立封闭图形与独立封闭 图形重合或者出现独立封闭图形与独立封闭图形部分重叠的情形。 证明：我们在球面上设置任意两两互不重合的 E、F、G、H 四点，由定理 4 可知，球面上任意两两互不重合的 E、F、G、H 四点，任意两点之间均可以作一 条连线段直接连接，那么球面上必定会设计出这样的图形：连线段与连线段的交 点只是 E、F、G、H 四点。这样球面上就出现了由四块独立封闭图形组合成的球 面图形，其中四块独立封闭图形的组合图形中任意两块独立封闭图形均有公共边 界，并且任意两块独立封闭图形不重合以及任意两块独立封闭图形不部分重叠。 所以，说明球面上可以设计出独立封闭图形 A、B、C、D 中任意两两独立封闭图 形均有公共边界的组合图形，并且不会出现有独立封闭图形与独立封闭图形重合 或出现独立封闭图形与独立封闭图形部分重叠的情形。 或者我们总可以把两两互不重合的 E、F、G、H 四点，拓扑变换为四块独立 封闭图形，任意两点之间的连线段直接连接拓扑变换为公共边界，这样就可以得 到独立封闭图形 A、B、C、D 中任意两两独立封闭图形均有公共边界；并且组合 图形中不会出现有独立封闭图形与独立封闭图形重合或者出现独立封闭图形与 独立封闭图形部分重叠的情形。
（一）我们按照一定的次序总可以把 A、B、C、D 这四点设计为一个三棱锥 形的四个顶点，这样的话，球面上 A、B、C、D 四点中，任意两点之间可以作一 条连线段直接连接，那么球面上必定会是这样的图形：连线段与连线段的交点只 是 A、B、C、D 四点。这样的话，我们就可以从前面得到的球面组合图形中不难 得出结论：即这 A、B、C、D 四点中的其中任何一点相对于其它三点，这一点则 在一个封闭的图形内。如果我们再按要求直接连接 EA、EB、EC、ED，不管这样 连接，其中至少有一个连接使终要经过一个封闭的图形，所以其中至少有一个连 接不能进行直接连接。也就是说对于球面上任意两两互不重合的 A、B、C、D、E 五点，如果任意两点之间作一条连线段，并且要求任一条连线段中间不能经过其 它已知点，按照此要求不管怎样连接，最终得到的图形中至少会多出一个交点不 在 A、B、C、D、E 这五点上。