上海高二数学矩阵及其运算

矩阵及其运算

矩阵的概念

1、形如13⎛⎫ ⎪⎝⎭、512128363836232128⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭、2332441m n ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭、2313242414m n ⎛⎫ ⎪

- ⎪ ⎪

-⎝⎭

这样的矩形数表叫做矩阵。 2、在矩阵中，水平方向排列的数组成的向量()12,,n a a a ⋅⋅⋅称为行向量；垂直方向排列的数组

成的向量12n b b

b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭

称为列向量；由m 个行向量与n 个列向量组成的矩阵称为m n ⨯阶矩阵，m n

⨯阶矩阵可记做m n A ⨯，如矩阵13⎛⎫ ⎪⎝⎭为21⨯阶矩阵，可记做21A ⨯；矩阵512128363836232128⎛⎫

⎪

⎪ ⎪⎝⎭

为33⨯阶矩阵，可记做33A ⨯。有时矩阵也可用A 、B 等字母表示。

3、矩阵中的每一个数叫做矩阵的元素，在一个m n ⨯阶矩阵m n A ⨯中的第i （i m ≤）

行第j （j n ≤）列数可用字母ij a 表示，如矩阵512128363836232128⎛⎫

⎪

⎪ ⎪⎝⎭

第3行第2个数为3221a =。 4、当一个矩阵中所有元素均为0时，我们称这个矩阵为零矩阵。如000000⎛⎫

⎪⎝⎭

为一个23⨯阶零矩阵。

5、当一个矩阵的行数与列数相等时，这个矩阵称为方矩阵，简称方阵，一个方阵有n 行（列），

可称此方阵为n 阶方阵，如矩阵512128363836232128⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭、2332441m n ⎛⎫

⎪

- ⎪ ⎪-⎝⎭

均为三阶方阵。在一个n 阶方阵中，从左上角到右下角所有元素组成对角线，如果其对角线的元素均为1，其余元素均

为零的方阵，叫做单位矩阵。如矩阵1001⎛⎫ ⎪⎝⎭为2阶单位矩阵，矩阵100010001⎛⎫

⎪

⎪ ⎪⎝⎭

为3阶单位矩阵。

6、如果矩阵A 与矩阵B 的行数和列数分别相等，那么A 与B 叫做同阶矩阵；如果矩阵A 与矩阵B 是同阶矩阵，当且仅当它们对应位置的元素都相等时，那么矩阵A 与矩阵B 叫做相等的矩阵，记为A B =。

7、对于方程组231324244x y mz x y z x y nz ++=⎧⎪

-+=⎨⎪+-=⎩

中未知数z y x ,,的系数按原来的次序排列所得的矩阵

2332441m n ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭，我们叫做方程组的系数矩阵；而矩阵2313242414m n ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭

叫做方程组的增广矩阵。 应用举例：

例1、已知矩阵222,22x x y b a A B x a b y

x y ---⎛⎫⎛⎫

==

⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭且A B =，求a 、b 的值及矩阵A 。

例2、写出下列线性方程组的增广矩阵：

（1）23146x y x y +=⎧⎨-=⎩； （2）2320

3250230

x y z x y z x y z +-+=⎧⎪

-++-=⎨⎪-++=⎩

例3、已知线性方程组的增广矩阵，写出其对应的方程组：

（1）235124-⎛⎫ ⎪-⎝⎭ （2）210203213023-⎛⎫

⎪- ⎪ ⎪

-⎝⎭

例4、已知矩阵

sin cos0

sin cos1

αα

ββ

+

⎛⎫

⎪

+

⎝⎭

为单位矩阵，且,,

2

π

αβπ

⎡⎫

∈⎪

⎢⎣⎭，求

()

sinαβ

-的值。

矩阵的基本变换：

（1）互换矩阵的两行或两列；

（2）把某一行同乘（除）以一个非零的数；

（3）某一行乘以一个数加到另一行。

显然，通过以上三个基本变换，可将线性方程组的系数矩阵变成单位矩阵，这时增广矩阵的最后一个列向量给出了方程组的解。

应用举例：

例1、用矩阵变换的方法解三元一次方程组

435

724

5238

x y z

x y z

x y z

+-=

⎧

⎪

++=

⎨

⎪--=

⎩

的解。

例2、运用矩阵变换方法解方程组：

32

2

ax y

x y b

+=

⎧

⎨

-=

⎩

（a、b为常数）

课堂练习：

用矩阵变换方法解下列问题： （1）若方程组2

(1)(1)4

x y k x k y +=⎧⎨

-++=⎩的解x 与y 相等，求k 的值。

（3）解方程组：320255781x y z x y z x y z -+=⎧⎪

++=⎨⎪-+=-⎩

矩阵运算

（对从实际问题中抽象出来的矩阵，我们经常将几个矩阵联系起来，讨论它们是否相等，它们在什么条件下可以进行何种运算，这些运算具有什么性质等问题，这是下面所要讨论的主要内容.） 1．相等

定义 如果两个矩阵[]n m ij a A ⨯=，[]p s ij b B ⨯=满足： (1) 行、列数相同，即 p n s m ==,；

(2) 对应元素相等，即a ij = b ij (i = 1, 2, …, m ；j = 1, 2, …, n )， 则称矩阵A 与矩阵B 相等，记作 A = B

（由矩阵相等定义可知，用等式表示两个m ⨯n 矩阵相等，等价于元素之间的m ⨯n 个等式.）例如，矩阵

A =⎥⎦⎤⎢

⎣⎡2322

211312

11a a a a a a ， B =⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡--412503 那么A = B ，当且仅当

a 11 = 3，a 12 = 0，a 13 = -5，a 21 = -2，a 22 = 1，a 23 = 4

而

C = ⎥⎦

⎤

⎢

⎣⎡22211211c c c c 因为B , C 这两个矩阵的列数不同，所以无论矩阵C 中的元素c 11, c 12, c 21, c 22取什么数都不会与矩阵B 相等.

2．加法

定义 设[]n m ij a A ⨯=，[]p s ij b B ⨯=是两个m ⨯n 矩阵，则称矩阵

C = ⎥

⎥

⎥⎥

⎦

⎤⎢

⎢⎢⎢⎣⎡+++++++++mn mn m m m m n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a

2

2112222

2221

211112

121111

为A 与B 的和，记作

C = A + B = []ij ij b a +

（由定义可知，只有行数、列数分别相同的两个矩阵，才能作加法运算.） 同样，我们可以定义矩阵的减法：D = A - B = A + (-B ) =[]ij ij b a - 称D 为A 与B 的差.